詳細な解法を使用した関数の極限の計算。シーケンスと機能の制限

極限値を求める問題を解く極限値を求める問題を解くときは、毎回計算し直さないように、いくつかの極限値を覚えておく必要があります。これらの既知の制限を組み合わせて、§ 4 で示されたプロパティを使用して新しい制限を見つけます。便宜上、最も頻繁に発生する制限を示します。制限 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a)、f (x) が連続の場合 x a 関数が連続であることがわかっている場合は、極限を見つける代わりに関数の値を計算します。例 1. lim (x*-6l:+ 8) を求めます。多項 X->2 項関数は連続であるため、lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4 となります。 x-+2 x*_2x 4-1 例 2. 検索リム-G. 。まず、分母の極限を求めます。 lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; これは X-Y1 ゼロに等しくありません。つまり、プロパティ 4 § 4 を適用して、x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1 を適用できます。分母 X X はゼロに等しいため、§ 4 のプロパティ 4 は適用できません。分子は定数で、分母は [x2x) -> -0 (x - - 1 の場合)] であるため、分数全体は次のように無制限に増加します。絶対値、つまり lim " 1 X - * - - 1 x* + x 例 4. lim\-ll*"!"" "を求めます。分母の極限はゼロです: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0 であるため、X プロパティ 4 § 4 は適用されません。ただし、分子の極限もゼロに等しくなります: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0。したがって、分子と分母の極限は同時にゼロに等しくなります。ただし、数値 2 は分子と分母の両方の根であるため、分数は差 x-2 だけ減らすことができます (ベズーの定理による)。実際には、x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" したがって、xr- - f- 6 g x-3 -1 1 例 5. lim xn (n 整数、正) を求めます。 X とすると、 xn = X* X になります。。 X, n 回各因子は無制限に増加するため、積も無制限に増加します。つまり、lim xn = oo となります。 x oo 例 6. lim xn(n 整数、正) を求めます。 X -> - CO xn = x x... x となります。各因子は負の値を保ちながら絶対値で増加するため、偶数次数の場合、積は正の値を保ちながら無制限に増加します。つまり、lim *n = + oo (n が偶数の場合) となります。 *-* -о 奇数次の場合、積の絶対値は増加しますが、負のままです。つまり、lim xn = - oo (n が奇数の場合) となります。 p -- 00 例 7. lim を求めます。 x x-*- co * m>pu の場合、m = n + kt (k>0 の場合) と書くことができます。したがって、xm b lim -=- = lim -=-= lim x となります。 UP Yn x - x> A x yu 例 6 に来ました。If ti uTL xm I lim lim lim t。 X - O x -* yu A X -> co ここで、分子は一定のままで、分母は絶対値で増加するため、lim -ь = 0 となります。 X - *oo X* この例の結果は、次の形式: べき乗関数は、指数が大きくなるほど速く増加します。 $хв_Зхг + 7 例 8. lim g L -г-= を求めます。この例では、x-*® «J* "Г bХ -ох-о と分子と分母が際限なく増加します。分子と分母の両方を除算してみましょう。分母を x の最大乗、つまり xb で計算すると、3 7_ 例 9. リラを求める... 変換を実行すると、リラが得られます... ^ = lim X CO + 3 7 3 lim -5 = 0 であるため、lim - , = 0 の場合、分母 rad-*® X X-+-CD X の限界は 0 ですが、分子の限界は 1 です。その結果、分数全体は無制限に増加します。つまり、 t. 7x hm X-+ yu 例10. lim を求める cos* 関数が連続であることを思い出して、分母の極限 S を計算しましょう: lira (2 + cos x) = 2 + cozy = 2。そして、x->- S lim (l-fsin*)例 15. lim * を求める<*-e>2 と lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO press (l: - a)2 = z; (Λ;-a)2 は x に関して常に非負に無制限に増加するため、x - ±oo に対して新しい変数 z-*oc になります。したがって、qt £ を取得します。<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (§5 の注を参照)。 g -*■ co 同様に、x ± oo g m - (x- a)z は x ->±oo として無制限に減少するため、lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q となります (§ の注を参照)

