როგორ დავწეროთ odz განტოლებებში. როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის დომენი? წილადი განტოლებები

ცვლადის მქონე ნებისმიერ გამონათქვამს აქვს თავისი ფარგლები მისაღები ღირებულებებისადაც ის არსებობს. ODZ ყოველთვის უნდა იყოს გათვალისწინებული გადაწყვეტილების მიღებისას. თუ ის არ არის, შეიძლება მიიღოთ არასწორი შედეგი.

ეს სტატია გაჩვენებთ, თუ როგორ სწორად იპოვოთ ODZ და გამოიყენოთ მაგალითები. ასევე განხილული იქნება გადაწყვეტილების მიღებისას DZ-ის მითითების მნიშვნელობა.

Yandex.RTB R-A-339285-1

სწორი და არასწორი ცვლადის მნიშვნელობები

ეს განმარტება დაკავშირებულია ცვლადის დაშვებულ მნიშვნელობებთან. როცა შემოვიყვანთ განმარტებას, ვნახოთ რა შედეგს მოიტანს.

მე-7 კლასიდან დაწყებული, ვიწყებთ მუშაობას რიცხვებთან და რიცხვითი გამონათქვამები. საწყისი განმარტებები ცვლადებით გადადის შერჩეული ცვლადებით გამონათქვამების მნიშვნელობაზე.

როდესაც არის გამონათქვამები შერჩეული ცვლადებით, ზოგიერთი მათგანი შეიძლება არ დააკმაყოფილოს. მაგალითად, 1 ფორმის გამოხატულება: a, თუ a = 0, მაშინ აზრი არ აქვს, რადგან შეუძლებელია ნულზე გაყოფა. ანუ გამონათქვამს უნდა ჰქონდეს მნიშვნელობები, რომლებიც ნებისმიერ შემთხვევაში შესაფერისია და პასუხს გასცემს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მათ აქვთ აზრი არსებული ცვლადებით.

განმარტება 1

თუ არსებობს გამონათქვამი ცვლადებით, მაშინ აზრი აქვს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მნიშვნელობის გამოთვლა შესაძლებელია მათი ჩანაცვლებით.

განმარტება 2

თუ არსებობს გამონათქვამი ცვლადებით, მაშინ აზრი არ აქვს, როდესაც მათი ჩანაცვლებისას მნიშვნელობის გამოთვლა შეუძლებელია.

ანუ ეს გულისხმობს სრულ განმარტებას

განმარტება 3

არსებული დასაშვები ცვლადები არის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც გამოხატულებას აზრი აქვს. და თუ ამას აზრი არ აქვს, მაშინ ისინი მიუღებლად ითვლება.

ზემოაღნიშნულის გასარკვევად: თუ არის ერთზე მეტი ცვლადი, მაშინ შეიძლება არსებობდეს შესაფერისი მნიშვნელობების წყვილი.

მაგალითი 1

მაგალითად, განვიხილოთ 1 x - y + z ფორმის გამოხატულება, სადაც სამი ცვლადია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაწეროთ როგორც x = 0, y = 1, z = 2, ხოლო სხვა ჩანაწერს აქვს ფორმა (0, 1, 2). ამ მნიშვნელობებს უწოდებენ ვალიდურს, რაც ნიშნავს, რომ გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნა შესაძლებელია. მივიღებთ, რომ 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. აქედან ვხედავთ, რომ (1, 1, 2) მიუღებელია. ჩანაცვლება იწვევს ნულზე გაყოფას, ანუ 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

რა არის ODZ?

მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი მნიშვნელოვანი ელემენტია გაანგარიშებაში ალგებრული გამონათქვამები. ამიტომ, გათვლების გაკეთებისას ღირს ამაზე ყურადღების მიქცევა.

განმარტება 4

ოძ-ის ტერიტორიაარის მოცემული გამოხატულებისთვის დაშვებული მნიშვნელობების ნაკრები.

მოდით შევხედოთ გამოხატვის მაგალითს.

მაგალითი 2

თუ გვაქვს 5 z - 3 ფორმის გამოხატულება, მაშინ ODZ-ს აქვს ფორმა (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . ეს არის სწორი მნიშვნელობების დიაპაზონი, რომელიც აკმაყოფილებს z ცვლადს მოცემული გამოსახულებისთვის.

თუ არსებობს z x - y ფორმის გამონათქვამები, მაშინ ცხადია, რომ x ≠ y, z იღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას. ამას ეწოდება ODZ გამონათქვამები. ის გასათვალისწინებელია ისე, რომ ჩანაცვლებისას არ მივიღოთ გაყოფა ნულზე.

დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონს და განმარტების დიაპაზონს იგივე მნიშვნელობა აქვს. მათგან მხოლოდ მეორე გამოიყენება გამონათქვამებისთვის, ხოლო პირველი გამოიყენება განტოლებისთვის ან უტოლობებისთვის. DL-ის დახმარებით გამოხატვას ან უთანასწორობას აზრი აქვს. ფუნქციის განსაზღვრის დომენი ემთხვევა x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონს f (x) გამოხატვისთვის.

როგორ მოვძებნოთ ODZ? მაგალითები, გადაწყვეტილებები

ODZ-ის პოვნა ნიშნავს ყველა სწორი მნიშვნელობის პოვნას, რომელიც შესაფერისია მოცემული ფუნქციაან უთანასწორობა. ამ პირობების შეუსრულებლობამ შეიძლება გამოიწვიოს არასწორი შედეგები. ამისთვის პოვნა ODZხშირად საჭიროა მოცემულ გამოთქმაში გარდაქმნების გავლა.

არის გამონათქვამები, სადაც მათი გამოთვლა შეუძლებელია:

• თუ არის ნულზე გაყოფა;
• უარყოფითი რიცხვის ფესვის აღება;
• უარყოფითი მთელი რიცხვის ინდიკატორის არსებობა - მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის;
• უარყოფითი რიცხვის ლოგარითმის გამოთვლა;
• π 2 + π · k, k ∈ Z და კოტანგენსი π · k, k ∈ Z განსაზღვრის დომენი;
• რიცხვის არქსინისა და არკოზინის მნიშვნელობის პოვნა იმ მნიშვნელობისთვის, რომელიც არ ეკუთვნის [-1; 1 ] .

ეს ყველაფერი აჩვენებს, თუ რამდენად მნიშვნელოვანია ODZ-ის არსებობა.

მაგალითი 3

იპოვეთ ODZ გამოხატულება x 3 + 2 x y − 4 .

გამოსავალი

ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იყოს კუბური. ამ გამოსახულებას არ აქვს წილადი, ამიტომ x და y მნიშვნელობები შეიძლება იყოს ნებისმიერი. ანუ ODZ არის ნებისმიერი რიცხვი.

პასუხი: x და y – ნებისმიერი მნიშვნელობა.

მაგალითი 4

იპოვეთ 1 3 - x + 1 0 გამოხატვის ODZ.

გამოსავალი

ჩანს, რომ არის ერთი წილადი, სადაც მნიშვნელი არის ნული. ეს ნიშნავს, რომ x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ჩვენ მივიღებთ გაყოფას ნულზე. ეს ნიშნავს, რომ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეს გამოთქმა განუსაზღვრელია, ანუ მას არ გააჩნია რაიმე სამართლებრივი პასუხისმგებლობა.

