直角三角形の中垂線. 三角形に外接する円 円に内接する三角形
セグメントに対して中央垂直
定義 1． セグメントに対して中央垂直これは、このセグメントに垂直で、その中央を通る直線です (図 1)。
定理 1。 線分の垂直二等分線の各点は 端から同じ距離で このセグメント。
証拠 。 線分 AB の垂直二等分線上にある任意の点 D を考えて (図 2)、三角形 ADC と BDC が等しいことを証明します。
実際、これらの三角形は脚 AC と脚 BC が等しく、脚 DC が共通である直角三角形です。 三角形 ADC と BDC が等しいことから、線分 AD と DB が等しいことがわかります。 定理 1 が証明された．
定理 2 (定理 1 の逆). 点がセグメントの両端から同じ距離にある場合、その点はこのセグメントの垂直二等分線上にあります。
証拠 。 定理 2 を「矛盾による」方法で証明してみましょう。 このために、ある点 E がセグメントの両端から同じ距離にあるが、このセグメントの垂直二等分線上にないと仮定します。 この仮定を矛盾させてみましょう。 まず、点 E と点 A が垂直二等分線の反対側にある場合を考えてみましょう (図 3)。 この場合、線分 EA はある点で垂直二等分線と交差します。これを文字 D で示します。
セグメント AE がセグメント EB よりも長いことを証明しましょう。 本当、
したがって、点 E と点 A が垂直二等分線の反対側にある場合、矛盾が得られます。
ここで、点 E と点 A が垂直二等分線の同じ側にある場合を考えます (図 4)。 セグメント EB がセグメント AE よりも長いことを証明しましょう。 本当、
結果として生じる矛盾は、定理 2 の証明を完成させます。
三角形に外接する円
定義２． 三角形に外接する円、三角形の 3 つの頂点すべてを通る円を呼び出します (図 5)。 この場合、三角形が呼び出されます 円に内接する三角形また 内接三角形.
三角形に外接する円の性質。 正弦定理
| 形 | 写真 | 財産 |
| 中垂線 三角形の辺に |  |
一点で交わる
. |
 |
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|
| 中心 円の鋭角三角形に外接する | センターについて説明 鋭角の 中身 三角形。 | |
| 中心 直角三角形に外接する円 |  | 説明の中心 長方形
斜辺の中点
. |
| 中心 円の鈍角三角形に外接する |  | センターについて説明 鈍い 丸三角嘘 外側 三角形。 |
 |
|
|
| 四角 三角形 |  | S= 2R 2 罪 あ罪 B罪 C , |
| 外接円の半径 | 任意の三角形について、等式は真です。 |
,| 三角形の辺に対する中垂線 |
すべての垂直二等分線 任意の三角形の辺に描かれ、 一点で交わる . |
| 三角形に外接する円 |
どの三角形も円で外接できます。 . 三角形に外接する円の中心は、三角形の辺に引いたすべての垂直二等分線が交わる点です。 |
| 鋭角三角形に外接する円の中心 |
センターについて説明 鋭角の 丸三角嘘 中身 三角形。 |
| 直角三角形に外接する円の中心 |
説明の中心 長方形 円三角形は 斜辺の中点 . |
| 鈍角三角形に外接する円の中心 |
センターについて説明 鈍い 丸三角嘘 外側 三角形。 |
任意の三角形に対して、等式が有効です (正弦定理)。
ここで、a、b、c は三角形の辺、A、B、C は三角形の角、R は外接円の半径です。 |
