მოდულის განმარტებები. რა არის რიცხვის მოდული მათემატიკაში

ინსტრუქციები

თუ მოდული წარმოდგენილია როგორც უწყვეტი ფუნქცია, მაშინ მისი არგუმენტის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

მოდული არის ნული, ხოლო ნებისმიერი დადებითი რიცხვის მოდული არის . თუ არგუმენტი უარყოფითია, მაშინ ფრჩხილების გახსნის შემდეგ მისი ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე. აქედან გამომდინარეობს დასკვნა, რომ დაპირისპირებულთა მოდულები ტოლია: |-x| = |x| = x.

რთული რიცხვის მოდული გვხვდება ფორმულით: |a| = √b ² + c ², და |a + b| ≤ |a| + |ბ|. თუ არგუმენტი შეიცავს დადებით რიცხვს, როგორც მულტიპლიკატორი, მაშინ ის შეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილის ნიშნიდან, მაგალითად: |4*b| = 4*|ბ|.

თუ არგუმენტი წარმოდგენილია კომპლექსური რიცხვის სახით, მაშინ გამოთვლების მოხერხებულობისთვის დასაშვებია მართკუთხა ფრჩხილებში ჩასმული გამოთქმის ტერმინების თანმიმდევრობა: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, რადგან (2-3) არის ნულზე ნაკლები.

ხარისხზე აყვანილი არგუმენტი ერთდროულად არის იმავე რიგის ფესვის ნიშნის ქვეშ - ის იხსნება: √a² = |a| = ± ა.

თუ თქვენ გაქვთ დავალება, რომელშიც არ არის მითითებული მოდულის ფრჩხილების გაფართოების პირობა, მაშინ არ არის საჭირო მათი მოშორება - ეს იქნება საბოლოო შედეგი. და თუ მათი გახსნა გჭირდებათ, მაშინ უნდა მიუთითოთ ± ნიშანი. მაგალითად, თქვენ უნდა იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა √(2 * (4-b))². მისი ამოხსნა ასე გამოიყურება: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-ბ|. ვინაიდან 4-b გამოხატვის ნიშანი უცნობია, ის უნდა დარჩეს ფრჩხილებში. თუ დაამატებთ დამატებით პირობას, მაგალითად, |4-b| >

ნულის მოდული უდრის ნულს, ხოლო ნებისმიერი დადებითი რიცხვის მოდული უდრის თავის თავს. თუ არგუმენტი უარყოფითია, მაშინ ფრჩხილების გახსნის შემდეგ მისი ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე. აქედან გამომდინარეობს დასკვნა, რომ საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია: |-x| = |x| = x.

რთული რიცხვის მოდული გვხვდება ფორმულით: |a| = √b ² + c ², და |a + b| ≤ |a| + |ბ|. თუ არგუმენტი ფაქტორად შეიცავს დადებით მთელ რიცხვს, მაშინ ის შეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილის ნიშნიდან, მაგალითად: |4*b| = 4*|ბ|.

მოდული არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, ამიტომ ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვი გარდაიქმნება დადებითად: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2.5.

თუ არგუმენტი წარმოდგენილია რთული რიცხვის სახით, მაშინ გამოთვლების მოხერხებულობისთვის დასაშვებია მართკუთხა ფრჩხილებში ჩასმული გამოთქმის ტერმინების თანმიმდევრობის შეცვლა: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, რადგან (2-3) არის ნულზე ნაკლები.

თუ თქვენ გაქვთ დავალება, რომელშიც არ არის მითითებული მოდულის ფრჩხილების გაფართოების პირობა, მაშინ არ არის საჭირო მათი მოშორება - ეს იქნება საბოლოო შედეგი. და თუ მათი გახსნა გჭირდებათ, მაშინ უნდა მიუთითოთ ± ნიშანი. მაგალითად, თქვენ უნდა იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა √(2 * (4-b))². მისი ამოხსნა ასე გამოიყურება: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-ბ|. ვინაიდან 4-b გამოხატვის ნიშანი უცნობია, ის უნდა დარჩეს ფრჩხილებში. თუ დაამატებთ დამატებით პირობას, მაგალითად, |4-b| > 0, მაშინ შედეგი იქნება 2 * |4-b| = 2 * (4 - ბ). უცნობი ელემენტი ასევე შეიძლება დაყენდეს კონკრეტულ რიცხვზე, რაც მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული, რადგან ეს გავლენას მოახდენს გამოხატვის ნიშანზე.

რიცხვების მოდულითავად ამ რიცხვს უწოდებენ, თუ ის არაუარყოფითია, ან იგივე რიცხვს საპირისპირო ნიშნით, თუ ის უარყოფითია.

მაგალითად, რიცხვი 5-ის მოდული არის 5, ხოლო რიცხვის –5 მოდული ასევე არის 5.

ანუ რიცხვის მოდული გაგებულია, როგორც აბსოლუტური მნიშვნელობა, ამ რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა მისი ნიშნის გათვალისწინების გარეშე.

აღინიშნება შემდეგნაირად: |5|, | X|, |ა| და ა.შ.

წესი:

ახსნა:

|5| = 5
ის ასე იკითხება: რიცხვი 5-ის მოდული არის 5.

|–5| = –(–5) = 5
ის ასე იკითხება: რიცხვის -5 მოდული არის 5.

|0| = 0
ის ასე იკითხება: ნულის მოდული არის ნული.

მოდულის თვისებები:

მოდულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

რიცხვის მოდული არის მანძილი ნულიდან ამ რიცხვამდე.

მაგალითად, ისევ ავიღოთ რიცხვი 5. მანძილი 0-დან 5-მდე იგივეა, რაც 0-დან –5-მდე (ნახ. 1). და როდესაც ჩვენთვის მნიშვნელოვანია მხოლოდ სეგმენტის სიგრძის ცოდნა, მაშინ ნიშანს აქვს არა მხოლოდ მნიშვნელობა, არამედ მნიშვნელობა. თუმცა, ეს მთლად ასე არ არის: ჩვენ ვზომავთ მანძილს მხოლოდ დადებითი რიცხვებით - ან არაუარყოფითი რიცხვებით. ჩვენი სკალის გაყოფის ფასი იყოს 1 სმ, მაშინ სეგმენტის სიგრძე ნულიდან 5-მდე არის 5 სმ, ნულიდან –5-მდე ასევე 5 სმ.

პრაქტიკაში მანძილის გაზომვა ხშირად ხდება არა მხოლოდ ნულიდან - საცნობარო წერტილი შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი (ნახ. 2). მაგრამ ეს არ ცვლის არსს. ფორმის აღნიშვნა |a – b| გამოხატავს მანძილს წერტილებს შორის ადა ბრიცხვთა ხაზზე.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება | X – 1| = 3.

გამოსავალი .

განტოლების მნიშვნელობა არის ის, რომ მანძილი წერტილებს შორის Xდა 1 უდრის 3-ს (ნახ. 2). ამიტომ, 1 წერტილიდან ჩვენ ვითვლით სამ განყოფილებას მარცხნივ და სამ განყოფილებას მარჯვნივ - და ჩვენ ნათლად ვხედავთ ორივე მნიშვნელობას X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

შეგვიძლია გამოვთვალოთ.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

პასუხი: X 1 = –2; X 2 = 4.

მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მოდული:

გამოსავალი .