პასუხი: ∅ .

მაგალითი 5

იპოვეთ მოცემული გამოხატვის ODZ x + 2 · y + 3 - 5 · x.

გამოსავალი

კვადრატული ფესვის არსებობა ნიშნავს, რომ ეს გამოხატულება უნდა იყოს ნულის მეტი ან ტოლი. ზე უარყოფითი მნიშვნელობააზრი არ აქვს. ეს ნიშნავს, რომ აუცილებელია x + 2 · y + 3 ≥ 0 ფორმის უტოლობის დაწერა. ანუ, ეს არის მისაღები მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი.

პასუხი: x და y სიმრავლე, სადაც x + 2 y + 3 ≥ 0.

მაგალითი 6

განსაზღვრეთ ფორმის ODZ გამოხატულება 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

გამოსავალი

პირობით გვაქვს წილადი, ამიტომ მისი მნიშვნელი ნულის ტოლი არ უნდა იყოს. მივიღებთ, რომ x + 1 - 1 ≠ 0. რადიკალური გამოხატულება ყოველთვის აქვს აზრი, როცა მეტია ან ტოლია ნულის, ანუ x + 1 ≥ 0. ვინაიდან მას აქვს ლოგარითმი, მისი გამოხატულება უნდა იყოს მკაცრად დადებითი, ანუ x 2 + 3 > 0. ლოგარითმის ფუძეს ასევე უნდა ჰქონდეს დადებითი მნიშვნელობა და განსხვავებული 1-ისგან, შემდეგ ვამატებთ პირობებს x + 8 > 0 და x + 8 ≠ 1. აქედან გამომდინარეობს, რომ საჭირო ODZ მიიღებს ფორმას:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მას უწოდებენ უტოლობათა სისტემას ერთი ცვლადით. ამოხსნა მიგვიყვანს შემდეგ ODZ აღნიშვნამდე [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

პასუხი: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

რატომ არის მნიშვნელოვანი DPD-ის გათვალისწინება ცვლილებების მართვისას?

იდენტობის ტრანსფორმაციის დროს მნიშვნელოვანია ODZ-ის პოვნა. არის შემთხვევები, როდესაც ODZ-ის არსებობა არ ხდება. იმის გასაგებად, აქვს თუ არა გამოსავალს მოცემული გამოხატულება, საჭიროა შედარება ODZ ცვლადებიორიგინალური გამოხატულება და შედეგად მიღებული ODZ.

იდენტობის გარდაქმნები:

• შეიძლება არ იმოქმედოს DL-ზე;
• შეიძლება გამოიწვიოს DZ-ის გაფართოება ან დამატება;
• შეუძლია DZ-ის შევიწროება.

მოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი 7

თუ გვაქვს x 2 + x + 3 · x ფორმის გამოხატულება, მაშინ მისი ODZ განისაზღვრება განსაზღვრების მთელ დომენზე. თუნდაც მოტანისას მსგავსი ტერმინებიდა ODZ გამოთქმის გამარტივება არ იცვლება.

მაგალითი 8

თუ ავიღებთ x + 3 x − 3 x გამოხატვის მაგალითს, მაშინ ყველაფერი განსხვავებულია. გვაქვს წილადური გამოხატულება. ჩვენ ვიცით, რომ ნულზე გაყოფა მიუღებელია. მაშინ ODZ-ს აქვს ფორმა (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . ჩანს, რომ ნული გამოსავალი არ არის, ამიტომ ვამატებთ მას ფრჩხილებით.

განვიხილოთ მაგალითი რადიკალური გამოხატვის არსებობით.

მაგალითი 9

თუ არის x - 1 · x - 3, მაშინ ყურადღება უნდა მიაქციოთ ODZ-ს, რადგან ის უნდა დაიწეროს როგორც უტოლობა (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. შესაძლებელია ამოხსნა ინტერვალის მეთოდით, შემდეგ აღმოვაჩენთ, რომ ODZ მიიღებს ფორმას (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . x - 1 · x - 3-ის გარდაქმნის და ფესვების თვისების გამოყენების შემდეგ, ჩვენ გვაქვს, რომ ODZ შეიძლება დაემატოს და ყველაფერი ჩაიწეროს x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ ფორმის უტოლობების სისტემის სახით. 0. მისი ამოხსნისას ვხვდებით, რომ [ 3 , + ∞) . ეს ნიშნავს, რომ ODZ მთლიანად იწერება შემდეგნაირად: (− ∞, 1 ] ∪ [3, + ∞) .

გარდაქმნები, რომლებიც ავიწროებს DZ-ს, თავიდან უნდა იქნას აცილებული.

მაგალითი 10

განვიხილოთ x - 1 · x - 3 გამოხატვის მაგალითი, როდესაც x = - 1. ჩანაცვლებისას მივიღებთ, რომ - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . თუ ამ გამოსახულებას გარდაქმნით და მივიღებთ x - 1 · x - 3 ფორმაში, მაშინ გამოთვლისას აღმოვაჩენთ, რომ 2 - 1 · 2 - 3 გამოთქმას აზრი არ აქვს, რადგან რადიკალური გამოხატულება არ უნდა იყოს უარყოფითი.

უნდა დაიცვან იდენტობის გარდაქმნები, რომელსაც ODZ არ შეცვლის.

თუ არსებობს მაგალითები, რომლებიც აფართოებენ მას, მაშინ ის უნდა დაემატოს DL-ს.

მაგალითი 11

მოდით შევხედოთ x x 3 + x ფორმის წილადის მაგალითს. თუ გავაუქმებთ x-ით, მაშინ მივიღებთ 1 x 2 + 1-ს. შემდეგ ODZ ფართოვდება და ხდება (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . უფრო მეტიც, გაანგარიშებისას ჩვენ უკვე ვმუშაობთ მეორე გამარტივებულ წილადთან.

ლოგარითმების არსებობისას სიტუაცია ოდნავ განსხვავებულია.

მაგალითი 12

თუ არსებობს ln x + ln ფორმის გამოხატულება (x + 3), იგი იცვლება ln-ით (x · (x + 3)), ლოგარითმის თვისებიდან გამომდინარე. აქედან შეგვიძლია დავინახოთ, რომ ODZ (0 , + ∞)-დან (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞)-მდე. ამიტომ ამისთვის ADL განმარტებები ln (x · (x + 3)) აუცილებელია გამოთვლების განხორციელება ODZ-ზე, ანუ (0 , + ∞) სიმრავლეზე.

ამოხსნისას ყოველთვის საჭიროა ყურადღების მიქცევა პირობით მოცემული გამოხატვის სტრუქტურასა და ტიპზე. ზე სწორი მდებარეობაგანსაზღვრის ზონაში შედეგი დადებითი იქნება.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

Როგორ ?
გადაწყვეტილებების მაგალითები

თუ სადმე რაღაც აკლია, ეს ნიშნავს, რომ სადღაც არის რაღაც

ჩვენ ვაგრძელებთ განყოფილების "ფუნქციები და გრაფიკების" შესწავლას და ჩვენი მოგზაურობის შემდეგი სადგურია. აქტიური დისკუსია ეს კონცეფციადაიწყო სტატიაში კომპლექტების შესახებ და გაგრძელდა პირველ გაკვეთილზე ფუნქციების გრაფიკები, სადაც მე გადავხედე ელემენტარულ ფუნქციებს და, კერძოდ, მათ განმარტების სფეროებს. ამიტომ, მე გირჩევთ, რომ დუმები თემის საფუძვლებით დაიწყონ, რადგან რამდენიმე ძირითად პუნქტზე აღარ შევჩერდები.

