地図投影。 地図投影法の種類とその本質 円筒投影法はどの地図に使用されますか?

地図投影法 は、地球の楕円体の表面を平面上に表示する数学的に定義された方法です。 これは、地球の楕円体の表面上の点の地理座標と、平面上のこれらの点の直交座標との間の関数関係を確立します。

バツ= ƒ 1 (B, L) そして Y= ƒ 2 （で、L).

地図投影法は、歪みの性質、補助面のタイプ、法線グリッド (子午線と緯線) のタイプ、極軸に対する補助面の向きなどによって分類されます。

歪みの性質上 次の投影が区別されます。

1. 等角、角度の大きさを歪みなく伝えるため、極小の図形の形状も歪みません。また、どの点でも長さのスケールは全方向で同じままです。 このような投影では、歪み楕円は異なる半径の円として描かれます (図 2) あ).

2. 大きさが等しい、領域の歪みがない、つまり 地図上の領域と楕円体の面積比は保存されますが、微小な図形の形状やさまざまな方向の長さのスケールは大きく歪みます。 このような投影の異なる点にある無限小円は、異なる伸びを持つ等面積楕円として描かれます (図 2) b).

3. 任意、角度と面積の両方に異なる割合で歪みが生じます。 それらの中で、主な方向 (子午線または緯線) の 1 つに沿った長さのスケールが一定のままである等距離のものが際立っています。 楕円の軸の 1 つの長さは維持されます (図 2) V).

設計補助面の種類別 次の投影が区別されます。

1. 方位角, 地球の楕円体の表面が接平面または割平面に転送されます。

2. 円筒形, ここで、補助面は、楕円体に接する、または楕円体を切断する円柱の側面です。

3. 円錐形, 楕円体の表面が、楕円体に接するか楕円体を切断する円錐の側面に転写されます。

極軸に対する補助面の向きに基づいて、投影は次のように分割されます。

A) 普通, 補助図形の軸は地球の楕円体の軸と一致します。 方位図法では、平面は法線に対して垂直であり、極軸と一致します。

b) 横方向, 補助面の軸は地球の赤道面にあります。 方位図法では、補助平面の法線は赤道面にあります。

V) 斜め、図の補助面の軸は、地軸と赤道面の間にある法線と一致します。 方位図法では、平面はこの法線に対して垂直です。

図 3 は、地球の楕円体の表面に接する平面のさまざまな位置を示しています。

法線グリッド (子午線と緯線) の種類による投影の分類 主要なものの 1 つです。 この特徴に基づいて、投影の 8 つのクラスが区別されます。

ＢＣ

米。 3. 向きによる突起の種類

極軸に対する補助面。

あ-普通; b-横方向; V- 斜め。

1. 方位角。通常の方位図法では、経線は経度の差に等しい角度で 1 点 (極) に集まる直線として描かれ、緯線は共通の中心 (極) から描かれた同心円として描かれます。 斜方位図法およびほとんどの横方向方位図法では、中央の子午線を除く子午線と緯線は曲線になります。 横投影の赤道は直線です。

2. 円錐形。通常の円錐図法では、子午線は、対応する経度の差に比例した角度で​​ 1 点に収束する直線として描画され、緯線は子午線の収束点を中心とする同心円の弧として描画されます。 斜めと横のものには平行線と子午線があり、中央のものを除いて曲線が存在します。

3. 円筒形。通常の円筒図法では、子午線は等距離の平行線として描画され、緯線はそれらに垂直な線として描画されますが、通常は等距離ではありません。 斜図法と横図法では、中央の緯線と子午線を除き、曲線の形になります。

4. 多円錐形。これらの投影法を構築するとき、子午線と緯線のネットワークがいくつかの円錐に転送され、それぞれが平面に展開されます。 赤道を除く緯線は、偏心円の弧によって描かれ、その中心は直線のように見える中央子午線の延長線上にあります。 残りの子午線は曲線であり、中央の子午線に対して対称です。

5. 擬似方位角, 緯線は同心円であり、子午線は極点で収束する曲線であり、1 つまたは 2 つの直線子午線に関して対称です。

6. 擬円錐曲線, ここで、緯線は同心円の円弧であり、子午線は平均的な直線子午線に対して対称な曲線ですが、図示されていない場合もあります。

7. 擬似円筒形, ここで、緯線は平行な直線として描かれ、子午線は平均的な直線子午線に対して対称な曲線として描かれていますが、これは描かれていない場合があります。

8. 円形, その子午線は中央を除き、緯線は赤道を除き、偏心円の円弧で描かれています。 中央子午線と赤道は直線です。

正角横円筒ガウス・クルーガー図法。 プロジェクションゾーン。 ゾーンと列のカウント順序。 キロメートルグリッド。 キロメートルグリッドをデジタル化して地形図シートのゾーンを決定する

私たちの国の領土はとても広いです。 これにより、平面に転写すると大きな歪みが生じます。 このため、ロシアで地形図を作成するときは、領土全体ではなく、経度が 6 度の長さの個々のゾーンが飛行機に転送されます。 ゾーンを移動するには、横円筒ガウス クルーガー図法が使用されます (ロシアでは 1928 年から使用されています)。 この図法の本質は、地球の表面全体が子午線帯で描かれることです。 このようなゾーンは、地球を 6 度ごとの子午線で分割した結果として得られます。

図では、 図 2.23 は、楕円体の短軸に垂直な軸を持つ、楕円体に接する円柱を示しています。

別の接線円柱上にゾーンを構築する場合、楕円体と円柱はゾーンの中央子午線に沿って走る共通の接線を持ちます。 平面に移動しても変形せず、長さが維持されます。 ゾーンの中央を通過するこの子午線は、 軸方向の 子午線。

ゾーンが円柱の表面に投影されると、その母線に沿って切断され、平面に展開されます。 展開すると、軸子午線が直線の歪みなく描画されます。 RR' そしてそれを軸とします バツ. 赤道 彼女' 軸子午線に垂直な直線でも描かれます。 それを軸にとる Y。 各ゾーンの座標の原点は、軸子午線と赤道の交点です (図 2.24)。

その結果、各ゾーンは、任意の点の位置が平面直交座標によって決定される座標系になります。 バツ そして Y.

地球の楕円体の表面は、経度 6 度の 60 のゾーンに分割されます。 ゾーンはグリニッジ子午線から数えられます。 最初の 6 度ゾーンの値は 0° ～ 6°、2 番目のゾーンの値は 6° ～ 12° などになります。

ロシアで採用されている幅 6 度のゾーンは、縮尺 1:1,000,000 の州地図のシートの列と一致しますが、ゾーン番号はこの地図のシートの列の番号と一致しません。

チェック ゾーン 進行中です から グリニッジ 子午線、 あ チェック 列 – から 子午線 180°。

すでに述べたように、各ゾーンの座標の原点は、赤道とゾーンの中央（軸）子午線の交点であり、投影図では直線で表され、横軸になります。 横座標は赤道の北が正、南が負とみなされます。 縦軸は赤道です。 縦座標は、軸子午線の東を正、西を負と見なされます (図 2.25)。

北半球に位置するロシアの領土では、横軸は赤道から極まで測定されるため、常に正になります。 各ゾーンの縦座標は、軸子午線に対する点の位置 (西または東) に応じて、正または負のいずれかになります。

計算を便利にするために、各ゾーン内の負の縦座標値を取り除く必要があります。 さらに、ゾーンの軸子午線からゾーンの最も広い点の極端子午線までの距離は約 330 km です (図 2.25)。 計算するには、キロメートルの概数に等しい距離を取得する方が便利です。 この目的のために、軸は バツ 条件付きで西方500kmに割り当てられる。 したがって、座標を持つ点はゾーン内の座標の原点とみなされます。 バツ = 0, y = 500 km。 したがって、ゾーンの子午線の西にある点の縦座標は 500 km 未満の値を持ち、子午線の東にある点の縦座標は 500 km を超える値になります。

点の座標は 60 個のゾーンのそれぞれで繰り返されるため、座標が進んでいます。 Y ゾーン番号を示します。

座標によって点をプロットし、地形図上の点の座標を決定するには、長方形のグリッドがあります。 軸に平行 バツ そして Y 1 または 2 km (地図縮尺で取得) にわたる線を引くため、これらは次のように呼ばれます。 キロライン、直交座標のグリッドは次のようになります。 キロメートルグリッド.

