უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებები. n-ე რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებები

პირდაპირი ინტეგრაციით ამოხსნილი განტოლებები

განვიხილოთ შემდეგი დიფერენციალური განტოლება:
.
ჩვენ ვაერთიანებთ n-ჯერ.
;
;
და ასე შემდეგ. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:
.
იხილეთ დიფერენციალური განტოლებები, რომელთა ამოხსნაც შესაძლებელია პირდაპირ ინტეგრაცია >>>

განტოლებები, რომლებიც ცალსახად არ შეიცავს დამოკიდებულ ცვლადს y

ჩანაცვლება ამცირებს განტოლების რიგითობას ერთით. აქ არის ფუნქცია დან.
იხილეთ უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებები, რომლებიც არ შეიცავს ფუნქციას ცალსახად > > >

განტოლებები, რომლებიც ცალსახად არ შეიცავს დამოუკიდებელ x ცვლადს

.
მიგვაჩნია, რომ ეს არის ფუნქცია.
.
მერე
ანალოგიურად სხვა წარმოებულებისთვის. შედეგად, განტოლების თანმიმდევრობა მცირდება ერთით.

იხილეთ უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებები, რომლებიც არ შეიცავს გამოკვეთილ ცვლადს > > >

ერთგვაროვანი განტოლებები y, y′, y′′, ...
,
ამ განტოლების ამოსახსნელად ვაკეთებთ ჩანაცვლებას
.
სად არის ფუნქცია.
მერე

ჩვენ ანალოგიურად გარდაქმნით წარმოებულებს და ა.შ. შედეგად, განტოლების თანმიმდევრობა მცირდება ერთით.

იხილეთ უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებები, რომლებიც ერთგვაროვანია ფუნქციის და მისი წარმოებულების მიმართ >>> უმაღლესი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები:
(1) ,
განვიხილოთ
(2) ,
n-ე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება
სადაც არის დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქციები.მოდით იყოს n წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნები ამ განტოლებისთვის. მაშინ (1) განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა:

იხილეთ უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებები, რომლებიც ერთგვაროვანია ფუნქციის და მისი წარმოებულების მიმართ >>> სადაც არის თვითნებური მუდმივები. ფუნქციები თავად ქმნიან გადაწყვეტილებების ფუნდამენტურ სისტემას.:
.
ფუნდამენტური გადაწყვეტის სისტემა
,
n-ე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების არის n წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნები ამ განტოლებისთვის.

n-ე რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება

მოდით არსებობდეს ამ განტოლების კონკრეტული (ნებისმიერი) ამონახსნი. შემდეგ ზოგად გადაწყვეტას აქვს ფორმა:

სად არის ერთგვაროვანი განტოლების (1) ზოგადი ამონახსნი.
(3) .
წრფივი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით და მათზე შემცირებით წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებითეს არის ფორმის განტოლებები:
(2) .

აქ - რეალური რიცხვები:
(4) .

. ამ განტოლების ზოგადი ამოხსნის მოსაძებნად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ n წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნები, რომლებიც ქმნიან ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას. შემდეგ ზოგადი გამოსავალი განისაზღვრება ფორმულით (2): ჩვენ ვეძებთ გამოსავალს ფორმაში.ვიღებთ ფუნდამენტური სისტემაგადაწყვეტილებებს აქვს ფორმა:
.

თუ შესაძლებელია რთული ფესვი
,
მაშინ ასევე არსებობს რთული კონიუგირებული ფესვი. ეს ორი ფესვი შეესაბამება ამონახსნებს და , რომელსაც ჩვენ სანაცვლოდ ვაერთიანებთ ფუნდამენტურ სისტემაშიინტეგრირებული გადაწყვეტილებები

და .მრავლობითი ფესვები

სიმრავლეები შეესაბამება წრფივად დამოუკიდებელ ამონახსნებს: .მრავლობითი რთული ფესვები
.

სიმრავლეები და მათი რთული კონიუგატური მნიშვნელობები შეესაბამება ხაზობრივად დამოუკიდებელ ამონახსნებს:

იხილეთ უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებები, რომლებიც ერთგვაროვანია ფუნქციის და მისი წარმოებულების მიმართ >>> წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებები სპეციალური არაჰომოგენური ნაწილით
,
ფორმის განტოლება 1 სადაც არის s გრადუსიანი პოლინომები 2 და ს

; - მუდმივი.ჯერ ვეძებთ ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნას (3). თუ დამახასიათებელი განტოლება (4)
,
არ შეიცავს ფესვს
;
;
, შემდეგ ჩვენ ვეძებთ კონკრეტულ გამოსავალს ფორმაში: 1 სადაც არის s გრადუსიანი პოლინომები 2 .

სად s - უდიდესი სთუ დამახასიათებელი განტოლება (4)
.

აქვს ფესვი
.

სიმრავლე, შემდეგ ჩვენ ვეძებთ კონკრეტულ გამოსავალს სახით:

ამის შემდეგ მივიღებთ ზოგად გადაწყვეტას:

1) წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით.
აქ სამი შესაძლო გამოსავალია.
.
ბერნულის მეთოდი
,
პირველი, ჩვენ ვპოულობთ ერთგვაროვანი განტოლების ნებისმიერ არანულოვან ამონახსანს - 1 შემდეგ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას

2) სად არის x ცვლადის ფუნქცია. ვიღებთ u-ს დიფერენციალურ განტოლებას, რომელიც შეიცავს მხოლოდ u-ს წარმოებულებს x-ის მიმართ. .
ჩანაცვლების განხორციელებისას ვიღებთ განტოლებას n
,
- ბრძანება. მეთოდიხაზოვანი ჩანაცვლება მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლებასად არის დამახასიათებელი განტოლების ერთ-ერთი ფესვი (4). შედეგად, ჩვენ ვიღებთ წრფივ

3) ერთგვაროვანი განტოლება.
თან
(2) .
მუდმივი კოეფიციენტები შეკვეთა .ამ ჩანაცვლების თანმიმდევრული გამოყენებით, ჩვენ ვამცირებთ თავდაპირველ განტოლებას პირველი რიგის განტოლებამდე.
,
ლაგრანჟის მუდმივების ვარიაციის მეთოდი

ამ მეთოდით ჩვენ ჯერ ვხსნით ერთგვაროვან განტოლებას (3). მისი გამოსავალი ასე გამოიყურება:

ჩვენ ასევე ვივარაუდებთ, რომ მუდმივები არის x ცვლადის ფუნქციები.
.
შემდეგ გამოსავალი
.
ორიგინალური განტოლება

აქვს ფორმა:
სადაც უცნობი ფუნქციებია. თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით და გარკვეული შეზღუდვების დაწესებით, ვიღებთ განტოლებებს, საიდანაც შეგვიძლია ვიპოვოთ ფუნქციების ტიპი.
ეილერის განტოლება იგი მცირდება წრფივ განტოლებამდე მუდმივი კოეფიციენტებით ჩანაცვლებით:თუმცა, ეილერის განტოლების ამოსახსნელად, არ არის საჭირო ასეთი ჩანაცვლება. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ მოძებნოთ გამოსავალი ერთგვაროვანი განტოლების ფორმაში

ხაზოვანი დიფერენციალური სისტემები განტოლებები.

დიფერენციალური განტოლებათა სისტემა ე.წ ხაზოვანი,თუ იგი წრფივია უცნობი ფუნქციების და მათი წარმოებულების მიმართ. სისტემა ნ-1 რიგის წრფივი განტოლებები იწერება სახით:

სისტემის კოეფიციენტები არის const.

მოსახერხებელია ამ სისტემის დაწერა მატრიცის სახით:

სადაც არის უცნობი ფუნქციების სვეტის ვექტორი, რომელიც დამოკიდებულია ერთ არგუმენტზე.

ამ ფუნქციების წარმოებულების სვეტის ვექტორი.

თავისუფალი წევრების სვეტის ვექტორი.

კოეფიციენტების მატრიცა.

თეორემა 1:თუ ყველა მატრიცის კოეფიციენტი აარიან უწყვეტები რაღაც ინტერვალზე და შემდეგ ყოველი მ-ის ზოგიერთ უბანში. TS&E პირობები შესრულებულია. შესაბამისად, თითოეული ასეთი წერტილის გავლით გადის ერთი ინტეგრალური მრუდი.

მართლაც, ამ შემთხვევაში, სისტემის მარჯვენა მხარეები უწყვეტია არგუმენტების სიმრავლის მიმართ და მათი ნაწილობრივი წარმოებულები (მატრიცის A კოეფიციენტების ტოლი) შეზღუდულია დახურულ ინტერვალზე უწყვეტობის გამო.

SLD-ების ამოხსნის მეთოდები

1. დიფერენციალური განტოლებათა სისტემა შეიძლება შემცირდეს ერთ განტოლებამდე უცნობის აღმოფხვრის გზით.

მაგალითი:ამოხსენით განტოლებათა სისტემა: (1)

გამოსავალი:გამორიცხავს ზამ განტოლებიდან. პირველი განტოლებიდან გვაქვს. მეორე განტოლებაში ჩანაცვლება, გამარტივების შემდეგ ვიღებთ: .

განტოლებათა ეს სისტემა (1) შემცირდა ერთი მეორე რიგის განტოლებამდე. ამ განტოლებიდან აღმოჩენის შემდეგ წ, უნდა მოიძებნოს ზ, თანასწორობის გამოყენებით.

2. განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას უცნობების აღმოფხვრა, ჩვეულებრივ, უფრო მეტი განტოლება მიიღება მაღალი შეკვეთა, შესაბამისად, ხშირ შემთხვევაში უფრო მოსახერხებელია სისტემის გადაჭრა მოძიებით ინტეგრირებული კომბინაციები.

გაგრძელდა 27ბ

მაგალითი:გადაჭრით სისტემა

გამოსავალი:

გადავწყვიტოთ ამ სისტემასეილერის მეთოდი. დავწეროთ განმსაზღვრელი მახასიათებლის საპოვნელად

განტოლება: , (რადგან სისტემა ერთგვაროვანია, იმისათვის რომ მას ჰქონდეს არატრივიალური ამონახსნები, აუცილებელია, რომ ეს განმსაზღვრელი იყოს ნულის ტოლი). ჩვენ ვიღებთ დამახასიათებელ განტოლებას და ვპოულობთ მის ფესვებს:

ზოგადი გამოსავალი არის: ;

- საკუთარი ვექტორი.

ჩვენ ვწერთ გამოსავალს: ;

- საკუთარი ვექტორი.

ჩვენ ვწერთ გამოსავალს: ;

ჩვენ ვიღებთ ზოგად გადაწყვეტას: .

მოდით შევამოწმოთ:

ვიპოვოთ: და ჩავანაცვლოთ ამ სისტემის პირველ განტოლებაში, ე.ი. .

ჩვენ ვიღებთ:

- ნამდვილი თანასწორობა.

ხაზოვანი დიფერენციალი. n-ე რიგის განტოლებები. თეორემა არაერთგვაროვანის ზოგადი ამოხსნის შესახებ წრფივი განტოლება n-ე შეკვეთა.

n-ე რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლება არის ფორმის განტოლება: (1)

თუ ამ განტოლებას აქვს კოეფიციენტი, მაშინ მასზე გაყოფით მივიღებთ განტოლებას: (2) .

ჩვეულებრივ ტიპის განტოლებები (2). დავუშვათ, რომ ურ-ი (2) ყველა შანსები, ასევე f(x)უწყვეტი გარკვეული ინტერვალით (ა, ბ).შემდეგ, TS&E-ს მიხედვით, განტოლება (2) აქვს ერთადერთი გამოსავალი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის პირობებს: , , …, ერთად. აქ - ნებისმიერი წერტილი ინტერვალიდან (ა, ბ),და ყველაფერი - ნებისმიერი მოცემული ნომრები. განტოლება (2) აკმაყოფილებს TC&E , ამიტომ არ აქვს სპეციალური გადაწყვეტილებები.

განმარტება: განსაკუთრებულიწერტილები არის ის, სადაც =0.

წრფივი განტოლების თვისებები:

წრფივი განტოლება რჩება წრფივი, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ შეიცვლება დამოუკიდებელი ცვლადი.
წრფივი განტოლება რჩება სასურველი ფუნქციის ნებისმიერი წრფივი ცვლილებისთვის.

Def:თუ განტოლებაში (2) დააყენე f(x)=0, მაშინ მივიღებთ ფორმის განტოლებას: (3) , რომელსაც ე.წ ერთგვაროვანი განტოლებაარაჰომოგენურ განტოლებასთან შედარებით (2).

წარმოგიდგენთ ხაზოვანი დიფერენციალური ოპერატორი: (4). ამ ოპერატორის გამოყენებით შეგიძლიათ გადაწეროთ იგი მოკლე ფორმაგანტოლებები (2) და (3): L(y)=f(x), L(y)=0.ოპერატორი (4) აქვს შემდეგი მარტივი თვისებები:

ამ ორი თვისებიდან შეიძლება გამოვიტანოთ დასკვნა: .

ფუნქცია y=y(x)არის არაჰომოგენური განტოლების ამონახსნი (2), თუ L(y(x))=f(x), მაშინ f(x)უწოდა განტოლების ამონახსნი. ასე რომ, განტოლების ამონახსნი (3) ფუნქციას უწოდებენ y(x), თუ L(y(x))=0განხილულ ინტერვალებზე.

განვიხილოთ არაჰომოგენური წრფივი განტოლება: , L(y)=f(x).

დავუშვათ, რომ ჩვენ ვიპოვეთ კონკრეტული გამოსავალი რაიმე გზით, მაშინ .

მოდით შემოვიტანოთ ახალი უცნობი ფუნქცია ზფორმულის მიხედვით: სად არის კონკრეტული გამოსავალი.

ჩავანაცვლოთ განტოლებაში: , გავხსნათ ფრჩხილები და მივიღოთ: .

შედეგად მიღებული განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ვინაიდან არის ორიგინალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, მაშინ , მაშინ .

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ერთგვაროვანი განტოლება მიმართ ზ. ამ ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნი არის წრფივი კომბინაცია: , სადაც ფუნქციები - ქმნიან ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას. ჩანაცვლება ზჩანაცვლების ფორმულაში ვიღებთ: (*) ფუნქციისთვის წ– საწყისი განტოლების უცნობი ფუნქცია. თავდაპირველი განტოლების ყველა ამონახსნი იქნება (*).

ამრიგად, არაჰომოგენური ხაზის ზოგადი გადაწყვეტა. განტოლება წარმოდგენილია ჯამის სახით ზოგადი გადაწყვეტაერთგვაროვანი წრფივი განტოლება და არაჰომოგენური განტოლების ზოგიერთი კონკრეტული ამოხსნა.

(გაგრძელება მეორე მხარეს)

30. დიფერენციალური ამოხსნის არსებობისა და უნიკალურობის თეორემა. განტოლებები

თეორემა:თუ განტოლებაში. მარჯვენა მხარეუწყვეტი მართკუთხედში და შეზღუდულია და ასევე აკმაყოფილებს ლიპშიცის პირობას: , N=const, შემდეგ არის უნიკალური ამონახსნები, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის პირობებს და განისაზღვრება სეგმენტზე , სად .

მტკიცებულება:

განვიხილოთ სრული მეტრული სივრცე თან,რომლის წერტილები არის ყველა შესაძლო უწყვეტი ფუნქცია y(x) განსაზღვრული ინტერვალზე , რომლის გრაფიკები დევს მართკუთხედის შიგნით და მანძილი განისაზღვრება ტოლობით: . ეს სივრცე ხშირად გამოიყენება მათემატიკური ანალიზისას და ე.წ ერთიანი კონვერგენციის სივრცე, ვინაიდან ამ სივრცის მეტრიკაში კონვერგენცია ერთგვაროვანია.

მოდით შევცვალოთ დიფერენციალი. განტოლება მონაცემებთან საწყისი პირობებიეკვივალენტურ ინტეგრალურ განტოლებამდე: და განიხილეთ ოპერატორი A(y)ტოლია ამ განტოლების მარჯვენა მხარის: . ეს ოპერატორი ემთხვევა თითოეულს უწყვეტი ფუნქცია

ლიპშიცის უტოლობის გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ, რომ მანძილი . ახლა ავირჩიოთ ერთი, რომლისთვისაც შემდეგი უტოლობა იქნება: .

ასე უნდა აირჩიო, მაშინ. ამით ჩვენ ვაჩვენეთ რომ.

შეკუმშვის რუკების პრინციპის მიხედვით, არსებობს ერთი წერტილი ან, რაც იგივეა, ერთი ფუნქცია - დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ საწყის პირობებს.

ნ-მე ბრძანება

თეორემა. თუ y 0- ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა L[y]=0, y 1- შესაბამისი არაერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა L[y] = f(x), შემდეგ ჯამი y 0 +y 1არის ამ არაჰომოგენური განტოლების ამონახსნი.

არაჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურა განისაზღვრება შემდეგი თეორემით.

თეორემა. თუ ი- განტოლების კონკრეტული ამოხსნა L[y] = f(x)უწყვეტი კოეფიციენტებით, - შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამოხსნა L[y] = 0, მაშინ ამ არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნი განისაზღვრება ფორმულით

კომენტარი. წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნის ჩასაწერად აუცილებელია ამ განტოლების რაიმე კონკრეტული ამონახსნის და შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამოხსნის პოვნა.

წრფივი არაჰომოგენური განტოლებები ნ

განვიხილოთ წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლება ნ-ე რიგი მუდმივი კოეფიციენტებით

სად a 1, a 2, …, a n- რეალური რიცხვები. დავწეროთ შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლება

არაჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამოხსნა განისაზღვრება ფორმულით

ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამოხსნა y 0ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ კონკრეტული გამოსავალი იშეიძლება მოიძებნოს გაურკვეველი კოეფიციენტებიშემდეგ მარტივ შემთხვევებში:

ზოგად შემთხვევაში, გამოიყენება თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდი.

თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი

განვიხილოთ წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლება ნ-ე რიგი ცვლადი კოეფიციენტებით

თუ ამ განტოლების კონკრეტული ამოხსნის პოვნა რთული აღმოჩნდება, მაგრამ შესაბამისი ჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამონახვა ცნობილია, მაშინ შეიძლება მოიძებნოს არაჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამონახვა თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი.

მოდით შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლება

აქვს ზოგადი გადაწყვეტა

ჩვენ ვეძებთ არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნას ფორმაში

სად y 1 =y 1 (x), y 2 =y 2 (x), …, y n =y n (x)არის ერთგვაროვანი განტოლების წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნები, რომლებიც შედის მის ზოგად ამონახსნობაში და C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- უცნობი ფუნქციები. ამ ფუნქციების საპოვნელად, მოდით, დავაყენოთ ისინი რამდენიმე პირობით.

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული

ჩვენ ვითხოვთ, რომ მეორე ფრჩხილში ჯამი იყოს ნულის ტოლი, ანუ

ვიპოვოთ მეორე წარმოებული

და ჩვენ ამას მოვითხოვთ

მსგავსი პროცესის გაგრძელებით ვიღებთ

ამ შემთხვევაში, თქვენ არ შეგიძლიათ მოითხოვოთ, რომ მეორე ფრჩხილის ჯამი გაქრეს, რადგან ფუნქციები C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)უკვე დაქვემდებარებული n-1პირობები, მაგრამ თქვენ მაინც უნდა დააკმაყოფილოთ ორიგინალური არაჰომოგენური განტოლება.

დიფერენციალური განტოლებებინ- ბრძანება.

თუ განტოლება ამოსახსნელია უმაღლესი წარმოებულის მიმართ, მაშინ მას აქვს ფორმა (1). n-ე რიგის განტოლება ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც n პირველი რიგის განტოლების სისტემა.

(3)

n-ე რიგის განტოლებისთვის, სისტემის არსებობისა და უნიკალურობის შესახებ თეორემის პირობები დაკმაყოფილებულია, რადგან (1)~(2)~(3).

შეკვეთის შემცირების უმარტივესი შემთხვევები.

განტოლება არ შეიცავს საჭირო ფუნქციას და მის წარმოებულს წესრიგამდე კ -1 ჩათვლით , ანუ

ამ შემთხვევაში შეკვეთა შეიძლება შემცირდეს
ჩანაცვლება. თუ ამ განტოლებას გამოვხატავთ, მაშინ y ამონახსნი შეიძლება განისაზღვროს k-ნაკეც ინტეგრირებადი ფუნქციით გვ.

მაგალითი.
.

განტოლება, რომელიც არ შეიცავს უცნობ ცვლადს

(5)

ამ შემთხვევაში, შეკვეთა შეიძლება შემცირდეს ერთით ჩანაცვლებით.

მაგალითი.
.

განტოლების მარცხენა მხარე

(6)

არის ზოგიერთი დიფერენციალური გამოხატვის წარმოებული ( ნ -1) რიგი .
. თუ
- მაშასადამე, არსებობს ბოლო განტოლების ამონახსნი. ჩვენ მივიღეთ (6) განტოლების პირველი ინტეგრალი და დავამცირეთ ამოხსნის განტოლების ხარისხი ერთით.

კომენტარი.ზოგჯერ (6)-ის მარცხენა მხარე ხდება (n-1) რიგის დიფერენციალური განტოლების წარმოებული მხოლოდ მაშინ, როცა გამრავლებულია
ამიტომ, აქ შეიძლება გამოჩნდეს არასაჭირო გადაწყვეტილებები (შებრუნება ნულამდე) ან შეიძლება დავკარგოთ ამონახსნი თუ უწყვეტი ფუნქცია.

მაგალითი.

განტოლება

(7)

ერთგვაროვანი შედარებით და მისი წარმოებულები .

ან სად არის მაჩვენებელი
განისაზღვრება ჰომოგენურობის პირობებიდან.

ამ განტოლების რიგი შეიძლება შემცირდეს ერთით: .

თუ ამ მიმართებებს ჩავანაცვლებთ (7)-ით და გავითვალისწინებთ ფუნქციის ერთგვაროვნებას ფ , შემდეგ ბოლოს მივიღებთ: .

მაგალითი.
.

დიფერენციალური განტოლებებიმეორე შეკვეთა

შეკვეთის შემცირების საშუალებას.

ჩანაცვლება
.

თუ განტოლება (8) შეიძლება გადაწყდეს უმაღლესი წარმოებულის მიმართ, მაშინ განტოლება.
ორჯერ არის ინტეგრირებული ცვლადის თავზე x.

შეგიძლიათ შემოიტანოთ პარამეტრი და შეცვალოთ განტოლება (8) მისი პარამეტრული გამოსახულებით:
. დიფერენციალებისთვის მიმართების გამოყენება:
, ვიღებთ: და

II .
(9)

მოდით გამოვიყენოთ პარამეტრული წარმოდგენა:

III.
. (10)

თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ შეკვეთა შეცვლით:
.

თუ განტოლება (10) ამოსახსნელია უმაღლესი წარმოებულის მიმართ
, შემდეგ გავამრავლოთ მარჯვენა და მარცხენა მხარეები
. ჩვენ ვიღებთ: ეს არის განტოლება განცალკევებული ცვლადებით:
.

განტოლება (10) შეიძლება შეიცვალოს მისი პარამეტრული გამოსახულებით: . მოდით გამოვიყენოთ დიფერენციალური თვისებები:.

მაგალითი.
.

წრფივი დიფერენციალური განტოლებებინ- ბრძანება.

განმარტება. წრფივი დიფერენციალური განტოლებები ნ - ბრძანება ფორმის განტოლებებს უწოდებენ:
. (1)

თუ შანსები უწყვეტი ამისთვის
, შემდეგ ფორმის ნებისმიერი საწყისი მნიშვნელობების სიახლოვეს:, სადაც მიეკუთვნება ინტერვალს, მაშინ ამ საწყისი მნიშვნელობების სიახლოვეს პირობები დაკმაყოფილებულია არსებობისა და უნიკალურობის თეორემები. (1) განტოლების წრფივობა და ერთგვაროვნება შენარჩუნებულია ნებისმიერი ტრანსფორმაციის დროს
, სად არის თვითნებური n-ჯერ დიფერენცირებადი ფუნქცია. მეტიც
. წრფივობა და ერთგვაროვნება შენარჩუნებულია, როდესაც უცნობი ფუნქცია გარდაიქმნება წრფივად და ერთგვაროვანად.

მოდით წარმოვიდგინოთ წრფივი დიფერენციალური ოპერატორი: , მაშინ (1) შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:
. ვრონსკის განმსაზღვრელი ამისთვის
ასე გამოიყურება:

, სად - (1) განტოლების წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნები.

თეორემა 1. თუ წრფივად დამოუკიდებელი ფუნქციები
არის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების (1) ამონახსნი უწყვეტი
კოეფიციენტები
, შემდეგ ვრონსკის განმსაზღვრელი
არ ქრება სეგმენტის არცერთ წერტილში
.

თეორემა 2. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების (1) ზოგადი ამოხსნა უწყვეტით
კოეფიციენტები
იქნება გადაწყვეტილებების ხაზოვანი კომბინაცია , ანუ
(2), სადაც
წრფივად დამოუკიდებელი სეგმენტზე
კერძო გადაწყვეტილებები (1).

(დამტკიცებულია წრფივი დიფერენციალური განტოლებების სისტემის შემთხვევაში)

შედეგი.წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნების მაქსიმალური რაოდენობა (1) უდრის მისი რიგის.

(1) განტოლების ერთი არატრივიალური კონკრეტული ამოხსნის ცოდნა -
, შეგიძლიათ გააკეთოთ ჩანაცვლება
და შეამცირეთ განტოლების წესრიგი მისი წრფივი და ჰეტეროგენურობის შენარჩუნებით. როგორც წესი, ეს ჩანაცვლება ორად იყოფა. ვინაიდან ეს არის წრფივი ჰომოგენური წარმოდგენა, ის ინარჩუნებს (1) წრფივობას და ერთგვაროვნებას, რაც ნიშნავს, რომ (1) ფორმამდე უნდა შემცირდეს. გადაწყვეტილება
ძალაშია
შეესაბამება ხსნარს
და ამიტომ
. ჩანაცვლების გაკეთების შემდეგ
, ვიღებთ განტოლებას თანმიმდევრობით
.

ლემა. (3)

(3) და (4) ფორმის ორი განტოლება, სადაც Q i და P i არის უწყვეტი ფუნქციები, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების საერთო ფუნდამენტური სისტემა, ემთხვევა, ე.ი. Q i (x)= P i (x), i=1,2,…n,  x

ლემის საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა y 1 y 2 …y n მთლიანად განსაზღვრავს წრფივ ერთგვაროვან განტოლებას (3).

ვიპოვოთ განტოლების ფორმა (3), რომელსაც აქვს ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა y 1 y 2 …y n . ნებისმიერი გამოსავალი წ(x) განტოლება (3) წრფივად არის დამოკიდებული ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემაზე, რაც ნიშნავს, რომ W=0. მოდით გავაფართოვოთ ვრონსკის განმსაზღვრელი W ბოლო სვეტზე.

განტოლება (5) არის სასურველი წრფივი დიფერენციალური განტოლება, რომელსაც აქვს ფუნდამენტური ამონახსნების მოცემული სისტემა. შეგვიძლია (5) გავყოთ W-ზე, რადგან ის არ არის ნულის ტოლი  x.

(*)

შემდეგ:

დეტერმინანტის დიფერენციაციის წესის მიხედვით, დეტერმინანტის წარმოებული უდრის i=1,2...n განმსაზღვრელთა ჯამს, რომელთაგან თითოეულის i-ე რიგი უდრის i-ის წარმოებულს. ორიგინალური განმსაზღვრელი რიგი. ამ ჯამში ყველა განმსაზღვრელი უკანასკნელის გარდა ნულის ტოლია (რადგან მათ აქვთ ორი იდენტური წრფე), ხოლო ბოლო უდრის (*). ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ:
(6)

(7)

განმარტება. , შემდეგ: ფორმულები (6) და (7) ეწოდება

ოსტროგრადსკი-ლიუვილის ფორმულები.

ჩვენ ვიყენებთ (7) მეორე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ინტეგრირებისთვის. და გაგვაგებინეთ (8) განტოლების y 1 ამონახსნი.

(9)

(7) მიხედვით, ნებისმიერი გამოსავალი (8) უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ მიმართებას:

გამოვიყენოთ ინტეგრირების ფაქტორის მეთოდი.

წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებები

მუდმივი კოეფიციენტები.

თუ წრფივ ერთგვაროვან განტოლებაში ყველა კოეფიციენტი მუდმივია,

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

მაშინ კონკრეტული ამონახსნები (1) შეიძლება განისაზღვროს სახით: y=e kx, სადაც k არის მუდმივი.

განმარტება. (3) - a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

დამახასიათებელი განტოლება.

1ამოხსნის ტიპი (1) განისაზღვრება დამახასიათებელი განტოლების (3) ფესვებით. ). ყველა ფესვი რეალური და განსხვავებულია

, შემდეგ: .

2). თუ ყველა კოეფიციენტი რეალურია, მაშინ ფესვები შეიძლება იყოს რთული კონიუგატი

k 1 =+i k 2 =-i

შემდეგ ხსნარებს აქვთ ფორმა:

მაგალითი.

თეორემის მიხედვით: თუ რეალური კოეფიციენტების მქონე ოპერატორს აქვს რთული კონიუგატური ამონახსნები, მაშინ მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილებიც ამონახსნებია. შემდეგ:
წარმოგიდგენთ გამოსავალს ფორმაში

, მაშინ დამახასიათებელ განტოლებას აქვს ფორმა:

, ჩვენ ვიღებთ ორ გამოსავალს:

მაშინ საჭირო ფუნქციაა: კ 3). არსებობს მრავალი ფესვი: მე  3). არსებობს მრავალი ფესვი: . სიმრავლით
ამ შემთხვევაში, სხვადასხვა გადაწყვეტილებების რაოდენობა

მტკიცებულება:

უფრო მცირე იქნება, ამიტომ, თქვენ უნდა მოძებნოთ დაკარგული ხაზოვანი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილებები სხვა ფორმით. მაგალითად:

ვთქვათ k i =0, თუ ჩავანაცვლებთ მას (3), მივიღებთ ამას, მაშინ:

- კონკრეტული გადაწყვეტილებები (3).
(6)

მოდით k i 0, გავაკეთოთ ჩანაცვლება

(6) (1)-ით ჩანაცვლებით, z-ის მიმართ ვიღებთ n-ე რიგის წრფივ ერთგვაროვან განტოლებას მუდმივი კოეფიციენტებით (7).

(8)

თუ k=k i , მაშინ ეს k შეესაბამება (7) განტოლების ამონახს p=0 ფესვით, ე.ი. შეესაბამება z= ფორმის ამონახსნებს
, მაშინ y= არის (1) განტოლების ამონახსნი. და ზოგადი გამოსავალი ასე გამოიყურება:

გამოსავალი კ ი



ეილერის განტოლება.

განმარტება. ფორმის განტოლება:

a i არის მუდმივი კოეფიციენტები, ე.წ ეილერის განტოლება.

ეილერის განტოლება x=e t-ის ჩანაცვლებით მცირდება წრფივ ერთგვაროვან განტოლებამდე მუდმივი კოეფიციენტებით.

თქვენ შეგიძლიათ მოძებნოთ ამონახსნები y=x k სახით, შემდეგ მათ აქვთ ფორმა:

ხაზოვანი არაჰომოგენური განტოლებები.

თუ 0 (x)0, მაშინ განტოლება (1) ამ კოეფიციენტზე გაყოფით მივიღებთ:

თუ i და f უწყვეტია b-ზე, მაშინ (2) აქვს უნიკალური ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს შესაბამის საწყის პირობებს. თუ გამოვხატავთ უმაღლეს წარმოებულებს (2)-დან, მივიღებთ განტოლებას, რომლის მარჯვენა მხარე აკმაყოფილებს არსებობისა და უნიკალურობის თეორემას. ვინაიდან ოპერატორი L წრფივია, ეს ნიშნავს, რომ (2)-ისთვის მოქმედებს შემდეგი:

1).
- ხსნარი (2), თუ - არაერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა (2) და - შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა.

2). თუ - გადაწყვეტილებები
, ეს
განტოლების ამოხსნა
.

თვისება 2 არის სუპერპოზიციის პრინციპი, ის მოქმედებს როცა
, თუ სერია
- იყრის თავს და აღიარებს მ-მრავალჯერადი ტერმინი-ტერმინის დიფერენციაცია.

3) მოდით ოპერატორის განტოლება მოცემული
, სადაც L არის ოპერატორი კოეფიციენტებით , ყველა - რეალური. ფუნქციები U და V ასევე რეალურია. მაშინ, თუ ამ განტოლებას აქვს ამონახსნი
, მაშინ იგივე განტოლების ამონახსნი იქნება როგორც წარმოსახვითი, ასევე რეალური ნაწილები:
და
. უფრო მეტიც, თითოეული მათგანი შეესაბამება გამოსავალს.

თეორემა. არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამოხსნან- დაახლოებით
სეგმენტზე [ა, ბ] იმ პირობით, რომ ყველა კოეფიციენტი
და მარჯვენა მხარე
- უწყვეტი ფუნქციები, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შესაბამისი ზოგადი ამონახსნის ჯამი ერთგვაროვანი სისტემა
და კონკრეტული გადაწყვეტა არაჰომოგენური -
.

იმათ. გამოსავალი
.

თუ შეუძლებელია არაჰომოგენური სისტემის კონკრეტული გადაწყვეტილებების ცალსახად შერჩევა, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ მეთოდი მუდმივის ვარიაციები . ჩვენ ვეძებთ გამოსავალს ფორმაში:

(3)

სად
გადაწყვეტილებები ერთგვაროვანი სისტემისთვის,
- უცნობი ფუნქციები.

სულ უცნობი ფუნქციები
- ნ.

ისინი უნდა აკმაყოფილებდეს თავდაპირველ განტოლებას (2).
გამოთქმა y(x) (2) განტოლებით ჩანაცვლებით, ვიღებთ პირობებს მხოლოდ ერთი უცნობი ფუნქციის დასადგენად. დარჩენილი (n-1)-კარგი ფუნქციების დასადგენად, აუცილებელია (n-1)-მაგრამ დამატებითი პირობა მათი არჩევა თვითნებურად. ავირჩიოთ ისინი ისე, რომ ამოხსნას (2) - y(x) ჰქონდეს იგივე ფორმა, როგორც თითქოს

იყვნენ მუდმივები.
რადგან
მოიქეცი ისე, როგორც მუდმივები
.

რომ. (1) განტოლების დამატებით ვიღებთ (n-1) - but პირობას. თუ წარმოებულების გამონათქვამს ჩავანაცვლებთ (1) განტოლებაში და გავითვალისწინებთ ყველა მიღებულ პირობას და იმ ფაქტს, რომ y i არის შესაბამისი ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნი, მაშინ მივიღებთ ბოლო პირობას
.