სხვადასხვა ფიგურების ფართობი. რა არის ფიგურის ფართობი? პირადი ინფორმაციის დაცვა

გეომეტრიული ფიგურის ფართობი- გეომეტრიული ფიგურის რიცხვითი მახასიათებელი, რომელიც აჩვენებს ამ ფიგურის ზომას (ზედაპირის ნაწილი, რომელიც შემოიფარგლება ამ ფიგურის დახურული კონტურით). ფართობის ზომა გამოიხატება მასში შემავალი კვადრატული ერთეულების რაოდენობით.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულები

ფორმულა სამკუთხედის ფართობის გვერდით და სიმაღლისთვის
სამკუთხედის ფართობიტოლია სამკუთხედის გვერდის სიგრძისა და ამ მხარის სიმაღლის ნამრავლის ნახევარს
სამკუთხედის ფართობის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია სამ მხარეს და წრეწირის რადიუსზე
სამკუთხედის ფართობის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია სამ მხარეს და ჩაწერილი წრის რადიუსზე
სამკუთხედის ფართობიუდრის სამკუთხედის ნახევრადპერიმეტრისა და ჩაწერილი წრის რადიუსის ნამრავლს.

კვადრატული ფართობის ფორმულები

ფორმულა კვადრატის ფართობის გვერდითი სიგრძისთვის
მოედანზე ფართობიმისი გვერდის სიგრძის კვადრატის ტოლი.
ფორმულა კვადრატის ფართობის დიაგონალის სიგრძის გასწვრივ
მოედანზე ფართობიუდრის მისი დიაგონალის სიგრძის კვადრატის ნახევარს.
S= 1 2
2

მართკუთხედის ფართობის ფორმულა

მართკუთხედის ფართობი

პარალელოგრამის ფართობის ფორმულები

პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია გვერდის სიგრძეზე და სიმაღლეზე
პარალელოგრამის ფართობი
პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია ორ მხარეს და მათ შორის კუთხეს
პარალელოგრამის ფართობიუდრის მისი გვერდების სიგრძის ნამრავლს გამრავლებული მათ შორის კუთხის სინუსზე.
a b sin α

რომბის ფართობის ფორმულები

რომბის ფართობის ფორმულა გვერდის სიგრძისა და სიმაღლის მიხედვით
რომბის ფართობიმისი გვერდის სიგრძისა და ამ მხარეს დაშვებული სიმაღლის ნამრავლის ტოლი.
რომბის ფართობის ფორმულა გვერდის სიგრძისა და კუთხის მიხედვით
რომბის ფართობიუდრის მისი გვერდის სიგრძის კვადრატისა და რომბის გვერდებს შორის კუთხის სინუსის ნამრავლს.
რომბის ფართობის ფორმულა მისი დიაგონალების სიგრძეზე დაყრდნობით
რომბის ფართობიუდრის მისი დიაგონალების სიგრძის ნამრავლის ნახევარს.

ტრაპეციის არეალის ფორმულები

ჰერონის ფორმულა ტრაპეციისთვის
სადაც S არის ტრაპეციის ფართობი,
- ტრაპეციის ფუძეების სიგრძე,
- ტრაპეციის გვერდების სიგრძე,

როგორ მოვძებნოთ ფიგურის ფართობი?

სხვადასხვა ფიგურების ფართობის ცოდნა და გამოთვლა აუცილებელია არა მხოლოდ მარტივი გეომეტრიული ამოცანების გადასაჭრელად. თქვენ არ შეგიძლიათ ამ ცოდნის გარეშე, როდესაც შეადგენთ ან ამოწმებთ შეფასებებს შენობების შეკეთებაზე, საჭირო სახარჯო მასალის ოდენობის გაანგარიშებისას. მოდით გავარკვიოთ, როგორ მოვძებნოთ სხვადასხვა ფორმის არეები.

თვითმფრინავის ნაწილს, რომელიც შეიცავს დახურულ კონტურს, ეწოდება ამ სიბრტყის ფართობი. ფართობი გამოიხატება მასში შემავალი კვადრატული ერთეულების რაოდენობით.

ძირითადი გეომეტრიული ფიგურების ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ სწორი ფორმულა.

სამკუთხედის ფართობი

აღნიშვნები:

თუ ცნობილია h, a, მაშინ საჭირო სამკუთხედის ფართობი განისაზღვრება, როგორც გვერდის სიგრძისა და ამ მხარეს ჩამოშვებული სამკუთხედის სიმაღლის ნამრავლი, გაყოფილი შუაზე: S=(a h)/2.
თუ ცნობილია a, b, c, მაშინ საჭირო ფართობი გამოითვლება ჰერონის ფორმულით: კვადრატული ფესვი აღებული სამკუთხედის პერიმეტრის ნახევრის ნამრავლიდან და სამკუთხედის ნახევარი პერიმეტრისა და სამი სხვაობისგან: S = √ (p (p - a) (p - b)·(p - c)).
თუ ცნობილია a, b, γ, მაშინ სამკუთხედის ფართობი განისაზღვრება 2 გვერდის ნამრავლის ნახევრად, გამრავლებული ამ გვერდებს შორის კუთხის სინუსის მნიშვნელობაზე: S=(a b sin γ)/2.
თუ ცნობილია a, b, c, R, მაშინ საჭირო ფართობი განისაზღვრება, როგორც სამკუთხედის ყველა გვერდის სიგრძის ნამრავლის გაყოფა შემოხაზული წრის ოთხ რადიუსზე: S=(a b c)/4R.
თუ ცნობილია p, r, მაშინ სამკუთხედის საჭირო ფართობი განისაზღვრება პერიმეტრის ნახევარის გამრავლებით მასში ჩაწერილი წრის რადიუსზე: S=p·r.