地図投影法

地球の楕円体の表面全体 (「地球の楕円体」を参照) またはその一部を平面上にマッピングすること。主に地図を作成する目的で取得されます。

規模。制御ステーションは一定の規模で構築されます。 地球の楕円体を精神的に次のように縮小する M回、たとえば 10,000,000 回、その幾何学的モデルである地球儀を取得します。地球儀の等身大の画像を平面上に表示すると、この楕円体の表面の地図が得られます。 値 1: M(例 1: 10,000,000) は、マップのメインまたは一般的な縮尺を決定します。 楕円体と球の表面は、切れ目や折り目なしに平面上に展開することができないため (これらは可展面のクラスに属しません (可展面を参照))、合成曲面には線の長さの歪みが内在します。角度など、マップの特徴。 任意の点における宇宙システムの主な特性は、部分スケール μ です。 これは、無限小セグメントの比率の逆数です。 DS地球の楕円体上でそのイメージに合わせる dσ平面上: μ min ≤ μ ≤ μ max であり、ここでの等価性はマップ上の個々の点またはいくつかの線に沿ってのみ可能です。 したがって、地図の主縮尺は、ある平均的な形で、一般的な観点からのみ地図を特徴づけます。 態度 μ/M相対スケール、または長さの増加と呼ばれる、差 M = 1。

一般情報。 K.p.の理論 - 数学的地図作成 - その目標は、地球の楕円体の表面を平面にマッピングする際のあらゆる種類の歪みを研究し、歪みが (何らかの意味で) 最小値または所定の分布を持つような投影法を構築する方法を開発することです。

地図作成の必要性に基づいて (「地図作成」を参照)、地図作成の理論では、地球の楕円体の表面を平面上にマッピングすることが考慮されます。 地球の楕円体の圧縮率が低く、その表面が球面からわずかにずれていることと、中・小縮尺の地図を作成するには楕円要素が必要であるためです（ M> 1,000,000)、その場合、多くの場合、ある半径の球面へのマッピングを考慮することに限定されます。 R、楕円体からの偏差は無視するか、何らかの方法で考慮することができます。 したがって、以下では平面へのマッピングを意味します。 xOy球。地理座標 φ (緯度) と λ (経度) を指します。

任意の QP の方程式は次の形式になります。

x = f 1 (φ, λ)、y = f 2 (φ, λ), (1)

どこ f 1と f 2 - いくつかの一般条件を満たす関数。 子午線画像 λ = 定数そして平行線 φ = 定数特定の地図では、それらは地図作成グリッドを形成します。 K.p. は、非直交座標が現れる 2 つの方程式によっても決定できます。 バツ,で飛行機、でもそれ以外でも。 いくつかの投影法 [たとえば、透視図法 (特に正投影、 米。 2 ) 透視円筒形 ( 米。 7 ）など]は幾何学的な構成によって決定できます。 地図は、対応する地図作成グリッドを構築するための規則またはその特性によっても決定され、そこから投影を完全に決定する形式 (1) の方程式が得られます。

簡単な歴史的情報。地図作成の理論とすべての地図作成の発展は、測地学、天文学、地理学、数学の発展と密接に関連しています。 地図作成の科学的基礎は古代ギリシャ (紀元前 6 ～ 1 世紀) に築かれました。 ミレトスのタレスが星空の地図を作成するために使用したノーモニック図法は、最古の CG であると考えられています。 3世紀に設立されてから。 紀元前 e. 地球の球形.C. が発明され、地理地図の編纂に使用され始めました（ヒッパルコス、 プトレマイオスなど）。 16 世紀の地理的大発見によって地図作成が大幅に進歩し、多くの新しい図法が作成されました。 そのうちの 1 つは G. メルカトルによって提案されました。 これは現在でも使用されています (メルカトル図法を参照)。 17 世紀から 18 世紀にかけて、広範な地形調査組織が広大な領域にわたる地図を編集するための信頼できる資料を提供し始めたとき、地図は地形図の基礎として開発されました (フランスの地図製作者 R. ボン、J. D. カッシーニ)。 また、量子場の個々の最も重要なグループについても研究が行われました (I. Lambert、L. Euler、J. Lagrange) や。。など。）。 19 世紀には軍事地図作成の発展と地形作成の量がさらに増加し​​ました。 K. ガウスは、大規模な地図のための数学的基礎の提供と、幾何学的計算により適した基礎に基づいた直交座標系の導入を要求しました。これにより、K. ガウスは基本的な測地図法を開発しました (測地図法を参照)。 ついに19世紀半ば。 A. Tissot (フランス) は、CP の歪みに関する一般理論を発表しました。ロシアにおける CP 理論の発展は、実践の必要性と密接に関連しており、多くの独創的な結果をもたらしました (L. Euler、F. I. Schubert、 P.L.チェビシェフ、D.A.グレイブなど）。 ソ連の地図製作者 V. V. カヴライスキー (カヴライスキーを参照) や N. A. ウルマエフなどの著作の中で、新しい地図群、その個々の変形 (実用段階まで)、および地図の一般理論の重要な問題が開発されました。それらの分類など。

歪み理論。投影点の周囲の微小領域の歪みは、特定の一般法則に従います。 正角でない投影法 (以下を参照) の地図上の任意の点には、このような相互に直交する 2 つの方向があり、表示面上の相互に直交する方向にも対応し、これらはいわゆる主表示方向と呼ばれます。 これらの方向のスケール (メイン スケール) には極値があります。 μ max = aそして μmin = b。 いずれかの投影法において、地図上の子午線と緯線が直角に交差する場合、それらの方向がこの投影法の主な方向となります。 所定の投影点における長さの歪みは、表示された表面の対応する点の周囲に外接する無限小円の画像に類似し、同様に位置する歪みの楕円を視覚的に表します。 この楕円の半直径は、対応する方向の所定の点における部分スケールに数値的に等しく、楕円の半軸は極端なスケールに等しく、それらの方向は主方向です。

歪み楕円の要素、QP の歪み、および関数 (1) の偏導関数の間の関係は、歪み理論の基本公式によって確立されます。

使用される球座標の極の位置に応じた地図投影の分類。球体の極は地理的座標の特別な点ですが、これらの点の球体には何の特徴もありません。 これは、地理的な極を含むエリアをマッピングするときに、地理的な座標ではなく、極が通常の座標点になる他の座標を使用することが望ましい場合があることを意味します。 したがって、球面座標は球面上で使用され、その座標線はいわゆる鉛直線（それらの条件付き経度）になります。 a = 定数) およびアルムカンタレート (極距離 z = 定数)、地理的な子午線と緯線に似ていますが、それらの極は Z0地理的な極と一致しません P0 (米。 1 ）。 地理座標からの遷移 φ , λ 球上の任意の点をその球座標に変換 z, ある特定のポールポジションで Z 0 (φ 0 、λ 0 )球面三角法の公式を使用して実行されます。 方程式 (1) で与えられる QP は、正規または直接と呼ばれます ( φ 0 = π/2）。 球の同じ投影が同じ式 (1) を使用して計算される場合、 φ , λ 現れる z, あるの場合、この投影は次の場合に横投影と呼ばれます。 φ 0 = 0, λ 0 そして斜めの場合 0 。 斜めおよび横方向の投影を使用すると、歪みが軽減されます。 の上 米。 2 は、球 (ボールの表面) の法線 (a)、横方向 (b)、および斜投影 (c) の正投影図 (「正投影法」を参照) を示しています。

歪みの性質による地図投影法の分類。等角（正角）点では、スケールは点の位置のみに依存し、方向には依存しません。 歪み楕円は円に縮退します。 例 - メルカトル図法、平射図法。

同じサイズの (同等の) スペースでは、領域が保存されます。 より正確には、そのような投影法で編集された地図上の図形の面積は、自然界の対応する図形の面積に比例し、比例係数は地図の主縮尺の 2 乗の逆数になります。 歪み楕円は常に同じ面積を持ちますが、形状と方向が異なります。

任意の複合材料は等角でも面積も等しくありません。 これらのうち、主スケールの 1 つが 1 に等しい等距離スケールと、ボールの大円 (オルソドローム) が直線として描かれるオルソドロミックが区別されます。

球を平面上に描く場合、等角性、等辺性、等距離、直交性の特性は両立しません。 イメージング領域のさまざまな場所の歪みを表示するには、以下を使用します。 a) グリッドまたはマップ スケッチのさまざまな場所に構築された歪み楕円 ( 米。 3 ); b) 等高線、つまり、歪み値が等しい線 (オン 米。 8v 角度の最大歪みの等高線と面積スケールの等高線を参照してください。 R); c) マップのいくつかの場所にあるいくつかの球面線の画像。通常は順方向 (O) と順方向 (L) を参照。 米。 3a ,3b や。。など。

子午線と緯線の画像の種類による法線図法の分類、これは CP 理論の歴史的発展の結果であり、既知の予測のほとんどを包含します。 投影を取得する幾何学的な方法に関連付けられた名前は保持されますが、検討中のグループは分析的に定義されるようになりました。

円筒突起（ 米。 3 ) - 子午線が等距離の平行線として描かれ、緯線が子午線の画像に垂直な直線として描かれる投影法。 赤道や緯線に沿って広がる領土を描くのに役立ちます。 ナビゲーションには、正角円筒図法であるメルカトル図法が使用されます。 ガウス クルーガー図法は正角横円筒図法で、地形図の編集や三角測量の処理に使用されます。

方位図法 ( 米。 5 ) - 緯線が同心円、子午線がその半径、そして子午線の間の角度が対応する経度の差に等しい投影法。 方位投影の特殊なケースは透視投影です。

擬円錐投影法 ( 米。 6 ) - 緯線が同心円として、中央子午線が直線として、残りの子午線が曲線として描かれる投影法。 ボンの等積擬似円投影法がよく使用されます。 1847 年以来、ロシアのヨーロッパ地域の 3 ヴァースト (1: 126,000) 地図が編集されました。