ჯერ გავარკვიოთ არის თუ არა გამოთქმა დადებითი თუ უარყოფითი. ამისათვის ჩვენ გამოვხატავთ გამონათქვამს ისე, რომ იგი შედგება ერთგვაროვანი რიცხვებისგან. 5-ის ძირს ნუ ვეძებთ – საკმაოდ რთულია. მოდით გავაკეთოთ უფრო მარტივად: ავწიოთ 3 და 10 ძირამდე.შემდეგ შევადაროთ იმ რიცხვების სიდიდე, რომლებიც ქმნიან განსხვავებას:

3 = √9. ამიტომ, 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

ჩვენ ვხედავთ, რომ პირველი რიცხვი მეორეზე ნაკლებია. ეს ნიშნავს, რომ გამოთქმა უარყოფითია, ანუ მისი პასუხი არის ნულზე ნაკლები:

3√5 – 10 < 0.

მაგრამ წესის მიხედვით, უარყოფითი რიცხვის მოდული არის იგივე რიცხვი საპირისპირო ნიშნით. უარყოფითი გამოთქმა გვაქვს. ამიტომ აუცილებელია მისი ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლა. 3√5 – 10-ის საპირისპირო გამოხატულება არის –(3√5 – 10). გავხსნათ მასში ფრჩხილები და მივიღოთ პასუხი:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

უპასუხე .

მოდული ერთ-ერთია იმ საკითხთაგან, რომლის შესახებ თითქოს ყველას სმენია, მაგრამ სინამდვილეში არავის ესმის. ამიტომ, დღეს იქნება დიდი გაკვეთილი, რომელიც მიეძღვნება მოდულებით განტოლებების ამოხსნას.

მაშინვე ვიტყვი: გაკვეთილი არ იქნება რთული. და საერთოდ, მოდულები შედარებით მარტივი თემაა. ”დიახ, რა თქმა უნდა, ეს არ არის რთული! გონებას მაბნევს!” - იტყვის ბევრი სტუდენტი, მაგრამ ყველა ეს ტვინის რღვევა ხდება იმის გამო, რომ ადამიანების უმეტესობას არ აქვს ცოდნა თავის თავში, მაგრამ რაღაც სისულელეა. და ამ გაკვეთილის მიზანია სისულელე გადააქციოს ცოდნად. :)

ცოტა თეორია

მაშ, წავიდეთ. დავიწყოთ ყველაზე მნიშვნელოვანით: რა არის მოდული? შეგახსენებთ, რომ რიცხვის მოდული უბრალოდ იგივე რიცხვია, მაგრამ აღებული მინუს ნიშნის გარეშე. ეს არის, მაგალითად, $\left| -5 \მარჯვნივ|=5$. ან $\მარცხენა| -129.5 \მარჯვნივ|=129.5$.

ასე მარტივია? დიახ, მარტივი. მაშინ რა არის დადებითი რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა? აქ კიდევ უფრო მარტივია: დადებითი რიცხვის მოდული უდრის თავად ამ რიცხვს: $\left| 5 \მარჯვნივ|=5$; $\მარცხნივ| 129.5 \მარჯვნივ|=129.5$ და ა.შ.

საინტერესოა: სხვადასხვა რიცხვს შეიძლება ჰქონდეს ერთი და იგივე მოდული. მაგალითად: $\left| -5 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| 5 \მარჯვნივ|=5$; $\მარცხნივ| -129.5 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| 129.5\მარჯვნივ|=129.5$. ადვილი მისახვედრია, როგორი რიცხვებია ეს, ვისი მოდულებიც იგივეა: ეს რიცხვები საპირისპიროა. ამრიგად, ჩვენ თვითონ აღვნიშნავთ, რომ საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია:

\[\მარცხნივ| -a \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| a\ უფლება|\]

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ფაქტი: მოდული არასოდეს არის უარყოფითი. რა რიცხვიც არ უნდა ავიღოთ - იქნება ეს დადებითი თუ უარყოფითი - მისი მოდული ყოველთვის დადებითი (ან, უკიდურეს შემთხვევაში, ნული) გამოდის. ამიტომ მოდულს ხშირად უწოდებენ რიცხვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას.

გარდა ამისა, თუ გავაერთიანებთ დადებითი და უარყოფითი რიცხვის მოდულის განმარტებას, მივიღებთ მოდულის გლობალურ განმარტებას ყველა რიცხვისთვის. კერძოდ: რიცხვის მოდული უდრის თავად რიცხვს, თუ რიცხვი დადებითია (ან ნული), ან საპირისპირო რიცხვის ტოლია, თუ რიცხვი უარყოფითია. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ეს ფორმულის სახით:

ასევე არსებობს ნულის მოდული, მაგრამ ის ყოველთვის ნულის ტოლია. გარდა ამისა, ნული ერთადერთი რიცხვია, რომელსაც საპირისპირო არ აქვს.

ამრიგად, თუ გავითვალისწინებთ ფუნქციას $y=\left| x \right|$ და სცადეთ დახატოთ მისი გრაფიკი, მიიღებთ მსგავს რაღაცას:

მოდულის გრაფიკი და განტოლების ამოხსნის მაგალითი

ამ სურათიდან დაუყოვნებლივ ირკვევა, რომ $\left| -m \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| m \right|$ და მოდულის გრაფიკი არასდროს ცდება x ღერძს ქვემოთ. მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის: წითელი ხაზი აღნიშნავს სწორ ხაზს $y=a$, რომელიც დადებითი $a$-ისთვის გვაძლევს ერთდროულად ორ ფესვს: $((x)_(1))$ და $((x) _(2)) $, მაგრამ ამაზე მოგვიანებით ვისაუბრებთ. :)

გარდა წმინდა ალგებრული განმარტებისა, არსებობს გეომეტრიული. ვთქვათ, რიცხვთა წრფეზე არის ორი წერტილი: $((x)_(1))$ და $((x)_(2))$. ამ შემთხვევაში გამოთქმა $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ არის უბრალოდ მანძილი მითითებულ წერტილებს შორის. ან, თუ გსურთ, ამ წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე:

ეს განმარტება ასევე გულისხმობს, რომ მოდული ყოველთვის არაუარყოფითია. მაგრამ საკმარისი განმარტებები და თეორია - მოდით გადავიდეთ რეალურ განტოლებაზე. :)

ძირითადი ფორმულა

კარგი, ჩვენ დავალაგეთ განმარტება. მაგრამ ამან არ გააადვილა. როგორ ამოხსნათ განტოლებები, რომლებიც შეიცავს ამ მოდულს?

დამშვიდდი, უბრალოდ დამშვიდდი. დავიწყოთ უმარტივესი ნივთებით. განიხილეთ მსგავსი რამ:

\[\მარცხნივ| x\მარჯვნივ|=3\]

ასე რომ, $x$-ის მოდული არის 3. რისი შეიძლება იყოს $x$? კარგად, თუ ვიმსჯელებთ განმარტებით, ჩვენ საკმაოდ კმაყოფილი ვართ $x=3$-ით. ნამდვილად:

\[\მარცხნივ| 3\მარჯვნივ|=3\]

არის სხვა ნომრები? Cap, როგორც ჩანს, მიანიშნებს, რომ არსებობს. მაგალითად, $x=-3$ ასევე არის $\left| -3 \მარჯვნივ|=3$, ე.ი. დაკმაყოფილებულია საჭირო თანასწორობა.

ასე რომ, იქნებ რომ მოვძებნოთ და დავფიქრდეთ, მეტი რიცხვი ვიპოვოთ? მაგრამ მოდი, ვაღიაროთ: მეტი რიცხვი არ არის. განტოლება $\მარცხენა| x \right|=3$-ს აქვს მხოლოდ ორი ფესვი: $x=3$ და $x=-3$.

