როგორ განვსაზღვროთ მეუღლის მოლოდინი. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი

- ბიჭების რაოდენობა 10 ახალშობილს შორის.

სავსებით ნათელია, რომ ეს რიცხვი წინასწარ არ არის ცნობილი და მომდევნო ათში დაბადებული ბავშვი შეიძლება იყოს:

ან ბიჭები - ერთი და ერთადერთიჩამოთვლილი ვარიანტებიდან.

და ფორმაში შესანარჩუნებლად, ცოტა ფიზიკური აღზრდა:

- შორი ნახტომი (ზოგიერთ ერთეულში).

სპორტის ოსტატსაც კი არ შეუძლია ამის პროგნოზირება :)

თუმცა, რა არის თქვენი ჰიპოთეზა?

2) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი - იღებს ყველარიცხვითი მნიშვნელობები გარკვეული სასრული ან უსასრულო დიაპაზონიდან.

შენიშვნა : აბრევიატურები DSV და NSV პოპულარულია საგანმანათლებლო ლიტერატურაში

ჯერ გავაანალიზოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი, შემდეგ - უწყვეტი.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი

- ეს შესაბამისობაამ რაოდენობის შესაძლო მნიშვნელობებსა და მათ ალბათობას შორის. ყველაზე ხშირად, კანონი იწერება ცხრილში:

ტერმინი საკმაოდ გავრცელებულია რიგი განაწილება, მაგრამ ზოგიერთ სიტუაციაში ორაზროვნად ჟღერს და ამიტომ „კანონს“ დავიცავ.

Და ახლა ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილი: რადგან შემთხვევითი ცვლადი აუცილებლადმიიღებს ერთ-ერთი ღირებულება, შემდეგ შესაბამისი მოვლენების ფორმა სრული ჯგუფიდა მათი გაჩენის ალბათობათა ჯამი უდრის ერთს:

ან, თუ დაკეცილია დაწერილი:

ასე რომ, მაგალითად, ქულათა ალბათობების განაწილების კანონს აქვს შემდეგი ფორმა:

Უკომენტაროდ.

შეიძლება გქონდეთ შთაბეჭდილება, რომ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს შეუძლია მიიღოს მხოლოდ "კარგი" მთელი რიცხვები. მოდით გავფანტოთ ილუზია - ისინი შეიძლება იყოს ნებისმიერი:

მაგალითი 1

ზოგიერთ თამაშს აქვს შემდეგი ანაზღაურების განაწილების კანონი:

...ალბათ დიდი ხანია ოცნებობთ ასეთ ამოცანებზე :) საიდუმლოს გაგიმხელთ - მეც. განსაკუთრებით სამუშაოს დასრულების შემდეგ საველე თეორია.

გამოსავალი: რადგან შემთხვევით ცვლადს შეუძლია სამი მნიშვნელობიდან მხოლოდ ერთი მიიღოს, შესაბამისი მოვლენები იქმნება სრული ჯგუფი, რაც ნიშნავს, რომ მათი ალბათობების ჯამი უდრის ერთს:

ჩვენ ვამხელთ "პარტიზანს":

– ამრიგად, ჩვეულებრივი ერთეულების მოგების ალბათობა არის 0,4.

კონტროლი: რა უნდა დარწმუნდეთ.

უპასუხე:

არც ისე იშვიათია, როდესაც განაწილების კანონის დამოუკიდებლად შედგენა საჭიროა. ამ გამოყენებისთვის ალბათობის კლასიკური განმარტება, გამრავლების/შეკრების თეორემები მოვლენის ალბათობებისთვისდა სხვა ჩიფსები ტერვერა:

მაგალითი 2

ყუთში დევს 50 ლატარიის ბილეთი, რომელთაგან 12 მომგებიანია, 2 მათგანი თითო 1000 რუბლს იგებს, ხოლო დანარჩენი - 100 რუბლს. შეადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - მოგების ზომა, თუ ერთი ბილეთი შემთხვევით ამოღებულია ყუთიდან.

გამოსავალი: როგორც შენიშნეთ, ჩვეულებრივია შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების მოთავსება აღმავალი რიგი. ამიტომ, ჩვენ ვიწყებთ ყველაზე მცირე მოგებით, კერძოდ, რუბლით.

სულ არის 50 - 12 = 38 ასეთი ბილეთი და შესაბამისად კლასიკური განმარტება:
არის ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით გათამაშებული ბილეთი არ მოიგებს.

დანარჩენი შემთხვევები მარტივია. რუბლის მოგების ალბათობაა:

შემოწმება: - და ეს განსაკუთრებით სასიამოვნო მომენტია ასეთი დავალებების შესრულებისთვის!

უპასუხე: ანაზღაურების განაწილების საჭირო კანონი:

შემდეგი ამოცანა დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მისაღებად:

მაგალითი 3

ალბათობა იმისა, რომ მსროლელი მოხვდება მიზანში არის . შეადგინეთ განაწილების კანონი შემთხვევითი ცვლადისთვის - დარტყმების რაოდენობა 2 გასროლის შემდეგ.

... ვიცოდი რომ მოგენატრე :) გვახსოვს გამრავლებისა და შეკრების თეორემები. ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

განაწილების კანონი სრულად აღწერს შემთხვევით ცვლადს, მაგრამ პრაქტიკაში სასარგებლოა (და ზოგჯერ უფრო სასარგებლო) მხოლოდ ზოგიერთის ცოდნა. რიცხვითი მახასიათებლები .

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი

მარტივი სიტყვებით, ეს საშუალო მოსალოდნელი ღირებულებაგანმეორებითი ტესტირებით. დაე, შემთხვევითმა ცვლადმა მიიღოს მნიშვნელობები ალბათობით შესაბამისად. მაშინ ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი უდრის პროდუქტების ჯამიყველა მისი მნიშვნელობა შესაბამისი ალბათობით:

ან დაკეცილი ფორმით:

გამოვთვალოთ, მაგალითად, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი - კამათელზე დავარდნილი ქულების რაოდენობა:

ახლა გავიხსენოთ ჩვენი ჰიპოთეტური თამაში:

ჩნდება კითხვა: არის თუ არა მომგებიანი ამ თამაშის თამაში? ... ვის აქვს შთაბეჭდილებები? ასე რომ, თქვენ არ შეგიძლიათ თქვათ "გაურკვეველი"! მაგრამ ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა მარტივად შეიძლება მათემატიკური მოლოდინის გამოთვლით, არსებითად - საშუალო შეწონილიგამარჯვების ალბათობა:

ამრიგად, ამ თამაშის მათემატიკური მოლოდინი კარგავს.

არ ენდოთ შთაბეჭდილებებს - ენდეთ ციფრებს!

დიახ, აქ თქვენ შეგიძლიათ მოიგოთ ზედიზედ 10 ან თუნდაც 20-30-ჯერ, მაგრამ გრძელვადიან პერსპექტივაში ჩვენ აუცილებლად დაგვანგრევთ. და მე არ გირჩევდი ასეთი თამაშების თამაშს :) კარგი, შეიძლება მხოლოდ გასართობად.

ყოველივე ზემოთქმულიდან გამომდინარეობს, რომ მათემატიკური მოლოდინი არ არის შემთხვევითი მნიშვნელობა.

კრეატიული დავალება დამოუკიდებელი კვლევისთვის:

მაგალითი 4

ბატონი X თამაშობს ევროპულ რულეტს შემდეგი სისტემით: ის მუდმივად დებს 100 მანეთს წითელზე. შეადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - მისი ანაზღაურება. გამოთვალეთ მოგების მათემატიკური მოლოდინი და დააბრუნეთ იგი კაპიკამდე. Როგორ საშუალოდაგებს მოთამაშე ყოველ ას ფსონზე?

მითითება : ევროპული რულეტკა შეიცავს 18 წითელ, 18 შავ და 1 მწვანე სექტორს ("ნულოვანი"). „წითლის“ ამოვარდნის შემთხვევაში მოთამაშეს ედება ორმაგი ფსონი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის მიდის კაზინოს შემოსავალზე.

არსებობს მრავალი სხვა რულეტის სისტემა, რომლისთვისაც შეგიძლიათ შექმნათ თქვენი საკუთარი ალბათობის ცხრილები. მაგრამ ეს ის შემთხვევაა, როცა არ გვჭირდება განაწილების კანონები და ცხრილები, რადგან დანამდვილებით დადგენილია, რომ მოთამაშის მათემატიკური მოლოდინი ზუსტად იგივე იქნება. იცვლება მხოლოდ სისტემიდან სისტემაში

თითოეული ინდივიდუალური მნიშვნელობა მთლიანად განისაზღვრება მისი განაწილების ფუნქციით. ასევე, პრაქტიკული ამოცანების გადასაჭრელად საკმარისია ვიცოდეთ რამდენიმე რიცხვითი მახასიათებელი, რომლის წყალობითაც შესაძლებელი ხდება შემთხვევითი ცვლადის ძირითადი მახასიათებლების მოკლედ წარმოჩენა.

ეს რაოდენობები პირველ რიგში მოსალოდნელი ღირებულებადა დისპერსია .

Მოსალოდნელი ღირებულება- შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა ალბათობის თეორიაში. დანიშნულია როგორც.

უმარტივესი გზით, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი X(w), გვხვდება როგორც განუყოფელილებეგალბათობის საზომთან მიმართებაში რ საწყისი ალბათობის სივრცე

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი როგორც ლებეგის ინტეგრალისაწყისი Xალბათობის განაწილებით R Xრაოდენობები X:

სადაც არის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ნაკრები X.

ფუნქციების მათემატიკური მოლოდინი შემთხვევითი ცვლადიდან Xგანაწილების გზით ხდება R X. Მაგალითად, თუ X- შემთხვევითი ცვლადი მნიშვნელობებით და f(x)- ცალსახა ბორელიფუნქცია X , შემდეგ:

თუ F(x)- განაწილების ფუნქცია X, მაშინ მათემატიკური მოლოდინი გამოსახულია განუყოფელიLebesgue - Stieltjes (ან Riemann - Stieltjes):

ხოლო ინტეგრირებადობა XᲗვალსაზრისით ( * ) შეესაბამება ინტეგრალის სასრულობას

კონკრეტულ შემთხვევებში, თუ Xაქვს დისკრეტული განაწილება სავარაუდო მნიშვნელობებით x k, k=1, 2, . , და ალბათობა, მაშინ

თუ Xაქვს აბსოლუტურად უწყვეტი განაწილება ალბათობის სიმკვრივით p(x), მაშინ

ამ შემთხვევაში მათემატიკური მოლოდინის არსებობა შესაბამისი სერიის ან ინტეგრალის აბსოლუტური კონვერგენციის ტოლფასია.

შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინის თვისებები.

• მუდმივი მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი უდრის ამ მნიშვნელობას:

C- მუდმივი;

• M=C.M[X]

• შემთხვევით მიღებული მნიშვნელობების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს:

• დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი = მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლი:

M=M[X]+M[Y]

თუ Xდა იდამოუკიდებელი.

თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა:

მათემატიკური მოლოდინის გამოთვლის ალგორითმი.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების თვისებები: მათი ყველა მნიშვნელობა შეიძლება გადაირიცხოს ნატურალური რიცხვებით; გააიგივეთ თითოეული მნიშვნელობა არანულოვანი ალბათობით.

1. გაამრავლეთ წყვილები რიგრიგობით: x iზე პი.

2. დაამატეთ თითოეული წყვილის პროდუქტი x i p i.

Მაგალითად, ამისთვის ნ = 4 :

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციაეტაპობრივად, ის მკვეთრად იზრდება იმ წერტილებში, რომელთა ალბათობაც დადებითი ნიშანია.

მაგალითი:იპოვეთ მათემატიკური მოლოდინი ფორმულით.

მათემატიკური მოლოდინი არის შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება

მათემატიკური მოლოდინი, განსაზღვრება, დისკრეტული და უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების მათემატიკური მოლოდინი, შერჩევითი, პირობითი მოლოდინი, გამოთვლა, თვისებები, ამოცანები, მოლოდინის შეფასება, ვარიაცია, განაწილების ფუნქცია, ფორმულები, გამოთვლის მაგალითები

გააფართოვეთ შინაარსი

კონტენტის ჩაკეცვა

მათემატიკური მოლოდინი არის განმარტება

მათემატიკური სტატისტიკისა და ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი კონცეფცია, რომელიც ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების ან ალბათობების განაწილებას. ჩვეულებრივ გამოიხატება შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო პარამეტრის შეწონილი საშუალოდ. იგი ფართოდ გამოიყენება ტექნიკურ ანალიზში, რიცხვთა სერიების შესწავლაში, უწყვეტი და გრძელვადიანი პროცესების შესწავლაში. ის მნიშვნელოვანია რისკების შეფასებისას, ფასების ინდიკატორების პროგნოზირება ფინანსურ ბაზრებზე ვაჭრობისას და გამოიყენება აზარტული თამაშების თეორიაში თამაშის ტაქტიკის სტრატეგიებისა და მეთოდების შემუშავებაში.

მათემატიკური მოლოდინი არისშემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა, შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება განიხილება ალბათობის თეორიაში.

მათემატიკური მოლოდინი არისშემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობის საზომი ალბათობის თეორიაში. შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი xაღინიშნა M(x).

მათემატიკური მოლოდინი არის

მათემატიკური მოლოდინი არისალბათობის თეორიაში, ყველა შესაძლო მნიშვნელობის შეწონილი საშუალო, რაც ამ შემთხვევით ცვლადს შეუძლია მიიღოს.

მათემატიკური მოლოდინი არისშემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ნამრავლების ჯამი ამ მნიშვნელობების ალბათობით.

მათემატიკური მოლოდინი არისსაშუალო სარგებელი კონკრეტული გადაწყვეტილებისგან, იმ პირობით, რომ ასეთი გადაწყვეტილება შეიძლება განიხილებოდეს დიდი რიცხვების და შორ მანძილზე თეორიის ფარგლებში.

მათემატიკური მოლოდინი არისაზარტული თამაშების თეორიაში, მოგების ოდენობა, რომელიც მოთამაშეს შეუძლია მიიღოს ან წააგოს, საშუალოდ, თითოეულ ფსონზე. აზარტული ენით, ამას ზოგჯერ მოიხსენიებენ, როგორც "მოთამაშის ზღვარს" (თუ ეს დადებითია მოთამაშისთვის) ან "სახლის ზღვარზე" (თუ ეს უარყოფითია მოთამაშისთვის).

მათემატიკური მოლოდინი არისმოგების პროცენტი ერთ მოგებაზე გამრავლებული საშუალო მოგებაზე გამოკლებული ზარალის ალბათობა გამრავლებული საშუალო ზარალზე.

შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი მათემატიკურ თეორიაში

შემთხვევითი ცვლადის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი რიცხვითი მახასიათებელია მათემატიკური მოლოდინი. შემოვიღოთ შემთხვევითი ცვლადების სისტემის კონცეფცია. განვიხილოთ შემთხვევითი ცვლადების ნაკრები, რომელიც არის იგივე შემთხვევითი ექსპერიმენტის შედეგი. თუ ეს არის სისტემის ერთ-ერთი შესაძლო მნიშვნელობა, მაშინ მოვლენა შეესაბამება გარკვეულ ალბათობას, რომელიც აკმაყოფილებს კოლმოგოროვის აქსიომებს. შემთხვევითი ცვლადების ნებისმიერი შესაძლო მნიშვნელობებისთვის განსაზღვრულ ფუნქციას ეწოდება ერთობლივი განაწილების კანონი. ეს ფუნქცია საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა. კერძოდ, შემთხვევითი ცვლადების განაწილების ერთობლივი კანონი და, რომლებიც იღებენ მნიშვნელობებს სიმრავლიდან და, მოცემულია ალბათობებით.

ტერმინი „მოლოდინი“ შემოიღო პიერ სიმონ მარკიზ დე ლაპლასმა (1795) და წარმოიშვა „ანაზღაურების მოსალოდნელი ღირებულების“ კონცეფციიდან, რომელიც პირველად გამოჩნდა მე-17 საუკუნეში აზარტული თამაშების თეორიაში ბლეზ პასკალისა და კრისტიან ჰიუგენსის ნაშრომებში. . თუმცა, ამ კონცეფციის პირველი სრული თეორიული გაგება და შეფასება მისცა პაფნუტი ლვოვიჩ ჩებიშევმა (მე-19 საუკუნის შუა ხანები).

შემთხვევითი რიცხვითი ცვლადების განაწილების კანონი (განაწილების ფუნქცია და განაწილების სერია ან ალბათობის სიმკვრივე) სრულად აღწერს შემთხვევითი ცვლადის ქცევას. მაგრამ რიგ ამოცანებში საკმარისია ვიცოდეთ შესასწავლი რაოდენობის ზოგიერთი რიცხვითი მახასიათებელი (მაგალითად, მისი საშუალო მნიშვნელობა და მისგან შესაძლო გადახრა), რათა პასუხი გასცეს დასმულ კითხვას. შემთხვევითი ცვლადების ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლებია მათემატიკური მოლოდინი, ვარიაცია, რეჟიმი და მედიანა.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არის მისი შესაძლო მნიშვნელობებისა და მათი შესაბამისი ალბათობების ნამრავლების ჯამი. ზოგჯერ მათემატიკურ მოლოდინს უწოდებენ შეწონილ საშუალოს, რადგან ის დაახლოებით უდრის შემთხვევითი ცვლადის დაკვირვებული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკულს ექსპერიმენტების დიდი რაოდენობით. მათემატიკური მოლოდინის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მისი მნიშვნელობა არ არის შემთხვევითი ცვლადის უმცირესი შესაძლო სიდიდეზე ნაკლები და არაუმეტეს უდიდესზე. შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არის არა შემთხვევითი (მუდმივი) ცვლადი.

მათემატიკურ მოლოდინს აქვს მარტივი ფიზიკური მნიშვნელობა: თუ ერთეული მასა მოთავსებულია სწორ ხაზზე, ათავსებს მასას ზოგიერთ წერტილში (დისკრეტული განაწილებისთვის) ან მას გარკვეული სიმკვრივით (აბსოლუტურად უწყვეტი განაწილებისთვის) „დასხამს“). მაშინ მათემატიკური მოლოდინის შესაბამისი წერტილი იქნება კოორდინატი „სიმძიმის ცენტრი“.

შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა არის გარკვეული რიცხვი, რომელიც, როგორც იქნა, მისი "წარმომადგენელია" და ცვლის მას უხეში სავარაუდო გამოთვლებით. როდესაც ჩვენ ვამბობთ: "ნათურის მუშაობის საშუალო დრო 100 საათია" ან "დარტყმის საშუალო წერტილი გადაადგილებულია სამიზნეზე 2 მ-ით მარჯვნივ", ჩვენ ამით მივუთითებთ შემთხვევითი ცვლადის გარკვეულ რიცხვობრივ მახასიათებელს, რომელიც აღწერს მას. მდებარეობა რიცხვით ღერძზე, ე.ი პოზიციის აღწერა.

ალბათობის თეორიაში პოზიციის მახასიათებლებიდან ყველაზე მნიშვნელოვან როლს ასრულებს შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, რომელსაც ზოგჯერ უბრალოდ შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობას უწოდებენ.

განვიხილოთ შემთხვევითი ცვლადი X, რომელსაც აქვს შესაძლო მნიშვნელობები x1, x2, ..., xnალბათობით p1, p2, ..., pn. რაღაც რიცხვით უნდა დავახასიათოთ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების პოზიცია x ღერძზე, იმის გათვალისწინებით, რომ ამ მნიშვნელობებს აქვთ განსხვავებული ალბათობა. ამ მიზნით ბუნებრივია მნიშვნელობების ე.წ. „შეწონილი საშუალო“ გამოყენება xiდა თითოეული xi მნიშვნელობა საშუალოდ გაანგარიშებისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული ამ მნიშვნელობის ალბათობის პროპორციული „წონით“. ამრიგად, ჩვენ გამოვთვლით შემთხვევითი ცვლადის საშუალოს X, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ M|X|:

ამ შეწონილ საშუალოს ეწოდება შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი. ამრიგად, ჩვენ განვიხილეთ ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნება - მათემატიკური მოლოდინის ცნება. შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არის შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის პროდუქციის ჯამი და ამ მნიშვნელობების ალბათობა.

დაე, წარმოიქმნას ნდამოუკიდებელი ექსპერიმენტები, რომელთაგან თითოეულში მნიშვნელობა Xიღებს გარკვეულ მნიშვნელობას. დავუშვათ ღირებულება x1გამოჩნდა m1ჯერ, ღირებულება x2გამოჩნდა მ2ჯერ, ზოგადი მნიშვნელობა xiჯერ კიდევ გამოჩნდა. მოდით გამოვთვალოთ X-ის დაკვირვებული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული, რომელიც მათემატიკური მოლოდინისგან განსხვავებით M|X|ჩვენ აღვნიშნავთ M*|X|:

ექსპერიმენტების რაოდენობის მატებასთან ერთად ნსიხშირეები პიმიუახლოვდება (ალბათობით გადაიყრება) შესაბამის ალბათობებს. ამიტომ, შემთხვევითი ცვლადის დაკვირვებული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული M|X|ექსპერიმენტების რაოდენობის მატებასთან ერთად, იგი მიუახლოვდება (ალბათობით გადაიხრება) მის მათემატიკურ მოლოდინს. კავშირი არითმეტიკულ საშუალოსა და ზემოთ ჩამოყალიბებულ მათემატიკურ მოლოდინს შორის წარმოადგენს დიდი რიცხვების კანონის ერთ-ერთი ფორმის შინაარსს.

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ დიდი რიცხვების კანონის ყველა ფორმა მიუთითებს იმ ფაქტზე, რომ გარკვეული საშუალო მაჩვენებლები სტაბილურია ექსპერიმენტების დიდი რაოდენობით. აქ საუბარია არითმეტიკული საშუალოს სტაბილურობაზე ერთი და იგივე მნიშვნელობის დაკვირვების სერიიდან. ექსპერიმენტების მცირე რაოდენობით, მათი შედეგების საშუალო არითმეტიკული არის შემთხვევითი; ექსპერიმენტების რაოდენობის საკმარისად გაზრდით, ის ხდება "თითქმის არა შემთხვევითი" და სტაბილიზირებით უახლოვდება მუდმივ მნიშვნელობას - მათემატიკურ მოლოდინს.

