さまざまな数字の領域。図形の面積は何ですか? 個人情報の保護

幾何学的領域- この図形のサイズを示す幾何学的図形の数値特性 (この図形の閉じた輪郭によって境界付けられる表面の一部)。領域のサイズは、その領域に含まれる正方形の単位の数で表されます。

三角形の面積の公式

辺と高さの三角形の面積公式
三角形の面積三角形の一辺の長さと、この辺に描かれた高度の長さの積の半分に等しい
3つの辺と外接円の半径を与えられた三角形の面積の公式
3つの辺と内接円の半径を与えられた三角形の面積の公式
三角形の面積三角形の半周と内接円の半径の積に等しい。

正方形の面積の公式

辺の長さを指定した正方形の面積の公式
正方形の領域は辺の長さの二乗に等しい。
対角線の長さを与えられた正方形の面積の公式
正方形の領域対角線の長さの正方形の半分に等しい。
S= 1 2
2

長方形の面積の計算式

長方形領域

平行四辺形の面積の公式

辺の長さと高さの平行四辺形の面積公式
平行四辺形領域
2つの辺とそれらの間の角度が与えられた場合の、平行四辺形の面積の公式
平行四辺形領域は、辺の長さにそれらの間の角度の正弦を乗じた積に等しい。
a b sinα

ひし形の面積の公式

辺の長さと高さが与えられた菱形の面積公式
ひし形領域辺の長さと、こちら側に下がった高さの長さの積に等しい。
辺の長さと角度からひし形の面積を求める公式
ひし形領域は、ひし形の辺の長さの二乗と、ひし形の辺の間の角度の正弦との積に等しい。
対角線の長さからひし形の面積を求める公式
ひし形領域は対角線の長さの積の半分に等しい。

台形の面積公式

ヘロンの台形公式
S が台形の面積である場合、
- 台形の底辺の長さ、
- 台形の辺の長さ、

図形の面積を求めるにはどうすればよいですか?

さまざまな図形の面積を知り、計算できることは、単純な幾何学的問題を解決するためだけではありません。施設の修理の見積もりを作成または確認したり、必要な消耗品の量を計算したりするときは、この知識なしではできません。したがって、さまざまな形状の領域を見つける方法を考えてみましょう。

閉じた輪郭で囲まれた平面の部分は、この平面の面積と呼ばれます。面積はその中に囲まれた正方形の単位の数で表されます。

基本的な幾何学的形状の面積を計算するには、正しい公式を使用する必要があります。

三角形の面積

指定:

h、aが既知の場合、目的の三角形の面積は、辺の長さと、この辺に下がった三角形の高さの積を半分に割って求められます: S=(a h)/2
a、b、c が既知の場合、目的の面積は Heron の公式を使用して計算されます。三角形の周囲の半分と、周囲の半分と三角形の各辺の 3 つの差の積から求められる平方根です。S = √ (p (p - a) (p - b) (p - c))。
a、b、γ が既知の場合、三角形の面積は 2 つの辺の積の半分に、これらの辺の間の角度の正弦の値を乗算して求められます: S=(a b sin γ)/2
a、b、c、R が既知の場合、必要な面積は、三角形のすべての辺の長さの積を外接円の 4 つの半径で割ることとして定義されます: S=(a b c)/4R
p、rが既知の場合、三角形の必要な面積は、周囲の半分とそれに内接する円の半径を乗じることによって決定されます: S = p r

正方形の領域

指定:

辺が既知の場合、この図形の面積はその辺の長さの二乗として決定されます: S=a 2
d が既知の場合、正方形の領域は対角線の長さの半分の正方形として定義されます: S=d 2 /2

長方形領域

指定:

S - 決定された領域、
a、bは長方形の辺の長さです。

a、b が既知の場合、指定された長方形の面積は、その 2 つの辺の長さの積によって決まります: S=a b
辺の長さが不明な場合は、長方形の領域を三角形に分割する必要があります。この場合、長方形の面積は、それを構成する三角形の面積の合計として定義されます。