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. მოდით, ფუნქცია $f\left(x \right)$ ჩამოკიდებული იყოს მოდულის ნიშნის ქვეშ $x$ ცვლადის ნაცვლად და დააყენეთ თვითნებური რიცხვი $a$ ნაცვლად სამმაგი მარჯვნივ. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

\[\მარცხნივ| f\ მარცხენა (x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=a\]

მაშ, როგორ მოვაგვაროთ ეს? შეგახსენებთ: $f\left(x \right)$ არის თვითნებური ფუნქცია, $a$ არის ნებისმიერი რიცხვი. იმათ. Არც არაფერი! Მაგალითად:

\[\მარცხნივ| 2x+1 \მარჯვნივ|=5\]

\[\მარცხნივ| 10x-5 \მარჯვნივ|=-65\]

მივაქციოთ ყურადღება მეორე განტოლებას. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ თქვათ მასზე: მას ფესვები არ აქვს. რატომ? ყველაფერი სწორია: რადგან ის მოითხოვს, რომ მოდული იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი, რაც არასდროს ხდება, რადგან უკვე ვიცით, რომ მოდული ყოველთვის დადებითი რიცხვია ან, უკიდურეს შემთხვევაში, ნულოვანი.

მაგრამ პირველი განტოლებით ყველაფერი უფრო სახალისოა. არსებობს ორი ვარიანტი: ან არის დადებითი გამოხატულება მოდულის ნიშნის ქვეშ და შემდეგ $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ან ეს გამონათქვამი მაინც უარყოფითია და შემდეგ $\left| 2x+1 \მარჯვნივ|=-\მარცხნივ(2x+1 \მარჯვნივ)=-2x-1$. პირველ შემთხვევაში, ჩვენი განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[\მარცხნივ| 2x+1 \მარჯვნივ|=5\მარჯვენა ისარი 2x+1=5\]

და უცებ აღმოჩნდება, რომ სუბმოდულური გამოხატულება $2x+1$ ნამდვილად დადებითია - ის უდრის რიცხვს 5. ანუ ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ამოხსნათ ეს განტოლება - შედეგად მიღებული ფესვი იქნება პასუხის ნაწილი:

მათ, ვინც განსაკუთრებით უნდობელია, შეუძლიათ შეეცადონ შეცვალონ ნაპოვნი ფესვი თავდაპირველ განტოლებაში და დარწმუნდნენ, რომ ნამდვილად არის დადებითი რიცხვი მოდულის ქვეშ.

ახლა მოდით შევხედოთ ნეგატიური სუბმოდულური გამოხატვის შემთხვევას:

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& \მარცხნივ| 2x+1 \მარჯვნივ|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვნივ ისარი -2x-1=5 \მარჯვენა ისარი 2x+1=-5\]

უი! ისევ ყველაფერი ნათელია: ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ $2x+1 \lt 0$, და შედეგად მივიღეთ ეს $2x+1=-5$ - მართლაც, ეს გამოხატულება ნულზე ნაკლებია. ჩვენ ვხსნით მიღებულ განტოლებას, მაშინ როდესაც უკვე ვიცით, რომ ნაპოვნი ფესვი მოგვწონს:

ჯამში ისევ მივიღეთ ორი პასუხი: $x=2$ და $x=3$. დიახ, გამოთვლების რაოდენობა ოდნავ მეტი აღმოჩნდა, ვიდრე ძალიან მარტივ განტოლებაში $\left| x \right|=3$, მაგრამ ძირეულად არაფერი შეცვლილა. იქნებ არსებობს რაიმე სახის უნივერსალური ალგორითმი?

დიახ, ასეთი ალგორითმი არსებობს. და ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ მას.

მოდულის ნიშნის მოშორება

მოდით მივცეთ განტოლება $\left| f\left(x \right) \right|=a$ და $a\ge 0$ (წინააღმდეგ შემთხვევაში, როგორც უკვე ვიცით, ფესვები არ არსებობს). შემდეგ შეგიძლიათ მოიცილოთ მოდულის ნიშანი შემდეგი წესის გამოყენებით:

\[\მარცხნივ| f\ მარცხნივ(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ

ამრიგად, ჩვენი განტოლება მოდულით იყოფა ორად, მაგრამ მოდულის გარეშე. სულ ეს არის ტექნოლოგია! შევეცადოთ ამოხსნათ რამდენიმე განტოლება. დავიწყოთ ამით

\[\მარცხნივ| 5x+4 \მარჯვნივ|=10\მარჯვენა ისარი 5x+4=\pm 10\]

განვიხილოთ ცალ-ცალკე, როცა მარჯვნივ არის ათი პლუსი და ცალკე, როცა არის მინუსი. Ჩვენ გვაქვს:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\მარჯვენა ისარი 5x=-14\მარჯვენა ისარი x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! მივიღეთ ორი ფესვი: $x=1.2$ და $x=-2.8$. მთელი გამოსავალი სიტყვასიტყვით ორ სტრიქონს დასჭირდა.

კარგი, არავითარი კითხვა, მოდით შევხედოთ რაღაც უფრო სერიოზულს:

\[\მარცხნივ| 7-5x\მარჯვნივ|=13\]

ჩვენ კვლავ ვხსნით მოდულს პლუს-მინუსებით:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\ბოლო (გასწორება)\]

კიდევ რამდენიმე ხაზი - და პასუხი მზად არის! როგორც ვთქვი, არაფერია რთული მოდულების შესახებ. თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ რამდენიმე წესი. ამიტომ, ჩვენ მივდივართ და ვიწყებთ მართლაც უფრო რთული ამოცანებით.

მარჯვენა მხარის ცვლადის შემთხვევა

ახლა განიხილეთ ეს განტოლება:

\[\მარცხნივ| 3x-2 \მარჯვნივ|=2x\]

ეს განტოლება ფუნდამენტურად განსხვავდება ყველა წინაგან. Როგორ? და ის ფაქტი, რომ ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ არის გამონათქვამი $2x$ - და წინასწარ ვერ გავიგებთ დადებითია თუ უარყოფითი.

რა უნდა გააკეთოს ამ შემთხვევაში? პირველ რიგში, ეს ერთხელ და სამუდამოდ უნდა გავიგოთ თუ განტოლების მარჯვენა მხარე უარყოფითი აღმოჩნდება, მაშინ განტოლებას ფესვები არ ექნება- უკვე ვიცით, რომ მოდული არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი.

და მეორეც, თუ მარჯვენა ნაწილი კვლავ დადებითია (ან ნულის ტოლია), მაშინ შეგიძლიათ იმოქმედოთ ზუსტად ისე, როგორც ადრე: უბრალოდ გახსენით მოდული ცალკე პლუს ნიშნით და ცალკე მინუს ნიშნით.

ამრიგად, ჩვენ ვაყალიბებთ წესს თვითნებური ფუნქციებისთვის $f\left(x \right)$ და $g\left(x \right)$:

\[\მარცხნივ| f\ მარცხნივ(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ ), \\& g\left(x \მარჯვნივ)\ge 0. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ჩვენს განტოლებასთან დაკავშირებით ვიღებთ:

\[\მარცხნივ| 3x-2 \მარჯვნივ|=2x\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

კარგად, ჩვენ როგორმე გავუმკლავდებით მოთხოვნას $2x\ge 0$. საბოლოო ჯამში, ჩვენ შეგვიძლია სულელურად შევცვალოთ ფესვები, რომლებიც მივიღეთ პირველი განტოლებიდან და შევამოწმოთ, მოქმედებს თუ არა უტოლობა.

