რთული ფუნქციის წარმოებული x x. რთული წარმოებულები

მოცემულია წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის გამოყენებით.

Იხილეთ ასევე: რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის დადასტურება

ძირითადი ფორმულები

აქ მოცემულია შემდეგი ფუნქციების წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები:
; ; ; ; .

თუ ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც რთული ფუნქცია შემდეგი ფორმით:
,
მაშინ მისი წარმოებული განისაზღვრება ფორმულით:
.
ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჩვენ დავწერთ ამ ფორმულას შემდეგნაირად:
.
სად .
აქ ქვესკრიპტები ან , რომლებიც მდებარეობს წარმოებული ნიშნის ქვეშ, აღნიშნავენ ცვლადებს, რომლებითაც ხდება დიფერენციაცია.

ჩვეულებრივ, წარმოებულების ცხრილებში მოცემულია x ცვლადის ფუნქციების წარმოებულები. თუმცა, x ​​არის ფორმალური პარამეტრი. x ცვლადი შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი სხვა ცვლადით. ამიტომ, ფუნქციის ცვლადისგან დიფერენცირებისას, წარმოებულთა ცხრილში უბრალოდ ვცვლით x ცვლადს u ცვლადში.

მარტივი მაგალითები

მაგალითი 1

იპოვეთ რთული ფუნქციის წარმოებული
.

დავწეროთ მოცემული ფუნქცია ეკვივალენტური ფორმით:
.
წარმოებულების ცხრილში ვხვდებით:
;
.

რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის მიხედვით გვაქვს:
.
Აქ .

მაგალითი 2

იპოვეთ წარმოებული
.

წარმოებული ნიშნიდან ვიღებთ მუდმივ 5-ს და წარმოებულთა ცხრილიდან ვპოულობთ:
.

.
Აქ .

მაგალითი 3

იპოვეთ წარმოებული
.

ჩვენ ვიღებთ მუდმივ -1 წარმოებულის ნიშნისთვის და წარმოებულების ცხრილიდან ვხვდებით:
;
წარმოებულების ცხრილიდან ვხვდებით:
.

ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას:
.
Აქ .

უფრო რთული მაგალითები

უფრო რთულ მაგალითებში ჩვენ რამდენჯერმე ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესს. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვიანგარიშებთ წარმოებულს ბოლოდან. ანუ, ჩვენ ვყოფთ ფუნქციას მის შემადგენელ ნაწილებად და ვიპოვით უმარტივესი ნაწილების წარმოებულებს გამოყენებით წარმოებულების ცხრილი. ჩვენ ასევე ვიყენებთ თანხების დიფერენცირების წესები, პროდუქტები და ფრაქციები. შემდეგ ვაკეთებთ ჩანაცვლებებს და ვიყენებთ რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას.

მაგალითი 4

იპოვეთ წარმოებული
.

ავირჩიოთ ფორმულის უმარტივესი ნაწილი და ვიპოვოთ მისი წარმოებული. .

.
აქ ჩვენ გამოვიყენეთ აღნიშვნა
.

მიღებული შედეგების გამოყენებით ვპოულობთ ორიგინალური ფუნქციის შემდეგი ნაწილის წარმოებულს. ჯამის დიფერენცირების წესს ვიყენებთ:
.

კიდევ ერთხელ ვიყენებთ რთული ფუნქციების დიფერენციაციის წესს.

.
Აქ .

მაგალითი 5

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
.

ავირჩიოთ ფორმულის უმარტივესი ნაწილი და ვიპოვოთ მისი წარმოებული წარმოებულების ცხრილიდან. .

ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესს.
.
Აქ
.

მიღებული შედეგების გამოყენებით განვასხვავოთ შემდეგი ნაწილი.
.
Აქ
.

მოდით განვასხვავოთ შემდეგი ნაწილი.

.
Აქ
.

ახლა ჩვენ ვიპოვით სასურველი ფუნქციის წარმოებულს.

.
Აქ
.

რთული ტიპის ფუნქციები ყოველთვის არ ერგება რთული ფუნქციის განმარტებას. თუ არსებობს y = sin x - (2 - 3) ფორმის ფუნქცია · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, მაშინ ის არ შეიძლება ჩაითვალოს კომპლექსურად, განსხვავებით y = sin 2 x.

ამ სტატიაში ნაჩვენები იქნება რთული ფუნქციის კონცეფცია და მისი იდენტიფიკაცია. მოდით ვიმუშაოთ წარმოებულის საპოვნელ ფორმულებთან დასკვნაში ამონახსნების მაგალითებით. წარმოებული ცხრილისა და დიფერენციაციის წესების გამოყენება მნიშვნელოვნად ამცირებს წარმოებულის პოვნის დროს.

