იპოვეთ x-ის ფესვის წარმოებული. იპოვეთ წარმოებული: ალგორითმი და ამონახსნების მაგალითები

ინსტრუქციები

სანამ ფესვის წარმოებულს იპოვით, ყურადღება მიაქციეთ ამოხსნილ მაგალითში არსებულ სხვა ფუნქციებს. თუ პრობლემას ბევრი რადიკალური გამოხატულება აქვს, მაშინ გამოიყენეთ შემდეგი წესი კვადრატული ფესვის წარმოებულის საპოვნელად:

(√x)" = 1/2√x.

და კუბის ფესვის წარმოებულის საპოვნელად გამოიყენეთ ფორმულა:

(³√x)" = 1 / 3(³√x)²,

სადაც ³√x აღნიშნავს x-ის კუბურ ფესვს.

თუ დიფერენციაციისთვის არის ცვლადი წილადში, მაშინ გადააკეთეთ ფესვი სიმძლავრის ფუნქციად შესაბამისი მაჩვენებლით. კვადრატული ფესვისთვის ეს იქნება ½ სიმძლავრე, ხოლო კუბური ფესვისთვის იქნება ⅓:

√x = x^½,
³√х = x ^ ⅓,

სადაც ^ აღნიშნავს ექსპონენტაციას.

ზოგადად სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად და კონკრეტულად x^1, x^⅓ გამოიყენეთ შემდეგი წესი:

(x^n)" = n * x^(n-1).

ფესვის წარმოებულისთვის ეს მიმართება გულისხმობს:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) და
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

ყველაფრის დიფერენცირების შემდეგ, ყურადღებით დააკვირდით მაგალითს. თუ თქვენ გაქვთ ძალიან უხერხული გამოთქმა თქვენს პასუხში, მაშინ ალბათ შეგიძლიათ გაამარტივოთ იგი. სკოლის მაგალითების უმეტესობა სტრუქტურირებულია ისე, რომ საბოლოო შედეგი არის მცირე რიცხვი ან კომპაქტური გამოხატულება.

ბევრ წარმოებულ პრობლემაში ფესვები (კვადრატი და კუბი) გვხვდება სხვა ფუნქციებთან ერთად. ამ შემთხვევაში ფესვის წარმოებულის მოსაძებნად გამოიყენეთ შემდეგი წესები:
მუდმივის წარმოებული (მუდმივი რიცხვი, C) უდრის ნულს: C" = 0;
მუდმივი ფაქტორი ამოღებულია წარმოებული ნიშნიდან: (k*f)" = k * (f)" (f არის თვითნებური ფუნქცია);
რამდენიმე ფუნქციის ჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს: (f + g)" = (f)" + (g)";
ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის... არა, არა წარმოებულების ნამრავლი, არამედ შემდეგი გამოთქმა: (fg)" = (f)"g + f (g)";
კოეფიციენტის წარმოებული ასევე არ უდრის წარმოებულთა კოეფიციენტს, მაგრამ გვხვდება შემდეგი წესის მიხედვით: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g².

შენიშვნა

ამ გვერდზე შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფუნქციის წარმოებული ონლაინ და მიიღოთ პრობლემის დეტალური გადაწყვეტა. ფუნქციის წარმოებულების ამოხსნა კეთდება დიფერენციაციის წესების გამოყენებით, რომლებსაც სტუდენტები სწავლობენ ინსტიტუტში მათემატიკური ანალიზის მსვლელობისას. იმისათვის, რომ იპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, უნდა შეიყვანოთ დიფერენციაციის ფუნქცია ველში „ფუნქცია“ მონაცემთა შეყვანის წესების მიხედვით.

სასარგებლო რჩევა

ფუნქციის წარმოებული არის ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც არგუმენტის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის: ამ განმარტების მათემატიკური მნიშვნელობა არც ისე ადვილი გასაგებია, რადგან სკოლაში ალგებრის კურსი ფუნქციის ლიმიტის ცნება ან საერთოდ არ არის შესწავლილი ან ძალიან ზედაპირულად არის შესწავლილი. მაგრამ იმისათვის, რომ ვისწავლოთ თუ როგორ უნდა იპოვოთ სხვადასხვა ფუნქციების წარმოებულები, ეს არ არის საჭირო.

