なぜ私たちは三次元空間に住んでいるのですか？ 3 次元空間: ベクトル、座標 3 次元空間が使用される場所

科学者への質問プロジェクトを開始します。このプロジェクトでは、専門家が興味深い、素朴な、または実用的な質問に答えます。この号では、物理学および数理科学の候補者である Ilya Shchurov が、4D と 4 次元に入ることが可能かどうかについて話します。

四次元空間（「4D」）とは？

イリヤ・シュチュロフ

国立研究大学高等経済学院高等数学科准教授数理科学科准教授

最も単純な幾何学的オブジェクトである点から始めましょう。ポイントはゼロ次元です。長さも幅も高さもありません。

次に、点を直線に沿って少し移動してみましょう。私たちのポイントが鉛筆の先だとしましょう。動かしたら線が引けました。セグメントには長さがあり、それ以上の次元はありません。これは 1 次元です。セグメントは直線上に「存在」します。線は一次元空間です。

点の前と同じように、セグメントを取得して移動してみましょう。 (このセグメントは幅の広い非常に細いブラシのベースであると想像できます。) 線を越えて垂直方向に移動すると、長方形が得られます。長方形には、幅と高さの 2 つの次元があります。長方形はある平面にあります。平面は 2 次元空間 (2D) であり、その上に 2 次元座標系を入力できます。各点は数値のペアに対応します。 (たとえば、黒板のデカルト座標系、地理マップの緯度と経度など)。

長方形をその平面に垂直な方向に移動すると、「レンガ」(長方形の平行六面体) - 長さ、幅、高さを持つ 3 次元オブジェクトが得られます。それは三次元空間、つまり私たちが住んでいる空間にあります。したがって、3次元オブジェクトがどのように見えるかについての良い考えがあります. しかし、私たちが平面上の 2 次元空間に住んでいるとしたら、私たちが住んでいる平面の外に出るように長方形を移動する方法を想像するには、想像力をかなり伸ばす必要があります。

数学的に説明するのは非常に簡単ですが、4 次元空間を想像することも非常に困難です。 3 次元空間とは、点の位置が 3 つの数値で示される空間です (たとえば、航空機の位置は経度、緯度、高度で示されます)。 4 次元空間では、点は 4 つの数値座標に対応します。「4 次元レンガ」は、通常のレンガを 3 次元空間にない方向に移動することによって得られます。それは四次元です。

実際、私たちは毎日四次元空間に接しています。たとえば、デートをするときは、待ち合わせ場所 (3 つの数字で設定できます) だけでなく、時間 (3 つの数字で設定できます) も示します。単一の数値 - たとえば、特定の日付から経過した秒数)。実際のレンガを見ると、長さ、幅、高さだけでなく、作成の瞬間から破壊の瞬間までの時間の長さもあります。

物理学者は、私たちは宇宙だけでなく時空にも住んでいると言うでしょう。数学者は、それが 4 次元であると付け加えます。したがって、4 次元は見た目よりも近いのです。

タスク:

実生活での 4 次元空間の実装の他の例を挙げてください。

5 次元空間 (5D) とは何かを定義します。 5D映画はどのように見えるべきですか?

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代数と幾何学の学校の授業からでも、3 次元空間の概念について知っています。よく見ると、「三次元空間」という言葉自体が、三次元の座標系として定義されています（これは誰もが知っていることです）。実際、古典的な意味での長さ、幅、高さを使用して、任意の体積オブジェクトを記述することができます。しかし、彼らが言うように、もう少し深く掘り下げましょう。

3D空間とは

すでに明らかになっているように、3 次元空間とその中に存在できるオブジェクトの理解は、3 つの基本的な概念によって決まります。確かに、点の場合、これらは正確に 3 つの値であり、直線、曲線、折れ線、またはボリュームオブジェクトの場合は、対応する座標がさらに存在する場合があります。

この場合、すべてはオブジェクトのタイプと使用される座標系によって異なります。今日、最も一般的な (古典的な) システムはデカルトシステムであると考えられており、長方形とも呼ばれます。彼女と他のいくつかの品種については、少し後で説明します。

とりわけ、ここでは、点、線、平面などの抽象的な概念 (そう言えば形のないもの) と、有限の次元または体積さえも持つ図形とを区別する必要があります。これらの定義にはそれぞれ、3 次元空間で可能な位置を記述する独自の方程式があります。しかし、今はそれについてではありません。

三次元空間における点の概念

まず、3 次元空間の点とは何かを定義しましょう。一般に、平面または立体の図形、直線、線分、ベクトル、平面などを定義する特定の基本単位と呼ぶことができます。

ポイント自体は、3 つの主要な座標によって特徴付けられます。それらに対して、長方形システムでは、X、Y、および Z 軸と呼ばれる特別なガイドが使用されます。最初の 2 つの軸はオブジェクトの水平位置を表すために使用され、3 つ目は座標の垂直設定を参照します。当然、ゼロ座標に対するオブジェクトの位置を表す便宜上、システムでは正と負の値が取られます。ただし、今日では他のシステムを見つけることができます。