ძირითადი განმარტებები

რთული ფუნქცია არის ის, რომლის არგუმენტიც ასევე ფუნქციაა.

იგი აღინიშნება ასე: f (g (x)). გვაქვს, რომ g (x) ფუნქცია ითვლება f არგუმენტად (g (x)).

განმარტება 2

თუ არსებობს f ფუნქცია და ის არის კოტანგენტური ფუნქცია, მაშინ g(x) = ln x არის ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქცია. ჩვენ ვხვდებით, რომ კომპლექსური ფუნქცია f (g (x)) დაიწერება arctg(lnx) სახით. ან ფუნქცია f, რომელიც არის ფუნქცია ამაღლებული მე-4 ხარისხამდე, სადაც g (x) = x 2 + 2 x - 3 ითვლება მთელ რაციონალურ ფუნქციად, მივიღებთ, რომ f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

ცხადია, g(x) შეიძლება იყოს რთული. მაგალითიდან y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 ცხადია, რომ g-ის მნიშვნელობას აქვს წილადის კუბური ფესვი. ეს გამოთქმა შეიძლება აღვნიშნოთ როგორც y = f (f 1 (f 2 (x))). საიდანაც გვაქვს, რომ f არის სინუსური ფუნქცია, ხოლო f 1 არის ფუნქცია, რომელიც მდებარეობს კვადრატული ფესვის ქვეშ, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 არის წილადი რაციონალური ფუნქცია.

განმარტება 3

ბუდობის ხარისხი განისაზღვრება ნებისმიერი ნატურალური რიცხვით და იწერება როგორც y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

განმარტება 4

ფუნქციის შემადგენლობის ცნება ეხება ჩადგმული ფუნქციების რაოდენობას პრობლემის პირობების მიხედვით. ამოსახსნელად გამოიყენეთ ფორმულა ფორმის რთული ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

მაგალითები

იპოვეთ რთული ფუნქციის წარმოებული y = (2 x + 1) 2.

გამოსავალი

პირობა აჩვენებს, რომ f არის კვადრატის ფუნქცია და g(x) = 2 x + 1 ითვლება წრფივ ფუნქციად.

გამოვიყენოთ რთული ფუნქციის წარმოებული ფორმულა და დავწეროთ:

ვ" (გ (x)) = ((გ (x)) 2) " = 2 (გ (x)) 2 - 1 = 2 გ (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (გ (x)) გ" (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

აუცილებელია წარმოებულის პოვნა ფუნქციის გამარტივებული ორიგინალური ფორმით. ჩვენ ვიღებთ:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

აქედან გვაქვს ეს

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

შედეგები იგივე იყო.

ამ ტიპის ამოცანების ამოხსნისას მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, სად განთავსდება ფორმის f და g (x) ფუნქცია.

მაგალითი 2

თქვენ უნდა იპოვოთ y = sin 2 x და y = sin x 2 ფორმის რთული ფუნქციების წარმოებულები.

გამოსავალი

პირველი ფუნქციის აღნიშვნა ამბობს, რომ f არის კვადრატის ფუნქცია და g(x) არის სინუს ფუნქცია. მაშინ ჩვენ ამას მივიღებთ

y " = (ცოდვა 2 x) " = 2 ცოდვა 2 - 1 x (ცოდვა x) " = 2 ცოდვა x cos x

მეორე ჩანაწერი აჩვენებს, რომ f არის სინუსური ფუნქცია და g(x) = x 2 აღნიშნავს სიმძლავრის ფუნქციას. აქედან გამომდინარეობს, რომ რთული ფუნქციის ნამრავლს ვწერთ როგორც

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) წარმოებულის ფორმულა დაიწერება როგორც y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · f 1" (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

მაგალითი 3

იპოვეთ y = sin ფუნქციის წარმოებული (ln 3 a r c t g (2 x)).

გამოსავალი

ეს მაგალითი გვიჩვენებს ჩაწერის სირთულეს და ფუნქციების ადგილმდებარეობის განსაზღვრას. მაშინ y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) აღნიშნეთ სადაც f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) არის სინუსური ფუნქცია, ამაღლების ფუნქცია 3 გრადუსამდე, ფუნქცია ლოგარითმით და ფუძით e, არქტანგენტი და წრფივი ფუნქცია.

