Calcolo dei limiti di una funzione con soluzione dettagliata. Sequenza e limite di funzione

Risoluzione dei problemi sulla ricerca dei limiti Quando si risolvono i problemi sulla ricerca dei limiti, è necessario ricordare alcuni limiti in modo da non calcolarli nuovamente ogni volta. Combinando questi limiti noti, troveremo nuovi limiti utilizzando le proprietà indicate nel § 4. Per comodità riportiamo i limiti riscontrati più frequentemente: Limiti 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), se f (x) è continua x a Se sappiamo che la funzione è continua, invece di trovare il limite, calcoliamo il valore della funzione. Esempio 1. Trova lim (x*-6l:+ 8). Poiché la funzione del termine multitermine X->2 è continua, allora lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Esempio 2. Trova lim -G. . Innanzitutto troviamo il limite del denominatore: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; non è uguale a X-Y1 zero, il che significa che possiamo applicare la proprietà 4 § 4, allora x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Il limite di il denominatore X X è uguale a zero, pertanto non può essere applicata la proprietà 4 del § 4. Poiché il numeratore è un numero costante, e il denominatore [x2x) -> -0 per x - - 1, allora l'intera frazione aumenta illimitatamente in valore assoluto, cioè lim " 1 X - * - - 1 x* + x Esempio 4. Trova lim\-ll*"!"" "Il limite del denominatore è zero: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, quindi X proprietà 4 § 4 non applicabile. Ma anche il limite del numeratore è uguale a zero: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Quindi, i limiti del numeratore e del denominatore sono contemporaneamente uguali a zero. Tuttavia, il numero 2 è la radice sia del numeratore che del denominatore, quindi la frazione può essere ridotta della differenza x-2 (secondo il teorema di Bezout). Infatti, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" quindi xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Esempio 5. Trova lim xn (n intero, positivo). X con Abbiamo xn = X* X . . X, n volte Poiché ogni fattore cresce senza limiti, anche il prodotto cresce senza limiti, cioè lim xn = oo. x oo Esempio 6. Trova lim xn(n intero, positivo). X -> - CO Abbiamo xn = x x... x. Poiché ogni fattore cresce in valore assoluto pur rimanendo negativo, nel caso di un grado pari il prodotto crescerà illimitatamente pur rimanendo positivo, cioè lim *n = + oo (per n pari). *-* -о Nel caso di grado dispari il valore assoluto del prodotto aumenta, ma rimane negativo, cioè lim xn = - oo (per n dispari). p -- 00 Esempio 7. Trova lim . x x-*- co * Se m>pu allora possiamo scrivere: m = n + kt dove k>0. Quindi xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu Siamo arrivati ​​all'esempio 6. Se ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Qui il numeratore rimane costante, e il denominatore cresce in valore assoluto, quindi lim -ü = 0. X - *oo X* Si consiglia di ricordare il risultato di questo esempio nella seguente forma: La funzione potenza cresce tanto più velocemente quanto più grande è l'esponente. $хв_Зхг + 7 Esempio 8. Trova lim g L -г-=. In questo esempio x-*® «J* "Г bХ -ох-о e il numeratore e il denominatore aumentano senza limite. Dividiamo sia il numeratore che il denominatore per la potenza più alta di x, cioè su xb, quindi 3 7_ Esempio 9. Trova lira... Eseguendo le trasformazioni, otteniamo lira... ^ = lim X CO + 3 7 3 Poiché lim -5 = 0, lim - , = 0 , allora il limite del denominatore rad-*® X X-+-CD X è zero, mentre il limite del numeratore è 1. Di conseguenza l'intera frazione aumenta senza limiti, cioè t. 7x hm X-+ yu Esempio 10. Trova lim Calcoliamo il limite S del denominatore, ricordando che la funzione cos* è continua: lira (2 + cos x) = 2 + cosy = 2. Quindi x->- S lim (l-fsin*) Esempio 15. Trova lim *<*-e>2 e lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO premere (l: - a)2 = z; poiché (Λ;-a)2 cresce sempre in modo non negativo e senza limiti con x, allora per x - ±oo la nuova variabile z-*oc. Otteniamo quindi qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (vedi nota al §5). g -**** co Analogamente lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, poiché x ± oo g m - (x- a)z diminuisce senza limite per x ->±oo (vedi nota al §

I limiti creano molti problemi a tutti gli studenti di matematica. Per risolvere un limite, a volte è necessario utilizzare molti trucchi e scegliere tra una varietà di metodi di soluzione esattamente quello adatto per un particolare esempio.

