物理学における安定平衡と不安定平衡。 静力学

機械システムの平衡とは、考慮されるシステムのすべての点が、選択された基準フレームに対して静止している状態です。

任意の軸周りの力のモーメントは、この力 F とアーム d の大きさの積です。

平衡条件を見つける最も簡単な方法は、最も単純な機械システムの例、つまり質点です。 力学の第 1 法則 (「力学」を参照) によると、慣性座標系における質点の静止 (または一様な直線運動) の条件は、それに加えられるすべての力のベクトル和がゼロに等しいことです。

より複雑な機械システムへの移行では、平衡のためのこの条件だけでは十分ではありません。 補償されていない外力によって引き起こされる並進運動に加えて、複雑な機械システムは回転運動または変形を実行できます。 絶対剛体の平衡条件を見つけてみましょう - 相互距離が変化しない粒子の集まりで構成される機械システムです。

機械システムの並進運動 (加速度を伴う) の可能性は、システムのすべてのポイントに適用される力の合計がゼロに等しいことを必要とする質点の場合と同じ方法で排除できます。 これは、機械システムの平衡の最初の条件です。

この場合、剛体は変形できません。これは、その点間の相互距離が変わらないことに同意したためです。 しかし、質点とは異なり、絶対的な剛体の異なる点に、一対の等しく反対向きの力を加えることができます。 さらに、これら 2 つの力の合計はゼロに等しいため、考えられる並進運動の機械システムは機能しません。 ただし、このような一対の力の作用下で、体が何らかの軸を中心に回転し始め、角速度が増加し続けることは明らかです。

検討中のシステムで回転運動が発生するのは、補償されていない力のモーメントが存在するためです。 任意の軸周りの力のモーメントは、腕 $d,$ によるこの力 $F$ の大きさ、つまり、軸が通過する点 $O$ (図を参照) から垂線を下ろした長さの積です。 、力の方向によって。 この定義による力のモーメントは代数的な量であることに注意してください。力が反時計回りの回転につながる場合は正と見なされ、それ以外の場合は負と見なされます。 したがって、剛体の平衡の 2 番目の条件は、任意の回転軸の周りのすべての力のモーメントの合計がゼロに等しいという要件です。

見つかった両方の平衡条件が満たされる場合、力が作用し始めた瞬間にそのすべての点の速度がゼロに等しければ、剛体は静止します。 そうしないと慣性で等速運動になってしまいます。

考慮された機械システムの平衡の定義は、システムが平衡位置からわずかに離れた場合に何が起こるかについて何も述べていません。 この場合、3 つの可能性があります。システムは以前の平衡状態に戻ります。 偏差があっても、システムは平衡状態を変えません。 システムは均衡を失います。 最初のケースは安定した平衡状態、2番目は無関心、3番目は不安定と呼ばれます。 平衡位置の性質は、システムの位置エネルギーの座標への依存性によって決まります。 この図は、3 種類のバランスすべてを、くぼみにある重いボール (安定したバランス)、滑らかな水平テーブル (無関心)、結節の上 (不安定) の例で示しています。

機械システムの平衡の問題に対する上記のアプローチは、古代世界の科学者によって検討されました。 そのため、3 世紀にアルキメデスによってテコ (つまり、回転軸が固定された剛体) の平衡の法則が発見されました。 紀元前 e.

1717 年、ヨハン ベルヌーイは、機械システムの平衡条件を見つけるためのまったく異なるアプローチ、つまり仮想変位法を開発しました。 これは、エネルギー保存則から生じる結合反力の特性に基づいています。システムが平衡位置からわずかにずれると、結合反力の総仕事はゼロになります。

静力学の問題を解決する場合 (「力学」を参照)、上記の平衡条件に基づいて、システムに存在する接続 (サポート、スレッド、ロッド) は、それらに発生する反力によって特徴付けられます。 複数の物体で構成されるシステムの場合、平衡条件を決定する際にこれらの力を考慮する必要があるため、計算が煩雑になります。 ただし、結合反力の仕事は、平衡位置からのわずかな偏差ではゼロに等しいという事実により、これらの力を一般的に考慮することを避けることができます。