რთული ფუნქციის განსაზღვრის ფორმულიდან გვაქვს ის

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x)) f 3" (f 4 (x)) f 4" (x)

ჩვენ ვიღებთ იმას, რაც უნდა ვიპოვოთ

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) როგორც სინუსის წარმოებული წარმოებულების ცხრილის მიხედვით, შემდეგ f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) როგორც სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული, შემდეგ f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2" (f 3 (f 4 (x))), როგორც ლოგარითმული წარმოებული, შემდეგ f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a rc t g (2 x) .
4. f 3" (f 4 (x)) როგორც არქტანგენტის წარმოებული, შემდეგ f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. f 4 (x) = 2 x წარმოებულის პოვნისას, ამოიღეთ 2 წარმოებულის ნიშნიდან ფორმულის გამოყენებით დენის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულით 1-ის ტოლი მაჩვენებლით, შემდეგ f 4" (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

ჩვენ ვაკავშირებთ შუალედურ შედეგებს და ვიღებთ ამას

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

ასეთი ფუნქციების ანალიზი მოგვაგონებს მობუდულ თოჯინებს. დიფერენციაციის წესები ყოველთვის არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ცალსახად წარმოებული ცხრილის გამოყენებით. ხშირად საჭიროა რთული ფუნქციების წარმოებულების პოვნის ფორმულა.

არსებობს გარკვეული განსხვავებები რთულ გარეგნობასა და რთულ ფუნქციებს შორის. ამის გარჩევის მკაფიო უნარით, წარმოებულების პოვნა განსაკუთრებით ადვილი იქნება.

მაგალითი 4

აუცილებელია განიხილოს ასეთი მაგალითის მოყვანა. თუ არსებობს y = t g 2 x + 3 t g x + 1 ფორმის ფუნქცია, მაშინ ის შეიძლება ჩაითვალოს ფორმის კომპლექსურ ფუნქციად g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1. . ცხადია, აუცილებელია რთული წარმოებულის ფორმულის გამოყენება:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 გ (x)) " + 1" = = 2 · გ 2 - 1 (x) + 3 გ" (x) + 0 = 2 გ (x) + 3 1 გ 1 - 1 (x) = = 2 გ (x) + 3 = 2 ტ გ x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 ტ გ x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 ფორმის ფუნქცია არ ითვლება კომპლექსურად, რადგან მას აქვს t g x 2, 3 t g x და 1. თუმცა, t g x 2 განიხილება კომპლექსურ ფუნქციად, შემდეგ ვიღებთ g (x) = x 2 და f ფორმის სიმძლავრის ფუნქციას, რომელიც არის ტანგენტის ფუნქცია. ამისათვის განასხვავეთ თანხის მიხედვით. ჩვენ ამას მივიღებთ

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

მოდით გადავიდეთ რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნაზე (t g x 2) ":

f" (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

მივიღებთ, რომ y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

რთული ტიპის ფუნქციები შეიძლება შევიდეს რთულ ფუნქციებში, ხოლო თავად რთული ფუნქციები შეიძლება იყოს რთული ტიპის ფუნქციების კომპონენტები.

მაგალითი 5

მაგალითად, განვიხილოთ y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) ფორმის რთული ფუნქცია.

ეს ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც y = f (g (x)), სადაც f-ის მნიშვნელობა არის მე-3 ბაზის ლოგარითმის ფუნქცია, ხოლო g (x) ითვლება h (x) = ფორმის ორი ფუნქციის ჯამად. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 და k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . ცხადია, y = f (h (x) + k (x)).

განვიხილოთ ფუნქცია h(x). ეს არის თანაფარდობა l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 მ (x) = e x 2 + 3 3

გვაქვს, რომ l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) არის ორი ფუნქციის ჯამი n (x) = x 2 + 7 და p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , სადაც p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) არის რთული ფუნქცია რიცხვითი კოეფიციენტით 3, და p 1 არის კუბის ფუნქცია, p 2 კოსინუსური ფუნქციით, p 3 (x) = 2 x + 1 წრფივი ფუნქციით.

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) არის ორი ფუნქციის ჯამი q (x) = e x 2 და r (x) = 3 3, სადაც q (x) = q 1 (q 2 (x)) არის რთული ფუნქცია, q 1 არის ფუნქცია ექსპონენციალური, q 2 (x) = x 2 არის სიმძლავრის ფუნქცია.

ეს აჩვენებს, რომ h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln ფორმის გამოხატულებაზე გადასვლისას 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), ცხადია, რომ ფუნქცია წარმოდგენილია კომპლექსის s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) რაციონალური მთელი რიცხვით t (x) = x 2 + 1, სადაც s 1 არის კვადრატის ფუნქცია და s 2 (x) = ln x არის ლოგარითმული ბაზა ე.

