Изменение вида стоячей волны со временем. Стоячая волна
Стоя́чая волна́ - явление интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует .
Стоячая волна (электромагнитная) - периодическое изменение амплитуды напряженности электрического и магнитного полей вдоль направления распространения, вызванное интерференцией падающей и отраженной волн .
Например, стоячая волна возникает при отражении волны от преград и неоднородностей в результате взаимодействия (интерференции) падающей и отражённой волн. На результат интерференции влияют частота колебаний, модуль и фаза коэффициента отражения, направления распространения падающей и отраженной волн друг относительно друга, изменение или сохранение поляризации волн при отражении, коэффициент затухания волн в среде распространения. Строго говоря, стоячая волна может существовать только при отсутствии потерь в среде распространения (или в активной среде) и полном отражении падающей волны. В реальной же среде наблюдается режим смешанных волн, поскольку всегда присутствует перенос энергии к местам поглощения и излучения. Если при падении волны происходит её полное поглощение , то отраженная волна отсутствует, интерференции волн нет, амплитуда волнового процесса в пространстве постоянна. Такой волновой процесс называют бегущей волной .
Примерами стоячей волны могут служить колебания струны , колебания воздуха в органной трубе ; в природе - волны Шумана . Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса .
-
1 / 5
Например, различные моды колебаний зажатой на концах струны определяют её основной тон и обертоны .
Математическое описание стоячих волн
В одномерном случае две волны одинаковой частоты, длины волны и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (например, навстречу друг другу), будут взаимодействовать, в результате чего может возникнуть стоячая волна. Например, гармоничная волна, распространяясь вправо, достигая конца струны, производит стоячую волну. Волна, что отражается от конца, должна иметь такую же амплитуду и частоту, как и падающая волна.
Рассмотрим падающую и отраженную волны в виде:
y 1 = y 0 sin (k x − ω t) {\displaystyle y_{1}\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)} y 2 = y 0 sin (k x + ω t) {\displaystyle y_{2}\;=\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t)}Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны y будет в виде суммы y 1 и y 2 :
y = y 0 sin (k x − ω t) + y 0 sin (k x + ω t) . {\displaystyle y\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t).}Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:
y = 2 y 0 cos (ω t) sin (k x) . {\displaystyle y\;=\;2\,y_{0}\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).}Если рассматривать моды x = 0 , λ / 2 , 3 λ / 2 , . . . {\displaystyle x=0,\lambda /2,3\lambda /2,...} и антимоды x = λ / 4 , 3 λ / 4 , 5 λ / 4 , . . . {\displaystyle x=\lambda /4,3\lambda /4,5\lambda /4,...} , то расстояние между соседними модами / антимодами будет равно половине длины волны
Стоячие волны являются решениями волновых уравнений . Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.
При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями .
Энциклопедичный YouTube
Стоячие волны образуются в результате интерференции двух встречных плоских волн одинаковой частоты ω и амплитуды А.
Представим себе, что в точке S (рис.7.4) находится вибратор, от которого вдоль луча SO распространяется плоская волна. Достигнув преграды в точке О, волна отразится и пойдёт в обратном направлении, т.е. вдоль луча распространяются две бегущие плоские волны: прямая и обратная. Эти две волны когерентны, так как рождены одним и тем же источником и, накладываясь друг на друга, будут интерферировать между собой.
Возникающее в результате интерференции колебательное состояние среды и называется стоячей волной.
Запишем уравнение прямой и обратной бегущей волны:
прямая -
;обратная
-
где S 1 и S 2 – смещение произвольной точки на луче SO. С учётом формулы для синуса суммы результирующее смещение равно
Таким образом, уравнение стоячей волны имеет вид
(7.17)
Множитель cosωt
показывает, что все точки среды на луче
SО совершают простые гармонические
колебания с частотой
.
Выражение
называется амплитудой стоячей волны.
Как видно, амплитуда определяется
положением точки на лучеSO
(х).