ასე რომ, მოდი, თავად განტოლება მოვაგვაროთ:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

აბა, ამ ორი ფესვიდან რომელი აკმაყოფილებს $2x\ge 0$ მოთხოვნას? დიახ ორივე! ამიტომ, პასუხი იქნება ორი რიცხვი: $x=(4)/(3)\;$ და $x=0$. ეგაა გამოსავალი. :)

მეეჭვება, რომ ზოგიერთი სტუდენტი უკვე იწყებს მოწყენას? მოდით შევხედოთ კიდევ უფრო რთულ განტოლებას:

\[\მარცხნივ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \მარჯვნივ|=x-((x)^(3))\]

მიუხედავად იმისა, რომ ბოროტად გამოიყურება, სინამდვილეში ის მაინც იგივე განტოლებაა ფორმის "მოდული უდრის ფუნქციას":

\[\მარცხნივ| f\ მარცხნივ(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=g\მარცხნივ(x \მარჯვნივ)\]

და ის წყდება ზუსტად იგივე გზით:

\[\მარცხნივ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \მარჯვნივ|=x-((x)^(3))\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \მარცხნივ(x-((x)^(3)) \მარჯვნივ), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

უთანასწორობას მოგვიანებით გავუმკლავდებით - ის რაღაცნაირად ზედმეტად ბოროტია (სინამდვილეში მარტივია, მაგრამ ვერ მოვაგვარებთ). ამ დროისთვის, სჯობს მივიღოთ მიღებული განტოლებები. მოდით განვიხილოთ პირველი შემთხვევა - ეს არის მაშინ, როდესაც მოდული გაფართოვდება პლუს ნიშნით:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

მაშ, უაზრობაა, რომ ყველაფერი მარცხნიდან უნდა შეაგროვო, მსგავსები მოიტანო და ნახე რა მოხდება. და აი რა ხდება:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\ბოლო (გასწორება)\]

ფრჩხილებიდან ვიღებთ საერთო ფაქტორს $((x)^(2))$ და ვიღებთ ძალიან მარტივ განტოლებას:

\[((x)^(2))\მარცხნივ(2x-3 \მარჯვნივ)=0\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[((x)_(1))=0;\ოთხი ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

აქ ჩვენ ვისარგებლეთ პროდუქტის მნიშვნელოვანი თვისებით, რისთვისაც გამოვყავით ორიგინალური პოლინომი: ნამრავლი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია.

ახლა ზუსტად ანალოგიურად მოვეკიდოთ მეორე განტოლებას, რომელიც მიიღება მინუს ნიშნით მოდულის გაფართოებით:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\მარცხნივ(x-((x)^(3)) \მარჯვნივ); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\ მარცხენა (-3x+2 \მარჯვნივ)=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ისევ იგივე: ნამრავლი ნულის ტოლია, როცა ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. Ჩვენ გვაქვს:

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ჩვენ მივიღეთ სამი ფესვი: $x=0$, $x=1.5$ და $x=(2)/(3)\;$. აბა, ამ ნაკრებიდან რომელი გადავა საბოლოო პასუხში? ამისათვის გახსოვდეთ, რომ ჩვენ გვაქვს დამატებითი შეზღუდვა უთანასწორობის სახით:

როგორ გავითვალისწინოთ ეს მოთხოვნა? მოდით, უბრალოდ შევცვალოთ ნაპოვნი ფესვები და შევამოწმოთ, მოქმედებს თუ არა უტოლობა ამ $x$-ზე. Ჩვენ გვაქვს:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\მარჯვენა ისარი x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\მარჯვენა ისარი x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\ბოლო (გასწორება)\]

ამრიგად, ფესვი $x=1,5$ არ გვიწყობს. და საპასუხოდ მხოლოდ ორი ფესვი იქნება:

\[((x)_(1))=0;\ quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

როგორც ხედავთ, ამ შემთხვევაშიც კი არაფერი იყო რთული - მოდულებთან განტოლებები ყოველთვის წყდება ალგორითმის გამოყენებით. თქვენ უბრალოდ უნდა გქონდეთ კარგად გაგება მრავალწევრებისა და უტოლობების შესახებ. ამიტომ, ჩვენ გადავდივართ უფრო რთულ ამოცანებზე - უკვე იქნება არა ერთი, არამედ ორი მოდული.

განტოლებები ორი მოდულით

აქამდე მხოლოდ უმარტივესი განტოლებები შევისწავლეთ - იყო ერთი მოდული და სხვა. ჩვენ გავაგზავნეთ ეს „რაღაც სხვა“ უტოლობის სხვა ნაწილზე, მოდულიდან მოშორებით, რათა საბოლოოდ ყველაფერი დაყვანილიყო $\left| ფორმის განტოლებამდე. f\left(x \right) \right|=g\left(x \მარჯვნივ)$ ან კიდევ უფრო მარტივი $\left| f\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=a$.

მაგრამ საბავშვო ბაღი დასრულდა - დროა განვიხილოთ რაიმე უფრო სერიოზული. დავიწყოთ ასეთი განტოლებებით:

\[\მარცხნივ| f\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| g\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|\]

ეს არის ფორმის "მოდული უდრის მოდულის" განტოლება. ფუნდამენტურად მნიშვნელოვანი წერტილი არის სხვა ტერმინებისა და ფაქტორების არარსებობა: მხოლოდ ერთი მოდული მარცხნივ, კიდევ ერთი მოდული მარჯვნივ - და მეტი არაფერი.

ვიღაც ახლა იფიქრებს, რომ ასეთი განტოლებების ამოხსნა უფრო რთულია, ვიდრე აქამდე შევისწავლეთ. მაგრამ არა: ამ განტოლებების ამოხსნა კიდევ უფრო ადვილია. აი ფორმულა:

\[\მარცხნივ| f\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| g\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ

ყველა! ჩვენ უბრალოდ ვაიგივებთ სუბმოდულურ გამონათქვამებს ერთ-ერთის წინ პლუსის ან მინუს ნიშნის დაყენებით. შემდეგ ჩვენ ვხსნით მიღებულ ორ განტოლებას - და ფესვები მზად არის! არანაირი დამატებითი შეზღუდვა, არანაირი უთანასწორობა და ა.შ. ყველაფერი ძალიან მარტივია.

შევეცადოთ ამ პრობლემის მოგვარება:

\[\მარცხნივ| 2x+3 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| 2x-7 \მარჯვნივ|\]

ელემენტარული უოტსონი! მოდულების გაფართოება:

\[\მარცხნივ| 2x+3 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| 2x-7 \მარჯვნივ|\მარჯვნივ ისარი 2x+3=\pm \მარცხნივ(2x-7 \მარჯვნივ)\]

განვიხილოთ თითოეული შემთხვევა ცალკე:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\მარცხნივ(2x-7 \მარჯვნივ)\მარჯვენა ისარი 2x+3=-2x+7. \\\ბოლო (გასწორება)\]

პირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები. რადგან როდის არის $3=-7$? რა ღირებულებით $x$? „რა ჯანდაბაა $x$? ჩაქოლეს? იქ საერთოდ არ არის $x$”, - ამბობთ თქვენ. და მართალი იქნები. ჩვენ მივიღეთ ტოლობა, რომელიც არ არის დამოკიდებული $x$ ცვლადზე და ამავე დროს თავად ტოლობა არასწორია. ამიტომაც არ არის ფესვები. :)

მეორე განტოლებით, ყველაფერი ცოტა უფრო საინტერესოა, მაგრამ ასევე ძალიან, ძალიან მარტივი:

როგორც ხედავთ, ყველაფერი მოგვარდა სიტყვასიტყვით რამდენიმე სტრიქონში - სხვას არაფერს ველოდით წრფივი განტოლებისგან. :)

შედეგად, საბოლოო პასუხია: $x=1$.