მოედანზე ფართობი

აღნიშვნები:

თუ გვერდი ცნობილია, მაშინ მოცემული ფიგურის ფართობი განისაზღვრება მისი გვერდის სიგრძის კვადრატად: S=a 2
თუ d ცნობილია, მაშინ კვადრატის ფართობი განისაზღვრება მისი დიაგონალის სიგრძის კვადრატის ნახევარით: S=d 2/2

მართკუთხედის ფართობი

აღნიშვნები:

S - განსაზღვრული ფართობი,
a, b - მართკუთხედის გვერდების სიგრძეები.

თუ ცნობილია a, b, მაშინ მოცემული მართკუთხედის ფართობი განისაზღვრება მისი ორი გვერდის სიგრძის ნამრავლით: S=a b.
თუ გვერდების სიგრძე უცნობია, მაშინ მართკუთხედის ფართობი უნდა დაიყოს სამკუთხედებად. ამ შემთხვევაში, მართკუთხედის ფართობი განისაზღვრება, როგორც მისი შემადგენელი სამკუთხედების ფართობების ჯამი.

პარალელოგრამის ფართობი

აღნიშვნები:

S არის საჭირო ფართობი,
a, b - მხარის სიგრძე,
h არის მოცემული პარალელოგრამის სიმაღლის სიგრძე,
d1, d2 - ორი დიაგონალის სიგრძე,
α არის კუთხე გვერდებს შორის,
γ არის კუთხე დიაგონალებს შორის.

თუ ცნობილია a, h, მაშინ საჭირო ფართობი განისაზღვრება გვერდის სიგრძისა და ამ მხარეს დაშვებული სიმაღლის გამრავლებით: S=a h.
თუ ცნობილია a, b, α, მაშინ პარალელოგრამის ფართობი განისაზღვრება პარალელოგრამის გვერდების სიგრძისა და ამ გვერდებს შორის კუთხის სინუსების გამრავლებით: S=a b sin α.
თუ ცნობილია d 1, d 2, γ, მაშინ პარალელოგრამის ფართობი განისაზღვრება, როგორც დიაგონალების სიგრძისა და ამ დიაგონალებს შორის კუთხის სინუსის ნამრავლი: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

რომბის ფართობი

აღნიშვნები:

S არის საჭირო ფართობი,
a - მხარის სიგრძე,
h - სიმაღლე სიგრძე,
α არის პატარა კუთხე ორ მხარეს შორის,
d1, d2 - ორი დიაგონალის სიგრძე.

თუ ცნობილია a, h, მაშინ რომბის ფართობი განისაზღვრება გვერდის სიგრძის გამრავლებით იმ სიმაღლის სიგრძეზე, რომელიც დაშვებულია ამ მხარეს: S=a h.
თუ ცნობილია a, α, მაშინ რომბის ფართობი განისაზღვრება გვერდის სიგრძის კვადრატის გამრავლებით გვერდებს შორის კუთხის სინუსზე: S=a 2 sin α.
თუ ცნობილია d 1 და d 2, მაშინ საჭირო ფართობი განისაზღვრება რომბის დიაგონალების სიგრძის ნამრავლის ნახევრად: S=(d 1 d 2)/2

ტრაპეციის ფართობი

აღნიშვნები:

თუ ცნობილია a, b, c, d, მაშინ საჭირო ფართობი განისაზღვრება ფორმულით: S= (a+b) /2 *√.
ცნობილი a, b, h-ით, საჭირო ფართობი განისაზღვრება ფუძეების ჯამის ნახევარისა და ტრაპეციის სიმაღლის ნამრავლით: S=(a+b)/2 სთ.

ამოზნექილი ოთხკუთხედის ფართობი

აღნიშვნები:

თუ ცნობილია d 1, d 2, α, მაშინ ამოზნექილი ოთხკუთხედის ფართობი განისაზღვრება, როგორც ოთხკუთხედის დიაგონალების ნამრავლი, გამრავლებული ამ დიაგონალებს შორის კუთხის სინუსზე: S=(d 1 · d 2 · sin α)/2
ცნობილი p, r-სთვის ამოზნექილი ოთხკუთხედის ფართობი განისაზღვრება ოთხკუთხედის ნახევრადპერიმეტრისა და ამ ოთხკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსის ნამრავლით: S=p r.
თუ ცნობილია a, b, c, d, θ, მაშინ ამოზნექილი ოთხკუთხედის ფართობი განისაზღვრება, როგორც ნამრავლის კვადრატული ფესვი ნახევრად პერიმეტრში და თითოეული მხარის სიგრძეზე გამოკლებული ნამრავლი. ყველა გვერდის სიგრძე და ორი მოპირდაპირე კუთხის ჯამის ნახევრის კოსინუსის კვადრატი: S 2 = (p - a )(p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 ((α+ β)/2)

წრის ფართობი

აღნიშვნები:

თუ r ცნობილია, მაშინ საჭირო ფართობი განისაზღვრება π რიცხვისა და კვადრატული რადიუსის ნამრავლით: S=π r 2

თუ d ცნობილია, მაშინ წრის ფართობი განისაზღვრება, როგორც π რიცხვის ნამრავლი დიამეტრის კვადრატზე გაყოფილი ოთხზე: S=(π d 2)/4.