反力に加えて、外力も機械システムのポイントに作用します。 平衡位置からわずかにずれている彼らの仕事は何ですか？ システムは最初は静止しているため、システムが移動する場合は、何らかの積極的な作業を行う必要があります。 原則として、この仕事は外力と結合の反力の両方によって行うことができます。 しかし、すでに知っているように、反力の総仕事はゼロです。 したがって、システムが平衡状態を離れるためには、可能な変位に対する外力の総仕事量が正でなければなりません。 したがって、運動が不可能である条件、つまり平衡条件は、外力の総仕事が可能な変位に対して非正であるという要件として定式化できます: $ΔA≤0.$

システム $Δ\overrightarrow(γ)_1…\ Δ\overrightarrow(γ)_n$ の点が移動するとき、外力の仕事の合計が $ΔA1.$ に等しいことが判明したと仮定しましょう。 $−Δ\overrightarrow(γ )_1,−Δ\overrightarrow(γ)_2,\ …,−Δ\overrightarrow(γ)_n?$ これらの変位は、最初のものと同じ方法で可能です。 ただし、外力の仕事は符号を変更します: $ΔA2 =−ΔA1.$ 前のケースと同様に議論すると、システムの平衡条件は次の形式を持つという結論に達します: $ΔA1≥0,$つまり、外力の仕事は非負でなければなりません。 これらの 2 つのほぼ矛盾する条件を「調整」する唯一の方法は、平衡位置からのシステムの可能な (仮想) 変位に対して、外力の全仕事がゼロに正確に等しいことを要求することです: $ΔA=0.$ 可能 (ここでの仮想）変位は、システムの無限の精神的変位を意味し、システムに課せられた接続と矛盾しません。

したがって、仮想変位の原理の形での機械システムの平衡状態は、次のように定式化されます。

「理想的な接続を備えた機械システムの平衡にとって、可能な変位に対して力のシステムに作用する基本的な仕事の合計がゼロに等しいことが必要かつ十分です。」

仮想変位の原理を使用して、静力学だけでなく、静水力学と静力学の問題も解決されます。

この講義では、次の質問について説明します。

1. 機械システムの平衡条件。

2. 平衡の安定性。

3. 平衡位置を決定し、その安定性を調べる例。

これらの問題の研究は、分野「機械部品」の平衡位置に対する機械システムの振動運動を研究し、分野「機械と機構の理論」および「材料の強度」の問題を解決するために必要です。

機械システムの運動の重要なケースは、振動運動です。 振動は、機械システムがその位置のいくつかに関して繰り返される動きであり、時間内に多かれ少なかれ規則的に発生します。 コースワークでは、平衡位置 (相対または絶対) に対する機械システムの振動運動を考慮します。

機械システムは、安定した平衡位置の近くでのみ、十分に長い時間振動することができます。 したがって、振動運動の方程式を作成する前に、平衡位置を見つけてその安定性を調べる必要があります。

機械系の平衡条件。

可能な変位の原理 (静力学の基本方程式) によれば、理想的、静止的、閉じ込め的、およびホロノミックな制約が課せられた機械システムが平衡状態にあるためには、すべての一般化された力が平衡状態にあることが必要かつ十分です。このシステムはゼロに等しくなります:

どこ は、に対応する一般化された力です。 j-ああ、一般化された座標;

s- 機械システムの一般化された座標の数。

検討中のシステムの運動の微分方程式が第 2 種ラグランジュ方程式の形式でコンパイルされている場合、可能な平衡位置を決定するには、一般化された力をゼロと見なし、結果の方程式を次に関して解くだけで十分です。一般化された座標。