擬円筒投影法 ( 米。 8 ) - 緯線が平行な直線として描かれる投影図、中央子午線はこれらの直線に垂直な直線として投影の対称軸となり、残りの子午線は曲線として描かれます。

多円錐投影法 ( 米。 9 ) - 緯線が中央子午線を表す同じ直線上に中心がある円として描かれる投影法。 特定の多円錐投影法を作成する場合、追加の条件が課されます。 国際 (1:1,000,000) 地図には、多円錐図法の 1 つが推奨されます。

これらのタイプに属さない投影法も多数あります。 最も単純と呼ばれる円筒図法、円錐図法、方位角図法は、広義の円図法として分類されることが多く、狭義の円図法、つまりラグランジュ正角図法など、すべての子午線と緯線が円として描かれる投影法とは区別されます。グリンテン投影法など

地図投影法の使用と選択は、主に地図の目的とその縮尺に依存し、多くの場合、選択された計量における許容される歪みの性質が決定されます。計量問題を解決することを目的とした大規模および中縮尺の地図は、通常、正角投影で作成され、小規模の地図は、一般的な測量と、任意の領土の面積の比率を決定するために使用される地図 (均等な面積)。 この場合、これらの投影の定義条件に何らかの違反が生じる可能性があります ( ω ≡ 0 または p ≡ 1)、これは目立った誤差にはつながりません。つまり、任意の投影法を選択できますが、その中で子午線に沿って等距離にある投影法がより頻繁に使用されます。 後者は、マップの目的が角度や領域の保存をまったく提供しない場合にも使用されます。 投影法を選択するときは、最も単純なものから始めて、より複雑な投影法に進み、場合によっては投影法を変更します。 既知の CP のいずれも、その目的に関して編集中のマップの要件を満たしていない場合は、(可能な限り) 歪みを軽減しようとして、新しい最適な CP が検索されます。 何らかの意味で歪みが最小限に抑えられる、最も有利な CP を構築するという問題は、まだ完全には解決されていません。

C. ポイントはナビゲーション、天文学、結晶学などでも使用されます。 それらは、月、惑星、その他の天体の地図を作成する目的で検索されます。

投影の変換。対応する連立方程式によって定義される 2 つの QP を考慮します。 x = f 1 (φ, λ), y = f 2 (φ, λ)そして X = g 1 (φ, λ), Y = g 2 (φ、λ)、これらの方程式から φ と λ を除外すると、一方から他方への遷移を確立することが可能です。

X = F 1 (x, y), Y = F 2 (x, y).

関数の種類を指定する場合の式 F 1 ,Fまず、いわゆる導関数投影を取得するための一般的な方法を示します。 第二に、それらは地図を描くための技術的方法のすべての可能な方法の理論的基礎を形成します（地理地図を参照）。 たとえば、アフィンおよび分数線形変換は、地図作成用トランスフォーマを使用して実行されます (「地図作成用トランスフォーマ」を参照)。 ただし、より一般的な変換には、新しい技術、特に電子技術の使用が必要です。 完璧な CP 変圧器を作成するという課題は、現代の地図製作における緊急の課題です。

点灯:ヴィトコフスキー V.、地図製作。 (地図投影理論)、サンクトペテルブルク。 1907年。 Kavraisky V.V.、数学的地図作成、M. - L.、1934 年。 彼、イズブル。 作品集、第2巻、世紀。 1-3、[M.]、1958-60; ウルマエフ N. A.、数学地図作成、M.、1941 年。 彼、新しい地図投影法を見つける方法、M.、1947 年。 Graur A.V.、数学地図作成、第 2 版、レニングラード、1956 年。 ギンズブルグ G. A.、地図投影法、M.、1951 年。 Meshcheryakov G. A.、数学的地図作成の理論的基礎、M.、1968年。

G.A.メシュチェリャコフ。

2. ボールとその正投影。

3a. 円筒状の突起。 等角メルカトル図法。

3b. 円筒状の突起。 等距離(長方形)。

3c. 円筒状の突起。 等積（等円筒形）。

4a. 円錐状の突起。 等角。

4b. 円錐状の突起。 等距離。

4c. 円錐状の突起。 等しいサイズ。

米。 5a. 方位投影。 左が正角（立体的） - 横方向、右が - 斜め。

米。 5B. 方位投影。 同様に中間（左側 - 横方向、右側 - 斜め）。

米。 5世紀 方位投影。 同じサイズ（左側 - 横方向、右側 - 斜め）。

米。 8a. 擬円筒投影。 モルワイデ正積図法。

米。 8b. 擬円筒投影。 V. V. Kavraisky の等積正弦投影。

米。 8世紀 擬円筒投影。 TsNIIGAiK の任意の投影。

米。 8g。 擬円筒投影。 BSAM プロジェクション。

米。 9a. 多円錐投影法。 単純。

米。 9b. 多円錐投影法。 G. A. ギンズブルグの任意の投影。

ソビエト大百科事典。 - M.: ソビエト百科事典. 1969-1978 .

他の辞書で「地図投影法」が何であるかを確認してください。

地球の楕円体または球の表面を平面上に描くための数学的方法。 地図投影法は、地球の楕円体の表面と平面上の点の座標間の関係を決定します。 拡張性が無いので…… 大百科事典

地図投影法、地球の子午線と緯線を平面上に描画する体系的な方法。 地球上でのみ、領土と形態を確実に表現できます。 広いエリアの平らな地図では、歪みが避けられません。 予測は... 科学技術事典

地図投影とその種類

段落のトピックを選択する理由

私たちの研究では、「地図投影」というトピックを選択しました。 現在、このトピックは地理教科書ではほとんど取り上げられておらず、さまざまな地図投影法に関する情報は 6 年生の地図帳でのみ確認できます。 私たちは、学生が地理地図のさまざまな投影法が選択され構築される原理を知ることに興味を持つと信じています。 地図投影に関する質問は、オリンピックの課題でよく提起されます。 統一国家試験にも出題されます。 さらに、アトラス地図は、原則としてさまざまな投影法で作成されているため、学生の間で疑問が生じます。地図投影法は地図作成の基礎です。 したがって、地図投影法を構築する基本原理の知識は、学生がパイロット、船員、地質学者の職業を選択するときに役立ちます。 この点において、私たちはこの資料を地理教科書に掲載することが適切であると考えます。 6 年生レベルでは生徒の数学的準備はまだそれほどしっかりしていないため、このトピックを 7 年生の初めに「地球の性質の一般的な特徴」セクションで学習することは理にかなっていると考えています。地理情報のソースに関する資料。

地図投影法

地理地図を形成する緯線と子午線のシステムなしで地理地図を想像することは不可能です 学位ネットワーク。 それらは私たちが物体の位置を正確に決定することを可能にするものであり、地図上の地平線の側面が決定されるのもそれらからです。 地図上の距離も度数ネットワークを使用して計算できます。 アトラスの地図を見ると、度数ネットワークが地図ごとに異なって見えることがわかります。 一部の地図では、緯線と子午線が直角に交差し、平行線と垂直線のグリッドを形成します。 他の地図では、子午線は 1 つの憂鬱から扇状に広がり、緯線は円弧として表されます。 南極の地図では、子午線は雪の結晶のように見え、緯線は中心から同心円状に伸びています。

マップの作成

地図著作物の作成は、地図製作部の地図作成部門によって行われます。 地図製作は科学、生産、技術の一分野であり、地図製作の歴史と地図作品の研究、作成、使用をカバーします。 地図は、実際の幾何学的に複雑な地球の表面から地図平面に移行する方法である地図投影法を使用して作成されます。 これを行うには、まず数学的に正しい楕円体または弾丸の図形に進み、次に数学的依存関係を使用して画像を平面に投影します。

投影の種類

地図投影とは何ですか?

地図投影 - 数学的に定義されたサーフェスの表示方法 楕円表面的には。 この地図投影法で採用されている子午線と緯線の網を描く方式は、 地図グリッド.

