ბრუნვის მატრიცების წარმოდგენა ეილერის კუთხეებით. კოორდინატთა ღერძების შერჩევა

შესავალი

საბოლოოდ მივედით საკმაოდ საინტერესო თემა- პარამეტრების შერჩევა, რომლებიც ცალსახად განსაზღვრავს მყარი სხეულის ორიენტაციას სივრცეში. ისტორიულად, ყველაზე პოპულარულია ბრუნვის კუთხეები - ისინი, პირველ რიგში, ნახსენებია თეორიული მექანიკის კლასიკურ სახელმძღვანელოებში.

ნახ.1. ეილერის კუთხეები ყველასთვის ნაცნობი პარამეტრია, ვინც მუშაობდა კომპიუტერულ გრაფიკაში და სხეულების სივრცითი მოძრაობის მოდელირებაზე. და ყველამ, ვინც მათ იცნობს, იცის, რამდენად პრობლემური შეიძლება იყოს მათი გამოყენება.

როგორც წესი, ბრუნვის კუთხეები გამოიყენება ერთად დეკარტის სისტემაკოორდინატები, ნათქვამია, რომ ასოცირებული კოორდინატთა სისტემა შეიძლება გაერთიანდეს ფუძესთან ერთი სამი თანმიმდევრული ბრუნვით მისი ღერძების გარშემო. ამ შემთხვევაში ყოველი შემდგომი ბრუნვა ხორციელდება წინა ბრუნვის შემდეგ მიღებული ღერძის გარშემო. გარდა ამისა, შემდეგი როტაცია არ უნდა მოხდეს იმ ღერძის გარშემო, რომლის გარშემოც გაკეთდა წინა როტაცია. ამასთან დაკავშირებით, არსებობს ბრუნვის კუთხეების 12 განსხვავებული კომბინაცია, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია ეილერის კუთხეები (სურათი 1). საბაზისო კოორდინატთა სისტემა ბრუნავს კუთხით Z ღერძის გარშემო (პრეცესიის კუთხე), შემდეგ X ღერძის გარშემო კუთხით (ნუტაციის კუთხე) და ისევ Z ღერძის გარშემო კუთხით (კუთხე). საკუთარი როტაცია) სანამ ის არ გასწორდება ასოცირებულ კოორდინატულ სისტემასთან.

ეილერის კუთხეების გამოყენება ყველასთვის კარგია - მათი რიცხვი ემთხვევა ხისტი სხეულის თავისუფლების ბრუნვის ხარისხების რაოდენობას, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ წარმოქმნიან ზედმეტი შეზღუდვის განტოლებებს. მაგრამ რთული ფორმულების გამოყენების გარეშეც, სურათი 1-დან შეგიძლიათ გამოიცნოთ სად არის პრობლემა.

არსებობს ნუტაციური კუთხის ორი მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ხდება ეილერის კინემატიკური განტოლებების გადაგვარება (სურათი 2) - და . დავუშვათ, რომ ნუტაციის კუთხემ მიიღო ერთ-ერთი ასეთი მნიშვნელობა - მაშინ პრეცესიის კუთხე და სწორი ბრუნვის კუთხე აღწერს ბრუნვას იმავე Z ღერძის გარშემო და ძირეულად არ განსხვავდება ერთმანეთისგან. ეილერის კინემატიკური განტოლებების გამოყენებისას მნიშვნელში ვიღებთ ნულს, ხოლო ფაზის კოორდინატებში NaN-ს. ჩამოვიდა, ინტეგრაციის პროცედურა ჩაიშალა.

ბრუნვის კუთხეების კიდევ ერთი ვარიანტია თვითმფრინავის კუთხეები: - იავი, - მოედანი და - როლი (სურათი 3).

როტაციის ეს პარამეტრები დეგენერაციას განიცდის, როდესაც აწევა, ხოლო roll და yaw ხდება გაურკვეველი. სიმულატორის სექციურმა მძღოლებმა იციან, რამდენად გიჟდება გადაცემათა კოლოფი ციცაბო მოედანთან მიახლოებისას.

ყველა შესაძლო კომბინაციებიბრუნვის კუთხეები დეგენერირებულია. დამოკიდებულების კონტროლის სისტემების მოდელირებისა და ალგორითმებში ჩასართავად მათი გამოყენების ფარგლები შეზღუდულია კრიტიკული ღირებულებებიპარამეტრები. წინა სტატიაში ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ სასრული ბრუნვის პარამეტრები ასევე არ არის შესაფერისი და ბრუნვის ტენსორის კომპონენტების პირდაპირ გამოყენებას აფერხებს მათ შორის ზედმეტად ღრმა დამოკიდებულებები, რაც იწვევს მაღალი შეკვეთამოძრაობის განტოლებათა სისტემები.

თუმცა დიდმა ლეონარდ ეილერმა მხედველობაში შემოიღო ოთხი პარამეტრი, რომლებსაც არ აქვთ გადაგვარება. ამ საკითხზე მისი გამოქვეყნების საპასუხოდ, მაშინ სამეცნიერო სამყარო განსაკუთრებული ყურადღებაყურადღება არ მიუქცევია. ეს იდეაეილერისგან დამოუკიდებლად შეიმუშავა ოლიდ როდრიგემ და მიიღო საბოლოო ფორმა უილიამ ჰამილტონის ნაშრომებში. თეორიული საფუძველი. შეხვედრა -