მაშ როგორ? რთული? Რათქმაუნდა არა. სხვა რამე ვცადოთ:

\[\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| ((x)^(2))-3x+2 \მარჯვნივ|\]

ისევ გვაქვს $\left| ფორმის განტოლება f\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| g\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|$. ამიტომ, ჩვენ დაუყოვნებლივ გადავწერთ მას, გამოვავლენთ მოდულის ნიშანს:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)\]

იქნებ ახლა ვინმემ იკითხოს: „აი, რა სისულელეა? რატომ ჩნდება „პლუს-მინუსი“ მარჯვენა გამოსახულებაში და არა მარცხნივ? დამშვიდდი, ახლავე აგიხსნი ყველაფერს. მართლაც, კარგი თვალსაზრისით, ჩვენ უნდა გადაგვეწერა ჩვენი განტოლება შემდეგნაირად:

შემდეგ თქვენ უნდა გახსნათ ფრჩხილები, გადაიტანოთ ყველა ტერმინი ტოლობის ნიშნის ერთ მხარეს (რადგან განტოლება, ცხადია, ორივე შემთხვევაში კვადრატული იქნება) და შემდეგ იპოვეთ ფესვები. მაგრამ თქვენ უნდა აღიაროთ: როდესაც „პლუს-მინუს“ ჩნდება სამი ტერმინის წინ (განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც ამ ტერმინებიდან ერთ-ერთი კვადრატული გამოხატულებაა), ეს გარკვეულწილად უფრო რთული ჩანს, ვიდრე სიტუაცია, როდესაც „პლუს-მინუს“ მხოლოდ ორი ტერმინის წინ ჩნდება.

მაგრამ არაფერი გვიშლის ხელს თავდაპირველი განტოლების შემდეგნაირად გადაწერაში:

\[\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| ((x)^(2))-3x+2 \მარჯვნივ|\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ| ((x)^(2))-3x+2 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|\]

Რა მოხდა? არაფერი განსაკუთრებული: მათ უბრალოდ შეცვალეს მარცხენა და მარჯვენა მხარეები. პატარა რამ, რომელიც საბოლოოდ გაგვიადვილებს ცხოვრებას. :)

ზოგადად, ჩვენ ვხსნით ამ განტოლებას, განვიხილავთ პლიუს და მინუს ვარიანტებს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\მარჯვენა ისარი ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)\მარჯვენა ისარი ((x)^(2))-2x+1=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

პირველ განტოლებას აქვს ფესვები $x=3$ და $x=1$. მეორე არის ზოგადად ზუსტი კვადრატი:

\[((x)^(2))-2x+1=((\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ))^(2))\]

აქედან გამომდინარე, მას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი: $x=1$. მაგრამ ჩვენ უკვე მივიღეთ ეს ფესვი ადრე. ამრიგად, მხოლოდ ორი რიცხვი შევა საბოლოო პასუხში:

\[((x)_(1))=3;\ოთხი ((x)_(2))=1.\]

Მისია შესრულებულია! შეგიძლიათ ღვეზელი თაროდან აიღოთ და მიირთვათ. არის 2 მათგანი, შენი შუაშია. :)

Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი. მოდულის გაფართოების სხვადასხვა ვარიანტებისთვის იდენტური ფესვების არსებობა ნიშნავს, რომ ორიგინალური პოლინომები ფაქტორიზებულია და ამ ფაქტორებს შორის აუცილებლად იქნება საერთო. ნამდვილად:

\[\ დასაწყისი (გასწორება)& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| ((x)^(2))-3x+2 \მარჯვნივ|; \\& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| \მარცხენა(x-1 \მარჯვნივ)\მარცხენა(x-2 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|. \\\ბოლო (გასწორება)\]

მოდულის ერთ-ერთი თვისება: $\left| a\cdot b \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| a \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| b \right|$ (ანუ პროდუქტის მოდული უდრის მოდულის ნამრავლს), ამიტომ თავდაპირველი განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| x-2 \მარჯვნივ|\]

როგორც ხედავთ, ჩვენ ნამდვილად გვაქვს საერთო ფაქტორი. ახლა, თუ თქვენ შეაგროვებთ ყველა მოდულს ერთ მხარეს, შეგიძლიათ ამოიღოთ ეს ფაქტორი ფრჩხილიდან:

\[\ დასაწყისი (გასწორება)& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| x-2 \მარჯვნივ|; \\& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|-\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| x-2 \მარჯვნივ|=0; \\& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|\cdot \left(1-\left| x-2 \მარჯვნივ| \მარჯვნივ)=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

კარგად, ახლა გახსოვდეთ, რომ პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია:

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=0, \\& \მარცხნივ| x-2 \მარჯვნივ|=1. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ამრიგად, ორიგინალური განტოლება ორი მოდულით შემცირდა ორ უმარტივეს განტოლებამდე, რომლებზეც გაკვეთილის დასაწყისში ვისაუბრეთ. ასეთი განტოლებები შეიძლება ამოიხსნას სიტყვასიტყვით რამდენიმე სტრიქონში. :)

ეს შენიშვნა შეიძლება ზედმეტად რთული და პრაქტიკაში შეუსაბამო ჩანდეს. თუმცა, სინამდვილეში, თქვენ შეიძლება შეგხვდეთ ბევრად უფრო რთული პრობლემები, ვიდრე დღეს ჩვენ განვიხილავთ. მათში მოდულები შეიძლება გაერთიანდეს მრავალწევრებთან, არითმეტიკულ ფესვებთან, ლოგარითმებთან და ა.შ. და ასეთ სიტუაციებში, განტოლების საერთო ხარისხის შემცირების შესაძლებლობა ფრჩხილებიდან რაღაცის ამოღებით შეიძლება იყოს ძალიან, ძალიან სასარგებლო. :)

ახლა მინდა გადავხედო სხვა განტოლებას, რომელიც ერთი შეხედვით შეიძლება გიჟურად მოგეჩვენოთ. ბევრი სტუდენტი ჩერდება მასზე, თუნდაც ისინი, ვინც ფიქრობს, რომ კარგად ესმით მოდულები.

თუმცა, ეს განტოლება კიდევ უფრო ადვილად ამოსახსნელია, ვიდრე ადრე ვნახეთ. და თუ გესმით რატომ, თქვენ მიიღებთ კიდევ ერთ ხრიკს მოდულით განტოლებების სწრაფად ამოხსნისთვის.

ასე რომ, განტოლება არის:

\[\მარცხნივ| x-((x)^(3)) \მარჯვნივ|+\მარცხნივ| ((x)^(2))+x-2 \მარჯვნივ|=0\]

არა, ეს არ არის შეცდომა: მოდულებს შორის არის პლუსი. და ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რა $x$-ზეა ორი მოდულის ჯამი ნულის ტოლი. :)

მაინც რა პრობლემაა? მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ თითოეული მოდული არის დადებითი რიცხვი, ან, უკიდურეს შემთხვევაში, ნულოვანი. რა მოხდება, თუ დაამატებთ ორ დადებით რიცხვს? აშკარად ისევ დადებითი რიცხვია:

\[\ დასაწყისი (გასწორება)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\ბოლო(გასწორება)\]

ბოლო სტრიქონი მოგცემთ წარმოდგენას: ერთადერთი, როდესაც მოდულების ჯამი არის ნული, არის თუ თითოეული მოდული ნულის ტოლია:

\[\მარცხნივ| x-((x)^(3)) \მარჯვნივ|+\მარცხნივ| ((x)^(2))+x-2 \მარჯვნივ|=0\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& \მარცხნივ| x-((x)^(3)) \მარჯვნივ|=0, \\& \მარცხნივ| ((x)^(2))+x-2 \მარჯვნივ|=0. \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

და როდის არის მოდული ნულის ტოლი? მხოლოდ ერთ შემთხვევაში - როდესაც სუბმოდულური გამოხატულება ნულის ტოლია:

\[((x)^(2))+x-2=0\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)=0\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& x=-2 \\& x=1 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ამრიგად, გვაქვს სამი წერტილი, რომლებშიც პირველი მოდული გადატვირთულია ნულამდე: 0, 1 და −1; ასევე ორი წერტილი, რომლებზეც მეორე მოდული გადატვირთულია ნულამდე: −2 და 1. თუმცა, ჩვენ გვჭირდება ორივე მოდული ერთდროულად გადატვირთვის ნულამდე, ამიტომ აღმოჩენილ რიცხვებს შორის უნდა ავირჩიოთ ის, რაც შედის ორივე კომპლექტი. ცხადია, ასეთი რიცხვი მხოლოდ ერთია: $x=1$ - ეს იქნება საბოლოო პასუხი.

