Esponenziazione, regole, esempi. Grado e sue proprietà

È ora di fare un po' di conti. Ricordi ancora quanto vale se si moltiplicano due per due?

Se qualcuno se ne è dimenticato, saranno quattro. Sembra che tutti ricordino e conoscano la tabella di moltiplicazione, tuttavia, ho scoperto un numero enorme di richieste a Yandex come "tabella di moltiplicazione" o anche "scarica tabella di moltiplicazione"(!). È per questa categoria di utenti, così come per quelli più avanzati che sono già interessati ai quadrati e alle potenze, che pubblico tutte queste tabelle. Puoi anche scaricarlo per la tua salute! COSÌ:

Tabellina

(interi da 1 a 20)

Tavola dei quadrati

(interi da 1 a 100)

Tabella dei gradi

(interi da 1 a 10)

1 alla potenza:

2 alla potenza:

3 alla potenza:

4 alla potenza:

5 alla potenza:

6 alla potenza:

7 alla potenza:

7 10 = 282475249

8 alla potenza:

8 10 = 1073741824

9 alla potenza:

9 10 = 3486784401

10 alla potenza:

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

Immettere il numero e il grado, quindi premere =.

Tabella dei gradi

Proprietà del grado - 2 parti

Una tabella delle principali lauree di algebra in forma compatta (immagine, comoda per la stampa), sopra il numero, a lato della laurea.

Continuando la conversazione sulla potenza di un numero, è logico capire come trovare il valore della potenza. Questo processo si chiama esponenziazione. In questo articolo studieremo come viene eseguita l'esponenziazione, mentre toccheremo tutti i possibili esponenti: naturale, intero, razionale e irrazionale. E secondo la tradizione, considereremo in dettaglio le soluzioni agli esempi di elevazione dei numeri a varie potenze.

Navigazione della pagina.

Cosa significa "esponenziazione"?

Cominciamo spiegando ciò che viene chiamato esponenziazione. Ecco la relativa definizione.

Definizione.

Esponenziazione- questo è trovare il valore della potenza di un numero.

Quindi, trovare il valore della potenza di un numero a con esponente r ed elevare il numero a a potenza r sono la stessa cosa. Ad esempio, se l'attività è "calcolare il valore della potenza (0,5) 5", allora può essere riformulata come segue: "Elevare il numero 0,5 alla potenza 5".

Ora puoi andare direttamente alle regole in base alle quali viene eseguita l'esponenziazione.

Elevare un numero a potenza naturale

In pratica, l'uguaglianza basata su viene solitamente applicata nella forma . Cioè, quando si eleva un numero a a una potenza frazionaria m/n, viene prima presa la radice n-esima del numero a, dopodiché il risultato risultante viene elevato a una potenza intera m.

Diamo un'occhiata alle soluzioni degli esempi di elevazione a una potenza frazionaria.

Esempio.

Calcola il valore della laurea.

Soluzione.

Mostreremo due soluzioni.

Primo modo. Per definizione di grado con esponente frazionario. Calcoliamo il valore del grado sotto il segno della radice, quindi estraiamo la radice cubica: .

Secondo modo. Secondo la definizione di grado con esponente frazionario e in base alle proprietà delle radici, sono vere le seguenti uguaglianze: . Ora estraiamo la radice , infine, lo eleviamo a potenza intera .

Ovviamente i risultati ottenuti dall'elevazione a potenza frazionaria coincidono.

Risposta:

Nota che un esponente frazionario può essere scritto come una frazione decimale o un numero misto, in questi casi va sostituito con la corrispondente frazione ordinaria, e poi elevato a potenza.

Esempio.

Calcola (44.89) 2.5.

Soluzione.

Scriviamo l'esponente sotto forma di frazione ordinaria (se necessario, vedi l'articolo): . Ora eseguiamo l'elevazione a potenza frazionaria:

Risposta:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Va anche detto che elevare i numeri a potenze razionali è un processo piuttosto laborioso (specialmente quando il numeratore e il denominatore dell'esponente frazionario contengono numeri sufficientemente grandi), che di solito viene eseguito utilizzando la tecnologia informatica.

Per concludere questo punto soffermiamoci sull'elevazione del numero zero a potenza frazionaria. Abbiamo dato il seguente significato alla potenza frazionaria dello zero della forma: quando abbiamo , e a zero la potenza m/n non è definita. Quindi, da zero a una potenza positiva frazionaria è zero, ad esempio, . E lo zero in una potenza negativa frazionaria non ha senso, ad esempio le espressioni 0 -4,3 non hanno senso.