地図作成方法によると 通常のメッシュすべての図法は、円錐図法、円筒図法、条件付き図法、方位角図法などに分類されます。

円錐投影法について地球の座標線を平面に転送するとき, 円錐が使用されます. 地球の表面の画像を取得した後, 円錐は切断され, 平面上に展開されます. 円錐グリッドを取得するには, 円錐の軸が正確に一致する必要があります地球の軸。 結果の地図上では、緯線は円弧として、子午線は 1 点から伸びる直線として描画されます。 このような投影法では、私たちの惑星の北半球または南半球、北アメリカまたはユーラシアを描くことができます。 地理を勉強する過程で、ロシアの地図を作成する際に、円錐図法が地図帳で最も頻繁に見つかります。

地図投影法

円筒投影について通常のメッシュの取得は、軸が地球の軸と一致する円筒の壁にメッシュを投影することによって実行されます。 次に、それを平面上に展開します。 グリッドは、緯線と子午線の相互に垂直な直線から得られます。

方位図法について通常のメッシュが投影面上ですぐに得られます。 これを行うには、平面の中心を地球の極と揃えます。 その結果、緯線は中心から離れるにつれて半径が大きくなる同心円のように見え、子午線は中心で交差する直線のように見えます。

条件付き投影あらかじめ決められた条件に従って構築されます。 このカテゴリは、他のタイプの投影法では分類できません。 その数は無制限です。

もちろん、ボールの表面から平面にイメージを転写することは絶対に不可能です。 これを試してみると、どうしても画像が破れてしまいます。 しかし、マップ上ではこれらのギャップは見えず、画像を円柱、円錐、または平面の表面に転写した場合でも、画像は均一であることがわかります。 どうしたの？

地球の表面の点を未来の地図の表面に投影すると、歪んだ画像が得られます。 地球の中心からオブジェクトを強調表示するときに得られる影の形で地球の表面を平面に投影すると想像すると、マップ表面とボールが直接接触する場所からオブジェクトが遠ざかるほど、 、そのイメージが大きく変わります。

歪みの性質に基づいて、すべての投影は等角投影、等面積投影、および任意投影に分類されます。

正角投影について地面上のどの方向間の角度も、地図上の同じ方向間の角度と等しくなります。つまり、角度には歪みがありません。 スケールは点の位置のみに依存し、方向には依存しません。 地面上の角度は常に地図上の角度と等しく、地面上の直線は地図上の直線です。 地図上の無限小の図形は、等角性の性質により、地球上の同じ図形と類似します。 ただし、この投影法の地図上の直線寸法には歪みが生じます。完全に丸い湖を想像してください。結果の地図上のどこに位置しても、その形は丸いままですが、寸法は大幅に変化する可能性があります。 川床は地面で曲がるのと同じように曲がりますが、曲がりの間の距離は実際の距離に対応しません。

等積図法

等積図法について領域は歪められず、比例性が維持されます。 しかし、角度や形は大きく歪んでいます。 ボールと将来のマップの表面との接触点でその輪郭がマップに転写されると、そのイメージは同じように丸いものになります。 同時に、湖の面積は変わりませんが、接触線から遠ざかるほど、その輪郭はより広がります。

任意の投影について角度と面積の両方が歪んでおり、図形の類似性は保たれていませんが、他の投影法には固有の特殊な特性がいくつかあるため、最もよく使用されます。

地図は、その地域の地形調査の結果として直接作成されるか、他の地図に基づいて、つまり最終的にはやはり測量の結果として作成されます。 現在、地形図のほとんどは航空写真法を用いて作成されており、広大な領土の地形図を迅速に入手することができます。 この地域の多くの写真（航空写真）は、特殊な撮影装置を使用して飛行中の飛行機から撮影されます。 次に、これらの航空写真は特別な装置を使用して処理されます。 一連の航空写真は地図になるまでに、長く複雑な制作プロセスを経ます。

楕円

すべての小規模な一般地理地図および特殊地図 (電子 GPS 地図を含む) は、より大きな縮尺でのみ、他の地図に基づいて作成されます。

条項

学位ネットワーク- 地理地図や地球儀上の子午線と緯線のシステム。地球の表面上の点の地理座標 (経度と緯度) を数えるのに役立ちます。

楕円- 閉じた表面。 ボールを互いに直交する 3 つの方向に任意の比率で圧縮 (伸長) すると、ボールの表面から楕円体が得られます。

通常のメッシュ- 投影法の各クラスの地図グリッド。子午線と緯線のイメージは最も単純な形式です。

同心円- 共通の中心を持ち、同じ平面上にある円。

質問

1. 地図投影法とは何ですか? 2. どのような種類の地図投影法を知っていますか? 3. 地図作成のどの部門が投影図の作成を扱いますか? 4. 地図上の歪みの性質は何によって決まりますか?

在宅勤務

1. さまざまな地図投影法の特徴を示す表をノートに記入します。

2. アトラス マップがどのような投影法で構築されているかを決定します。 どのタイプの投影法が最も頻繁に使用されましたか? なぜ？

好奇心旺盛な人向けのタスク

追加の情報源を使用して、半球の地図がどの投影法で構築されているかを見つけます。

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テーマに関する文献

A.M. Berlyant「地図 - 地理学の第二言語: (地図作成に関するエッセイ)」192 p。 モスクワ。 教育。 1985年

地球の物理的な表面から平面 (地図上) での表示に移行するとき、2 つの操作が実行されます。 複雑な起伏を持つ地球の表面を地球の楕円体の表面に投影します。その寸法は測地学によって確立されます。天文学的な測定と、地図投影法の 1 つを使用して平面上に楕円体の表面を描写します。
地図投影は、楕円体の表面を平面上に表示する特別な方法です。
地球の表面を平面上に表示するには、さまざまな方法があります。 最も単純なものは 視点 。 その本質は、地球のモデル (球体、楕円体) の表面から円柱または円錐の表面に画像を投影し、その後平面 (円柱、円錐形) に変換するか、球面の画像を直接投影することです。平面（方位角）。
地図投影によって空間特性がどのように変化するかを理解する簡単な方法の 1 つは、地球を通る光が投影面と呼ばれる表面に投影される様子を視覚化することです。
地球の表面が透明で、そこに地図グリッドが適用されていると想像してください。 地球の周りに紙を巻きます。 地球の中心にある光源は、座標グリッドから紙に影を落とします。 これで、紙を広げて平らに置くことができます。 紙の平面上の座標グリッドの形状は、地球の表面上の形状とは大きく異なります (図 5.1)。

米。 5.1. 円筒面に投影された地理座標系のマップ グリッド

地図投影により地図グリッドが歪んでいました。 極の近くにある物体は細長くなります。
将来を見越した方法で構築するには、数学的法則を使用する必要はありません。 現代の地図作成では、地図グリッドが構築されることに注意してください。 分析的 （数学的に）方法。 その本質は、地図グリッドの節点 (子午線と緯線の交点) の位置を計算することにあります。 計算は、節点の地理的緯度と地理的経度を関連付ける連立方程式を解くことに基づいて実行されます ( φ, λ ) とその直交座標 ( x、y）表面に。 この依存関係は、次の形式の 2 つの方程式で表すことができます。

地図投影方程式と呼ばれます。 直交座標を計算できます x、y地理座標によって描かれた点 φ そして λ 。 考えられる関数の依存関係、つまり投影の数は無制限です。 それぞれのポイントだけが必要です φ , λ 楕円体は、一意に対応する点によって平面上に表現されました。 x、yそして画像が連続していること。

5.2. 歪み

回転楕円体を平らにするのは、スイカの皮を平らにするよりも簡単です。 平面に移動すると、通常、線の角度、面積、形状、長さが歪むため、特定の目的に応じて、たとえば面積などの 1 種類の歪みを大幅に軽減する投影を作成することができます。 地図作成の歪みは、地表の領域とその上にあるオブジェクトを平面上に描画したときの幾何学的特性に違反します。 .
あらゆる種類の歪みは互いに密接に関連しています。 これらは、一方のタイプの歪みが減少すると、すぐにもう一方のタイプの歪みが増加するという関係にあります。 面積歪みが減少すると、角度歪みが増加します。 米。 図 5.2 は、3 次元オブジェクトを平面上に配置できるように圧縮する方法を示しています。

米。 5.2. 球面を投影面に投影する

マップが異なれば、歪みのサイズも異なります。大規模なマップでは歪みはほとんど知覚できませんが、小規模なマップでは非常に大きくなる可能性があります。
19 世紀半ば、フランスの科学者ニコラ・オーギュスト・ティソは歪みの一般理論を発表しました。 彼の作品の中で、彼は特別な方法を使うことを提案しました。 歪み楕円は、地図上の任意の点における微小な楕円であり、地球の楕円体または地球の表面上の対応する点における微小な円の反射です。 歪みがゼロになると、楕円は円になります。 楕円の形状を変更すると、角度と距離の歪みの程度、および領域の歪みの程度であるサイズが反映されます。

米。 5.3. 地図上の楕円 ( あ) と地球上の対応する円 ( b)

地図上の歪み楕円は、その中心を通過する子午線に対して異なる位置を占める可能性があります。 通常、マップ上の歪み楕円の方向は決定されます。 長半径の方位角 。 歪み楕円の中心を通る子午線の北方向とその最も近い長半径との間の角度は、と呼ばれます。 歪み楕円の方向角度。 図では、 5.3、 あこの角度は文字で示されます あ 0 、および地球上の対応する角度 α 0 (図5.3、 b).
地図上および地球上のあらゆる方向の方位角は、常に子午線の北方向から時計回りに測定され、0 ～ 360°の値を持つことができます。
任意の方向 ( わかりました) 地図または地球儀上 ( について 0 に 0 ) は、特定の方向の方位角によって決定できます ( あ- 地図にある、 α - 地球儀上）、または子午線の北方向に最も近い長半径とこの方向の間の角度（ v- 地図にある、 あなた-地球儀上）。

5.2.1. 長さの歪み

長さの歪みは基本的な歪みです。 残りの歪みは論理的にそこから導き出されます。 長さの歪みとは、平面画像のスケールが一定でないことを意味します。これは、方向に応じて、点から点へのスケールの変化、さらには同じ点でのスケールの変化として現れます。
これは、地図上に 2 種類の縮尺があることを意味します。

• 本尺 (男);
• プライベートスケール .