გაყოფის მეთოდი

კარგად, ჩვენ უკვე გადავხედეთ რამდენიმე პრობლემას და ვისწავლეთ ბევრი ტექნიკა. გგონია სულ ესაა? Მაგრამ არა! ახლა ჩვენ გადავხედავთ საბოლოო ტექნიკას - და ამავე დროს ყველაზე მნიშვნელოვანს. ჩვენ ვისაუბრებთ მოდულით განტოლებების გაყოფაზე. რაზე ვილაპარაკოთ საერთოდ? მოდით ცოტა უკან დავბრუნდეთ და შევხედოთ მარტივ განტოლებას. მაგალითად ეს:

\[\მარცხნივ| 3x-5 \მარჯვნივ|=5-3x\]

პრინციპში, ჩვენ უკვე ვიცით როგორ ამოხსნათ ასეთი განტოლება, რადგან ეს არის $\left| ფორმის სტანდარტული კონსტრუქცია. f\left(x \right) \right|=g\left(x \მარჯვნივ)$. მაგრამ შევეცადოთ შევხედოთ ამ განტოლებას ოდნავ განსხვავებული კუთხით. უფრო ზუსტად, განიხილეთ გამოხატულება მოდულის ნიშნის ქვეშ. შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი რიცხვის მოდული შეიძლება იყოს თავად რიცხვის ტოლი, ან შეიძლება იყოს ამ რიცხვის საპირისპირო:

\[\მარცხნივ| a \მარჯვნივ|=\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

სინამდვილეში, ეს გაურკვევლობა არის მთელი პრობლემა: ვინაიდან რიცხვი მოდულის ქვეშ იცვლება (ეს დამოკიდებულია ცვლადზე), ჩვენთვის უცნობია დადებითია თუ უარყოფითი.

მაგრამ რა მოხდება, თუ თავდაპირველად მოითხოვთ, რომ ეს რიცხვი იყოს დადებითი? მაგალითად, ჩვენ ვითხოვთ, რომ $3x-5 \gt 0$ - ამ შემთხვევაში ჩვენ გარანტირებული გვაქვს დადებითი რიცხვის მიღება მოდულის ნიშნის ქვეშ და ჩვენ შეგვიძლია მთლიანად მოვიშოროთ ეს მოდული:

ამრიგად, ჩვენი განტოლება გადაიქცევა წრფივ, რომლის ამოხსნაც მარტივად შეიძლება:

მართალია, ყველა ამ აზრს აზრი აქვს მხოლოდ იმ პირობით, $3x-5 \gt 0$ - ჩვენ თვითონ შემოვიღეთ ეს მოთხოვნა მოდულის ცალსახად გამოსავლენად. ამიტომ, შევცვალოთ ნაპოვნი $x=\frac(5)(3)$ ამ მდგომარეობაში და შევამოწმოთ:

გამოდის, რომ $x$-ის მითითებული მნიშვნელობისთვის ჩვენი მოთხოვნა არ არის დაკმაყოფილებული, რადგან გამოთქმა აღმოჩნდა ნულის ტოლი და ჩვენ გვჭირდება, რომ ის მკაცრად მეტი იყოს ნულზე. სამწუხაროა. :(

მაგრამ არაუშავს! ყოველივე ამის შემდეგ, არის კიდევ ერთი ვარიანტი $3x-5 \lt 0$. მეტიც: არის შემთხვევაც $3x-5=0$ - ესეც გასათვალისწინებელია, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოსავალი არასრული იქნება. ასე რომ, განიხილეთ შემთხვევა $3x-5 \lt 0$:

ცხადია, მოდული გაიხსნება მინუს ნიშნით. მაგრამ შემდეგ წარმოიქმნება უცნაური სიტუაცია: როგორც მარცხნივ, ასევე მარჯვნივ თავდაპირველ განტოლებაში ერთი და იგივე გამონათქვამი გამოიკვეთება:

მაინტერესებს $x$-ში $5-3x$ გამოთქმის $5-3x$ ტოლი იქნება? კაპიტანი ცხადიობაც კი ნერწყვს ახრჩობდა ასეთი განტოლებიდან, მაგრამ ვიცით: ეს განტოლება არის იდენტობა, ე.ი. ეს მართალია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის!

ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი $x$ მოგვწონს. თუმცა, ჩვენ გვაქვს შეზღუდვა:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პასუხი არ იქნება ერთი რიცხვი, არამედ მთელი ინტერვალი:

დაბოლოს, გასათვალისწინებელია კიდევ ერთი შემთხვევა: $3x-5=0$. აქ ყველაფერი მარტივია: მოდულის ქვეშ იქნება ნული, ხოლო ნულის მოდული ასევე უდრის ნულს (ეს პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს):

მაგრამ შემდეგ ორიგინალური განტოლება $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ გადაიწერება შემდეგნაირად:

ჩვენ უკვე მივიღეთ ეს ფესვი ზემოთ, როდესაც განვიხილეთ შემთხვევა $3x-5 \gt 0$. უფრო მეტიც, ეს ფესვი არის $3x-5=0$ განტოლების ამოხსნა - ეს არის შეზღუდვა, რომელიც ჩვენ თვითონ შემოვიღეთ მოდულის გადატვირთვისთვის. :)

ამრიგად, ინტერვალის გარდა, ჩვენ ასევე დავკმაყოფილდებით ამ ინტერვალის ბოლოში მყოფი რიცხვით:

მთლიანი საბოლოო პასუხი: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ არც ისე ხშირია ასეთი სისულელეების დანახვა საკმაოდ მარტივ (ძირითადად წრფივ) განტოლებაზე მოდულით, მართლა? კარგი, შეეგუე: მოდულის სირთულე იმაში მდგომარეობს, რომ პასუხები ასეთ განტოლებებში შეიძლება სრულიად არაპროგნოზირებადი აღმოჩნდეს.

ბევრად უფრო მნიშვნელოვანია სხვა რამ: ჩვენ ახლახან გავაანალიზეთ უნივერსალური ალგორითმი განტოლების მოდულით ამოხსნისთვის! და ეს ალგორითმი შედგება შემდეგი ნაბიჯებისგან:

1. განტოლებაში თითოეული მოდული გაატოლეთ ნულთან. ვიღებთ რამდენიმე განტოლებას;
2. ამოხსენით ყველა ეს განტოლება და მონიშნეთ ფესვები რიცხვთა წრფეზე. შედეგად, სწორი ხაზი დაიყოფა რამდენიმე ინტერვალად, რომელთაგან თითოეულში ყველა მოდული ცალსახად ვლინდება;
3. ამოხსენით ორიგინალური განტოლება თითოეული ინტერვალისთვის და გააერთიანეთ თქვენი პასუხები.

Სულ ეს არის! დარჩა მხოლოდ ერთი კითხვა: რა ვუყოთ პირველ ეტაპზე მიღებულ ფესვებს? ვთქვათ, გვაქვს ორი ფესვი: $x=1$ და $x=5$. ისინი დაყოფენ რიცხვით ხაზს 3 ნაწილად:

ასე რომ, რა არის ინტერვალები? ნათელია, რომ სამი მათგანია:

1. ყველაზე მარცხენა: $x \lt 1$ — თავად ერთეული არ შედის ინტერვალში;
2. ცენტრალური: $1\le x \lt 5$ - აქ ერთი შედის ინტერვალში, მაგრამ ხუთი არ შედის;
3. ყველაზე სწორი: $x\ge 5$ - ხუთი მხოლოდ აქ შედის!