極限はすべての数学学生に多くの悩みを与えます。制限を解決するには、多くのトリックを使用し、さまざまな解決方法から特定の例に適したものを正確に選択する必要がある場合があります。

この記事では、自分の能力の限界や制御の限界を理解するのに役立ちませんが、高等数学の限界をどのように理解するかという質問には答えようとします。理解には経験が必要です。同時に、制限を解くための詳細な例をいくつか示し、説明します。

数学における極限の概念

最初の質問は、この制限は何で、何の制限なのかということです。数列と関数の限界について話すことができます。関数の極限という概念に興味があるのは、学生が最も頻繁に遭遇する概念だからです。まず、最も一般的な制限の定義を以下に示します。

何らかの変数値があるとします。この値が変化していく過程で、ある数値に限りなく近づくと、ある、それある – この値の制限。

一定の間隔で定義された関数の場合 f(x)=y このような数値は限界と呼ばれますあ、この関数は次のような傾向があります。バツ、ある点に向かう傾向があるあ。ドットあ関数が定義されている間隔に属します。

難しそうに聞こえますが、非常に簡単に書くと次のようになります。

リム- 英語から限界- 限界。

限界を決定するための幾何学的説明もありますが、問題の理論的側面よりも実際的な側面に興味があるため、ここでは理論については掘り下げません。そう言うとバツこれは、変数が数値の値を取るのではなく、その数値に限りなく近づくことを意味します。

具体的な例を挙げてみましょう。課題は限界を見つけることです。

この例を解決するには、次の値を代入します。 x=3 関数に変換します。我々が得る：

ちなみに、興味があれば、このトピックに関する別の記事をお読みください。

例でバツあらゆる値に傾く可能性があります。任意の数値または無限大を指定できます。以下にその例を示します。バツ無限大に向かう傾向があります:

直感的には、分母の数値が大きくなるほど、関数が取る値は小さくなります。だから、無限の成長とともにバツ意味 1/x 減少してゼロに近づきます。

ご覧のとおり、制限を解決するには、関数に求める値を代入するだけです。バツ。ただし、これは最も単純なケースです。多くの場合、限界を見つけるのはそれほど明白ではありません。制限内には次のような不確実性があります。 0/0 または 無限/無限 。このような場合はどうすればよいでしょうか? トリックに頼ってみよう！

内なる不確実性

無限/無限の形の不確実性

制限を設けましょう:

関数に無限大を代入しようとすると、分子と分母の両方が無限大になります。一般に、このような不確実性を解決するには、ある種の芸術的要素があると言う価値があります。不確実性がなくなるように関数をどのように変換できるかに注目する必要があります。私たちの場合、分子と分母を次のように割ります。バツ上級学位で。何が起こるか？

すでに上で説明した例から、分母に x を含む項はゼロになる傾向があることがわかります。その場合、制限に対する解決策は次のようになります。

型の不確実性を解決するには 無限/無限分子と分母を次の値で割ります。バツ最高度に。

ところで！読者の皆様には 10% 割引が適用されます。

別の種類の不確実性: 0/0

いつものように、関数に値を代入します x=-1 与える 0 分子と分母で。もう少し詳しく見てみると、分子に二次方程式があることがわかります。ルーツを見つけて次のように書いてみましょう。

削減して取得しましょう:

したがって、型の不確実性に直面した場合は、 0/0 – 分子と分母を因数分解します。

例を解決しやすくするために、いくつかの関数の制限を示した表を示します。

ロピタルのルール

両方の種類の不確実性を排除するもう 1 つの強力な方法。その手法の本質とは何でしょうか？

極限に不確実性がある場合は、不確実性がなくなるまで分子と分母の導関数を求めます。

ロピタルのルールは次のようになります。

大事なポイント : 分子と分母の代わりに分子と分母の微分が成立する極限が存在しなければなりません。

そして今 - 実際の例:

典型的な不確実性がある 0/0 。分子と分母の導関数を考えてみましょう。

ほら、不確実性は迅速かつエレガントに解決されます。

この情報を実際に有効に適用して、「高等数学の極限を解く方法」という質問に対する答えを見つけられることを願っています。ある時点で数列の極限または関数の極限を計算する必要があり、その作業にまったく時間がない場合は、専門の学生サービスに問い合わせて、迅速かつ詳細な解決策を入手してください。

このトピックでは、上に挙げた非合理性を伴う制限の 3 つのグループすべてを検討します。 $\frac(0)(0)$ の形式の不確実性を含む制限から始めましょう。

不確実性の開示 $\frac(0)(0)$。

このタイプの標準的な例に対する解決策は、通常、次の 2 つのステップで構成されます。

いわゆる「共役」式を乗算することで、不確実性の原因となった非合理性を取り除きます。
必要に応じて、式を分子または分母 (あるいはその両方) で因数分解します。
不確実性をもたらす要因を軽減し、制限の望ましい値を計算します。

上で使用した用語「共役表現」については実施例で詳しく説明する。今のところ、これについて詳しく説明する必要はありません。一般に、共役式を使用せずに、他の方法を使用することもできます。場合によっては、代替品を適切に選択することで不合理を解消できる場合があります。このような例は標準テストではまれであるため、置換の使用については 1 つの例 No. 6 のみを検討します (このトピックの後半を参照)。

いくつかの式が必要になりますので、以下に書き留めておきます。

\begin(方程式) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(方程式) \begin(方程式) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(方程式) \begin(方程式) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(方程式) \begin (式) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(式)

さらに、読者は二次方程式を解くための公式を知っていることを前提としています。 $x_1$ と $x_2$ が 2 次三項式 $ax^2+bx+c$ の根である場合、次の式を使用して因数分解できます。

\begin(方程式) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(方程式)

式 (1) ～ (5) は標準的な問題を解くのに十分ですので、次に進みます。

例その1

$\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ を見つけます。

$\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ なので $\lim_(x\ は3) (x-3)=3-3=0$ の場合、指定された制限内には $\frac(0)(0)$ という形式の不確実性が生じます。 $\sqrt(7-x)-2$ の差により、この不確実性を明らかにすることができません。このような不合理を取り除くために、いわゆる「共役式」による乗算が使用されます。次に、このような乗算がどのように機能するかを見ていきます。 $\sqrt(7-x)-2$ と $\sqrt(7-x)+2$ を掛けます。

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

括弧を開くには、前述の式の右側に $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ を代入してを適用します。

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

ご覧のとおり、分子に $\sqrt(7-x)+2$ を掛けると、分子の根 (つまり、無理数) が消えます。この式 $\sqrt(7-x)+2$ は次のようになります。共役$\sqrt(7-x)-2$ という式に変換します。ただし、単純に分子に $\sqrt(7-x)+2$ を掛けることはできません。これにより、分数 $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ が変化してしまいます。限界以下。分子と分母の両方を同時に乗算する必要があります。

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

ここで $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ を思い出し、括弧を開けてください。そして括弧を開いて小さな変換 $3-x=-(x-3)$ を行った後、分数を $x-3$ だけ減らします。

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

不確実性 $\frac(0)(0)$ は消えました。これで、この例の答えを簡単に得ることができます。

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

共役式は、どのような種類の非合理性を除去する必要があるかに応じて、その構造が変化する可能性があることに注意してください。例 4 と 5 (このトピックの 2 番目の部分を参照) では、異なるタイプの共役式が使用されます。