機械システムが潜在的な力場で平衡状態にある場合、式 (1) から次の平衡条件が得られます。

したがって、平衡位置では、位置エネルギーは極値を持ちます。 上記の式で定義されたすべての均衡が実際に実現できるわけではありません。 平衡位置から逸脱したときのシステムの動作に応じて、この位置の安定性または不安定性について話します。

バランスの安定性

平衡位置の安定性の概念の定義は、19 世紀の終わりにロシアの科学者 A. M. リアプノフの作品で与えられました。 この定義を見てみましょう。

計算を簡素化するために、一般化された座標についてさらに同意します q 1 、q 2 ,...,q s システムの平衡位置から数える：

どこ

任意の小さな数の場合、平衡位置は安定していると呼ばれます別の番号を見つけることができます 、一般化された座標と速度の初期値が超えない場合:

システムのさらなる運動中の一般化された座標と速度の値は超えません .

言い換えれば、システムの平衡位置 q 1 = q 2 = ...= q s= 0が呼び出されます 持続可能な、そのような十分に小さい初期値を常に見つけることができる場合、システムの運動平衡位置の特定の任意の小さな近傍を離れることはありません. 自由度が 1 のシステムの場合、システムの安定した運動は位相平面で視覚化できます (図 1)。安定した平衡位置の場合、エリアから始まる代表点の移動 [ ] , 将来的には領域を超えない.

図1

平衡位置と呼ばれる 漸近的に安定 、時間の経過とともにシステムが平衡位置に近づく場合、つまり

平衡位置の安定性の条件を決定することはかなり難しい作業です。したがって、最も単純なケース、つまり保守的なシステムの平衡の安定性の研究に限定します。

そのようなシステムの平衡位置の安定性のための十分な条件は、次のように定義されます。 ラグランジュ - ディリクレの定理 : 保守的な機械システムの平衡位置は、平衡位置でシステムのポテンシャル エネルギーが孤立した最小値を持つ場合に安定です。 .

機械系の位置エネルギーは、定数まで決定されます。 この定数を選択して、平衡位置でポテンシャル エネルギーがゼロになるようにします。

P(0)=0。

次に、自由度が 1 のシステムの場合、孤立した最小値が存在するための十分条件は、必要条件 (2) とともに、次の条件になります。

平衡位置では、ポテンシャルエネルギーは孤立した最小値を持ち、 P(0)=0 、次にこの位置の有限の近傍で

P(q)=0。

定数符号を持ち、すべての引数がゼロの場合にのみゼロに等しい関数が呼び出されます 符号限定. したがって、機械系の平衡位置が安定するためには、この位置の近くで、ポテンシャル エネルギーが一般化された座標の正に定義された関数であることが必要かつ十分です。

線形システム、および平衡位置からの小さな偏差に対して線形に縮小できる (線形化された) システムの場合、ポテンシャル エネルギーは一般化された座標の 2 次形式として表すことができます。

どこ - 一般化された剛性係数。

一般化係数一連のポテンシャル エネルギーの展開から、または平衡位置の一般化された座標に関するポテンシャル エネルギーの 2 次導関数の値から直接決定できる定数です。

式 (4) から、一般化された剛性係数は指数に関して対称であることがわかります。

為に 、平衡位置の安定性のための十分な条件を満たすために、ポテンシャル エネルギーは、その一般化された座標の正定 2 次形式でなければなりません。

数学にはある シルベスターの基準 、二次形式の正定値の必要十分条件を与えます。 二次形式 (3) は、その係数とすべての主対角マイナーで構成される行列式が正の場合、つまり正定値になります。 係数の場合 条件を満たすだろう

.....

