კოორდინატები და ვექტორები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2020)

აბსცისა და ორდინატთა ღერძი ეწოდება კოორდინატები ვექტორი. ვექტორული კოორდინატები ჩვეულებრივ მითითებულია ფორმაში (x, y), და თავად ვექტორი, როგორც: =(x, y).

ორგანზომილებიანი ამოცანების ვექტორული კოორდინატების განსაზღვრის ფორმულა.

ორგანზომილებიანი ამოცანის შემთხვევაში ვექტორი ცნობილი წერტილების კოორდინატები A(x 1;y 1)და B(x 2 ; წ 2 ) შეიძლება გამოითვალოს:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

სივრცითი ამოცანების ვექტორული კოორდინატების განსაზღვრის ფორმულა.

სივრცითი პრობლემის შემთხვევაში ვექტორი ცნობილი წერტილების კოორდინატებია (x 1;y 1;ზ 1 ) და ბ (x 2 ; წ 2 ; ზ 2 ) შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

= (x 2 - x 1 ; წ 2 - წ 1 ; ზ 2 - ზ 1 ).

კოორდინატები იძლევა ვექტორის ყოვლისმომცველ აღწერას, ვინაიდან შესაძლებელია თავად ვექტორის აგება კოორდინატების გამოყენებით. იცის კოორდინატები, ადვილია გამოთვლა და ვექტორის სიგრძე. (საკუთრება 3 ქვემოთ).

ვექტორული კოორდინატების თვისებები.

1. ნებისმიერი თანაბარი ვექტორებიერთ კოორდინატულ სისტემაში აქვს თანაბარი კოორდინატები.

2. კოორდინატები კოლინარული ვექტორებიპროპორციული. იმ პირობით, რომ არცერთი ვექტორი არ არის ნული.

3. ნებისმიერი ვექტორის სიგრძის კვადრატი მისი კვადრატების ჯამის ტოლია კოორდინატები.

4.ოპერაციის დროს ვექტორული გამრავლება on ნამდვილი რიცხვიმისი თითოეული კოორდინატი მრავლდება ამ რიცხვზე.

5. ვექტორების შეკრებისას ვიანგარიშებთ შესაბამისის ჯამს ვექტორული კოორდინატები.

6. სკალარული პროდუქტიორი ვექტორი უდრის მათი შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების ჯამს.

12. ვექტორის სიგრძე, სეგმენტის სიგრძე, ვექტორებს შორის კუთხე, ვექტორების პერპენდიკულარობის მდგომარეობა.

ვექტორი - ეს არის მიმართული სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორ წერტილს სივრცეში ან სიბრტყეში.ვექტორები ჩვეულებრივ აღინიშნება ან მცირე ასოებით ან საწყისი და დასასრული წერტილებით. ზედ ჩვეულებრივ ტირეა.

მაგალითად, წერტილიდან მიმართული ვექტორი ააზრამდე ბ, შეიძლება დაინიშნოს ა ,

ნულოვანი ვექტორი 0 ან 0 - ეს არის ვექტორი, რომლის საწყისი და დასასრული წერტილები ემთხვევა, ე.ი. ა = ბ. აქედან, 0 = – 0 .

ვექტორის სიგრძე (მოდული)ა არის სეგმენტის სიგრძე, რომელიც წარმოადგენს მას AB, აღინიშნება |ა | . კერძოდ, | 0 | = 0.

ვექტორები ე.წ კოლინარული, თუ მათი მიმართული სეგმენტები დევს პარალელურ წრფეებზე. კოლინარული ვექტორები ა და ბ დანიშნულია ა || ბ .

სამი ან მეტი ვექტორი ეწოდება თანაპლენარული, თუ ისინი იმავე სიბრტყეში წევენ.