| 三角形の面積 |
任意の三角形について、等式は真です。 S= 2R 2 罪 あ罪 B罪 C , ここで、A、B、C は三角形の角度、S は三角形の面積、R は外接円の半径です。 |
| 外接円の半径 |
任意の三角形について、等式は真です。 ここで、a、b、c は三角形の辺、S は三角形の面積、R は外接円の半径です。 |
三角形に外接する円の性質に関する定理の証明
定理 3。 任意の三角形の辺に描かれたすべての中垂線は、1 点で交差します。
証拠 。 三角形 ABC の辺 AC と AB に描かれた 2 つの垂直二等分線を考え、文字 O との交点を示します (図 6)。
点 O は線分 AC の垂直二等分線上にあるため、定理 1 により等式が成り立ちます。
中垂線 (垂直中央値また メディアトリックス) は、指定されたセグメントに垂直で、その中点を通る直線です。プロパティ
ここで、添え字は垂線が引かれる側を示します。 は三角形の面積であり、辺は不等式であると仮定します と つまり、三角形の場合、最小の垂直二等分線は中央のセグメントを指します。記事「中垂線」にレビューを書く
ノート
垂直二等分線を特徴付ける抜粋
噛むのをやめたクトゥーゾフは、まるで彼が言われていることを理解していないかのように、驚いてヴォルツォーゲンを見つめました。 ヴォルツォーゲンは、デ・アルテン・ヘルン[老紳士(ドイツ人)]の興奮に気づき、微笑みながら言った：-私が見たものをあなたの領主から隠す資格があるとは思いませんでした...軍隊は完全に混乱しています...
- 見ましたか？ 見ましたか? .. - クトゥーゾフはしかめっ面で叫び、すぐに起き上がり、ウォルツォーゲンに進みました。 「どうしよう…どうしよう…！」彼は叫び、握手と窒息で威嚇するようなジェスチャーをしました。 - 親愛なる先生、私にこれを言ってみませんか。 あなたは何も知らない。 私からバークレー将軍に、彼の情報は間違っており、戦闘の本当の行方は彼よりも最高司令官である私の方がよく知っていると伝えてください.
ヴォルツォーゲンは何かに異議を唱えようとしたが、クトゥーゾフが邪魔をした。
- 敵は左側で撃退され、右側で倒されます。 親愛なる先生、あなたがよく見ていないのなら、あなたが知らないことを自分に言わせないでください。 バークレイ将軍のところに行って、明日敵を攻撃するという私の不可欠な意図を彼に伝えてください」とクトゥーゾフは厳しく言いました。 誰もが沈黙し、息を切らした老将軍の重い息遣いが聞こえた。 - 神と私たちの勇敢な軍隊に感謝します。 敵は敗北し、明日、私たちは彼を神聖なロシアの土地から追い出します-クトゥーゾフは自分自身を横切って言いました。 そして急に涙が出てきました。 ヴォルツォーゲンは肩をすくめ、唇をひねり、黙って脇に寄り、ユーバー・ディゼ・エインゲノメンハイト・デ・アルテン・ヘルンに不思議に思った。 [この老紳士の横暴について。 （ドイツ人）]
「はい、ここにいます、私のヒーローです」クトゥーゾフは、当時マウンドに入っていた、ふっくらとしたハンサムな黒髪の将軍に言いました。 ボロジノ原野の要所で丸一日過ごしたのはラエフスキーだった。
Raevskyは、軍隊がしっかりと彼らの場所にいて、フランス人はもはや攻撃することを敢えてしなかったと報告した. 彼の話を聞いた後、クトゥーゾフはフランス語で言った：
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [ということは、他の人たちと同じように、私たちが撤退すべきだとは思わないのですか?]