1. კვატერნიონები და მოქმედებები მათზე

კვატერნიონი არის ფორმის რიცხვი

სადაც ეწოდება კვატერნიონის კომპონენტები. თავად რიცხვები (1) ქმნიან ერთობლიობას ჰიპერკომპლექსური რიცხვები, რომელიც მოიცავს ყველაფერს რეალური რიცხვებიდა რთული რიცხვების სიმრავლე. იმ ეპოქის მათემატიკოსებმა, როდესაც ჰამილტონი მუშაობდა, უკვე იცოდნენ კომპლექსური რიცხვების შესახებ და მათ საფუძველზე აგებული მეთოდები საშუალებას იძლევა გადაჭრას პლანიმეტრიის ამოცანები, და იყო ბუნებრივი სურვილი კომპლექსური რიცხვის კონცეფციის გაფართოების მიზნით, მსგავსი მეთოდების გამოყენება სივრცითი პრობლემებისთვის. პრობლემა იმაში მდგომარეობდა, რომ მეორე წარმოსახვითი ერთეულის დამატებამ პრობლემა არ გადაჭრა. ჰამილტონს გაუჩნდა იდეა, რომ ასეთი გაფართოებული რთული რიცხვები შეიძლება იყოს არა სამკომპონენტიანი, არამედ ოთხკომპონენტიანი. ამ მიმართულებით მუშაობისას, ერთ-ერთ გასეირნებაზე შთაგონების აურზაურით, მან გამოიტანა ასეთი რიცხვების გამრავლების წესი, რომელიც საბოლოოდ აერთიანებს ახალშობილთა თეორიის მოზაიკას.

ასე რომ, კვატერნიონების გამრავლება მოდის ალგებრული ოპერაციაჯამების გამრავლება, ერთადერთი განსხვავებით, რომ საჭიროა წარმოსახვითი ერთეულების გამრავლების წესების დადგენა. ტრადიციულად, თითოეული წარმოსახვითი ერთეული კვადრატში იძლევა -1

და მათი წყვილი პროდუქტები კარგად არის აღწერილი დიაგრამაში

რომლის მნიშვნელობა მარტივია - თუ თქვენ გაამრავლებთ წარმოსახვითი ერთეულების წყვილებს ისრით მითითებული თანმიმდევრობით, მიიღებთ მესამე წარმოსახვით ერთეულს "+" ნიშნით. თუ გამრავლების თანმიმდევრობა შებრუნებულია, თქვენ მიიღებთ მესამე წარმოსახვით ერთეულს "-" ნიშნით. არ ჰგავს ერთეულ ვექტორთა ვექტორული გამრავლების წესს დეკარტის კოორდინატები? ეს არის ის, ანუ ვიღებთ

ამ წესების გამოყენებით ვამრავლებთ ორ მეოთხედს

ვაა! სუსტად არა, მაგრამ თამამად წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს

და, ალბათ, აქ ნახავთ მტკივნეულად ნაცნობ მოქმედებებს ვექტორებზე. მოდით მივცეთ ვექტორები

მაშინ თითოეული კვატერნიონი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სკალარ-ვექტორული წყვილის სახით

და მათი გამრავლების შედეგი

არ არის რთული ამ ფორმულის უბრალოდ შედარება იმ გამრავლების შედეგთან, რომელიც ჩვენ შევასრულეთ დათვლის დროს წარმოსახვითი ერთეულებიდეკარტის საფუძვლის ორტები. ამრიგად, კვატერნიონები მოიცავს სამგანზომილებიანი სივრცის ვექტორებს და, მაგალითად, ფორმის კვატერნიონებს და იქნება სკალარები და მათი ნამრავლი უდრის სკალარული სიდიდეების ნამრავლს.

და ფორმის კვატერნიონებს ვექტორულ კვატერნიონებს და მათ ნამრავლს უწოდებენ

იძლევა სკალარს, მინუს ნიშნით და ვექტორული პროდუქტიმათი შემადგენელი ვექტორები.

ნამრავლის შედეგად ვექტორული გამრავლების არსებობის გამო, კვატერნიონის გამრავლების ოპერაცია არ არის კომუტაციური.

აბა, საჭიროა თუ არა იმის თქმა, რომ თითოეული კვატერნიონის ბოლო ორი კოეფიციენტის ნულობით მივიღებთ რთული რიცხვების ნამრავლს? მე ვფიქრობ, რომ არ ღირს, რადგან ჩვენ არ ვართ ჩაძირული კომპლექსურ რეგიონში და თუ ვსაუბრობთ კომპლექსურ რიცხვებზე, მაშინ სად არის საჭირო.

ასევე არ ვიტყვი, რომ კვატერნიონების შეკრება და რიცხვზე მათი გამრავლება რთული დომენის შესაბამისი მოქმედებების მსგავსია. მაგრამ რაზეც უნდა ვისაუბროთ არის კვატერნიონის უღლება

ნორმის გამოთვლის დაკავშირებული ოპერაციის შესახებ

და შებრუნებული მეოთხედის გამოთვლის ოპერაციები

და კიდევ ერთი რამ სასარგებლო თვისებაკვატერნიონების ნამრავლის შეერთებასთან დაკავშირებით

გარდა ამისა, შებრუნებული კვატერნიონის ნორმა არის ორიგინალის ნორმის ორმხრივი

ეს ოპერაციები პირდაპირ კავშირშია იმასთან, რისთვისაც დღეს გამოიყენება ჰიპერკომპლექსური რიცხვები

2. კვატერნიონი, როგორც წრფივი ბრუნვის ოპერატორი

ახლა მოდით შევხედოთ ამ ხრიკს. იყოს ერთი კვატერნიონი და იყოს მეორე მეოთხედი. დავამტკიცოთ პატარა თეორემა

სახეობრივი ტრანსფორმაცია არ ცვლის კვატერნიონის ნორმას.