ვექტორის დამატება. ვინაიდან ვექტორები არიან მიმართულისეგმენტები, მაშინ მათი დამატება შეიძლება შესრულდეს გეომეტრიულად. (ვექტორების ალგებრული დამატება აღწერილია ქვემოთ, აბზაცში „ერთეული ორთოგონალური ვექტორები“). მოდი ვიჩვენოთ, რომ

ა = ABდა ბ = CD,

შემდეგ ვექტორი __ __

ა + ბ = AB+ CD

არის ორი ოპერაციის შედეგი:

ა)პარალელური გადაცემაერთ-ერთი ვექტორი ისე, რომ მისი საწყისი წერტილი ემთხვევა მეორე ვექტორის ბოლო წერტილს;

ბ)გეომეტრიული დამატება, ე.ი. მიღებული ვექტორის აგება, რომელიც მიდის ფიქსირებული ვექტორის საწყისი წერტილიდან გადატანილი ვექტორის დასასრულამდე.

ვექტორების გამოკლება. ეს ოპერაცია მცირდება წინაზე, ქვეტრაჰენდის ვექტორის ჩანაცვლებით მისი საპირისპირო ვექტორით: ა – ბ =ა + (– ბ ) .

დამატების კანონები.

ᲛᲔ. ა + ბ = ბ + ა (გარდამავალი კანონი).

II. (ა + ბ ) + გ = ა + (ბ + გ ) (კომბინირებული სამართალი).

III. ა + 0 = ა .

IV. ა + (– ა ) = 0 .

ვექტორის რიცხვზე გამრავლების კანონები.

ᲛᲔ. 1 · ა = ა , 0 · ა = 0 , მ· 0 = 0 , (– 1) · ა = – ა .

II. მა = ა მ,| მა | = | მ | · | a | .

III. m(nა ) = (წთ)ა . (C o m b e t a l

რიცხვით გამრავლების კანონი).

IV. (m+n) ა = მა +nა , (დისტრიბუციული

მ(ა + ბ ) = მა + მბ . რიცხვით გამრავლების კანონი).

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი. __ __

კუთხე არანულოვან ვექტორებს შორის ABდა CD- ეს არის ვექტორების მიერ წარმოქმნილი კუთხე, როდესაც ისინი პარალელურად გადაინაცვლებენ წერტილების გასწორებამდე ადა გ. ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლია და ბ ტოლი რიცხვი ეწოდება მათი სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსის ნამრავლი:

თუ ერთ-ერთი ვექტორი არის ნული, მაშინ მათი სკალარული ნამრავლი, განმარტების შესაბამისად, ნულის ტოლია:

(ა, 0 ) = ( 0 , ბ ) = 0 .

თუ ორივე ვექტორი არ არის ნულოვანი, მაშინ მათ შორის კუთხის კოსინუსი გამოითვლება ფორმულით:

სკალარული პროდუქტი ( აა ), ტოლია | ა | 2, ე.წ სკალარული კვადრატი.ვექტორის სიგრძე ა და მისი სკალარული კვადრატი დაკავშირებულია:

ორი ვექტორის წერტილოვანი ნამრავლი:

- დადებითადთუ კუთხე ვექტორებს შორის ცხარე;

- უარყოფითი,თუ კუთხე ვექტორებს შორის ბლაგვი.

ორი არანულოვანი ვექტორის სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა მათ შორის კუთხე სწორია, ე.ი. როდესაც ეს ვექტორები პერპენდიკულარულია (ორთოგონალური):

სკალარული პროდუქტის თვისებები. ნებისმიერი ვექტორისთვის ა, ბ, გ და ნებისმიერი ნომერი მშემდეგი ურთიერთობები მოქმედებს:

ᲛᲔ. (ა, ბ ) = (ბ, ა ) . (გარდამავალი კანონი)

II. (მა, ბ ) = მ(ა, ბ ) .

III.(a+b,c ) = (ა, გ ) + (ბ, გ ). (გამანაწილებელი კანონი)

ერთეული ორთოგონალური ვექტორები. ნებისმიერ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში შეგიძლიათ შეიყვანოთ ერთეული წყვილი ორთოგონალური ვექტორებიმე , ჯ და კ დაკავშირებულია კოორდინატთა ღერძებთან: მე - ღერძით X, ჯ - ღერძით იდა კ - ღერძით ზ. ამ განმარტების მიხედვით:

(მე , ჯ ) = (მე , კ ) = (ჯ , კ ) = 0,

| მე | =| j | =| k | = 1.