წყაროები:

• x-ის მიღებული ფესვი

1. თვითნებური ხარისხის ფესვის წარმოებულის ფორმულის ზოგადი შემთხვევა- წილადი, რომლის მრიცხველში არის ერთი, ხოლო მნიშვნელში რიცხვი, რომლის ტოლია ფესვის სიმძლავრე, რომლისთვისაც წარმოებული იყო გამოთვლილი, გამრავლებული იმავე სიმძლავრის ფესვზე, რომლის რადიკალური გამოხატულება არის ცვლადი ფესვის სიმძლავრე, რომლისთვისაც წარმოებული იყო გამოთვლილი, შემცირდა ერთით
2. კვადრატული ფესვის წარმოებული- წინა ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევაა. x-ის კვადრატული ფესვის წარმოებულიარის წილადი, რომლის მრიცხველი არის ერთი და მნიშვნელი ორჯერ კვადრატულ ფესვზე x-ის
3. კუბის ფესვის წარმოებული, ასევე ზოგადი ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა. კუბური ფესვის წარმოებული არის ერთი გაყოფილი სამ კუბურ ფესვზე x კვადრატზე.

ქვემოთ მოცემულია ტრანსფორმაციები, რომლებიც განმარტავს, თუ რატომ არის კვადრატული და კუბური ფესვების წარმოებულების პოვნის ფორმულები ზუსტად იგივე, რაც ნაჩვენებია ფიგურაში.

რა თქმა უნდა, თქვენ საერთოდ არ გჭირდებათ ამ ფორმულების დამახსოვრება, თუ გავითვალისწინებთ, რომ წარმოებული სიმძლავრის ფესვის ამოღება იგივეა, რაც წილადის აწევა, რომლის მნიშვნელი იგივე სიმძლავრის ტოლია. შემდეგ ფესვის წარმოებულის პოვნა მცირდება შესაბამისი წილადის სიმძლავრის წარმოებულის პოვნის ფორმულის გამოყენებამდე..

ცვლადის წარმოებული კვადრატული ფესვის ქვეშ

ახსნა:
(√x)" = (x 1/2)"

კვადრატული ფესვი ზუსტად იგივე ოპერაციაა, რაც 1/2 ხარისხზე აწევა,ეს ნიშნავს, რომ ფესვის წარმოებულის მოსაძებნად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა ცვლადის წარმოებულის პოვნის წესიდან თვითნებური ხარისხით:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

კუბური ფესვის წარმოებული (მესამე ფესვის წარმოებული)

წარმოვიდგინოთ კუბის ფესვი 1/3-ის ხარისხად და ვიპოვოთ წარმოებული დიფერენცირების ზოგადი წესების გამოყენებით. მოკლე ფორმულა შეგიძლიათ იხილოთ ზემოთ მოცემულ სურათზე, ხოლო ქვემოთ მოცემულია ახსნა, თუ რატომ არის ეს ასე.

სიმძლავრე -2/3 მიიღება 1/3-ის გამოკლებით

სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის გამოყვანა (x a-ს ხარისხამდე). განიხილება წარმოებულები x-ის ფესვებიდან. უმაღლესი რიგის სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა. წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები.

Იხილეთ ასევე: სიმძლავრის ფუნქცია და ფესვები, ფორმულები და გრაფიკი
დენის ფუნქციის გრაფიკები

ძირითადი ფორმულები

x-ის წარმოებული a-ს ხარისხზე ტოლია x-ის ხარისხზე მინუს ერთი:
(1) .

x-ის n-ე ფესვის წარმოებული mth ხარისხთან არის:
(2) .

სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა

შემთხვევა x > 0

განვიხილოთ x ცვლადის სიმძლავრის ფუნქცია a მაჩვენებლით:
(3) .
აქ a არის თვითნებური რეალური რიცხვი. ჯერ საქმე განვიხილოთ.

(3) ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად ვიყენებთ სიმძლავრის ფუნქციის თვისებებს და გარდაქმნით მას შემდეგ ფორმაში:
.

ახლა ჩვენ ვიპოვით წარმოებულს გამოყენებით:
;
.
Აქ .

ფორმულა (1) დადასტურებულია.

x-ის n ხარისხის ფესვის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა m ხარისხამდე

ახლა განიხილეთ ფუნქცია, რომელიც არის შემდეგი ფორმის ფესვი:
(4) .

წარმოებულის საპოვნელად, ფესვს ვაქცევთ ძალაუფლების ფუნქციად:
.
(3) ფორმულასთან შედარება ჩვენ ვხედავთ, რომ
.
მერე
.