Максимальное значение амплитуды будут иметь точки, для которых
или
(n
= 0, 1, 2,….)
откуда
,
или
(7.18)
пучностями стоячей волны .
Минимальное значение , равное нулю, будут иметь те точки для которых
или
(n
= 0, 1, 2,….)
откуда
или
(7.19)
Точки, имеющие такие координаты, называют узлами стоячей волны . Сопоставляя выражения (7.18) и (7.19), видим, что расстояние между соседними пучностями и соседними узлами равно λ/2.
Н
а
рисунке сплошной линией изображено
смещение колеблющихся точек среды в
некоторый момент времени, пунктирной
кривой – положение этих же точек через
Т/2. Каждая точка совершает колебания с
амплитудой, определяемой её расстоянием
от вибратора (х).
В отличие от бегущей волны в стоячей волне не происходит переноса энергии. Энергия просто переходит из потенциальной (при максимальном смещении точек среды от положения равновесия) в кинетическую (при прохождении точками положения равновесия)в пределах между узлами, остающимися неподвижными.
Все точки стоячей
волны в пределах между узлами колеблются
в одинаковой фазе, а по разные стороны
от узла – в противофазе.
Стоячие волны возникают, например, в закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении в ней поперечных колебаний. Причём в местах закреплений располагаются узлы стоячей волны.
Если стоячая волна устанавливается в воздушном столбе, открытом с одного конца (звуковая волна), то на открытом конце образуется пучность, а на противоположном – узел.
Примеры решения задач
Пример . Определите скорость распространения звука в воде, если длина волны равна 2м, а частота колебаний источника ν=725Гц. Определите также наименьшее расстояние между точками среды, колеблющимися в одинаковой фазе.
Дано : λ=2м; ν=725Гц.
Найти : υ; х.
Решение . Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется определённая фаза волны за период Т, т.е.
,
где υ – скорость волны; ν - частота колебаний.
Тогда искомая скорость
Длина волны – расстояние между ближайшими частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе. Следовательно, искомое наименьшее расстояние между точками среды, колеблющимися в одинаковой фазы, равно длине волны, т.е.
Ответ: υ=1450 м/с; х=2м.
Пример . Определите, во сколько раз изменится длина ультразвуковой волны при переходе её из меди в сталь, если скорость распространения ультразвука в меди и стали соответственно равны υ 1 =3,6км/с и υ 2 =5,5 км/с.
Дано : υ 1 =3,6км/с=3,6∙10 3 м/с. и υ 2 =5,5 км/с =5,5∙10 3 м/с.
Найти
:
.
Решение . При распространении волн частота колебаний не изменяется при переходе их одной среды в другую (она зависит только от свойств источника волн), т.е. ν 1 = ν 2 = ν.
Связь длины волны с частотой ν:
,
(1)
где υ – скорость волны.
Искомое отношение, согласно (1),
.
Вычисляя,
получаем
(увеличится в 1.53 раза).
Ответ
:
Пример
.
Один
конец упругого стержня соединён с
источником гармонических колебаний,
подчиняющихся закону
,
а другой конец жёстко закреплён. Учитывая,
то отражение в месте закрепления стержня
происходит от более плотной среды,
определите: 1) уравнение стоячей волны;
2) координаты узлов; 3) координаты
пучностей.
Дано
:
.
Найти : 1) ξ (x, t); 2) х у; 3) х n .
Решение . Уравнение падающей волны
,
(1)
где А – амплитуда волны; ω - циклическая частота; υ - скорость волны.
Согласно условию задачи, отражение в месте закрепления стержня происходит от более плотной среды, поэтому волна меняет фазу на противоположную, и уравнение отражённой волны
Сложив уравнения (1) и (2), получим уравнение стоячей волны
(учли
;
λ=υТ).
В точках среды, где
(m=0,
1, 2,….) (3)
Амплитуда колебаний обращается в нуль (наблюдаются узлы), в точках среды, где
(m=0,
1, 2,….) (4)
Амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А (наблюдаются пучности). Искомые координаты узлов и пучностей находим из выражений (3) и (4):
координаты
узлов
(m=0,
1, 2,….);
координаты
пучностей
(m=0,
1, 2,….).