ნებისმიერი ვექტორი ა შეიძლება გამოიხატოს ამ ვექტორების მეშვეობით უნიკალური გზით: ა = xმე+ წj+ ზკ . ჩაწერის კიდევ ერთი ფორმა: ა = (x, y, z). Აქ x, წ, z - კოორდინატებივექტორი ა ამ კოორდინატთა სისტემაში. ერთეული ორთოგონალური ვექტორების ბოლო მიმართებისა და თვისებების შესაბამისად მე, ჯ , კ ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი შეიძლება განსხვავებულად იყოს გამოხატული.

დაე ა = (x, y, z); ბ = (u, v, w). მერე ( ა, ბ ) = xu + ივ + zw.

ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი უდრის შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების ჯამს.

ვექტორის სიგრძე (მოდული) ა = (x, წ, ზ ) უდრის:

გარდა ამისა, ახლა გვაქვს შესაძლებლობა ჩავატაროთ ალგებრულივექტორებზე მოქმედებები, კერძოდ, ვექტორების შეკრება და გამოკლება შეიძლება შესრულდეს კოორდინატების გამოყენებით:

a+ ბ = (x + u, y + v, z + w) ;

ა – ბ = (x–u, y– ვ, ზ–ვ) .

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი. ვექტორული ნამუშევარი [ა, ბ ] ვექტორებია დაბ (ამ თანმიმდევრობით) ეწოდება ვექტორი:

არსებობს ვექტორის სიგრძის კიდევ ერთი ფორმულა [ ა, ბ ] :

| [ ა, ბ ] | = | ა | | ბ | ცოდვა ( ა, ბ ) ,

ე.ი. სიგრძე ( მოდული ) ვექტორთა ნამრავლია დაბ უდრის ამ ვექტორების სიგრძის (მოდულების) ნამრავლისა და მათ შორის კუთხის სინუსს.Სხვა სიტყვებით: ვექტორის სიგრძე (მოდული).[ ა, ბ ] რიცხობრივად ტოლია ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობის ა დაბ .

ვექტორული პროდუქტის თვისებები.

ᲛᲔ.ვექტორი [ ა, ბ ] პერპენდიკულარული (ორთოგონალური)ორივე ვექტორი ა და ბ .

(დაამტკიცე, გთხოვ!).

II.[ ა, ბ ] = – [ბ, ა ] .

III. [ მა, ბ ] = მ[ა, ბ ] .

IV. [ a+b,c ] = [ ა, გ ] + [ ბ, გ ] .

ვ. [ ა, [ ბ, გ ] ] = ბ (ა , გ ) – გ (ა, ბ ) .

VI. [ [ ა, ბ ] , გ ] = ბ (ა , გ ) – ა (ბ, გ ) .

კოლინარობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა ვექტორები ა = (x, y, z) და ბ = (u, v, w) :

კოპლანარობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა ვექტორები ა = (x, y, z), ბ = (u, v, w) და გ = (p, q, r) :

მაგალითი ვექტორები მოცემულია: ა = (1, 2, 3) და ბ = (– 2 , 0 ,4).

გამოთვალეთ მათი წერტილოვანი და ჯვარედინი ნაწარმოებები და კუთხე

ამ ვექტორებს შორის.

გამოსავალი შესაბამისი ფორმულების გამოყენებით (იხ. ზემოთ) ვიღებთ:

ა). სკალარული პროდუქტი:

(ა, ბ ) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

ბ). ვექტორული პროდუქტი:

ვექტორის კოორდინატების პოვნა საკმაოდ გავრცელებული პირობაა მათემატიკაში მრავალი პრობლემისთვის. ვექტორული კოორდინატების პოვნის უნარი დაგეხმარებათ სხვა, უფრო რთულ პრობლემებში მსგავსი თემებით. ამ სტატიაში განვიხილავთ ვექტორული კოორდინატების და რამდენიმე პრობლემის პოვნის ფორმულას.