რთული ფიგურის ფართობი

რთული პირობა შეიძლება დაიყოს მარტივ გეომეტრიულ ფორმებად. რთული ფიგურის ფართობი განისაზღვრება, როგორც მისი შემადგენელი არეების ჯამი ან განსხვავება. განვიხილოთ, მაგალითად, ბეჭედი.

Დანიშნულება:

S - რგოლის არე,
R, r - გარე და შიდა წრის რადიუსი, შესაბამისად,
D, d არის გარე და შიდა წრეების დიამეტრი, შესაბამისად.

იმისათვის, რომ იპოვოთ ბეჭდის ფართობი, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ფართობი უფრო დიდი წრის ფართობს. უფრო პატარა წრე. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

ამრიგად, თუ R და r ცნობილია, მაშინ ბეჭდის ფართობი განისაზღვრება, როგორც განსხვავება გარე და შიდა წრეების რადიუსების კვადრატებში, გამრავლებული pi-ზე: S=π(R 2 -r 2).

თუ ცნობილია D და d, მაშინ ბეჭდის ფართობი განისაზღვრება, როგორც გარე და შიდა წრეების დიამეტრის კვადრატების სხვაობის მეოთხედი, გამრავლებული pi-ზე: S= (1/4)(D 2). -დ 2) π.

პაჩის არე

დავუშვათ, რომ ერთი კვადრატის შიგნით (A) არის მეორე (B) (უფრო მცირე ზომის) და უნდა ვიპოვოთ დაჩრდილული ღრუ ფიგურებს "A" და "B" შორის. ვთქვათ, პატარა კვადრატის „ჩარჩო“. Ამისთვის:

იპოვეთ ფიგურის "A" ფართობი (გამოითვლება კვადრატის ფართობის პოვნის ფორმულით).
ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ ფიგურის "B" ფართობს.
გამოვაკლოთ ფართობი "B" ფართობს "A". და ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ დაჩრდილული ფიგურის ფართობს.

ახლა თქვენ იცით, როგორ იპოვოთ სხვადასხვა ფორმის არეები.

Კლასი: 5

ჩემი აზრით, მასწავლებლის ამოცანაა არა მხოლოდ სწავლება, არამედ მოსწავლეში შემეცნებითი ინტერესის განვითარება. ამიტომ, შეძლებისდაგვარად, ვაკავშირებ გაკვეთილის თემებს პრაქტიკულ დავალებებს.

გაკვეთილის მსვლელობისას მოსწავლეები მასწავლებლის ხელმძღვანელობით ადგენენ პრობლემების გადაჭრის გეგმას „კომპლექსური ფიგურის“ ფართობის საპოვნელად (რემონტის შეფასების გამოთვლისთვის), აყალიბებენ პრობლემების გადაჭრის უნარებს ტერიტორიის მოსაძებნად; ხდება ყურადღების განვითარება, კვლევითი საქმიანობის უნარი, აქტივობის განათლება და დამოუკიდებლობა.

წყვილებში მუშაობა ქმნის კომუნიკაციის სიტუაციას მათ, ვისაც ცოდნა აქვს და იძენს მას; ეს ნამუშევარი ეფუძნება საგანში ტრენინგის ხარისხის გაუმჯობესებას. ხელს უწყობს სასწავლო პროცესისადმი ინტერესის განვითარებას და სასწავლო მასალის ღრმა ათვისებას.

გაკვეთილი არა მხოლოდ ახდენს მოსწავლეთა ცოდნის სისტემატიზაციას, არამედ ხელს უწყობს შემოქმედებითი და ანალიტიკური შესაძლებლობების განვითარებას. პრაქტიკული შინაარსის პრობლემების გამოყენება საკლასო ოთახში საშუალებას გვაძლევს ვაჩვენოთ მათემატიკური ცოდნის აქტუალობა ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:

ოთხკუთხედის, მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის ფორმულების ცოდნის კონსოლიდაცია;
"კომპლექსური" ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად დავალებების ანალიზი და მათი შესრულების მეთოდები;
ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების შესამოწმებლად დავალებების დამოუკიდებლად შესრულება.

საგანმანათლებლო:

გონებრივი და კვლევითი საქმიანობის მეთოდების შემუშავება;
მოსმენისა და გადაწყვეტილების მსვლელობის ახსნის უნარის განვითარება.

საგანმანათლებლო:

განუვითაროს მოსწავლეთა აკადემიური უნარები;
ზეპირი და წერილობითი მათემატიკური მეტყველების კულტურის დამუშავება;
კლასში მეგობრული დამოკიდებულების განვითარება და ჯგუფური მუშაობის უნარი.

გაკვეთილის ტიპი:კომბინირებული.

აღჭურვილობა:

მათემატიკა: სახელმძღვანელო მე-5 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები/ N.Ya. ვილენკინი, ვ.ი. ჟოხოვი და სხვ., მ.: „მნემოსინე“, 2010 წ.
ბარათები სტუდენტების ჯგუფებისთვის ფორმებით რთული ფორმის ფართობის გამოსათვლელად.
ხატვის ხელსაწყოები.