აქედან გამომდინარეობს, რომ გამოთქმა მიიღებს ფორმას k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

მაშინ ჩვენ ამას მივიღებთ

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

ფუნქციის სტრუქტურებიდან გამომდინარე, გაირკვა, თუ როგორ და რა ფორმულების გამოყენებაა საჭირო გამოხატვის გასამარტივებლად მისი დიფერენცირებისას. ასეთი პრობლემების გასაცნობად და მათი გადაწყვეტის კონცეფციისთვის საჭიროა მივმართოთ ფუნქციის დიფერენცირებას, ანუ მისი წარმოებულის პოვნას.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

თუ გ(x) და ვ(u) – მათი არგუმენტების დიფერენცირებადი ფუნქციები, შესაბამისად, წერტილებში xდა u= გ(x), მაშინ კომპლექსური ფუნქცია ასევე დიფერენცირებადია წერტილში xდა ნაპოვნია ფორმულით

ტიპიური შეცდომა წარმოებული ამოცანების გადაჭრისას არის მარტივი ფუნქციების რთულ ფუნქციებზე დიფერენცირების წესების მექანიკური გადატანა. ვისწავლოთ ამ შეცდომის თავიდან აცილება.

მაგალითი 2.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

არასწორი გამოსავალი:გამოთვალეთ თითოეული ტერმინის ბუნებრივი ლოგარითმი ფრჩხილებში და მოძებნეთ წარმოებულების ჯამი:

სწორი გამოსავალი:კვლავ განვსაზღვრავთ, სად არის "ვაშლი" და სად არის "დაფქული ხორცი". აქ ფრჩხილებში გამოსახულების ბუნებრივი ლოგარითმი არის „ვაშლი“, ანუ ფუნქცია შუალედური არგუმენტზე. u, ხოლო ფრჩხილებში გამოთქმა არის "minced ხორცი", ანუ შუალედური არგუმენტი uდამოუკიდებელი ცვლადის მიხედვით x.

შემდეგ (ფორმულის 14-ის გამოყენებით წარმოებულების ცხრილიდან)

ბევრ რეალურ პრობლემაში, ლოგარითმით გამოხატვა შეიძლება გარკვეულწილად უფრო რთული იყოს, რის გამოც არსებობს გაკვეთილი

მაგალითი 3.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

არასწორი გამოსავალი:

სწორი გამოსავალი.კიდევ ერთხელ განვსაზღვრავთ სად არის "ვაშლი" და სად არის "mincemeat". აქ, ფრჩხილებში გამოსახულების კოსინუსი (ფორმულა 7 წარმოებულების ცხრილში) არის „ვაშლი“, ის მომზადებულია 1 რეჟიმში, რომელიც მოქმედებს მხოლოდ მასზე, ხოლო გამოხატულება ფრჩხილებში (ხარისხის წარმოებული არის ნომერი 3. წარმოებულების ცხრილში) არის "დაფქული ხორცი", იგი მზადდება 2 რეჟიმში, რაც მხოლოდ მასზე მოქმედებს. და როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვაკავშირებთ ორ წარმოებულს პროდუქტის ნიშანს. შედეგი:

რთული ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული ხშირი ამოცანაა ტესტებში, ამიტომ ჩვენ გირჩევთ დაესწროთ გაკვეთილს „ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული“.

პირველი მაგალითები იყო კომპლექსურ ფუნქციებზე, რომლებშიც დამოუკიდებელ ცვლადზე შუალედური არგუმენტი მარტივი ფუნქცია იყო. მაგრამ პრაქტიკულ ამოცანებში ხშირად საჭიროა რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნა, სადაც შუალედური არგუმენტი ან თავისთავად რთული ფუნქციაა, ან შეიცავს ასეთ ფუნქციას. რა უნდა გააკეთოს ასეთ შემთხვევებში? იპოვეთ ასეთი ფუნქციების წარმოებულები ცხრილებისა და დიფერენციაციის წესების გამოყენებით. როდესაც შუალედური არგუმენტის წარმოებული იპოვება, ის უბრალოდ ჩანაცვლებულია ფორმულაში სწორ ადგილას. ქვემოთ მოცემულია ორი მაგალითი იმისა, თუ როგორ კეთდება ეს.

გარდა ამისა, სასარგებლოა იცოდეთ შემდეგი. თუ რთული ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამი ფუნქციის ჯაჭვით

მაშინ მისი წარმოებული უნდა მოიძებნოს, როგორც თითოეული ამ ფუნქციის წარმოებულების ნამრავლი:

ბევრი თქვენი საშინაო დავალება შეიძლება მოითხოვდეს, რომ გახსნათ თქვენი სახელმძღვანელო ახალ ფანჯრებში. მოქმედებები ძალებითა და ფესვებითდა მოქმედებები წილადებთან .

მაგალითი 4.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ წარმოებულების ნამრავლში არის შუალედური არგუმენტი დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში. xარ იცვლება:

ვამზადებთ პროდუქტის მეორე ფაქტორს და ვიყენებთ ჯამის დიფერენცირების წესს:

მეორე ტერმინი არის ფესვი, ასე რომ

ამრიგად, ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ შუალედური არგუმენტი, რომელიც არის ჯამი, შეიცავს კომპლექსურ ფუნქციას, როგორც ერთ-ერთ ტერმინს: ძალამდე ამაღლება რთული ფუნქციაა, ხოლო ის, რაც ძალამდე ამაღლებულია, არის შუალედური არგუმენტი დამოუკიდებელთან მიმართებაში. ცვლადი x.