ეს განცხადება დამოწმებულია პირდაპირი გაანგარიშებით

მართლაც, კვატერნიონის ნორმა არ იცვლება ასეთი ტრანსფორმაციის დროს. ხოლო თუ კვატერნიონი ვექტორული კვატერნიონია, მაშინ ვექტორის ნორმა, რომლითაც იგი განისაზღვრება, არ შეიცვლება. ანუ ვექტორზე აღწერილი ტრანსფორმაცია არ ცვლის მის სიგრძეს, ეს იქნება ორთოგონალური, ანუ ბრუნვის გარდაქმნა! რჩება მხოლოდ იმის გარკვევა, თუ რომელი ღერძის ირგვლივ და რა კუთხით ხდება ბრუნვა, რომელიც განსაზღვრულია კონკრეტული კვატერნიონით. ამისთვის ავიღოთ (ბოლოს და ბოლოს, არავინ გვიშლის ხელს ამაში) და წარმოვიდგინოთ კვატერნიონი სახით

რაოდენობას ფრჩხილებში ეწოდება ვენსორი(არ აგვერიოს ტენზორში!) კვატერნიონი. ვივარჯიშოთ მის ვექტორულ ნაწილზე

არავინ გვიშლის ხელს ექვივალენტური გარდაქმნებიასე რომ, ჩვენ მათ ვაკეთებთ. ახლა წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას

რის საფუძველზე? დიახ, რადგან ამ სიდიდეების კვადრატების ჯამი ყოველთვის ერთს მისცემს და თუ ეს ასეა, მაშინ არავინ აწუხებს ამ სიდიდეების წარმოდგენას გარკვეული კუთხის სინუსად და კოსინუსად. რატომ ვყოფთ კუთხეს ორზე? ძალიან გვინდა, მერე გამოგვადგება, რადგან შეიძლება თვითნებური კუთხით ავიღოთ. შემოღებული ჩანაცვლების საფუძველზე შეგვიძლია კვატერნიონი ფორმაში გადავიწეროთ

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ მიერ შემოღებული ვექტორი არის ერთეული, ვინაიდან

ამის დასასრულებლად, მოდით საკუთარ თავს კიდევ ერთი ვარაუდი დავუშვათ - კვატერნიონი იყოს ერთეული, ე.ი

ახლა მოდით გავაკეთოთ ეს ფრთხილად ორთოგონალური ტრანსფორმაციავექტორული კვატერნიონი

ახლა გავამრავლოთ შედეგი (2) შებრუნებულ კვატერნიონზე

ეილერის კუთხეები აღწერს ობიექტის ბრუნვას სამგანზომილებიან ევკლიდეს სივრცეში. ამ შემთხვევაში განიხილება ორი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რომელსაც აქვს საერთო ცენტრი: ფიქსირებული სისტემა და მობილური, რომელიც დაკავშირებულია ობიექტთან. ნახ. 1-ში ფიქსირებული კოორდინატთა სისტემა დანიშნულია XYZ (ის დახრილია), ხოლო მოძრავი სისტემა დანიშნულია xyz. ეილერის კუთხეები არის კუთხეები, რომლების მეშვეობითაც ობიექტთან დაკავშირებული მოძრავი კოორდინატთა სისტემა ბრუნავს მანამ, სანამ ის არ გასწორდება ფიქსირებულ ჩარჩოსთან. კლასიკურ ვერსიაში, პირველი ბრუნი ხდება α კუთხით z ღერძის გარშემო, რომელიც დაკავშირებულია ობიექტთან, სანამ ობიექტთან დაკავშირებული x ღერძი არ დაემთხვევა ფიქსირებული სისტემის XY სიბრტყეს. ასეთი დამთხვევა მოხდება XY და xy სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის გასწვრივ (ხაზი N სურ. 1-ზე). შემდეგი როტაცია ხორციელდება β კუთხით ობიექტთან დაკავშირებული x ღერძის ახალი პოზიციის გარშემო, სანამ ორივეს შესაბამისი ღერძი არ გასწორდება. მართკუთხა სისტემები. ამ შემთხვევაში ობიექტთან დაკავშირებული y ღერძი იქნება ფიქსირებული XYZ კოორდინატთა სისტემის xy სიბრტყეში. ბოლო ბრუნვა ხდება γ კუთხით მოძრავი კოორდინატთა სისტემის აპლიკაციური ღერძის ახალი პოზიციის გარშემო (ის დაემთხვევა ფიქსირებული სისტემის იმავე ღერძს), რის შემდეგაც XY და xy კოორდინატთა ღერძები გასწორდება.

ბრინჯი. 1. ეილერის კუთხეები

ასეთი ბრუნვები არაკომუტაციურია და მოძრავი კოორდინატთა სისტემის საბოლოო პოზიცია დამოკიდებულია ბრუნვების შესრულების თანმიმდევრობაზე.

თუ ცნობილია ვექტორის R(r x, r y, r z) კოორდინატები მოძრავი კოორდინატულ სისტემაში XYZ და ცნობილია მოძრავი კოორდინატთა სისტემის xyz ეილერის კუთხეები (α, β, γ) ფიქსირებულთან მიმართებაში, მაშინ კოორდინატები. ამ ვექტორის გამოთვლა შესაძლებელია ფიქსირებულ კოორდინატულ სისტემაში xyz. ამისათვის ააგეთ სამი თანმიმდევრული ბრუნვის მატრიცები α, β და γ კუთხით:

ამ მატრიცების საპირისპირო თანმიმდევრობით გამრავლებით, მივიღებთ საბოლოო ორთოგონალურ მატრიცას:

თ= T 3×T 2×T 1,

რომელიც გარდაქმნის მოძრავი კოორდინატთა სისტემის ვექტორის R(r x, r y, r z) კოორდინატებს ფიქსირებულ კოორდინატთა სისტემაში იმავე სიგრძის N(n x, n y, n z) ვექტორის კოორდინატებად:

N=T×რ,

სადაც N და R არის შესაბამისი კოორდინატების სვეტის მატრიცები.