Გაკვეთილის გეგმა:

ორგანიზების დრო.
ცოდნის განახლება.
ა) თეორიული კითხვები (ტესტი).
ბ) პრობლემის განცხადება.
ისწავლა ახალი მასალა.
ა) პრობლემის გადაჭრის პოვნა;
ბ) პრობლემის გადაჭრა.
მასალის დაფიქსირება.
ა) პრობლემის კოლექტიური გადაჭრა;
ფიზიკური აღზრდის წუთი.
ბ) დამოუკიდებელი მუშაობა.
Საშინაო დავალება.
გაკვეთილის შეჯამება. ანარეკლი.

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი.

ჩვენ დავიწყებთ გაკვეთილს შემდეგი გამყოფი სიტყვებით:

მათემატიკა, მეგობრები,
აბსოლუტურად ყველას სჭირდება.
გულმოდგინედ იმუშავეთ კლასში
და წარმატება აუცილებლად გელოდებათ!

II. ცოდნის განახლება.

ა)ფრონტალური მუშაობა სასიგნალო ბარათებთან (თითოეულ მოსწავლეს აქვს ბარათები 1, 2, 3, 4 ნომრებით; ტესტის კითხვაზე პასუხის გაცემისას მოსწავლე აწევს ბარათს სწორი პასუხის ნომრით).

1. კვადრატული სანტიმეტრი არის:

კვადრატის ფართობი 1 სმ გვერდით;
კვადრატი გვერდით 1 სმ;
კვადრატი 1 სმ პერიმეტრით.

2. ფიგურაში ნაჩვენები ფიგურის ფართობი უდრის:

8 დმ;
8 დმ 2;
15 დმ 2.

3. მართალია, რომ ტოლ ფიგურებს აქვთ ტოლი პერიმეტრი და ტოლი ფართობი?

4. მართკუთხედის ფართობი განისაზღვრება ფორმულით:

S = a 2;
S = 2 (a + b);
S = a b.

5. ფიგურაში ნაჩვენები ფიგურის ფართობი უდრის:

12 სმ;
8 სმ;
16 სმ.

ბ) (პრობლემის ფორმულირება). დავალება. რამდენი საღებავია საჭირო შემდეგი ფორმის იატაკის შესაღებად (იხ. ნახაზი), თუ 1 მ2-ზე 200 გრ საღებავი მოიხმარება?

III. ახალი მასალის სწავლა.

რა უნდა ვიცოდეთ ბოლო პრობლემის გადასაჭრელად? (იპოვეთ იატაკის ფართობი, რომელიც ჰგავს "რთულ ფიგურას".)

მოსწავლეები აყალიბებენ გაკვეთილის თემას და მიზნებს (საჭიროების შემთხვევაში მასწავლებელი ეხმარება).

განვიხილოთ მართკუთხედი Ა Ბ Გ Დ. დავხატოთ მასში ხაზი KPMN, მართკუთხედის გატეხვა Ა Ბ Გ Დორ ნაწილად: ABNMPKდა KPMNCD.

რა არის ტერიტორია? Ა Ბ Გ Დ? (15 სმ 2)

რა არის ფიგურის ფართობი? ABMNPK? (7 სმ 2)

რა არის ფიგურის ფართობი? KPMNCD? (8 სმ 2)

გაანალიზეთ თქვენი შედეგები. (15= = 7 + 8)

დასკვნა? (მთელი ფიგურის ფართობი უდრის მისი ნაწილების ფართობების ჯამს.)

S = S 1 + S 2

როგორ გამოვიყენოთ ეს ქონება ჩვენი პრობლემის გადასაჭრელად? (მოდით დავყოთ რთული ფიგურა ნაწილებად, ვიპოვოთ ნაწილების ფართობი, შემდეგ მთელი ფიგურის ფართობი.)

S 1 = 7 2 = 14 (მ 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (მ 2)
S 3 = 7 3 = 21 (მ 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (მ2)

მოდი შევადგინოთ პრობლემების გადაჭრის გეგმა "კომპლექსური ფიგურის" ფართობის მოსაძებნად:

ჩვენ ვყოფთ ფიგურას მარტივ ფიგურებად.
მარტივი ფიგურების ფართობის პოვნა.

ა) ამოცანა 1. რამდენი ფილა იქნება საჭირო შემდეგი განზომილებების საიტის დასაყენებლად:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60 - 30) 20 = 600 (დმ 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (დმ 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (დმ 2)

არის სხვა გამოსავალი? (ჩვენ განვიხილავთ შემოთავაზებულ ვარიანტებს.)

პასუხი: 2100 დმ 2.

დავალება 2. (კოლექტიური გადაწყვეტილება დაფაზე და რვეულებში.)რამდენი მ2 ლინოლეუმია საჭირო ოთახის გასარემონტებლად, რომელსაც აქვს შემდეგი ფორმა:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (მ 2)
S 2 = ((5 – 3) 2) : 2 = 2 (მ 2)
S = 6 + 2 = 8 (მ2)

პასუხი: 8 მ2.

ფიზიკური აღზრდის წუთი.