ამიტომ, ჩვენ კვლავ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესს:

პირველი ფაქტორის ხარისხს ვაქცევთ ფესვად, ხოლო მეორე ფაქტორის დიფერენცირებისას არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ მუდმივის წარმოებული ნულის ტოლია:

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ შუალედური არგუმენტის წარმოებული, რომელიც საჭიროა პრობლემის დებულებაში საჭირო რთული ფუნქციის წარმოებულის გამოსათვლელად. წ:

მაგალითი 5.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

პირველ რიგში, ჯამის დიფერენცირების წესს ვიყენებთ:

მივიღეთ ორი რთული ფუნქციის წარმოებულების ჯამი. მოდი ვიპოვოთ პირველი:

აქ სინუსის სიმძლავრემდე აწევა რთული ფუნქციაა, ხოლო თავად სინუსი არის შუალედური არგუმენტი დამოუკიდებელი ცვლადისთვის. x. ამიტომ, ჩვენ გამოვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს, გზაზე ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება :

ახლა ჩვენ ვიპოვით ფუნქციის წარმოებულების მეორე წევრს წ:

აქ კოსინუსის სიმძლავრემდე აწევა რთული ფუნქციაა ვდა თავად კოსინუსი არის შუალედური არგუმენტი დამოუკიდებელ ცვლადში x. მოდით კვლავ გამოვიყენოთ წესი რთული ფუნქციის დიფერენცირებისთვის:

შედეგი არის საჭირო წარმოებული:

ზოგიერთი რთული ფუნქციის წარმოებულების ცხრილი

რთული ფუნქციებისთვის, რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის საფუძველზე, მარტივი ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა სხვა ფორმას იღებს.

1. რთული სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული, სადაც u x
2. გამოთქმის ფესვის წარმოებული
3. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული
4. ექსპონენციალური ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა
5. ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული თვითნებური დადებითი ფუძით ა
6. რთული ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული, სადაც u– არგუმენტის დიფერენცირებადი ფუნქცია x
7. სინუსის წარმოებული
8. კოსინუსის წარმოებული
9. ტანგენსის წარმოებული
10. კოტანგენტის წარმოებული
11. არქსინის წარმოებული
12. არკოზინის წარმოებული
13. არქტანგენტის წარმოებული
14. რკალის კოტანგენტის წარმოებული

ძალიან ადვილი დასამახსოვრებელია.

მოდი, შორს არ წავიდეთ, დაუყოვნებლივ განვიხილოთ შებრუნებული ფუნქცია. რომელი ფუნქციაა ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული? ლოგარითმი:

ჩვენს შემთხვევაში, ბაზა არის რიცხვი:

ასეთ ლოგარითმს (ანუ ფუძის მქონე ლოგარითმს) ეწოდება "ბუნებრივი" და ჩვენ ვიყენებთ სპეციალურ აღნიშვნას: ამის ნაცვლად ვწერთ.

რის ტოლია? Რა თქმა უნდა, .

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული ასევე ძალიან მარტივია:

მაგალითები:

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
2. რა არის ფუნქციის წარმოებული?

პასუხები: ექსპონენციალური და ბუნებრივი ლოგარითმი წარმოებული პერსპექტივიდან ცალსახად მარტივი ფუნქციებია. ნებისმიერ სხვა ფუძესთან ერთად ექსპონენციალურ და ლოგარითმულ ფუნქციებს ექნებათ განსხვავებული წარმოებული, რომელსაც მოგვიანებით გავაანალიზებთ, მას შემდეგ რაც გავივლით დიფერენციაციის წესებს.

დიფერენცირების წესები

რისი წესები? ისევ ახალი ტერმინი, ისევ?!...

დიფერენციაციაწარმოებულის პოვნის პროცესია.

Სულ ეს არის. კიდევ რა შეიძლება ეწოდოს ამ პროცესს ერთი სიტყვით? არა წარმოებული... მათემატიკოსები დიფერენციალს ფუნქციის იგივე ნამატს უწოდებენ. ეს ტერმინი მომდინარეობს ლათინური დიფერენციიდან - განსხვავება. Აქ.

ყველა ამ წესის გამოყვანისას ჩვენ გამოვიყენებთ ორ ფუნქციას, მაგალითად და. ჩვენ ასევე დაგვჭირდება ფორმულები მათი ზრდისთვის:

სულ 5 წესია.