ფორმულის გამოყენებით (1) ვიპოვით წარმოებულს:
(1) ;
;
(2) .

პრაქტიკაში არ არის საჭირო ფორმულის დამახსოვრება (2). ბევრად უფრო მოსახერხებელია ჯერ ფესვების გადაქცევა ძალაუფლების ფუნქციებად, შემდეგ კი მათი წარმოებულების პოვნა ფორმულის გამოყენებით (1) (იხილეთ მაგალითები გვერდის ბოლოს).

შემთხვევა x = 0

თუ , მაშინ სიმძლავრის ფუნქცია განისაზღვრება x = ცვლადის მნიშვნელობისთვის 0 . ვიპოვოთ (3) ფუნქციის წარმოებული x =-ზე 0 . ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ წარმოებულის განმარტებას:
.

ჩავანაცვლოთ x = 0 :
.
ამ შემთხვევაში წარმოებულში ვგულისხმობთ მარჯვენა ზღვარს, რომლისთვისაც .

ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ:
.
აქედან ირკვევა, რომ , .
ზე,.
ზე,.
ეს შედეგი ასევე მიღებულია ფორმულიდან (1):
(1) .
ამიტომ, ფორმულა (1) ასევე მოქმედებს x =-ისთვის 0 .

შემთხვევა x< 0

კვლავ განიხილეთ ფუნქცია (3):
(3) .
a მუდმივის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის ის ასევე განისაზღვრება x ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. კერძოდ, დაე იყოს რაციონალური რიცხვი. მაშინ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შეუქცევადი წილადი:
,
სადაც m და n არის მთელი რიცხვები, რომლებსაც არ აქვთ საერთო გამყოფი.

თუ n კენტია, მაშინ ძალაუფლების ფუნქცია ასევე განისაზღვრება x ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. მაგალითად, როდესაც n = 3 და m = 1 ჩვენ გვაქვს x-ის კუბური ფესვი:
.
ის ასევე განისაზღვრება x ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის.

მოდით ვიპოვოთ სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული (3) მუდმივის a და რაციონალური მნიშვნელობებისთვის, რომლისთვისაც ის არის განსაზღვრული. ამისათვის წარმოვიდგინოთ x შემდეგი ფორმით:
.
მაშინ,
.
წარმოებულს ვპოულობთ წარმოებულის ნიშნის გარეთ მუდმივის მოთავსებით და რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენებით:

.
Აქ . მაგრამ
.
Მას შემდეგ
.
მერე
.
ანუ, ფორმულა (1) ასევე მოქმედებს:
(1) .

უმაღლესი რიგის წარმოებულები

ახლა ვიპოვოთ სიმძლავრის ფუნქციის უმაღლესი რიგის წარმოებულები
(3) .
ჩვენ უკვე ვიპოვეთ პირველი რიგის წარმოებული:
.

წარმოებულის ნიშნის გარეთ a მუდმივის აღებით, ჩვენ ვპოულობთ მეორე რიგის წარმოებულს:
.
ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მესამე და მეოთხე რიგის წარმოებულებს:
;

.

აქედან ირკვევა, რომ თვითნებური n-ე რიგის წარმოებულიაქვს შემდეგი ფორმა:
.

შეამჩნია, რომ თუ a ნატურალური რიცხვია, მაშინ n-ე წარმოებული მუდმივია:
.
მაშინ ყველა მომდევნო წარმოებული ტოლია ნულის:
,
ზე.

წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები

მაგალითი

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:
.

მოდით გადავიყვანოთ ფესვები ძლიერებად:
;
.
შემდეგ ორიგინალური ფუნქცია იღებს ფორმას:
.

ძალაუფლების წარმოებულების პოვნა:
;
.
მუდმივის წარმოებული არის ნული:
.

წარმოებულის პოვნის ოპერაციას დიფერენციაცია ეწოდება.

უმარტივესი (და არც თუ ისე მარტივი) ფუნქციების წარმოებულების პოვნის ამოცანების გადაჭრის შედეგად წარმოებულის, როგორც არგუმენტის ნამატის შეფარდების შეფარდების ზღვრად განსაზღვრით, გამოჩნდა წარმოებულების ცხრილი და დიფერენცირების ზუსტად განსაზღვრული წესები. . პირველები, ვინც მუშაობდნენ წარმოებულების პოვნის სფეროში, იყვნენ ისააკ ნიუტონი (1643-1727) და გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცი (1646-1716).