ვარაუდობენ, რომ მკითხველმა იცის განმარტების სფერო შემდეგი ფუნქციები: წრფივი, კვადრატული, კუბური ფუნქცია, მრავალწევრები, ექსპონენციალური, სინუსი, კოსინუსი. ისინი განსაზღვრულია (ყველა რეალური რიცხვის ნაკრები). ტანგენტებისთვის, რკალებისთვის, ასე რომ იყოს, გაპატიებთ =) - იშვიათი გრაფიკები მაშინვე არ ახსოვს.

როგორც ჩანს, განმარტების ფარგლები მარტივია და ლოგიკური კითხვა ჩნდება: რაზე იქნება სტატია? ჩართულია ეს გაკვეთილიგანვიხილავ ფუნქციის განსაზღვრის დომენის პოვნის საერთო პრობლემებს. უფრო მეტიც, ჩვენ გავიმეორებთ უტოლობა ერთი ცვლადით, რომლის გადაწყვეტის უნარები საჭირო იქნება სხვა ამოცანებში უმაღლესი მათემატიკა. მასალა, სხვათა შორის, მთლიანად სასკოლო მასალაა, ამიტომ გამოადგება არა მარტო მოსწავლეებს, არამედ სტუდენტებსაც. ინფორმაცია, რა თქმა უნდა, არ არის ენციკლოპედიური პრეტენზია, მაგრამ აქ არის არა შორსწასული „მკვდარი“ მაგალითები, არამედ შემწვარი წაბლი, რომელიც აღებულია რეალური პრაქტიკული სამუშაოებიდან.

დავიწყოთ თემის სწრაფი ჩასვლით. მოკლედ მთავარის შესახებ: საუბარია ერთი ცვლადის ფუნქციაზე. მისი განმარტების სფეროა "x"-ის მრავალი მნიშვნელობა, რისთვისაც არსებობს"მოთამაშეების" მნიშვნელობა. განვიხილოთ პირობითი მაგალითი:

ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის ინტერვალების გაერთიანება:
(მათთვის, ვისაც დაავიწყდა: - გაერთიანების ხატი). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ აიღებთ "x"-ის ნებისმიერ მნიშვნელობას ინტერვალიდან, ან დან, ან დან, მაშინ თითოეული ასეთი "x" იქნება მნიშვნელობა "y".

უხეშად რომ ვთქვათ, სადაც არის განმარტების დომენი, არის ფუნქციის გრაფიკი. მაგრამ ნახევარი ინტერვალი და „ცე“ წერტილი არ შედის განსაზღვრების არეალში და იქ არ არის გრაფიკი.

როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის დომენი? ბევრს ახსოვს ბავშვთა რითმა: "კლდე, ქაღალდი, მაკრატელი" და ამ შემთხვევაში მისი უსაფრთხოდ პერიფრაზირება შესაძლებელია: "ძირი, წილადი და ლოგარითმი". ამრიგად, თუ თქვენ ცხოვრების გზახვდება წილადს, ფესვს ან ლოგარითმს, მაშინვე უნდა იყოთ ძალიან, ძალიან ფრთხილად! ტანგენსი, კოტანგენსი, არქსინი, არკოზინი გაცილებით ნაკლებად გავრცელებულია და მათზეც ვისაუბრებთ. მაგრამ პირველი, ესკიზები ჭიანჭველების ცხოვრებიდან:

ფუნქციის დომენი, რომელიც შეიცავს წილადს

დავუშვათ, რომ გვეძლევა ფუნქცია, რომელიც შეიცავს წილადს. მოგეხსენებათ, ნულზე ვერ გაყოფთ: "X" მნიშვნელობები, რომლებიც აქცევს მნიშვნელს ნულზე, არ შედის ამ ფუნქციის ფარგლებში.

ყველაზე მეტად არ შევჩერდები მარტივი ფუნქციებიმოსწონს და ა.შ., რადგან ყველა მშვენივრად ხედავს პუნქტებს, რომლებიც არ შედის მათი განმარტების დომენში. მოდით შევხედოთ უფრო მნიშვნელოვან წილადებს:

მაგალითი 1

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: მრიცხველში განსაკუთრებული არაფერია, მაგრამ მნიშვნელი არ უნდა იყოს ნულოვანი. მოდით დავაყენოთ ნულის ტოლი და ვცადოთ „ცუდი“ წერტილების პოვნა:

მიღებულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: . მონაცემთა მნიშვნელობები არ შედის ფუნქციის ფარგლებში. მართლაც, ჩაანაცვლეთ ან ჩაანაცვლეთ ფუნქციაში და ნახავთ, რომ მნიშვნელი მიდის ნულზე.

უპასუხე: დომენი:

ჩანაწერი ასე იკითხება: „განსაზღვრების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი, გარდა სიმრავლისა, რომელიც შედგება მნიშვნელობებისგან. " შეგახსენებთ, რომ მათემატიკაში უკანა ხაზის სიმბოლო აღნიშნავს ლოგიკურ გამოკლებას, ხოლო ხვეული ფრჩხილები - სიმრავლეს. პასუხი შეიძლება დაიწეროს ექვივალენტურად როგორც სამის გაერთიანებაინტერვალები:

ვისაც მოეწონება.

წერტილებზე ფუნქცია მოითმენს გაუთავებელი შესვენებებიდა სწორი ხაზები, მოცემული განტოლებებით არიან ვერტიკალური ასიმპტოტებიამ ფუნქციის გრაფიკისთვის. თუმცა, ეს ოდნავ განსხვავებული თემაა და შემდგომ ამაზე დიდ ყურადღებას არ გავამახვილებ.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

ამოცანა არსებითად ზეპირია და ბევრი თქვენგანი თითქმის მაშინვე იპოვის განმარტების არეალს. პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

წილადი ყოველთვის "ცუდი" იქნება? არა. მაგალითად, ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვთა ხაზზე. რაც არ უნდა ავიღოთ „x“-ის მნიშვნელობა, მნიშვნელი არ წავა ნულზე, უფრო მეტიც, ის ყოველთვის დადებითი იქნება: . ამრიგად, ამ ფუნქციის ფარგლებია: .

ყველა ფუნქცია მოსწონს განსაზღვრული და უწყვეტიზე .

სიტუაცია ცოტა უფრო რთულია, როდესაც მნიშვნელი დაკავებულია კვადრატული ტრინომიალი:

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: ვცადოთ ვიპოვოთ წერტილები, რომლებზეც მნიშვნელი ნულამდე მიდის. ამისათვის ჩვენ გადავწყვეტთ კვადრატული განტოლება:

დისკრიმინანტი უარყოფითი აღმოჩნდა, რაც ნიშნავს ნამდვილი ფესვებიარა და ჩვენი ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვით ხაზზე.