Ответ
:
1)
;
(m=0,
1, 2,….);
(m=0,
1, 2,….).
Пример . Расстояние между соседними узлами стоячей волны, создаваемый камертоном в воздухе ℓ =42см. Принимая скорость звука в воздухе υ=332 м/с, определите частоту колебаний ν камертона.
Дано : ℓ =42см=0,42м; υ=332 м/с.
Найти : ν.
Решение
.
В стоячеё волне расстояние между двумя
соседними узлами равно
.
Следовательно, ℓ=
, откуда длина бегущей волны
Связь
между длиной волны и частотой
.
Подставив в эту формулу значение (1),
получим искомую частоту колебаний
камертона
.
Ответ : ν=395 Гц.
Пример . Труба длиной ℓ = 50см заполнена воздухом и открыта с одного конца. Принимая скорость υ звука равной 340 м/с, определите, при какой наименьшей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна. Принимая скорость звука в воздухе υ=332 м/с, определите частоту колебаний ν камертона.
Дано : ℓ =50см=0,5м; υ=340 м/с.
Найти : ν 0 .
Решение. Частота будет минимальной при условии, что длина стоячей волны максимальна.
В открытой с одного конца трубе на открытой части будет пучность (отражение от менее плотной среды), а на закрытой части – узел (отражение от более плотной среды). Поэтому в трубе уложится четверть длины волны:
Учитывая,
что длина волны
,
можем записать
,
Откуда искомая наименьшая частота
.
Ответ : ν 0 =170 Гц.
Пример . Два электропоезда движутся навстречу друг другу со скоростями υ 1 =20 м/с и υ 2 =10 м/с. Первый поезд даёт свисток, высота тона которого соответствует частоте ν 0 =600 Гц. Определите частоту, воспринимаемую пассажиром второго перед встречей поездов и после их встречи. Скорость звука принять равной υ=332 м/с.
Дано : υ 1 =20 м/с; υ 2 =10 м/с; ν 0 =600 Гц; υ=332 м/с.
Найти: ν ; ν".
Решение. Согласно общей формуле, описывающей эффект Доплера в акустике, частота звука, воспринимаемая движущимся приёмником,
,
(1)
где ν 0 - частота звука, посылаемая источником; υ пр - скорость движения приёмника; υ ист - скорость движения источника. Если источник и приёмник приближаются друг к другу, то берётся верхний знак, если удаляются – нижний знак.
Согласно обозначениями, данным в задаче (υ пр =υ 2 и υ ист =υ 1) и приведённым выше пояснениями, из формулы (1) искомые частоты, воспринимаемые пассажиром второго поезда:
Перед встречей поездов (электропоезда сближаются):
;
После встречи поездов (поезда удаляются друг от друга):
Ответ: ν=658 Гц; ν" =549 Гц.
Стоячие волны образуются при наложении двух одина-ковых волн, бегущих навстречу друг другу. Все, наверное, ви-дели стоячие волны в гитарных струнах. Когда в каком-либо месте оттягивают и отпускают струну, в разные стороны на-чинают разбегаться упругие поперечные волны, которые за-тем отражаются от концов струны и, накладываясь друг на друга, образуют стоячие волны (если при распространении и отражении нет затухания). Как это происходит?
При сложе-нии двух синусоидальных волн с одинаковыми частотой и ам-плитудой, но распространяющихся в разных направлениях оси x, получаем возмущение, которое описывается функцией
F(x, t) = f 0 sin(ωt — kx + φ 1) + f 0 sin(ωt + kx + φ 2) = 2 f 0 cos(kx + (φ 2 — φ 1) / 2) + (φ 1 + φ 2) / 2).
Это и есть уравнение стоячей волны . В каждой точке стоя-чей волны колебания осуществляются по гармоническому закону:
F(x, t) = F 0 sin (ωt + (φ 1 + φ 2) / 2.