答え: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$。

例その2

$\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ を見つけます。

$\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ なので2-19)=3-3=0$ および $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$ とすると、次のようになります。 $\frac(0)(0)$ という形式の不確実性を扱っています。この分数の分母にある無理を取り除きましょう。これを行うには、分数 $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ の分子と分母の両方を式 $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ は分母と共役します。

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) $$

ここでも、例 No. 1 と同様に、展開するには括弧を使用する必要があります。上記の式の右辺に $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ を代入すると、分母として次の式が得られます。

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ right)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

限界に戻りましょう:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

例 No. 1 では、共役式による乗算のほぼ直後に、分数が減少しました。ここでは、リダクションの前に、式 $3x^2-5x-2$ と $x^2-4$ を因数分解し、それからリダクションに進む必要があります。式 $3x^2-5x-2$ を因数分解するには、を使用する必要があります。まず、二次方程式 $3x^2-5x-2=0$ を解いてみましょう。

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(整列) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2。 \end(整列) $$

$x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ をに代入すると、次のようになります。

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2)。 $$

次に、式 $x^2-4$ を因数分解します。 $a=x$, $b=2$ を代入してを使用してみましょう:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

得られた結果を使ってみましょう。 $x^2-4=(x-2)(x+2)$ および $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$ なので、次のようになります。

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

括弧 $x-2$ で減算すると、次のようになります。

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^) 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2)。 $$

全て！不確実性は消えました。もう一歩進めば、次の答えにたどり着きます。

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4)。 $$

答え: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$。

次の例では、分数の分子と分母の両方に無理数が存在する場合を考えます。

例その3

$\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) を求めます。 ))$。

$\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ なので $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$ の場合、$ の形式の不確実性が生じます。 \frac (0)(0)$。この場合、分母と分子の両方に根が存在するため、不確実性を取り除くには、一度に 2 つの括弧を掛ける必要があります。まず、式 $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ を分子に共役させます。次に、式 $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ を分母に共役させます。

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(整列) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4。 \end(整列) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4)。 $$

式 $x^2-8x+15$ の場合、次のようになります。

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(整列) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5。 \end(位置合わせ)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5)。 $$

結果の展開 $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ と $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ を制限値に代入します。検討中:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6。 $$

答え: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=-6$。

次の (2 番目) パートでは、共役式が前の問題とは異なる形式を持つ例をさらにいくつか検討します。覚えておくべき主な点は、共役表現を使用する目的は、不確実性の原因となる不合理性を取り除くことであるということです。

初等関数とそのグラフ。

主な初等関数には、べき乗関数、指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数、および多項式と 2 つの多項式の比である有理関数があります。

初等関数には、基本的な四則演算を応用して複素関数を構成した関数も含まれます。

初等関数のグラフ

	直線- 一次関数のグラフ y = ax + b。関数 y は、a > 0 の場合は単調増加し、a の場合は単調減少します。< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	放物線- 2次三項関数のグラフ y = ax 2 + bx + c。垂直対称軸を持っています。 a > 0 の場合、最小値があります。< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c =0
	双曲線- 関数のグラフ。 a > O の場合は I および III 四半期に位置し、a の場合は< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) または y - - x(a< 0).
	指数関数。出展者(e を底とする指数関数) y = e x。 (別の綴り y = exp(x)）。漸近線は横軸です。
	対数関数 y = log a x(a > 0)
	y = sinx。正弦波- 周期 T = 2π の周期関数

機能制限。

関数 y=f(x) は、任意の数値 ε › 0 に対して、次のような数値 δ › 0 が存在する場合、x が a になる傾向があるため、限界として数値 A を持ちます。 y – A | ‹ ε if |x - a| ‹ δ、