ახლა კი, ბიჭებო, ადექით.
სწრაფად ასწიეს ხელები ზევით.
გვერდებზე, წინ, უკან.
მოუხვია მარჯვნივ, მარცხნივ.
ჩუმად დასხდნენ და საქმეს დაუბრუნდნენ.

ბ) დამოუკიდებელი მუშაობა (საგანმანათლებლო) .

მოსწავლეები იყოფიან ჯგუფებად (No5–8 უფრო ძლიერია). თითოეული ჯგუფი არის სარემონტო ჯგუფი.

დავალება გუნდებისთვის: განსაზღვრეთ რამდენი საღებავია საჭირო იატაკის შესაღებად, რომელსაც აქვს ბარათზე გამოსახული ფიგურის ფორმა, თუ საჭიროა 200 გრ საღებავი 1 მ2-ზე.

ამ ფიგურას ჩაწერ ბლოკნოტში, ჩაწერ ყველა მონაცემს და იწყებ დავალებას. თქვენ შეგიძლიათ განიხილოთ გამოსავალი (მაგრამ მხოლოდ თქვენს ჯგუფში!). თუ რომელიმე ჯგუფი სწრაფად გაართმევს თავს დავალებას, მაშინ მათ ეძლევათ დამატებითი დავალება (დამოუკიდებელი მუშაობის შემოწმების შემდეგ).

დავალებები ჯგუფებისთვის:

V. საშინაო დავალება.

მე-18 პუნქტი, No718, No749.

დამატებითი დავალება.საზაფხულო ბაღის გეგმის დიაგრამა (სანქტ-პეტერბურგი). გამოთვალეთ მისი ფართობი.

VI. გაკვეთილის შეჯამება.

ანარეკლი.განაგრძე წინადადება:

დღეს გავიგე...
Საინტერესო იყო…
Ძნელი იყო…
Ახლა შემიძლია…
ცხოვრების გაკვეთილი მომცა...

წინა განყოფილებაში, რომელიც მიეძღვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობის ანალიზს, მივიღეთ მრავალი ფორმულა მრუდი ტრაპეციის ფართობის გამოსათვლელად:

S (G) = ∫ a b f (x) d x უწყვეტი და არაუარყოფითი ფუნქციისთვის y = f (x) ინტერვალზე [ a ; ბ],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x უწყვეტი და არადადებითი ფუნქციისთვის y = f (x) ინტერვალზე [ a ; ბ ] .

ეს ფორმულები გამოიყენება შედარებით მარტივი პრობლემების გადასაჭრელად. სინამდვილეში, ხშირად მოგვიწევს მუშაობა უფრო რთულ ფიგურებთან. ამასთან დაკავშირებით, ჩვენ ამ განყოფილებას მივუძღვნით ალგორითმების ანალიზს ფიგურების ფართობის გამოსათვლელად, რომლებიც შეზღუდულია ფუნქციებით აშკარა ფორმით, ე.ი. როგორიცაა y = f(x) ან x = g(y).

თეორემა

მოდით y = f 1 (x) და y = f 2 (x) ფუნქციები განსაზღვრული და უწყვეტი იყოს [a; b ] , და f 1 (x) ≤ f 2 (x) ნებისმიერი x მნიშვნელობისთვის [a-დან; ბ ] . შემდეგ ფიგურის G ფართობის გამოთვლის ფორმულა, რომელიც შემოიფარგლება x = a, x = b, y = f 1 (x) და y = f 2 (x) ხაზებით გამოიყურება S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

მსგავსი ფორმულა გამოყენებული იქნება ფიგურის ფართობისთვის, რომელიც შემოსაზღვრულია y = c, y = d, x = g 1 (y) და x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

მტკიცებულება

მოდით შევხედოთ სამ შემთხვევას, რომლებისთვისაც ფორმულა მოქმედი იქნება.

პირველ შემთხვევაში, ფართობის დანამატის თვისების გათვალისწინებით, თავდაპირველი ფიგურის G და მრუდი ტრაპეციის G 1 ფართობების ჯამი ტოლია ფიგურის G 2 ფართობის. Ეს ნიშნავს, რომ

ამიტომ, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

ჩვენ შეგვიძლია შევასრულოთ ბოლო გადასვლა განსაზღვრული ინტეგრალის მესამე თვისების გამოყენებით.

მეორე შემთხვევაში, ტოლობა მართალია: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

გრაფიკული ილუსტრაცია ასე გამოიყურება:

თუ ორივე ფუნქცია არაპოზიტიურია, მივიღებთ: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x. გრაფიკული ილუსტრაცია ასე გამოიყურება:

მოდით გადავიდეთ ზოგადი შემთხვევის განხილვაზე, როდესაც y = f 1 (x) და y = f 2 (x) კვეთენ O x ღერძს.

გადაკვეთის წერტილებს აღვნიშნავთ x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . ეს წერტილები ყოფენ სეგმენტს [a; b ] n ნაწილად x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, სადაც α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

აქედან გამომდინარე,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ბოლო გადასვლა განსაზღვრული ინტეგრალის მეხუთე თვისების გამოყენებით.

მოდით გამოვხატოთ ზოგადი შემთხვევა გრაფიკზე.

ფორმულა S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x შეიძლება ჩაითვალოს დადასტურებულად.