In questo articolo non ti aiuteremo a comprendere i limiti delle tue capacità o a comprendere i limiti del controllo, ma proveremo a rispondere alla domanda: come comprendere i limiti nella matematica superiore? La comprensione arriva con l'esperienza, quindi allo stesso tempo forniremo diversi esempi dettagliati di risoluzione dei limiti con spiegazioni.

Il concetto di limite in matematica

La prima domanda è: qual è questo limite e il limite di cosa? Possiamo parlare dei limiti delle sequenze e delle funzioni numeriche. A noi interessa il concetto di limite di una funzione, poiché è ciò che gli studenti incontrano più spesso. Ma prima, la definizione più generale di limite:

Diciamo che c'è qualche valore variabile. Se questo valore nel processo di cambiamento si avvicina illimitatamente a un certo numero UN , Quello UN – il limite di questo valore.

Per una funzione definita in un certo intervallo f(x)=y tale numero è chiamato limite UN , a cui tende la funzione quando X , tendente ad un certo punto UN . Punto UN appartiene all'intervallo su cui è definita la funzione.

Sembra complicato, ma è scritto in modo molto semplice:

Lim- dall'inglese limite- limite.

Esiste anche una spiegazione geometrica per determinare il limite, ma qui non approfondiremo la teoria, poiché siamo più interessati al lato pratico piuttosto che a quello teorico della questione. Quando lo diciamo X tende ad un certo valore, ciò significa che la variabile non assume il valore di un numero, ma si avvicina ad esso infinitamente vicino.

Facciamo un esempio specifico. Il compito è trovare il limite.

Per risolvere questo esempio, sostituiamo il valore x=3 in una funzione. Noi abbiamo:

A proposito, se sei interessato, leggi un articolo separato su questo argomento.

Negli esempi X può tendere a qualsiasi valore. Può essere qualsiasi numero o infinito. Ecco un esempio quando X tende all'infinito:

Intuitivamente, maggiore è il numero al denominatore, minore sarà il valore che assumerà la funzione. Quindi, con una crescita illimitata X Senso 1/x diminuirà e si avvicinerà allo zero.

Come puoi vedere, per risolvere il limite è sufficiente sostituire nella funzione il valore a cui tendere X . Tuttavia, questo è il caso più semplice. Spesso trovare il limite non è così ovvio. Nei limiti ci sono incertezze del tipo 0/0 O infinito/infinito . Cosa fare in questi casi? Ricorri ai trucchi!

Incertezze dentro

Incertezza della forma infinito/infinito

Lasciamo che ci sia un limite:

Se proviamo a sostituire l'infinito nella funzione, otterremo l'infinito sia al numeratore che al denominatore. In generale, vale la pena dire che c'è un certo elemento artistico nel risolvere tali incertezze: bisogna notare come è possibile trasformare la funzione in modo tale che l'incertezza scompaia. Nel nostro caso dividiamo numeratore e denominatore per X nel grado senior. Cosa accadrà?

Dall'esempio già discusso sopra sappiamo che i termini contenenti x al denominatore tenderanno a zero. Allora la soluzione al limite è:

Per risolvere le incertezze sul tipo infinito/infinito dividi numeratore e denominatore per X al massimo grado.

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Altro tipo di incertezza: 0/0

Come sempre, sostituendo i valori nella funzione x=-1 dà 0 al numeratore e al denominatore. Guarda un po' più da vicino e noterai che abbiamo un'equazione quadratica al numeratore. Troviamo le radici e scriviamo:

Riduciamo e otteniamo:

Quindi, se ti trovi di fronte all'incertezza del tipo 0/0 – Fattorizzare numeratore e denominatore.

Per facilitare la risoluzione degli esempi, presentiamo una tabella con i limiti di alcune funzioni:

Il governo dell'Hopital all'interno

Un altro modo potente per eliminare entrambi i tipi di incertezza. Qual è l'essenza del metodo?

Se c'è incertezza nel limite, prendi la derivata del numeratore e del denominatore finché l'incertezza scompare.

La regola di L'Hopital è la seguente:

Punto importante : il limite in cui devono esistere le derivate del numeratore e del denominatore invece del numeratore e del denominatore.