特に、自由度が 2 の線形システムの場合、位置エネルギーとシルベスター基準の条件は次の形式になります。

同様に、ポテンシャルエネルギーの代わりに還元系のポテンシャルエネルギーを考慮に入れると、相対平衡の位置を調べることができます。

P 平衡位置を決定し、その安定性を調べる例

図2

チューブからなる機械システムを考えてみましょう AB、これがピボットです OO 1回転の水平軸に接続され、摩擦なしでチューブを通って移動し、点に接続されているボール あスプリング付きチューブ（図2）。 システムの平衡位置を決定し、次のパラメータの安定性を評価してみましょう: チューブの長さ l 2 = 1 メートル , ロッドの長さ l 1 = 0,5 メートル . 変形していないばねの長さ l 0 = 0.6m、バネレート c= 100N/m。 チューブ重量 メートル 2 = 2 kg、ロッド - メートル 1=1kg そしてボール - メートル 3 = 0.5kg。 距離 OA等しい l 3 = 0.4 m。

検討中の系の位置エネルギーの式を書きましょう。 これは、均一な重力場内の 3 つの物体の位置エネルギーと、変形したばねの位置エネルギーで構成されます。

重力場内の物体の位置エネルギーは、物体の重量と、位置エネルギーがゼロと見なされる平面からの重心の高さの積に等しくなります。 ロッドの回転軸を通る平面内の位置エネルギーをゼロとします。 OO 1 、次に重力

弾性力の場合、位置エネルギーは変形量によって決まります。

システムの可能な平衡位置を見つけてみましょう。 平衡位置の座標値は、次の連立方程式の根です。

同様の連立方程式は、自由度が 2 の任意の機械システムに対してコンパイルできます。 場合によっては、システムの正確な解を得ることができます。 システム (5) の場合、そのような解は存在しないため、数値法を使用して根を求める必要があります。

超越方程式系 (5) を解くと、2 つの可能な平衡位置が得られます。

得られた平衡位置の安定性を評価するために、一般化された座標に関するポテンシャル エネルギーのすべての 2 次導関数を見つけ、それらから一般化された剛性係数を決定します。

機械系の平衡機械系のすべての点が、検討中の参照フレームに対して静止している状態です。 参照のフレームが慣性である場合、平衡が呼び出されます 絶対の、慣性でない場合 — 相対的.

絶対剛体の平衡条件を見つけるには、それを多数の十分に小さい要素に精神的に分割する必要があります。各要素は、質点で表すことができます。 これらすべての要素は互いに相互作用します - これらの相互作用力は呼ばれます 内部. さらに、外力は体の多くの点に作用する可能性があります。

ニュートンの第 2 法則によれば、点の加速度がゼロになる (静止点の加速度がゼロになる) には、その点に作用する力の幾何学的合計がゼロでなければなりません。 ボディが静止している場合、そのすべての点 (要素) も静止しています。 したがって、体の任意の点について、次のように書くことができます。

に作用するすべての外力と内力の幾何学的合計はどこにありますか 私 body の th 要素。

この方程式は、物体の平衡のために、この物体の任意の要素に作用するすべての力の幾何学的合計がゼロに等しいことが必要かつ十分であることを意味します。

から、物体 (物体のシステム) の平衡の最初の条件を簡単に取得できます。 これを行うには、体のすべての要素の方程式を合計するだけで十分です。

.

2 番目の合計は、ニュートンの第 3 法則に従ってゼロに等しくなります。システムのすべての内部力のベクトル合計はゼロに等しくなります。これは、任意の内部力が、絶対値が等しく、方向が反対の力に対応するためです。

その結果、

.

剛体の平衡の最初の条件(身体系)は、ボディに加えられるすべての外力の幾何学的合計のゼロに等しいです。

この条件は必要ですが、十分ではありません。 これは、力のペアの回転作用を思い出すことで簡単に確認できます。これらの力の幾何学的合計もゼロに等しくなります。

剛体の平衡の 2 番目の条件任意の軸に対して、ボディに作用するすべての外力のモーメントの合計がゼロに等しくなります。

したがって、任意の数の外力の場合の剛体の平衡条件は次のようになります。

.