სიბრტყეში ვექტორის კოორდინატების პოვნა

რა არის თვითმფრინავი? სიბრტყე ითვლება ორგანზომილებიან სივრცედ, სივრცე ორი განზომილებით (x განზომილება და y განზომილება). მაგალითად, ქაღალდი ბრტყელია. მაგიდის ზედაპირი ბრტყელია. ნებისმიერი არამოცულობითი ფიგურა (კვადრატი, სამკუთხედი, ტრაპეცია) ასევე სიბრტყეა. ამრიგად, თუ პრობლემის დებულებაში უნდა იპოვოთ ვექტორის კოორდინატები, რომელიც დევს სიბრტყეზე, მაშინვე გვახსოვს x და y. ასეთი ვექტორის კოორდინატები შეგიძლიათ იპოვოთ შემდეგნაირად: ვექტორის AB კოორდინატები = (xB – xA; yB – xA). ფორმულა აჩვენებს, რომ თქვენ უნდა გამოაკლოთ საწყისი წერტილის კოორდინატები ბოლო წერტილის კოორდინატებს.

მაგალითი:

• ვექტორულ CD-ს აქვს საწყისი (5; 6) და საბოლოო (7; 8) კოორდინატები.
• იპოვნეთ თავად ვექტორის კოორდინატები.
• ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ შემდეგ გამონათქვამს: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• ამრიგად, CD ვექტორის კოორდინატები = (2; 2).
• შესაბამისად, x კოორდინატი უდრის ორს, y კოორდინატი ასევე ორი.

ვექტორის კოორდინატების პოვნა სივრცეში

რა არის სივრცე? სივრცე უკვე სამგანზომილებიანი განზომილებაა, სადაც მოცემულია 3 კოორდინატი: x, y, z. თუ თქვენ გჭირდებათ ვექტორის პოვნა, რომელიც დევს სივრცეში, ფორმულა პრაქტიკულად არ იცვლება. დამატებულია მხოლოდ ერთი კოორდინატი. ვექტორის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ საწყისი კოორდინატები ბოლო კოორდინატებს. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

მაგალითი:

• ვექტორს DF აქვს საწყისი (2; 3; 1) და საბოლოო (1; 5; 2).
• ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ: ვექტორული კოორდინატები DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• დაიმახსოვრეთ, კოორდინატთა მნიშვნელობა შეიძლება იყოს უარყოფითი, პრობლემა არ არის.

როგორ მოვძებნოთ ვექტორული კოორდინატები ინტერნეტში?

თუ რაიმე მიზეზით არ გსურთ იპოვოთ კოორდინატები, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი. დასაწყებად აირჩიეთ ვექტორის განზომილება. ვექტორის განზომილება პასუხისმგებელია მის ზომებზე. განზომილება 3 ნიშნავს, რომ ვექტორი არის სივრცეში, განზომილება 2 ნიშნავს, რომ ის სიბრტყეზეა. შემდეგ ჩადეთ წერტილების კოორდინატები შესაბამის ველებში და პროგრამა თავად დაადგენს თქვენთვის ვექტორის კოორდინატებს. ყველაფერი ძალიან მარტივია.

ღილაკზე დაწკაპუნებით, გვერდი ავტომატურად გადაინაცვლებს ქვემოთ და მოგცემთ სწორ პასუხს გადაწყვეტის ნაბიჯებთან ერთად.

მიზანშეწონილია ამ თემის კარგად შესწავლა, რადგან ვექტორის ცნება გვხვდება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ ფიზიკაშიც. ვექტორების თემას ინფორმაციული ტექნოლოგიების ფაკულტეტის სტუდენტებიც სწავლობენ, თუმცა უფრო რთულ დონეზე.

1. ვექტორის განმარტება. ვექტორის სიგრძე. კოლინარულობა, ვექტორების თანაპლენარულობა.

ვექტორი არის მიმართული სეგმენტი. ვექტორის სიგრძე ან მოდული არის შესაბამისი მიმართული სეგმენტის სიგრძე.

ვექტორული მოდული ააღინიშნება . ვექტორი აეწოდება ერთეული თუ. ვექტორებს ეწოდება კოლინარული, თუ ისინი პარალელურად არიან იმავე წრფესთან. ვექტორებს უწოდებენ კოპლანარს, თუ ისინი პარალელურები არიან იმავე სიბრტყის.