さまざまな座標系

すでに述べたように、デカルトによって作成された直交座標系は、今日の主要なものです。それにもかかわらず、3 次元空間内のオブジェクトの位置を指定するいくつかの方法では、いくつかの他の種類も使用されます。

最も有名なのは、円筒形および球形のシステムです。古典的なものとの違いは、3 次元空間内の点の位置を決定する同じ 3 つの値を設定すると、値の 1 つが角度の値になることです。つまり、このようなシステムでは、360 度の角度に対応する円が使用されます。したがって、半径、角度、母線などの要素を含む座標の特定の割り当て。このタイプの 3 次元空間 (システム) の座標は、多少異なる法則に従います。この場合のタスクは、右手の法則によって制御されます。親指と人差し指をそれぞれ X 軸と Y 軸に揃えると、曲がった位置にある残りの指は Z 軸の方向を指します。

三次元空間における直線の概念

ここで、3 次元空間における直線とは何かについて少し説明します。直線の基本概念に基づいて、これは 1 つまたは 2 つの点を通る一種の無限線であり、それらを通る線の直接の通過を変更しないシーケンスに配置された点のセットは数えません。

3 次元空間の 2 点を通る直線を見る場合、両方の点の 3 つの座標を考慮する必要があります。同じことがセグメントとベクトルにも当てはまります。後者は、3 次元空間の基礎とその次元を決定します。

ベクトルの定義と三次元空間の基底

これらは 3 つのベクトルしか指定できないことに注意してください。ただし、ベクトルのトリプレットはいくつでも定義できます。空間の次元は、線形に独立したベクトルの数 (この場合は 3 つ) によって決まります。そして、そのようなベクトルが有限個存在する空間を有限次元と呼びます。

従属ベクトルと独立ベクトル

従属ベクトルと独立ベクトルの定義に関しては、線形に独立した射影であるベクトルを考慮するのが通例です (たとえば、Y 軸に射影された X 軸のベクトル)。

すでに明らかなように、4 番目のベクトルは従属関係にあります (線形空間の理論)。しかし、3 次元空間の 3 つの独立したベクトルは、必ずしも同じ平面にある必要はありません。さらに、独立したベクトルが 3 次元空間で定義されている場合、いわばそれらは相互の連続ではありません。すでに明らかなように、3 次元で検討している場合、一般理論によれば、特定の座標系 (タイプに関係なく) で線形独立ベクトルのトリプルのみを構築することが可能です。

3D 空間の平面

この用語をより簡単に理解するために、数学的定義に入ることなく平面の概念を考慮すると、そのようなオブジェクトは2次元とみなすことができます。つまり、座標の 1 つが一定 (定数) である点の無限のコレクションです。

たとえば、平面は、X 座標と Y 座標は異なりますが、Z 座標は同じである任意の数の点と呼ぶことができます。ただし、これは、いわば一般的なケースです。状況によっては、3 次元空間がすべての軸に沿った平面と交差することがあります。

3 次元以上のものはありますか

いくつの次元が存在できるかという問題は非常に興味深いものです。古典的な観点から、私たちは 3 次元空間ではなく、4 次元空間に住んでいると考えられています。誰もが知っている長さ、幅、高さに加えて、そのような空間にはオブジェクトの寿命も含まれており、時間と空間は非常に強く相互に関連しています。これはアインシュタインの相対性理論で証明されましたが、これは代数学や幾何学よりも物理学に当てはまります。

今日、科学者が少なくとも 12 次元の存在をすでに証明していることも興味深いことです。もちろん、誰もが自分が何であるかを理解できるわけではありません。これは、人間の世界の認識の外にある特定の抽象的な領域を指すためです。とはいえ、事実は変わらない。そして、多くの人類学者や歴史家が、私たちの祖先が、3次元空間だけでなく、多次元現実を知覚するのに役立つ第三の目のような特定の発達した感覚器官を持っている可能性があると主張しているのは、当然のことです。

ちなみに、今日、超感覚的知覚も多次元世界の知覚の現れの1つであるという事実についてはかなり多くの意見があり、これについてはかなり多くの証拠が見つかります。

現代の基本的な方程式と定理を使用して、私たちの 4 次元世界とは異なる多次元空間を記述することも常に可能であるとは限らないことに注意してください。はい、そしてこの分野の科学は、自分の目ではっきりと感じたり、いわば触ったり見たりできるものよりも、理論や仮定の分野を指しています。それにもかかわらず、4次元以上が存在できる多次元世界の存在の間接的な証拠は、今日では疑いの余地がありません.

結論

一般に、3 次元空間と基本的な定義に関連する基本的な概念を非常に簡単に確認しました。当然ながら、さまざまな座標系に関連する多くの特殊なケースがあります。さらに、基本的な用語のみを説明するために数学のジャングルに深く入り込まないように努め、それらに関連する質問がどの学生にも理解できるようにしました (いわば、説明は「指先で」)。

それにもかかわらず、そのような単純な解釈からさえ、代数と幾何学の基本的な学校のコースに含まれるすべてのコンポーネントの数学的側面について結論を引き出すことができるようです.