平行四辺形領域

指定:

S - 希望の領域、
a、b - 辺の長さ、
h は指定された平行四辺形の高さの長さです。
d1、d2 - 2 本の対角線の長さ、
α - 辺間の角度、
γ は対角線間の角度です。

a、h が既知の場合、必要な面積は、辺の長さとこの辺に下がった高さを乗算することによって決定されます: S = a h
a、b、αが既知の場合、平行四辺形の面積は、平行四辺形の辺の長さとこれらの辺の間の角度の正弦の値を乗算することによって決定されます: S=a b sin α
d 1 、 d 2 、 γ が既知の場合、平行四辺形の面積は、対角線の長さとこれらの対角線の間の角度の正弦の値の積の半分として定義されます。 S=(d 1 d 2 sinγ)/2

ひし形領域

指定:

S - 希望の領域、
a - 辺の長さ、
h - 高さの長さ、
α は 2 つの辺の間の小さい方の角度です。
d1、d2 は 2 つの対角線の長さです。

a、h が既知の場合、ひし形の面積は、辺の長さに、こちら側に下がった高さの長さを乗じて決定されます: S = a h
a、αが既知の場合、ひし形の面積は、辺の長さの2乗に辺の間の角度のサインを乗じることによって決定されます: S=a 2 sin α
d 1 と d 2 が既知の場合、必要な面積はひし形の対角線の長さの積の半分として決定されます: S \u003d (d 1 d 2) / 2

台形エリア

指定:

a、b、c、d が既知の場合、必要な面積は次の式によって決定されます: S= (a+b) /2 *√ 。
既知の a、b、h を使用すると、目的の面積は台形の底辺の合計の半分と高さの積として決定されます: S=(a+b)/2 h

凸四角形の面積

指定:

d 1 、 d 2 、 α が既知の場合、凸四角形の面積は、四角形の対角線の積の半分に、これらの対角線の間の角度の正弦を乗じたものとして定義されます。 S=(d 1 d 2 sin α)/2
p、rが既知の場合、凸四角形の面積は、四角形の半周長とこの四角形に内接する円の半径の積として定義されます: S=p r
a、b、c、d、θが既知の場合、凸四角形の面積は、半周長と各辺の長さの差の積から次の長さの積を引いた平方根として求められます。すべての辺と、2 つの対角の合計の半分の余弦の 2 乗: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+β) /2)

円の面積

指定:

r が既知の場合、目的の面積は数値 π と半径の 2 乗の積として決定されます: S=π r 2

d が既知の場合、円の面積は、数値 π と直径の 2 乗の積を 4 で割った値として求められます: S=(π d 2)/4

複素図形の面積

複合体は単純な幾何学的形状に分解できます。複素図形の面積は、構成要素の面積の合計または差として定義されます。たとえば、指輪を考えてみましょう。

指定：

Sはリングの面積、
R、r はそれぞれ外側の円と内側の円の半径です。
D、d はそれぞれ外側の円と内側の円の直径です。

リングの面積を求めるには、大きい方の円の面積からその面積を引きます。より小さな円。 S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -πr 2 \u003d π (R 2 -r 2)。

したがって、R と r が既知の場合、リングの面積は、外側の円と内側の円の半径の 2 乗の差に数値 pi を掛けたものとして求められます。 S=π(R 2 -r 2) ）。

D と d が既知の場合、リングの面積は、外側の円と内側の円の直径の 2 乗の差の 4 分の 1 に数値 pi を乗算して求められます: S = (1/4) ( D 2 -d 2) π。

パッチエリア

1 つの正方形 (A) の中に別の正方形 (B) (小さい方) があり、図形「A」と「B」の間にある満たされた空洞を見つける必要があるとします。小さな正方形の「フレーム」としましょう。このために：

図形「A」の面積を求めます（正方形の面積を求める公式によって計算されます）。
同様に、図形「B」の面積を求めます。
面積「A」から面積「B」を引きます。したがって、影付きの図形の面積が得られます。