または lim y = A

機能の継続性。

関数 y=f(x) は、lim f(x) = f(a) の場合、点 x = a で連続です。

点 x = a における関数の極限は、指定された点における関数の値に等しい。

機能の限界を見つける。

関数の極限に関する基本定理。

1. 定数値の制限は、次の定数値と等しくなります。

2. 代数和の極限は、次の関数の極限の代数和に等しくなります。

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. いくつかの関数の積の限界は、次の関数の限界の積に等しいです。

lim (f * g * h) = lim f * lim g * lim h

4. 分母の限界が 0 に等しくない場合、2 つの関数の商の限界は、これらの関数の限界の商と等しくなります。

リム---------- = ----------

最初の顕著な制限: lim --------- = 1

2 番目の注目すべき極限: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

関数の限界を見つける例。

5.1. 例：

制限は次の 3 つの部分で構成されます。

1) よく知られた制限アイコン。

2) 制限アイコンの下のエントリ。エントリには「X は 1 の傾向がある」と書かれています。ほとんどの場合、これは x ですが、「x」の代わりに他の変数を使用することもできます。 1 の代わりに、無限の 0 や . だけでなく、任意の数値を使用することもできます。

3) この場合、限界記号の下にある関数。

録音自体はこれは次のようになります: 「x としての関数の極限は 1 になる傾向がある。」

非常に重要な質問です。「x」という表現は何を意味しますか? 努力する 1つに？「×」という表現 努力する「x は一貫して値をとります」というように理解する必要があります。 それは無限に統一に近づき、実質的に一致します。

上記の例を解決するにはどうすればよいでしょうか? 上記に基づいて、限界記号の下の関数に 1 つを代入するだけです。

そこで最初のルールは : 制限が与えられた場合は、まずその数値を関数に代入します。

5.2. 無限大の例:

それが何なのか考えてみましょう? 際限なく増えていくとこんな感じです。

だから: もし 、次に関数 マイナス無限大になる傾向があります:

最初のルールに従って、「X」の代わりに関数に代入します。 無限大、そして答えが得られます。

5.3. 無限を使用した別の例:

再び無限に増加し始め、関数の動作を確認します。
結論：機能は無限に増える

5.4. 一連の例:

次の例を自分で頭の中で分析し、最も単純な種類の制限を解決してみてください。

, , , , , , , , ,

上記から何を覚えて理解する必要がありますか?

制限が与えられた場合は、まずその数値を関数に代入します。同時に、次のような最も単純な制限を理解し、すぐに解決する必要があります。 , , 等

6. タイプの不確実性を伴う制限 そしてそれらを解決する方法。

ここで、関数が分子と分母に多項式を含む分数である場合の極限のグループを考えます。

6.1. 例：

制限値の計算

私たちのルールに従って、関数に無限大を代入しようとします。頂上では何が得られるのでしょうか？無限大。そして、下では何が起こるでしょうか？無限大も。したがって、いわゆる種の不確実性が存在します。 = 1 であり、答えは準備できていると考える人もいるかもしれませんが、一般的な場合はそうではなく、何らかの解決テクニックを適用する必要があります。これについてはこれから検討します。

このタイプの制限を解決するにはどうすればよいでしょうか?

まず分子を見て、最高の検出力を見つけます。

分子の進みべき乗は 2 です。

次に、分母を見て、それを最大累乗して求めます。

分母の最高次数は 2 です。

次に、分子と分母の最大のべき乗を選択します。この例では、それらは同じで 2 に等しいです。

ということで、解決方法は以下の通りです。不確実性を明らかにする 分子と分母を次のように割る必要があります。 上級学位で。

したがって、答えは 1 ではありません。

例

限界を見つける

ここでも分子と分母で最高次数がわかります。

分子の最大次数: 3

分母の最大次数: 4

選ぶ 最高の値、この場合は 4 です。
私たちのアルゴリズムによれば、不確実性を明らかにするには、分子と分母をで割ります。

例

限界を見つける

分子の「X」の最大次数: 2

分母の「X」の最大次数: 1 (次のように記述できます)
不確実性を明らかにするには、分子と分母をで割る必要があります。最終的な解決策は次のようになります。

分子と分母を次で割ります。

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