本尺 地図は、地球の特定の寸法への地球の一般的な縮小の程度を指し、そこから地球の表面が平面に移されます。 これにより、セグメントを地球儀から地球儀に転送する際に、セグメントの長さの減少を判断することができます。 主縮尺は地図の南側の枠の下に書かれていますが、これは地図上の任意の場所で測定されたセグメントが地表上の距離に対応することを意味するものではありません。
地図上の特定の方向における特定の点の縮尺を次のように呼びます。 プライベート 。 地図上の無限小セグメントの比率として定義されます。 ダウンロード に 楕円体の表面上の対応するセグメントに ダウンロード Z 。 メインスケールに対するプライベートスケールの比率。 μ 、長さの歪みを特徴づけます

(5.3)

主要なスケールからの特定のスケールの偏差を評価するには、次の概念が使用されます。 ズームイン (と)、比率によって定義されます。

(5.4)

式 (5.4) から次のことがわかります。

• で と= 1 プライベート スケールはメイン スケールと等しい ( µ = M)、つまり、マップ上の特定の点において、特定の方向における長さの歪みはありません。
• で と> メインスケールよりも大きいプライベートスケール 1 つ ( μ > M);
• で と < 1 частный масштаб мельче главного (µ < М ).

たとえば、メイン マップの縮尺が 1:1,000,000 の場合、ズーム とが 1.2 に等しい場合、 µ = 1.2/1,000,000 = 1/833,333、つまり、地図上の 1 センチメートルは約 8.3 に相当します。 km地上で。 部分スケールはメインスケールよりも大きくなります (分数のサイズが大きくなります)。
地球儀の表面を平面上に描く場合、部分スケールは主スケールより数値的に大きくなったり、小さくなったりします。 メインスケールを 1 に等しいとすると ( M= 1) の場合、部分スケールは数値的に 1 より大きくなるか小さくなります。 この場合 数値的にスケールの増加に等しい特定のスケールによって、地図上の特定の点における特定の方向の無限小セグメントと、地球上の対応する無限小セグメントとの比を理解する必要があります。

(5.5)

民間スケールの逸脱 (µ )1 から長さの歪みが決まります 地図上の指定された地点、指定された方向 ( V):

V = μ - 1 (5.6)

長さの歪みは、多くの場合、単位、つまりメインスケールのパーセンテージとして表され、次のように呼ばれます。 相対的な長さの歪み :

q = 100(μ - 1) = V×100(5.7)

たとえば、次のようなとき µ = 1.2 長さの歪み V= +0.2 または相対的な長さの歪み V= +20%。 これは、長さ 1 のセグメントを意味します。 cm地球上で撮影されたものは、長さ 1.2 のセグメントとして地図上に描画されます。 cm.
隣接する緯線間の子午線セグメントのサイズを比較することにより、地図上で長さの歪みの有無を判断するのが便利です。 それらがどこでも等しい場合、そのような平等が存在しない場合には、子午線に沿った長さの歪みはありません (図 5.5 セグメント) ABそして CD)、線の長さに歪みが生じます。

米。 5.4. 地図作成上の歪みを示す東半球の地図の一部

地図に赤道 0 度と緯度 60 度の緯線の両方が表示されるような広い領域が表示されている場合、緯線に沿った長さに歪みがあるかどうかをそこから判断するのは難しくありません。 これを行うには、赤道のセグメントの長さと、隣接する子午線間の緯度 60 度の緯線の長さを比較するだけで十分です。 緯度60度の緯線は赤道の半分の長さであることが知られています。 地図上で示されたセグメントの比率が同じ場合、緯線に沿った長さの歪みはありません。 それ以外の場合は利用可能です。
特定の点 (歪み楕円の長半径) における長さの歪みの最大の指標は、ラテン文字で表されます。 あ、および最小値 (歪み楕円の短半径) - b。 最大および最小の長さの歪み率が適用される相互に直交する方向、 主な方向と呼ばれる .
地図上のさまざまな歪みを評価する場合、すべてのプライベート スケールの中で最も重要なのは、子午線沿いと緯線に沿った 2 方向のプライベート スケールです。 民間スケール 子午線に沿って 通常は文字で表されます メートル 、およびプライベートスケール 平行線に沿って - 手紙 n.
比較的小さな領土 (ウクライナなど) の小縮尺の地図内では、地図上に示されている縮尺からの長さの縮尺の偏差は小さいです。 この場合の長さの測定誤差は、測定した長さの 2 ～ 2.5% を超えず、学校の地図を使用する場合には無視できます。 一部の地図には、おおよその寸法を示す計測スケールと説明文が含まれています。
の上 海図 、メルカトル図法で構築され、航程線が直線として描かれているため、特別な線形スケールは指定されていません。 その役割は、緯度 1 分ごとに分割された子午線である地図の東枠と西枠によって演じられます。
海上航行では、距離は通常海里で測定されます。 海里 - これは、緯度 1 フィートの子午線弧の平均長さです。 1852 が含まれています メートル. したがって、海図フレームは実際には 1 海里に等しいセグメントに分割されます。 地図上の 2 点間の直線距離を子午線分で求めることにより、航路に沿った実際の距離を海里で取得します。

図5.5。 海図を使用して距離を測定します。

5.2.2. 角度の歪み

角度の歪みは、長さの歪みから論理的に生じます。 地図上の方向と楕円体表面上の対応する方向との間の角度の差は、地図上の角度の歪みの特性として解釈されます。
コーナー歪みインジケーターについて 地図グリッドの線の間で、90°からの偏差の値が取得され、ギリシャ文字で示されます。 ε (イプシロン)。
ε = θ - 90°、 (5.8)
どこで Ө (シータ) - 地図上で測定された子午線と緯線の間の角度。

図 5.4 は、角度が Ө は 115°に等しいため、ε = 25°になります。
子午線と緯線の交差角度が地図上で真っ直ぐのままである点では、地図上で他の方向間の角度を変更できます。これは、どの点でも、角度の変化に応じて角度の歪みの量が変化する可能性があるためです。方向。
角度の歪みの一般的な指標 ω (オメガ) は、地図上の値と地球の楕円体 (球体) の表面上の値の差に等しい、特定の点での最大の角度の歪みとみなされます。 知られているとき×インジケーター あそして bサイズ ω 次の式で決定されます。

(5.9)

5.2.3. 領域の歪み

面積の歪みは、論理的には長さの歪みから生じます。 楕円体上の元の面積からの歪み楕円の面積の偏差が面積歪みの特性とされます。
このタイプの歪みを特定する簡単な方法は、同じ名前の緯線によって制限された地図作成グリッドのセルの面積を比較することです。セルの面積が等しい場合、歪みはありません。 これは特に半球の地図 (図 4.4) で発生します。この地図では、影付きのセルの形状は異なりますが、面積は同じです。
エリア歪みインジケーター (R) は、マップ上の特定の位置における最大および最小の長さの歪みインジケーターの積として計算されます。
p = a×b (5.10)
地図上の特定の点における主な方向は、地図作成グリッドの線と一致する場合もありますが、一致しない場合もあります。 それからインジケーター あそして b知られているとおり メートルそして n次の式を使用して計算されます。

(5.11)
(5.12)

方程式に含まれる歪み率 Rこの場合、彼らは作品によって次のことを認識します。

どこ ε (ε) - 地図グリッドの交差角度の 9 からの偏差値 0°.