საშუალო სტაბილურობის თვისება დიდი რაოდენობით ექსპერიმენტებისთვის ადვილია ექსპერიმენტულად გადამოწმებული. მაგალითად, ლაბორატორიაში ნებისმიერი სხეულის ზუსტ სასწორზე აწონვა, აწონვის შედეგად ყოველ ჯერზე ვიღებთ ახალ მნიშვნელობას; დაკვირვების შეცდომის შესამცირებლად სხეულს რამდენჯერმე ავწონით და გამოვიყენებთ მიღებული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკას. ადვილი მისახვედრია, რომ ექსპერიმენტების (აწონის) რაოდენობის შემდგომი მატებასთან ერთად, საშუალო არითმეტიკული რეაგირებს ამ ზრდაზე უფრო და უფრო ნაკლებად, და საკმარისად დიდი რაოდენობით ექსპერიმენტებით იგი პრაქტიკულად წყვეტს ცვლილებას.

უნდა აღინიშნოს, რომ შემთხვევითი ცვლადის პოზიციის ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი - მათემატიკური მოლოდინი - არ არსებობს ყველა შემთხვევითი ცვლადისთვის. შესაძლებელია ისეთი შემთხვევითი ცვლადების მაგალითების გაკეთება, რომლებისთვისაც მათემატიკური მოლოდინი არ არსებობს, რადგან შესაბამისი ჯამი ან ინტეგრალი განსხვავდება. თუმცა, პრაქტიკისთვის, ასეთი შემთხვევები არ არის მნიშვნელოვანი ინტერესი. ჩვეულებრივ, შემთხვევით ცვლადებს, რომლებთანაც გვაქვს საქმე, აქვთ შესაძლო მნიშვნელობების შეზღუდული დიაპაზონი და, რა თქმა უნდა, აქვთ მოლოდინი.

გარდა შემთხვევითი ცვლადის პოზიციის მახასიათებლებიდან ყველაზე მნიშვნელოვანი - მათემატიკური მოლოდინისა, პრაქტიკაში ზოგჯერ გამოიყენება პოზიციის სხვა მახასიათებლები, კერძოდ, შემთხვევითი ცვლადის რეჟიმი და მედიანა.

შემთხვევითი ცვლადის რეჟიმი მისი ყველაზე სავარაუდო მნიშვნელობაა. ტერმინი "სავარაუდო ღირებულება", მკაცრად რომ ვთქვათ, ეხება მხოლოდ წყვეტილ რაოდენობებს; უწყვეტი სიდიდისთვის რეჟიმი არის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ალბათობის სიმკვრივე მაქსიმალურია. ფიგურები გვიჩვენებს, შესაბამისად, უწყვეტი და უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების რეჟიმს.

თუ განაწილების მრავალკუთხედს (განაწილების მრუდი) აქვს ერთზე მეტი მაქსიმუმი, განაწილება ითვლება "პოლიმოდალური".

ზოგჯერ არის განაწილებები, რომლებსაც შუაში აქვთ არა მაქსიმუმი, არამედ მინიმალური. ასეთ განაწილებებს უწოდებენ "ანტიმოდალურ".

ზოგად შემთხვევაში, რეჟიმი და შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არ ემთხვევა ერთმანეთს. კონკრეტულ შემთხვევაში, როდესაც განაწილება არის სიმეტრიული და მოდალური (ანუ აქვს რეჟიმი) და არსებობს მათემატიკური მოლოდინი, მაშინ იგი ემთხვევა განაწილების რეჟიმს და სიმეტრიის ცენტრს.

ხშირად გამოიყენება პოზიციის კიდევ ერთი მახასიათებელი - შემთხვევითი ცვლადის მედიანური ე.წ. ეს მახასიათებელი ჩვეულებრივ გამოიყენება მხოლოდ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის, თუმცა ის შეიძლება ოფიციალურად განისაზღვროს უწყვეტი ცვლადისთვისაც. გეომეტრიულად, მედიანა არის იმ წერტილის აბსცისა, რომელზედაც განაწილების მრუდით შემოსაზღვრული ფართობი ორად არის გაყოფილი.

სიმეტრიული მოდალური განაწილების შემთხვევაში მედიანა ემთხვევა საშუალოს და მოდს.

მათემატიკური მოლოდინი არის შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა - შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების რიცხვითი მახასიათებელი. ყველაზე ზოგადი გზით, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი X(w)განისაზღვრება, როგორც ლებეგის ინტეგრალი ალბათობის ზომით რთავდაპირველი ალბათობის სივრცეში:

მათემატიკური მოლოდინი ასევე შეიძლება გამოითვალოს ლებეგის ინტეგრალით Xალბათობის განაწილებით pxრაოდენობები X:

ბუნებრივი გზით, შეიძლება განვსაზღვროთ შემთხვევითი ცვლადის კონცეფცია უსასრულო მათემატიკური მოლოდინით. ტიპიური მაგალითია დაბრუნების დრო ზოგიერთ შემთხვევით გასეირნებაში.

მათემატიკური მოლოდინის დახმარებით განისაზღვრება განაწილების მრავალი რიცხვითი და ფუნქციური მახასიათებელი (როგორც შემთხვევითი ცვლადის შესაბამისი ფუნქციების მათემატიკური მოლოდინი), მაგალითად, გენერირების ფუნქცია, დამახასიათებელი ფუნქცია, ნებისმიერი რიგის მომენტები, კერძოდ, ვარიაცია. , კოვარიანსი.

მათემატიკური მოლოდინი არის შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების ადგილმდებარეობის მახასიათებელი (მისი განაწილების საშუალო მნიშვნელობა). ამ შესაძლებლობებში, მათემატიკური მოლოდინი ემსახურება როგორც "ტიპიურ" განაწილების პარამეტრს და მისი როლი მსგავსია სტატიკური მომენტის როლის - მასის განაწილების სიმძიმის ცენტრის კოორდინატის - მექანიკაში. მდებარეობის სხვა მახასიათებლებიდან, რომელთა დახმარებითაც განაწილება აღიწერება ზოგადი ტერმინებით - მედიანები, რეჟიმები, მათემატიკური მოლოდინი განსხვავდება იმ დიდი მნიშვნელობით, რაც მას და შესაბამის გაფანტვის მახასიათებელს - დისპერსიას - აქვთ ალბათობის თეორიის ზღვრულ თეორემებში. . მათემატიკური მოლოდინის მნიშვნელობას უდიდესი სისრულით ავლენს დიდი რიცხვების კანონი (ჩებიშევის უტოლობა) და დიდი რიცხვების გაძლიერებული კანონი.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი

დაე, იყოს რაიმე შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს რამდენიმე რიცხვითი მნიშვნელობიდან ერთ-ერთი (მაგალითად, ქულების რაოდენობა რგოლში შეიძლება იყოს 1, 2, 3, 4, 5 ან 6). ხშირად პრაქტიკაში, ასეთი ღირებულებისთვის, ჩნდება კითხვა: რა მნიშვნელობა აქვს მას "საშუალოდ" ტესტების დიდი რაოდენობით? რა იქნება ჩვენი საშუალო შემოსავალი (ან ზარალი) თითოეული სარისკო ტრანზაქციისგან?

ვთქვათ, არის რაიმე სახის ლატარია. ჩვენ გვინდა გავიგოთ მომგებიანია თუ არა მასში მონაწილეობა (ან თუნდაც არაერთხელ, რეგულარულად). ვთქვათ, ყოველი მეოთხე ბილეთი იგებს, პრიზი იქნება 300 მანეთი, ხოლო ნებისმიერი ბილეთის ფასი იქნება 100 რუბლი. უსასრულო რაოდენობის მონაწილეობით, ეს არის ის, რაც ხდება. შემთხვევების სამ მეოთხედში ჩვენ დავკარგავთ, ყოველი სამი ზარალი 300 მანეთი ეღირება. ყოველ მეოთხე შემთხვევაში ჩვენ მოვიგებთ 200 რუბლს. (პრიზი მინუს ღირებულება), ანუ ოთხი მონაწილეობისთვის ჩვენ ვკარგავთ საშუალოდ 100 რუბლს, ერთისთვის - საშუალოდ 25 რუბლს. საერთო ჯამში, ჩვენი დანგრევის საშუალო მაჩვენებელი იქნება 25 რუბლი თითო ბილეთზე.

კამათელს ვყრით. თუ ეს არ არის მოტყუება (სიმძიმის ცენტრის გადაადგილების გარეშე და ა.შ.), მაშინ საშუალოდ რამდენი ქულა გვექნება ერთდროულად? ვინაიდან თითოეული ვარიანტი თანაბრად სავარაუდოა, ჩვენ ვიღებთ სულელური არითმეტიკული საშუალოს და ვიღებთ 3.5. ვინაიდან ეს არის საშუალო, არ არის საჭირო აღშფოთება, რომ არც ერთი კონკრეტული სროლა არ მოგცემთ 3,5 ქულას - კარგი, ამ კუბს არ აქვს სახე ასეთი რიცხვით!

ახლა შევაჯამოთ ჩვენი მაგალითები:

მოდით შევხედოთ სურათს ზემოთ. მარცხნივ არის შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ცხრილი. X-ის მნიშვნელობამ შეიძლება მიიღოს n შესაძლო მნიშვნელობიდან ერთ-ერთი (მოცემულია ზედა რიგში). სხვა ღირებულებები არ შეიძლება იყოს. თითოეული შესაძლო მნიშვნელობის ქვეშ, მისი ალბათობა ხელმოწერილია ქვემოთ. მარჯვნივ არის ფორმულა, სადაც M(X) მათემატიკური მოლოდინი ეწოდება. ამ მნიშვნელობის მნიშვნელობა არის ის, რომ ცდების დიდი რაოდენობით (დიდი ნიმუშით), საშუალო მნიშვნელობა სწორედ ამ მათემატიკური მოლოდინისკენ იქნება მიმართული.

დავუბრუნდეთ იმავე სათამაშო კუბს. სროლაში ქულების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი არის 3,5 (გამოთვალეთ ფორმულის გამოყენებით, თუ არ გჯერათ). ვთქვათ, რამდენჯერმე ესროლე. ამოვარდა 4 და 6. საშუალოდ 5 გამოვიდა, ანუ შორს 3,5-დან. ისევ დააგდეს, 3 ამოვარდა, ანუ საშუალოდ (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... რაღაცნაირად შორს მათემატიკური მოლოდინისგან. ახლა ჩაატარეთ გიჟური ექსპერიმენტი - გააბრტყელეთ კუბი 1000-ჯერ! და თუ საშუალო არ არის ზუსტად 3.5, მაშინ ის ახლოს იქნება.