ეილერის კუთხეები ყველაზე ბუნებრივი და გასაგებია ობიექტების ბრუნვის სხვადასხვა ოპერაციების შესრულებისას, რადგან ისინი შეესაბამება ობიექტების ბრუნვას, რომელიც დაფიქსირდა 3D ხედებში. გრაფიკული სისტემები. თუმცა მათი გამოყენება კომპიუტერულ ანიმაციურ სისტემებში არაერთ სირთულეს აწყდება. უპირველეს ყოვლისა, ეს არის კოორდინატთა სისტემის ღერძების მიმართ ობიექტის ბრუნვის გარკვეული თანმიმდევრობის არჩევის აუცილებლობა. თუ თქვენ ატრიალებთ ობიექტს ჯერ X ღერძის გარშემო, შემდეგ Y ღერძის ირგვლივ და ბოლოს Z ღერძის გარშემო, ეს არ იქნება ისეთივე ბრუნვა, როგორც ეს ობიექტი იმავე კუთხით, მაგრამ განსხვავებული თანმიმდევრობით.

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი - კუბის ანიმაციის შექმნა, როდესაც ის მსოფლიო კოორდინატთა სისტემის Z ღერძის გარშემო ბრუნავს 360°-ზე მეტი კუთხით, მაგალითად, 450° კუთხით. შევეცადოთ შევქმნათ ორი საკვანძო ჩარჩო, რომელთა შორისაც კუბი უნდა ბრუნავდეს ამ კუთხით. ამისათვის შექმენით სტანდარტული პარალელეპიპედი MaxScript-ში:

ბ = ყუთი()

ამის შემდეგ გადაიტანეთ ანიმაციის დროის ხაზის სლაიდერი ჩარჩო 10-ში, ჩართეთ ავტომატური გასაღების რეჟიმი და შემდეგ გაუშვით ბრძანება:

ბ.როტაცია.z_როტაცია = 450

ითამაშეთ ანიმაცია. ობიექტი მხოლოდ 90°-ით ბრუნავს, რადგან მისი 360° ბრუნი იგნორირებული იქნება. ახლა იგივე გააკეთე 3ds Max პროგრამის ფანჯარაში. ობიექტი ანიმირებს ორ საკვანძო კადრს შორის 450° კუთხით. ამრიგად, ევლერის ბრუნვის გამოყენება MaxScript-ის მსგავს კომპიუტერულ გრაფიკულ პროგრამებში შემოიფარგლება 360°-ზე მეტი კუთხით ერთდროული ბრუნვით. თუმცა, ეს ხელს არ შეგიშლით ხელით შექმნათ ანიმაციები ეკრანის უკან.

ეილერის კუთხეების კიდევ ერთი პრობლემა არის გიმბალის საკეტის არსებობა. მისი გარეგნობა დამოკიდებულია ობიექტის ბრუნვის რიგის არჩევანზე. მაგალითად, ჯერ მოვატრიალოთ ობიექტი Z ღერძის გარშემო 140° კუთხით, შემდეგ X ღერძის გარშემო 90° კუთხით და შემდეგ 130° კუთხით Y ღერძის გარშემო (ნახ. 2).

თუ ახლა გავიმეორებთ ბრუნთა იგივე თანმიმდევრობას, მაგალითად, 10° კუთხით Z ღერძის გარშემო, შემდეგ 90° X ღერძის გარშემო და შემდეგ 0° Y ღერძის გარშემო, იგივე შედეგს მივიღებთ. პრობლემა ის არის, რომ როდესაც X ღერძის გარშემო ბრუნი ხდება 90° ან -90°, ადგილობრივი ბრუნვის ღერძი Y ხდება Z ღერძის პარალელურად, მაგრამ საპირისპირო მიმართულებითდა, შესაბამისად, მის გარშემო ბრუნვა ეწინააღმდეგება წინა ბრუნვას Z ღერძის გარშემო.

ანჯის საკეტი არ არის მატრიცებისთვის და კვატერნიონებისთვის. კვატერნიონები იძლევა მოსახერხებელ მათემატიკურ აღნიშვნას სივრცეში ობიექტების პოზიციისა და ბრუნვისთვის. ეილერის კუთხეებთან შედარებით, კვატერნიონი აადვილებს ბრუნვის გაერთიანებას და ასევე თავიდან აიცილებს ღერძის გარშემო ბრუნვის შეუძლებლობის პრობლემას, მიუხედავად სხვა ღერძებზე შესრულებული ბრუნისა. მატრიცებთან შედარებით, მათ აქვთ მეტი გამოთვლითი სტაბილურობა და შეიძლება იყოს უფრო ეფექტური. კვატერნიონები გამოიყენება ბრუნვის შესასრულებლად კომპიუტერულ გრაფიკაში, რობოტიკაში, თამაშის ძრავებში, ნავიგაციაში, მოლეკულურ დინამიკაში და ყველგან, სადაც პრობლემები წარმოიქმნება ეილერის კუთხეებთან ან მატრიცებთან.

ლიტერატურა

1. ეილერის კუთხეები და გიმბალის საკეტი [ ელექტრონული რესურსი] / http://habrahabr.ru – Habrahabr, 2006. – წვდომის რეჟიმი: http://habrahabr.ru/post/183116/. – დაშვების თარიღი: 10/10/2013.
2. კვატერნიონები და სივრცის ბრუნვა [ელექტრონული რესურსი] / http://ru.wikipedia.org/ - ვიკიპედია - თავისუფალი ენციკლოპედია, 2001 წ. - წვდომის რეჟიმი: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Quaternions_and_rotation_of_space. – დაშვების თარიღი: 10/11/2013.

ეილერ-კრილოვის კუთხეები

ეილერ-კრილოვის სამი კუთხე და, საათის ისრის საწინააღმდეგოდ დათვლილი, საშუალებას გაძლევთ ცალსახად დააყენოთ ხისტი სხეულის კუთხოვანი პოზიცია სივრცეში. ფიგურაში ნაჩვენებია კრილოვის კუთხის ერთ-ერთი სახეობა - ეგრეთ წოდებული თვითმფრინავის კუთხეები, რომლებიც გამოიყენება ავიაციაში.