უპასუხე: დომენი:

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

ეს არის მაგალითი ამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება. გამოსავალი და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს. გირჩევთ არ დაიზაროთ მარტივი პრობლემებით, რადგან გაუგებრობები დაგროვდება შემდგომი მაგალითებით.

ფუნქციის დომენი ფესვით

კვადრატული ფესვის ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ "x"-ის იმ მნიშვნელობებისთვის, როდესაც რადიკალური გამოხატულება არანეგატიურია: . თუ ფესვი მდებარეობს მნიშვნელში, მაშინ პირობა აშკარად გამკაცრებულია: . მსგავსი გამოთვლები მოქმედებს დადებითი ლუწი ხარისხის ნებისმიერი ფესვისთვის: თუმცა ფესვი უკვე მე-4 ხარისხისაა ფუნქციის შესწავლაარ მახსოვს.

მაგალითი 5

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: რადიკალური გამოხატულება უნდა იყოს არაუარყოფითი:

სანამ გადაწყვეტას გავაგრძელებთ, შეგახსენებთ სკოლიდან ცნობილი უთანასწორობებთან მუშაობის ძირითად წესებს.

მივმართავ Განსაკუთრებული ყურადღება! ახლა ჩვენ განვიხილავთ უთანასწორობას ერთი ცვლადით- ანუ ჩვენთვის არის მხოლოდ ერთი განზომილება ღერძის გასწვრივ. გთხოვთ არ აურიოთ ორი ცვლადის უტოლობა, სადაც გეომეტრიულად ყველა საკოორდინაციო თვითმფრინავი. თუმცა არის სასიამოვნო დამთხვევებიც! ასე რომ, უტოლობისთვის შემდეგი გარდაქმნები ექვივალენტურია:

1) პირობები შეიძლება გადავიდეს ნაწილიდან ნაწილზე მათი (პირობების) შეცვლით. ნიშნები.

2) უტოლობის ორივე მხარე შეიძლება გამრავლდეს დადებით რიცხვზე.

3) თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია უარყოფითინომერი, მაშინ უნდა შეცვალოთ თავად უთანასწორობის ნიშანი. მაგალითად, თუ იყო "მეტი", მაშინ ის გახდება "ნაკლები"; თუ ის იყო "ნაკლები ან ტოლი", მაშინ გახდება "დიდი ან ტოლი".

უტოლობაში „სამს“ გადავიტანთ მარჯვენა მხარენიშნის შეცვლით (წესი No1):

გავამრავლოთ უტოლობის ორივე მხარე –1-ზე (წესი No3):

გავამრავლოთ უტოლობის ორივე მხარე (წესი No2):

უპასუხე: დომენი:

პასუხი ასევე შეიძლება დაიწეროს ეკვივალენტური ფრაზით: "ფუნქცია განისაზღვრება ზე."
გეომეტრიულად, განსაზღვრის არე გამოსახულია აბსცისის ღერძზე შესაბამისი ინტერვალების დაჩრდილვით. Ამ შემთხვევაში:

კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ გეომეტრიული მნიშვნელობაგანსაზღვრების დომენი – ფუნქციის გრაფიკი არსებობს მხოლოდ დაჩრდილულ ადგილას და არ არის .

უმეტეს შემთხვევაში, განმარტების დომენის წმინდა ანალიტიკური განსაზღვრა შესაფერისია, მაგრამ როდესაც ფუნქცია ძალიან რთულია, თქვენ უნდა დახაზოთ ღერძი და გააკეთოთ შენიშვნები.

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი.

როდესაც კვადრატული ფესვის ქვეშ არის კვადრატული ბინომი ან ტრინომი, სიტუაცია ცოტათი რთულდება და ახლა ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ ამოხსნის ტექნიკას:

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: რადიკალური გამოთქმა უნდა იყოს მკაცრად პოზიტიური, ანუ უნდა გადავჭრათ უთანასწორობა. პირველ საფეხურზე ვცდილობთ კვადრატული ტრინომის ფაქტორირებას:

დისკრიმინანტი დადებითია, ჩვენ ვეძებთ ფესვებს:

ასე რომ პარაბოლა კვეთს აბსცისის ღერძს ორ წერტილში, რაც ნიშნავს, რომ პარაბოლის ნაწილი მდებარეობს ღერძის ქვემოთ (უთანასწორობა), ხოლო პარაბოლის ნაწილი მდებარეობს ღერძის ზემოთ (უტოლობა ჩვენ გვჭირდება).

ვინაიდან კოეფიციენტი არის , პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ უტოლობა დაკმაყოფილებულია ინტერვალებზე (პარაბოლის ტოტები ზევით მიდიან უსასრულობამდე), ხოლო პარაბოლის წვერო განლაგებულია x ღერძის ქვემოთ არსებულ ინტერვალზე, რომელიც შეესაბამება უტოლობას:

! Შენიშვნა: თუ ბოლომდე არ გესმით განმარტებები, გთხოვთ დახაზოთ მეორე ღერძი და მთელი პარაბოლა! მიზანშეწონილია დაუბრუნდეთ სტატიას და სახელმძღვანელოს ცხელი ფორმულები სასკოლო მათემატიკის კურსისთვის.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ქულები თავად ამოღებულია (არ შედის გამოსავალში), რადგან ჩვენი უთანასწორობა მკაცრია.

უპასუხე: დომენი:

ზოგადად, ბევრი უტოლობა (მათ შორის, განხილული) ხსნის უნივერსალურს ინტერვალის მეთოდი, ცნობილი ისევ სკოლის სასწავლო გეგმა. მაგრამ კვადრატული ბინომებისა და ტრინომების შემთხვევაში, ჩემი აზრით, ბევრად უფრო მოსახერხებელი და სწრაფია პარაბოლის მდებარეობის ანალიზი ღერძთან შედარებით. ხოლო მთავარ მეთოდს - ინტერვალის მეთოდს - დეტალურად გავაანალიზებთ სტატიაში. ფუნქცია ნულები. მუდმივი ინტერვალები.

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ნიმუში დეტალურად კომენტარს აკეთებს მსჯელობის ლოგიკაზე + ამოხსნის მეორე მეთოდზე და უთანასწორობის კიდევ ერთ მნიშვნელოვან ტრანსფორმაციაზე, რომლის ცოდნის გარეშე მოსწავლე ცალ ფეხზე კოჭლობს..., ...ჰმ... ალბათ აღელვებული ვარ ფეხის შესახებ, უფრო სავარაუდოა, რომ ერთ თითზე. Ცერა თითი.

შეიძლება თუ არა კვადრატული ფესვის ფუნქციის განსაზღვრა მთელ რიცხვით წრფეზე? Რა თქმა უნდა. ყველა ნაცნობი სახე: . ან მსგავსი ჯამი მაჩვენებლით: . მართლაც, "x" და "ka" ნებისმიერი მნიშვნელობებისთვის: , შესაბამისად ასევე და .

აქ არის ნაკლებად აშკარა მაგალითი: . აქ დისკრიმინანტი უარყოფითია (პარაბოლა არ კვეთს x-ღერძს), პარაბოლის ტოტები კი მიმართულია ზემოთ, აქედან გამომდინარე განსაზღვრების დომენი: .

