直角三角形の比例セグメント。 直角三角形の比例セグメント 直角三角形の平均比例セグメントの証明

レッスンの目的:

1. 2 つのセグメントの平均比例 (幾何平均) の概念を導入します。
2. 直角三角形の比例セグメントの問題を考えてみましょう。直角の頂点から引かれた直角三角形の高さの特性です。
3. 問題を解決する過程で学習したトピックを使用する生徒のスキルを形成します。

レッスンタイプ:新しい教材を学ぶレッスン。

プラン：

1. 組織的な瞬間。
2. 知識のアップデート。
3. 直角の頂点から描かれた直角三角形の高さの性質を調べる：
   - 準備段階;
   - 導入;
   - 同化。
4. 2 つのセグメントに比例する平均の概念の導入。
5. 2 つのセグメントの平均比例の概念の同化。
6. 結果の証明:
   - 直角三角形の頂点から引かれた直角三角形の高さは、斜辺をこの高さで分割したセグメント間の平均比例です。
   - 直角三角形の脚は、斜辺と、脚と高さの間に囲まれた斜辺のセグメントとの間の平均比例です。
7. 問題解決。
8. 要約します。
9. 宿題の設定。

授業中

I. 組織

こんにちは皆さん、お座りください。 みんなレッスンの準備はできていますか？

仕事を始めます。

II. 知識の更新

以前のレッスンで学んだ重要な数学的概念は何ですか? ( 三角形の類似性の概念を使用)

- どの 2 つの三角形が相似であるかを思い出しましょう。 (2 つの三角形は、それらの角度がそれぞれ等しく、一方の三角形の辺がもう一方の三角形の類似する辺に比例する場合、類似していると呼ばれます。)

2 つの三角形の相似性を証明するには何を使用しますか? (

- これらの兆候を列挙してください。 (三角形の相似性を示す 3 つの符号を定式化します)

Ⅲ． 直角の頂点から伸ばした直角三角形の高さの性質を調べる

a) 準備段階

- 皆さん、最初のスライドをご覧ください。 ( 応用) ここに 2 つの直角三角形 - と があります。 と はそれぞれ高さ と です。 .

タスク 1.a)と が類似しているかどうかを判断します。

三角形の相似性を証明するには何を使用しますか? ( 三角形の相似の兆候)

(問題では三角形の辺について何もわかっていないため、最初の記号)

。 (2 つのペア: 1. ∟B= ∟B1 (直線)、2. ∟A= ∟A 1)

- 結論を出します。( 三角形の類似性の最初の兆候によって~)

タスク 1.b)と が類似しているかどうかを判断します。

どのような類似性基準を使用するのか、またその理由は何ですか? (最初の記号。この問題では三角形の辺について何もわかっていないため、)

等しい角度のペアを何組見つける必要があるでしょうか? これらのカップルを見つけてください (三角形は直角なので、等しい角度のペアが 1 つあれば十分です: ∟A= ∟A 1)

- 結論を出します。 (三角形の類似性の最初の兆候により、これらの三角形は類似していると結論付けられます)。

会話の結果、スライド 1 は次のようになります。

b) 定理の発見

タスク2。

と 、 が類似しているかどうかを判断します。 会話の結果、回答が構築され、それがスライドに反映されます。

- 図は、 を示しました。 課題の質問に答えるときに、この度合いの尺度を使用しましたか? ( いいえ、使用されていません)

- 皆さん、結論を出してください。直角の頂点から引いた高さは、直角三角形をどの三角形に分割しますか? （結論を出します）

- 直角三角形を高さで分割した 2 つの直角三角形は互いに相似になるでしょうか?という疑問が生じます。 等しい角度のペアを見つけてみましょう。

会話の結果、記録が構築される:

- それでは、完全な結論を出しましょう。 ( 結論: 直角三角形の頂点から引いた直角三角形の高さは、三角形を 2 つに分割します。 似ている

- それ。 私たちは直角三角形の高さの性質に関する定理を定式化して証明しました。

定理の構造を確立して図を描いてみましょう。 定理では何が与えられており、何を証明する必要があるのでしょうか? 生徒たちはノートに次のように書きます。

新しい図面の定理の最初の点を証明しましょう。 どのような類似性基準を使用するのか、またその理由は何ですか? (第一に、定理では三角形の辺については何もわかっていないため)

等しい角度のペアを何組見つける必要があるでしょうか? このカップルを見つけてください。 (この場合は1ペアで十分です:∟A-一般)

- 結論を出します。 三角形は似ています。 その結果、定理の定式化の例が示されます。

- 2 番目と 3 番目のポイントは、自宅で自分で書きます。

c) 定理の同化

- そこで、定理を再度定式化します。 (直角三角形の頂点から引いた高さは、三角形を 2 つに分割します) 似ている直角三角形、それぞれこれに相似)

- この定理により、「直角三角形における直角の頂点からの高さ」の作図における相似な三角形のペアは何組求まるでしょうか? ( 3組のカップル)

学生には次の課題が与えられます。

IV. 2 つの直線の平均比例の概念の導入

これから私たちは新しい概念を学びます。

注意！

意味。線分 XY呼ばれた 平均比例 (幾何平均)セグメント間 ABそして CD、 もし

（ノートに書きます）。

V. 2 つの直線の平均比例の概念の関連付け

次のスライドに進みましょう。

演習 1. MN = 9 cm、KP = 16 cm の場合、平均比例セグメント MN と KP の長さを求めます。

- 課題には何が与えられますか? ( 2 つのセグメントとその長さ: MN = 9 cm、KP = 16 cm)

- 何を見つける必要がありますか? ( これらのセグメントの平均比例長)

- 平均比例の公式は何ですか?また、それはどのように求められますか?

(データを式に代入し、平均支柱の長さを求めます。)

タスク番号 2。線分 AB と CD の平均比例が 90 cm、CD = 100 cm の場合、線分 AB の長さを求めます。

- 課題には何が与えられますか? (セグメント CD の長さ = 100 cm、セグメント AB と CD の平均比例は 90 cm)

問題の中で何を見つけるべきでしょうか? ( 線分ABの長さ)

- どうやって問題を解決するのでしょうか？ （平均比例線分AB、CDの公式を書いて、そこからABの長さを表し、問題のデータを代入してみましょう。）

VI. 結論

- よくやったよ、みんな。 さて、定理で証明された三角形の相似性に戻りましょう。 定理を再説明します。 ( 直角三角形の頂点から引いた高さで三角形を2等分します 似ている直角三角形。それぞれが指定された三角形に似ています。)

- まず、三角形と の相似を使用してみましょう。 これから何が起こるでしょうか？ ( 類似性の定義により、辺は類似する辺に比例します。)

- 比例という基本的な性質を使用すると、どのような平等が得られますか? ()

– CD を高速化して結論を​​導き出す (;.

結論: 直角三角形の頂点から引かれた直角三角形の高さは、斜辺をこの高さで分割したセグメント間の平均比例です。)

- そして、今度は、直角三角形の脚が、斜辺と、脚と高さの間に囲まれた斜辺のセグメントとの間の平均比例であることを自分で証明してください。この高さ )

直角三角形の脚は、... (- ... 斜辺と、この脚と高さの間に囲まれた斜辺のセグメント )

– 学習したステートメントをどこに適用しますか? ( 問題を解決するとき)

IX. 宿題を設定する

d/z: No.571、No.572(a、e)、ノートでの自主制作、理論。

直角三角形の相似の記号

まず、直角三角形の相似の記号を紹介します。

定理1

直角三角形の相似の記号: 2 つの直角三角形は、それぞれ 1 つの等しい鋭角を持つ場合、相似になります (図 1)。

図 1. 相似な直角三角形

証拠。

$\angle B=\angle B_1$ とします。 三角形は直角なので、$\angle A=\angle A_1=(90)^0$ となります。 したがって、三角形の類似性の最初の記号に従って、それらは類似しています。

定理は証明されました。

直角三角形の高さ定理

定理2

直角の頂点から描かれた直角三角形の高さによって、その三角形は 2 つの相似な直角三角形に分割され、それぞれの直角三角形は指定された三角形に相似になります。

証拠。

直角$C$を持つ直角三角形$ABC$が与えられるとします。 高さ $CD$ を描きます (図 2)。

図 2. 定理 2 の図

三角形 $ACD$ と $BCD$ が三角形 $ABC$ に似ており、三角形 $ACD$ と $BCD$ が似ていることを証明しましょう。

$\angle ADC=(90)^0$ なので、三角形 $ACD$ は直角になります。 三角形 $ACD$ と $ABC$ は共通の角度 $A$ を持っているため、定理 1 より、三角形 $ACD$ と $ABC$ は相似です。

$\angle BDC=(90)^0$ なので、三角形 $BCD$ は直角になります。 三角形 $BCD$ と $ABC$ は共通の角度 $B$ を持っているため、定理 1 より、三角形 $BCD$ と $ABC$ は相似です。

ここで、三角形 $ACD$ と $BCD$ について考えてみましょう。

\[\角度 A=(90)^0-\角度 ACD\] \[\角度 BCD=(90)^0-\角度 ACD=\角度 A\]

したがって、定理 1 より、三角形 $ACD$ と $BCD$ は相似です。

定理は証明されました。

平均比例

定理3

直角三角形の頂点から引かれた直角三角形の高さは、この三角形の斜辺を高さで分割するセグメントの平均に比例します。

証拠。

定理 2 より、三角形 $ACD$ と $BCD$ は相似であることが分かります。

定理は証明されました。

定理4

直角三角形の脚は、斜辺と、その脚の間に囲まれた斜辺のセグメントと、角度の頂点から引かれた高さとの間の平均比例です。

証拠。

定理の証明では、図 2 の表記を使用します。

定理 2 より、三角形 $ACD$ と $ABC$ は相似であることが分かります。

定理は証明されました。

レッスン 40 C. b. ａ． h. 紀元前C. H.ac. A. V. 直角の頂点から引かれた直角三角形の高さは、その三角形を 2 つの相似な直角三角形に分割し、それぞれが指定された三角形に相似します。 直角三角形の相似の兆候。 2 つの直角三角形は、それぞれが同じ鋭角であれば相似です。 性質 1 の場合、線分 XY は線分 AB と線分 CD の比例平均 (幾何平均) と呼ばれます。直角の頂点から描かれた直角三角形の高さは、脚の斜辺への投影間の比例の平均です。 特性 2. 直角三角形の脚は、斜辺とこの脚の斜辺への投影との間の平均比例です。

幾何学グレード 8

「ピタゴラスの定理の問題の解き方」 - 三角形ABC二等辺。 ピタゴラスの定理の実践。 ABCDは四角形です。 正方形のエリア。 太陽を見つけてください。 証拠。 二等辺台形の底辺。 ピタゴラスの定理を考えてみましょう。 四角形の面積。 長方形の三角形。 ピタゴラスの定理。 斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しい。

「平行四辺形の面積を求める」 - 基礎。 身長。 平行四辺形の高さを決定します。 直角三角形の等価性の兆候。 平行四辺形の面積。 三角形の面積を求めます。 エリアのプロパティ。 口頭練習。 平行四辺形の面積を求めます。 平行四辺形の高さ。 正方形の周囲の長さを求めます。 三角形の面積。 正方形の面積を求めます。 長方形の面積を求めます。 正方形のエリア。

「クヴァドラ 8 年生」 - 黒い正方形。 広場の周囲で口頭で作業するタスク。 正方形のエリア。 四角い標識。 広場は私たちの中にあります。 正方形とは、すべての辺が等しい長方形です。 四角。 スクエアベースのバッグ。 口頭課題。 写真には正方形がいくつ表示されますか。 正方形のプロパティ。 豪商。 広場のエリアでの口頭作業のタスク。 正方形の周囲。

「軸対称の定義」 - 同じ垂線上にある点。 2本の線を描きます。 工事。 プロットポイント。 手がかり。 軸対称性を持たない図形。 線分。 座標がありません。 形。 2 つ以上の対称軸を持つ形状。 対称。 詩における対称性。 三角形を構築します。 対称軸。 セグメントを構築します。 ポイントを構築する。 2 つの対称軸を持つ図形。 人々。 三角形。 比例性。

「相似な三角形の定義」 - ポリゴン。 比例カット。 相似な三角形の面積の比率。 2 つの三角形は相似と呼ばれます。 条件。 2 つの角度と頂点の二等分線を指定して三角形を作成します。 極までの距離を決定する必要があるとします。 三角形の相似性を示す 3 番目の記号。 三角形を作りましょう。 ABC。 三角形 ABC と ABC には 3 つの等しい辺があります。 オブジェクトの高さを決定します。

「ピタゴラスの定理の解」 - 窓の部品。 最も簡単な証明。 ハンムラビ。 対角線。 完全な証拠。 引き算で証明します。 ピタゴラス派。 分解法で証明します。 定理の歴史。 直径。 補法による証明。 エプスタインの証拠。 カントール。 三角形。 フォロワー。 ピタゴラスの定理の応用。 ピタゴラスの定理。 定理の記述。 ペリガルの証。 定理の応用。

今日は、幾何学という驚くべき神秘的なテーマに関する別のプレゼンテーションに注目してください。 このプレゼンテーションでは、幾何学的形状の新しい特性、特に直角三角形の比例セグメントの概念を紹介します。

まず、三角形とは何かを思い出す必要がありますか? これは最も単純な多角形で、3 つのセグメントで接続された 3 つの頂点で構成されます。 直角三角形は、角の 1 つが 90 度である三角形です。 これらについては、以前に提供したトレーニング資料ですでに詳しく説明されています。

さて、今日の話題に戻りますが、90度の角度から描いた直角三角形の高さが、互いに相似で元の三角形と相似な2つの三角形に分割されることを示します。 興味のある図やグラフはすべてプレゼンテーション案に記載されていますので、説明とともに参照されることをお勧めします。

上記の論文の図例を 2 番目のスライドに示します。 三角形は 2 つの同じ角度があるため相似です。 さらに詳細に指定すると、斜辺まで下げた高さが斜辺と直角を形成します。つまり、同じ角度がすでに存在し、形成されたそれぞれの角度にも最初の角度と共通の角度が 1 つあります。 結果は、2 つの角度が互いに等しくなります。 つまり、三角形は相似です。

「平均比例」または「幾何平均」という概念自体が何を意味するのかも示してみましょう。 これは、セグメント AB および CD の長さの積の平方根に等しい場合の、セグメント AB および CD の特定の XY セグメントです。

このことから、直角三角形の脚は、斜辺と、この脚の斜辺への投影、つまりもう一方の脚との間の幾何平均であることがわかります。

直角三角形のもう 1 つの特性は、90 度の角度から描かれたその高さが、斜辺への脚の投影間の平均に比例することです。 プレゼンテーションやその他の資料を参照すると、この論文の証明が非常にシンプルでアクセスしやすい形式で示されていることがわかります。 以前に、結果として得られる三角形が互いに類似し、元の三角形に類似していることをすでに証明しました。 次に、これらの幾何学図形の脚の比率を使用すると、直角三角形の高さは、直角三角形から高さを下げた結果として形成される線分の積の平方根に正比例するという結論に達します。元の三角形の直角。

プレゼンテーションの最後に、直角三角形の脚は、斜辺と、脚と 90 度に等しい角度から描かれた高さの間に位置するその線分の幾何平均であるということです。 この場合は、これらの三角形は互いに相似であり、一方の足は他方の斜辺によって得られるという側面から考える必要があります。 ただし、提案されている資料を検討することで、これについてさらに詳しく知ることができます。

直角三角形の相似の記号

まず、直角三角形の相似の記号を紹介します。

定理1

直角三角形の相似の記号: 2 つの直角三角形は、それぞれ 1 つの等しい鋭角を持つ場合、相似になります (図 1)。

図 1. 相似な直角三角形

証拠。

$\angle B=\angle B_1$ とします。 三角形は直角なので、$\angle A=\angle A_1=(90)^0$ となります。 したがって、三角形の類似性の最初の記号に従って、それらは類似しています。

定理は証明されました。

直角三角形の高さ定理

定理2

直角の頂点から描かれた直角三角形の高さによって、その三角形は 2 つの相似な直角三角形に分割され、それぞれの直角三角形は指定された三角形に相似になります。

証拠。

直角$C$を持つ直角三角形$ABC$が与えられるとします。 高さ $CD$ を描きます (図 2)。

図 2. 定理 2 の図

三角形 $ACD$ と $BCD$ が三角形 $ABC$ に似ており、三角形 $ACD$ と $BCD$ が似ていることを証明しましょう。

$\angle ADC=(90)^0$ なので、三角形 $ACD$ は直角になります。 三角形 $ACD$ と $ABC$ は共通の角度 $A$ を持っているため、定理 1 より、三角形 $ACD$ と $ABC$ は相似です。

$\angle BDC=(90)^0$ なので、三角形 $BCD$ は直角になります。 三角形 $BCD$ と $ABC$ は共通の角度 $B$ を持っているため、定理 1 より、三角形 $BCD$ と $ABC$ は相似です。

ここで、三角形 $ACD$ と $BCD$ について考えてみましょう。

\[\角度 A=(90)^0-\角度 ACD\] \[\角度 BCD=(90)^0-\角度 ACD=\角度 A\]

したがって、定理 1 より、三角形 $ACD$ と $BCD$ は相似です。

定理は証明されました。

平均比例

定理3

直角三角形の頂点から引かれた直角三角形の高さは、この三角形の斜辺を高さで分割するセグメントの平均に比例します。

証拠。

定理 2 より、三角形 $ACD$ と $BCD$ は相似であることが分かります。

定理は証明されました。

定理4

直角三角形の脚は、斜辺と、その脚の間に囲まれた斜辺のセグメントと、角度の頂点から引かれた高さとの間の平均比例です。

証拠。

定理の証明では、図 2 の表記を使用します。

定理 2 より、三角形 $ACD$ と $ABC$ は相似であることが分かります。

定理は証明されました。