配布資料（別紙第1号）
コンパスと分割のない定規を使用して構築する問題は、ほとんどの場合、特定のスキームに従って解決されます。
私。 分析: 目的の図を模式的に描き、問題データと目的の要素との間のリンクを確立します。
Ⅱ． 建物: 図面に従って、コンパスと定規を使って組み立てます。
III. 証拠: 構成された図形が問題の条件を満たすことを証明します。
IV. 勉強: 任意のデータについて、問題に解決策があるかどうか、ある場合は解決策の数を調査します (すべての問題で実行するわけではありません)。
ここでは、検討する基本的な建設タスクの例をいくつか示します。
1. このセグメントに等しいセグメントを確保します (以前に調べた)。
2. セグメントの垂直二等分線の作成:
- 指定されたセグメントの中点を構築します。
- 与えられた点を通り、与えられた線に垂直な線を作成します (点は与えられた線上にある場合とない場合があります)。
3.角二等分線の構築。
4. 与えられた角度に等しい角度の構築。
セグメントに垂直な中央値。
定義: セグメントの垂直二等分線は、セグメントの中点を通り、それに垂直な線です。
タスク: 「セグメントへの垂直二等分線を作成します。」 プレゼンテーション
O - ABの真ん中
構造の説明 ( スライド番号 4):
ビームa; A - 梁の始まり
円周 (A; r =m)
円 a = B; AB = m
円 1 (A; r 1 > m/2)
サークル 2 (B; r 1)
円 1 円 2 =
ミネソタ; MN AB =0、(MN = L)
ここで、MN AB、O は AB の中点です。
III. 証拠(スライド番号 5、6)
1. AMN と BNM を検討します。
AM = MB=BN=AN=r 2 であるため、AM = BN 、AN = BM MN が共通側です。
(図3)
したがって、AMN = BNM (3 面)、
その結果
1= 2 (定義により等しい)
3= 4 (定義により等しい)
2. MAN と NBM は (定義上) 二等辺系です ->
1 \u003d 4および3 \u003d 2（二等辺の性質による）
3. ポイント 1 と 2 から -> 1 = 3 したがって、MO は二等辺 AMB の二等分線です。
4. したがって、MN が線分 AB の垂直二等分線であることを証明しました。
IV. 勉強
この問題には独自の解決策があります。 どの線分にも中点は 1 つしかなく、指定された点を通り、指定された点に垂直な 1 本の線を引くことができます。
定義: 点の幾何学的集合 (GMT) は、何らかの特性を持つ点の集合です。 (別紙第2号)
あなたが知っているGMT:
- セグメントの垂直二等分線は、セグメントの端から等距離にある点のセットです。
- 角度の二等分線 - 角度の辺から等距離にある点のセット
それでは、定理を証明しましょう。
定理: 「セグメントへの垂直二等分線の各点は、このセグメントの端から等距離です。」
(図4)
与えられた: AB; MO - 垂直二等分線
証明: AM = VM
| 証拠： 1. MO - 垂直二等分線 (条件による) -> O - セグメント AB、MOAB の中点 2. AMO と WMO を検討する - 長方形 MO - 共通脚 |
AO \u003d VO (O - AB の中央) -\u003e AMO \u003d BMO (2 本の脚) -\u003e AM \u003d VM (対応する辺としての等三角形の定義による) Q.E.D. |
宿題：「与えられた定理の逆を証明せよ」
定理: 「セグメントの両端から等距離にある各点は、このセグメントの垂直二等分線上にあります。」
(図 5)
与えられた: AB; MA=MV
証明: 点 M は垂直二等分線上にある
証拠：
それか。 MO - セグメントの端から等距離にあるすべての点を含む垂直二等分線。
三角形の辺の垂直二等分線の性質
それらは一点で交差し、この点は三角形を囲む外接円の中心です.8年生で勉強します.
ワークショップ
材料および技術設備:
配布：29,574KB
OS: Windows 9x/2000/XP
ウェブサイト: http://www.ascon.ru
次に、構成をコンピューターのグラフィカル環境に転送します (スライド番号 7)
以前に取得した知識とスキルを特定のタスクに適用する必要があります。 構築は、ノートブックでの構築よりも時間がかからないことがわかります。 とりわけ興味深いのは、コンピューター環境が人間のコマンドを実行して平面図形を作成する方法です。 付録 3 に進む前に、作成手順が詳細に説明されています。 プログラムをロードし、新しい図面を開きます( スライド番号 8, 9).