ეილერ-კრილოვის კუთხეები

ფიქსირებული საცნობარო ჩარჩო, რომელშიც განიხილება ხისტი სხეულის (თვითმფრინავის) კუთხური პოზიცია, იქმნება ვექტორების მარჯვენა სამეულით. ღერძი მიმართულია ლოკალური ვერტიკალის გასწვრივ დედამიწის ცენტრიდან, ღერძი მდებარეობს ჰორიზონტის სიბრტყეში და მიმართულია გეოგრაფიული ჩრდილოეთისაკენ (N, ჩრდილოეთი), ხოლო ღერძი ავსებს კოორდინატთა სისტემას მარჯვნივ. მოძრავი კოორდინატთა სისტემა მყარად არის დაკავშირებული მოძრავ ობიექტთან - მაგალითად, თვითმფრინავთან. მისი ღერძი მიმართულია თვითმფრინავის კონსტრუქციის (გრძივი) ღერძის გასწვრივ, ღერძი მიმართულია ნორმალური ღერძის გასწვრივ ზენიტის მიმართულებით, ხოლო ღერძი მიმართულია განივი ღერძის გასწვრივ თვითმფრინავის მარჯვენა მხარის მიმართულებით. თვითმფრინავის კუთხური პოზიცია (ორიენტაცია) კოორდინატთა სისტემაში მითითებულია სათაურით (), მოედანზე () და რულონით (). თვითმფრინავის კუთხეების წინ მინუს ნიშნის არსებობა განპირობებულია იმით, რომ მათი დადებითი მნიშვნელობები, კლასიკური ეილერ-კრილოვის კუთხეებისგან განსხვავებით, დათვლილია საათის ისრის მიმართულებით. თვითმფრინავის საბოლოო პოზიცია განისაზღვრება შემობრუნების თანმიმდევრობით

გამოფენა MEMS ამაჩქარებლის სიგნალებზე

საწყისი კუთხოვანი კოორდინატების განსაზღვრის პროცედურას ეწოდება გასწორება. ტრიაქსიალური MEMS ამაჩქარებლის რეგულირებისთვის, რომელიც წარმოქმნის აჩქარებას და ასოცირებული OXYZ მოძრავი კოორდინატთა სისტემის X, Y და Z ღერძების გასწვრივ, შესაბამისი კუთხის მნიშვნელობები შეიძლება მოიძებნოს აჩქარების ვექტორის პროგნოზებიდან. თავისუფალი დაცემა g=9,81 m/s2 თითოეულ ღერძზე, ბრუნვის მატრიცების მათემატიკური აპარატის გამოყენებით (3.1)

წარმოადგენს მნიშვნელობებს ტრიაქსიალური აქსელერომეტრის შესაბამისი გამოსავლებიდან.

მოდით გამოვხატოთ (3.2) გრავიტაციული აჩქარების ვექტორიდან მარცხნივ ტოლობის ორივე მხარის მატრიცზე გამრავლებით:

სისტემის პირველი ორი განტოლებიდან (3.4) ვიღებთ

MEMS ამაჩქარებლის კალიბრაცია

ობიექტის კუთხოვანი კოორდინატების დადგენის შეცდომა სამღერძო MEMS ამაჩქარებლების სიგნალებიდან დიდწილად დამოკიდებულია კალიბრაციის დროს გამოთვლილი კორექტირების კოეფიციენტების განსაზღვრის სიზუსტეზე.

შეცდომები ტრიაქსიალური ამაჩქარებლის (TOA) წაკითხვაში ხდება სამი ფაქტორის გამო:

მუდმივი კომპენსაციის არსებობა;

სიგნალის „გაჟონვა“ ერთი არხიდან მეორეზე, გამოწვეული ვექტორების ტრიპლეტების არაკოლინარობით, რომლებიც ქმნიან ორ კოორდინატულ სისტემას: დაკავშირებულია კალიბრაციის მბრუნავ პლატფორმასთან OXYZ და ასოცირებული TOA-სთან (3.4);

საკუთარი ციმციმის ხმაური.

ღერძების არათანმიმდევრულობა კოორდინატთა სისტემებიობიექტისა და ამაჩქარებლის კოორდინატთა სისტემები

აქედან გამომდინარეობს, რომ მათემატიკური მოდელისამღერძო MEMS ამაჩქარებლის სიგნალი ასე გამოიყურება:

სად არის აქსელერომეტრის ჩვენებების ვექტორი, არის მასშტაბის ფაქტორების დიაგონალური მატრიცა, არის კორექტირების მატრიცა, არის გრავიტაციული აჩქარების ვექტორის პროექცია ამაჩქარებელთან დაკავშირებული კოორდინატთა სისტემის ვექტორების მარჯვენა სამეულის ღერძზე, არის ვექტორი. მუდმივი გადაადგილების, არის TOA-ს საკუთარი ხმაურის ვექტორი.

ხმაურის გათვალისწინების გარეშე, განტოლებათა სისტემა (3.6), მატრიცებისა და ვექტორების გამრავლების ოპერაციების შესრულების შემდეგ, შეიძლება დაიწეროს სახით:

(3.7)-დან გამომდინარეობს, რომ ერთ-ერთი ღერძისთვის კალიბრაციის პარამეტრების საპოვნელად საჭიროა რამდენიმე გაზომვა ამ ღერძის უცნობი პარამეტრების რაოდენობის ტოლი: Z ღერძისთვის - 2, Y ღერძისთვის - 3, X ღერძი - 4.