Elevare a un potere irrazionale

A volte diventa necessario scoprire il valore della potenza di un numero con esponente irrazionale. In questo caso, ai fini pratici, di solito è sufficiente ottenere il valore del grado accurato fino a un certo segno. Notiamo subito che in pratica questo valore viene calcolato utilizzando computer elettronici, poiché elevarlo manualmente a una potenza irrazionale richiede un gran numero di calcoli macchinosi. Ma descriveremo ancora in termini generali l'essenza delle azioni.

Per ottenere un valore approssimativo della potenza di un numero a con esponente irrazionale, si prende qualche approssimazione decimale dell'esponente e si calcola il valore della potenza. Questo valore è un valore approssimativo della potenza del numero a con esponente irrazionale. Quanto più accurata è l'approssimazione decimale di un numero inizialmente, tanto più accurato sarà il valore del grado alla fine.

Ad esempio, calcoliamo il valore approssimativo della potenza di 2 1.174367... . Prendiamo la seguente approssimazione decimale dell'esponente irrazionale: . Ora eleviamo 2 alla potenza razionale 1,17 (abbiamo descritto l'essenza di questo processo nel paragrafo precedente), otteniamo 2 1,17 ≈2,250116. Così, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Se prendiamo un'approssimazione decimale più accurata dell'esponente irrazionale, ad esempio, otteniamo un valore più accurato dell'esponente originale: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Libro di matematica per la quinta elementare. istituzioni educative.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: libro di testo per la 7a elementare. istituzioni educative.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: libro di testo per la terza media. istituzioni educative.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: libro di testo per la terza media. istituzioni educative.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e altri. Algebra e gli inizi dell'analisi: libro di testo per i gradi 10 - 11 degli istituti di istruzione generale.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (un manuale per chi entra nelle scuole tecniche).

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E all'ammissione all'università dei tuoi sogni!

Andiamo... (Andiamo!)

PRIMO LIVELLO

L'esponenziazione è un'operazione matematica proprio come l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione o la divisione.

Ora spiegherò tutto in linguaggio umano utilizzando esempi molto semplici. Stai attento. Gli esempi sono elementari, ma spiegano cose importanti.

Cominciamo con l'addizione.

Non c'è niente da spiegare qui. Sai già tutto: siamo in otto. Ognuno ha due bottiglie di cola. Quanta cola c'è? Esatto: 16 bottiglie.

Ora la moltiplicazione.

Lo stesso esempio con la cola può essere scritto diversamente: . I matematici sono persone astute e pigre. Prima notano alcuni schemi e poi trovano un modo per “contarli” più velocemente. Nel nostro caso, hanno notato che ciascuna delle otto persone aveva lo stesso numero di bottiglie di cola e hanno escogitato una tecnica chiamata moltiplicazione. D'accordo, è considerato più facile e veloce di.

Quindi, per contare più velocemente, più facilmente e senza errori, devi solo ricordare tabellina. Certo, puoi fare tutto più lentamente, più difficile e con errori! Ma…

Ecco la tavola pitagorica. Ripetere.

E un altro, più bello:

Quali altri trucchetti intelligenti hanno escogitato i matematici pigri? Giusto - elevando un numero a una potenza.

Elevare un numero a una potenza

Se devi moltiplicare un numero per se stesso cinque volte, i matematici dicono che devi elevare quel numero alla quinta potenza. Per esempio, . I matematici ricordano che due alla quinta potenza è... E risolvono tali problemi nelle loro teste: più velocemente, più facilmente e senza errori.

Tutto quello che devi fare è ricorda cosa è evidenziato a colori nella tabella delle potenze dei numeri. Credimi, questo ti renderà la vita molto più semplice.

A proposito, perché si chiama secondo grado? piazza numeri, e il terzo - cubo? Cosa significa? Ottima domanda. Ora avrai sia quadrati che cubi.

Esempio di vita reale n. 1

Cominciamo con il quadrato o la seconda potenza del numero.

Immagina una piscina quadrata che misura un metro per un metro. La piscina è nella tua dacia. Fa caldo e ho tanta voglia di nuotare. Ma... la piscina non ha fondo! È necessario coprire il fondo della piscina con piastrelle. Quante piastrelle ti servono? Per determinarlo è necessario conoscere la zona del fondo della piscina.