その中で、私たちは科学者に、一見するとかなり単純ですが、読者からの物議を醸す質問に答えるように依頼します. あなたのために、PostNauka の専門家から最も興味深い回答を選択しました。

誰もが「3次元」を意味する略語3Dに精通しています（文字D - 寸法という言葉から - 測定）。たとえば、映画館で 3D とマークされた映画を選択する場合、それを見るには特別なメガネを着用する必要がありますが、画像は平面ではなく 3 次元になります。 4Dとは？「四次元空間」は現実に存在するのか？「四次元」に入ることは可能ですか？

これらの質問に答えるために、最も単純な幾何学的オブジェクトである点から始めましょう。ポイントはゼロです。長さも幅も高さもありません。

// シンプルな 8 セル

次に、点を直線に沿って少し移動してみましょう。私たちのポイントが鉛筆の先だとしましょう。動かしたら線が引けました。セグメントには長さがあり、次元はありません。1 次元です。セグメントは直線上に「存在」します。線は一次元空間です。

それでは、セグメントを取得して、ポイントの前と同じように移動してみましょう。私たちのセグメントは幅の広い非常に細いブラシのベースであると想像できます。線を越えて垂直方向に移動すると、長方形になります。長方形には、幅と高さの 2 つの次元があります。長方形はある平面にあります。平面は 2 次元空間 (2D) であり、その上に 2 次元座標系を入力できます。各点は数値のペアに対応します。 (たとえば、黒板のデカルト座標系、地理マップの緯度と経度など)。

長方形をその平面に垂直な方向に移動すると、「レンガ」(長方形の平行六面体) - 長さ、幅、高さを持つ 3 次元オブジェクトが得られます。それは私たちが住んでいるのと同じ三次元空間にあります。したがって、3次元オブジェクトがどのように見えるかについての良い考えがあります. しかし、私たちが平面上の 2 次元空間に住んでいたとしたら、想像力をかなり広げて、私たちが住んでいる平面の外に出るように長方形を移動する方法を想像する必要があります。

実際、私たちは日常的に 4 次元空間に遭遇しています。たとえば、日付を設定するときは、待ち合わせ場所 (3 つの数字で設定できます) だけでなく、時間 (3 つの数字で設定できます) も示します。特定の日付から経過した秒数など、単一の数値で設定します)。実際のレンガを見ると、長さ、幅、高さだけでなく、作成の瞬間から破壊の瞬間までの時間の長さもあります。

3 次元空間 - 高さ、幅、長さの 3 つの均一な次元があります。これは私たちの物質世界の幾何学的モデルです。

物理空間の性質を理解するには、まずその次元の起源についての質問に答えなければなりません。したがって、ディメンションの値は、物理空間の最も重要な特性であることがわかります。

空間の次元

次元は、時空間の最も一般的な定量化可能なプロパティです。現在、現実の時空間的記述であると主張する物理理論は、最初の仮定として次元の値を取ります。次元数の概念、または空間の次元は、数学と物理学の最も基本的な概念の 1 つです。

現代物理学は、オーストリアの物理学者であり哲学者であるエルンスト・マッハの作品で提起された形而上学的な問題「なぜ空間は三次元なのか?」に答えようとしています。空間の三次元性という事実は、物質世界の基本的な特性に関連していると考えられています。

ポイントからのプロセスの開発は、スペースを生成します。開発プログラムの実施が行われるべき場所。「生成された空間」は、私たちにとって宇宙の形、あるいは宇宙の物質の形です。

だからそれは古代に信じられていました...

プトレマイオスでさえ、空間の次元のトピックについて書いており、そこで彼は、自然界には 3 つを超える空間次元はあり得ないと主張しました。別のギリシャの思想家であるアリストテレスは、彼の著書「空の上」で、3 次元の存在のみが世界の完全性と完全性を保証すると書いています。アリストテレスが推論した 1 つの次元は線を形成します。線に別の次元を追加すると、面が得られます。もう 1 つの次元を持つサーフェスを追加すると、3 次元のボディが形成されます。

「なんらかの欠陥が原因で変化が発生し、ここには何もないため、体積体の限界を超えて他の何かに移動することはもはや不可能です。アリストテレスの思考の与えられた方法には、1 つの重大な弱点があります。3 次元の 3 次元の物体が完全性と完全性を持っている正確な理由は不明です。かつて、ガリレオは、「数字「3」は完全数であり、三位一体を持つすべてのものに完全性を伝える能力を与えられている」という意見を正当に嘲笑しました。

空間の次元を決めるもの

空間はあらゆる方向に無限です。ただし、同時に測定できるのは、互いに独立した 3 つの方向 (長さ、幅、高さ) のみです。私たちはこれらの方向を空間の次元と呼び、私たちの空間は 3 次元である、つまり 3 次元であると言います。この場合、「この場合、独立した方向を、別の方向に直角にある線と呼びます。そのような行、すなわち同時に互いに直角であり、互いに平行ではないため、私たちのジオメトリは 3 つしか知りません。つまり、私たちの空間の次元は、互いに直角に横たわる、その中の可能な線の数によって決まります。線の上に別の線が存在することはありません。これは 1 次元空間です。サーフェス上で 2 つの垂線が可能です。これは 2 次元空間です。「空間」では、3 本の垂線が 3 次元空間です。

なぜ空間は三次元なのですか？

地上の状況ではまれですが、人々の物質化の経験は、目撃者に物理的な影響を与えることがよくあります...