E ora - un esempio reale:

C'è una tipica incertezza 0/0 . Prendiamo le derivate del numeratore e del denominatore:

Voilà, l'incertezza viene risolta in modo rapido ed elegante.

Ci auguriamo che tu possa applicare utilmente queste informazioni nella pratica e trovare la risposta alla domanda "come risolvere i limiti nella matematica superiore". Se devi calcolare il limite di una sequenza o il limite di una funzione in un punto e non c'è assolutamente tempo per questo lavoro, contatta un servizio studenti professionale per una soluzione rapida e dettagliata.

In questo argomento considereremo tutti e tre i gruppi di limiti con irrazionalità sopra elencati. Cominciamo con i limiti contenenti incertezza della forma $\frac(0)(0)$.

Divulgazione dell'incertezza $\frac(0)(0)$.

La soluzione ad esempi standard di questo tipo consiste solitamente in due passaggi:

• Ci liberiamo dell'irrazionalità che ha causato l'incertezza moltiplicando per la cosiddetta espressione “coniugata”;
• Se necessario, fattorizzare l'espressione al numeratore o al denominatore (o entrambi);
• Riduciamo i fattori che portano all'incertezza e calcoliamo il valore desiderato del limite.

Il termine "espressione coniugata" utilizzato sopra verrà spiegato in dettaglio negli esempi. Per ora non c’è motivo di soffermarsi nel dettaglio. In generale, puoi andare dall'altra parte, senza usare l'espressione coniugata. A volte una sostituzione ben scelta può eliminare l’irrazionalità. Tali esempi sono rari nei test standard, quindi considereremo solo l'esempio n. 6 per l'uso della sostituzione (vedere la seconda parte di questo argomento).

Avremo bisogno di diverse formule, che scriverò di seguito:

\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(equation) \begin(equation) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(equation) \begin (equazione) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(equazione)

Inoltre, presupponiamo che il lettore conosca le formule per risolvere le equazioni quadratiche. Se $x_1$ e $x_2$ sono le radici del trinomio quadratico $ax^2+bx+c$, allora può essere fattorizzato utilizzando la seguente formula:

\begin(equation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(equation)

Le formule (1)-(5) sono più che sufficienti per risolvere i problemi standard, ai quali passeremo ora.

Esempio n. 1

Trova $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Poiché $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ e $\lim_(x\to 3) (x-3)=3-3=0$, allora nel limite dato abbiamo un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. La differenza $\sqrt(7-x)-2$ ci impedisce di rivelare questa incertezza. Per eliminare tali irrazionalità si usa la moltiplicazione per la cosiddetta “espressione coniugata”. Vedremo ora come funziona tale moltiplicazione. Moltiplica $\sqrt(7-x)-2$ per $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\quadrato(7-x)-2)(\quadrato(7-x)+2)$$

Per aprire le parentesi, applicare , sostituendo $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ nella parte destra della formula menzionata:

$$(\quadrato(7-x)-2)(\quadrato(7-x)+2)=(\quadrato(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Come puoi vedere, se moltiplichi il numeratore per $\sqrt(7-x)+2$, la radice (cioè l'irrazionalità) nel numeratore scomparirà. Questa espressione $\sqrt(7-x)+2$ sarà coniugare all'espressione $\sqrt(7-x)-2$. Tuttavia, non possiamo semplicemente moltiplicare il numeratore per $\sqrt(7-x)+2$, perché questo cambierà la frazione $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, che è sotto il limite. Devi moltiplicare sia il numeratore che il denominatore contemporaneamente:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Ora ricorda che $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ e apri le parentesi. E dopo aver aperto le parentesi e una piccola trasformazione $3-x=-(x-3)$, riduciamo la frazione di $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

L'incertezza $\frac(0)(0)$ è scomparsa. Ora puoi facilmente ottenere la risposta di questo esempio:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Noto che l'espressione coniugata può cambiare la sua struttura, a seconda del tipo di irrazionalità che deve rimuovere. Negli esempi n. 4 e n. 5 (vedi la seconda parte di questo argomento) verrà utilizzato un diverso tipo di espressione coniugata.