სამღერძო MEMS ამაჩქარებლის კალიბრაცია გულისხმობს სენსორის დაყენებას აპრიორი ცნობილ პოზიციებზე და მისი გამომავალი სიგნალების განტოლებათა ზედმეტად განსაზღვრული სისტემის ამოხსნას. ამ პროცედურის შესრულებისას, ჩვეულებრივ, ამაჩქარებლის დაყენება 12 ფიქსირებულ პოზიციაზეა

12 MEMS ამაჩქარებლის კალიბრაციის პოზიცია

ნაჩვენებია, რომ შეფასების შეცდომის შესამცირებლად, კომბინაციების რაოდენობაზე ნაპოვნი კალიბრაციის კოეფიციენტები უნდა იყოს საშუალოდ. თუმცა, კალიბრაციის დროის შემცირების მიზნით, შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ ექვსი ე.წ. ორთოგონალური პოზიცია: 2), 4), 6), 7), 8) და 11); ამ შემთხვევაში, კომბინაციების რაოდენობის შემცირება იწვევს მასშტაბის k ფაქტორების მატრიცის ელემენტების და გადაადგილების ვექტორის b ელემენტების გაზომვის შეცდომის გაზრდას არაუმეტეს 0,21% და 0,02% შესაბამისად. უნდა აღინიშნოს, რომ შეცდომა T კორექტირების მატრიცის ელემენტების გაზომვისას შეიძლება გაიზარდოს ასობით პროცენტამდე, მაგრამ ვინაიდან არადიაგონალური ელემენტები T ჩვეულებრივ არ აღემატება, მცირე გორგოლაჭების და დახრის კუთხით (არაუმეტეს 30°), ამ კუთხეების გაზომვის შეცდომა იზრდება არაუმეტეს 0,5°-ით.

ბრუნვის მოძრაობამყარი ფიქსირებული წერტილის გარშემოეწოდება ისეთ მოძრაობას, რომლის დროსაც ხისტი სხეულის ერთი წერტილი ან მასთან უცვლელად ასოცირებული რჩება უმოძრაოდ არჩეული საცნობარო სისტემის მიმართ. მას ასევე უწოდებენ სფერული მოძრაობა, ვინაიდან სხეულის ნებისმიერი წერტილის ტრაექტორია დევს სფეროს ზედაპირზე, რომლის ცენტრი ფიქსირებულ წერტილშია. ასეთი მოძრაობის მაგალითია ზედა, რომლის საყრდენი წერტილი უმოძრაოდ რჩება.

სივრცეში თავისუფლად მოძრავი ხისტი სხეულის თავისუფლების ხარისხი არის ექვსი. თუ სხეულის მოძრაობის დროს მისი ერთი წერტილი რჩება უმოძრაოდ, მაშინ ასეთი სხეულის თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა ამ უმოძრაო წერტილის გარშემო ბრუნვისას უდრის სამს, ხოლო მისი პოზიციის შესაფასებლად აუცილებელია სამი დამოუკიდებელი დაყენება. პარამეტრები. ეს შეიძლება გაკეთდეს სხვადასხვა გზით. მაგალითად, ა.ნ. კრილოვმა ასეთ პარამეტრებად შემოგვთავაზა ეგრეთ წოდებული გემის კუთხეები, რომლებიც განსაზღვრავენ ხისტი სხეულის (გემის) პოზიციას მისი წარმოშობით დაკავშირებულ კოორდინატულ სისტემასთან შედარებით სიმძიმის ცენტრთან (ნახ. 3.1).

ფიქსირებული კოორდინატთა სისტემის ღერძები აღებულია CXYZ,და გემთან მკაცრად დაკავშირებული ღერძების უკან - Cxyz(ნახ. 3.1). ღერძი CXმიმართულია ღერძიდან გემის მშვილდისკენ, ღერძი CZ- მის მარჯვენა მხარეს და ღერძს C.Y.მათთან ქმნის მარჯვენა კოორდინატთა სისტემას (ვერტიკალურად ზემოთ). მოძრავი კოორდინატთა სისტემის მდებარეობა Cxyz, უცვლელად დაკავშირებული გემთან, შედარებით უმოძრაო CXYZდროის თითოეული მომენტისთვის განისაზღვრება სამი კრილოვის კუთხით: მორთვა კუთხე ,რულონის კუთხე ,დახრის კუთხე (ნახ. 3.2).

როგორც ჩანს ნახ. 3.2, თვითმფრინავი CXYკვეთს თვითმფრინავს Cxyრაღაც სწორი ხაზის გასწვრივ , ღერძთან კუთხის ფორმირება CXდა კუთხე ღერძით Cx. თვითმფრინავი CYZკვეთს თვითმფრინავს Cxyპოლიხაზები Cy 1 ღერძთან კუთხის ფორმირება Cy. განვიხილოთ სისტემიდან გადასვლა CXYZსისტემას Cxyz, დამზადებულია სამი მობრუნების გამოყენებით.

სისტემის გაერთიანება CXYZსისტემასთან ერთად Cxyzსაკმარისია:

1) სისტემის როტაცია CXYZდაახლოებით მესამედი კოორდინატთა ღერძები CZმორთვის კუთხით, რის შედეგადაც სისტემა Cx 1 წ 1 ზ 1 და Cz 1 =CZ(ნახ. 3.3);

2) სისტემის როტაცია პირველი კოორდინატთა ღერძების ირგვლივ გორგოლაჭის კუთხით, რის შედეგადაც სისტემა , ამ შემთხვევაში (ნახ. 3.4);

3) შემოატრიალეთ სისტემა მეორე კოორდინატთა ღერძების ირგვლივ იავის კუთხით (ნახ. 3.5), რის შედეგადაც მივდივართ სისტემამდე Cxyz.