მუდმივი ამოღებულია წარმოებული ნიშნიდან.

თუ - რაიმე მუდმივი რიცხვი (მუდმივი), მაშინ.

ცხადია, ეს წესიც მუშაობს განსხვავებაზე: .

დავამტკიცოთ. დაე ეს იყოს, ან უფრო მარტივი.

მაგალითები.

იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

1. წერტილში;
2. წერტილში;
3. წერტილში;
4. წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

1. (წარმოებული ყველა წერტილში ერთნაირია, რადგან ის წრფივი ფუნქციაა, გახსოვს?);

პროდუქტის წარმოებული

აქ ყველაფერი მსგავსია: შემოვიტანოთ ახალი ფუნქცია და ვიპოვოთ მისი ზრდა:

წარმოებული:

მაგალითები:

1. იპოვეთ ფუნქციების წარმოებულები და;
2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ახლა თქვენი ცოდნა საკმარისია იმისთვის, რომ გაიგოთ, როგორ იპოვოთ ნებისმიერი ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული და არა მხოლოდ ექსპონენტები (დაგავიწყდათ თუ არა ეს ჯერ?).

ასე რომ, სად არის გარკვეული რიცხვი.

ჩვენ უკვე ვიცით ფუნქციის წარმოებული, ამიტომ ვცადოთ ჩვენი ფუნქცია ახალ ბაზაზე შევიყვანოთ:

ამისათვის გამოვიყენებთ მარტივ წესს: . შემდეგ:

ისე, იმუშავა. ახლა შეეცადეთ იპოვოთ წარმოებული და არ დაგავიწყდეთ, რომ ეს ფუნქცია რთულია.

მოხდა?

აი, შეამოწმეთ საკუთარი თავი:

ფორმულა ძალიან წააგავდა მაჩვენებლის წარმოებულს: როგორც იყო, ის იგივე რჩება, გამოჩნდა მხოლოდ ფაქტორი, რომელიც მხოლოდ რიცხვია, მაგრამ არა ცვლადი.

მაგალითები:
იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

პასუხები:

ეს არის მხოლოდ რიცხვი, რომლის გამოთვლა შეუძლებელია კალკულატორის გარეშე, ანუ მისი უფრო მარტივი ფორმით ჩაწერა შეუძლებელია. ამიტომ პასუხში ამ სახით ვტოვებთ.

გაითვალისწინეთ, რომ აქ არის ორი ფუნქციის კოეფიციენტი, ამიტომ ჩვენ ვიყენებთ დიფერენციაციის შესაბამის წესს:

ამ მაგალითში ორი ფუნქციის პროდუქტია:

ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული

აქაც მსგავსია: თქვენ უკვე იცით ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:

ამიტომ, იპოვონ თვითნებური ლოგარითმი განსხვავებული ფუძით, მაგალითად:

ჩვენ უნდა შევამციროთ ეს ლოგარითმი ფუძემდე. როგორ შევცვალოთ ლოგარითმის საფუძველი? იმედია გახსოვთ ეს ფორმულა:

მხოლოდ ახლა დავწერთ ამის ნაცვლად:

მნიშვნელი უბრალოდ მუდმივია (მუდმივი რიცხვი, ცვლადის გარეშე). წარმოებული მიიღება ძალიან მარტივად:

ექსპონენციური და ლოგარითმული ფუნქციების წარმოებულები თითქმის არასოდეს გვხვდება ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში, მაგრამ მათი ცოდნა ზედმეტი არ იქნება.

რთული ფუნქციის წარმოებული.

რა არის "კომპლექსური ფუნქცია"? არა, ეს არ არის ლოგარითმი და არც არქტანგენტი. ეს ფუნქციები შეიძლება რთული გასაგები იყოს (თუმცა თუ ლოგარითმი გაგიჭირდებათ, წაიკითხეთ თემა „ლოგარითმები“ და კარგად იქნებით), მაგრამ მათემატიკური თვალსაზრისით სიტყვა „კომპლექსი“ არ ნიშნავს „რთულს“.

წარმოიდგინეთ პატარა კონვეიერის ქამარი: ორი ადამიანი ზის და რაღაც ობიექტებს აკეთებს. მაგალითად, პირველი შოკოლადის ფილას ახვევს სახვევში, მეორე კი ლენტით აკრავს. შედეგი არის კომპოზიტური ობიექტი: შოკოლადის ფილა გახვეული და მიბმული ლენტით. შოკოლადის ფილა რომ მიირთვათ, საპირისპირო ნაბიჯები უნდა გააკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით.