クラス： 10

レッスンのプレゼンテーション

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レッスンの目的:体の平衡状態を研究し、さまざまなタイプの平衡に精通する。 体が平衡状態にある条件を見つけます。

レッスンの目的:

• トレーニング：平衡の 2 つの条件、平衡の種類 (安定、不安定、無関心) を研究する。 体がより安定する条件を見つけてください。
• 現像：物理学への認知的関心の発達を促進する。 比較、一般化、主なものの強調、結論を引き出すスキルの開発。
• 教育:注意力、自分の視点を表現し、それを擁護する能力、生徒のコミュニケーション能力を養う。

レッスンの種類:コンピューターをサポートして新しい教材を学ぶレッスン。

装置：

1. ディスク「仕事と力」より「電子の授業とテスト。
2. 表「平衡条件」。
3. 垂線で傾いたプリズム。
4. ジオメトリック ボディ: 円柱、立方体、円錐など。
5. コンピューター、マルチメディア プロジェクター、インタラクティブ ホワイトボードまたはスクリーン。
6. プレゼンテーション。

授業中

今日のレッスンでは、クレーンが落ちない理由、Roly-Vstanka おもちゃが常に元の状態に戻る理由、ピサの斜塔が落ちない理由を学びます。

I. 知識の反復と更新。

1. ニュートンの第一法則を定式化します。 法律の現状は？
2. ニュートンの第 2 法則はどのような質問に答えますか? 公式と言葉遣い。
3. ニュートンの第 3 法則はどのような質問に答えますか? 公式と言葉遣い。
4. 合力は何ですか？ 彼女はどうですか？
5. ディスク「運動と物体の相互作用」から、タスクNo. 9「異なる方向の力の合力」（ベクトル加算の規則（2、3演習））を完了します。

Ⅱ． 新しい教材を学ぶ。

1. 平衡とは何ですか?

バランスは休息の状態です。

2. 平衡条件。(スライド 2)

a) 体はいつ休んでいますか? これは何の法律に由来するのですか？

最初の平衡条件:物体に加えられた外力の幾何学的合計がゼロの場合、物体は平衡状態にあります。 ∑ F = 0

b) 図に示すように、ボードに 2 つの等しい力を作用させます。

彼女はバランスが取れていますか？ （いいえ、彼女は変わります）

中心点だけが静止し、他の点は移動します。 これは、物体が平衡状態にあるためには、各要素に作用するすべての力の合計が 0 に等しくなる必要があることを意味します。

2 番目の平衡条件:時計回りに作用する力のモーメントの合計は、反時計回りに作用する力のモーメントの合計に等しくなければなりません。

∑ M 時計回り = ∑ M 反時計回り

力のモーメント: M = F L

L - 力の肩 - 支点から力の作用線までの最短距離。

3. 体の重心とその位置。(スライド 4)

体の重心- これは、身体の個々の要素に作用するすべての平行な重力の合力が通過するポイントです (空間内の身体の任意の位置で)。

次の図の重心を求めます。

4. 天びんの種類。

a) (スライド 5～8)

結論：平衡位置からわずかにずれても、平衡位置に戻ろうとする力がある場合、平衡は安定しています。

その位置エネルギーが最小の位置が安定です。 (スライド 9)

b) 支点または支点にある物体の安定性。(スライド 10～17)

結論：支持点または支持線上にある物体が安定するためには、重心が支持点（線）よりも下にある必要があります。

c) 平面上の物体の安定性。

(スライド 18)

1) 支持面- これは必ずしも体と接触する面ではありません (ただし、テーブルの脚、三脚を結ぶ線によって制限される面)

2）「電子レッスンとテスト」、ディスク「仕事と力」、レッスン「バランスの種類」からのスライドの分析。

写真1。

1. 便はどう違うの？ (平方フィート)
2. どちらがより安定していますか？ （面積が大きい場合）
3. 便はどう違うの？ （重心位置）
4. 一番安定しているのはどれですか？ （どちらの重心が低いか）
5. なんで？ （転倒することなく、より大きな角度に偏向できるため）

3) 偏角プリズムの経験

1. ボードに垂直線のある角柱を置き、徐々に一方の端に持ち上げてみましょう。 私たちは何を見ますか？
2. 垂直線がサポートによって境界付けられたサーフェスを横切る限り、バランスは維持されます。 しかし、重心を通過する垂直線が支持面の境界を超え始めるとすぐに、本棚がひっくり返ります。

解析中 スライド 19 ～ 22.

