როგორ მოვძებნოთ ტანგენტი 45 გრადუსი.
სინუსების (sin), კოსინუსების (cos), ტანგენტების (tg), კოტანგენტების (ctg) მნიშვნელობების ცხრილები არის მძლავრი და სასარგებლო ინსტრუმენტი, რომელიც ეხმარება მრავალი პრობლემის გადაჭრაში, როგორც თეორიულ, ასევე გამოყენებითი. ამ სტატიაში ჩვენ შემოგთავაზებთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილს (სინუსები, კოსინუსები, ტანგენტები და კოტანგენტები) 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 გრადუსიანი კუთხეებისთვის (0, π 6, π 3, π. 2,... ., 2 π რადიანი). ასევე ნაჩვენები იქნება ბრედისის ცალკეული ცხრილები სინუსებისა და კოსინუსებისთვის, ტანგენტებისა და კოტანგენტებისთვის, ახსნით, თუ როგორ გამოვიყენოთ ისინი ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების საპოვნელად.
ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილი 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 გრადუსიანი კუთხეებისთვის
სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებებზე დაყრდნობით, შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ფუნქციების მნიშვნელობები 0 და 90 გრადუსიანი კუთხისთვის.
sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, ნულოვანი კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული,
sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, ოთხმოცდაათი გრადუსიანი ტანგენტი არ არის განსაზღვრული.
სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობები გეომეტრიის კურსში განისაზღვრება, როგორც მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობა, რომლის კუთხეებია 30, 60 და 90 გრადუსი, ასევე 45, 45 და 90 გრადუსი.
მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხისთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრა
სინუსი- მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
კოსინუსი- მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
ტანგენტი- მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან.
კოტანგენსი- მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს.
განმარტებების შესაბამისად, ნაპოვნია ფუნქციების მნიშვნელობები:
sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1, ცოდვა 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.
მოდით ჩავდოთ ეს მნიშვნელობები ცხრილში და ვუწოდოთ მას სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის ძირითადი მნიშვნელობების ცხრილი.
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
sin α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | განუსაზღვრელი |
c t g α | განუსაზღვრელი | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
α, რ ა დ ი ა ნ | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 |
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თვისებაა პერიოდულობა. ამ თვისებიდან გამომდინარე, ეს ცხრილი შეიძლება გაფართოვდეს შემცირების ფორმულების გამოყენებით. ქვემოთ წარმოგიდგენთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების გაფართოებულ ცხრილს 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ..., 360 გრადუსიანი (0, π 6, π 3) კუთხეებისთვის. , π 2, ... , 2 π რადიანი).
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
sin α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
c t g α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
α, რ ა დ ი ა ნ | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2π |
სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის პერიოდულობა საშუალებას გაძლევთ გააფართოვოთ ეს ცხრილი თვითნებურად დიდ კუთხის მნიშვნელობებამდე. ცხრილში შეგროვებული მნიშვნელობები ყველაზე ხშირად გამოიყენება პრობლემების გადაჭრისას, ამიტომ რეკომენდებულია მათი დამახსოვრება.
როგორ გამოვიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი მნიშვნელობების ცხრილი
სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობების ცხრილის გამოყენების პრინციპი ნათელია ინტუიციურ დონეზე. მწკრივისა და სვეტის გადაკვეთა იძლევა ფუნქციის მნიშვნელობას კონკრეტული კუთხისთვის.
მაგალითი. როგორ გამოვიყენოთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების ცხრილი
უნდა გავარკვიოთ, რის ტოლია ცოდვა 7 π 6
ცხრილში ვპოულობთ სვეტს, რომლის ბოლო უჯრედის მნიშვნელობა არის 7 π 6 რადიანი - იგივე 210 გრადუსი. შემდეგ ვირჩევთ ცხრილის ტერმინს, რომელშიც წარმოდგენილია სინუსების მნიშვნელობები. მწკრივისა და სვეტის გადაკვეთაზე ვპოულობთ სასურველ მნიშვნელობას:
sin 7 π 6 = - 1 2
ბრედის მაგიდები
ბრედისის ცხრილი საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის ან კოტანგენტის მნიშვნელობა 4 ათობითი ადგილის სიზუსტით კომპიუტერული ტექნოლოგიის გამოყენების გარეშე. ეს არის ერთგვარი ჩანაცვლება საინჟინრო კალკულატორისთვის.
მითითება
ვლადიმერ მოდესტოვიჩ ბრადისი (1890 - 1975) - საბჭოთა მათემატიკოსი-პედაგოგი, 1954 წლიდან სსრკ პედაგოგიურ მეცნიერებათა აკადემიის წევრ-კორესპონდენტი. ბრედისის მიერ შემუშავებული ოთხნიშნა ლოგარითმებისა და ბუნებრივი ტრიგონომეტრიული სიდიდეების ცხრილები პირველად 1921 წელს გამოქვეყნდა.
პირველ რიგში, წარმოგიდგენთ ბრედისის ცხრილს სინუსებისა და კოსინუსებისთვის. ეს საშუალებას გაძლევთ საკმაოდ ზუსტად გამოთვალოთ ამ ფუნქციების სავარაუდო მნიშვნელობები კუთხეებისთვის, რომლებიც შეიცავს გრადუსებისა და წუთების რიცხვს. ცხრილის მარცხენა სვეტი წარმოადგენს გრადუსებს, ხოლო ზედა მწკრივი წარმოადგენს წუთებს. გაითვალისწინეთ, რომ ბრედისის ცხრილის ყველა კუთხის მნიშვნელობა არის ექვსი წუთის ჯერადი.
ბრედის მაგიდა სინუსებისა და კოსინუსებისთვის
ცოდვა | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | cos | 1" | 2" | 3" |
0.0000 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76° | 3 | 6 | 8 |
14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75° | 3 | 6 | 8 |
15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74° | 3 | 6 | 8 |
16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73° | 3 | 6 | 8 |
17° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72° | 3 | 6 | 8 |
18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71° | 3 | 6 | 8 |
19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70° | 3 | 5 | 8 |
20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69° | 3 | 5 | 8 |
21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68° | 3 | 5 | 8 |
22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67° | 3 | 5 | 8 |
23° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66° | 3 | 5 | 8 |
24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65° | 3 | 5 | 8 |
25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64° | 3 | 5 | 8 |
26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63° | 3 | 5 | 8 |
27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62° | 3 | 5 | 8 |
28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61° | 3 | 5 | 8 |
29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60° | 3 | 5 | 8 |
30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59° | 3 | 5 | 8 |
31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58° | 2 | 5 | 7 |
32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57° | 2 | 5 | 7 |
33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56° | 2 | 5 | 7 |
34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55° | 2 | 5 | 7 |
35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54° | 2 | 5 | 7 |
36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53° | 2 | 5 | 7 |
37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52° | 2 | 5 | 7 |
38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51° | 2 | 5 | 7 |
39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50° | 2 | 4 | 7 |
40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49° | 2 | 4 | 7 |
41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48° | 2 | 4 | 7 |
42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47° | 2 | 4 | 6 |
43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46° | 2 | 4 | 6 |
44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45° | 2 | 4 | 6 |
45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44° | 2 | 4 | 6 |
46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43° | 2 | 4 | 6 |
47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42° | 2 | 4 | 6 |
48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41° | 2 | 4 | 6 |
49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40° | 2 | 4 | 6 |
50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39° | 2 | 4 | 6 |
51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38° | 2 | 4 | 5 |
52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37° | 2 | 4 | 5 |
53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36° | 2 | 3 | 5 |
54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35° | 2 | 3 | 5 |
55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34° | 2 | 3 | 5 |
56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33° | 2 | 3 | 5 |
57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32° | 2 | 3 | 5 |
58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31° | 2 | 3 | 5 |
59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30° | 1 | 3 | 4 |
60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29° | 1 | 3 | 4 |
61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25° | 1 | 3 | 4 |
65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24° | 1 | 2 | 4 |
66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23° | 1 | 2 | 3 |
67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22° | 1 | 2 | 3 |
68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21° | 1 | 2 | 3 |
69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20° | 1 | 2 | 3 |
70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19° | 1 | 2 | 3 |
71° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18° | 1 | 2 | 3 |
72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17° | 1 | 2 | 3 |
73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16° | 1 | 2 | 2 |
74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15° | 1 | 2 | 2 |
75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14° | 1 | 1 | 2 |
76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13° | 1 | 1 | 2 |
77° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12° | 1 | 1 | 2 |
78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11° | 1 | 1 | 2 |
79° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10° | 1 | 1 | 2 |
80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9° | 0 | 1 | 1 |
81° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8° | 0 | 1 | 1 |
82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7° | 0 | 1 | 1 |
83° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6° | 0 | 1 | 1 |
84° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5° | 0 | 1 | 1 |
85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4° | 0 | 0 | 1 |
86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3° | 0 | 0 | 0 |
87° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1° | 0 | 0 | 0 |
89° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
90° | 1.0000 | ||||||||||||||
ცოდვა | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | cos | 1" | 2" | 3" |
ცხრილში არ არის წარმოდგენილი კუთხეების სინუსებისა და კოსინუსების მნიშვნელობების საპოვნელად, საჭიროა გამოვიყენოთ შესწორებები.
ახლა წარმოგიდგენთ ბრედის ცხრილს ტანგენტებისა და კოტანგენტებისთვის. იგი შეიცავს კუთხეების ტანგენტების მნიშვნელობებს 0-დან 76 გრადუსამდე და კუთხეების კოტანგენტებს 14-დან 90 გრადუსამდე.
ბრედის მაგიდა ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის
ტგ | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ctg | 1" | 2" | 3" |
0 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76° | 3 | 6 | 9 |
14° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75° | 3 | 6 | 9 |
15° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74° | 3 | 6 | 9 |
16° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73° | 3 | 6 | 9 |
17° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72° | 3 | 6 | 10 |
18° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71° | 3 | 6 | 10 |
19° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70° | 3 | 7 | 10 |
20° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69° | 3 | 7 | 10 |
21° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68° | 3 | 7 | 10 |
22° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67° | 3 | 7 | 10 |
23° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66° | 3 | 7 | 10 |
24° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65° | 4 | 7 | 11 |
25° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64° | 4 | 7 | 11 |
26° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63° | 4 | 7 | 11 |
27° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62° | 4 | 7 | 11 |
28° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61° | 4 | 8 | 11 |
29° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60° | 4 | 8 | 12 |
30° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59° | 4 | 8 | 12 |
31° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58° | 4 | 8 | 12 |
32° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57° | 4 | 8 | 12 |
33° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56° | 4 | 8 | 13 |
34° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55° | 4 | 9 | 13 |
35° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54° | 4 | 8 | 13 |
36° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53° | 5 | 9 | 14° |
37° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52° | 5 | 9 | 14 |
38° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51° | 5 | 9 | 14 |
39° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50° | 5 | 10 | 15 |
40° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49° | 5 | 10 | 15 |
41° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48° | 5 | 10 | 16 |
42° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47° | 6 | 11 | 16 |
43° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46° | 6 | 11 | 17 |
44° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45° | 6 | 11 | 17 |
45° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44° | 6 | 12 | 18 |
46° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43° | 6 | 12 | 18 |
47° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42° | 6 | 13 | 19 |
48° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41° | 7 | 13 | 20 |
49° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40° | 7 | 14 | 21 |
50° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39° | 7 | 14 | 22 |
51° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38° | 8 | 15 | 23 |
52° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37° | 8 | 16 | 24 |
53° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36° | 8 | 16 | 25 |
54° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35° | 9 | 17 | 26 |
55° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34° | 9 | 18 | 27 |
56° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33° | 10 | 19 | 29 |
57° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32° | 10 | 20 | 30 |
58° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31° | 11 | 21 | 32 |
59° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30° | 11 | 23 | 34 |
60° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29° | 1 | 2 | 4 |
61° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25° | 2 | 3 | 5 |
65° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24° | 2 | 3 | 5 |
66° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23° | 2 | 4 | 5 |
67° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22° | 2 | 4 | 6 |
68° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21° | 2 | 4 | 6 |
69° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20° | 2 | 5 | 7 |
70° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19° | 3 | 5 | 8 |
71° | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18° | 3 | 6 | 9 |
72° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17° | 3 | 6 | 10 |
73° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16° | 4 | 7 | 11 | |||||||
74° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15° | 4 | 8 | 13 | |||||||
75° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14° | 5 | 10 | 14 | |||||||
ტგ | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ctg | 1" | 2" | 3" |
როგორ გამოვიყენოთ ბრედის ცხრილები
განვიხილოთ ბრედის ცხრილი სინუსებისა და კოსინუსებისთვის. ყველაფერი რაც დაკავშირებულია სინუსებთან არის ზედა და მარცხნივ. თუ ჩვენ გვჭირდება კოსინუსები, შეხედეთ მარჯვენა მხარეს ცხრილის ბოლოში.
კუთხის სინუსის მნიშვნელობების მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ მწკრივის კვეთა, რომელიც შეიცავს გრადუსების საჭირო რაოდენობას მარცხენა უჯრედში და სვეტი, რომელიც შეიცავს წუთების საჭირო რაოდენობას ზედა უჯრედში.
თუ ზუსტი კუთხის მნიშვნელობა არ არის ბრედისის ცხრილში, მივმართავთ შესწორებებს. ერთი, ორი და სამი წუთის შესწორებები მოცემულია ცხრილის მარჯვენა სვეტში. იმისათვის, რომ ვიპოვოთ კუთხის სინუსის მნიშვნელობა, რომელიც არ არის ცხრილში, ჩვენ ვიპოვით მასთან ყველაზე ახლოს. ამის შემდეგ ვამატებთ ან ვაკლებთ კუთხეებს შორის სხვაობის შესაბამისი შესწორებას.
თუ ჩვენ ვეძებთ 90 გრადუსზე მეტი კუთხის სინუსს, ჯერ უნდა გამოვიყენოთ შემცირების ფორმულები და მხოლოდ ამის შემდეგ ბრედისის ცხრილი.
მაგალითი. როგორ გამოვიყენოთ ბრედისის ცხრილი
ვთქვათ, უნდა ვიპოვოთ 17 ° 44" კუთხის სინუსი. ცხრილის გამოყენებით ვხვდებით, თუ რას უდრის 17 ° 42" სინუსი და მის მნიშვნელობას დავამატოთ ორი წუთის შესწორება:
17°44" - 17°42" = 2" (აუცილებელი შესწორება) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0. 3046
კოსინუსებთან, ტანგენტებთან და კოტანგენტებთან მუშაობის პრინციპი მსგავსია. თუმცა, მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს ცვლილებების ნიშანი.
Მნიშვნელოვანი!
სინუსების მნიშვნელობების გამოთვლისას კორექტირებას აქვს დადებითი ნიშანი, ხოლო კოსინუსების გამოთვლისას კორექტირება უნდა იქნას მიღებული უარყოფითი ნიშნით.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მოიცავს: სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს, კოტანგენტს, სეკანტს და კოსეკანტს. ამის საფუძველზე ტრიგონომეტრიაში კუთხის ტანგენსი განისაზღვრება, როგორც ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც გამოხატავს ამ კუთხის სინუსის თანაფარდობას იმავე კუთხის კოსინუსთან. თუ საჭიროა მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის ტანგენტის დადგენა, მაშინ ის შეიძლება გამოითვალოს გეომეტრიულად, რადგან ტანგენსი ამ შემთხვევაში ტოლი იქნება მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობაზე მართკუთხა სამკუთხედის მიმდებარე მხარეს. თავად ტერმინი "ტანგენტი" ნასესხებია ლათინური ენიდან; მისი პირდაპირი თარგმანი ნიშნავს "შეხებას". ტანგენტი აღინიშნება ლათინური ასოებით. კუთხის x-ის ტანგენსი აღინიშნა როგორც "tg x", თუმცა დასავლელი მათემატიკოსები ტრადიციულად აღნიშნავენ ტანგენტს ინგლისური სიტყვის შემოკლებით: x კუთხის ტანგენსი იქ აღინიშნება როგორც "tan x".
რა არის 30 გრადუსის ტანგენსი?
გამომდინარე იქიდან, რომ კუთხის ტანგენსი უდრის კუთხის სინუსის თანაფარდობას იმავე კუთხის კოსინუსთან, კუთხის ტანგენსი 30 გრადუსიანი შეიძლება მივიღოთ კუთხის სინუსის მნიშვნელობის გაყოფით. 30 გრადუსია იმავე კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობით. ტანგენსი იქნება 0,5774-ის ტოლი.
რა არის 60 გრადუსის ტანგენსი?
60 გრადუსიანი კუთხის ტანგენსი გამოითვლება ანალოგიურად: 60 გრადუსიანი კუთხის სინუსის გაყოფა იმავე კუთხის კოსინუსზე მივიღებთ რიცხვს 1,7321, რაც არის 60 გრადუსიანი ტანგენსი.
რა არის 45 გრადუსის ტანგენსი?
ვინაიდან 45 გრადუსიანი კუთხის სინუსის მნიშვნელობა ტოლია იმავე კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობას, სინუსის კოსინუსზე გაყოფით მიღებული 45 გრადუსიანი კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა იძლევა ერთს (ტანგენსი უდრის 1).
რა არის 90 გრადუსის ტანგენსი?
შეუძლებელია 90 გრადუსიანი კუთხის ტანგენტის გამოთვლა, რადგან 90 გრადუსიანი კუთხის კოსინუსი ნულის ტოლია და გაყოფის ერთ-ერთი ძირითადი წესია წესი, რომ „ნულზე გაყოფა არ შეიძლება“. ტანგენსი ამ შემთხვევაში უნდა მივიღოთ სინუსის კოსინუსზე, ანუ ნულზე გაყოფით. 90 გრადუსის ტანგენტის მნიშვნელობა დადგენილი არ არის.
რა არის 120 გრადუსის ტანგენსი?
ანალოგიურად, 120 გრადუსიანი კუთხის ტანგენტის გამოთვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ რიცხვი -1,7321 (უარყოფითი), რომელიც იქნება 120 გრადუსიანი კუთხის ტანგენსი.
რა არის ტანგენსი 0 გრადუსი?
გამომდინარე იქიდან, რომ 0 გრადუსიანი კუთხის სინუსი ნულის ტოლია, ხოლო იმავე კუთხის კოსინუსი 1-ის, ტანგენსი მიიღება ნულის ერთზე გაყოფით, რაც იძლევა 0-ს. 0 გრადუსის ტანგენსი არის ამიტომ უდრის 0-ს.
რა არის 135 გრადუსის ტანგენსი?
135 გრადუსის ტანგენსი უდრის -1-ს (მინუს ერთი) მსგავსი გამოთვლის გამოყენებით.
შენიშვნა: იხილეთ ასევე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილისხვა კუთხეები.
სინუსი, კოსინუსი, კუთხის ტანგენსი 45 გრადუსი (sin 45, cos 45, tg 45)
ცხრილის მნიშვნელობები სინუსი 45, კოსინუსი 45 და ტანგენსი 45 გრადუსიმითითებულია . ქვემოთ მოცემულია მეთოდისა და ამ მნიშვნელობების გამოთვლის სისწორის ახსნა თვითნებური მართკუთხა სამკუთხედისთვის.
45 გრადუსია π/4 რადიანი. კოსინუსის, სინუსის და ტანგენტის პი/4 რადიანების მნიშვნელობების ფორმულები მოცემულია ქვემოთ (თუმცა ისინი იდენტურია).
ანუ, მაგალითად, tan π/4 = tan 45გრადუსი
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები α=45°-ზე
როგორ დამოუკიდებლად გამოვთვალოთ sin cos tg 45 გრადუსიანი მნიშვნელობები?
ავაშენოთ და განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC რომლის კუთხე ∠ B = 45°. მისი გვერდების თანაფარდობიდან გამომდინარე, ჩვენ ვიანგარიშებთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს მართკუთხა სამკუთხედში 45 გრადუსიანი კუთხისთვის. ვინაიდან სამკუთხედი მართკუთხაა, სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის ფუნქციების მნიშვნელობები იქნება მისი შესაბამისი გვერდების თანაფარდობის ტოლი.
ვინაიდან სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის ფუნქციების მნიშვნელობები დამოკიდებულია ექსკლუზიურად კუთხის ხარისხზე (ან რადიანებში გამოხატულ მნიშვნელობაზე), ჩვენ მიერ ნაპოვნი თანაფარდობები იქნება სინუს 45, კოსინუსი 45 ფუნქციის მნიშვნელობები. და ტანგენტი 45 გრადუსი.
მართკუთხა სამკუთხედის თვისებების მიხედვით C კუთხე მართია და უდრის 90 გრადუსს. ჩვენ თავდაპირველად ავაშენეთ B კუთხე 45 გრადუსიანი გრადუსით. ვიპოვოთ A კუთხის მნიშვნელობა.ვინაიდან სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია, მაშინ
∠
A+ ∠
B + ∠
C = 180°
კუთხე C არის მართი და ტოლია 90 გრადუსი, კუთხე B თავდაპირველად განვსაზღვრეთ, როგორც 45 გრადუსი, ამგვარად:
∠
A = 180° - ∠
თან - ∠
B = 180° - 90° - 45° = 45°
ვინაიდან ამ სამკუთხედს აქვს ორი ერთმანეთის ტოლი კუთხე, მაშინ სამკუთხედი ABC არის მართკუთხა და, ამავე დროს, ტოლფერდა, რომელშიც ორივე ფეხი ერთმანეთის ტოლია: AC = BC.
დავუშვათ, რომ გვერდების სიგრძე უდრის გარკვეულ რიცხვს AC = BC = a. ფეხების სიგრძის ცოდნა, ჩვენ ვიანგარიშებთ ჰიპოტენუზის სიგრძეს.
პითაგორას თეორემის მიხედვით: AB 2 = AC 2 + BC 2
შევცვალოთ AC და BC სიგრძეები a ცვლადით, შემდეგ მივიღებთ:
AB 2 = a 2 + a 2 = 2a 2,
მაშინ AB=a √ 2.
Როგორც შედეგი ჩვენ გამოვთქვით ყველა მხარის სიგრძემართკუთხა სამკუთხედი 45 გრადუსიანი კუთხით a ცვლადის მეშვეობით.
მართკუთხა სამკუთხედში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებების მიხედვით სამკუთხედის შესაბამისი გვერდების შეფარდება შესაბამისი ფუნქციების მნიშვნელობის ტოლი იქნება. ამრიგად, კუთხისთვის α = 45 გრადუსი:
sin α = BC / AB(მართკუთხა სამკუთხედის სინუსის განმარტების მიხედვით, ეს არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან, BC - ფეხი, AB - ჰიპოტენუზა)
cos α = AC / AB(კოსინუსის განმარტების მიხედვით, ეს არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან, AC არის ფეხი, AB არის ჰიპოტენუზა)
tg α = BC / AC(ასევე, α კუთხის ტანგენსი ტოლი იქნება მოპირდაპირე მხარის შეფარდება მეზობელთან)
გვერდების აღნიშვნის ნაცვლად, ჩვენ ვცვლით მათი სიგრძის მნიშვნელობებს a ცვლადის მეშვეობით.
ამის საფუძველზე (იხილეთ მნიშვნელობების ცხრილი ცოდვა 45, cos 45, tg 45) ვიღებთ:
ცხრილის მნიშვნელობები ცოდვა 45, cos 45, tg 45(ანუ ღირებულება სინუსი 45, კოსინუსი 45 და ტანგენსი 45გრადუსი შეიძლება გამოითვალოს მოცემული სამკუთხედის შესაბამისი გვერდების თანაფარდობით), ჩვენ ვცვლით ზემოთ გამოთვლილ გვერდების სიგრძის მნიშვნელობებს ფორმულებში და ვიღებთ შედეგს ქვემოთ მოცემულ სურათზე.
ცხრილის მნიშვნელობები: სინუსი 45, კოსინუსი 45 და ტანგენსი 45 გრადუსი
ამრიგად:
- 45 გრადუსიანი ტანგენტი ერთის ტოლია
- 45 გრადუსის სინუსი უდრის კოსინუსს 45 გრადუსს და უდრის ფესვს ორის ნახევარში (იგივე, რაც გაყოფილია ორის ფესვზე)
როგორც ზემოთ მოყვანილი გამოთვლებიდან ჩანს, შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობების გამოსათვლელად მნიშვნელოვანია არა სამკუთხედის გვერდების სიგრძე, არამედ მათი თანაფარდობა, რომელიც ყოველთვის ერთნაირია იმავე კუთხისთვის. , მიუხედავად კონკრეტული სამკუთხედის ზომისა.
სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი π/4 რადიანები
უმაღლეს სასწავლებელში და გარე განათლების ტესტზე/სახელმწიფო ერთიან გამოცდაზე შემოთავაზებულ ამოცანებში, კუთხის ხარისხის საზომის ნაცვლად, ხშირად გვხვდება მისი სიდიდის მითითება, რომელიც იზომება რადიანებში. რადიანებში გამოხატული კუთხის ზომა ეფუძნება პი რიცხვს, რომელიც გამოხატავს წრის გარშემოწერილობის დამოკიდებულებას მის დიამეტრზე.
გასაგებად, გირჩევთ გახსოვდეთ გრადუსების რადიანად გადაქცევის მარტივი პრინციპი. წრის დიამეტრი მოიცავს 180 გრადუსიან რკალს. ამრიგად, პი რადიანი იქნება 180 გრადუსის ტოლი. საიდანაც ადვილია კუთხის ნებისმიერი ხარისხის საზომის გადაქცევა რადიანებად და პირიქით.
გავითვალისწინოთ რომ 45 გრადუსიანი კუთხე გამოხატული რადიანებით, უდრის (180 / 45 = 4) π/4 (pi გამრავლებული ოთხზე). მაშასადამე, ჩვენ მიერ ნაპოვნი მნიშვნელობები სწორია კუთხის იმავე ხარისხის საზომისთვის, გამოსახული რადიანებში:
- ტანგენსი π/4(pi ოთხზე მეტი) უდრის ერთს
- სინუსი π/4(pi გამრავლებული ოთხ) გრადუსს უდრის კოსინუსი π/4გრადუსი და უდრის ფესვს ორი ნახევარში
ტანგენტის ცხრილი არის ბრედისის ცხრილის წიგნში ოთხი ყველაზე გამოყენებული ტრიგონომეტრიული ცხრილიდან ერთ-ერთი. მიუხედავად იმისა, რომ ტანგენსი და კოტანგენსი არსებითად სინუსის და კოსინუსის წარმოებულებია, ხშირად სასარგებლოა ტანგენტების მზა გამოთვლილი მნიშვნელობების არსებობა.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები და მათი მნიშვნელობა გეომეტრიის შესწავლაში
გეომეტრიაში განსაკუთრებულ როლს ასრულებენ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, რომელთა დახმარებით ისინი ადგენენ, თუ როგორ არის დაკავშირებული მართკუთხა სამკუთხედის გვერდები და კუთხეები ერთმანეთთან. რასაკვირველია, ტრიგონომეტრია არ დგას და ევკლიდეს დროიდან მოყოლებული წინ წაიწია და ახლა ეს ფუნქციები შეიძლება გამოიხატოს დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნით.
ამჟამად გამოიყენება ექვსი აღნიშვნა ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის და ექვსი ფუნქციიდან ოთხი, ისინი ბოლოა რიგში, შეიძლება განისაზღვროს არა მხოლოდ გეომეტრიის გამოყენებით.
სინუსი (ცოდვა)
კოსინუსი (cos)
ტანგენტი (ტგ/ტან)
კოტანგენსი (ctg/cot)
სეკანტი (წმ)
კოზეკანტი (cosec/csc) .
მოდით განვიხილოთ თავად მართკუთხა სამკუთხედი; ყველა საცნობარო წიგნში მისი გვერდებისა და კუთხის აღნიშვნები, როგორც ყოველთვის, სტანდარტულია, არ აქვს მნიშვნელობა რომელ მხარეს არის ის სიბრტყეზე.
ამ სამკუთხედში არის სამი კუთხე, აღინიშნება α, β, γ, გ ყოველთვის 90°. მართი კუთხის γ მოპირდაპირე მხარეს მდებარეს ჰიპოტენუზა ეწოდება, ის აღინიშნება ასო C-ით. კუთხე α, საიდანაც იწყება ყველა გამოთვლა, მდებარეობს მოპირდაპირე მხარეს a / BC /, რომელსაც ეწოდება ამ კუთხის მოპირდაპირე მხარე, ხოლო მხარე b / AC. /, რომელიც ახლოსაა, ექვემდებარება ამ კუთხეს და ეწოდება მიმდებარე.
ევკლიდეს თეორიის მიხედვით, რომელიც ჯერ კიდევ მართალია (და ყოველთვის მართალი იქნება), ასეთი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი, რომელიც იმავე სიბრტყეშია, ტოლი იქნება 180-ის ანუ π რიცხვის. და ნებისმიერი კუთხის მნიშვნელობა იქნება 0-დან π /2-მდე.
მაშინ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები შეიძლება გამოისახოს ამ სამკუთხედის გვერდების ზომებით. ვინაიდან α კუთხე პირველია როგორც ბერძნულ ანბანში, ასევე ჩვენს სამკუთხედში, ჩვენ ვიწყებთ ფუნქციების გაცნობას ამ კუთხით.
- სინუსი α გამოიხატება ამ კუთხის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობით ჩვენი სამკუთხედის ჰიპოტენუზასთან, ანუ sin α = a: c.
- კოსინუსი α გამოიხატება ფეხის თანაფარდობით, რომელიც არის მიმდებარე α კუთხით, და ჰიპოტენუზის c, cos α = b: c. სხვათა შორის, sin β = α: с, რაც საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ, რომ sin α უდრის cos β და ამიტომ sin β უდრის cos α.
- ტანგენტი α უდრის მოპირდაპირე მხარის a შეფარდების კოეფიციენტს მეზობელ მხარეს b : tg α = a: b.
- α კუთხის კოტანგენსი შესაბამისად უდრის ctg α = b: a.
- კუთხის სეკანტი α არის სამკუთხედის ჰიპოტენუზის თანაფარდობა ამ კუთხის მიმდებარე ფეხთან sec α = c: b.
- α კუთხის კოზეკანტი არის სამკუთხედის ჰიპოტენუზის თანაფარდობა კუთხის მოპირდაპირე ფეხთან, cosecα = c: a.
ეს ფუნქციები ასევე შეიძლება გამოიხატოს წრის მეშვეობით კოორდინატთა სისტემის მითითებით. ჩვენ ვაყენებთ კოორდინატთა სისტემას ცენტრით O წერტილში. კუთხე, რომლითაც ბრუნავს ნახაზზე ნაჩვენები OA სეგმენტი, ჩაითვლება თვითნებურად, დავარქვათ θ.
მაშინ ამ კუთხის θ ტანგენტი მიჩნეულია წრეზე A წერტილის ორდინატის შეფარდება მის აბსცისასთან. ამიტომ, თუ ctg α = b: a, და AC = sin θ, OS = cos θ, მაშინ tanθ = sin θ: cos θ. ანალოგიურად, ვიღებთ cos θ = cos θ: sin θ ან 1: tanθ.