5.2.4. 形の歪み

形の歪みそれは、地図上の物体が占める場所または領域の形状が、地球の平らな表面上の形状とは異なるという事実にあります。 地図上にこの種の歪みが存在するかどうかは、同じ緯度にある地図グリッドのセルの形状を比較することで確認できます。それらが同じであれば、歪みはありません。 図 5.4 では、形状の異なる 2 つの影付きセルは、このタイプの歪みの存在を示しています。 また、解析した地図や地球儀上での幅と長さの比率から、特定の物体（大陸、島、海）の形状の歪みを特定することもできます。
形状歪み指数(k) 最大の差に依存します ( あ) と最小の ( b) 地図上の特定の位置における長さの歪みを示す指標であり、次の式で表されます。

(5.14)

地図投影法を調査して選択する場合は、次を使用します。 イソコルス - 均等な歪みの線。 それらを地図上に点線としてプロットして、歪みの大きさを示すことができます。

米。 5.6. 最大の角度歪みの等高線

5.3. 歪みの性質による投影の分類

さまざまな目的に応じて、さまざまな種類の歪みを持つ投影が作成されます。 投影歪みの性質は、投影歪みに特定の歪みが存在しないことによって決まります。 (角度、長さ、面積)。 これに応じて、すべての地図投影法は、歪みの性質に応じて 4 つのグループに分類されます。
— 等角（正角）;
- 等距離（等距離）;
— サイズが等しい（同等）。
- 任意。

5.3.1. 正角投影

等角これらは投影と呼ばれ、方向と角度が歪みなく表現されます。 正角投影図で測定された角度は、地表上の対応する角度と等しくなります。 これらの投影における無限小の円は常に円のままです。
等角図法では、すべての方向の任意の点の長さのスケールが同じであるため、微小な図形の形状の歪みや角度の歪みはありません (図 5.7、B)。 正角投影のこの一般的な特性は、式 ω = 0° で表されます。 しかし、地図上の領域全体を占める実際の (有限な) 地理的オブジェクトの形状は歪んでいます (図 5.8、a)。 正角投影は、特に広い領域の歪みを示します (歪み楕円で明確に示されているように)。

米。 5.7. 等積投影における歪み楕円の表示 —- あ、等角 - B、任意 - で、子午線に沿った等距離を含む - Gそして平行線に沿って等距離にある - D.図は 45° の角度の歪みを示しています。

これらの投影法は、方向を決定し、特定の方位に沿ってルートをレイアウトするために使用されるため、地形図やナビゲーション マップでは常に使用されます。 正角投影の欠点は、その領域が大きく歪んでいることです (図 5.7、a)。

米。 5.8. 円筒投影の歪み:
a - 等角; b - 等距離。 c - サイズが等しい

5.6.2. 等距離投影法

等距離図法は、主要な方向の 1 つの長さのスケールが保存される (変更されない) 投影法であり (図 5.7、D、図 5.7、E)、主に小規模な参照地図や星図を作成するために使用されます。

5.6.3. 等積図法

同じ大きさ面積の歪みがない投影法と呼ばれます。つまり、地図上で測定された図形の面積は、地球の表面上の同じ図形の面積に等しいです。 正積図法では、面積縮尺はどこでも同じサイズになります。 等積投影のこの性質は、次の式で表すことができます。

これらの投影のサイズが等しいことの避けられない結果は、それらの角度と形状の強い歪みです。これは歪み楕円によってよく説明されます (図 5.7、A)。

5.6.4. 任意の投影

任意にこれらには、長さ、角度、面積の歪みがある投影が含まれます。 任意の投影法を使用する必要性は、いくつかの問題を解決するときに、1 つのマップ上の角度、長さ、面積を測定する必要があるという事実によって説明されます。 しかし、投影は同時に等角度、等距離、等しい面積になることはできません。 平面上の地球表面の画像領域が減少すると、画像の歪みも減少すると前述しました。 任意の投影法で地表の小さな領域を描写する場合、角度、長さ、面積の歪みの大きさは重要ではなく、多くの問題を解決する場合には無視できます。

5.4. 通常の地図作成グリッドのタイプに応じた投影の分類

地図製作の現場では、投影法の一般的な分類は、その構築に使用できる補助幾何学的表面のタイプに基づいています。 この観点から、投影は次のように区別されます。 円筒形円筒の側面が補助面となる場合。 円錐形の、補助平面が円錐の側面である場合。 方位角、補助面が平面（画面）の場合。
地球儀が投影される表面は、地球儀に接したり、割線になったりすることがあります。 異なる向きにすることもできます。
作成中に円柱と円錐の軸が地球の極軸と位置合わせされ、画像が投影される画面が極点に接線方向に配置された投影法は、法線投影法と呼ばれます。
これらの投影の幾何学的構造は非常に明確です。

5.4.1. 円筒突起

推論を簡単にするために、楕円体の代わりに球を使用します。 ボールを赤道に接する円筒の中に入れてみましょう (図 5.9、a)。

米。 5.9. 等積円筒図法における地図グリッドの構築

子午線 PA、PB、PV の平面を続けて、これらの平面と円柱の側面との交点をその上の子午線の画像として取得します。 円柱の側面を母線aAaに沿って切断すると 1 それを平面上に展開すると、子午線は平行で等間隔の直線として描画されます aAa 1 、bBBb 1 、vvv 1 ...、赤道ABCに垂直です。
平行線の画像はさまざまな方法で取得できます。 それらの 1 つは、平行線の平面が円柱の表面と交差するまで継続することであり、これにより、展開時に子午線に垂直な平行直線の 2 番目のファミリーが得られます。
結果として得られる円筒投影 (図 5.9、b) は次のようになります。 大きさが等しい、球面ベルト AGED の側面は、2πRh (h は平面 AG と平面 ED の間の距離) に等しいため、スキャンにおけるこのベルトの画像領域に対応します。 主スケールは赤道に沿って維持されます。 平行線に沿った部分スケールは増加し、子午線に沿った部分スケールは赤道から離れるにつれて減少します。
緯線の位置を決定するもう 1 つの方法は、子午線の長さを維持すること、つまりすべての子午線に沿った主スケールを維持することに基づいています。 この場合、円筒投影は次のようになります。 子午線に沿って等距離にある(図 5.8、b)。
のために 等角円筒図法では、どの点でも全方向の縮尺が一定であることが必要です。そのためには、赤道から遠ざかるにつれて、対応する緯度の緯線に沿った縮尺の増加に応じて子午線に沿った縮尺も増加する必要があります (図 5.8 を参照)。 ）。
多くの場合、接線円柱の代わりに、球を 2 つの平行線に沿って切断する円柱が使用されます (図 5.10)。これに沿って、開発中に主スケールが保存されます。 この場合、断面の緯線間のすべての緯線に沿った部分縮尺は小さくなり、残りの緯線では主縮尺よりも大きくなります。

米。 5.10. 2 つの平行線に沿ってボールを切断する円柱

5.4.2. 円錐投影法

円錐投影を構築するには、平行な ABCD に沿ってボールに接する円錐でボールを囲みます (図 5.11、a)。

米。 5.11。 等距離円錐図法での地図グリッドの構築

前の構築と同様に、子午線 PA、PB、PV の平面を継続し、円錐の側面との交点を子午線のイメージとして取得します。 円錐の側面を平面上で展開した後 (図 5.11、b)、経線は点 T から伸びる放射状の直線 TA、TB、TV、... として描画されます。それらの間の角度に注意してください。 （子午線の収束）は経度の差に比例します（ただし等しくはありません）。 接線 ABC の平行線 (半径 TA の円弧) に沿って、主スケールが維持されます。
同心円の円弧で表される他の緯線の位置は、特定の条件から決定できます。そのうちの 1 つは、子午線に沿って主尺度を維持する (AE = Ae) ことで、円錐形の正距図法になります。

5.4.3. 方位図法

方位図法を作成するには、極点 P でボールに接する平面を使用します (図 5.12)。 子午線平面と接平面との交点は、経線間の角度が経度の差に等しい直線の形で子午線 Pa、Pe、Pv、... のイメージを与えます。 同心円である緯線は、極点から対応する平行線 PA = Pa までの子午線の直線円弧に等しい半径を描くなど、さまざまな方法で定義できます。 この投影は次のようになります 等距離 による 子午線そしてそれらに沿ってメインスケールを保持します。

米。 5.12. 方位投影における地図グリッドの構築

方位投影の特殊なケースは次のとおりです。 有望な 幾何学的な遠近法則に従って構築された投影。 これらの投影では、地球の表面上の各点が、1 つの点から発せられる光線に沿って画面に転送されます。 と、視点と呼ばれます。 地球の中心に対する視点の位置に応じて、投影は次のように分割されます。

• 中央 - 視点は地球の中心と一致します。
• 立体的な - 視点は、地球の表面上の画面と地球の表面の接触点の正反対の点に位置します。
• 外部の - 視点は地球の外にあります。
• 正投影法 - 視点は無限遠になります。つまり、設計は平行光線によって実行されます。

米。 5.13。 透視投影の種類: a - 中央。
b - 立体写真; c - 外部。 g - 正書法。

5.4.4. 条件付き投影

条件付き投影は、単純な幾何学的類似物が見つからない投影です。 これらは、任意の所定の条件 (たとえば、希望するタイプの地理グリッド、地図上の特定の歪み分布、所定のタイプのグリッドなど) に基づいて構築されます。特に、擬似円筒形、擬似円錐形、擬似方位角などです。および 1 つまたは複数の初期投影を変換することによって得られる他の投影。
U 擬似円筒形 投影法、赤道と緯線は互いに平行な直線であり (円筒投影法に似ています)、子午線は平均直線子午線に対して対称な曲線です (図 5.14)。

米。 5.14。 擬円筒投影によるマップ グリッドの表示。

U 擬似円錐形 緯線の投影は同心円の円弧であり、子午線は平均直線子午線に対して対称な曲線です (図 5.15)。

米。 5.15。 疑似円投影法のうちの 1 つでのマップ グリッド

メッシュを構築する 多円錐投影法 地球儀の度数グリッドの一部を表面に投影することで表現できます いくつかの接線円錐とその後の円錐の表面に形成された縞模様の平面への展開。 このような設計の一般原理を図 5.16 に示します。