Risposta: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Esempio n.2

Trova $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Poiché $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ e $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, allora noi hanno a che fare con l'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Liberiamoci dall'irrazionalità nel denominatore di questa frazione. Per fare ciò, aggiungiamo sia il numeratore che il denominatore della frazione $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ al espressione $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ coniugata al denominatore:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sinistra|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Ancora una volta, come nell'esempio n. 1, è necessario utilizzare le parentesi per espandere. Sostituendo $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ nella parte destra della formula menzionata, otteniamo la seguente espressione per il denominatore:

$$ \sinistra(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\destra)\sinistra(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ destra)=\\ =\sinistra(\sqrt(x^2+5)\destra)^2-\sinistra(\sqrt(7x^2-19)\destra)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Torniamo al nostro limite:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Nell'esempio n. 1, quasi immediatamente dopo la moltiplicazione per l'espressione coniugata, la frazione è stata ridotta. Qui, prima della riduzione, dovrai fattorizzare le espressioni $3x^2-5x-2$ e $x^2-4$, e solo dopo procedere alla riduzione. Per fattorizzare l'espressione $3x^2-5x-2$ è necessario utilizzare . Innanzitutto, risolviamo l'equazione quadratica $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(allineato) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(allineato) $$

Sostituendo $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ in , avremo:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\sinistra(x-\sinistra(-\frac(1)(3)\destra)\destra)(x-2)=3\cdot\sinistra(x+\ frac(1)(3)\destra)(x-2)=\sinistra(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\destra)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Ora è il momento di fattorizzare l'espressione $x^2-4$. Usiamo , sostituendo $a=x$, $b=2$:

$$x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Usiamo i risultati ottenuti. Poiché $x^2-4=(x-2)(x+2)$ e $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, allora:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\quadrato(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Riducendo per la parentesi $x-2$ otteniamo:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\quadrato(7x^2-19)))(x+2). $$

Tutto! L'incertezza è scomparsa. Ancora un passo e arriviamo alla risposta:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Risposta: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

Nell'esempio seguente, considera il caso in cui le irrazionalità saranno presenti sia al numeratore che al denominatore della frazione.

Esempio n.3

Trova $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

Poiché $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ e $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, allora abbiamo un'incertezza della forma $ \frac(0)(0)$. Poiché in questo caso le radici sono presenti sia al denominatore che al numeratore, per eliminare l'incertezza dovrai moltiplicare per due parentesi contemporaneamente. Innanzitutto all'espressione $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ coniugata al numeratore. E in secondo luogo, all'espressione $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ coniugata al denominatore.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(allineato) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(aligned) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Per l'espressione $x^2-8x+15$ otteniamo:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(allineato) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(allineato)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Sostituendo le espansioni risultanti $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ e $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ nel limite in esame, avrà:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Risposta: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

Nella prossima (seconda) parte considereremo un altro paio di esempi in cui l'espressione coniugata avrà una forma diversa rispetto ai problemi precedenti. La cosa principale da ricordare è che lo scopo dell'utilizzo di un'espressione coniugata è eliminare l'irrazionalità che causa incertezza.

Funzioni elementari e loro grafici.

Le principali funzioni elementari sono: funzione potenza, funzione esponenziale, funzione logaritmica, funzioni trigonometriche e funzioni trigonometriche inverse, nonché un polinomio e una funzione razionale, che è il rapporto tra due polinomi.

Le funzioni elementari includono anche quelle funzioni che si ottengono da quelle elementari applicando le quattro operazioni aritmetiche di base e formando una funzione complessa.

Grafici di funzioni elementari

	Retta- grafico di una funzione lineare y = ascia + b. La funzione y aumenta monotonicamente per a > 0 e diminuisce per a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Parabola- grafico della funzione trinomiale quadratica y = asse 2 + bx + c. Ha un asse di simmetria verticale. Se a > 0, ha un minimo se a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx +c =0
	Iperbole- grafico della funzione. Quando a > O si trova nel I e ​​III quarto, quando a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) o y - - x(a< 0).
	Funzione esponenziale. espositore(funzione esponenziale in base e) y = ex. (Un'altra ortografia y = esp(x)). L'asintoto è l'asse delle ascisse.
	Funzione logaritmica y = log a x(a > 0)
	y = sinx. Onda sinusoidale- funzione periodica con periodo T = 2π

Limite di funzione.

La funzione y=f(x) ha come limite un numero A poiché x tende ad a, se per ogni numero ε › 0 esiste un numero δ › 0 tale che | y – A | ‹ ε se |x - a| ‹δ,

o lim y = A

Continuità della funzione.

La funzione y=f(x) è continua nel punto x = a se lim f(x) = f(a), cioè

il limite di una funzione in un punto x = a è uguale al valore della funzione in un dato punto.

Trovare i limiti delle funzioni.

Teoremi fondamentali sui limiti delle funzioni.

1. Il limite di un valore costante è uguale a questo valore costante:

2. Il limite di una somma algebrica è uguale alla somma algebrica dei limiti di queste funzioni:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. Il limite del prodotto di più funzioni è uguale al prodotto dei limiti di queste funzioni:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. Il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti di queste funzioni se il limite del denominatore non è uguale a 0:

lim------- = ----------

Il primo limite notevole: lim --------- = 1

Secondo limite notevole: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Esempi di ricerca dei limiti di funzioni.

5.1. Esempio:

Qualsiasi limite è composto da tre parti:

1) La famosa icona del limite.

2) Voci sotto l'icona del limite. La voce recita "X tende a uno". Molto spesso è x, anche se al posto di “x” può esserci qualsiasi altra variabile. Al posto di uno può esserci assolutamente qualsiasi numero, compreso infinito 0 o .

3) Funzioni sotto il segno limite, in questo caso .

La registrazione stessa si legge così: “il limite di una funzione come x tende all’unità”.

Una domanda molto importante: cosa significa l'espressione "x"? si sforza a uno"? L'espressione "x" si sforza a uno” va intesa nel seguente modo: “x” assume costantemente i valori che si avvicinano all'unità infinitamente vicine e praticamente coincidono con essa.

Come risolvere l'esempio sopra? In base a quanto sopra, è sufficiente sostituirne uno nella funzione sotto il segno di limite:

Quindi la prima regola : Quando viene assegnato un limite, è sufficiente inserire prima il numero nella funzione.

5.2. Esempio con infinito:

Scopriamo di cosa si tratta? Questo è il caso in cui aumenta senza limiti.

Quindi se , quindi la funzione tende a meno infinito:

Secondo la nostra prima regola, invece di “X” sostituiamo nella funzione infinito e otteniamo la risposta.

5.3. Un altro esempio con infinito:

Ancora una volta iniziamo ad aumentare all'infinito e osserviamo il comportamento della funzione.
Conclusione: la funzione aumenta illimitatamente

5.4. Una serie di esempi:

Prova ad analizzare tu stesso mentalmente i seguenti esempi e risolvi i tipi di limiti più semplici:

, , , , , , , , ,

Cosa devi ricordare e capire da quanto sopra?

Quando viene assegnato un limite, è sufficiente innanzitutto inserire il numero nella funzione. Allo stesso tempo, devi comprendere e risolvere immediatamente i limiti più semplici, come , , eccetera.

6. Limiti con incertezza di tipo e un metodo per risolverli.

Considereremo ora il gruppo dei limiti quando , e la funzione è una frazione il cui numeratore e denominatore contengono polinomi.

6.1. Esempio:

Calcola limite

Secondo la nostra regola, proviamo a sostituire l'infinito nella funzione. Cosa otteniamo in cima? Infinito. E cosa succede sotto? Anche l'infinito. Abbiamo quindi quella che viene chiamata incertezza della specie. Si potrebbe pensare che = 1, e la risposta è pronta, ma nel caso generale non è affatto così, ed è necessario applicare qualche tecnica risolutiva, che ora considereremo.

Come risolvere limiti di questo tipo?

Per prima cosa guardiamo il numeratore e troviamo la potenza più alta:

La potenza principale al numeratore è due.

Ora guardiamo il denominatore e troviamolo anche alla massima potenza:

Il grado più alto del denominatore è due.

Quindi scegliamo la potenza più alta del numeratore e del denominatore: in questo esempio sono uguali e uguali a due.

Quindi, il metodo di soluzione è il seguente: per rivelare l’incertezza devi dividere numeratore e denominatore per nel grado senior.

Quindi la risposta non è 1.

Esempio

Trova il limite

Sempre al numeratore e al denominatore troviamo in massimo grado:

Grado massimo al numeratore: 3

Grado massimo al denominatore: 4

Scegliere più grande valore, in questo caso quattro.
Secondo il nostro algoritmo, per rivelare l'incertezza, dividiamo il numeratore e il denominatore per .

Esempio

Trova il limite

Grado massimo della “X” al numeratore: 2

Grado massimo di “X” al denominatore: 1 (può essere scritto come)
Per rivelare l'incertezza è necessario dividere numeratore e denominatore per . La soluzione finale potrebbe assomigliare a questa:

Dividi numeratore e denominatore per

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