კოორდინატთა ტრანსფორმაციის ფორმულები დაკავშირებულია შემდეგი ურთიერთობებით:

1)-დან CXYZ k (ნახ. 3.3)

X = x 1 cos y - წ 1 ცოდვა y + 0,

ი =x 1 sin y + y 1 cos y + 0 , (3.1)

Z = 0 + 0 + z 1,

ან მატრიცის სახით:

[X] =( a 3 y ) t [ x 1], ან , (3.2)

სად არის მატრიცა გადატანილი მატრიცაზე, რომელიც აღწერს სისტემის ბრუნვას CXYZმესამე კოორდინატთა ღერძის გარშემო СZმოჭრის კუთხით y,

; (3.3)

2) სისტემიდან სისტემამდე (ნახ. 3.4)

x 1 = x 2 + 0 + 0 ,

წ 1 = 0 + წ 2 - ზ 2 , (3.4)

ზ 1 = 0 + წ 2 +ზ 2 ,

ან მატრიცის სახით

[x 1 ] = [x 2], ან , (3.5)

სად არის მატრიცა გადაცემული მატრიცაზე, რომელიც განსაზღვრავს ბრუნვის ტრანსფორმაციას სისტემის ღერძებიდან სისტემის ღერძებზე პირველი კოორდინატთა ღერძების ირგვლივ, გორგოლაჭის კუთხით, = ,

; (3.6)

3) კოორდინატთა სისტემიდან სისტემამდე Cxyz(ნახ. 3.5)

x 2 = x cos j + 0 + ზსინჯ,

წ 2 = 0 + წ + 0 , (3.7)

ზ 2 = -x sin j + 0 + ზ cos j,

ან მატრიცის სახით [ x 2 ]= [x], ან

. (3.8)

გარდა ამისა, ბრუნვის მატრიცა (a 2 j) t არის მატრიცაზე გადატანილი მატრიცა (a 2 j), რომელიც განსაზღვრავს ბრუნვის ტრანსფორმაციას სისტემის ღერძებიდან სისტემის ღერძებზე. Cxyzიავის კუთხით j კოორდინატთა ღერძების მეორის გარშემო = , აქვს ფორმა

. (3.9)

ნებისმიერი წერტილისთვის მსხეულები კოორდინატებით x,წ,ზმოძრავ კოორდინატულ სისტემაში, მყარად დაკავშირებული მასთან და საკუთარ კოორდინატებთან X,ი,ზ– ფიქსირებულ კოორდინატულ სისტემაში შესაძლებელია ორი კოორდინატთა სისტემის ღერძებზე წერტილოვანი ვექტორის პროგნოზებს შორის კავშირის დადგენა,

, (3.10)

ან მატრიცის სახით

ან , (3.11)

სადაც კრილოვის კუთხეები დროის რამდენიმე ფუნქციაა: მორთვის კუთხე, გორგოლაჭის კუთხე, დახრის კუთხე.

მატრიცა გადადის მიმართულების კოსინუსების მატრიცაზე, რომელიც განსაზღვრავს ბრუნვის ტრანსფორმაციას ფიქსირებული სისტემის ღერძებიდან. CXYZმოძრავი სისტემის ღერძებს Cxyz, უცვლელად ასოცირდება გემთან. ცხადია, როდესაც სხეული მოძრაობს, კოორდინატები x,წ,ზრჩება მუდმივი კოორდინატებისგან განსხვავებით X,ი,ზ.

ურთიერთობის (3.5) და (3.8) ჩანაცვლებით (3.2) მივიღებთ:

(3.11) და (3.12) შედარებისას აღმოვაჩენთ, რომ საჭირო მატრიცა არის სამი ბრუნვის მატრიცის ნამრავლი.

=

=

.(3.13)

ურთიერთობის (3.5) (3.2) ჩანაცვლებით, მივიღებთ შუალედურ მიმართებას, რომელიც შეიძლება მოგვიანებით დაგჭირდეთ, [ X] = [x 2]. შუალედური ბრუნვის მატრიცა = გვხვდება, როგორც ორი ბრუნვის მატრიცის ნამრავლი:

=

= (3.13ა)

ეილერის კუთხეები

იმ შემთხვევებში, როდესაც კუთხური სიჩქარეროტაცია ერთი მიმართულებით მნიშვნელოვნად მეტია, ვიდრე დანარჩენ ორში (გენერატორები, ძრავები, ტურბინები, გიროსკოპები), სხეულის პოზიციის დასადგენად, სამი ეილერის კუთხე არჩეულია სამ დამოუკიდებელ პარამეტრად: პრეცესიის კუთხეწ (ტ),ნუტაციის კუთხეq (ტ)და ბრუნვის კუთხე (საკუთარი ბრუნი) ჯ (ტ). მათი სახელები ნასესხებია ასტრონომიიდან.

ამ კუთხეების დასადგენად, განიხილეთ ხისტი სხეულის ბრუნვა ფიქსირებული წერტილის გარშემო შესახებ. ნება მიეცით გარკვეული საცნობარო სისტემა და მასთან დაკავშირებული ფიქსირებული კოორდინატთა სისტემა OXYZ, რომლის მიმართაც ხისტი სხეული მოძრაობს და ასოცირდება მყარი სხეულიკოორდინატთა სისტემა ოქსიზი, რომელიც მოძრაობს პირველთან შედარებით (სურ. 3.6 ... 3.8). ეს ნიშნავს, რომ პირველ და მეორე კოორდინატულ სისტემებს აქვთ ზოგადი დასაწყისი ოდა ცულებით წარმოქმნილი კუთხეები ოქსიზიღერძებით OXYZ, შეცვლა, ე.ი. სისტემა ოქსიზი
ბრუნავს მყარ სხეულთან ერთად ფიქსირებული წერტილის გარშემო შესახებ(ნახ. 3.5 ... 3.8).

სამსახურში მომიწია ობიექტის კოორდინატების გადაქცევა ეილერის კუთხიდან კვატერნიონებად და უკან.