შევქმნათ მსგავსი მათემატიკური მილსადენი: ჯერ ვიპოვით რიცხვის კოსინუსს, შემდეგ კი კვადრატში მიღებულ რიცხვს. ასე რომ, ჩვენ გვეძლევა რიცხვი (შოკოლადი), მე ვპოულობ მის კოსინუსს (შეფუთვას) და შემდეგ თქვენ კვადრატში გააკეთეთ ის, რაც მე მივიღე (გაამაგრეთ იგი ლენტით). Რა მოხდა? ფუნქცია. ეს არის რთული ფუნქციის მაგალითი: როდესაც, მისი მნიშვნელობის საპოვნელად, ჩვენ ვასრულებთ პირველ მოქმედებას პირდაპირ ცვლადთან, შემდეგ კი მეორე მოქმედებასთან ერთად, რაც პირველიდან არის მიღებული.

Სხვა სიტყვებით, რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის არგუმენტი სხვა ფუნქციაა: .

ჩვენი მაგალითისთვის,.

ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გავაკეთოთ იგივე ნაბიჯები საპირისპირო თანმიმდევრობით: ჯერ თქვენ კვადრატში გააკეთებთ მას და შემდეგ ვეძებ მიღებული რიცხვის კოსინუსს: . ადვილი მისახვედრია, რომ შედეგი თითქმის ყოველთვის განსხვავებული იქნება. რთული ფუნქციების მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: როდესაც მოქმედებების თანმიმდევრობა იცვლება, ფუნქცია იცვლება.

მეორე მაგალითი: (იგივე). .

ქმედება, რომელსაც ჩვენ ვაკეთებთ ბოლოს, დაერქმევა "გარე" ფუნქცია, და პირველი შესრულებული მოქმედება - შესაბამისად "შინაგანი" ფუნქცია(ეს არაფორმალური სახელებია, მათ მხოლოდ მასალის მარტივი ენით ასახსნელად ვიყენებ).

შეეცადეთ თავად განსაზღვროთ რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა:

პასუხები:შიდა და გარე ფუნქციების გამიჯვნა ძალიან ჰგავს ცვლადების შეცვლას: მაგალითად, ფუნქციაში

1. რა მოქმედებას ვასრულებთ პირველ რიგში? ჯერ გამოვთვალოთ სინუსი და მხოლოდ ამის შემდეგ დავჭრათ იგი. ეს ნიშნავს, რომ ეს არის შიდა ფუნქცია, მაგრამ გარე.
   ხოლო ორიგინალური ფუნქციაა მათი შემადგენლობა: .
2. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
3. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
4. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
5. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.

ჩვენ ვცვლით ცვლადებს და ვიღებთ ფუნქციას.

ახლა ჩვენ ამოვიღებთ ჩვენს შოკოლადის ფილას და ვეძებთ წარმოებულს. პროცედურა ყოველთვის საპირისპიროა: ჯერ ვეძებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, შემდეგ ვამრავლებთ შედეგს შიდა ფუნქციის წარმოებულზე. ორიგინალურ მაგალითთან დაკავშირებით, ასე გამოიყურება:

Სხვა მაგალითი:

ასე რომ, საბოლოოდ ჩამოვაყალიბოთ ოფიციალური წესი:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

როგორც ჩანს მარტივია, არა?

მოდით შევამოწმოთ მაგალითებით:

გადაწყვეტილებები:

1) შიდა: ;

გარე: ;

2) შიდა: ;

(უბრალოდ აქამდე ნუ ცდილობ მის გაჭრას! კოსინუსიდან არაფერი გამოდის, გახსოვს?)

3) შიდა: ;

გარე: ;

მაშინვე ირკვევა, რომ ეს არის სამ დონის რთული ფუნქცია: ბოლოს და ბოლოს, ეს უკვე თავისთავად რთული ფუნქციაა და მისგან ფესვსაც ამოვიღებთ, ანუ ვასრულებთ მესამე მოქმედებას (შოკოლადი ჩავდოთ შესაფუთში. და პორტფელში ლენტით). მაგრამ შეშინების მიზეზი არ არის: ჩვენ კვლავ „გავანაწილებთ“ ამ ფუნქციას იმავე თანმიმდევრობით, როგორც ყოველთვის: ბოლოდან.

ანუ ჯერ განვასხვავებთ ფესვს, შემდეგ კოსინუსს და მხოლოდ ამის შემდეგ გამონათქვამს ფრჩხილებში. და შემდეგ ვამრავლებთ ყველაფერს.

ასეთ შემთხვევებში მოსახერხებელია მოქმედებების დანომრვა. ანუ წარმოვიდგინოთ რა ვიცით. რა თანმიმდევრობით შევასრულებთ მოქმედებებს ამ გამოხატვის მნიშვნელობის გამოსათვლელად? მოდით შევხედოთ მაგალითს:

რაც უფრო გვიან შესრულდება მოქმედება, მით უფრო "გარე" იქნება შესაბამისი ფუნქცია. მოქმედებების თანმიმდევრობა იგივეა, რაც ადრე:

აქ ბუდე ძირითადად 4 დონისაა. მოდით განვსაზღვროთ მოქმედების კურსი.