ვფიქრობ, თქვენ უკვე გესმით ნიმუში. თითოეული ინტერვალი მოიცავს მარცხენა ბოლოს და არ მოიცავს მარჯვენას.

ერთი შეხედვით, ასეთი ჩანაწერი შეიძლება მოგეჩვენოთ მოუხერხებელი, ალოგიკური და ზოგადად რაღაც გიჟური. მაგრამ დამიჯერეთ: მცირე ვარჯიშის შემდეგ აღმოაჩენთ, რომ ეს მიდგომა ყველაზე საიმედოა და არ უშლის ხელს მოდულების ცალსახად გახსნას. უმჯობესია გამოიყენოთ ასეთი სქემა, ვიდრე იფიქროთ ყოველ ჯერზე: მიეცით მარცხენა/მარჯვენა ბოლო მიმდინარე ინტერვალს ან „გადააგდეთ“ შემდეგში.

ამით მთავრდება გაკვეთილი. ჩამოტვირთეთ პრობლემები დამოუკიდებლად გადასაჭრელად, ივარჯიშეთ, შეადარეთ პასუხებს - და გნახავთ შემდეგ გაკვეთილზე, რომელიც დაეთმობა უტოლობებს მოდულით. :)

ჯერ განვსაზღვრავთ გამოხატვის ნიშანს მოდულის ნიშნის ქვეშ და შემდეგ ვაფართოვებთ მოდულს:

• თუ გამოხატვის მნიშვნელობა ნულზე მეტია, მაშინ ჩვენ უბრალოდ ამოვიღებთ მას მოდულის ნიშნის ქვეშ,
• თუ გამონათქვამი არის ნულზე ნაკლები, მაშინ ჩვენ მას ვხსნით მოდულის ნიშნის ქვეშ, ვცვლით ნიშანს, როგორც ეს ადრე გავაკეთეთ მაგალითებში.

აბა, ვცადოთ? მოდით შევაფასოთ:

(დაივიწყე, გაიმეორე.)

თუ ასეა, რა ნიშანი აქვს? Რა თქმა უნდა, !

და, შესაბამისად, ჩვენ ვაფართოებთ მოდულის ნიშანს გამოხატვის ნიშნის შეცვლით:

Გავიგე? მაშინ სცადე შენ თვითონ:

პასუხები:

სხვა რა თვისებები აქვს მოდულს?

თუ ჩვენ გვჭირდება რიცხვების გამრავლება მოდულის ნიშნის შიგნით, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გავამრავლოთ ამ რიცხვების მოდულები!!!

მათემატიკური თვალსაზრისით, რიცხვთა ნამრავლის მოდული ტოლია ამ რიცხვების მოდულების ნამრავლის.

Მაგალითად:

რა მოხდება, თუ მოდულის ნიშნის ქვეშ დაგვჭირდება ორი რიცხვის (გამოხატვის) გაყოფა?

დიახ, იგივე, რაც გამრავლებისას! მოდით დავყოთ იგი ორ ცალკეულ რიცხვად (გამონათქვამები) მოდულის ნიშნის ქვეშ:

იმ პირობით, რომ (რადგან ნულზე ვერ გაყოფთ).

ღირს გავიხსენოთ მოდულის კიდევ ერთი თვისება:

რიცხვთა ჯამის მოდული ყოველთვის ნაკლებია ან ტოლია ამ რიცხვების მოდულების ჯამისა:

Რატომ არის, რომ? ყველაფერი ძალიან მარტივია!

როგორც გვახსოვს, მოდული ყოველთვის დადებითია. მაგრამ მოდულის ნიშნის ქვეშ შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი: დადებითიც და უარყოფითიც. დავუშვათ, რომ რიცხვები და ორივე დადებითია. მაშინ მარცხენა გამონათქვამი იქნება მარჯვენა გამოსახულების ტოლი.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

თუ მოდულის ნიშნის ქვეშ ერთი რიცხვი უარყოფითია, მეორე კი დადებითი, მარცხენა გამოხატულება ყოველთვის ნაკლები იქნება ვიდრე მარჯვენა:

ყველაფერი ნათელია ამ თვისებით, მოდით გადავხედოთ მოდულის კიდევ რამდენიმე სასარგებლო თვისებას.

რა მოხდება, თუ გვაქვს ეს გამოთქმა:

რა ვუყოთ ამ გამოთქმას? x-ის მნიშვნელობა ჩვენთვის უცნობია, მაგრამ ჩვენ უკვე ვიცით რას ნიშნავს.

რიცხვი ნულზე მეტია, რაც ნიშნავს, რომ შეგიძლიათ უბრალოდ დაწეროთ:

ამრიგად, ჩვენ მივდივართ სხვა თვისებამდე, რომელიც ზოგადად შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

რას უდრის ეს გამოთქმა:

ასე რომ, ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ ნიშანი მოდულის ქვეშ. აუცილებელია თუ არა აქ ნიშნის განსაზღვრა?

რა თქმა უნდა არა, თუ გახსოვთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი კვადრატში ყოველთვის მეტია ნულზე! თუ არ გახსოვს, ნახე თემა. მერე რა ხდება? აი რა:

დიდი, არა? საკმაოდ მოსახერხებელი. ახლა კი კონკრეტული მაგალითი განსამტკიცებლად:

აბა, რატომ არის ეჭვები? ვიმოქმედოთ თამამად!

ეს ყველაფერი გაარკვიე? შემდეგ განაგრძეთ და ივარჯიშეთ მაგალითებით!

1. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა თუ.

2. რომელ რიცხვებს აქვთ ერთნაირი მოდული?

3. იპოვე გამოთქმების მნიშვნელობა:

თუ ჯერ ყველაფერი არ არის ნათელი და არის სირთულეები გადაწყვეტილებებში, მაშინ მოდით გაერკვნენ:

გამოსავალი 1:

ასე რომ, ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობები და გამოსახულებაში

გამოსავალი 2:

როგორც გვახსოვს, საპირისპირო რიცხვები მოდულში ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ მოდულის მნიშვნელობა უდრის ორ რიცხვს: და.

გამოსავალი 3:

ა)
ბ)
V)
გ)

დაიჭირე ყველაფერი? მაშინ დროა გადავიდეთ უფრო რთულზე!

ვცადოთ გამოთქმის გამარტივება

გამოსავალი:

ასე რომ, ჩვენ გვახსოვს, რომ მოდულის მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს ნულზე ნაკლები. თუ მოდულის ნიშანს აქვს დადებითი რიცხვი, მაშინ შეგვიძლია უბრალოდ გამოვრიცხოთ ნიშანი: რიცხვის მოდული ამ რიცხვის ტოლი იქნება.

მაგრამ თუ მოდულის ნიშნის ქვეშ არის უარყოფითი რიცხვი, მაშინ მოდულის მნიშვნელობა უდრის საპირისპირო რიცხვს (ანუ „-“ ნიშნით აღებული რიცხვი).

ნებისმიერი გამონათქვამის მოდულის საპოვნელად, ჯერ უნდა გაარკვიოთ, იღებს თუ არა მას დადებითი ან უარყოფითი მნიშვნელობა.

გამოდის, რომ მოდულის ქვეშ პირველი გამოხატვის მნიშვნელობა.

ამიტომ, მოდულის ნიშნის ქვეშ გამოხატვა უარყოფითია. მეორე გამოხატულება მოდულის ნიშნის ქვეშ ყოველთვის დადებითია, რადგან ჩვენ ვამატებთ ორ დადებით რიცხვს.