2. ვექტორის გამრავლება რიცხვზე. ოპერაციული თვისებები.

ვექტორის რიცხვზე გამრავლება იძლევა საპირისპირო მიმართულ ვექტორს, რომელიც ორჯერ გრძელია. ვექტორის გამრავლება რიცხვზე კოორდინატულ ფორმაში ხდება ყველა კოორდინატის ამ რიცხვზე გამრავლებით:

განმარტებიდან გამომდინარე, ვიღებთ ვექტორის მოდულის გამოსახულებას რიცხვზე გამრავლებული:

რიცხვების მსგავსად, თავისთვის ვექტორის დამატების ოპერაცია შეიძლება დაიწეროს რიცხვზე გამრავლების გზით:

და ვექტორების გამოკლება შეიძლება გადაიწეროს მიმატებისა და გამრავლების გზით:

გამომდინარე იქიდან, რომ გამრავლება არ ცვლის ვექტორის სიგრძეს, არამედ მხოლოდ მიმართულებას და ვექტორის განმარტების გათვალისწინებით, ვიღებთ:

3. ვექტორთა შეკრება, ვექტორთა გამოკლება.

კოორდინატთა წარმოდგენისას ჯამის ვექტორი მიიღება ტერმინების შესაბამისი კოორდინატების შეჯამებით:

ჯამის ვექტორის გეომეტრიულად ასაგებად გამოიყენება სხვადასხვა წესები (მეთოდები), მაგრამ ისინი ყველა ერთსა და იმავე შედეგს იძლევა. ამა თუ იმ წესის გამოყენება გამართლებულია მოგვარებული პრობლემის გამო.

სამკუთხედის წესი

სამკუთხედის წესი ყველაზე ბუნებრივად გამომდინარეობს ვექტორის, როგორც გადაცემის გაგებიდან. ცხადია, რომ გარკვეულ მომენტში ორი გადაცემის თანმიმდევრული გამოყენების შედეგი იგივე იქნება, რაც ამ წესს შეესაბამება ერთი გადაცემის ერთდროულად გამოყენებას. წესის მიხედვით ორი ვექტორის დამატება სამკუთხედიორივე ეს ვექტორი გადატანილია თავის პარალელურად ისე, რომ ერთის დასაწყისი ემთხვევა მეორის დასასრულს. მაშინ ჯამის ვექტორი მოცემულია მიღებული სამკუთხედის მესამე გვერდით და მისი დასაწყისი ემთხვევა პირველი ვექტორის დასაწყისს, ხოლო დასასრული მეორე ვექტორის დასასრულს.

ეს წესი შეიძლება პირდაპირ და ბუნებრივად განზოგადდეს ნებისმიერი რაოდენობის ვექტორების დამატებაზე, გადაქცევაში გატეხილი ხაზის წესი:

პოლიგონის წესი

მეორე ვექტორის დასაწყისი ემთხვევა პირველის დასასრულს, მესამეს დასაწყისი მეორის დასასრულს და ასე შემდეგ, ვექტორების ჯამი არის ვექტორი, დასაწყისი ემთხვევა პირველის დასაწყისს, და დასასრული ემთხვევა მე-ის ბოლოს (ანუ გამოსახულია მიმართული სეგმენტით, რომელიც ხურავს გაწყვეტილ ხაზს) . ასევე მოუწოდა გატეხილი ხაზის წესს.

პარალელოგრამის წესი

ორი ვექტორის დასამატებლად და წესის მიხედვით პარალელოგრამიორივე ეს ვექტორი თავის პარალელურად გადადის ისე, რომ მათი საწყისი ემთხვევა. მაშინ ჯამის ვექტორი მოცემულია მათზე აგებული პარალელოგრამის დიაგონალით, დაწყებული მათი საერთო საწყისიდან. (სამკუთხედის წესის გამოყენებისას ადვილი მისახვედრია, რომ ეს დიაგონალი ემთხვევა სამკუთხედის მესამე მხარეს).

პარალელოგრამის წესი განსაკუთრებით მოსახერხებელია, როდესაც საჭიროა ჯამის ვექტორის გამოსახვა, როგორც დაუყოვნებლივ გამოყენებული იმავე წერტილზე, რომელზეც გამოიყენება ორივე ტერმინი - ანუ სამივე ვექტორის გამოსახვა, როგორც საერთო საწყისი.