問題条件で指定された幾何学的オブジェクトを描画: ray aポイントから開始 しかしそしてセグメントは等しい メートル– 任意の長さ ( スライド番号 10).
タブを使用して、図面内の梁、セグメント、梁の始点の指定を入力します 「ツール" 文章。
セグメントに等しい半径の円を作成します メートル与えられた点で頂点を中心とする しかし (スライド番号 11).
メートル与えられた点 A ( スライド№12、13).
半径が 1/2 より大きいセグメントに等しい円を作成します メートルこれを行うには、項目「 2点間」 (スライド№14、15、16).
円の交点を通って MとN線を引く ( スライド№17,18).
古本：
- Ugrinovich N.D.「情報学。 ベーシックコース」7年生。 - M.: BINOM - 2008 - 175 p.
- Ugrinovich N.D.「情報学と情報技術に関するワークショップ」。 チュートリアル。 - M.: BINOM、2004-2006。 -
- Ugrinovich N.D.「小学校および高校の 8-11 年生でコース「情報学と ICT」を教える: BINOM Knowledge Laboratory、2008. - 180 p。
- CD-ROM の Ugrinovich ND コンピュータ ワークショップ。 - M.: BINOM、2004-2006。
- Boguslavsky A.A.、Tretyak T.M. ファラフォノフ A.A. 「コンパス - 初心者向けの 3D v 5.11-8.0 ワークショップ」 - M .: SOLON - PRESS、2006 - 272 p。
- Atanasyan L.S.、Butuzov V.F.、Kadomtsev S.B.、他「Geometry 7-9. 中等学校の教科書」 - M: Education 2006 - 384 p.
- Atanasyan L.S.、Butuzov V.F.、Kadomtsev S.B.、他「幾何学グレード 7 ～ 9 の研究。 教科書のガイドライン」 - M: Education 1997 - 255 p.
- Afanas'eva T.L.、Tapilina L.A. 「Atanasyan L.S. の 8 年生の教科書の授業計画」 - ヴォルゴグラード「先生」2010年、166ページ。
申請書第1号
コンパスと定規の作成に関する問題を解決するための計画。
- 分析。
- 工事。
- 証拠。
- 勉強。
説明
- 分析を実行すると、必要な図形が概略的に描画され、タスク データと必要な要素との間に接続が確立されます。
- 計画通り、コンパスと定規を使って工事を行います。
- それらは、構築された図が問題の条件を満たしていることを証明します。
- 調査を実施します。任意のデータについて、問題には解決策がありますか。ある場合、解決策はいくつありますか?
基本的な建設作業の例
- 指定されたセグメントと等しいセグメントを確保します。
- セグメントに垂直二等分線を作成します。
- セグメントの中点を作成します。
- 指定された点を通り、指定された線に垂直な線を作成します (点は指定された線上にある場合とない場合があります)。
- 角二等分線を作成します。
- 与えられた角度に等しい角度を構築します。
アプリケーション№2
点の軌跡 (GMT) は、いくつかのプロパティを持つ点のセットです。
GMT の例:
- セグメントの垂直二等分線は、セグメントの端から等距離にある点のセットです。
- 円は、円の中心である特定の点から等距離にある一連の点です。
- 角度の二等分線は、角度の辺から等距離にある点の集合です。
セグメントへの垂直二等分線の各点は、このセグメントの端から等距離にあります。
前のレッスンでは、三角形で囲まれた角度と自由な角度の 2 等分線のプロパティを検討しました。 三角形には 3 つの角度が含まれており、それぞれについて考慮された二等分線のプロパティが保持されます。
定理：
三角形の二等分線 AA 1、BB 1、CC 1 は、1 つの点 O で交差します (図 1)。
米。 1. 定理の説明
証拠：
最初の 2 つの二等分線 BB 1 と СС 1 を考えてみましょう。 それらが交差し、交点Oが存在します。 これを証明するために、反対のことを考えてみましょう: 与えられた二等分線が交差しないとします。この場合、それらは平行です。 次に、直線 BC は割線であり、角度の和 
、これは、三角形全体で角度の合計が であるという事実と矛盾します。
したがって、2 つの二等分線の交点 O が存在します。 その特性を考えてみましょう:
点 O は角 の二等分線上にあり、その辺 BA と BC から等距離にあることを意味します。 OK が BC に垂直であり、OL が BA に垂直である場合、これらの垂線の長さは - に等しくなります。 また、点 O は角の二等分線上にあり、その辺 CB と CA から等距離にあり、垂線 OM と OK は等しい。
次の等式が得られました。
、つまり、点 O から三角形の辺に下ろした 3 つの垂線はすべて互いに等しくなります。
垂線 OL と OM が等しいことに関心があります。 この等式は、点 O が角の辺から等距離にあることを示しているため、その二等分線 AA 1 上にあります。
このように、三角形の 3 つの二等分線はすべて 1 点で交わることが証明されました。
さらに、三角形は 3 つのセグメントで構成されているため、1 つのセグメントのプロパティを考慮する必要があります。
セグメントABが与えられます。 どの線分にも中央があり、それを通る垂線を引くことができます。これを p で表します。 したがって、p は垂直二等分線です。
米。 2. 定理の説明
垂直二等分線上にある任意の点は、セグメントの端から等距離にあります。
それを証明してください (図 2)。
証拠：
三角形 と を考えてみましょう。 それらは共通の脚 OM を持ち、条件によって AO と OB の脚が等しいため、長方形で等しいため、2 つの脚が等しい 2 つの直角三角形があります。 三角形の斜辺も等しいということになります。つまり、証明する必要がありました。
逆定理は真です。
セグメントの両端から等距離にある各点は、このセグメントの垂直二等分線上にあります。
線分 AB が与えられ、その垂直二等分線は p であり、点 M は線分の端から等距離にあります。 点 M が線分の垂直二等分線上にあることを証明してください (図 3)。
米。 3. 定理の説明
証拠：
三角形を考えてみましょう。 条件によると、それは二等辺です。 三角形の中央値を考えてみましょう。点 O は底辺 AB の中点、OM は中央値です。 二等辺三角形の性質によると、その底辺に描かれた中央値は高さと二等分線の両方です。 したがって、次のようになります。 しかし、直線 p は AB に対しても垂直です。 線分 AB への 1 本の垂線を点 O に引くことができることはわかっています。つまり、直線 OM と p は一致するので、点 M は直線 p に属していることがわかり、これを証明する必要がありました。
直接定理と逆定理は一般化できます。
点がセグメントの垂直二等分線上にあるのは、セグメントの端から等距離にある場合のみです。
したがって、三角形には 3 つの線分があり、垂直二等分線の性質はそれらのそれぞれに適用できることを繰り返します。
定理：
三角形の垂直二等分線は一点で交わります。
三角形が与えられます。 その辺に垂直: P 1 は辺 BC に、P 2 は辺 AC に、P 3 は辺 AB に。
垂線 Р 1 、Р 2 および Р 3 が点 O で交わることを証明してください (図 4)。
米。 4. 定理の説明
証拠：
2 つの中垂線 P 2 と P 3 を考えてみましょう。それらは交差し、交点 O が存在します。 この事実を矛盾によって証明しましょう - 垂線 P 2 と P 3 が平行であるとしましょう。 この角度は直線であり、三角形の 3 つの角度の和が であるという事実と矛盾します。 したがって、3 つの垂直二等分線のうちの 2 つの交点 O があります。 点 O の特性: 辺 AB の垂直二等分線上にあり、線分 AB: の端から等距離にあることを意味します。 辺 AC の垂直二等分線上にもあるので、 . 以下の等式が得られました。