結論:

1. 支持面積が一番大きい体が安定します。
2. 同じ面積の2つの物体のうち、重心が低い方が安定するのは、 大きな角度でひっくり返ることなくそらすことができます。

解析中 スライド 23 ～ 25。

どの船が最も安定していますか? なんで？ （貨物が甲板上ではなく船倉内にある場合）

最も安定している車は何ですか? なんで？ （コーナーでの安定性を高めるため、路盤をコーナー方向に傾斜させています。）

結論:平衡は、安定、不安定、無関心のいずれかです。 体の安定性は大きくなり、サポート領域が大きくなり、重心が低くなります。

III. 物体の安定性に関する知識の応用。

1. 体のバランスに関する知識が最も必要な専門分野は何ですか?
2. 各種構造物（高層ビル、橋梁、テレビ塔など）の設計・施工
3. サーカスアーティスト。
4. ドライバーやその他の専門家。

(スライド 28 ～ 30)

1. Roly-Vstanka がおもちゃをどのように傾けても平衡位置に戻るのはなぜですか?
2. ピサの斜塔が傾いていて倒れないのはなぜですか?
3. サイクリストとモーターサイクリストはどのようにバランスを保っていますか?

教訓のポイント:

1. 均衡には、安定、不安定、無関心の 3 種類があります。
2. 体の位置は安定しており、その位置エネルギーは最小限です。
3. 平らな面での体の安定性は大きくなり、サポート領域が大きくなり、重心が低くなります。

宿題：§54 – 56 (G.Ya. ミャキシェフ、B.B. ブホフツェフ、N.N. ソツキー)

使用された情報源と文献:

1. G.Ya。 Myakishev、B.B。 Bukhovtsev、N.N. ソツキー。物理。 グレード10。
2. Filmstrip "Stability" 1976 (フィルム スキャナーでスキャン)。
3. ディスク「電子レッスンとテスト」からの「身体の動きと相互作用」。
4. ディスク「電子の授業とテスト」より「仕事と力」。

意味

持続可能なバランス- これは、平衡から外れて放置された体が元の位置に戻る平衡です。

これは、物体が初期位置から任意の方向にわずかに変位した場合に、物体に作用する力の合力がゼロではなくなり、平衡位置に向かう場合に発生します。 たとえば、球状の空洞の底にあるボール (図 1a)。

意味

不安定な均衡- これは、平衡から外れて放置された体が、平衡位置からさらに逸脱する平衡です。

この場合、物体が平衡位置からわずかに変位すると、物体に加えられる力の合力はゼロではなく、平衡位置からの方向になります。 例として、凸球面の上部にあるボールがあります (図 1 b)。

意味

無関心なバランス-これは、平衡から外れて放置された体がその位置（状態）を変えない平衡です。

この場合、ボディが元の位置からわずかに変位しても、ボディに加えられる力の合力はゼロのままです。 たとえば、平らな面にあるボールです（図1、c）。

図1。 サポート上のさまざまなタイプのボディバランス: a) 安定したバランス。 b) 不安定な平衡; c) 無関心均衡。

身体の静的および動的バランス

力の作用の結果、物体が加速度を受けない場合、物体は静止しているか、一様に直線的に動くことができます。 したがって、静的および動的平衡について話すことができます。

意味

静的バランス-これは、加えられた力の作用下で体が静止しているときのような平衡です。

ダイナミックバランス-これは、力の作用下で体が動きを変えないときのような平衡です。

静的平衡の状態では、ケーブルに吊り下げられたランタン、あらゆる建物の構造です。 動的平衡の例として、摩擦力がない状態で平らな面を転がる車輪を考えることができます。