ვექტორული ჯამის მოდული

ორი ვექტორის ჯამის მოდულიშეიძლება გამოითვალოს გამოყენებით კოსინუსების თეორემა:

სად არის ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი.

თუ ვექტორები გამოსახულია სამკუთხედის წესის შესაბამისად და კუთხე აღებულია ნახაზის მიხედვით - სამკუთხედის გვერდებს შორის - რაც არ ემთხვევა ვექტორებს შორის კუთხის ჩვეულებრივ განმარტებას და, შესაბამისად, ზემოთ მოცემულ კუთხეს. ფორმულა, მაშინ ბოლო წევრი იძენს მინუს ნიშანს, რომელიც შეესაბამება კოსინუსების თეორემას მის პირდაპირ ფორმულირებაში.

ვექტორთა თვითნებური რაოდენობის ჯამისთვისგამოიყენება მსგავსი ფორმულა, რომელშიც მეტი ტერმინია კოსინუსით: ერთი ასეთი ტერმინი არსებობს შეჯამებული სიმრავლის ვექტორების თითოეული წყვილისთვის. მაგალითად, სამი ვექტორისთვის ფორმულა ასე გამოიყურება:

ვექტორული გამოკლება

ორი ვექტორი და მათი განსხვავების ვექტორი

კოორდინატთა ფორმის სხვაობის მისაღებად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ვექტორების შესაბამისი კოორდინატები:

სხვაობის ვექტორის მისაღებად, ვექტორების დასაწყისი ერთმანეთთან არის დაკავშირებული და ვექტორის დასაწყისი იქნება დასასრული, დასასრული კი დასასრული. თუ დავწერთ ვექტორული წერტილების გამოყენებით, მაშინ.

ვექტორული განსხვავების მოდული

სამი ვექტორი, როგორც დამატებით, ქმნის სამკუთხედს და განსხვავების მოდულის გამოხატულება მსგავსია:

სად არის ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი

ჯამის მოდულის ფორმულისგან განსხვავება არის კოსინუსის წინ მდებარე ნიშანში; ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა ყურადღებით დააკვირდეთ, რომელი კუთხეა აღებული (ჯამის მოდულის ფორმულის ვერსია კუთხით შორის სამკუთხედის გვერდები სამკუთხედის წესის მიხედვით შეჯამებისას ფორმაში არ განსხვავდება სხვაობის მოდულის ამ ფორმულისგან, მაგრამ უნდა გაითვალისწინოთ, რომ აქ სხვადასხვა კუთხეა აღებული: ჯამის შემთხვევაში, კუთხე არის აღებულია, როდესაც ვექტორი გადადის ვექტორის ბოლოს; როდესაც განსხვავებულ მოდელს ვეძებთ, აღებულია კუთხე ვექტორებს შორის, რომლებიც გამოიყენება ერთ წერტილზე; ჯამის მოდულის გამოხატულება იგივე კუთხით, როგორც მოცემული მოდულის გამოსახულებაში. განსხვავება, განსხვავდება კოსინუსის წინ ნიშნით).

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ უნდა გავიგოთ თავად ვექტორის კონცეფცია. გეომეტრიული ვექტორის განმარტების გასაცნობად, გავიხსენოთ რა არის სეგმენტი. მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი განმარტება.

განმარტება 1

სეგმენტი არის ხაზის ნაწილი, რომელსაც აქვს ორი საზღვარი წერტილების სახით.

სეგმენტს შეიძლება ჰქონდეს 2 მიმართულება. მიმართულების აღსანიშნავად სეგმენტის ერთ საზღვარს დავარქმევთ მის დასაწყისს, ხოლო მეორე საზღვარს დასასრულს. მიმართულება მითითებულია მისი დასაწყისიდან სეგმენტის ბოლომდე.

განმარტება 2

ვექტორი ან მიმართული სეგმენტი იქნება სეგმენტი, რომლისთვისაც ცნობილია სეგმენტის რომელი საზღვრები ითვლება დასაწყისად და რომელია მისი დასასრული.