ამიტომ, ჩვენს დროში, რომელიმე ფუნქციის წარმოებულის მოსაძებნად, არ არის საჭირო ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზემოაღნიშნული ლიმიტის გამოთვლა არგუმენტის ზრდასთან, არამედ საჭიროა მხოლოდ ცხრილის გამოყენება. წარმოებულები და დიფერენცირების წესები. შემდეგი ალგორითმი შესაფერისია წარმოებულის მოსაძებნად.

წარმოებულის საპოვნელად, თქვენ გჭირდებათ გამოხატვა ძირითადი ნიშნის ქვეშ მარტივი ფუნქციების დაყოფა კომპონენტებადდა განსაზღვრეთ რა ქმედებები (პროდუქტი, ჯამი, კოეფიციენტი)ეს ფუნქციები დაკავშირებულია. შემდეგი, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულებს ვხვდებით წარმოებულთა ცხრილში, ხოლო ნამრავლის წარმოებულების ფორმულებს, ჯამისა და კოეფიციენტის - დიფერენციაციის წესებში. წარმოებული ცხრილი და დიფერენციაციის წესები მოცემულია პირველი ორი მაგალითის შემდეგ.

მაგალითი 1.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. დიფერენციაციის წესებიდან ვხვდებით, რომ ფუნქციების ჯამის წარმოებული არის ფუნქციათა წარმოებულების ჯამი, ე.ი.

წარმოებულთა ცხრილიდან ვიგებთ, რომ „x“-ის წარმოებული უდრის ერთს, ხოლო სინუსის წარმოებული კოსინუსის. ჩვენ ამ მნიშვნელობებს ვანაცვლებთ წარმოებულთა ჯამს და ვპოულობთ წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის მდგომარეობით:

მაგალითი 2.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ჩვენ განვასხვავებთ, როგორც იმ ჯამის წარმოებულს, რომელშიც მეორე წევრს აქვს მუდმივი კოეფიციენტი;

თუ ჯერ კიდევ ჩნდება კითხვები იმის შესახებ, თუ საიდან მოდის რაღაც, ისინი ჩვეულებრივ ირკვევა მას შემდეგ, რაც გაეცანით წარმოებულთა ცხრილს და დიფერენციაციის უმარტივეს წესებს. ჩვენ ახლა მათზე გადავდივართ.

მარტივი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი

1. მუდმივის (რიცხვის) წარმოებული. ნებისმიერი რიცხვი (1, 2, 5, 200...), რომელიც არის ფუნქციის გამოხატულებაში. ყოველთვის ნულის ტოლია. ეს ძალიან მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ, რადგან ეს ძალიან ხშირად არის საჭირო
2. დამოუკიდებელი ცვლადის წარმოებული. ყველაზე ხშირად "X". ყოველთვის ერთის ტოლია. ეს ასევე მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს დიდი ხნის განმავლობაში
3. ხარისხის წარმოებული. პრობლემების გადაჭრისას, თქვენ უნდა გადააქციოთ არაკვადრატული ფესვები ძალად.
4. ცვლადის წარმოებული ძალა -1
5. კვადრატული ფესვის წარმოებული
6. სინუსის წარმოებული
7. კოსინუსის წარმოებული
8. ტანგენსის წარმოებული
9. კოტანგენტის წარმოებული
10. არქსინის წარმოებული
11. არკოზინის წარმოებული
12. არქტანგენტის წარმოებული
13. რკალის კოტანგენტის წარმოებული
14. ნატურალური ლოგარითმის წარმოებული
15. ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული
16. მაჩვენებლის წარმოებული
17. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

დიფერენცირების წესები

1. ჯამის ან სხვაობის წარმოებული
2. პროდუქტის წარმოებული
2ა. გამოხატვის წარმოებული გამრავლებული მუდმივ კოეფიციენტზე
3. კოეფიციენტის წარმოებული
4. რთული ფუნქციის წარმოებული

წესი 1.თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, შემდეგ ფუნქციები ერთსა და იმავე წერტილში დიფერენცირებადია

და

იმათ. ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული ტოლია ამ ფუნქციების წარმოებულების ალგებრული ჯამის.

შედეგი. თუ ორი დიფერენცირებადი ფუნქცია განსხვავდება მუდმივი წევრით, მაშინ მათი წარმოებულები ტოლია, ე.ი.