Амплитуда колеба-ний
| F 0 | = 2 f 0 | cos(kx + (φ 2 — φ 1) / 2)|
зависит от координа-ты x . В точках, где kx + Δφ / 2 = (n + 1 / 2)π (n — целое чис-ло, Δφ = φ 1 — φ 2), амплитуда F 0 = 0. Такие точки называют узлами стоячей волны , колебания в них отсутствуют. Точ-ки, для которых амплитуда колебаний | F 0 | = 2 f 0 максималь-на, называют пучностями стоячей волны . Расстояние Δx между соседними узлами (или соседними пучностями) рав-но половине длины бегущих волн, из которых образовалась стоячая волна:
Δx = π / k = λ / 2.
В точках между двумя соседними узлами колебания проис-ходят в одинаковой фазе, а амплитуда изменяется от нуля до максимума (в пучности, которая расположена посереди-не между узлами) и опять до нуля. Материал с сайта
При переходе через узел фаза колебаний изменяется на π, так как меняется знак F 0 . В стоячей волне возмущение сре-ды обращается в нуль одновременно во всех точках, и одно-временно во всех точках возмущение достигает максималь-ного по величине значения. Так, звучащая струна через каждый полупериод выпрямляется, а через четверть перио-да после выпрямления принимает «наиболее изогнутую» форму.
Если наблюдать колебания только в одной точке, то невозможно сказать, какая волна — бегущая или стоя-чая — вызвала эти колеба-ния. Но если следить за ко-лебаниями в нескольких точках, то картины колеба-ний в бегущей и стоячей волнах будут совершенно различны. В плоской бегу-щей волне колебания в разных точках происхо-дят с одинаковой амплиту-дой, но в различных фазах. В стоячей волне колебания в разных точках происхо-дят с разными амплитуда-ми, но в одинаковой фазе. Поэтому при наблюдении «целой картины» спутать бегущую и стоячую волны, конечно, невозможно.
Когда две одинаковые волны с равными амплитудами и периодами распространяются навстречу друг другу, то при их наложении возникают стоячие волны. Стоячие волны могут быть получены при отражении от препятствий. Допустим, излучатель посылает волну к препятствию (падающая волна). Отраженная от него волна наложится на падающую волну. Уравнение стоячей волны можно получить сложением уравнения падающей волны
и уравнения отраженной волны
Отраженная волна движется в направлении, противоположном падающей волне, поэтому расстояние х берем со знаком минус. Смещение точки, которая участвует одновременно в двух колебаниях, равно алгебраической сумме . После несложных преобразований, получаем
не зависит от времени и определяет амплитуду любой точки с координатой х. Каждая точка совершает гармоническое колебание с периодом Т. Амплитуда А ст для каждой точки вполне определена. Но при переходе от одной точки волны к другой она изменяется в зависимости от расстояния х. Если придавать х значения, равные и т.д., то при подстановке в уравнение (8.16) получим . Следовательно, указанные точки волны остаются в покое, т.к. амплитуды их колебаний равны нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания происходят с максимальной амплитудой, называются пучностями. Расстояние между соседними узлами (или пучностями) называются длиной стоячей волны и равно
где λ - длина бегущей волны.
В стоячей волне все точки среды, в которой они распространяются, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе. Точки среды, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе -фазы их отличаются на π. т.е. при переходе через узел фаза колебаний скачкообразно меняется на π. В отличие от бегущих волн в стоячей волне отсутствует перенос энергии вследствие того, что образующие эту волну прямая и обратная волны переносят энергию в равных количествах и в прямом и в противоположном направлениях. В том случае, когда волна отражается от среды более плотной, чем та среда, где распространяется волна, в месте отражения возникает узел, фаза изменяется на противоположную. При этом говорят, что происходит потеря половины волны. Когда волна отражается от среды менее плотной в месте отражения, появляется кучность, и потери половины волны нет.