これで、さまざまな形状の領域を見つける方法がわかりました。

クラス： 5

私の意見では、教師の仕事は教えることだけではなく、生徒の認知的興味を発展させることです。したがって、可能な限り、レッスンのトピックを実際のタスクに結び付けます。

レッスンでは、生徒は教師の指導の下、「複素図形」（修理見積もりを計算するため）の領域を見つけるための問題を解決するための計画を作成し、見つけるための問題を解決するためのスキルを強化します。エリア; 注意力、活動を研究する能力、活動の教育、独立性の発達があります。

ペアで作業すると、知識を持っている人とそれを習得する人の間にコミュニケーションの状況が生まれます。このような取り組みの基礎は、その分野のトレーニングの質を向上させることです。学習プロセスへの関心の発達と教材のより深い吸収を促進します。

このレッスンは生徒の知識を体系化するだけでなく、創造的で分析的な能力の開発にも貢献します。レッスンで実践的な内容のタスクを使用することで、日常生活における数学的知識の関連性を示すことができます。

レッスンの目的:

教育:

長方形、直角三角形の面積の公式の知識の統合。
「複雑な」図形の面積を計算するタスクとその実装方法の分析。
知識、スキル、能力をテストするためにタスクを独立して実行します。

現像：

精神活動および研究活動の方法の開発。
決定の過程を聞き、説明する能力を開発します。

教育:

学生に教育活動のスキルを教育する。
口頭および書面による数学的スピーチの文化を育成する。
教室での友情とグループで働く能力を養います。

レッスンタイプ:組み合わせた。

装置：

数学: 5 つのセルの教科書。一般教育機関 / N.Ya. ヴィレンキン、V.I. Zhokhov 他、M.: Mnemozina、2010。
複雑な図形の面積を計算するための図形を含む生徒のグループ用のカード。
描画ツール。

レッスンプラン：

整理の時間。
知識のアップデート。
a) 理論的な質問 (テスト)。
b) 問題の説明。
新しい教材を学びました。
a) 問題の解決策を見つける。
b) 問題を解決する。
素材を固定します。
a) 集団的な問題解決。
フィズクルトミヌトカ。
b) 独立した仕事。
宿題。
レッスンの概要。反射。

授業中

I. 組織的な瞬間。

次の励ましの言葉でレッスンを始めましょう。

数学、友達、
絶対に誰もがそれを必要としています。
授業頑張ってね
そして成功があなたを待っています！

II. 知識のアップデート。

A)信号カードを使った正面作業（各生徒は 1、2、3、4 の数字が書かれたカードを持っています。テストの質問に答えるとき、生徒は正しい答えの番号が書かれたカードを上げます）。

1. 平方センチメートルは次のとおりです。

一辺が1cmの正方形の面積。
一辺が1cmの正方形。
周囲1cmの正方形。

2. 図に示されている図の領域は次のとおりです。

8dm;
8dm2;
15dm 2．

3. 等しい図形は周長も面積も等しいというのは本当ですか?

4. 長方形の面積は次の式で求められます。

S = a 2 ;
S = 2 (a + b);
S = a b。

5. 図に示されている図の領域は次のとおりです。

12センチメートル;
8センチメートル;
16センチメートル

b) （問題の定式化）。 タスク。 次の形状の床（図参照）を1m 2 あたり200gの塗料で塗装する場合、塗料の量はどれくらい必要ですか？

Ⅲ．新しい教材を学ぶ。

最後の問題を解決するには何を知る必要がありますか? （「複雑な図形」に見える床の面積を求めます。）

生徒はレッスンのトピックと目標を作成します (必要に応じて教師が手助けします)。

長方形を考えてみましょう あいうえお。そこに線を引いてみましょう KPMN長方形を壊すことで あいうえお 2 つの部分に分かれています: ABNMPKそして KPMNCD。

エリアは何ですか あいうえお? (15cm2)

図形の面積は何ですか ABMNPK? (7cm2)

図形の面積は何ですか KPMNCD? (8cm2)