ეილერის კუთხეების კვატერინიონებად და უკან გადაქცევის ფორმულები შეიძლება მოიძებნოს, მაგრამ

მოკლედ აღვწერ პრობლემის არსს:

1. სხეული შიგნით სამგანზომილებიანი სივრცეაქვს 6 გრადუსი თავისუფლება: 3 კოორდინატი და 3 ბრუნვის კუთხე.
2. კოორდინატებთან ყველაფერი კარგადაა, მაგალითად, თუ ისინი არიან (4,5,2), მაშინ ეს ნიშნავს, რომ სხეული საწყისთან შედარებით უნდა გადაინაცვლოს +4 ერთეულით X ღერძის გასწვრივ, +5 ერთეულით Y-ის გასწვრივ. ღერძი და +2 ერთეული Y ღერძის Z-ის გასწვრივ. ამ შემთხვევაში გადაადგილების თანმიმდევრობა არ არის მნიშვნელოვანი. თქვენ შეგიძლიათ ჯერ X-ზე გადაადგილება, შემდეგ Y-ზე, შემდეგ Z-ზე ან სხვა თანმიმდევრობით. ვადების ადგილების შეცვლა თანხას არ ცვლის.
3. მონაცვლეობით ყველაფერი ბევრად უარესია. ზოგჯერ შეიძლება გქონდეთ განცდა, რომ მათთვისაც საკმარისია ბრუნვის კუთხეების დაყენება სამი ღერძის გარშემო და ეს საკმარისი იქნება (მაგალითად: ობიექტი X ღერძის გარშემო 180 გრადუსით, შემდეგ Y ღერძის გარშემო 180 გრადუსით და შემდეგ 90 გრადუსი Z ღერძის გარშემო - რა თანმიმდევრობითაც არ უნდა დაატრიალოთ, შედეგი იგივე იქნება). ეს ხაფანგი წარმოიქმნება იმის გამო, რომ ჩვენთვის ყველაზე ადვილია მუშაობა ისეთი კუთხით, როგორიცაა 90 ან 180 გრადუსი, და ეს არის ზუსტად ის. განსაკუთრებული შემთხვევა. ზოგადად, მონაცვლეობის თანმიმდევრობას აქვს მნიშვნელობა.

სინამდვილეში, ეს უკვე ბევრჯერ ითქვა. რატომ დაწერე ახალი სტატია? ფაქტია, რომ არ არის იმდენი ინფორმაცია იმის შესახებ, თუ როგორ გადავიტანოთ ეილერის კუთხიდან კვატერნიონებად და უკან. და უმეტეს შემთხვევაში, აღწერილია ეილერის კუთხეების მხოლოდ 1 ან 2, 3, 6 სისტემა. მაგრამ ყველა მათგანი არ არის 24. და ანალოგიით, დანარჩენის გამოტანა (და არ შეცდომის დაშვება) არც ისე ადვილია. „სიმართლის თხრისას“ მე მოვახერხე რამდენიმე ონლაინ გადამყვანის პოვნა კუთხიდან კვატერნიონებამდე და იმ მიმართულებით, რომლითაც იზრდება მათი კონვერტაციის შესაძლებლობები, შეგიძლიათ გაიგოთ, კიდევ რამდენი ვარიანტი დარჩა დაუფარავი:
quat.zachbennett.com - ერთი ტიპის კუთხეები

onlineconversion.com - ერთი ტიპის კუთხეები
quaternions.online - სამი ტიპის კუთხე
andre-gaschler.com - ექვსი ტიპის კუთხე

ერთადერთი ადგილი, სადაც ვიპოვე ტრანსფორმაციების აღწერილობები 24 კუთხის ტიპისთვის, არის წიგნი Graphics Gems IV. საცავი ამ წიგნის წყაროებით არის აქ: წყაროები წიგნისთვის Graphics Gems IV. თუ ვსაუბრობთ კონვერტაციის კოდზე ეილერის კუთხიდან კვატერნიონებამდე და უკან, მაშინ ეს წყაროები აქ არის საცავში: .../GraphicsGems/gemsiv/euler_angle. მაგრამ მათ აქვთ ერთი ნაკლი: მაქსიმალურად გამოიყენონ ზოგადი ფუნქციაკუთხეებისა და კვატერნიონების გამოსათვლელად ავტორმა ძალიან გაართულა კოდი. იმათ. კოდი აღმოჩნდა ძალიან კომპაქტური, მაგრამ ცუდად შესაფერისი სხვა ენებზე თარგმნისთვის ან კონკრეტული შემთხვევებისთვის ოპტიმიზაციისთვის. იმის გამო, რომ მე ნამდვილად მჭირდებოდა 24-ვე შემთხვევის გამკლავება, მომიწია ამ კოდის მცირე შესწავლა და მისი გაფართოება ნაკრებში მარტივი შემთხვევები. მე ასევე დავწერე მცირე ერთეულების ტესტები და დავადასტურე, რომ ჩემი კოდი სწორად მუშაობდა. იმიტომ რომ ვინაიდან ეს ერთეული ტესტები იყენებს Graphics Gems წიგნის წყაროებიდან შედგენილ კოდს, მე არ გამოვაქვეყნე ისინი (ერთეული ტესტები).

სტატიის ტექსტში ჩემს წყაროებს არ მოვიყვან (ისინი დაწერილია ოქტავაში). მე უბრალოდ მივცემ ბმულს საცავთან და კომენტარს გავაკეთებ მის შინაარსზე:

ორივე ფუნქცია მიუწვდომელია ოქტავაში. Matlab მხარს უჭერს მხოლოდ 6 ტიპის ეილერის კუთხეს ფიქსირებულ ღერძებზე. ჩემი იმპლემენტაციები მხარს უჭერს ყველა 24 ტიპს. თუმცა, ტიპები ბოლოში r (მაგალითად, XYZr) ნიშნავს, რომ ღერძები ბრუნავს ობიექტთან ერთად. ტიპები ბოლოში s-ით (როგორიცაა XYZ) ნიშნავს, რომ ღერძები უცვლელია.