საპირისპირო კითხვა: შეიძლება იყოს თუ არა ფუნქციის განსაზღვრის დომენი ცარიელი? დიახ, და პრიმიტიული მაგალითი მაშინვე თავს იჩენს , სადაც რადიკალური გამოხატულება უარყოფითია "x"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ხოლო განმარტების დომენი: (ცარიელი ნაკრების ხატულა). ასეთი ფუნქცია საერთოდ არ არის განსაზღვრული (რა თქმა უნდა, გრაფიკიც მოჩვენებითია).

თან უცნაური ფესვები და ა.შ. ყველაფერი ბევრად უკეთესია - აქ რადიკალური გამოხატულება შეიძლება იყოს უარყოფითი. მაგალითად, ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვით ხაზზე. თუმცა, ფუნქციას აქვს ერთი წერტილი, რომელიც ჯერ კიდევ არ შედის განმარტების დომენში, რადგან მნიშვნელი დაყენებულია ნულზე. ფუნქციის იგივე მიზეზით ქულები გამორიცხულია.

ფუნქციის დომენი ლოგარითმით

მესამე საერთო ფუნქცია არის ლოგარითმი. ნიმუშად დავხატავ ბუნებრივი ლოგარითმი, რომელიც გვხვდება დაახლოებით 99 მაგალითში 100-დან. თუ გარკვეული ფუნქცია შეიცავს ლოგარითმს, მაშინ მისი განმარტების დომენი უნდა შეიცავდეს მხოლოდ იმ მნიშვნელობებს „x“, რომლებიც აკმაყოფილებენ უტოლობას. თუ ლოგარითმი არის მნიშვნელში: , მაშინ დამატებითდაწესებულია პირობა (მას შემდეგ).

მაგალითი 9

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: ზემოაღნიშნულის შესაბამისად, ჩვენ შევადგენთ და მოვაგვარებთ სისტემას:

გრაფიკული გადაწყვეტადუმებისთვის:

უპასუხე: დომენი:

კიდევ ერთ ტექნიკურ საკითხზე შევჩერდები - არ მაქვს მითითებული მასშტაბი და ღერძის გასწვრივ დანაყოფები არ არის მონიშნული. ჩნდება კითხვა: როგორ გავაკეთოთ ასეთი ნახატები ნოუთბუქში ჩექმიანი ქაღალდი? წერტილებს შორის მანძილი უჯრედებით უნდა გაიზომოს მკაცრად მასშტაბის მიხედვით? ეს უფრო კანონიკური და მკაცრია, რა თქმა უნდა, მასშტაბური, მაგრამ სქემატური ნახაზი, რომელიც ფუნდამენტურად ასახავს სიტუაციას, ასევე საკმაოდ მისაღებია.

მაგალითი 10

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

პრობლემის გადასაჭრელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ წინა აბზაცის მეთოდი - გააანალიზეთ, თუ როგორ მდებარეობს პარაბოლა x-ღერძთან შედარებით. პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

როგორც ხედავთ, ლოგარითმების სფეროში ყველაფერი ძალიან ჰგავს სიტუაციას კვადრატული ფესვებით: ფუნქცია (მე-7 მაგალითიდან კვადრატული ტრინომი) განსაზღვრულია ინტერვალებზე და ფუნქცია (კვადრატული ბინომი მაგალითზე No6) ინტერვალზე . უხერხულია იმის თქმაც, რომ ტიპის ფუნქციები განსაზღვრულია მთელ რიცხვთა ხაზზე.

სასარგებლო ინფორმაცია : ტიპიური ფუნქცია საინტერესოა, ის განსაზღვრულია მთელ რიცხვით წრფეზე, წერტილის გარდა. ლოგარითმის თვისების მიხედვით, „ორი“ შეიძლება გამრავლდეს ლოგარითმის გარეთ, მაგრამ იმისათვის, რომ ფუნქცია არ შეიცვალოს, „x“ უნდა იყოს ჩასმული მოდულის ნიშნის ქვეშ: . აი კიდევ ერთი შენთვის" პრაქტიკული გამოყენება» მოდული =). ეს არის ის, რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ უმეტეს შემთხვევაში, როდესაც ანადგურებთ თუნდაცხარისხი, მაგალითად: . თუ მაგ ხარისხის ფუძე აშკარად დადებითია, მაშინ არ არის საჭირო მოდულის ნიშანი და საკმარისია გამოვიყენოთ ფრჩხილები: .

განმეორების თავიდან ასაცილებლად, მოდით გავართულოთ დავალება:

მაგალითი 11

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: ამ ფუნქციაში გვაქვს ფესვიც და ლოგარითმიც.

რადიკალური გამოხატულება უნდა იყოს არაუარყოფითი: , ხოლო ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამოხატული უნდა იყოს მკაცრად დადებითი: . ამრიგად, აუცილებელია სისტემის გადაჭრა:

ბევრმა თქვენგანმა კარგად იცის ან ინტუიციურად გამოიცნობს, რომ სისტემის გადაწყვეტა უნდა აკმაყოფილებდეს თითოეულმდგომარეობა.

პარაბოლის მდებარეობის ღერძის მიმართ შესწავლისას მივდივართ დასკვნამდე, რომ უტოლობა კმაყოფილდება ინტერვალით (ლურჯი დაჩრდილვა):

უტოლობა აშკარად შეესაბამება "წითელ" ნახევარ ინტერვალს.

ვინაიდან ორივე პირობა უნდა შესრულდეს ერთდროულად, მაშინ სისტემის გამოსავალი არის ამ ინტერვალების კვეთა. " საერთო ინტერესები» ხვდებიან ნახევარ ინტერვალზე.

უპასუხე: დომენი:

ტიპიური უთანასწორობა, როგორც ნაჩვენებია მე-8 მაგალითში, არ არის რთული ამოსახსნელი ანალიტიკური.

ნაპოვნი დომენი არ შეიცვლება „მსგავსი ფუნქციებისთვის“, მაგ. ან . თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაამატოთ რამდენიმე უწყვეტი ფუნქცია, მაგალითად: , ან ასე: , ან თუნდაც ასე: . როგორც ამბობენ, ფესვი და ლოგარითმი ჯიუტია. ერთადერთი ის არის, რომ თუ რომელიმე ფუნქცია "გადატვირთულია" მნიშვნელზე, მაშინ შეიცვლება განმარტების დომენი (თუმცა ზოგად შემთხვევაში ეს ყოველთვის ასე არ არის). მატანის თეორიაში ამ სიტყვიერი... ოჰ... არის თეორემები.

მაგალითი 12

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ნახატის გამოყენება საკმაოდ მიზანშეწონილია, რადგან ფუნქცია არ არის უმარტივესი.

კიდევ რამდენიმე მაგალითი მასალის გასაძლიერებლად:

მაგალითი 13

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: შევადგინოთ და მოვაგვაროთ სისტემა:

ყველა მოქმედება უკვე განხილულია სტატიის განმავლობაში. მოდით გამოვსახოთ რიცხვით წრფეზე უტოლობის შესაბამისი ინტერვალი და მეორე პირობის მიხედვით გამოვრიცხოთ ორი წერტილი:

მნიშვნელობა სრულიად შეუსაბამო აღმოჩნდა.