結果を分析します。 (15==7+8)

結論？ (図形全体の面積は、その部分の面積の合計に等しくなります。

S = S1 + S2

この特性を使用して問題を解決するにはどうすればよいでしょうか? (複雑な図形を部分に分割し、部分の面積を求めてから、図形全体の面積を求めましょう。)

S 1 \u003d 7 2 \u003d 14 (m 2)
S 2 \u003d (7 - 4) (8 - 2 - 3) \u003d 3 3 \u003d 9 (m 2)
S 3 \u003d 7 3 \u003d 21 (m 2)
S \u003d S 1 + S 2 + S 3 \u003d 14 + 9 + 21 \u003d 44 (m 2)

仲直りしましょう 「複素図形」の面積を求める問題を解決する計画:

図を単純な図に分割します。
単純な図形の面積を求めます。

a) タスク 1。 次のサイズのプラットフォームをレイアウトするには、タイルの数が必要になります。

S = S1 + S2
S 1 \u003d (60 - 30) 20 \u003d 600 (dm 2)
S 2 \u003d 30 50 \u003d 1500 (dm 2)
S \u003d 600 + 1500 \u003d 2100 (dm 2)

別の解決方法はありますか? (提案されたオプションを検討します。)

答え：2100dm 2.

タスク2。 （ボード上およびノート上での集団決定。）次の形状の部屋を修理するには、どのくらいのリノリウムが必要ですか:

S = S1 + S2
S 1 \u003d 3 2 \u003d 6 (m 2)
S 2 \u003d ((5 - 3) 2): 2 \u003d 2 (m 2)
S \u003d 6 + 2 \u003d 8 (m 2)

答え: 8 平方メートル。

フィズクルトミヌトカ。

さて、皆さん、起きてください。
彼らはすぐに手を挙げました。
横、前、後ろ。
右に曲がった、左に曲がった。
私たちは静かに座り、仕事に戻りました。

b) 独立した仕事 (教育) .

生徒はグループに分けられます（5 ～ 8 番が強い）。各グループは修理チームです。

チームのタスク: 1m 2 あたり 200 g の塗料が必要な場合、カードに示されている図形の形状の床を塗装するのに必要な塗料の量を決定します。

この図をノートに作成し、すべてのデータを書き留めてタスクに進みます。解決策について話し合うことができます (ただし、グループ内でのみ!)。グループがタスクに素早く対処すると、追加のタスクが与えられます。 （独立した作品の検証後）。

グループのタスク:

V. 宿題。

項目 18、no. 718、no. 749。

追加のタスク。夏の庭園（サンクトペテルブルク）の計画図。その面積を計算します。

VI. レッスン結果。

反射。次のフレーズを続けます。

今日知ったのですが…
興味深かった…
大変でした…
今できることは…
一生の教訓となった…

定積分の幾何学的意味の分析に専念した前のセクションでは、曲線台形の面積を計算するためのいくつかの公式を得ました。

セグメント [ a ; 上の連続非負関数 y = f (x) の場合、S (G) = ∫ a b f (x) d x b]、

セグメント [ a ; 上の連続非正関数 y = f (x) の場合、S (G) = - ∫ a b f (x) d x b] 。

これらの公式は、比較的単純な問題の解決に適用できます。実際には、より複雑な形状を扱う必要があることがよくあります。これに関して、このセクションでは、明示的な形式の関数によって制限される図形の面積を計算するためのアルゴリズムの分析に専念します。 y = f(x) または x = g(y) のように。

定理

関数 y = f 1 (x) および y = f 2 (x) が定義され、セグメント [ a ; 上で連続的であるとします。 b ] 、および [ a ; の任意の値 x に対して f 1 (x) ≤ f 2 (x) b] 。次に、線x \u003d a、x \u003d b、y \u003d f 1 (x)、およびy \u003d f 2 (x)で囲まれた図Gの面積を計算する式はS( G）\u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x 。

同様の式は、線y \u003d c、y \u003d d、x \u003d g 1 (y)およびx \u003d g 2 (y)で囲まれた図の領域に適用できます。S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y 。