ახლა მოდით გადავიდეთ ფიგურების ფართობის გამოთვლის მაგალითების ანალიზზე, რომლებიც შემოიფარგლება y = f (x) და x = g (y) ხაზებით.

ჩვენ დავიწყებთ რომელიმე მაგალითის განხილვას გრაფიკის აგებით. გამოსახულება საშუალებას მოგვცემს წარმოვადგინოთ რთული ფორმები, როგორც მარტივი ფორმების გაერთიანებები. თუ მათზე გრაფიკების და ფიგურების აგება გაგიჭირდებათ, შეგიძლიათ შეისწავლოთ განყოფილება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების, ფუნქციების გრაფიკების გეომეტრიული ტრანსფორმაციის შესახებ, ასევე ფუნქციის შესწავლისას გრაფიკების აგება.

მაგალითი 1

აუცილებელია ფიგურის ფართობის დადგენა, რომელიც შემოიფარგლება პარაბოლით y = - x 2 + 6 x - 5 და სწორი ხაზებით y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

გამოსავალი

დავხაზოთ ხაზები გრაფიკზე დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში.

სეგმენტზე [1; 4 ] პარაბოლის გრაფიკი y = - x 2 + 6 x - 5 მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ y = - 1 3 x - 1 2. ამასთან დაკავშირებით, პასუხის მისაღებად ვიყენებთ ადრე მიღებულ ფორმულას, ასევე განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის მეთოდს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

პასუხი: S(G) = 13

მოდით შევხედოთ უფრო რთულ მაგალითს.

მაგალითი 2

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y = x + 2, y = x, x = 7 ხაზებით.

გამოსავალი

ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი, რომელიც მდებარეობს x-ღერძის პარალელურად. ეს არის x = 7. ეს მოითხოვს, რომ ჩვენ თვითონ ვიპოვოთ ინტეგრაციის მეორე ზღვარი.

ავაშენოთ გრაფიკი და დავხატოთ მასზე პრობლემის ფორმულირებაში მოცემული ხაზები.

გრაფიკის თვალწინ რომ გვქონდეს, ადვილად შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი იქნება y = x და ნახევრად პარაბოლა y = x + 2 სწორი ხაზის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილის აბსცისა. აბსცისის საპოვნელად ვიყენებთ ტოლობებს:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

გამოდის, რომ გადაკვეთის წერტილის აბსციზა არის x = 2.

თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ იმ ფაქტს, რომ ნახაზის ზოგად მაგალითში ხაზები y = x + 2, y = x იკვეთება წერტილში (2; 2), ასე რომ, ასეთი დეტალური გამოთვლები შეიძლება არასაჭირო ჩანდეს. ჩვენ მივაწოდეთ ასეთი დეტალური გადაწყვეტა აქ მხოლოდ იმიტომ, რომ უფრო რთულ შემთხვევებში გამოსავალი შეიძლება არც ისე აშკარა იყოს. ეს ნიშნავს, რომ ყოველთვის სჯობს ხაზების გადაკვეთის კოორდინატების ანალიტიკურად გამოთვლა.

ინტერვალზე [2; 7] y = x ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს y = x + 2 ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ. ფართობის გამოსათვლელად გამოვიყენოთ ფორმულა:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

პასუხი: S (G) = 59 6

მაგალითი 3

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y = 1 x და y = - x 2 + 4 x - 2 ფუნქციების გრაფიკებით.

გამოსავალი

დავხატოთ ხაზები გრაფიკზე.

მოდით განვსაზღვროთ ინტეგრაციის საზღვრები. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ ხაზების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატებს 1 x და - x 2 + 4 x - 2 გამონათქვამების ტოლობით. იმ პირობით, რომ x არ არის ნული, ტოლობა 1 x = - x 2 + 4 x - 2 ხდება მესამე ხარისხის განტოლების ექვივალენტი - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით. ასეთი განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის მეხსიერების გასაახლებლად, შეგვიძლია მივმართოთ განყოფილებას „კუბური განტოლებების ამოხსნა“.

ამ განტოლების ფესვი არის x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

გამოთქმა - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 x - 1 ორობითად გავყოფთ, მივიღებთ: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ დარჩენილი ფესვები განტოლებიდან x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

ვიპოვეთ x ∈ 1 ინტერვალი; 3 + 13 2, რომელშიც ფიგურა G შეიცავს ლურჯი ხაზის ზემოთ და წითელი ხაზის ქვემოთ. ეს გვეხმარება ფიგურის ფართობის დადგენაში:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

პასუხი: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

მაგალითი 4

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება მრუდებით y = x 3, y = - log 2 x + 1 და აბსცისის ღერძით.

გამოსავალი

მოდით გამოვსახოთ ყველა ხაზი გრაფიკზე. ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ y = - log 2 x + 1 ფუნქციის გრაფიკი y = log 2 x გრაფიკიდან, თუ მას სიმეტრიულად განვათავსებთ x ღერძზე და გადავაადგილებთ ერთი ერთეულით ზემოთ. x-ღერძის განტოლება არის y = 0.

მოდით აღვნიშნოთ ხაზების გადაკვეთის წერტილები.