1. რადიკალური გამოხატულება. .

2. ფესვი. .

3. სინუსი. .

4. მოედანი. .

5. ყველაფრის ერთად შეკრება:

წარმოებული. მოკლედ მთავარის შესახებ

ფუნქციის წარმოებული- ფუნქციის ზრდის შეფარდება არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ნამატის არგუმენტის ზრდასთან:

ძირითადი წარმოებულები:

დიფერენცირების წესები:

მუდმივი ამოღებულია წარმოებული ნიშნიდან:

თანხის წარმოებული:

პროდუქტის წარმოებული:

კოეფიციენტის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

1. ჩვენ განვსაზღვრავთ "შიდა" ფუნქციას და ვპოულობთ მის წარმოებულს.
2. ჩვენ განვსაზღვრავთ "გარე" ფუნქციას და ვპოულობთ მის წარმოებულს.
3. ვამრავლებთ პირველი და მეორე ქულების შედეგებს.

"ძველ" სახელმძღვანელოებში მას "ჯაჭვის" წესსაც უწოდებენ. ასე რომ, თუ y = f (u) და u = φ (x), ანუ

y = f (φ (x))

კომპლექსი – შედგენილი ფუნქცია (ფუნქციების შედგენა) შემდეგ

სად , გაანგარიშების შემდეგ განიხილება ზე u = φ (x).

გაითვალისწინეთ, რომ აქ ჩვენ ავიღეთ "სხვადასხვა" კომპოზიციები ერთი და იგივე ფუნქციებიდან და დიფერენცირების შედეგი, ბუნებრივია, დამოკიდებული იყო "შერევის" თანმიმდევრობაზე.

ჯაჭვის წესი ბუნებრივად ვრცელდება სამი ან მეტი ფუნქციის კომპოზიციებზე. ამ შემთხვევაში, იქნება სამი ან მეტი "რგოლი" "ჯაჭვში", რომელიც ქმნის წარმოებულს. აი ანალოგია გამრავლებასთან: „გვაქვს“ წარმოებულების ცხრილი; "იქ" - გამრავლების ცხრილი; "ჩვენთან" არის ჯაჭვის წესი და "იქ" არის "სვეტის" გამრავლების წესი. ასეთი "რთული" წარმოებულების გამოთვლისას, რა თქმა უნდა, არ არის შემოტანილი დამხმარე არგუმენტები (u¸v და ა. მითითებული თანმიმდევრობით.

. აქ „x“-ით „y“-ს მნიშვნელობის მისაღებად ხუთი ოპერაცია შესრულებულია, ანუ არის ხუთი ფუნქციის შემადგენლობა: „გარე“ (მათგან უკანასკნელი) - ექსპონენციალური - e  ; შემდეგ საპირისპირო მიზნით, ძალა. (♦) 2; ტრიგონომეტრიული ცოდვა(); დამამშვიდებელი. () 3 და ბოლოს ლოგარითმული ln.(). Ამიტომაც

შემდეგი მაგალითებით ჩვენ „მოვკლავთ რამდენიმე ჩიტს ერთი ქვით“: ვივარჯიშებთ რთული ფუნქციების დიფერენცირებაში და დავამატებთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულთა ცხრილში. Ისე:

4. სიმძლავრის ფუნქციისთვის - y = x α - მისი გადაწერა ცნობილი "ძირითადი ლოგარითმული იდენტობის" გამოყენებით - b=e ln b - x α = x α ln x სახით ვიღებთ

5. თვითნებური ექსპონენციალური ფუნქციისთვის, იგივე ტექნიკის გამოყენებით გვექნება

6. თვითნებური ლოგარითმული ფუნქციისთვის, ახალ ბაზაზე გადასვლის კარგად ცნობილი ფორმულის გამოყენებით, თანმიმდევრულად ვიღებთ

.

7. ტანგენტის (კოტანგენტის) დიფერენცირებისთვის ვიყენებთ კოეფიციენტების დიფერენცირების წესს:

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების მისაღებად ვიყენებთ მიმართებას, რომელიც აკმაყოფილებს ორი ურთიერთშებრუნებული ფუნქციის წარმოებულებს, ანუ ფუნქციებს φ (x) და f (x) მიმართებით:

ეს არის თანაფარდობა

ეს არის ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების ამ ფორმულიდან

და
,

და ბოლოს, მოდით შევაჯამოთ ეს და რამდენიმე სხვა წარმოებული, რომლებიც ასევე ადვილად მიიღება შემდეგ ცხრილში.