ასე რომ, პირველი გამოხატვის მნიშვნელობა მოდულის ნიშნის ქვეშ არის უარყოფითი, მეორე დადებითი:

ეს ნიშნავს, რომ პირველი გამონათქვამის მოდულის ნიშნის გაფართოებისას ეს გამოთქმა უნდა ავიღოთ „-“ ნიშნით. Ამგვარად:

მეორე შემთხვევაში, ჩვენ უბრალოდ უარვყოფთ მოდულის ნიშანს:

მოდით გავამარტივოთ ეს გამოთქმა მთლიანად:

რიცხვის მოდული და მისი თვისებები (მკაცრი განმარტებები და მტკიცებულებები)

განმარტება:

რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა) არის თავად რიცხვი, თუ და რიცხვი, თუ:

Მაგალითად:

მაგალითი:

გამოხატვის გამარტივება.

გამოსავალი:

მოდულის ძირითადი თვისებები

Ყველასთვის:

მაგალითი:

დაამტკიცეთ ქონება No5.

მტკიცებულება:

დავუშვათ, რომ არსებობენ ისეთებიც

მოდით გავამრავლოთ უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეები (ეს შეიძლება გაკეთდეს, რადგან უტოლობის ორივე მხარე ყოველთვის არაუარყოფითია):

და ეს ეწინააღმდეგება მოდულის განმარტებას.

შესაბამისად, ასეთი ადამიანები არ არსებობენ, რაც იმას ნიშნავს, რომ უთანასწორობა ყველას ეხება

დამოუკიდებელი გადაწყვეტილებების მაგალითები:

1) დაამტკიცე ქონება No6.

2) გამოთქმის გამარტივება.

პასუხები:

1) გამოვიყენოთ თვისება No3: , და მას შემდეგ, მაშინ

გამარტივების მიზნით, თქვენ უნდა გააფართოვოთ მოდულები. და მოდულების გაფართოებისთვის, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, მოდულის ქვეშ მყოფი გამონათქვამები დადებითია თუ უარყოფითი?

ა. მოდით შევადაროთ რიცხვები და და:

ბ. ახლა შევადაროთ:

ჩვენ ვამატებთ მოდულების მნიშვნელობებს:

რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. მოკლედ მთავარის შესახებ.

რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა) არის თავად რიცხვი, თუ და რიცხვი, თუ:

მოდულის თვისებები:

1. რიცხვის მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი: ;
2. საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია: ;
3. ორი (ან მეტი) რიცხვის ნამრავლის მოდული უდრის მათი მოდულების ნამრავლს: ;
4. ორი რიცხვის კოეფიციენტის მოდული უდრის მათი მოდულების კოეფიციენტს: ;
5. რიცხვთა ჯამის მოდული ყოველთვის ნაკლებია ან ტოლია ამ რიცხვების მოდულების ჯამისა: ;
6. მუდმივი დადებითი მულტიპლიკატორი შეიძლება ამოღებულ იქნეს მოდულის ნიშნიდან: at;

რიცხვის მოდული არის ახალი კონცეფცია მათემატიკაში. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ რა არის რიცხვითი მოდული და როგორ ვიმუშაოთ მასთან?

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

სახლიდან გამოვედით მაღაზიაში წასასვლელად. ჩვენ ვიარეთ 300 მ, მათემატიკურად ეს გამოთქმა შეიძლება დაიწეროს როგორც +300, "+" ნიშნიდან 300 რიცხვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება. რიცხვის მანძილი ან მოდული მათემატიკაში იგივეა და შეიძლება ასე დაიწეროს: |300|=300. რიცხვის მოდულის ნიშანი მითითებულია ორი ვერტიკალური ხაზით.

შემდეგ კი საპირისპირო მიმართულებით 200 მეტრი ვიარეთ. მათემატიკურად შეგვიძლია დავწეროთ დაბრუნების გზა -200. მაგრამ ჩვენ არ ვამბობთ "ჩვენ წავედით მინუს ორასი მეტრი", თუმცა დავბრუნდით, რადგან მანძილი, როგორც რაოდენობა, რჩება დადებითი. ამ მიზნით მათემატიკაში დაინერგა მოდულის ცნება. -200 რიცხვის მანძილი ან მოდული შეგიძლიათ დაწეროთ ასე: |-200|=200.

მოდულის თვისებები.

განმარტება:
რიცხვის მოდული ან რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობაარის მანძილი საწყისი წერტილიდან დანიშნულების პუნქტამდე.

ნულის ტოლი მთელი რიცხვის მოდული ყოველთვის დადებითი რიცხვია.

მოდული ასე იწერება:

1. დადებითი რიცხვის მოდული უდრის თავად რიცხვს.
| a|=ა

2. უარყოფითი რიცხვის მოდული საპირისპირო რიცხვის ტოლია.
|- a|=ა

3. ნულის მოდული ნულის ტოლია.
|0|=0

4. საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია.
| a|=|-a|=ა

დაკავშირებული კითხვები:
რა არის რიცხვის მოდული?
პასუხი: მოდული არის მანძილი საწყისი წერტილიდან დანიშნულების პუნქტამდე.

თუ მთელი რიცხვის წინ დააყენებთ "+" ნიშანს, რა მოხდება?
პასუხი: რიცხვი არ იცვლის მნიშვნელობას, მაგალითად, 4=+4.

თუ მთელი რიცხვის წინ „-“ ნიშანს დააყენებთ, რა მოხდება?
პასუხი: რიცხვი შეიცვლება, მაგალითად, 4 და -4.

რომელ რიცხვებს აქვთ იგივე მოდული?
პასუხი: დადებით რიცხვებს და ნულს იგივე მოდული ექნებათ. მაგალითად, 15=|15|.

რომელ რიცხვებს აქვთ საპირისპირო რიცხვის მოდული?
პასუხი: უარყოფითი რიცხვებისთვის მოდული იქნება საპირისპირო რიცხვის ტოლი. მაგალითად, |-6|=6.

მაგალითი #1:
იპოვეთ რიცხვების მოდული: ა) 0 ბ) 5 გ) -7?

გამოსავალი:
ა) |0|=0
ბ) |5|=5
გ)|-7|=7

მაგალითი #2:
არის თუ არა ორი განსხვავებული რიცხვი, რომელთა მოდულები ტოლია?

გამოსავალი:
|10|=10
|-10|=10

საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია.

მაგალითი #3:
რომელ ორ საპირისპირო რიცხვს აქვს 9 მოდული?

გამოსავალი:
|9|=9
|-9|=9

პასუხი: 9 და -9.

მაგალითი #4:
მიჰყევით ამ ნაბიჯებს: ა) |+5|+|-3| ბ) |-3|+|-8| გ)|+4|-|+1|

გამოსავალი:
ა) |+5|+|-3|=5+3=8
ბ) |-3|+|-8|=3+8=11
გ)|+4|-|+1|=4-1=3

მაგალითი #5:
იპოვეთ: ა) 2 რიცხვის მოდული ბ) 6 რიცხვის მოდული გ) 8 რიცხვის მოდული დ) 1 რიცხვის მოდული ე) 0 რიცხვის მოდული.
გამოსავალი:

ა) რიცხვი 2-ის მოდული აღინიშნება როგორც |2| ან |+2| Ეს იგივეა.
|2|=2

ბ) 6 რიცხვის მოდული აღინიშნა როგორც |6| ან |+6| Ეს იგივეა.
|6|=6

გ) მე-8 რიცხვის მოდული აღინიშნება როგორც |8| ან |+8| Ეს იგივეა.
|8|=8

დ) 1 რიცხვის მოდული აღინიშნება როგორც |1| ან |+1| Ეს იგივეა.
|1|=1

ე) 0 რიცხვის მოდული აღინიშნება |0|, |+0| ან |-0| Ეს იგივეა.
|0|=0