წესი 2.თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, მაშინ მათი პროდუქტი ერთსა და იმავე წერტილში დიფერენცირებადია

და

იმათ. ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული ტოლია თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლისა და მეორის წარმოებულის ჯამს.

დასკვნა 1. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან:

დასკვნა 2. რამდენიმე დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ფაქტორისა და ყველა სხვა წარმოებულის ნამრავლების ჯამს.

მაგალითად, სამი მულტიპლიკატორისთვის:

წესი 3.თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია და , მაშინ ამ დროს მათი კოეფიციენტიც დიფერენცირებადიაu/v და

იმათ. ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელის პროდუქტებსა და მრიცხველის წარმოებულსა და მნიშვნელის წარმოებულს შორის, ხოლო მნიშვნელი არის კვადრატი. ყოფილი მრიცხველი.

სად უნდა მოძებნოთ რამე სხვა გვერდებზე

რეალურ ამოცანებში პროდუქტის წარმოებულისა და კოეფიციენტის პოვნისას, ყოველთვის საჭიროა რამდენიმე დიფერენციაციის წესის ერთდროულად გამოყენება, ამიტომ ამ წარმოებულებზე მეტი მაგალითია სტატიაში."პროდუქტის წარმოებული და ფუნქციების კოეფიციენტი".

კომენტარი.არ უნდა აურიოთ მუდმივი (ანუ რიცხვი), როგორც ჯამის ტერმინი და როგორც მუდმივი ფაქტორი! ტერმინის შემთხვევაში მისი წარმოებული ნულის ტოლია, ხოლო მუდმივი ფაქტორის შემთხვევაში იგი ამოღებულია წარმოებულების ნიშნიდან. ეს არის ტიპიური შეცდომა, რომელიც ხდება წარმოებულების შესწავლის საწყის ეტაპზე, მაგრამ რადგან საშუალო სტუდენტი ხსნის რამდენიმე ერთ და ორნაწილიან მაგალითს, ის აღარ უშვებს ამ შეცდომას.

და თუ პროდუქტის ან კოეფიციენტის დიფერენცირებისას გაქვთ ტერმინი u"ვ, რომელშიც u- რიცხვი, მაგალითად, 2 ან 5, ანუ მუდმივი, მაშინ ამ რიცხვის წარმოებული იქნება ნულის ტოლი და, შესაბამისად, მთელი წევრი იქნება ნულის ტოლი (ეს შემთხვევა განიხილება მაგალითში 10).

კიდევ ერთი გავრცელებული შეცდომა არის რთული ფუნქციის წარმოებულის, როგორც მარტივი ფუნქციის წარმოებულის მექანიკური ამოხსნა. Ამიტომაც რთული ფუნქციის წარმოებულიცალკე სტატია ეთმობა. მაგრამ ჯერ ჩვენ ვისწავლით მარტივი ფუნქციების წარმოებულების პოვნას.

გზაში, თქვენ არ შეგიძლიათ გააკეთოთ გამონათქვამების გარდაქმნის გარეშე. ამისათვის შეიძლება დაგჭირდეთ სახელმძღვანელოს გახსნა ახალ ფანჯრებში. მოქმედებები ძალებითა და ფესვებითდა მოქმედებები წილადებთან .

თუ თქვენ ეძებთ ამონახსნებს წილადებისა და ფესვების წარმოებულების შესახებ, ანუ, როდესაც ფუნქცია გამოიყურება , შემდეგ მიჰყევით გაკვეთილს წილადების ჯამების წარმოებული ხარისხებითა და ფესვებით.

თუ თქვენ გაქვთ ისეთი დავალება, როგორიცაა , შემდეგ გაივლით გაკვეთილს „მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები“.

ნაბიჯ-ნაბიჯ მაგალითები - როგორ მოვძებნოთ წარმოებული

მაგალითი 3.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის გამოხატვის ნაწილებს: მთელი გამოხატულება წარმოადგენს პროდუქტს, ხოლო მისი ფაქტორები არის ჯამები, რომელთაგან ერთ-ერთი ტერმინი შეიცავს მუდმივ ფაქტორს. ჩვენ ვიყენებთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესს: ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლების ჯამს მეორის წარმოებულის მიხედვით:

შემდეგ ვიყენებთ ჯამის დიფერენციაციის წესს: ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულების ალგებრულ ჯამს. ჩვენს შემთხვევაში, თითოეულ ჯამში მეორე წევრს აქვს მინუს ნიშანი. თითოეულ ჯამში ჩვენ ვხედავთ როგორც დამოუკიდებელ ცვლადს, რომლის წარმოებული უდრის ერთს, ასევე მუდმივ (რიცხვს), რომლის წარმოებულიც ნულის ტოლია. ასე რომ, "X" იქცევა ერთად, ხოლო მინუს 5 იქცევა ნულში. მეორე გამონათქვამში "x" მრავლდება 2-ზე, ამიტომ ორს ვამრავლებთ იმავე ერთეულზე, როგორც "x"-ის წარმოებული. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ წარმოებულ მნიშვნელობებს:

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნ წარმოებულებს პროდუქციის ჯამში და ვიღებთ მთელი ფუნქციის წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის პირობით:

და თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ წარმოებული პრობლემის გადაწყვეტა.

მაგალითი 4.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კოეფიციენტის წარმოებული. ჩვენ ვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენცირების ფორმულას: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელისა და მრიცხველის წარმოებულსა და მრიცხველის წარმოებულს შორის. მნიშვნელი, ხოლო მნიშვნელი არის ყოფილი მრიცხველის კვადრატი. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ უკვე ვიპოვეთ მრიცხველის ფაქტორების წარმოებული მაგალითში 2. ასევე არ დაგვავიწყდეს, რომ ნამრავლი, რომელიც არის მრიცხველის მეორე ფაქტორი მიმდინარე მაგალითში, აღებულია მინუს ნიშნით:

თუ თქვენ ეძებთ ამოცანების გადაწყვეტას, რომლებშიც უნდა იპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, სადაც არის ფესვებისა და ძალების უწყვეტი გროვა, როგორიცაა, მაგალითად, , მაშინ კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება კლასში "წილადი წილადებისა და ფესვების ჯამების წარმოებული" .

თუ საჭიროა მეტი გაიგოთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების შესახებ, ანუ როცა ფუნქცია გამოიყურება , მაშინ გაკვეთილი თქვენთვის "მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები" .

მაგალითი 5.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ პროდუქტს, რომლის ერთ-ერთი ფაქტორია დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი, რომლის წარმოებულსაც გავეცანით წარმოებულთა ცხრილში. პროდუქტის დიფერენცირების წესისა და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ტაბულური მნიშვნელობის გამოყენებით ვიღებთ:

თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ წარმოებული პრობლემის გადაწყვეტა აქ ონლაინ წარმოებულების კალკულატორი .

მაგალითი 6.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ კოეფიციენტს, რომლის დივიდენდი არის დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი. კოეფიციენტების დიფერენცირების წესის გამოყენებით, რომელიც გავიმეორეთ და გამოვიყენეთ მაგალით 4-ში და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ცხრილის მნიშვნელობის გამოყენებით, ვიღებთ:

მრიცხველში წილადის მოსაშორებლად, მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ.

რთული ტიპის ფუნქციები ყოველთვის არ ერგება რთული ფუნქციის განმარტებას. თუ არსებობს y = sin x - (2 - 3) ფორმის ფუნქცია · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, მაშინ ის არ შეიძლება ჩაითვალოს კომპლექსურად, განსხვავებით y = sin 2 x.

ამ სტატიაში ნაჩვენები იქნება რთული ფუნქციის კონცეფცია და მისი იდენტიფიკაცია. მოდით ვიმუშაოთ წარმოებულის საპოვნელ ფორმულებთან დასკვნაში ამონახსნების მაგალითებით. წარმოებული ცხრილისა და დიფერენციაციის წესების გამოყენება მნიშვნელოვნად ამცირებს წარმოებულის პოვნის დროს.

ძირითადი განმარტებები

რთული ფუნქცია არის ის, რომლის არგუმენტიც ასევე ფუნქციაა.

იგი აღინიშნება ასე: f (g (x)). გვაქვს, რომ g (x) ფუნქცია ითვლება f არგუმენტად (g (x)).