しかし、空間と時間についてのアイデアには、まだ多くのあいまいさがあり、科学者の間で継続的な議論が行われています. 私たちの空間はなぜ三次元なのですか？多次元世界は存在できるか? 物質は時空を超えて存在できるのか？

物理空間には 3 つの次元があるという主張は、たとえば、物質には 3 つの物理的状態 (固体、液体、気体) があるという主張と同じくらい客観的です。それは客観的な世界の基本的な事実を説明しています。 I.カントは、私たちの空間が三次元である理由はまだわかっていないと強調しました。 P. Ehrenfest と J. Whitrow は、空間次元の数が 3 を超える場合、惑星系の存在は不可能であることを示しました。3 次元の世界でのみ、惑星系内の惑星の安定した軌道が存在できます。つまり、物質の三次元秩序は唯一の安定した秩序です。

しかし、空間の三次元性は絶対的な必然性であると断言することはできません。それは他のものと同様に物理的事実であり、結果として、同じ種類の説明の対象となります。

なぜ私たちの空間が三次元であるかという問題は、「三次元の世界はすべての可能な世界の中で最も完璧である」という非科学的な主張に基づく目的論の観点から、または科学的な唯物論の立場から解決することができます。基本的な物理法則。

同時代人の意見

現代物理学によると、三次元性の特徴は、三次元性だけが、物理的現実の連続的な因果法則を定式化することを可能にするということです。しかし、「現代の概念は、世界の物理的な絵の真の状態を反映していません。私たちの時代、科学者は空間を一種の構造と見なしており、多くのレベルで構成されており、それもまた不定です。したがって、現代科学が、私たちが住んでいて調査している私たちの空間が3次元である理由の質問に答えられないのは偶然ではありません.

連結空間論

パラレルワールドでは、イベントは独自の方法で発生し、...

「数学の範囲内にとどまり、この問題に対する答えを探そうとする試みは、失敗する運命にあります。その答えは、未開発の新しい物理学の領域にあるかもしれません。」境界空間の考慮された物理学の規定に基づいて、この質問に対する答えを見つけようとしましょう。

接続された空間の理論によると、オブジェクトの開発は 3 つの段階で進行し、各段階はその選択した方向に沿って開発されます。その開発軸に沿って。

最初の段階では、オブジェクトの開発は最初に選択された方向に沿って進みます。開発の軸は 1 つです。第 2 段階では、第 1 段階で形成されたシステムが 90° 回転します。空間軸の方向に変化があり、システムの開発は、元の方向に垂直な、2 番目に選択された方向に沿って進み始めます。第 3 段階で、システムの展開は再び 90° 回転し、最初の 2 つの方向に垂直な、3 番目に選択された方向に沿って展開を開始します。その結果、3 つの入れ子になった空間の球体が形成され、それぞれが開発の軸の 1 つに対応します。さらに、これら3つの空間はすべて、物理的なプロセスによって単一の安定したフォーメーションに接続されています。

このプロセスは世界のすべてのスケールレベルで実装されているため、座標自体を含むすべてのシステムは、トライアド (3 座標) の原則に従って構築されます。プロセスの開発の3つの段階を通過した結果、3次元空間が自然に形成され、相互に垂直な3つの開発方向の3つの座標軸によって開発の物理的プロセスの結果として形成されます!

これらの知的実体は、宇宙の存在の黎明期に発生しました...

明らかにこの知識を持っていたピタゴラスが、「すべてのものは 3 つで構成されている」という表現を所有しているのも不思議ではありません。 N.Kさんも同じことを言っています。 Roerich: 「三位一体のシンボルは非常に古く、世界中で見られます。したがって、意識の進化を表しているため、宗派、組織、宗教、伝統、個人またはグループの利益に限定することはできません。すべての段階で...三位一体のサインは世界中に散らばっていることが判明しました...同じサインのすべての痕跡をまとめると、おそらく最も一般的で最も古いものになるでしょう人間のシンボル。この記号が 1 つの信念にのみ属している、または 1 つの民間伝承に基づいていると主張することはできません。

古代でさえ、私たちの世界が三位一体の神（3つが1つに融合したもの）として提示されたのは当然のことです。つまり、元の価値をはるかに超える神聖な意味において、全体的で分割できない何かです。

単一の系内の空間特化（空間の座標方向に沿った分布）を追跡しましたが、原子から銀河まで、どの社会でもまったく同じ分布を見ることができます。この 3 種類の空間は、幾何学的空間の 3 つの座標状態に他なりません。