მოდით გამოვთვალოთ მათემატიკური მოლოდინი ზემოთ აღწერილი ლატარიისთვის. ცხრილი ასე გამოიყურება:

მაშინ მათემატიკური მოლოდინი იქნება, როგორც ზემოთ დავადგინეთ.:

სხვა საქმეა, რომ ისიც „თითებზეა“, ფორმულის გარეშე, მეტი ვარიანტი რომ ყოფილიყო, რთული იქნებოდა. ვთქვათ, იყო 75% წაგებული ბილეთები, 20% მოგებული ბილეთები და 5% მოგებული ბილეთები.

ახლა მათემატიკური მოლოდინის ზოგიერთი თვისება.

ამის დამტკიცება ადვილია:

მუდმივი მულტიპლიკატორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მოლოდინის ნიშნიდან, ანუ:

ეს არის მათემატიკური მოლოდინის წრფივი თვისების განსაკუთრებული შემთხვევა.

მათემატიკური მოლოდინის წრფივობის კიდევ ერთი შედეგი:

ანუ შემთხვევითი ცვლადების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის შემთხვევითი ცვლადების მათემატიკური მოლოდინების ჯამს.

მოდით X, Y იყოს დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები, შემდეგ:

ეს ასევე ადვილი დასამტკიცებელია) XYთავად არის შემთხვევითი ცვლადი, ხოლო თუ საწყისი მნიშვნელობები შეიძლება მიიღოს ნდა მღირებულებები, შესაბამისად, მაშინ XYშეუძლია მიიღოს ნმ მნიშვნელობები. თითოეული მნიშვნელობის ალბათობა გამოითვლება იმის საფუძველზე, რომ დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობა მრავლდება. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ამას:

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი

უწყვეტ შემთხვევით ცვლადებს აქვთ ისეთი მახასიათებელი, როგორიცაა განაწილების სიმკვრივე (ალბათობის სიმკვრივე). ეს, ფაქტობრივად, ახასიათებს სიტუაციას, რომ შემთხვევითი ცვლადი უფრო ხშირად იღებს ზოგიერთ მნიშვნელობას რეალური რიცხვების სიმრავლიდან, ზოგი - ნაკლებად ხშირად. მაგალითად, განიხილეთ ეს სქემა:

Აქ X- რეალურად შემთხვევითი ცვლადი, f(x)- განაწილების სიმკვრივე. ამ გრაფიკით თუ ვიმსჯელებთ, ექსპერიმენტების დროს მნიშვნელობა Xხშირად იქნება ნულთან მიახლოებული რიცხვი. გადაჭარბების შანსები 3 ან იყოს ნაკლები -3 საკმაოდ წმინდა თეორიულად.

მოდით, მაგალითად, იყოს ერთიანი განაწილება:

ეს საკმაოდ შეესაბამება ინტუიციურ გაგებას. ვთქვათ, თუ მივიღებთ უამრავ შემთხვევით ნამდვილ რიცხვს ერთგვაროვანი განაწილებით, თითოეული სეგმენტი |0; 1| , მაშინ საშუალო არითმეტიკული უნდა იყოს დაახლოებით 0,5.

მათემატიკური მოლოდინის თვისებები - წრფივობა და ა.შ., რომელიც გამოიყენება დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადებისთვის, აქაც გამოიყენება.

მათემატიკური მოლოდინის კავშირი სხვა სტატისტიკურ მაჩვენებლებთან

სტატისტიკურ ანალიზში, მათემატიკური მოლოდინის პარალელურად, არსებობს ურთიერთდამოკიდებული ინდიკატორების სისტემა, რომელიც ასახავს ფენომენების ერთგვაროვნებას და პროცესების სტაბილურობას. ხშირად, ვარიაციის ინდიკატორებს არ აქვთ დამოუკიდებელი მნიშვნელობა და გამოიყენება შემდგომი მონაცემთა ანალიზისთვის. გამონაკლისს წარმოადგენს ვარიაციის კოეფიციენტი, რომელიც ახასიათებს მონაცემთა ერთგვაროვნებას, რაც ღირებული სტატისტიკური მახასიათებელია.

სტატისტიკურ მეცნიერებაში პროცესების ცვალებადობის ან სტაბილურობის ხარისხი შეიძლება გაიზომოს რამდენიმე ინდიკატორის გამოყენებით.

შემთხვევითი ცვლადის ცვალებადობის დამახასიათებელი ყველაზე მნიშვნელოვანი მაჩვენებელია დისპერსია, რომელიც ყველაზე მჭიდროდ და უშუალოდ უკავშირდება მათემატიკურ მოლოდინს. ეს პარამეტრი აქტიურად გამოიყენება სხვა სახის სტატისტიკურ ანალიზში (ჰიპოთეზის ტესტირება, მიზეზ-შედეგობრივი კავშირის ანალიზი და სხვ.). საშუალო წრფივი გადახრის მსგავსად, დისპერსიაც ასახავს იმას, თუ რამდენად ვრცელდება მონაცემები საშუალოზე.

სასარგებლოა ნიშნების ენის სიტყვების ენაზე თარგმნა. გამოდის, რომ განსხვავება არის გადახრების საშუალო კვადრატი. ანუ, ჯერ გამოითვლება საშუალო მნიშვნელობა, შემდეგ იღებენ განსხვავებას თითოეულ ორიგინალსა და საშუალო მნიშვნელობას შორის, კვადრატში, ემატება და შემდეგ იყოფა ამ პოპულაციაში მნიშვნელობების რაოდენობაზე. განსხვავება ინდივიდუალურ მნიშვნელობასა და საშუალოს შორის ასახავს გადახრის ზომას. ის კვადრატულია იმისთვის, რომ ყველა გადახრები იქცეს ექსკლუზიურად პოზიტიურ რიცხვებად და თავიდან აიცილოს დადებითი და უარყოფითი გადახრების ორმხრივი გაუქმება მათი შეჯამებისას. შემდეგ, კვადრატული გადახრების გათვალისწინებით, ჩვენ უბრალოდ გამოვთვალეთ საშუალო არითმეტიკული. საშუალო - კვადრატი - გადახრები. გადახრები კვადრატულია და საშუალოდ ითვლება. ჯადოსნური სიტყვა „დისპერსიის“ პასუხი მხოლოდ სამი სიტყვაა.

თუმცა, მისი სუფთა სახით, როგორიცაა, მაგალითად, საშუალო არითმეტიკული ან ინდექსი, დისპერსია არ გამოიყენება. ეს უფრო დამხმარე და შუალედური მაჩვენებელია, რომელიც გამოიყენება სხვა ტიპის სტატისტიკური ანალიზისთვის. მას არც კი აქვს ნორმალური საზომი ერთეული. ფორმულით ვიმსჯელებთ, ეს არის ორიგინალური მონაცემთა ერთეულის კვადრატი.

გავზომოთ შემთხვევითი ცვლადი ნჯერ, მაგალითად, ჩვენ ვზომავთ ქარის სიჩქარეს ათჯერ და გვინდა ვიპოვოთ საშუალო მნიშვნელობა. როგორ არის დაკავშირებული საშუალო მნიშვნელობა განაწილების ფუნქციასთან?

ან კამათელს ბევრჯერ დავყრით. ქულების რაოდენობა, რომელიც დაეცემა თხრილზე ყოველი სროლისას, არის შემთხვევითი ცვლადი და შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი ბუნებრივი მნიშვნელობა 1-დან 6-მდე. ნის მიდრეკილია ძალიან კონკრეტულ რიცხვზე - მათემატიკური მოლოდინისკენ Mx. ამ შემთხვევაში, Mx = 3.5.

როგორ გაჩნდა ეს ღირებულება? შეუშვით ნგანსაცდელები N1 1 ქულის დაკლების შემდეგ, N2ჯერ - 2 ქულა და ასე შემდეგ. შემდეგ შედეგების რაოდენობა, რომლებშიც ერთი ქულა დაეცა:

ანალოგიურად იმ შედეგებისთვის, როდესაც 2, 3, 4, 5 და 6 ქულა დაეცა.

ახლა დავუშვათ, რომ ვიცით x შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი, ანუ ვიცით, რომ შემთხვევით ცვლადს x შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები x1, x2, ..., xk ალბათობით p1, p2, ... , პკ.

x შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი Mx არის:

მათემატიკური მოლოდინი ყოველთვის არ არის რაიმე შემთხვევითი ცვლადის გონივრული შეფასება. ასე რომ, საშუალო ხელფასის შესაფასებლად უფრო მიზანშეწონილია გამოვიყენოთ მედიანის ცნება, ანუ ისეთი მნიშვნელობის, რომ იმ ადამიანთა რიცხვი, რომლებიც იღებენ საშუალო ხელფასზე ნაკლებს და მეტს, იგივე იყოს.

p1 ალბათობა იმისა, რომ x შემთხვევითი ცვლადი x1/2-ზე ნაკლებია და p2 ალბათობა იმისა, რომ x შემთხვევითი ცვლადი x1/2-ზე მეტია, იგივეა და 1/2-ის ტოლია. მედიანა ცალსახად არ არის განსაზღვრული ყველა განაწილებისთვის.

სტანდარტული ან სტანდარტული გადახრასტატისტიკაში დაკვირვების მონაცემების ან კომპლექტების გადახრის ხარისხს AVERAGE მნიშვნელობიდან ეწოდება. აღინიშნება ასოებით s ან s. მცირე სტანდარტული გადახრა მიუთითებს, რომ მონაცემები დაჯგუფებულია საშუალოზე, ხოლო დიდი სტანდარტული გადახრა მიუთითებს, რომ საწყისი მონაცემები მისგან შორს არის. სტანდარტული გადახრა უდრის იმ სიდიდის კვადრატულ ფესვს, რომელსაც დისპერსიას უწოდებენ. ეს არის საშუალოდან გადახრილი საწყისი მონაცემების კვადრატული სხვაობების ჯამის საშუალო. შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა არის ვარიაციის კვადრატული ფესვი:

მაგალითი. ტესტის პირობებში სამიზნეზე სროლისას გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიული და სტანდარტული გადახრა:

Ვარიაცია- მერყეობა, ატრიბუტის მნიშვნელობის ცვალებადობა პოპულაციის ერთეულებში. მახასიათებლის ცალკეული რიცხვითი მნიშვნელობები, რომლებიც გვხვდება შესწავლილ პოპულაციაში, ეწოდება მნიშვნელობების ვარიანტებს. საშუალო მნიშვნელობის არასაკმარისობა მოსახლეობის სრული დახასიათებისთვის საჭიროებს საშუალო მნიშვნელობების შევსებას ინდიკატორებით, რაც შესაძლებელს გახდის შეაფასოს ამ საშუალოების ტიპიურობა შესასწავლი თვისების რყევების (ვარიაციის) გაზომვით. ცვალებადობის კოეფიციენტი გამოითვლება ფორმულით:

დიაპაზონის ვარიაცია(R) არის განსხვავება შესწავლილ პოპულაციაში მახასიათებლის მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს შორის. ეს მაჩვენებელი იძლევა ყველაზე ზოგად წარმოდგენას შესასწავლი თვისების რყევის შესახებ, რადგან ის აჩვენებს განსხვავებას მხოლოდ ვარიანტების უკიდურეს მნიშვნელობებს შორის. ატრიბუტის უკიდურეს მნიშვნელობებზე დამოკიდებულება იძლევა ვარიაციის დიაპაზონს არასტაბილურ, შემთხვევით ხასიათს.