აღნიშვნა: ორი ასოებით: $\overline(AB)$ – (სადაც $A$ არის მისი დასაწყისი და $B$ არის დასასრული).

ერთი პატარა ასოთი: $\overline(a)$ (ნახ. 1).

ახლა პირდაპირ შემოვიღოთ ვექტორული სიგრძის კონცეფცია.

განმარტება 3

$\overline(a)$ ვექტორის სიგრძე იქნება $a$ სეგმენტის სიგრძე.

აღნიშვნა: $|\overline(a)|$

ვექტორის სიგრძის ცნება ასოცირდება, მაგალითად, ისეთ ცნებასთან, როგორიცაა ორი ვექტორის თანასწორობა.

განმარტება 4

ორ ვექტორს ტოლს ვუწოდებთ, თუ ისინი აკმაყოფილებენ ორ პირობას: 1. არიან თანამიმართულები; 1. მათი სიგრძე ტოლია (სურ. 2).

ვექტორების განსასაზღვრად, შეიყვანეთ კოორდინატთა სისტემა და განსაზღვრეთ ვექტორის კოორდინატები შეყვანილ სისტემაში. როგორც ვიცით, ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება დაიშალოს სახით $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, სადაც $m$ და $n$ არის რეალური რიცხვები და $\overline. (i )$ და $\overline(j)$ არის ერთეული ვექტორები $Ox$ და $Oy$ ღერძზე, შესაბამისად.

განმარტება 5

ჩვენ ვუწოდებთ $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ვექტორის გაფართოების კოეფიციენტებს ამ ვექტორის კოორდინატებს შემოღებულ კოორდინატულ სისტემაში. მათემატიკურად:

$\overline(c)=(m,n)$

როგორ მოვძებნოთ ვექტორის სიგრძე?

თვითნებური ვექტორის სიგრძის გამოსათვლელად ფორმულის გამოსათვლელად მისი კოორდინატების გათვალისწინებით, განიხილეთ შემდეგი ამოცანა:

მაგალითი 1

მოცემულია: ვექტორი $\overline(α)$ კოორდინატებით $(x,y)$. იპოვეთ: ამ ვექტორის სიგრძე.

მოდით შემოვიტანოთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემა $xOy$ თვითმფრინავზე. მოდით გამოვყოთ $\overline(OA)=\overline(a)$ შემოღებული კოორდინატთა სისტემის საწყისიდან. მოდით ავაშენოთ აგებული ვექტორის $OA_1$ და $OA_2$ პროგნოზები $Ox$ და $Oy$ ღერძებზე, შესაბამისად (ნახ. 3).

ჩვენ მიერ აგებული $\overline(OA)$ ვექტორი იქნება $A$ წერტილის რადიუსის ვექტორი, შესაბამისად, მას ექნება $(x,y)$ კოორდინატები, რაც ნიშნავს

$=x$, $[OA_2]=y$

ახლა ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ საჭირო სიგრძე პითაგორას თეორემის გამოყენებით, მივიღებთ

$|\overline(a)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

პასუხი: $\sqrt(x^2+y^2)$.

დასკვნა:ვექტორის სიგრძის საპოვნელად, რომლის კოორდინატებიც მოცემულია, აუცილებელია ამ კოორდინატების ჯამის კვადრატის ფესვის პოვნა.

ამოცანების ნიმუში

მაგალითი 2

იპოვეთ მანძილი $X$ და $Y$ წერტილებს შორის, რომლებსაც აქვთ შემდეგი კოორდინატები: $(-1.5)$ და $(7.3)$, შესაბამისად.

ნებისმიერი ორი წერტილი ადვილად შეიძლება ასოცირდებოდეს ვექტორის კონცეფციასთან. განვიხილოთ, მაგალითად, ვექტორი $\overline(XY)$. როგორც უკვე ვიცით, ასეთი ვექტორის კოორდინატების პოვნა შესაძლებელია საწყისი წერტილის ($X$) შესაბამისი კოორდინატების ბოლო წერტილის ($Y$) კოორდინატებს გამოკლებით. ჩვენ ამას მივიღებთ