私たちが住んでいる世界の空間は何次元ですか？

何の質問だ！もちろん、普通の人は 3 と答えて正解です。しかし、明らかなことを疑う後天的な特性を持っている特別な種類の人々がまだいます. これらの人々は、そうするように特別に教えられているため、「科学者」と呼ばれています。彼らにとって、私たちの質問はそれほど単純ではありません。空間の測定はとらえどころのないものであり、指を指して単純に数えることはできません。1、2、3 です。定規や電流計などの器具でそれらの数を測定することは不可能です。空間には 2.97 プラスマイナス 0.04 の測定値があります。この問題をより深く考え、間接的な方法を探さなければなりません。このような調査は有益であることが証明されました。現代の物理学では、現実世界の次元の数は物質の最も深い性質と密接に関連していると考えられています。しかし、これらのアイデアへの道は、私たちの日常の経験を修正することから始まりました。

通常、世界は物体と同様に「高さ」「幅」「深さ」の 3 つの方向に対応する 3 つの次元を持っていると言われています。紙面に描かれている「奥行」は、「高さ」と「幅」に縮小され、ある意味でそれらの組み合わせであることが明らかです。また、実際の 3 次元空間では、考えられるすべての方向が、事前に選択された 3 つの方向に縮小されることも明らかです。しかし、「還元された」、「結合されている」とはどういう意味ですか? 長方形の部屋ではなく、金星と火星の間のどこかで無重力状態になった場合、これらの「幅」と「深さ」はどこにあるのでしょうか? 最後に、たとえばモスクワとニューヨークの「高さ」が同じ「測定値」であることを誰が保証できますか?

問題は、私たちが解決しようとしている問題の答えをすでに知っているということであり、これは常に役立つとは限りません。さて、次元の数が前もって知られていない世界に自分自身を見つけることができたら、それらを一度に 1 つずつ探します。まったく新しい方法。

石畳の数学者の道具

1915 年、フランスの数学者 Henri Lebesgue は、高さ、幅、奥行きの概念を使用せずに空間の次元数を決定する方法を見つけました。彼の考えを理解するには、石畳の舗装をよく見るだけで十分です。その上で、石が3つと4つに収束する場所を簡単に見つけることができます。 2 つまたは 4 つの互いに隣接する正方形のタイルで通りを舗装することができます。同じ三角形のタイルを取ると、2 つまたは 6 つ隣接します。しかし、一人のマスターが通りを舗装して、いたるところにある石畳が2つずつしか隣り合わないようにすることはできません。これは非常に明白であるため、そうでないことを提案するのはばかげています。

数学者は、そのようなばかげた仮定の可能性に気づき、そこから結論を引き出すことができるという点で、まさに普通の人とは異なります。私たちの場合、ルベーグは次のように推論しました。舗装の表面はもちろん二次元です。同時に、少なくとも 3 つの岩が集まるポイントが必然的に存在します。この観察結果を一般化してみましょう。タイリング中に N + 1 個以上の「丸石」の接触を避けることができない場合、ある領域の次元が N に等しいとしましょう。これで、煉瓦工は空間の立体性を確認できます。結局のところ、厚い壁を複数の層に配置すると、少なくとも 4 つの煉瓦が接触する点が確実に存在します。

しかし、一見したところ、数学者が言うように、ルベーグの次元の定義に対する「反例」を見つけることができるように見えます。これは、床板が 2 つずつちょうど接触する板張りの床です。なぜタイリングしないのですか？したがって、ルベーグは、次元の定義に使用される「小石」が小さいことも要求しました。これは重要な考え方であり、意外な観点から最後にもう一度触れます。そして今、小さなサイズの「丸石」の状態がルベーグの定義を保存することは明らかです。たとえば、長い床板とは対照的に、短い寄木細工の床は、いくつかの点で必然的に3つに接触します。これは、空間の 3 次元が、単に 3 つの「異なる」方向を恣意的に選択できる能力ではないことを意味します。 3 次元は、立方体やレンガで少し遊んだ後に感じやすい、私たちの可能性の真の限界です。

スターリッツの目を通して見た空間の次元

空間の 3 次元性に関連するもう 1 つの制限は、刑務所の独房に閉じ込められた囚人 (たとえば、ミュラーの地下室のスターリッツ) によく感じられます。彼の視点からこのカメラはどのように見えますか? 粗いコンクリートの壁、しっかりと閉じられた鋼鉄のドア - 一言で言えば、ひび割れや穴のない 1 つの 2 次元の表面であり、彼がいる密閉された空間を四方から囲んでいます。そのようなシェルから行くところは本当にありません。人を一次元回路に閉じ込めることは可能ですか? ミュラーが床にチョークでスターリッツの周りに円を描いて家に帰る様子を想像してみてください。これは冗談のようにも見えません。

これらの考慮事項から、空間の次元数を決定するためにもう 1 つの方法が抽出されます。このように定式化しましょう：（N-1）次元の「面」だけで、すべての側面からN次元空間の領域を囲むことができます。 2 次元空間では「表面」は 1 次元の輪郭になり、1 次元空間では 2 つの 0 次元の点になります。この定義は 1913 年にオランダの数学者 Brouwer によって発明されましたが、わずか 8 年後に、Pavel Uryson とオーストリアの Karl Menger によって独自に再発見され、知られるようになりました。

ここで、Lebesgue、Brouwer、および彼らの同僚との私たちの道が分岐します。彼らは、無限までの任意の次元の空間の抽象的な数学的理論を構築するために、次元の新しい定義を必要としていました。これは純粋に数学的構造であり、人間の心のゲームであり、そのような奇妙な物体を無限次元空間として認識することさえできるほど強力です. 数学者は、そのような構造を持つものが本当に存在するかどうかを調べようとはしません。これは彼らの職業ではありません。それどころか、私たちが住んでいる世界の次元の数への私たちの関心は物理的なものです。私たちは、実際にいくつあるか、そしてその数を「自分の肌で」どのように感じるかを知りたいのです。純粋なアイデアではなく、現象が必要です。

与えられたすべての例が多かれ少なかれアーキテクチャから借用されたことは特徴的です。日常生活で私たちに現れるように、空間と最も密接に関連しているのは、この人間活動の領域です。物理世界の次元の探索をさらに進めるためには、他のレベルの現実への出口が必要になります。それらは、現代のテクノロジー、したがって物理学のおかげで、人間が利用できるようになりました。

ここでの光の速さは？

独房に残されていたスターリッツに簡単に戻りましょう。彼を三次元世界から確実に隔てていた殻から抜け出すために、彼は二次元の壁を恐れない四次元を利用した. つまり、彼はしばらく考えて、適切なアリバイを見つけました。つまり、スターリッツが使用した新しい不思議な次元は時間です。

時間と空間の次元との類似性に誰が最初に気付いたかを言うのは難しい. 彼らは2世紀前にすでにそれについて知っていました。体の運動の科学である古典力学の創始者の 1 人である Joseph Lagrange は、それを 4 次元世界の幾何学と比較しました。彼の比較は、一般相対性理論に関する現代の本からの引用のように聞こえます。

しかし、ラグランジュの思考の流れは理解しやすいものです。彼の時代には、現在の心電図や毎月の体温のグラフのように、変数の時間依存性のグラフがすでに知られていました。このようなグラフは 2 次元平面上に描画されます。縦軸に沿って変数が移動したパスがプロットされ、横軸に沿って経過時間がプロットされます。同時に、時間はまさに「別の」幾何学的次元になります。同じように、私たちの世界の 3 次元空間に追加することができます。

しかし、時間は空間次元のようなものでしょうか? グラフが描かれた平面には、2 つの選択された「意味のある」方向があります。また、どの軸とも一致しない方向は意味がなく、何も描写しません。通常の幾何学的な 2 次元平面では、すべての方向が等しく、明確な軸はありません。

時間は、四次元の「時空」の他の方向と区別されない場合にのみ、真に第 4 の座標と見なすことができます。時空を「回転」させて、時間と空間の次元が「混ざり合い」、ある意味で互いに移行できるようにする方法を見つける必要があります。

この方法は、相対性理論を作成したアルバートアインシュタインと、相対性理論に厳密な数学的形式を与えたヘルマンミンコフスキーによって発見されました。彼らは、自然界には光速という普遍的な速度があるという事実を利用しました。

相対性理論の専門用語で言えば、空間の 2 つの点、それぞれが独自の瞬間、つまり 2 つの「イベント」を考えてみましょう。秒単位で測定されたそれらの間の時間間隔に光速を掛けると、メートル単位で特定の距離が得られます。この架空のセグメントは、イベント間の空間距離に「垂直」であり、一緒になって直角三角形の「脚」を形成し、その「斜辺」は、選択されたイベントを接続する時空間のセグメントであると仮定します。イベント。ミンコフスキーは次のように提案しました: この三角形の「斜辺」の長さの 2 乗を見つけるには、「空間」脚の長さの 2 乗を「時間」の長さの 2 乗に足すのではなく、引きます。もちろん、これは否定的な結果につながる可能性があります。その場合、「斜辺」は虚数の長さであると見なされます。しかし、ポイントは何ですか？

平面を回転させても、その上に描かれたセグメントの長さは保持されます。ミンコフスキーは、彼が提案したイベント間のセグメントの「長さ」を保持するような時空の「回転」を考慮する必要があることに気付きました。これが、構築された理論における光の速度が普遍的であることを達成する方法です。 2 つのイベントが光信号によって接続されている場合、それらの間の「ミンコフスキー距離」はゼロです。空間距離は、時間間隔に光速を掛けた値と一致します。ミンコフスキーが提案した「回転」は、「回転」中に空間と時間がどのように混合されても、この「距離」をゼロに保ちます。

ミンコフスキーの「距離」が物理的な意味を持っている理由はこれだけではありません。ミンコフスキーの「距離」は、イベント間の空間的および時間的間隔の両方を等しくすることができるような方法で、時空の「ジオメトリ」を構築する方法を提供します。おそらく、これが相対性理論の主なアイデアです。

このように、私たちの世界の時間と空間は互いに密接につながっており、一方がどこで終わり、他方がどこから始まるかを理解することは困難です。それらが合わさって、劇「宇宙史」が上演されている舞台のようなものを形成しています。アクター銀河、星雲、星、惑星、さらにはいくつかの惑星では、生きている知的生物が組み立てられる物質、原子、分子の粒子です（読者は、少なくとも1つのそのような惑星に注意する必要があります）。

アインシュタインは、先人たちの発見に基づいて、空間と時間が互いに不可分であることが判明し、現実が真に 4 次元になった、新しい物理的な世界像を作成しました。そして、この 4 次元の現実では、当時の科学で知られている 2 つの「基本的な相互作用」のうちの 1 つが「解消」されました。万有引力の法則は、4 次元世界の幾何学的構造に還元されました。しかし、アインシュタインは、別の基本的な電磁相互作用については何もできませんでした。

時空が新たな次元へ

一般相対性理論は非常に美しく説得力があるため、それが知られるようになるとすぐに、他の科学者が同じ道をたどろうとしました。アインシュタインは重力を幾何学に還元した? したがって、電磁力を幾何化することは彼の追随者に委ねられています!

アインシュタインが 4 次元空間計量の可能性を使い果たしたので、彼の追随者たちは、そのような理論を構築できる幾何学的オブジェクトのセットを何らかの方法で拡張しようとし始めました。彼らが次元数を増やしたいと思ったのはごく自然なことです。

しかし、理論家が電磁力の幾何化に取り組んでいる間に、さらに 2 つの基本的な相互作用、いわゆる強い相互作用と弱い相互作用が発見されました。ここで、すでに 4 つの相互作用を組み合わせる必要がありました。同時に、どの新しいアイデアが発明されたかを克服するために、多くの予想外の困難が生じ、科学者を前世紀の視覚物理学からますます遠ざけました。彼らは、数十、さらには数百の次元を持つ世界のモデルを検討し始め、無限次元の空間が便利になりました. これらの検索について説明するには、本全体を書く必要があります。もう 1 つの質問は私たちにとって重要です: これらの新しい次元はどこにあるのでしょうか? 時間や三次元空間を感じるのと同じように感じることができるでしょうか？

長くて非常に細いチューブを想像してみてください。たとえば、内部が空の消防ホースが 1000 分の 1 に縮小されています。これは 2 次元のサーフェスですが、その 2 つの次元は等しくありません。そのうちの 1 つである長さは、「巨視的」測定であることが容易にわかります。ただし、「横方向」の寸法である周囲は、顕微鏡でしか見ることができません。世界の現代の多次元モデルはこのチューブに似ていますが、1 つではなく 4 つの巨視的次元 (3 つの空間的次元と 1 つの時間的次元) があります。これらのモデルの残りの測定値は、電子顕微鏡でも見ることができません。それらの現象を検出するために、物理学者は加速器を使用します。これは非常に高価ですが、亜原子の世界では粗雑な「顕微鏡」です。

一部の科学者はこの印象的な絵を完成させ、次々と障害を見事に克服しましたが、他の科学者はトリッキーな質問をしました。

次元を分数にすることはできますか?

なぜだめですか？これを行うには、それを整数以外の数と結び付けることができる新しい次元プロパティ、およびこのプロパティを持ち、分数次元を持つ幾何学的オブジェクトを「単純に」見つける必要があります。たとえば、1.5 次元の幾何学図形を見つけたい場合、2 つの方法があります。 2D サーフェスから半分の寸法を差し引くか、1D ラインに半分の寸法を追加することができます。これを行うには、まず次元全体を足したり引いたりする練習をしましょう。

そのような有名な子供のトリックがあります。マジシャンは三角形の紙を取り、はさみで切り込みを入れ、切り込み線に沿ってシートを半分に折り、さらに切り込みを入れ、もう一度折り、最後にもう一度切り、ap! 彼の手には 8 つの三角形のガーランドがあり、それぞれが元のものと完全に似ていますが、面積は 8 分の 1 です (サイズは 8 分の 1 の平方根です)。おそらく、このトリックは 1890 年にイタリアの数学者ジュゼッペペアノ (または彼自身がそれを示すのが好きだった) に示されました。完璧な紙、完璧なハサミを用意して、切って、折るという一連の作業を無限に繰り返しましょう。次に、このプロセスの各ステップで得られる個々の三角形の次元はゼロになる傾向があり、三角形自体がポイントに縮小します。したがって、1 枚の紙を失うことなく、2 次元の三角形から 1 次元の線を得ることができます。この線をガーランドに引き伸ばさず、カットしたときのように「くしゃくしゃ」のままにしておくと、三角形全体が塗りつぶされます。さらに、この三角形をどんな強力な顕微鏡下で考え、その断片を何度でも拡大しても、結果の画像は拡大されていないものとまったく同じに見えます。科学的に言えば、ペアノ曲線はすべての拡大スケールで同じ構造を持っています。スケーリングされた不変量」。

つまり、数え切れないほど曲がったことで、1 次元の曲線はいわば 2 の次元を獲得することができたのです。これは、「しわくちゃ」の少ない曲線が「次元」、たとえば 1.5 になるという希望があることを意味します。しかし、分数の次元を測定する方法をどのように見つけますか?

読者が覚えているように、次元の「石畳」の定義では、十分に小さい「石畳」を使用する必要がありました。そうしないと、結果が間違ったものになる可能性があります。しかし、小さな「石畳」がたくさん必要になります。寸法を決定するために、「玉石」が互いにどのように隣接しているかを調べる必要はありませんが、サイズが小さくなるにつれてそれらの数がどのように増加するかを調べるだけで十分です。

長さ 1 デシメートルの直線セグメントと 2 つのペアノ曲線を取り、一緒にデシメートル単位で測定される正方形を埋めます。一辺の長さが1センチ、1ミリ、0.1ミリなどの小さな正方形の「玉石」でそれらを覆い、ミクロンまで小さくします。「玉石」のサイズをデシメートルで表すと、マイナス 1 乗のサイズに等しい「玉石」の数がセグメントに必要であり、ペアノの場合はマイナス 2 乗のサイズになります。 . さらに、セグメントには間違いなく 1 つの次元があり、ペアノ曲線には 2 つの次元があります。これは単なる偶然ではありません。「丸石」の数とそのサイズを関連付ける比率の指数は、実際には、丸石で覆われている図形の寸法と同じです (マイナス記号付き)。指数を小数にすることが特に重要です。たとえば、通常の線とペアノ曲線の 2 乗を密に埋める曲線の中間の「くしゃくしゃ」の曲線の場合、指数の値は 1 より大きく 2 より小さくなります。寸法。

このようにして、たとえば、ノルウェーの海岸線の寸法が、非常にへこんでいる (または好きなように「くしゃくしゃ」) 海岸線を持つ国として決定されました。もちろん、石畳でノルウェーの海岸を舗装することは、地上ではなく、地理的なアトラスの地図上で行われました。結果 (無限に小さい「丸石」に到達することは実際には不可能であるため、完全に正確ではありません) は 1.52 プラスマイナス 100 分の 1 でした。ノルウェーの海岸線は地球の 2 次元の表面に「描かれている」ため、「1 次元」の線について話しているので、次元が 1 未満ではないことは明らかです。 .

すべてのものの尺度としての人間

読者はここで分数次元は問題ないと言うかもしれませんが、私たちが住んでいる世界の次元数の問題と何の関係があるのでしょうか? 世界の次元が分数であり、正確に 3 に等しくないということはありえますか?

ペアノ曲線とノルウェーの海岸の例は、無限に小さなひだに埋め込まれた曲線が強く「くしゃくしゃ」である場合に分数次元が得られることを示しています。分数次元を決定するプロセスには、調査中の曲線をカバーする無限に減少する「丸石」の使用も含まれます。したがって、科学的に言えば、分数次元は「十分に小さいスケールで」しか現れません。つまり、「丸石」の数とそのサイズを結ぶ比率の指数は、限界内の分数値にしか到達できません。それどころか、1 つの巨大な岩がフラクタルを覆うことができ、有限次元の分数次元のオブジェクトは点と区別できません。

私たちにとって、私たちが住んでいる世界は、まず第一に、日常の現実の中で私たちが利用できるスケールです. 技術の驚くべき成果にもかかわらず、その特徴的な次元は、私たちの視覚の鋭さと歩行範囲、反応速度と記憶の深さによる特徴的な期間、エネルギーの特徴的な量によって依然として決定されています。私たちの体が周囲のものと入り込む相互作用の強さ。私たちは古代人をはるかに上回っていませんが、これを目指して努力する価値はありますか? 自然災害や技術災害は、「私たちの」現実の規模をいくらか拡大しますが、宇宙的なものにはしません。マイクロワールドは、私たちの日常生活ではますますアクセスしにくくなっています。私たちの前に開かれた世界は三次元で、「滑らか」で「平ら」であり、古代ギリシャ人の幾何学によって完全に記述されています。科学の成果は、最終的には、その境界を保護するほど拡大するのに役立つべきではありません。

では、私たちの世界の隠された次元の発見を待っている人々への答えは何ですか? 残念ながら、世界が 3 つの空間次元を超えて持つ、私たちが利用できる唯一の次元は時間です。少ないか多いか、古いか新しいか、素晴らしいか平凡か。時間は単純に 4 番目の自由度であり、さまざまな方法で使用できます。ちなみに、教育を受けた物理学者である同じスターリッツをもう一度思い出してみましょう。すべての瞬間には独自の理由があります

アンドレイ・ソボレフスキー