საშუალო წრფივი გადახრაარის გაანალიზებული პოპულაციის ყველა მნიშვნელობის აბსოლუტური (მოდული) გადახრების არითმეტიკული საშუალო საშუალო მნიშვნელობიდან:

მათემატიკური მოლოდინი აზარტული თამაშების თეორიაში

მათემატიკური მოლოდინი არისსაშუალო თანხა, რომელსაც მოთამაშეს შეუძლია მოიგოს ან წააგოს მოცემულ ფსონზე. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი კონცეფცია მოთამაშისთვის, რადგან ის ფუნდამენტურია თამაშის სიტუაციების უმეტესობის შეფასებისთვის. მათემატიკური მოლოდინი ასევე საუკეთესო საშუალებაა ბარათების ძირითადი განლაგებისა და თამაშის სიტუაციების გასაანალიზებლად.

ვთქვათ, თქვენ თამაშობთ მონეტას მეგობართან ერთად და ყოველ ჯერზე აკეთებთ 1$-ის თანაბარ ფსონს, რაც არ უნდა მოხდეს. კუდები - იგებთ, თავები - წააგებთ. შანსები, რომ კუდები ამოვიდეს არის ერთი ერთზე და თქვენ ფსონს დებთ $1-დან $1-მდე. ამრიგად, თქვენი მათემატიკური მოლოდინი ნულის ტოლია, რადგან მათემატიკურად რომ ვთქვათ, თქვენ არ იცით ორი გათამაშების შემდეგ ლიდერობთ თუ წააგებთ თუ 200-ის შემდეგ.

თქვენი საათობრივი მოგება ნულის ტოლია. საათობრივი ანაზღაურება არის ფულის ოდენობა, რომელსაც მოიგებთ ერთ საათში. შეგიძლიათ მონეტა გადაატრიალოთ 500-ჯერ ერთი საათის განმავლობაში, მაგრამ არ მოიგებთ და არ წააგებთ იმიტომ თქვენი შანსები არც დადებითია და არც უარყოფითი. თუ გადავხედავთ, სერიოზული მოთამაშის თვალსაზრისით, ასეთი ფსონების სისტემა ცუდი არ არის. მაგრამ ეს უბრალოდ დროის კარგვაა.

მაგრამ დავუშვათ, რომ ვინმეს უნდა დადოს $2 თქვენს $1-ზე იმავე თამაშში. მაშინ მაშინვე გექნებათ დადებითი მოლოდინი 50 ცენტის თითოეული ფსონიდან. რატომ 50 ცენტი? საშუალოდ, თქვენ იგებთ ერთ ფსონს და კარგავთ მეორეს. დადეთ ფსონი პირველ დოლარზე და წააგეთ $1, დადეთ ფსონი მეორეზე და მოიგეთ $2. თქვენ ორჯერ დადეთ $1 და წინ ხართ $1-ით. ასე რომ, თითოეული თქვენი ერთი დოლარის ფსონი მოგცემთ 50 ცენტს.

თუ მონეტა ერთ საათში 500-ჯერ დაეცემა, თქვენი საათობრივი მოგება უკვე $250 იქნება, რადგან. საშუალოდ, თქვენ დაკარგეთ $1 250-ჯერ და მოიგეთ $2 250-ჯერ. $500 გამოკლებული $250 უდრის $250, რაც არის მთლიანი მოგება. გაითვალისწინეთ, რომ მოსალოდნელი ღირებულება, რომელიც არის თანხა, რომელსაც მოიგებთ საშუალოდ ერთ ფსონზე, არის 50 ცენტი. თქვენ მოიგეთ $250 დოლარზე 500-ჯერ დადებით, რაც უდრის თქვენი ფსონის 50 ცენტს.

მათემატიკური მოლოდინი არაფერ შუაშია მოკლევადიან შედეგებთან. თქვენს მოწინააღმდეგეს, რომელმაც გადაწყვიტა 2 დოლარის დადება თქვენს წინააღმდეგ, შეიძლება მოგაგოთ ზედიზედ პირველი ათი ჩაგდებისას, მაგრამ თქვენ, 2-1-1 ფსონის უპირატესობით, ყველა დანარჩენი თანაბარი, აკეთებთ 50 ცენტს ყოველ $1-ზე ნებისმიერი ფსონის მიხედვით. გარემოებები. არ აქვს მნიშვნელობა მოიგებთ თუ წააგებთ ერთ ფსონს თუ რამდენიმე ფსონს, მაგრამ მხოლოდ იმ პირობით, რომ გექნებათ საკმარისი ნაღდი ფული ხარჯების მარტივად ასანაზღაურებლად. თუ იგივენაირად განაგრძობთ ფსონებს, მაშინ დიდი ხნის განმავლობაში თქვენი მოგება მიაღწევს მოსალოდნელი მნიშვნელობების ჯამს ცალკეულ რულონებში.

ყოველ ჯერზე, როცა აკეთებთ საუკეთესო ფსონს (ფსონი, რომელიც შეიძლება იყოს მომგებიანი გრძელვადიან პერსპექტივაში), როდესაც შანსები თქვენს სასარგებლოდ არის, თქვენ აუცილებლად მოიგებთ მასზე, მიუხედავად იმისა, წააგებთ მას თუ არა მოცემულ ხელში. პირიქით, თუ თქვენ გააკეთეთ უარესი ფსონი (ფსონი, რომელიც გრძელვადიან პერსპექტივაში წამგებიანია), როდესაც შანსები არ არის თქვენს სასარგებლოდ, თქვენ წააგებთ რაღაცას, მოიგებთ თუ წააგებთ ხელს.

დადებთ ფსონს საუკეთესო შედეგით, თუ თქვენი მოლოდინი დადებითია, და პოზიტიურია, თუ შანსები თქვენს სასარგებლოდ არის. ყველაზე ცუდი შედეგით ფსონის დადებისას თქვენ გაქვთ უარყოფითი მოლოდინი, რაც ხდება მაშინ, როდესაც შანსები თქვენს წინააღმდეგაა. სერიოზული მოთამაშეები ფსონს მხოლოდ საუკეთესო შედეგით დებენ, ყველაზე ცუდზე - იკეცებიან. რას ნიშნავს შანსები თქვენს სასარგებლოდ? შეიძლება საბოლოოდ მოიგოთ იმაზე მეტი, ვიდრე რეალურ შანსებს მოაქვს. კუდების დარტყმის რეალური შანსები არის 1-დან 1-მდე, მაგრამ თქვენ მიიღებთ 2-დან 1-ს ფსონების თანაფარდობის გამო. ამ შემთხვევაში, შანსები თქვენს სასარგებლოდ არის. თქვენ აუცილებლად მიიღებთ საუკეთესო შედეგს დადებითი მოლოდინით 50 ცენტი ფსონზე.

აქ არის მათემატიკური მოლოდინის უფრო რთული მაგალითი. მეგობარი იწერს რიცხვებს ერთიდან ხუთამდე და დადებს 5$-ს თქვენს 1$-ზე, რომ თქვენ არ აირჩევთ ნომერს. ეთანხმებით ასეთ ფსონს? რა არის აქ მოლოდინი?

საშუალოდ, ოთხჯერ შეცდებით. აქედან გამომდინარე, თქვენი რიცხვის გამოცნობის შანსები იქნება 4-დან 1-მდე. შანსები არის, რომ თქვენ დაკარგავთ დოლარს ერთ მცდელობაში. თუმცა, თქვენ იგებთ 5-1-ს, 4-1-ის წაგების შესაძლებლობით. ამიტომ, შანსები თქვენს სასარგებლოდ არის, შეგიძლიათ აიღოთ ფსონი და იმედი გქონდეთ საუკეთესო შედეგზე. თუ ამ ფსონს ხუთჯერ გააკეთებთ, საშუალოდ წააგებთ ოთხჯერ $1 და მოიგებთ $5 ერთხელ. ამის საფუძველზე, ხუთივე მცდელობისთვის თქვენ მიიღებთ $1-ს დადებითი მათემატიკური მოლოდინით 20 ცენტი ფსონზე.

მოთამაშე, რომელიც აპირებს მეტის მოგებას, ვიდრე ფსონს დადებს, როგორც ზემოთ მოცემულ მაგალითში, იჭერს შანსებს. პირიქით, ის შანსებს აფუჭებს, როცა ფსონზე ნაკლებ მოგებას ელის. ფსონის დამდებს შეიძლება ჰქონდეს დადებითი ან უარყოფითი მოლოდინი იმისდა მიხედვით, იჭერს თუ ანადგურებს შანსებს.

თუ დადებთ 50$-ს 10$-ის მოგებაზე 4-დან 1-ის მოგების შანსებით, თქვენ მიიღებთ $2-ის უარყოფით მოლოდინს, რადგან საშუალოდ, თქვენ მოიგებთ ოთხჯერ $10 და წააგებთ $50 ერთხელ, რაც აჩვენებს, რომ წაგება თითო ფსონზე იქნება $10. მაგრამ თუ დადებთ $30-ს 10$-ის მოგებაზე, იგივე შანსებით, რომ მოიგოთ 4-დან 1-ზე, მაშინ ამ შემთხვევაში თქვენ გაქვთ დადებითი მოლოდინი $2-ს, რადგან თქვენ კვლავ მოიგებთ ოთხჯერ $10 და კარგავთ $30 ერთხელ, $10 მოგებით. ეს მაგალითები აჩვენებს, რომ პირველი ფსონი ცუდია და მეორე კარგი.

მათემატიკური მოლოდინი არის ნებისმიერი თამაშის სიტუაციის ცენტრი. როდესაც ტოტალიზატორი მოუწოდებს ფეხბურთის გულშემატკივრებს დადონ 11 დოლარი 10 დოლარის მოსაგებად, მათ აქვთ დადებითი მოლოდინი 50 ცენტი ყოველ 10 დოლარზე. თუ კაზინო იხდის თუნდაც ფულს Craps pass ხაზიდან, მაშინ სახლის დადებითი მოლოდინი არის დაახლოებით $1,40 ყოველ $100-ზე; ეს თამაში ისეა სტრუქტურირებული, რომ ყველა, ვინც ამ ხაზზე დადებს ფსონებს, კარგავს საშუალოდ 50.7%-ს და მოიგებს დროის 49.3%-ს. ეჭვგარეშეა, ეს არის ერთი შეხედვით მინიმალური დადებითი მოლოდინი, რომელიც დიდ მოგებას მოაქვს კაზინოს მფლობელებს მთელ მსოფლიოში. როგორც Vegas World კაზინოს მფლობელმა ბობ სტუპაკმა შენიშნა, ”პროცენტიანი უარყოფითი ალბათობის მეათასედი საკმარისად დიდ მანძილზე გაკოტრებს მსოფლიოს უმდიდრეს ადამიანს.”

მათემატიკური მოლოდინი პოკერის თამაშისას

პოკერის თამაში ყველაზე საილუსტრაციო და საილუსტრაციო მაგალითია მათემატიკური მოლოდინის თეორიისა და თვისებების გამოყენების თვალსაზრისით.