განმარტება 2

თუ არსებობს f ფუნქცია და ის არის კოტანგენტური ფუნქცია, მაშინ g(x) = ln x არის ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქცია. ჩვენ ვხვდებით, რომ კომპლექსური ფუნქცია f (g (x)) დაიწერება arctg(lnx) სახით. ან ფუნქცია f, რომელიც არის ფუნქცია ამაღლებული მე-4 ხარისხამდე, სადაც g (x) = x 2 + 2 x - 3 ითვლება მთელ რაციონალურ ფუნქციად, მივიღებთ, რომ f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

ცხადია, g(x) შეიძლება იყოს რთული. მაგალითიდან y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 ცხადია, რომ g-ის მნიშვნელობას აქვს წილადის კუბური ფესვი. ეს გამოთქმა შეიძლება აღვნიშნოთ როგორც y = f (f 1 (f 2 (x))). საიდანაც გვაქვს, რომ f არის სინუსური ფუნქცია, ხოლო f 1 არის ფუნქცია, რომელიც მდებარეობს კვადრატული ფესვის ქვეშ, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 არის წილადი რაციონალური ფუნქცია.

განმარტება 3

ბუდობის ხარისხი განისაზღვრება ნებისმიერი ნატურალური რიცხვით და იწერება როგორც y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

განმარტება 4

ფუნქციის შემადგენლობის ცნება ეხება ჩადგმული ფუნქციების რაოდენობას პრობლემის პირობების მიხედვით. ამოსახსნელად გამოიყენეთ ფორმულა ფორმის რთული ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

მაგალითები

იპოვეთ რთული ფუნქციის წარმოებული y = (2 x + 1) 2.

გამოსავალი

პირობა აჩვენებს, რომ f არის კვადრატის ფუნქცია და g(x) = 2 x + 1 ითვლება წრფივ ფუნქციად.

გამოვიყენოთ რთული ფუნქციის წარმოებული ფორმულა და დავწეროთ:

ვ" (გ (x)) = ((გ (x)) 2) " = 2 (გ (x)) 2 - 1 = 2 გ (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (გ (x)) გ" (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

აუცილებელია წარმოებულის პოვნა ფუნქციის გამარტივებული ორიგინალური ფორმით. ჩვენ ვიღებთ:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

აქედან გვაქვს ეს

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

შედეგები იგივე იყო.

ამ ტიპის ამოცანების ამოხსნისას მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, სად განთავსდება ფორმის f და g (x) ფუნქცია.

მაგალითი 2

თქვენ უნდა იპოვოთ y = sin 2 x და y = sin x 2 ფორმის რთული ფუნქციების წარმოებულები.

გამოსავალი

პირველი ფუნქციის აღნიშვნა ამბობს, რომ f არის კვადრატის ფუნქცია და g(x) არის სინუს ფუნქცია. მაშინ მივიღებთ ამას

y " = (ცოდვა 2 x) " = 2 ცოდვა 2 - 1 x (ცოდვა x) " = 2 ცოდვა x cos x

მეორე ჩანაწერი აჩვენებს, რომ f არის სინუსური ფუნქცია და g(x) = x 2 აღნიშნავს სიმძლავრის ფუნქციას. აქედან გამომდინარეობს, რომ რთული ფუნქციის ნამრავლს ვწერთ როგორც

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) წარმოებულის ფორმულა დაიწერება როგორც y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . )) )) · . . . fn "(x)

მაგალითი 3

იპოვეთ y = sin ფუნქციის წარმოებული (ln 3 a r c t g (2 x)).

გამოსავალი

ეს მაგალითი გვიჩვენებს ჩაწერის სირთულეს და ფუნქციების ადგილმდებარეობის განსაზღვრას. მაშინ y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) აღნიშნეთ სადაც f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) არის სინუსური ფუნქცია, ამაღლების ფუნქცია 3 გრადუსამდე, ფუნქცია ლოგარითმით და ფუძით e, არქტანგენტი და წრფივი ფუნქცია.

რთული ფუნქციის განსაზღვრის ფორმულიდან გვაქვს ის

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x)) f 3" (f 4 (x)) f 4" (x)

ჩვენ ვიღებთ იმას, რაც უნდა ვიპოვოთ

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) როგორც სინუსის წარმოებული წარმოებულების ცხრილის მიხედვით, შემდეგ f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) როგორც სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული, შემდეგ f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2" (f 3 (f 4 (x))), როგორც ლოგარითმული წარმოებული, შემდეგ f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a rc t g (2 x) .
4. f 3" (f 4 (x)) როგორც არქტანგენტის წარმოებული, შემდეგ f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. f 4 (x) = 2 x წარმოებულის პოვნისას, ამოიღეთ 2 წარმოებულის ნიშნიდან ფორმულის გამოყენებით დენის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულით 1-ის ტოლი მაჩვენებლით, შემდეგ f 4" (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

ჩვენ ვაკავშირებთ შუალედურ შედეგებს და ვიღებთ ამას

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

ასეთი ფუნქციების ანალიზი მოგვაგონებს მობუდულ თოჯინებს. დიფერენციაციის წესები ყოველთვის არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ცალსახად წარმოებული ცხრილის გამოყენებით. ხშირად საჭიროა რთული ფუნქციების წარმოებულების პოვნის ფორმულა.