証拠

この式が有効となる 3 つのケースを分析します。

最初のケースでは、面積の加法性を考慮すると、元の図形 G と曲線台形 G 1 の面積の合計は、図形 G 2 の面積に等しくなります。だということだ

したがって、S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x 。

定積分の 3 番目のプロパティを使用して最後の遷移を実行できます。

2 番目のケースでは、等式が真です。 S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

図解は次のようになります。

両方の関数が正でない場合、次のようになります。 S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x 。図解は次のようになります。

y = f 1 (x) および y = f 2 (x) が軸 O x と交差する場合の一般的なケースの考察に移りましょう。

交点を x i 、 i = 1 、 2 、... と表します。。。、n-1。これらの点はセグメント [ a ; を分割します。 b ] を n 個の部分 x i-1 に分割します。 xi , i = 1 , 2 , . 。。 , n 、ここで α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

したがって、

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

定積分の 5 番目の性質を使用して最後の遷移を行うことができます。

一般的なケースをグラフで説明しましょう。

式 S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x は証明されたと考えることができます。

それでは、線 y \u003d f (x) および x \u003d g (y) によって制限される図形の面積を計算する例の分析に移りましょう。

いずれかの例を考慮して、グラフの構築から始めます。このイメージを使用すると、複雑な形状を単純な形状の組み合わせとして表現できるようになります。グラフや図形をプロットするのが難しい場合は、基本的な初等関数、関数のグラフの幾何学的変換、および関数の学習中にプロットに関するセクションを学習することができます。

例1

放物線y \u003d - x 2 + 6 x - 5と直線y \u003d - 1 3 x - 1 2、x \u003dによって制限される図の面積を決定する必要があります。 1、x \u003d 4.

解決

デカルト座標系でグラフ上に線をプロットしてみましょう。

区間 [ 1 ; [4] 放物線 y = - x 2 + 6 x - 5 のグラフは、直線 y = - 1 3 x - 1 2 の上に位置します。この点に関して、答えを得るために、前に得た式と、ニュートン・ライプニッツの公式を使用して定積分を計算する方法を使用します。

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

答え: S (G) = 13

より複雑な例を見てみましょう。

例 2

線 y = x + 2 、 y = x 、 x = 7 によって制限される図の面積を計算する必要があります。

解決

この場合、x 軸に平行な直線は 1 本だけです。これは x = 7 です。これには、2 番目の積分限界を自分で見つける必要があります。

グラフを作成し、問題の条件で指定された線をその上に置きましょう。

目の前にグラフがあると、積分の下限が直線y \u003d xと半放物線y \u003d x + 2とのグラフの交点の横座標になることが簡単に判断できます。横座標を求めるには、次の等式を使用します。

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

交点の横軸は x = 2 であることがわかります。

図面の一般的な例では、線 y = x + 2 、 y = x が点 (2 ; 2) で交差しているため、このような詳細な計算は冗長に見えるかもしれないという事実に注意してください。ここでこのような詳細な解決策を提供したのは、より複雑な場合には解決策がそれほど明白ではない可能性があるためです。これは、線の交点の座標を常に解析的に計算する方が良いことを意味します。

区間 [ 2 ; [7] 関数 y = x のグラフは関数 y = x + 2 のグラフの上にあります。次の式を適用して面積を計算します。

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

答え: S (G) = 59 6

例 3

関数y \u003d 1 xおよびy \u003d - x 2 + 4 x - 2のグラフによって制限される図の面積を計算する必要があります。

解決

グラフ上に線を引いてみましょう。

積分の限界を定義しましょう。これを行うには、式 1 x と - x 2 + 4 x - 2 を等価にして、線の交点の座標を決定します。 xがゼロに等しくない場合、等式1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2は、整数係数を使用した3次の方程式 - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0と等価になります。。「3 次方程式の解法」セクションを参照して、このような方程式を解くためのアルゴリズムの記憶を更新することができます。

この方程式の根は x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0 です。

式 - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 を二項 x - 1 で割ると、次のようになります。 - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

残りの根は方程式 x 2 - 3 x - 1 = 0 から求めることができます。

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 。 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0。 3

区間 x ∈ 1 が見つかりました。 3 + 13 2 、ここで G は青い線の上と赤い線の下で囲まれています。これは、形状の領域を決定するのに役立ちます。

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

答え：S（G）\u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

例 4

曲線y \u003d x 3、y \u003d - log 2 x + 1およびx軸によって制限される図の面積を計算する必要があります。

解決

グラフにすべての線を入れてみましょう。グラフ y = log 2 x を x 軸に関して対称に配置して 1 単位上に移動すると、関数 y = - log 2 x + 1 のグラフが得られます。 x軸y \u003d 0の方程式。

線の交点を示しましょう。

図からわかるように、関数 y \u003d x 3 と y \u003d 0 のグラフは点 (0; 0) で交差します。これは、x \u003d 0 が方程式 x 3 \u003d 0 の唯一の実根であるためです。

x = 2 は方程式 - log 2 x + 1 = 0 の唯一の根であるため、関数 y = - log 2 x + 1 と y = 0 のグラフは点 (2 ; 0) で交差します。

x = 1 は、方程式 x 3 = - log 2 x + 1 の唯一の根です。この点で、関数 y \u003d x 3 と y \u003d - log 2 x + 1 のグラフは点 (1; 1) で交差します。最後のステートメントは明らかではないかもしれませんが、関数 y \u003d x 3 は厳密に増加しており、関数 y \u003d - log 2 x であるため、方程式 x 3 \u003d - log 2 x + 1 は複数の根を持つことはできません。 +1は厳密に減少します。

次のステップには、いくつかのオプションが含まれます。

オプション番号 1

図形 G は、横軸の上にある 2 つの曲線台形の合計として表すことができます。最初の台形は、線分 x ∈ 0 の正中線の下にあります。 1 、2 番目はセグメント x ∈ 1 の赤い線の下にあります。 2. これは、面積が S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x に等しいことを意味します。

オプション番号 2

図形 G は 2 つの図形の差として表すことができます。最初の図形は、x 軸の上で、線分 x ∈ 0 の青い線の下に位置します。 2 、2 番目の線はセグメント x ∈ 1 の赤と青の線の間にあります。 2. これにより、次のようにエリアを見つけることができます。

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

この場合、面積を見つけるには、S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y の形式の式を使用する必要があります。実際、形状を境界付ける線は、引数 y の関数として表すことができます。

方程式 y = x 3 と - log 2 x + 1 を x に関して解いてみましょう。

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

必要な領域を取得します。

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

答え: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

例5

線y \u003d x、y \u003d 2 3 x - 3、y \u003d - 1 2 x + 4によって制限される図の面積を計算する必要があります。

解決

関数 y = x で与えられる赤い線でチャート上に線を描きます。線 y = - 1 2 x + 4 を青で描き、線 y = 2 3 x - 3 を黒でマークします。

交点に注意してください。

関数 y = x および y = - 1 2 x + 4 のグラフの交点を見つけます。

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ）2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i は方程式の解です x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 は方程式の解です⇒ (4 ; 2) 交点 i y = x と y = - 1 2 x + 4

関数 y = x と y = 2 3 x - 3 のグラフの交点を見つけます。

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9、x 2 45 - 729 8 = 9 4 チェック: x 1 = 9 = 3、2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 は方程式の解です ⇒ (9; 3) 点と交点 y = x および y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 は方程式の解ではありません

直線 y = - 1 2 x + 4 と y = 2 3 x - 3 の交点を見つけます。

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) y = - 1 2 x + 4 と y = 2 3 x - 3 の交点

方法その1

目的の図形の面積を、個々の図形の面積の合計として表します。

すると、図の面積は次のようになります。

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - × 2 3 + 3 × 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