როგორც ნახატიდან ჩანს, y = x 3 და y = 0 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (0; 0) წერტილში. ეს იმიტომ ხდება, რომ x = 0 არის განტოლების ერთადერთი რეალური ფესვი x 3 = 0.

x = 2 არის განტოლების ერთადერთი ფესვი - log 2 x + 1 = 0, ამიტომ y = - log 2 x + 1 და y = 0 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (2; 0) წერტილში.

x = 1 არის განტოლების ერთადერთი ფესვი x 3 = - log 2 x + 1 . ამასთან დაკავშირებით, y = x 3 და y = - log 2 x + 1 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (1; 1) წერტილში. ბოლო განცხადება შეიძლება არ იყოს აშკარა, მაგრამ განტოლებას x 3 = - log 2 x + 1 არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ფესვი, რადგან ფუნქცია y = x 3 მკაცრად იზრდება, ხოლო ფუნქცია y = - log 2 x + 1 არის მკაცრად მცირდება.

შემდგომი გამოსავალი მოიცავს რამდენიმე ვარიანტს.

ვარიანტი #1

ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ ფიგურა G, როგორც x ღერძის ზემოთ მდებარე ორი მრუდი ტრაპეციის ჯამი, რომელთაგან პირველი მდებარეობს შუა ხაზის ქვემოთ x ∈ 0 სეგმენტზე; 1, ხოლო მეორე არის x ∈ 1 სეგმენტზე წითელი ხაზის ქვემოთ; 2. ეს ნიშნავს, რომ ფართობი ტოლი იქნება S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

ვარიანტი No2

ფიგურა G შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ფიგურის სხვაობით, რომელთაგან პირველი მდებარეობს x ღერძის ზემოთ და ლურჯი ხაზის ქვემოთ x ∈ 0 სეგმენტზე; 2 და მეორე x ∈ 1 სეგმენტზე წითელ და ლურჯ ხაზებს შორის; 2. ეს საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ტერიტორია შემდეგნაირად:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

ამ შემთხვევაში ფართობის საპოვნელად მოგიწევთ S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ფორმის ფორმულის გამოყენება. ფაქტობრივად, ხაზები, რომლებიც აკრავს ფიგურას, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს y არგუმენტის ფუნქციებად.

მოდით ამოხსნათ განტოლებები y = x 3 და - log 2 x + 1 x-ის მიმართ:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - ჟურნალი 2 x + 1 ⇒ ჟურნალი 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

ჩვენ ვიღებთ საჭირო ფართობს:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

პასუხი: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

მაგალითი 5

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 ხაზებით.

გამოსავალი

წითელი ხაზით ვხატავთ y = x ფუნქციით განსაზღვრულ წრფეს. ჩვენ ვხატავთ ხაზს y = - 1 2 x + 4 ლურჯად, ხოლო ხაზს y = 2 3 x - 3 შავი.

მოდით აღვნიშნოთ გადაკვეთის წერტილები.

ვიპოვოთ y = x და y = - 1 2 x + 4 ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 შეამოწმეთ: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 არ არის თუ არა განტოლების ამონახსნი x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 არის ⇒ (4; 2) გადაკვეთის წერტილი i y = x და y = - 1 2 x. + 4

ვიპოვოთ y = x და y = 2 3 x - 3 ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილი:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 შემოწმება: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 არის ⇒ (9 ; 3) განტოლების ამონახსნი. = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 განტოლების ამოხსნა არ არსებობს

ვიპოვოთ y = - 1 2 x + 4 და y = 2 3 x - 3 წრფეების გადაკვეთის წერტილი:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) გადაკვეთის წერტილი y = - 1 2 x + 4 და y = 2 3 x - 3

მეთოდი No1

წარმოვიდგინოთ სასურველი ფიგურის ფართობი, როგორც ცალკეული ფიგურების ფართობების ჯამი.

მაშინ ფიგურის ფართობია:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

მეთოდი No2

ორიგინალური ფიგურის ფართობი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი სხვა ფიგურის ჯამი.

შემდეგ ჩვენ ვხსნით წრფის განტოლებას x-თან მიმართებაში და მხოლოდ ამის შემდეგ ვიყენებთ ფორმულას ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად.

y = x ⇒ x = y 2 წითელი ხაზი y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 შავი ხაზი y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

ასე რომ, ტერიტორია არის:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

როგორც ხედავთ, ღირებულებები იგივეა.

პასუხი: S (G) = 11 3

შედეგები

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება მოცემული ხაზებით, უნდა ავაგოთ ხაზები სიბრტყეზე, ვიპოვოთ მათი გადაკვეთის წერტილები და გამოვიყენოთ ფორმულა ფართობის საპოვნელად. ამ განყოფილებაში ჩვენ განვიხილეთ ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ვარიანტები.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

არსებობს სხვადასხვა ფორმის ბრტყელი ფიგურების უსასრულო რაოდენობა, როგორც რეგულარული, ისე არარეგულარული. ყველა ფიგურის საერთო თვისება არის ის, რომ თითოეულ მათგანს აქვს ფართობი. ფიგურების არეები არის სიბრტყის ნაწილის ზომები, რომელიც დაკავებულია ამ ფიგურებით, გამოხატული გარკვეულ ერთეულებში. ეს მნიშვნელობა ყოველთვის გამოიხატება როგორც დადებითი რიცხვი. საზომი ერთეული არის კვადრატის ფართობი, რომლის გვერდი უდრის სიგრძის ერთეულს (მაგალითად, ერთი მეტრი ან ერთი სანტიმეტრი). ნებისმიერი ფიგურის სავარაუდო ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ერთეული კვადრატების რაოდენობის გამრავლებით, რომლებშიც იგი იყოფა ერთი კვადრატის ფართობზე.