უპასუხე: დომენი

პატარა მათემატიკური სიტყვა მე-13 მაგალითის ვარიაციაზე:

მაგალითი 14

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ვინც გამოტოვა, არ გაუმართლა ;-)

გაკვეთილის ბოლო ნაწილი ეძღვნება უფრო იშვიათ, მაგრამ ასევე „სამუშაო“ ფუნქციებს:

ფუნქციის განსაზღვრის არეები
ტანგენტებით, კოტანგენტებით, რკალებით, არკოსინებით

თუ რომელიმე ფუნქცია მოიცავს , მაშინ მისი განმარტების სფეროდან გამორიცხულიქულები , სად ზ- მთელი რიცხვების ნაკრები. კერძოდ, როგორც სტატიაშია აღნიშნული ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები, ფუნქციას აქვს შემდეგი მნიშვნელობები:

ანუ ტანგენტის განსაზღვრის დომენი: .

ძალიან ბევრს ნუ მოვკლავთ:

მაგალითი 15

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: ამ შემთხვევაში, შემდეგი პუნქტები არ შედის განმარტების დომენში:

მოდით ჩავყაროთ მარცხენა მხარის "ორი" მარჯვენა მხარის მნიშვნელში:

Როგორც შედეგი :

უპასუხე: დომენი: .

პრინციპში, პასუხი შეიძლება დაიწეროს, როგორც უსასრულო რაოდენობის ინტერვალების გაერთიანება, მაგრამ კონსტრუქცია ძალიან რთული იქნება:

ანალიტიკური გამოსავალი სრულად შეესაბამება გრაფიკის გეომეტრიული ტრანსფორმაცია: თუ ფუნქციის არგუმენტი გამრავლებულია 2-ზე, მაშინ მისი გრაფიკი ორჯერ შემცირდება ღერძამდე. დააკვირდით, როგორ შემცირდა ფუნქციის პერიოდი და შესვენების წერტილებიგაორმაგდა სიხშირით. ტაქიკარდია.

მსგავსი ამბავი კოტანგენტთან. თუ რომელიმე ფუნქცია შეიცავს , მაშინ წერტილები გამოირიცხება მისი განმარტების სფეროდან. კერძოდ, ავტომატური ადიდებული ფუნქციისთვის ჩვენ ვიღებთ შემდეგ მნიშვნელობებს:

Სხვა სიტყვებით:

ჩვენ გავარკვიეთ, რომ არსებობს X- კომპლექტი, რომელზეც აზრი აქვს ფორმულას, რომელიც განსაზღვრავს ფუნქციას. IN მათემატიკური ანალიზიეს ნაკრები ხშირად აღინიშნება როგორც დ (ფუნქციის დომენი ). თავის მხრივ, ბევრი იაღინიშნება როგორც ე (ფუნქციის დიაპაზონი ) და სადაც დდა ექვესიმრავლეებს უწოდებენ რ(კომპლექტები რეალური რიცხვები).

თუ ფუნქცია განისაზღვრება ფორმულით, მაშინ, სპეციალური დათქმების არარსებობის შემთხვევაში, მისი განმარტების დომენი ითვლება უდიდეს კომპლექტად, რომელზეც აზრი აქვს ამ ფორმულას, ანუ არგუმენტების მნიშვნელობების უდიდეს კომპლექტს, რომელიც იწვევს ფუნქციის რეალურ მნიშვნელობებამდე . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არგუმენტების მნიშვნელობების ნაკრები, რომელზედაც მუშაობს "ფუნქცია".

ზოგადი გაგებისთვის, მაგალითს ჯერ არ აქვს ფორმულა. ფუნქცია მითითებულია ურთიერთობების წყვილებად:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

იპოვეთ ამ ფუნქციების განსაზღვრის დომენი.

უპასუხე. წყვილის პირველი ელემენტი არის ცვლადი x. ვინაიდან ფუნქციის სპეციფიკაცია ასევე შეიცავს წყვილების მეორე ელემენტებს - ცვლადის მნიშვნელობებს წ, მაშინ ფუნქცია აზრი აქვს მხოლოდ X-ის იმ მნიშვნელობებს, რომლებიც შეესაბამება Y-ის გარკვეულ მნიშვნელობას. ანუ, ამ წყვილების ყველა X-ს ვიღებთ აღმავალი მიმდევრობით და ვიღებთ მათგან ფუნქციის განსაზღვრის დომენი:

{2, 4, 5, 6, 7} .

იგივე ლოგიკა მუშაობს, თუ ფუნქცია მოცემულია ფორმულით. მხოლოდ მეორე ელემენტები წყვილებში (ანუ i-ის მნიშვნელობები) მიიღება გარკვეული x მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით. თუმცა, ფუნქციის დომენის საპოვნელად არ გვჭირდება X და Y-ების ყველა წყვილის გავლა.

მაგალითი 0.როგორ მოვძებნოთ i ფუნქციის დომენი უდრის კვადრატული ფესვი x-დან მინუს ხუთი (რადიკალური გამოხატულება x მინუს ხუთი) ()? თქვენ უბრალოდ უნდა გადაჭრათ უთანასწორობა

x - 5 ≥ 0 ,

ვინაიდან იმისათვის, რომ მივიღოთ რეალური ღირებულებათამაში, რადიკალური გამოხატულება უნდა იყოს ნულის მეტი ან ტოლი. ჩვენ ვიღებთ გამოსავალს: ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის x-ის ყველა მნიშვნელობა, რომელიც მეტია ან ტოლია ხუთზე (ან x ეკუთვნის ინტერვალს ხუთიდან პლიუს უსასრულობამდე).

ზემოთ ნახაზში არის რიცხვითი ღერძის ფრაგმენტი. მასზე განხილული ფუნქციის განსაზღვრის რეგიონი დაჩრდილულია, ხოლო „პლუს“ მიმართულებით გამოჩეკვა გრძელდება განუსაზღვრელი ვადით თავად ღერძთან ერთად.

თუ იყენებთ კომპიუტერული პროგრამები, რომლებიც აწარმოებენ რაიმე სახის პასუხს შეყვანილი მონაცემების საფუძველზე, შეიძლება შეამჩნიოთ, რომ შეყვანილი მონაცემების ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის პროგრამა აჩვენებს შეცდომის შეტყობინებას, ანუ რომ ასეთი მონაცემებით პასუხის დათვლა შეუძლებელია. ეს შეტყობინება მოცემულია პროგრამის ავტორების მიერ, თუ პასუხის გამოთვლის გამოთქმა საკმაოდ რთულია ან ეხება ვიწრო საგნობრივი სფერო, ან პროგრამირების ენის ავტორების მიერ მოწოდებული, თუ ეს ეხება ზოგადად მიღებულ ნორმებს, მაგალითად, რომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.

მაგრამ ორივე შემთხვევაში პასუხი (ზოგიერთი გამოხატვის მნიშვნელობა) ვერ გამოითვლება იმ მიზეზით, რომ გამონათქვამს აზრი არ აქვს ზოგიერთი მონაცემთა მნიშვნელობებისთვის.

მაგალითი (ჯერ არ არის საკმაოდ მათემატიკური): თუ პროგრამა აჩვენებს თვის სახელს წლის ნომრის მიხედვით, მაშინ „15“-ის შეყვანით მიიღებთ შეცდომის შეტყობინებას.