米。 5.16 多円錐図法を作成する原理:
a - コーンの位置。 b - ストライプ。 c - スキャン

手紙 S 円錐の頂点が図に示されています。 各円錐について、地球表面の緯度断面が、対応する円錐の接線の平行に隣接して投影されます。
多円錐図法の地図グリッドの外観では、子午線が曲線 (中央の直線を除く) の形をしており、緯線が偏心円の円弧であることが一般的です。
世界地図の作成に使用される多円錐図法では、赤道断面が接円柱に投影されるため、結果のグリッドでは赤道は中央子午線に垂直な直線の形状になります。
錐体をスキャンした後、これらの領域の画像が平面上のストライプの形で取得されます。 ストライプは地図の中央子午線に沿って接しています。 メッシュの最終的な外観は、引き伸ばしてストリップ間の隙間を除去した後に得られます (図 5.17)。

米。 5.17。 多円錐の 1 つのマップ グリッド

多面体投影法 - ボール (楕円体) の接線または割線の多面体 (図 5.18) の表面に投影することによって得られる投影。 ほとんどの場合、各面は正台形ですが、他のオプション (六角形、正方形、ひし形など) も可能です。 多面体のものはいろいろありますが、 マルチレーン投影、 さらに、ストライプは子午線と緯線の両方に沿って「カット」できます。 このような投影法は、各面またはストライプ内の歪みが非常に小さいという利点があるため、常にマルチシート マップに使用されます。 地形図および測量地形図は多面図法のみで作成されており、各シートのフレームは子午線と緯線で構成される台形です。 「料金を支払う」必要があります。マップ シートのブロックを分割せずに共通のフレームに結合することはできません。

米。 5.18 多面体投影のスキームとマップ シートの配置

現在、地図投影を取得するために補助面は使用されていないことに注意してください。 円筒にボールを入れてその上にコーンを置く人はいません。 これらは、投影の幾何学的な本質を理解することを可能にする幾何学的な類似にすぎません。 投影の検索は分析的に実行されます。 コンピューター モデリングを使用すると、指定されたパラメーターを使用して投影法を迅速に計算でき、自動プロッターを使用して、子午線と緯線の適切なグリッド、および必要に応じてアイソコル マップを簡単に描画できます。
あらゆる領域に適切な投影法を選択できる特別な投影法アトラスがあります。 最近、電子投影アトラスが作成され、これを使用すると、適切なメッシュを見つけて、そのプロパティを即座に評価し、必要に応じて特定の修正や変換を対話的に実行することが簡単になります。

5.5. 補助地図作成面の向きに応じた投影の分類

通常の投影 - 投影面は極点で地球に触れるか、円柱 (円錐) の軸が地球の回転軸と一致します (図 5.19)。

米。 5.19。 通常の (直接) 投影

横投影 - 設計平面が任意の点で赤道に接するか、円柱 (円錐) の軸が赤道面と一致します (図 5.20)。

米。 5.20。 横投影

斜め投影 - 設計平面は任意の点で地球に触れます (図 5.21)。

米。 5.21。 斜め投影

斜投影法と横投影法のうち、斜円筒投影法と横円筒投影法、方位図法（透視図法）、および擬似方位図法が最もよく使用されます。 横方向の方位角は半球の地図に使用され、斜めの方位角は丸い形状の領域に使用されます。 大陸の地図は、多くの場合、横方向および斜めの方位図法で作成されます。 横円筒ガウス クルーガー図法は、州の地形図に使用されます。

5.6. 投影の選択

投影の選択は多くの要因の影響を受けます。要因は次のように分類できます。

• 地図上の領域の地理的特徴、地球上の位置、大きさと構成。
• 地図の目的、規模と主題、予想される消費者の範囲。
• 地図を使用する条件と方法、地図を使用して解決されるタスク、測定結果の精度の要件。
• 投影自体の特徴 - 長さ、面積、角度の歪みの大きさと領域全体の分布、子午線と緯線の形状、それらの対称性、極のイメージ、最短距離の線の曲率。

最初の 3 つの因子グループは最初に設定され、4 番目の因子はそれらに依存します。 地図がナビゲーション目的で編集されている場合は、等角円筒メルカトル図法を使用する必要があります。 南極大陸の地図作成の場合は、ほぼ確実に通常 (極) 方位図法などが採用されます。
これらの要素の重要性は異なる場合があります。ある場合には視認性が第一に配置され（たとえば、学校の壁の地図の場合）、別の場合には地図を使用する機能（ナビゲーション）が、第三には地図の位置が重視されます。地球上の領域（極地）。 あらゆる組み合わせが可能であるため、さまざまな投影オプションが可能です。 さらに、選択肢は非常に広いです。 しかし、依然として、いくつかの好ましい最も伝統的な投影法を示すことは可能です。
世界地図 通常、円筒図法、擬円筒図法、および多円錐図法で作成されます。 歪みを軽減するために、割線円筒がよく使用され、海洋上では不連続な擬似円筒図法が作成されることがあります。
半球マップ 常に方位図法で構築されます。 西半球と東半球の場合は横方向（赤道）、北半球と南半球の場合は通常（極）、その他の場合（たとえば、大陸半球と海洋半球の場合）は斜め方位図法を使用するのが自然です。
大陸地図 ヨーロッパ、アジア、北アメリカ、南アメリカ、オーストラリア、オセアニアは、ほとんどの場合、等面積斜方位図法で構築され、アフリカについては横方位図法が採用され、南極については通常方位図法が採用されます。
各国の地図 、行政区域、州、州は、斜めの等角投影法および等積円錐図法または方位図法で実行されますが、領土の構成と地球上の位置に大きく依存します。 小さな領域の場合、投影法を選択するという問題は関連性を失います。小さな領域での領域の歪みはほとんど知覚できないことに留意して、別の正角投影法を使用できます。
地形図 ウクライナはガウス横円筒図法で作成され、米国および他の多くの西側諸国はユニバーサル横円筒メルカトル図法 (略称 UTM) で作成されています。 どちらの投影法もその特性は似ています。 基本的に、どちらもマルチキャビティです。
海図および航空図 は常に円筒メルカトル図法のみで与えられ、海と海洋の主題図は多種多様な、時には非常に複雑な図法で作成されます。 たとえば、大西洋と北極海を一緒に示すには、楕円形の二等辺線をもつ特別な投影法が使用され、世界の海洋全体を描くには、大陸に切れ目がある等積図法が使用されます。
いずれの場合も、投影法を選択するとき、特に主題図の場合、通常、地図上の歪みは中心部では最小限で、端に向かうにつれて急速に大きくなることに留意する必要があります。 さらに、地図の縮尺が小さくなり、空間範囲が広範になるほど、投影法を選択する際には「数学的」要素により多くの注意を払う必要があり、その逆も同様で、小さな地域や大縮尺の場合は「地理的」要素が必要となります。より重要になります。

5.7. 投影認識

地図が描かれる投影法を認識するということは、その名前を確立し、それが特定のタイプまたはクラスに属するかどうかを判断することを意味します。 これは、投影の特性、歪みの性質、分布、大きさについてのアイデアを得るために必要です。つまり、マップの使用方法とマップから何が期待できるかを知るために必要です。
いくつかの通常の投影を一度に 子午線と緯線の外観によって認識されます。 たとえば、通常の円筒図法、擬似円筒図法、円錐図法、および方位角図法は簡単に認識できます。 しかし、経験豊富な地図作成者でも、多くの任意の投影図をすぐに認識できるわけではありません。いずれかの方向での等角度、等辺、または等距離を特定するには、地図上で特別な測定が必要になります。 これには特別なテクニックがあります。まず、フレームの形状 (長方形、円、楕円) を確立し、極がどのように描かれるかを決定します。次に、子午線に沿った隣接する緯線間の距離、隣接するグリッド セルの面積、子午線と緯線の交差角度、それらの曲率の性質など。
特別なものがあります 射影定義テーブル 世界、半球、大陸、海洋の地図用。 グリッド上で必要な測定を実行すると、そのような表で投影の名前を見つけることができます。 これにより、その特性のアイデアが得られ、このマップでの定量的決定の可能性を評価し、修正を行うためのアイソコールを含む適切なマップを選択できるようになります。

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歪みの性質に応じた投影の種類

自制心に関する質問:

1. 地図の数学的基礎を構成する要素は何ですか?
2. 地理地図の縮尺はどれくらいですか?
3. 主要な地図の縮尺は何ですか?
4. プライベートマップ縮尺とは何ですか?
5. 地理地図上の主要な縮尺から特定の縮尺がずれる原因は何ですか?
6. 海図上の点間の距離を測定するにはどうすればよいですか?
7. 歪み楕円とは何ですか?何に使用されますか?
8. 歪み楕円から最大スケールと最小スケールを決定するにはどうすればよいでしょうか?
9. 地球の楕円体の表面を平面に転写するにはどのような方法があり、その本質は何ですか?
10. 地図投影法は何と呼ばれますか?
11. 投影は歪みの性質に従ってどのように分類されますか?
12. どの投影法を正角と呼びますか?これらの投影法で歪みの楕円を描くにはどうすればよいですか?
13. どのような投影法が等距離と呼ばれますか?これらの投影法で歪み楕円を描くにはどうすればよいですか?
14. どの投影法を等積と呼びますか?これらの投影法で歪みの楕円を描くにはどうすればよいですか?
15. どのような投影が任意と呼ばれますか?