ამ კონცეფციის სხვა განმარტებები შემდეგია:

1. მარტივი ფიგურების ფართობი არის სკალარული დადებითი სიდიდეები, რომლებიც აკმაყოფილებს პირობებს:

თანაბარ ფიგურებს აქვთ თანაბარი ფართობები;

თუ ფიგურა იყოფა ნაწილებად (მარტივი ფიგურები), მაშინ მისი ფართობი არის ამ ფიგურების ფართობების ჯამი;

კვადრატი საზომი ერთეულის გვერდით ემსახურება ფართობის ერთეულს.

2. რთული ფორმის ფიგურების ფართობები (მრავალკუთხედები) დადებითი სიდიდეებია შემდეგი თვისებებით:

თანაბარ მრავალკუთხედებს აქვთ იგივე ფართობის ზომები;

თუ მრავალკუთხედი შედგება რამდენიმე სხვა მრავალკუთხედისაგან, მისი ფართობი უდრის ამ უკანასკნელის ფართობების ჯამს. ეს წესი მოქმედებს არა გადახურული მრავალკუთხედებისთვის.

აქსიომად არის მიღებული, რომ ფიგურების (მრავალკუთხედების) ფართობები დადებითი სიდიდეებია.

წრის ფართობის განმარტება მოცემულია ცალკე, როგორც მნიშვნელობა, რომლისკენაც მიდრეკილია წრეში ჩაწერილი მოცემული წრის ფართობი - მიუხედავად იმისა, რომ მისი გვერდების რაოდენობა უსასრულობისკენ მიისწრაფვის.

არარეგულარული ფორმის ფიგურების (თვითნებური ფიგურების) არეებს არ აქვთ განსაზღვრება, განისაზღვრება მხოლოდ მათი გამოთვლის მეთოდები.

უკვე უძველეს დროში ფართობების გამოთვლა მნიშვნელოვანი პრაქტიკული ამოცანა იყო მიწის ნაკვეთების ზომის განსაზღვრისას. რამდენიმე ასეული წლის მანძილზე ფართობების გამოთვლის წესები ჩამოაყალიბეს ბერძენმა მეცნიერებმა და ჩამოაყალიბეს ევკლიდეს ელემენტებში, როგორც თეორემები. საინტერესოა, რომ მათში მარტივი ფიგურების ფართობის განსაზღვრის წესები იგივეა, რაც ამჟამად. მრუდი კონტურის მქონე არეები გამოითვალა ზღვრამდე გადასასვლელის გამოყენებით.

მარტივი მართკუთხედის ან კვადრატის ფართობის გამოთვლა, რომელიც ყველასთვის ნაცნობია სკოლიდან, საკმაოდ მარტივია. სულაც არ არის საჭირო ასოების სიმბოლოების შემცველი ფიგურების არეების ფორმულების დამახსოვრება. საკმარისია გახსოვდეთ რამდენიმე მარტივი წესი:

2. მართკუთხედის ფართობი გამოითვლება მისი სიგრძის სიგანეზე გამრავლებით. აუცილებელია, რომ სიგრძე და სიგანე იყოს გამოხატული იმავე საზომი ერთეულებით.

3. ჩვენ ვიანგარიშებთ რთული ფიგურის ფართობს რამდენიმე მარტივ ფიგურად დაყოფით და მიღებული უბნების დამატებით.

4. ოთხკუთხედის დიაგონალი ყოფს მას ორ სამკუთხედად, რომელთა ფართობი ტოლია და ტოლია მისი ფართობის ნახევრის.

5. სამკუთხედის ფართობი გამოითვლება მისი სიმაღლისა და ფუძის ნამრავლის ნახევრად.

6. წრის ფართობი უდრის რადიუსის კვადრატისა და ცნობილი რიცხვის „π“ ნამრავლს.

7. ჩვენ ვიანგარიშებთ პარალელოგრამის ფართობს, როგორც მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის მდებარე კუთხის სინუსს.

8. რომბის ფართობი არის ½ შედეგი დიაგონალების შიდა კუთხის სინუსზე გამრავლების.

9. ტრაპეციის ფართობს ვპოულობთ მისი სიმაღლის შუა ხაზის სიგრძეზე გამრავლებით, რომელიც უდრის ფუძეების საშუალო არითმეტიკულს. ტრაპეციის ფართობის განსაზღვრის კიდევ ერთი ვარიანტია მისი დიაგონალების და მათ შორის მდებარე კუთხის სინუსის გამრავლება.

სიცხადისთვის, დაწყებით სკოლაში ბავშვებს ხშირად ეძლევათ დავალებები: იპოვონ ქაღალდზე დახატული ფიგურის ფართობი პალიტრის ან კვადრატებად დაყოფილი გამჭვირვალე ქაღალდის ფურცლის გამოყენებით. ასეთ ქაღალდს ათავსებენ გასაზომ ფიგურაზე, ითვლიან მის მონახაზში მოთავსებული სრული უჯრედების (ფართის ერთეულების) რაოდენობას, შემდეგ არასრულების რაოდენობას, რომელიც იყოფა შუაზე.