ყველაზე ხშირად, გამოსათვლელი გამოხატულება მხოლოდ ფუნქციაა. ამიტომ, მონაცემთა ასეთი არასწორი მნიშვნელობები არ შედის ფუნქციის დომენი . და ხელით გამოთვლებში, ისეთივე მნიშვნელოვანია ფუნქციის დომენის წარმოდგენა. მაგალითად, თქვენ გამოთვლით გარკვეული პროდუქტის გარკვეულ პარამეტრს ფორმულის გამოყენებით, რომელიც არის ფუნქცია. შეყვანის არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის, გამომავალზე ვერაფერს მიიღებთ.

მუდმივის განსაზღვრის დომენი

მუდმივი (მუდმივი) განსაზღვრული ნებისმიერი რეალური ღირებულებისთვის x რ რეალური რიცხვები. ეს შეიძლება ასეც დაიწეროს: ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის მთელი რიცხვითი წრფე ]- ∞; + ∞[ .

მაგალითი 1. იპოვეთ ფუნქციის დომენი წ = 2 .

გამოსავალი. ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არ არის მითითებული, რაც ნიშნავს, რომ ზემოაღნიშნული განმარტების ძალით იგულისხმება განმარტების ბუნებრივი დომენი. გამოხატულება ვ(x) = 2 განსაზღვრულია ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობებისთვის x, შესაბამისად, ამ ფუნქციასგანსაზღვრულია მთელ კომპლექტზე რ რეალური რიცხვები.

მაშასადამე, ზემოთ ნახაზში რიცხვითი წრფე დაჩრდილულია მინუს უსასრულობიდან პლუს უსასრულობამდე.

ფესვის განსაზღვრის არე ნე ხარისხი

იმ შემთხვევაში, როდესაც ფუნქცია მოცემულია ფორმულით და ნ- ბუნებრივი რიცხვი:

მაგალითი 2. იპოვეთ ფუნქციის დომენი .

გამოსავალი. როგორც განმარტებიდან ირკვევა, ლუწი ხარისხის ფესვს აქვს აზრი, თუ რადიკალური გამოხატულება არის არაუარყოფითი, ანუ თუ - 1 ≤ x≤ 1. ამრიგად, ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის [- 1; 1] .

ზემოთ ნახაზში რიცხვითი ხაზის დაჩრდილული არე არის ამ ფუნქციის განსაზღვრის სფერო.

დენის ფუნქციის დომენი

ძალაუფლების ფუნქციის დომენი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით

თუ ა- დადებითი, მაშინ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე, ანუ ]- ∞; + ∞[ ;

თუ ა- უარყოფითი, მაშინ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის სიმრავლე ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[, ანუ მთელი რიცხვითი წრფე ნულის გარდა.

ზემოთ მოცემულ შესაბამის ნახატში მთელი რიცხვითი წრფე დაჩრდილულია და ნულის შესაბამისი წერტილი ამოღებულია (ის არ შედის ფუნქციის განსაზღვრის დომენში).

მაგალითი 3. იპოვეთ ფუნქციის დომენი .

გამოსავალი. პირველი წევრი არის x-ის მთელი რიცხვი, რომელიც უდრის 3-ს, ხოლო x-ის სიძლიერე მეორე წევრში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ერთი - ასევე მთელი რიცხვი. შესაბამისად, ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის მთელი რიცხვითი წრფე, ანუ ]- ∞; + ∞[ .

სიმძლავრის ფუნქციის დომენი წილადის მაჩვენებლით

იმ შემთხვევაში, როდესაც ფუნქცია მოცემულია ფორმულით:

თუ დადებითია, მაშინ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის სიმრავლე 0; + ∞[ .

მაგალითი 4. იპოვეთ ფუნქციის დომენი .

გამოსავალი. ფუნქციის გამოხატვის ორივე ტერმინი არის დენის ფუნქციებიდადებითი წილადის მაჩვენებლებით. შესაბამისად, ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის სიმრავლე - ∞; + ∞[ .

ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების დომენი

ექსპონენციალური ფუნქციის დომენი

იმ შემთხვევაში, როდესაც ფუნქცია მოცემულია ფორმულით, ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის მთელი რიცხვითი წრფე, ანუ ] - ∞; + ∞[ .

ლოგარითმული ფუნქციის დომენი

ლოგარითმული ფუნქცია განისაზღვრება იმ პირობით, რომ მისი არგუმენტი დადებითია, ანუ მისი განმარტების დომენი არის სიმრავლე ]0; + ∞[ .

თავად იპოვეთ ფუნქციის დომენი და შემდეგ გადახედეთ გამოსავალს

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დომენი

ფუნქციის დომენი წ= cos( x) - ასევე ბევრი რ რეალური რიცხვები.

ფუნქციის დომენი წ= tg( x) - რამოდენიმე რ რეალური რიცხვები, გარდა რიცხვებისა .

ფუნქციის დომენი წ= ctg( x) - რამოდენიმე რ რეალური რიცხვები, გარდა რიცხვებისა.

მაგალითი 8. იპოვეთ ფუნქციის დომენი .

გამოსავალი. გარე ფუნქცია - ათობითი ლოგარითმიხოლო მისი განმარტების სფერო ექვემდებარება განსაზღვრების სფეროს პირობებს ლოგარითმული ფუნქციასაერთოდ. ანუ მისი არგუმენტი დადებითი უნდა იყოს. არგუმენტი აქ არის "x"-ის სინუსი. შემობრუნებული წარმოსახვითი კომპასი წრის გარშემო, ჩვენ ვხედავთ, რომ მდგომარეობა ცოდავს x> 0 ირღვევა "x"-ით ნულის ტოლი, „პი“, ორი, გამრავლებული „პი“-ზე და საერთოდ პროდუქტის ტოლი pi და ნებისმიერი ლუწი ან კენტი მთელი რიცხვი.

ამრიგად, ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი მოცემულია გამოხატვით

,

სად კ- მთელი რიცხვი.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრის დომენი

ფუნქციის დომენი წ= რკალი ( x) - კომპლექტი [-1; 1] .

ფუნქციის დომენი წ= arccos ( x) - ასევე ნაკრები [-1; 1] .

ფუნქციის დომენი წ= არქტანი( x) - რამოდენიმე რ რეალური რიცხვები.

ფუნქციის დომენი წ= arcctg( x) - ასევე ბევრი რ რეალური რიცხვები.

მაგალითი 9. იპოვეთ ფუნქციის დომენი .

გამოსავალი. მოვაგვაროთ უტოლობა:

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენს - სეგმენტს [- 4; 4] .

მაგალითი 10. იპოვეთ ფუნქციის დომენი .

გამოსავალი. მოდი ამოვხსნათ ორი უტოლობა:

პირველი უტოლობის ამოხსნა:

მეორე უტოლობის ამოხსნა:

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენს - სეგმენტს.

ფრაქციების ფარგლები

თუ ფუნქცია მოცემულია წილადური გამოხატულება, რომელშიც ცვლადი არის წილადის მნიშვნელში, მაშინ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის სიმრავლე რ რეალური რიცხვები, ამათ გარდა x, რომლის დროსაც წილადის მნიშვნელი ხდება ნული.

მაგალითი 11. იპოვეთ ფუნქციის დომენი .

გამოსავალი. წილადის მნიშვნელის ნულის ტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენს - სიმრავლეს ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[.

მათემატიკაში უსასრულო ნაკრებიფუნქციები. და თითოეულს აქვს თავისი ხასიათი.) მრავალფეროვან ფუნქციებთან მუშაობისთვის გჭირდებათ მარტოხელამიდგომა. თორემ ეს რა მათემატიკაა?!) და არის ასეთი მიდგომა!

ნებისმიერ ფუნქციასთან მუშაობისას მას წარმოვადგენთ კითხვების სტანდარტული ნაკრებით. და პირველი, ყველაზე მნიშვნელოვანი კითხვა- ეს ფუნქციის განსაზღვრის დომენი.ზოგჯერ ამ ზონას უწოდებენ არგუმენტების მოქმედი მნიშვნელობების სიმრავლეს, ზონას, სადაც მითითებულია ფუნქცია და ა.შ.

რა არის ფუნქციის დომენი? როგორ მოვძებნოთ? ეს კითხვები ხშირად რთული და გაუგებარი ჩანს... თუმცა, სინამდვილეში, ყველაფერი უკიდურესად მარტივია. ამ გვერდის წაკითხვით შეგიძლიათ თავად ნახოთ. წავიდეთ?)

აბა, რა ვთქვა... მხოლოდ პატივისცემა.) დიახ! ფუნქციის ბუნებრივი დომენი (რომელიც აქ განიხილება) მატჩებიფუნქციაში ჩართული გამონათქვამების ODZ-ით. შესაბამისად, მათ ჩხრეკავენ იგივე წესებით.

ახლა მოდით შევხედოთ განმარტების არც თუ ისე ბუნებრივ სფეროს.)

დამატებითი შეზღუდვები ფუნქციის მოცულობის შესახებ.

აქ ვისაუბრებთ იმ შეზღუდვებზე, რომლებსაც აწესებს დავალება. იმათ. დავალება შეიცავს დამატებით პირობას, რომელიც შემდგენელმა მოიფიქრა. ან შეზღუდვები ჩნდება ფუნქციის განსაზღვრის თავად მეთოდიდან.

რაც შეეხება დავალების შეზღუდვებს, ყველაფერი მარტივია. ჩვეულებრივ, არაფრის ძებნა არ არის საჭირო, ყველაფერი უკვე ნათქვამია ამოცანაში. შეგახსენებთ, რომ ამოცანის ავტორის მიერ დაწერილი შეზღუდვები არ უქმდება მათემატიკის ფუნდამენტური შეზღუდვები.თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ გაითვალისწინოთ დავალების პირობები.

მაგალითად, ეს ამოცანა:

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი:

დადებითი რიცხვების სიმრავლეზე.

ჩვენ ვიპოვეთ ამ ფუნქციის განმარტების ბუნებრივი დომენი ზემოთ. Ეს არე:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

IN სიტყვიერი გზაფუნქციის მითითებისას საჭიროა ყურადღებით წაიკითხოთ მდგომარეობა და იქ იპოვოთ შეზღუდვები X-ზე. ხანდახან თვალები ეძებს ფორმულებს, მაგრამ სიტყვები ცნობიერებას სტვენს, დიახ...) მაგალითი წინა გაკვეთილიდან:

ფუნქცია მითითებულია პირობით: x ბუნებრივი არგუმენტის თითოეული მნიშვნელობა ასოცირდება იმ ციფრების ჯამთან, რომლებიც ქმნიან x-ის მნიშვნელობას.

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ საუბარია მხოლოდ X-ის ბუნებრივი მნიშვნელობების შესახებ. მერე D(f)მყისიერად ჩაიწერა:

D(f): x ∈ ნ

როგორც ხედავთ, ფუნქციის ფარგლები ასე არ არის რთული კონცეფცია. ამ რეგიონის პოვნა მოდის ფუნქციის გამოკვლევაზე, უტოლობათა სისტემის დაწერაზე და ამ სისტემის ამოხსნაზე. რა თქმა უნდა, არსებობს ყველა სახის სისტემა, მარტივი და რთული. მაგრამ...

გავხსნი პატარა საიდუმლო. ზოგჯერ ფუნქცია, რომლისთვისაც თქვენ გჭირდებათ განსაზღვრების დომენის პოვნა, უბრალოდ დამაშინებლად გამოიყურება. მინდა გავფერმკრთალო და ვიტირო.) მაგრამ როგორც კი დავწერ უტოლობათა სისტემას... და, უცებ, სისტემა ელემენტარული აღმოჩნდება! უფრო მეტიც, ხშირად, რაც უფრო საშინელია ფუნქცია, მით უფრო მარტივია სისტემა...

მორალი: თვალებს ეშინიათ, თავი გადაწყვეტს!)

ფუნქცია არის მოდელი. მოდით განვსაზღვროთ X, როგორც დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობების ნაკრები // დამოუკიდებელი ნიშნავს ნებისმიერს.

ფუნქცია არის წესი, რომლის დახმარებით, დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობისთვის X სიმრავლიდან, შეიძლება იპოვოთ დამოკიდებული ცვლადის უნიკალური მნიშვნელობა. // ე.ი. ყოველ x-ზე არის ერთი y.

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ არსებობს ორი ცნება - დამოუკიდებელი ცვლადი (რომელსაც აღვნიშნავთ x-ით და მას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა) და დამოკიდებული ცვლადი (რომელსაც აღვნიშნავთ y-ით ან f (x) და გამოითვლება ფუნქციიდან, როდესაც ჩვენ ვცვლით x).

მაგალითისთვის y=5+x

1. დამოუკიდებელი არის x, რაც ნიშნავს, რომ ვიღებთ ნებისმიერ მნიშვნელობას, მოდით x=3

2. ახლა გამოვთვალოთ y, რაც ნიშნავს y=5+x=5+3=8. (y დამოკიდებულია x-ზე, რადგან რასაც x შევცვლით, მივიღებთ y)

ამბობენ, რომ y ცვლადი ფუნქციურად არის დამოკიდებული x ცვლადზე და აღინიშნება შემდეგნაირად: y = f (x).

ᲛᲐᲒᲐᲚᲘᲗᲐᲓ.

1.y=1/x. (ე.წ. ჰიპერბოლა)

2. y=x^2. (ე.წ. პარაბოლა)

3.y=3x+7. (ე.წ. სწორი ხაზი)

4. y= √ x. (ე.წ. პარაბოლის ტოტი)

დამოუკიდებელ ცვლადს (რომელსაც x-ით აღვნიშნავთ) ფუნქციის არგუმენტი ეწოდება.

ფუნქციის დომენი

ყველა მნიშვნელობის სიმრავლეს, რომელსაც იღებს ფუნქციის არგუმენტი, ეწოდება ფუნქციის დომენი და აღინიშნება D(f) ან D(y).

განვიხილოთ D(y) 1.,2.,3.,4-ისთვის.

1. D (y)= (∞; 0) და (0;+∞) //ნამდვილი რიცხვების მთელი სიმრავლე ნულის გარდა.

2. D (y)= (∞; +∞)//ნამდვილი რიცხვების ყველა რაოდენობა

3. D (y)= (∞; +∞)//ნამდვილი რიცხვების ყველა რაოდენობა

4. D (y)= )