人々は古代から地理地図を使用してきました。 それを描写する最初の試みは、エラトステネスやヒッパルコスなどの科学者によって古代ギリシャで行われました。 当然のことながら、科学としての地図製作はそれ以来、大きな進歩を遂げてきました。 最新の地図は衛星画像とコンピューター技術を使用して作成されており、当然のことながら地図の精度を高めるのに役立ちます。 しかし、どの地理地図にも、地表の自然な形、角度、距離に関して多少の歪みが存在します。 これらの歪みの性質、したがって地図の精度は、特定の地図の作成に使用される地図投影法の種類によって異なります。

地図投影の概念

地図投影とは何なのか、そして現代の地図作成ではどのようなタイプが使用されているのかをさらに詳しく調べてみましょう。

地図投影は平面上の画像です。 科学的な観点からのより深い定義は次のように聞こえます。地図投影は、地球の表面上の点を特定の平面上に表示する方法であり、表示された点と表示された点の対応する点の座標間に何らかの分析関係が確立されます。表示された表面。

地図投影法はどのように構築されるのでしょうか?

あらゆる種類の地図投影法の作成は 2 段階で行われます。

1. まず、幾何学的に不規則な地球の表面が、関連性の表面と呼ばれる数学的に規則的な表面にマッピングされます。 最も正確な近似を行うために、ジオイドはこの能力で最もよく使用されます。ジオイドは、相互に接続され (海面)、単一の水塊を持つすべての海と海洋の水面によって制限される幾何学的ボディです。 ジオイドの表面上の各点では、重力が通常通り適用されます。 ただし、ジオイドも、惑星の物理的な表面と同様に、単一の数学的法則で表現することはできません。 したがって、ジオイドの代わりに回転楕円体が基準面として使用され、地球本体の圧縮度と方向を使用してジオイドとの類似性を最大限に高めます。 この天体は地球楕円体または基準楕円体と呼ばれ、国が異なればそれらのパラメータも異なります。
2. 第 2 に、受け入れられた関連面 (基準楕円体) が、1 つまたは別の解析依存関係を使用して平面に転送されます。 その結果、平面的な地図投影が得られます。

投影歪み

異なる地図では大陸の輪郭がなぜわずかに異なるのか疑問に思ったことはありますか? 一部の地図投影法では、世界の一部の部分が、一部のランドマークに対して他の部分よりも大きく見えたり、小さく見えたりします。 それはすべて、地球の投影が平面に転写されるときの歪みに関するものです。

しかし、地図投影法が歪んで見えるのはなぜでしょうか? 答えはとても簡単です。 折り目や裂け目なしに球面を平面上で展開することは不可能です。 したがって、そこからの画像を歪みなく表示することはできません。

予測を取得する方法

地図投影法、その種類と特性を研究するときは、その構築方法について言及する必要があります。 したがって、地図投影は 2 つの主な方法を使用して取得されます。

• 幾何学的な;
• 分析的。

中心部で 幾何学的手法線遠近法の法則です。 私たちの惑星は従来、ある程度の半径の球体であり、円筒形または円錐形の表面に投影され、それに接触したり、突き抜けたりする可能性があると考えられています。

このようにして得られた投影を遠近法と呼びます。 地表に対する観測点の位置に応じて、透視投影は次のタイプに分類されます。

• グノモニックまたは中心（視点が地球の球の中心と組み合わされた場合）。
• ステレオグラフィック (この場合、観測点は基準面上にあります)。
• 正投影 (地球の球の外側の任意の点から表面を観察する場合。投影は、マッピング サーフェスに垂直な平行線を使用して球の点を転送することによって構築されます)。

分析方法地図投影の構築は、関連球上の点と表示面を接続する数式に基づいています。 この方法はより汎用的で柔軟であり、あらかじめ決められた歪みの性質に従って任意の投影を作成できます。

地理における地図投影法の種類

地理地図の作成には、さまざまな種類の地球投影法が使用されます。 それらはさまざまな基準に従って分類されます。 ロシアでは、地図投影法の主な種類を決定する 4 つの基準を使用するカヴライスキー分類が使用されています。 特徴的な分類パラメータとして次のものが使用されます。

• 歪みの性質。
• 通常のグリッドの座標線を表示する形式。
• 通常の座標系における極点の位置。
• アプリケーションのモード。

では、この分類に従ってどのような種類の地図投影法が存在するのでしょうか?

投影の分類

歪みの性質上

上で述べたように、歪みは本質的に地球投影法に固有の特性です。 長さ、面積、角度など、あらゆる表面特性が歪む可能性があります。 歪みの種類によって次のようなものがあります。

• 正角投影または正角投影、方位と角度が歪みなく転送されます。 正角投影の座標グリッドは直交しています。 この方法で取得されたマップは、あらゆる方向の距離を決定するために使用することをお勧めします。
• 等しい面積または同等の投影ここでは、領域のスケールが保持され、1 に等しくなります。つまり、領域は歪みなく表示されます。 このような地図は地域を比較するために使用されます。
• 等距離投影または等距離投影、建設中、スケールは単位であると想定される主な方向の 1 つに沿って保存されます。
• 任意の投影、あらゆる種類の歪みが含まれる可能性があります。

通常のグリッドの座標線を表示する形式に従って

この分類は可能な限り明確であるため、理解しやすくなります。 ただし、この基準は観測点に垂直な方向の投影にのみ適用されることに注意してください。 したがって、この特徴に基づいて、次のタイプの地図投影法が区別されます。

円形ここで、緯線と子午線は円で表され、グリッドの赤道と中央子午線は直線で表されます。 同様の投影法を使用して、地球の表面全体を描写します。 円投影法の例には、ラグランジュ正角投影法や任意のグリンテン投影法があります。

方位角。 この場合、緯線は同心円の形で表され、子午線は緯線の中心から放射状に広がる直線の束の形で表されます。 このタイプの投影法は、地球の極と隣接する領域を直接表示するために使用され、地理の授業で誰もがよく知っている西半球と東半球の地図として横位置で使用されます。

円筒形ここで、子午線と緯線は垂直に交差する直線で表されます。 最小限の歪みで、赤道に隣接する領土、または特定の標準緯度に沿った領土がここに表示されます。

円錐形、円錐の側面の展開図を表します。緯線は円錐の頂点を中心とする円弧であり、子午線は円錐の頂点から発散するガイドです。 このような投影法は、中緯度に位置する地域を最も正確に描写します。

擬円錐投影法は円錐形の子午線に似ていますが、この場合の子午線のみが、グリッドの直線の軸子午線に対して対称な曲線で描かれています。

擬円筒投影法円筒形の子午線に似ていますが、擬似円錐形の子午線と同様に、子午線は軸方向の直線子午線に対して対称な曲線で描かれます。 地球全体を表すために使用されます (モルワイデの楕円投影法、サンソンの等積正弦波など)。

多円錐形、緯線は円の形で描かれ、その中心はグリッドの中央子午線またはその延長上に位置し、子午線は直線に対して対称に位置する曲線の形で示されます。

通常の座標系における極点の位置による

• ポーラーまたは 普通- 座標系の極が地理的な極と一致します。
• 横方向または 転向- 通常のシステムの極は赤道と一致します。
• 斜めまたは 傾いた- 通常の座標グリッドの極は、赤道と地理的な極の間の任意の点に配置できます。

申込み方法別

使用方法に応じて、次のタイプの地図投影法が区別されます。

• 固体- 領土全体を平面上に投影することは、単一の法則に従って実行されます。
• マルチバンド- マッピングされたエリアは条件付きでいくつかの緯度ゾーンに分割され、単一の法則に従って表示面に投影されますが、ゾーンごとにパラメーターが変更されます。 このような図法の例としては、台形ミューフリング図法が挙げられます。これは、ソ連で 1928 年まで大縮尺地図に使用されていました。
• 多面- 領土は経度に応じて条件付きで特定の数のゾーンに分割され、平面への投影は単一の法則に従って実行されますが、ゾーンごとに異なるパラメータが使用されます（たとえば、ガウス・クルーガー投影）。
• 複合、領域の一部が 1 つのパターンを使用して平面上に表示され、領域の残りの部分が別のパターンを使用して表示される場合。

マルチレーン投影と多面投影の両方の利点は、各ゾーン内の表示精度が高いことです。 ただし、重大な欠点は、連続画像を取得できないことです。

もちろん、各地図投影法は、上記の基準のそれぞれを使用して分類できます。 したがって、地球の有名なメルカトル図法は正角 (等角) かつ横方向 (横断) です。 ガウス・クルーガー図法 - 正角横円筒図法など。