პოკერში მოსალოდნელი ღირებულება არის საშუალო სარგებელი კონკრეტული გადაწყვეტილების მიღებისას, იმ პირობით, რომ ასეთი გადაწყვეტილება შეიძლება განიხილებოდეს დიდი რიცხვების და შორ მანძილზე თეორიის ფარგლებში. წარმატებული პოკერი არის ყოველთვის პოზიტიური მათემატიკური მოლოდინებით სვლების მიღება.

მათემატიკური მოლოდინების მათემატიკური მნიშვნელობა პოკერის თამაშისას არის ის, რომ გადაწყვეტილების მიღებისას ხშირად ვხვდებით შემთხვევით ცვლადებს (ჩვენ არ ვიცით რომელი კარტებია მოწინააღმდეგის ხელში, რომელი კარტები მოვა ფსონების შემდგომ რაუნდებზე). თითოეული ამონახსნები უნდა განვიხილოთ დიდი რიცხვების თეორიის თვალსაზრისით, რომელიც ამბობს, რომ საკმარისად დიდი ნიმუშით, შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა მის მათემატიკური მოლოდინისკენ მიისწრაფვის.

მათემატიკური მოლოდინის გამოთვლის კონკრეტულ ფორმულებს შორის პოკერში ყველაზე მეტად გამოიყენება შემდეგი:

პოკერის თამაშისას მათემატიკური მოლოდინი შეიძლება გამოითვალოს როგორც ფსონების, ასევე ზარებისთვის. პირველ შემთხვევაში გასათვალისწინებელია fold equity, მეორეში კი პოტის საკუთარი შანსები. კონკრეტული ნაბიჯის მათემატიკური მოლოდინის შეფასებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ ფოლდს ყოველთვის აქვს ნულოვანი მათემატიკური მოლოდინი. ამრიგად, ბარათების გაუქმება ყოველთვის უფრო მომგებიანი გადაწყვეტილება იქნება, ვიდრე ნებისმიერი უარყოფითი ნაბიჯი.

მოლოდინი გეტყვით, რისი მოლოდინი შეგიძლიათ (მოგება ან ზარალი) ყოველი დოლარისთვის, რომელსაც რისკავთ. კაზინოები ფულს შოულობენ, რადგან ყველა თამაშის მათემატიკური მოლოდინი, რომელიც მათში პრაქტიკულია, კაზინოს სასარგებლოა. საკმარისად გრძელი თამაშების სერიით, მოსალოდნელია, რომ კლიენტი დაკარგავს ფულს, რადგან "ალბათობა" კაზინოს სასარგებლოა. თუმცა, პროფესიონალი კაზინოს მოთამაშეები ზღუდავენ თავიანთ თამაშებს დროის მოკლე პერიოდებით, რითაც ზრდის შანსებს მათ სასარგებლოდ. იგივე ეხება ინვესტიციებს. თუ თქვენი მოლოდინი დადებითია, შეგიძლიათ მეტი ფულის გამომუშავება მოკლე დროში მრავალი გარიგების განხორციელებით. მოლოდინი არის თქვენი მოგების პროცენტი მოგებაზე გამრავლებული თქვენს საშუალო მოგებაზე გამოკლებული თქვენი ზარალის ალბათობა გამრავლებული თქვენს საშუალო დანაკარგზე.

პოკერი ასევე შეიძლება განიხილებოდეს მათემატიკური მოლოდინის თვალსაზრისით. შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ გარკვეული ნაბიჯი მომგებიანია, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში ის შეიძლება არ იყოს საუკეთესო, რადგან სხვა ნაბიჯი უფრო მომგებიანია. ვთქვათ, თქვენ მოხვდით სრულ ჰაუსში ხუთ კარტიანი პოკერში. თქვენი მოწინააღმდეგე ფსონებს დებს. თქვენ იცით, რომ თუ ამაღლდებით, ის დარეკავს. ასე რომ, ამაღლება საუკეთესო ტაქტიკაა. მაგრამ თუ რეიზს გააკეთებთ, დარჩენილი ორი მოთამაშე აუცილებლად დაკეცდება. მაგრამ თუ ფსონს გამოიძახებთ, დარწმუნებული იქნებით, რომ თქვენს შემდეგ დანარჩენი ორი მოთამაშე იგივეს გააკეთებენ. ფსონის გაზრდისას თქვენ მიიღებთ ერთ ერთეულს და უბრალოდ დარეკვით მიიღებთ ორს. ასე რომ, დარეკვა გაძლევთ უფრო მაღალ დადებით მოსალოდნელ მნიშვნელობას და საუკეთესო ტაქტიკაა.

მათემატიკური მოლოდინი ასევე იძლევა წარმოდგენას იმის შესახებ, თუ რომელი პოკერის ტაქტიკაა ნაკლებად მომგებიანი და რომელი უფრო მომგებიანი. მაგალითად, თუ თქვენ თამაშობთ კონკრეტულ ხელზე და ფიქრობთ, რომ თქვენი საშუალო წაგება არის 75 ცენტი ანტეს ჩათვლით, მაშინ უნდა ითამაშოთ ეს ხელი, რადგან ეს უკეთესია, ვიდრე დასაკეცი, როდესაც ანტე არის $1.

მოსალოდნელი ღირებულების გაგების კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მიზეზი არის ის, რომ მოგცემთ სიმშვიდის განცდას, მოიგებთ თუ არა ფსონს: თუ კარგი ფსონი გააკეთეთ ან დროულად დადებდით, გეცოდინებათ, რომ გამოიმუშავეთ ან დაზოგეთ გარკვეული თანხა. ფული, რომელიც სუსტმა მოთამაშემ ვერ დაზოგა. გაცილებით რთულია დაკეცვა, თუ იმედგაცრუებული ხარ, რომ მეტოქეს უკეთესი ხელი აქვს გათამაშებაში. ამის თქმით, ფულს, რომელსაც დაზოგავთ ართამაშით, ფსონების ნაცვლად, ემატება თქვენს მოგებას ღამით ან ყოველთვიურად.

უბრალოდ დაიმახსოვრე, რომ თუ ხელებს გადაცვლით, მოწინააღმდეგე დაგირეკავს და როგორც სტატიაში პოკერის ფუნდამენტური თეორემა დაინახავთ, ეს მხოლოდ თქვენი ერთ-ერთი უპირატესობაა. თქვენ უნდა გაიხაროთ, როდესაც ეს მოხდება. თქვენ შეგიძლიათ ისწავლოთ ხელის დაკარგვით სიამოვნება, რადგან იცით, რომ თქვენს ფეხსაცმელში სხვა მოთამაშეები ბევრად მეტს დაკარგავენ.

როგორც დასაწყისში იყო მონეტების თამაშის მაგალითში განხილული, ანაზღაურების საათობრივი მაჩვენებელი დაკავშირებულია მათემატიკური მოლოდინთან და ეს კონცეფცია განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია პროფესიონალი მოთამაშეებისთვის. როდესაც აპირებთ პოკერის თამაშს, გონებრივად უნდა შეაფასოთ რამდენის მოგება შეგიძლიათ თამაშის საათში. უმეტეს შემთხვევაში, თქვენ უნდა დაეყრდნოთ თქვენს ინტუიციას და გამოცდილებას, მაგრამ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ რამდენიმე მათემატიკური გამოთვლები. მაგალითად, თუ თქვენ თამაშობთ ფრედ ლოუბოლს და ხედავთ, რომ სამი მოთამაშე დადებს 10$-ს და შემდეგ ათამაშებს ორ კარტს, რაც ძალიან ცუდი ტაქტიკაა, შეგიძლიათ თავად გამოთვალოთ, რომ ყოველ ჯერზე, როდესაც ისინი დადებენ $10-ს, ისინი კარგავენ დაახლოებით $2-ს. თითოეული მათგანი ამას აკეთებს რვაჯერ საათში, რაც ნიშნავს, რომ სამივე კარგავს დაახლოებით $48 საათში. თქვენ ხართ ერთ-ერთი დარჩენილი ოთხი მოთამაშიდან, რომლებიც დაახლოებით თანაბარია, ამიტომ ამ ოთხმა მოთამაშემ (და თქვენ მათ შორის) უნდა გაიზიარონ $48 და თითოეული მიიღებს $12 მოგებას საათში. თქვენი საათობრივი განაკვეთი ამ შემთხვევაში არის უბრალოდ თქვენი წილი სამი ცუდი მოთამაშის მიერ საათში დაკარგულ თანხაში.

დიდი ხნის განმავლობაში, მოთამაშის მთლიანი მოგება არის მისი მათემატიკური მოლოდინების ჯამი ცალკეულ განაწილებაში. რაც უფრო მეტს თამაშობ პოზიტიური მოლოდინით, მით მეტს იგებს და პირიქით, რაც უფრო მეტ ხელებს თამაშობ ნეგატიური მოლოდინით, მით მეტს კარგავ. შედეგად, პრიორიტეტი უნდა მიანიჭოთ თამაშს, რომელსაც შეუძლია მაქსიმალურად გაზარდოს თქვენი პოზიტიური მოლოდინი ან გააუქმოს თქვენი უარყოფითი, რათა მაქსიმალურად გაზარდოთ თქვენი საათობრივი მოგება.

დადებითი მათემატიკური მოლოდინი თამაშის სტრატეგიაში

თუ იცით, როგორ დათვალოთ ბარათები, შეიძლება გქონდეთ უპირატესობა კაზინოზე, თუ ისინი არ შეამჩნევენ და გაგაგდებენ. კაზინოებს უყვართ მთვრალი აზარტული მოთამაშეები და ვერ იტანენ ბარათების დათვლას. უპირატესობა საშუალებას მოგცემთ მოიგოთ უფრო მეტი, ვიდრე დროთა განმავლობაში წააგებთ. ფულის კარგი მენეჯმენტი მოლოდინების გამოთვლების გამოყენებით დაგეხმარებათ გამოიყენოთ თქვენი უპირატესობა და შეამციროთ თქვენი ზარალი. უპირატესობის გარეშე, ჯობია, ფული ქველმოქმედებას მისცეთ. საფონდო ბირჟაზე თამაშში უპირატესობას ანიჭებს თამაშის სისტემა, რომელიც ქმნის უფრო მეტ მოგებას, ვიდრე ზარალი, ფასის სხვაობა და საკომისიო. არცერთი ფულის მართვა არ დაზოგავს ცუდ სათამაშო სისტემას.

დადებითი მოლოდინი განისაზღვრება ნულზე მეტი მნიშვნელობით. რაც უფრო დიდია ეს რიცხვი, მით უფრო ძლიერია სტატისტიკური მოლოდინი. თუ მნიშვნელობა ნულზე ნაკლებია, მაშინ მათემატიკური მოლოდინი ასევე უარყოფითი იქნება. რაც უფრო დიდია უარყოფითი მნიშვნელობის მოდული, მით უფრო უარესია სიტუაცია. თუ შედეგი ნულის ტოლია, მაშინ მოლოდინი გარღვევაა. თქვენ შეგიძლიათ მოიგოთ მხოლოდ მაშინ, როდესაც გაქვთ დადებითი მათემატიკური მოლოდინი, გონივრული თამაშის სისტემა. ინტუიციაზე თამაში იწვევს კატასტროფას.

მათემატიკური მოლოდინი და საფონდო ვაჭრობა

მათემატიკური მოლოდინი საკმაოდ ფართოდ მოთხოვნადი და პოპულარული სტატისტიკური მაჩვენებელია სავალუტო ვაჭრობაში ფინანსურ ბაზრებზე. უპირველეს ყოვლისა, ეს პარამეტრი გამოიყენება ვაჭრობის წარმატების გასაანალიზებლად. ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ რაც უფრო დიდია ეს მნიშვნელობა, მით მეტია მიზეზი, რომ შესწავლილი ვაჭრობა წარმატებულად მივიჩნიოთ. რა თქმა უნდა, ტრეიდერის მუშაობის ანალიზი არ შეიძლება განხორციელდეს მხოლოდ ამ პარამეტრის დახმარებით. თუმცა, გამოთვლილმა მნიშვნელობამ, სამუშაოს ხარისხის შეფასების სხვა მეთოდებთან ერთად, შეიძლება მნიშვნელოვნად გაზარდოს ანალიზის სიზუსტე.

მათემატიკური მოლოდინი ხშირად გამოითვლება სავაჭრო ანგარიშის მონიტორინგის სერვისებში, რაც საშუალებას გაძლევთ სწრაფად შეაფასოთ დეპოზიტზე შესრულებული სამუშაო. გამონაკლისის სახით შეგვიძლია მოვიყვანოთ სტრატეგიები, რომლებიც იყენებენ წაგებული ვაჭრობის „გადარჩენას“. ტრეიდერს შეიძლება გარკვეული დროით გაუმართლოს და, შესაბამისად, მის საქმიანობაში შეიძლება საერთოდ არ იყოს ზარალი. ამ შემთხვევაში მხოლოდ მოლოდინით ნავიგაცია ვერ იქნება, რადგან სამუშაოში გამოყენებული რისკები არ იქნება გათვალისწინებული.

ბაზარზე ვაჭრობისას მათემატიკური მოლოდინი ყველაზე ხშირად გამოიყენება სავაჭრო სტრატეგიის მომგებიანობის პროგნოზირებისას ან ტრეიდერის შემოსავლის პროგნოზირებისას მისი წინა ვაჭრობის სტატისტიკის საფუძველზე.

ფულის მენეჯმენტის თვალსაზრისით, ძალიან მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ უარყოფითი მოლოდინით ვაჭრობის განხორციელებისას არ არსებობს ფულის მართვის სქემა, რომელსაც ნამდვილად შეუძლია მაღალი მოგების მოტანა. თუ ამ პირობებში გააგრძელებთ ბირჟის თამაშს, მაშინ, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ მართავთ თქვენს ფულს, დაკარგავთ მთელ თქვენს ანგარიშს, რაც არ უნდა დიდი იყო ის დასაწყისში.

ეს აქსიომა არ შეესაბამება მხოლოდ ნეგატიური მოლოდინების თამაშებს ან გარიგებებს, ის ასევე მართალია ლუწი შანსების თამაშებზეც. აქედან გამომდინარე, ერთადერთი შემთხვევა, როდესაც თქვენ გაქვთ გრძელვადიან პერსპექტივაში სარგებლობის შანსი, არის დადებით მათემატიკური მოლოდინის გარიგების დადება.

განსხვავება უარყოფით მოლოდინსა და პოზიტიურ მოლოდინს შორის არის განსხვავება სიცოცხლესა და სიკვდილს შორის. არ აქვს მნიშვნელობა რამდენად დადებითი ან უარყოფითია მოლოდინი; რა მნიშვნელობა აქვს დადებითია თუ უარყოფითი. ამიტომ, სანამ ფულის მართვას განიხილავთ, უნდა იპოვოთ თამაში დადებითი მოლოდინით.

თუ თქვენ არ გაქვთ ეს თამაში, მაშინ მსოფლიოში არცერთი ფულის მართვა არ გიშველის. მეორეს მხრივ, თუ თქვენ გაქვთ დადებითი მოლოდინი, მაშინ შესაძლებელია, ფულის სწორი მენეჯმენტის საშუალებით, ის გადააქციოთ ექსპონენციალურ ზრდის ფუნქციად. არ აქვს მნიშვნელობა რამდენად მცირეა პოზიტიური მოლოდინი! სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არ აქვს მნიშვნელობა რამდენად მომგებიანია ერთ კონტრაქტზე დაფუძნებული სავაჭრო სისტემა. თუ თქვენ გაქვთ სისტემა, რომელიც იგებს 10$-ს თითო კონტრაქტზე ერთ ვაჭრობაზე (საკომისიოების და გადახდების შემდეგ), შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფულის მართვის ტექნიკა, რათა ის უფრო მომგებიანი გახადოთ, ვიდრე სისტემა, რომელიც აჩვენებს საშუალო მოგებას $1000 თითო ვაჭრობაში (საკომისიოს გამოკლების შემდეგ და სრიალი).

მთავარი ის კი არ არის, რამდენად მომგებიანი იყო სისტემა, არამედ რამდენად დარწმუნებით შეიძლება ითქვას, რომ სისტემა მომავალში მაინც აჩვენებს მინიმალურ მოგებას. მაშასადამე, ყველაზე მნიშვნელოვანი მომზადება, რომელსაც შეუძლია ტრეიდერმა გააკეთოს, არის დარწმუნდეს, რომ სისტემა აჩვენებს პოზიტიურ მოსალოდნელ მნიშვნელობას მომავალში.

იმისთვის, რომ მომავალში გქონდეთ დადებითი მოსალოდნელი მნიშვნელობა, ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ არ შეზღუდოთ თქვენი სისტემის თავისუფლების ხარისხი. ეს მიიღწევა არა მხოლოდ ოპტიმიზირებული პარამეტრების რაოდენობის აღმოფხვრით ან შემცირებით, არამედ რაც შეიძლება მეტი სისტემის წესების შემცირებით. ყოველი პარამეტრი, რომელსაც თქვენ დაამატებთ, ყოველი წესი, რომელსაც აკეთებთ, ყოველი პატარა ცვლილება, რომელსაც თქვენ შეასრულებთ სისტემაში, ამცირებს თავისუფლების ხარისხს. იდეალურ შემთხვევაში, გსურთ შექმნათ საკმაოდ პრიმიტიული და მარტივი სისტემა, რომელიც მუდმივად მოიტანს მცირე მოგებას თითქმის ნებისმიერ ბაზარზე. კიდევ ერთხელ, მნიშვნელოვანია გესმოდეთ, რომ არ აქვს მნიშვნელობა რამდენად მომგებიანია სისტემა, რამდენადაც ის მომგებიანია. ვაჭრობაში მიღებული ფული მიიღება ფულის ეფექტური მენეჯმენტით.

სავაჭრო სისტემა უბრალოდ ინსტრუმენტია, რომელიც გაძლევს დადებით მათემატიკურ მოლოდინს, რათა გამოიყენო ფულის მართვა. სისტემები, რომლებიც მუშაობენ (აჩვენებენ მინიმუმ მინიმალურ მოგებას) მხოლოდ ერთ ან რამდენიმე ბაზარზე, ან აქვთ სხვადასხვა წესები ან პარამეტრები სხვადასხვა ბაზრისთვის, დიდი ალბათობით არ იმუშავებენ რეალურ დროში დიდი ხნის განმავლობაში. ტექნიკური ტრეიდერების უმეტესობის პრობლემა ის არის, რომ ისინი ძალიან დიდ დროს და ძალისხმევას ხარჯავენ სავაჭრო სისტემის სხვადასხვა წესებისა და პარამეტრების ოპტიმიზაციაზე. ეს იძლევა სრულიად საპირისპირო შედეგებს. იმის ნაცვლად, რომ დახარჯოთ ენერგია და კომპიუტერული დრო სავაჭრო სისტემის მოგების გაზრდაზე, მიმართეთ თქვენი ენერგია მინიმალური მოგების მიღების საიმედოობის დონის ამაღლებაზე.

იმის ცოდნა, რომ ფულის მენეჯმენტი არის მხოლოდ რიცხვითი თამაში, რომელიც მოითხოვს დადებითი მოლოდინების გამოყენებას, ტრეიდერს შეუძლია შეწყვიტოს საფონდო ვაჭრობის „წმინდა გრაალის“ ძებნა. ამის ნაცვლად, მას შეუძლია დაიწყოს თავისი სავაჭრო მეთოდის ტესტირება, გაარკვიოს, რამდენად ლოგიკურად არის ეს მეთოდი, იძლევა თუ არა დადებით მოლოდინს. ფულის მართვის სწორი მეთოდები, რომლებიც გამოიყენება ნებისმიერი, თუნდაც ძალიან უღიმღამო ვაჭრობის მეთოდებზე, შეასრულებს დანარჩენ სამუშაოს.

ნებისმიერ ტრეიდერს სამუშაოში წარმატებისთვის სჭირდება სამი ყველაზე მნიშვნელოვანი ამოცანის გადაჭრა: . უზრუნველყოს, რომ წარმატებული ტრანზაქციების რაოდენობა აღემატებოდეს გარდაუვალ შეცდომებსა და არასწორ გამოთვლებს; დააყენეთ თქვენი სავაჭრო სისტემა ისე, რომ ფულის შოვნის შესაძლებლობა რაც შეიძლება ხშირად იყოს; მიაღწიეთ თქვენი ოპერაციების სტაბილურ პოზიტიურ შედეგს.

და აქ, ჩვენთვის, მომუშავე ტრეიდერებისთვის, მათემატიკური მოლოდინი კარგი დახმარებაა. ეს ტერმინი ალბათობის თეორიაში ერთ-ერთი მთავარია. მასთან ერთად შეგიძლიათ მისცეთ შემთხვევითი მნიშვნელობის საშუალო შეფასება. შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი სიმძიმის ცენტრის მსგავსია, თუ ყველა შესაძლო ალბათობას სხვადასხვა მასის წერტილებად წარმოვიდგენთ.

სავაჭრო სტრატეგიასთან დაკავშირებით, მისი ეფექტურობის შესაფასებლად, ყველაზე ხშირად გამოიყენება მოგების (ან ზარალის) მათემატიკური მოლოდინი. ეს პარამეტრი განისაზღვრება, როგორც მოგება-ზარალის მოცემული დონის პროდუქტების ჯამი და მათი წარმოშობის ალბათობა. მაგალითად, შემუშავებული სავაჭრო სტრატეგია ვარაუდობს, რომ ყველა ოპერაციების 37% მოიტანს მოგებას, ხოლო დანარჩენი ნაწილი - 63% - წამგებიანი იქნება. ამავდროულად წარმატებული ტრანზაქციის საშუალო შემოსავალი იქნება $7, ხოლო საშუალო ზარალი $1.4. მოდით გამოვთვალოთ ვაჭრობის მათემატიკური მოლოდინი შემდეგი სისტემის გამოყენებით:

რას ნიშნავს ეს რიცხვი? ნათქვამია, რომ ამ სისტემის წესების დაცვით ყოველი დახურული ტრანზაქციისგან საშუალოდ 1708 დოლარს მივიღებთ. ვინაიდან შედეგად მიღებული ეფექტურობის ქულა ნულზე მეტია, ასეთი სისტემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას რეალური სამუშაოსთვის. თუ გაანგარიშების შედეგად მათემატიკური მოლოდინი უარყოფითი აღმოჩნდება, მაშინ ეს უკვე საშუალო დანაკარგზე მიუთითებს და ასეთი ვაჭრობა ნგრევას გამოიწვევს.

მოგების ოდენობა თითო ვაჭრობაზე ასევე შეიძლება გამოისახოს ფარდობითი მნიშვნელობით. Მაგალითად:

– შემოსავლის პროცენტი 1 ტრანზაქციაზე - 5%;

– წარმატებული სავაჭრო ოპერაციების პროცენტი - 62%;

– ზარალის პროცენტი 1 ვაჭრობაზე - 3%;

- წარუმატებელი ტრანზაქციების პროცენტი - 38%;

ანუ საშუალო ტრანზაქცია 1,96%-ს მოიტანს.

შესაძლებელია ისეთი სისტემის შემუშავება, რომელიც წაგებული ვაჭრობის უპირატესობის მიუხედავად, დადებით შედეგს გამოიღებს, ვინაიდან მისი MO>0.

თუმცა მარტო ლოდინი საკმარისი არ არის. ძნელია ფულის გამომუშავება, თუ სისტემა იძლევა ძალიან ცოტა სავაჭრო სიგნალს. ამ შემთხვევაში მისი მომგებიანობა საბანკო პროცენტთან იქნება შედარებული. მოდით, თითოეულმა ოპერაციამ მოიტანოს საშუალოდ მხოლოდ 0,5 დოლარი, მაგრამ რა მოხდება, თუ სისტემა ითვალისწინებს წელიწადში 1000 ტრანზაქციას? ეს საკმაოდ სერიოზული თანხა იქნება შედარებით მოკლე დროში. აქედან ლოგიკურად გამომდინარეობს, რომ კარგი სავაჭრო სისტემის კიდევ ერთი დამახასიათებელი ნიშანი შეიძლება ჩაითვალოს ხანმოკლე შენახვის პერიოდად.

წყაროები და ბმულები

dic.academic.ru - აკადემიური ონლაინ ლექსიკონი

mathematics.ru - საგანმანათლებლო საიტი მათემატიკაზე

nsu.ru - ნოვოსიბირსკის სახელმწიფო უნივერსიტეტის საგანმანათლებლო ვებგვერდი

webmath.ru არის საგანმანათლებლო პორტალი სტუდენტებისთვის, აპლიკანტებისთვის და სკოლის მოსწავლეებისთვის.

exponenta.ru საგანმანათლებლო მათემატიკური ვებგვერდი

ru.tradimo.com - უფასო ონლაინ სავაჭრო სკოლა

crypto.hut2.ru - მულტიდისციპლინური საინფორმაციო რესურსი

poker-wiki.ru - პოკერის უფასო ენციკლოპედია

sernam.ru - შერჩეული საბუნებისმეტყველო პუბლიკაციების სამეცნიერო ბიბლიოთეკა

reshim.su - ვებგვერდი SOLVE ამოცანების კონტროლის კურსები

unfx.ru – ფორექსი UNFX-ზე: განათლება, სავაჭრო სიგნალები, ნდობის მენეჯმენტი

slovopedia.com - დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

pokermansion.3dn.ru - თქვენი გზამკვლევი პოკერის სამყაროში

statanaliz.info - საინფორმაციო ბლოგი "სტატისტიკური მონაცემების ანალიზი"

forex-trader.rf - პორტალი Forex-Trader

megafx.ru - Forex-ის განახლებული ანალიტიკა

fx-by.com - ყველაფერი ტრეიდერისთვის

ალბათობის თეორიაში და მის მრავალ გამოყენებაში დიდი მნიშვნელობა აქვს შემთხვევითი ცვლადების სხვადასხვა რიცხვობრივ მახასიათებლებს. მთავარია მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება.

1. შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და მისი თვისებები.

ჯერ განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი. მიეცით ქარხანამ მიიღოს პარტია, რომელიც შედგება ნსაკისრები. სადაც:

მ 1 x 1,
მ2- საკისრების რაოდენობა გარე დიამეტრით x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- საკისრების რაოდენობა გარე დიამეტრით x n,

Აქ m 1 +m 2 +...+m n =N. იპოვეთ საშუალო არითმეტიკული x იხტარების გარე დიამეტრი. ცხადია,
შემთხვევით ამოღებული საკისრის გარე დიამეტრი შეიძლება ჩაითვალოს შემთხვევით ცვლადად, რომელიც იღებს მნიშვნელობებს x 1, x 2, ..., x n, შესაბამისი ალბათობით p 1 \u003d m 1 / N, p 2 \u003d m 2 /N, ..., p n =m n /N, რადგან ალბათობა პიგარე დიამეტრის მქონე ტარების გამოჩენა x iუდრის m i / N. ამრიგად, არითმეტიკული საშუალო x იხტარების გარე დიამეტრი შეიძლება განისაზღვროს ურთიერთობის გამოყენებით
მოდით იყოს დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი ალბათობის განაწილების კანონით

მათემატიკური მოლოდინი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადიშემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობისა და მათი შესაბამისი ალბათობების წყვილ პროდუქტთა ჯამს ეწოდება, ე.ი. *
ვარაუდობენ, რომ არასწორი ინტეგრალი ტოლობის მარჯვენა მხარეს (40) არსებობს.

განვიხილოთ მათემატიკური მოლოდინის თვისებები. ამით, ჩვენ შემოვიფარგლებით მხოლოდ პირველი ორი თვისების დამტკიცებით, რომელსაც განვახორციელებთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადებისთვის.

1°. C მუდმივის მათემატიკური მოლოდინი ამ მუდმივის ტოლია.
მტკიცებულება.მუდმივი Cშეიძლება ჩაითვალოს როგორც შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა Cერთის ტოლი ალბათობით. Ამიტომაც

2°. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მოლოდინის ნიშნიდან, ე.ი.
მტკიცებულება.მიმართების (39) გამოყენებით გვაქვს

3°. რამდენიმე შემთხვევითი ცვლადის ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის ამ ცვლადების მათემატიკური მოლოდინების ჯამს.:

Მოსალოდნელი ღირებულება- შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა (სტაციონარული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება), როდესაც ნიმუშების რაოდენობა ან გაზომვების რაოდენობა (ზოგჯერ ამბობენ ტესტების რაოდენობას) უსასრულობისკენ მიისწრაფვის.

სასრული რაოდენობის ცდების ერთგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის არითმეტიკული საშუალო ჩვეულებრივ ეწოდება მოლოდინის შეფასება. როდესაც სტაციონარული შემთხვევითი პროცესის ცდების რაოდენობა უსასრულობისკენ მიისწრაფვის, მათემატიკური მოლოდინის შეფასება მიდრეკილია მათემატიკური მოლოდინისკენ.

მათემატიკური მოლოდინი ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი ცნებაა).

ენციკლოპედიური YouTube

1 / 5

✪ მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება - bezbotvy

✪ ალბათობის თეორია 15: მათემატიკური მოლოდინი

✪ მათემატიკური მოლოდინი

✪ მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება. თეორია

✪ მათემატიკური მოლოდინი ვაჭრობაში

სუბტიტრები

განმარტება

მიეცით ალბათობათა სივრცე (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))და მასზე განსაზღვრული შემთხვევითი მნიშვნელობა X (\displaystyle X). ანუ განსაზღვრებით, X: Ω → R (\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb (R))არის გაზომვადი ფუნქცია. თუ არსებობს  Lebesgue-ის ინტეგრალი X (\displaystyle X)სივრცით Ω (\displaystyle \Omega), მაშინ მას ეწოდება მათემატიკური მოლოდინი, ან საშუალო (მოსალოდნელი) მნიშვნელობა და აღინიშნება M [ X ] (\displaystyle M[X])ან E [ X ] (\displaystyle \mathbb (E) [X]).

მათემატიკური მოლოდინის ძირითადი ფორმულები

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty)^(\infty)\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R)).

დისკრეტული განაწილების მათემატიკური მოლოდინი

მაშინ პირდაპირ ლებეგის ინტეგრალის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ

მთელი რიცხვის მათემატიკური მოლოდინი

მაშინ მისი მათემატიკური მოლოდინი შეიძლება გამოიხატოს მიმდევრობის გენერირების ფუნქციის მიხედვით ( p i ) (\displaystyle \(p_(i)\))

როგორც პირველი წარმოებულის მნიშვნელობა ერთიანობაში: M [ X ] = P ′ (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)). თუ მათემატიკური მოლოდინი X (\displaystyle X)უსასრულო, მაშინ lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\ to 1)P"(s)=\infty)და ჩვენ დავწერთ P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty)

ახლა ავიღოთ გენერირების ფუნქცია Q (s) (\displaystyle Q(s))განაწილების "კუდების" თანმიმდევრობები ( q k ) (\displaystyle \(q_(k)\))

ეს გენერირების ფუნქცია დაკავშირებულია ადრე განსაზღვრულ ფუნქციასთან P (s) (\displaystyle P(s))ქონება: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s)))ზე | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} . აქედან, საშუალო მნიშვნელობის თეორემის მიხედვით, გამოდის, რომ მათემატიკური მოლოდინი უბრალოდ უდრის ამ ფუნქციის მნიშვნელობას ერთიანობაში:

აბსოლუტურად უწყვეტი განაწილების მათემატიკური მოლოდინი

შემთხვევითი ვექტორის მათემატიკური მოლოდინი

დაე იყოს X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\displaystyle X=(X_(1),\dots,X_(n))^(\top)\colon \Omega \to \mathbb ( R) ^(n))არის შემთხვევითი ვექტორი. მაშინ განსაზღვრებით

ანუ ვექტორის მათემატიკური მოლოდინი განისაზღვრება კომპონენტის მიხედვით.

შემთხვევითი ცვლადის გარდაქმნის მათემატიკური მოლოდინი

დაე იყოს g: R → R (\displaystyle g\colon \mathbb (R) \ to \mathbb (R) )არის ბორელის ფუნქცია ისეთი, რომ შემთხვევითი ცვლადი Y = g(X) (\displaystyle Y=g(X))აქვს სასრული მათემატიკური მოლოდინი. მაშინ ფორმულა მოქმედებს ამისთვის

თუ X (\displaystyle X)აქვს დისკრეტული განაწილება;

თუ X (\displaystyle X)აქვს აბსოლუტურად უწყვეტი განაწილება.

თუ განაწილება P X (\displaystyle \mathbb (P) ^(X))შემთხვევითი ცვლადი X (\displaystyle X)მაშინ ზოგადი ფორმა

განსაკუთრებულ შემთხვევაში, როცა g (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k)), მოსალოდნელი ღირებულება M [g (X)] = M [X k] (\displaystyle M=M)დაურეკა k (\displaystyle k)-m  შემთხვევითი ცვლადის მომენტი.

მათემატიკური მოლოდინის უმარტივესი თვისებები

• რიცხვის მათემატიკური მოლოდინი არის თავად რიცხვი.

• მათემატიკური მოლოდინი წრფივია, ანუ