არსებობს გარკვეული განსხვავებები რთულ გარეგნობასა და რთულ ფუნქციებს შორის. ამის გარჩევის მკაფიო უნარით, წარმოებულების პოვნა განსაკუთრებით ადვილი იქნება.

მაგალითი 4

აუცილებელია განიხილოს ასეთი მაგალითის მოყვანა. თუ არსებობს y = t g 2 x + 3 t g x + 1 ფორმის ფუნქცია, მაშინ ის შეიძლება ჩაითვალოს ფორმის კომპლექსურ ფუნქციად g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1. . ცხადია, აუცილებელია რთული წარმოებულის ფორმულის გამოყენება:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 გ (x)) " + 1" = = 2 · გ 2 - 1 (x) + 3 გ" (x) + 0 = 2 გ (x) + 3 1 გ 1 - 1 (x) = = 2 გ (x) + 3 = 2 ტ გ x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 ტ გ x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 ფორმის ფუნქცია არ ითვლება კომპლექსურად, რადგან მას აქვს t g x 2, 3 t g x და 1. თუმცა, t g x 2 განიხილება კომპლექსურ ფუნქციად, შემდეგ ვიღებთ g (x) = x 2 და f ფორმის სიმძლავრის ფუნქციას, რომელიც არის ტანგენტის ფუნქცია. ამისათვის განასხვავეთ თანხის მიხედვით. ჩვენ ამას მივიღებთ

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

მოდით გადავიდეთ რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნაზე (t g x 2) ":

f" (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

მივიღებთ, რომ y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

რთული ტიპის ფუნქციები შეიძლება შევიდეს რთულ ფუნქციებში, ხოლო თავად რთული ფუნქციები შეიძლება იყოს რთული ტიპის ფუნქციების კომპონენტები.

მაგალითი 5

მაგალითად, განვიხილოთ y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) ფორმის რთული ფუნქცია.

ეს ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც y = f (g (x)), სადაც f-ის მნიშვნელობა არის მე-3 ბაზის ლოგარითმის ფუნქცია, ხოლო g (x) ითვლება h (x) = ფორმის ორი ფუნქციის ჯამად. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 და k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . ცხადია, y = f (h (x) + k (x)).

განვიხილოთ ფუნქცია h(x). ეს არის თანაფარდობა l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 მ (x) = e x 2 + 3 3

გვაქვს, რომ l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) არის ორი ფუნქციის ჯამი n (x) = x 2 + 7 და p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , სადაც p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) არის რთული ფუნქცია რიცხვითი კოეფიციენტით 3, და p 1 არის კუბის ფუნქცია, p 2 კოსინუსური ფუნქციით, p 3 (x) = 2 x + 1 წრფივი ფუნქციით.

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) არის ორი ფუნქციის ჯამი q (x) = e x 2 და r (x) = 3 3, სადაც q (x) = q 1 (q 2 (x)) არის რთული ფუნქცია, q 1 არის ფუნქცია ექსპონენციალური, q 2 (x) = x 2 არის სიმძლავრის ფუნქცია.

ეს აჩვენებს, რომ h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln ფორმის გამოხატულებაზე გადასვლისას 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), ცხადია, რომ ფუნქცია წარმოდგენილია კომპლექსის s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) რაციონალური მთელი რიცხვით t (x) = x 2 + 1, სადაც s 1 არის კვადრატის ფუნქცია და s 2 (x) = ln x არის ლოგარითმული ბაზა ე.

აქედან გამომდინარეობს, რომ გამოთქმა მიიღებს ფორმას k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

მაშინ მივიღებთ ამას

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

ფუნქციის სტრუქტურებიდან გამომდინარე, გაირკვა, თუ როგორ და რა ფორმულების გამოყენებაა საჭირო გამოხატვის გასამარტივებლად მისი დიფერენცირებისას. ასეთი პრობლემების გასაცნობად და მათი გადაწყვეტის კონცეფციისთვის საჭიროა მივმართოთ ფუნქციის დიფერენცირებას, ანუ მისი წარმოებულის პოვნას.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter