2 つの円の相互配置。仮説

クラス7G、Z

授業のテーマ：「２つの円の位置関係」
目的: 2 つの円が相互に配置される可能性のあるケースを知ること。知識を応用して問題を解決する。

目的: 教育: 生徒が 2 つの円の位置の考えられるケースを視覚的に表現して統合できるようにするために、生徒は次のことができるようになります。

円の相互配置、半径、中心間の距離の間の関係を確立します。

幾何学的なデザインを分析し、精神的に修正し、

平面図の想像力を育みます。

学生は理論的な知識を問題解決に応用できるようになります。

レッスンの種類: 教材に関する新しい知識を導入し、定着させるレッスン。

設備: レッスン用のプレゼンテーション。コンパス、定規、鉛筆、教科書が各生徒に用意されます。

チュートリアル: 。「幾何学グレード 7」、アルマトイ「アタムラ」2012

授業中。

整理の時間。宿題のチェック。

3. 基礎知識の実践。

円、円、半径、直径、弦、点から線までの距離の定義を繰り返します。

1) 1) 直線と円の位置についてどのような場合を知っていますか?

2) どのような線を接線と呼びますか?

3) どのような線をセカントと呼びますか?

4) 弦に垂直な直径に関する定理?

5) 接線は円の半径に対してどのように通過しますか?

6) 表（カード上）に記入します。

生徒は教師の指導の下で問題を解決し、分析します。

1) 直線 a は中心 O の円の接線です。点 A は直線 a 上に与えられます。接線と線分 OA の角度は 300 度です。半径 2.5 m の場合、線分 OA の長さを求めます。

2) 次の場合に、線と円の相対位置を決定します。

1. R=16cm、d=12cm 2. R=5cm、d=4.2cm 3. R=7.2cm、d=3.7cm 4. R=8cm、d=1.2cm 5. R=5cm、d=50mm

a) 直線と円には共通点がありません。

b) 線は円に接しています。

c) 線が円と交差します。

d は円の中心から直線までの距離、R は円の半径です。

3) 円の直径が 10.3 cm、円の中心から線までの距離が 4.15 cm の場合、線と円の相対位置について何が言えるでしょうか。 2dm; 103mm; 5.15cm、1dm3cm。

4) 中心 O と点 A を持つ円が与えられます。円の半径が 7 cm、セグメント OA の長さが次の場合、点 A は次のとおりです。 a) 4 cm。 b) 10cm。 c) 70 mm。

4. 生徒たちと一緒に、レッスンのテーマを見つけ、レッスンの目的を策定します。

5. 新素材の導入。

グループで実践的な作業を行います。

3つの円を作成します。それぞれの円に対して、1) 2 つの円が交差しないように、2) 2 つの円が接触し、3) 2 つの円が交差するように、もう 1 つの円を作成します。各円の半径と円の中心間の距離を求め、結果を比較します。結論は何でしょうか?
２）２つの円が相互に配置された場合をノートにまとめて書きます。

2 つの円が平面上に相互に配置されます。

円には共通点がありません (交差しません)。 (R1、R2は円の半径)

R1 + R2 の場合< d,

d - 円の中心間の距離。

c) 円には 2 つの共通点があります。 (交差)。

R1 + R2 > d の場合、

質問。 2 つの円に共通点が 3 つありますか?

6. 研究した資料の統合。

データまたはステートメント内のエラーを見つけて、自分の意見の理由を述べて修正します。
a) 2 つの円が接触しています。それらの半径は R = 8 cm と r = 2 cm、中心間の距離は d = 6 です。
B) 2 つの円には少なくとも 2 つの共通点があります。
C) R = 4、r = 3、d = 5。円には共通点がありません。
D）R \u003d 8、r \u003d 6、d \u003d 4。小さい円は大きい円の中にあります。
E) 2 つの円を、一方が他方の内側に収まるように配置することはできません。

7. レッスンの結果。レッスンで何を学びましたか? どのようなルールが定められているのでしょうか？

どうすれば 2 つの円を見つけることができるでしょうか? 円に共通点があるのはいつですか? 2つの円の共通点を何といいますか? あなたはどんなタッチを知っていますか？円が交差するのはいつですか? どのような円を同心円と呼びますか?

レッスンのトピック: " 2 つの円が平面上に相互に配置されます。

目標 :

教育的 - 2 つの円の相対的な位置に関する新しい知識を習得し、テストの準備をする

教育的 - 計算スキルの開発、論理的および構造的思考の開発。合理的な解決策を見つけて最終結果を達成するためのスキルの形成。認知活動と創造的思考の発達 .

教育的 – 学生の責任の形成、一貫性。認知的および美的資質の発達。学生の情報文化の形成。

矯正 - 空間的思考、記憶力、手の運動能力を開発します。

レッスンタイプ: 新しい教材の研究、定着。

レッスンの種類: ミックスレッスン。

指導方法: 言語的、視覚的、実践的。

学習形態: 集合的な。

教育手段: ボード

授業中:

1. 組織段階

- 挨拶;

- レッスンの準備ができているかを確認します。

2. 基礎知識のアップデート。
前回のレッスンではどのようなトピックを取り上げましたか?

円方程式の全体像?

口頭で実行します。

ブリッツ投票

3. 新素材の導入。

あなたはどう思いますか、そして今日私たちはどのような数字を検討しますか... 2つある場合はどうなりますか？

どのようにしてそれらを見つけることができますか？

子どもたちは手（隣）で円の位置を示す方法を示します（体育）

さて、今日は何を考えるべきでしょうか?? 今日は 2 つの円の相対的な位置を考えてみましょう。そして、場所に応じて中心間の距離がどのくらいであるかを調べます。

レッスンのトピック: « 2 つの円の相互配置。問題解決。 »

1. 同心円

2. 交差しない円

3.外部タッチ

4. 交差する円

5. 内部タッチ

それでは結論を言いましょう

4. 技能・能力の形成

データまたはステートメント内のエラーを見つけて、自分の意見の理由を述べて修正します。

a) 2 つの円が接触しています。それらの半径は R = 8 cm と r = 2 cm、中心間の距離は d = 6 です。
B) 2 つの円には少なくとも 2 つの共通点があります。

C) R = 4、r = 3、d = 5。円には共通点がありません。

D）R \u003d 8、r \u003d 6、d \u003d 4。小さい円は大きい円の中にあります。

E) 2 つの円を、一方が他方の内側に収まるように配置することはできません。

5. スキルと能力の統合。

円は外側に接触します。小さい円の半径は 3 cm、大きい円の半径は 5 cm です。中心間の距離はいくらですか?

解：3+5=8(cm)

円は内部で接触しています。小さい円の半径は 3 cm、大きい円の半径は 5 cm、円の中心間の距離はいくらですか?

解：5-3=2(cm)

円は内部で接触しています。円の中心間の距離は 2.5 cm ですが、円の半径はいくつですか?

答え：（5.5cmと3cm）、（6.5cmと4cm）など。

理解を確認する

1) 2 つの円はどのようにして見つけられますか?

2) 円に共通点があるのはいつですか?

3) 2 つの円の共通点を何といいますか?

4) あなたはどんなタッチを知っていますか?

5) 円が交差するのはいつですか?

6) どのような円を同心円と呼びますか?

トピックに関する追加タスク: ベクトル。座標方法 「（時間があれば）

1)E(4;12)、F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) 検索:

a) ベクトル座標EF, GH

b) ベクトルの長さFG

c) 点O - 中央の座標EF

点座標W- 真ん中GH

d) 直径のある円の方程式FG

e) 直線の方程式FH

6. 宿題

&96#1000。これらの方程式のうち円方程式はどれですか。中心と半径を求める

7. レッスンのまとめ (3分)

（クラスと個々の生徒の取り組みを定性的に評価します）。

8. 反省の段階 (2分)

（絵の助けを借りて、生徒が自分の感情状態、活動、教師やクラスメートとの交流について振り返り始めます）

円は原点から中心までのベクトルとこの円の半径で与えられるものとします。

半径 Ra および Rb と半径ベクトル (中心に向かうベクトル) a および b を持つ円 A および B を考えます。しかもOaとObがその中心です。一般性を失わずに、Ra > Rb であると仮定します。

この場合、次の条件が満たされます。

タスク 1: 重要な貴族の邸宅

2 つの円の交点

A と B が 2 点で交差するとします。これらの交点を見つけてみましょう。

これを行うには、a から点 P へのベクトルを作成します。点 P は円 A 上にあり、OaOb 上にあります。これを行うには、2 つの中心間のベクトルとなるベクトル b - a を取得し、正規化し (同方向の単位ベクトルに置き換えて)、Ra を乗算する必要があります。結果として得られるベクトルは p として示されます。この構成は図で確認できます。 6

米。 6. ベクトル a、b、p とそれらが存在する場所。

i1 と i2 を a から 2 つの円の交点 I1 と I2 へのベクトルとして表します。 i1 と i2 は p から回転して得られることがわかります。なぜなら三角形 OaI1Ob と OaI2Ob のすべての辺 (半径と中心間の距離) がわかっているので、この角度 fi を得ることができ、ベクトル p を一方の方向に回転すると I1 が得られ、もう一方の方向では I2 が得られます。

コサインの法則によれば、それは次と等しくなります。

p を fi で回転すると、回転方向に応じて i1 または i2 が得られます。次に、ベクトル i1 または i2 を a に加算して交点を取得する必要があります。

この方法は、一方の円の中心がもう一方の円の内側にある場合でも機能します。しかし、正確には、ベクトル p は a から b の方向に設定する必要があり、それが私たちが行ったことです。別の円に基づいて p を構築しても、そこからは何も生まれません

結論として、すべてのことに言及しなければならない事実が 1 つあります。円が接触している場合、P が接触点であることを確認するのは簡単です (これは内部接触と外部接触の両方に当てはまります)。
ここで視覚化を確認できます (クリックして実行)。

タスク 2: 交差点

この方法は機能しますが、回転角度の代わりにコサインを計算し、それを介してサインを計算し、ベクトルを回転するときにそれらを使用できます。これにより、三角関数のコードが節約され、計算が大幅に簡素化されます。

ロシア連邦教育科学省

市立予算教育機関

ノヴォシビルスク市「第4体育館」

セクション: 数学

リサーチ

このトピックにおいて：

2 つの接触円の特性

10年生：

カジアフメトフ・ラディク・イルダロヴィチ

ズバレフ・エフゲニー・ウラジミロヴィッチ

監督者:

L.L. バリノバ

数学教師

最高の資格カテゴリー

§ 1.はじめに……………………………………………………………………………………3

§ 1.1 2 つの円の相互配置…………………………………………………………3

§ 2 性質とその証明…………………………………………..………………………….…4

§ 2.1 プロパティ 1…………………………………………………………..………………………….…4

§ 2.2 プロパティ 2…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 プロパティ 3…………………………………………………………………………6

§ 2.4 プロパティ 4…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§ 2.5 プロパティ 5……………………………………..………………………………………………8

§ 2.6 プロパティ 6……………………………………………………………………………………9

§ 3 タスク………………………………………………..……………………………………..…11

参考文献……………………………………………………………….13

§1. 序章

2 つの接円を伴う問題の多くは、後で説明するいくつかの性質を知っておくことで、より簡潔かつ簡単に解決できます。

2つの円の相互配置

まず、2 つの円の相互配置の可能性について説明します。 4 つの異なるケースが考えられます。

1. 円は交差できません。

2.クロスします。

3. 外側の 1 点をタッチします。

4. 内側の 1 点をタッチします。

§2. 性質とその証明

性質の証明に直接進みましょう。

§ 2.1 プロパティ 1

接線と円の交点間の線分は互いに等しく、これらの円の 2 つの幾何平均半径に等しい。

証拠 1. O 1 A 1 および O 2 V 1 - 接触点に描かれた半径。

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1、O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (段落 1 による)

▲O 1 O 2 D - 長方形、なぜなら O 2 D ┴ O 2 V 1
O 1 O 2 \u003d R + r、O 2 D \u003d R - r

ピタゴラスの定理によると、А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (同様に証明)

1) 円と接線の交点に半径を描きます。

2) これらの半径は接線に対して垂直であり、互いに平行になります。

3) 小さい円の中心から大きい円の半径に垂線を下ろします。

4) 結果として得られる直角三角形の斜辺は、円の半径の合計に等しくなります。脚はその差に等しい。

5) ピタゴラスの定理により、目的の関係が得られます。

§ 2.2 プロパティ 2

円の接点と交差し、円のどの接点にも存在しない線の交点は、その接点によって境界付けられる外接線のセグメントを部分に二等分し、それぞれの部分はこれらの円の半径の幾何平均に等しい。

証拠 1.MS= MA 1 (接線のセグメントとして)

2.MS = MV 1 (接線のセグメントとして)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr、A 2 N \u003d NB 2 \u003d √Rr（段落1および2による） )

証明に使用されたステートメント ある点からある円に引かれた接線のセグメントは等しいです。このプロパティは、指定された両方の円に使用します。

§ 2.3 プロパティ 3

外接線の間に囲まれた内接線のセグメントの長さは、接点間の外接線のセグメントの長さに等しく、これらの円の 2 つの幾何平均半径に等しい。

証拠この結論は、前の特性から導かれます。

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 プロパティ 4

接円の中心と、接点に描かれた半径間の接線の中点によって形成される三角形は長方形です。その脚の比率は、これらの円の半径の根の商に等しい。

証拠 1.MO 1 は角 A 1 MC の二等分であり、MO 2 は角 B 1 MC の二等分です。角に内接する円の中心は、その角の二等分線上にあります。

2. パラグラフ 1 によると、РО 1 МS + РСМО 2 = 0.5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0.5p = p/2

3.РО 1 MO 2 - ストレート。 MS - 三角形 O 1 MO 2 の高さ。接線 MN は接点に描かれた半径に垂直です → 三角形 О 1 МС と MO 2 С は相似です。

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R（類似性による）

証明に使用されたステートメント 1) 角に内接する円の中心は、その角の二等分線上にあります。三角形の足は角の二等分線です。

2) このようにして形成された角度が等しいという事実を利用して、探している角度が直角であることがわかります。この三角形は確かに直角三角形であると結論付けられます。

3) 直角三角形を高さ (接線が接点で描かれた半径に垂直であるため) で分割する三角形の相似性を証明し、相似性によって目的の比率を取得します。

§ 2.5 プロパティ 5

円どうしの接点と円どうしの接線との交点でできる三角形は直角三角形です。その脚の比率は、これらの円の半径の根の商に等しい。

証拠

▲А 1 МС と▲СМВ 1 は二等辺 → РМА 1 С = РМСА 1 = α、РМВ 1 С = РМСВ 1 = β。

2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 МS + РСМВ 1) = 2p - p = p、α + β = p/2

ただし、 RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - 直接 → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p/2 - β = α

▲A 1 MS と▲CO 2 B 1 は類似 → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

証明に使用されたステートメント 1) 三角形が二等辺であることを利用して、三角形の角度の和を描きます。二等辺三角形は、接線の等価性に関する性質を使用して証明されます。

2) このように角の合計を描画すると、検討中の三角形には直角があり、したがって長方形であることがわかります。ステートメントの最初の部分が証明されます。

3) 三角形の相似（位置揃えする場合は、2 つの角の相似の符号を使用します）によって、直角三角形の足の比率を求めます。

§ 2.6 プロパティ 6

円と接線の交点でできる四角形は円に内接する台形になります。

証拠 1.▲A 1 RA 2 と▲B 1 RV 2 は二等辺であるため、接線のセグメントとしてのA 1 P \u003d RA 2とB 1 P \u003d PB 2 → ▲A 1 RA 2と▲B 1 PB 2は似ています。

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2、なぜなら割線 A 1 B 1 の交点で形成される対応する角度は等しい。

MN - プロパティ 2 による中央線 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → 台形 A 2 A 1 B 1 B 2 では、底辺の和は辺の和に等しく、これは内接円が存在するための必要十分条件です。

証明に使用されたステートメント 1) 接線セグメントのプロパティをもう一度使用してみましょう。その助けを借りて、接線と接点の交点によって形成される二等辺三角形を証明します。

2) これから、これらの三角形の相似性と底辺の平行性がわかります。これに基づいて、この四角形は台形であると結論付けられます。

3) 先ほど証明した性質(2)より、台形の中線を求めます。これは、円の 2 つの幾何平均半径に等しくなります。得られる台形では、底辺の和と辺の和が等しく、これは内接円が存在するための必要十分条件です。

§ 3. タスク

実際の例を使用して、上記の特性を使用して問題の解決をどのように簡略化できるかを考えてみましょう。

タスク1

三角形ABCでは、一辺AC＝15cmで、三角形に円が内接します。 2 番目の円は最初の円と辺 AB および BC に接しています。線分 FM が円の共通接線となるように、点 F は辺 AB 上で選択され、点 M は辺 BC 上で選択されます。 FM が 4 cm、点 M が一方の円の中心からもう一方の円の中心からの 2 倍離れている場合、三角形 BFM と四角形 AFMC の面積の比を求めます。

与えられる: FM 共通正接 AC=15cm FM=4cm O 2 M=2O 1 M

S BFM /S AFMC を検索