方法その2

元の図形の面積は、他の 2 つの図形の合計として表すことができます。

次に、x の直線方程式を解き、その後にのみ、図形の面積を計算するための式を適用します。

y = x ⇒ x = y 2 赤線 y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 黒線 y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i i i i

したがって、エリアは次のようになります。

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

ご覧のとおり、値は一致しています。

答え: S (G) = 11 3

結果

指定された線で囲まれた図形の面積を求めるには、平面上に線を描き、その交点を見つけて、面積を求める公式を適用する必要があります。このセクションでは、タスクの最も一般的なオプションを確認しました。

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規則的および不規則なさまざまな形の平面図形が無数にあります。すべての図形に共通する特性は、どの図形にも面積があるということです。図形の面積は、これらの図形が占める平面部分の寸法であり、特定の単位で表されます。この値は常に正の数として表されます。測定単位は、一辺が長さの単位 (1 メートルや 1 センチメートルなど) に等しい正方形の面積です。任意の図形の面積のおおよその値は、それを分割した単位正方形の数と 1 つの正方形の面積を乗算することで計算できます。

この概念のその他の定義は次のとおりです。

1. 単純な図形の面積は、次の条件を満たす正のスカラー量です。

等しい数字は等しい面積を持ちます。

図形が複数の部分 (単純な図形) に分割されている場合、その面積はこれらの図形の面積の合計になります。

一辺の測定単位を持つ正方形が面積の単位として機能します。

2. 複雑な形状の図形 (多角形) の面積は、次の特性を持つ正の量です。

等しいポリゴンは同じ面積を持ちます。

ポリゴンが他のいくつかのポリゴンで構成されている場合、その面積は後者の面積の合計に等しくなります。このルールは、重なり合わないポリゴンに当てはまります。

公理として、図形 (多角形) の面積は正の値であるという記述が受け入れられます。

円の面積の定義は、辺の数が無限大になる傾向があるにもかかわらず、円に内接する特定の円の面積が増加する傾向がある値として個別に与えられます。

不定形な図形（任意図形）の面積には定義がなく、計算方法のみが定められています。

古代にすでに存在していた面積の計算は、土地区画のサイズを決定する上で重要な実際的な作業でした。数百年間の面積を計算するための規則はギリシャの科学者によって定式化され、ユークリッドの要素に定理として記載されました。興味深いことに、単純な図形の面積を決定するルールは現在と同じです。曲線輪郭を持つ領域は、限界遷移を使用して計算されました。

学校で誰もがよく知っている単純な長方形、正方形の面積を計算するのは非常に簡単です。図形の領域の文字指定を含む公式を暗記する必要さえありません。いくつかの簡単なルールを覚えておいてください。

2. 長方形の面積は、長さと幅を掛けて計算されます。この場合、長さと幅は同じ測定単位で表す必要があります。

3. 複雑な図形をいくつかの単純な図形に分割し、結果の面積を加算することで、その面積を計算します。

4. 長方形の対角線は、その面積がその面積の半分に等しい 2 つの三角形に分割します。

5. 三角形の面積は、高さと底辺の積の半分として計算されます。

6. 円の面積は、半径の二乗とよく知られている数字「π」の積に等しい。

7. 平行四辺形の面積は、隣接する辺とそれらの間の角度の正弦の積として計算されます。

8. ひし形の面積は、対角線に内角の正弦を乗算した結果の 1/2 です。

9. 台形の面積は、台形の高さに正中線の長さを乗じることによって求められます。これは底辺の算術平均に等しいです。台形の面積を求めるもう 1 つのオプションは、対角線とそれらの間にある角度の正弦を乗算することです。

わかりやすくするために、小学生の子供たちには、パレットまたは透明な紙を使用して紙に描かれた図形の領域をセルに分割して見つけるというタスクが与えられることがよくあります。このような紙を測定した図形に重ね合わせ、その輪郭に収まる完全なセル（面積単位）の数を数え、次に不完全なセルの数を数え、それを半分に分けます。

さまざまな数字の領域。 図形の面積は何ですか? 個人情報の保護