Puoi calcolare semplicemente puntando il dito che il fondo della piscina è costituito da cubi metro per metro. Se hai piastrelle di un metro per metro, avrai bisogno di pezzi. È facile... Ma dove hai visto piastrelle del genere? Molto probabilmente la tessera sarà cm per cm e poi verrai torturato “contando con il dito”. Allora devi moltiplicare. Quindi, da un lato del fondo della piscina metteremo le piastrelle (pezzi) e dall'altro anche le piastrelle. Moltiplica per e ottieni le tessere ().

Hai notato che per determinare l'area del fondo della piscina abbiamo moltiplicato lo stesso numero per se stesso? Cosa significa? Dato che stiamo moltiplicando lo stesso numero, possiamo usare la tecnica dell’“elevamento a potenza”. (Naturalmente, quando hai solo due numeri, devi comunque moltiplicarli o elevarli a potenza. Ma se ne hai molti, elevarli a potenza è molto più semplice e ci sono anche meno errori nei calcoli Per l'Esame di Stato Unificato questo è molto importante).
Quindi, trenta alla seconda potenza sarà (). Oppure possiamo dire che lo saranno trenta quadrati. In altre parole, la seconda potenza di un numero può sempre essere rappresentata come un quadrato. E viceversa, se vedi un quadrato, è SEMPRE la seconda potenza di qualche numero. Un quadrato è l'immagine della seconda potenza di un numero.

Esempio di vita reale n. 2

Ecco un compito per te: conta quante caselle ci sono sulla scacchiera usando la casella del numero... Da un lato delle celle e anche dall'altro. Per calcolare il loro numero, devi moltiplicare otto per otto oppure... se noti che una scacchiera è un quadrato con un lato, allora puoi elevare otto. Otterrai delle cellule. () COSÌ?

Esempio di vita reale n. 3

Ora il cubo o la terza potenza di un numero. La stessa piscina. Ma ora devi scoprire quanta acqua dovrà essere versata in questa piscina. Devi calcolare il volume. (I volumi e i liquidi, tra l'altro, si misurano in metri cubi. Inaspettato, vero?) Disegna una piscina: il fondo è largo un metro e profondo un metro, e prova a contare quanti cubi misurano un metro per metro adattarsi alla tua piscina.

Basta puntare il dito e contare! Uno, due, tre, quattro...ventidue, ventitré...Quanti ne hai ottenuti? Non perso? È difficile contare con il dito? Affinché! Prendiamo un esempio dai matematici. Sono pigri, quindi hanno notato che per calcolare il volume della piscina, è necessario moltiplicarne la lunghezza, la larghezza e l'altezza. Nel nostro caso il volume della piscina sarà pari a cubi... Più facile no?

Ora immagina quanto sarebbero pigri e astuti i matematici se semplificassero anche questo. Abbiamo ridotto tutto ad un'unica azione. Hanno notato che la lunghezza, la larghezza e l'altezza sono uguali e che lo stesso numero si moltiplica per se stesso... Cosa significa? Ciò significa che puoi usufruire della laurea. Quindi, quello che una volta contavi con il dito, lo fanno in un'unica azione: tre cubetti sono uguali. È scritto così: .

Tutto ciò che resta è ricorda la tabella dei gradi. A meno che, ovviamente, tu non sia pigro e astuto come i matematici. Se ti piace lavorare duro e commettere errori, puoi continuare a contare con il dito.

Bene, per convincerti finalmente che i diplomi sono stati inventati da persone astute e arretrate per risolvere i loro problemi di vita e non per crearti problemi, ecco un altro paio di esempi tratti dalla vita.

Esempio di vita reale n. 4

Hai un milione di rubli. All'inizio di ogni anno, per ogni milione che guadagni, ne guadagni un altro milione. Cioè, ogni tuo milione raddoppia all'inizio di ogni anno. Quanti soldi avrai tra anni? Se adesso sei seduto e “conta con il dito”, allora sei una persona molto laboriosa e... stupida. Ma molto probabilmente darai una risposta in un paio di secondi, perché sei intelligente! Quindi, nel primo anno - due moltiplicati per due... nel secondo anno - quello che è successo, per altri due, nel terzo anno... Stop! Hai notato che il numero viene moltiplicato per se stesso volte. Quindi due alla quinta potenza fanno un milione! Ora immagina di avere una competizione e chi riesce a contare più velocemente vincerà questi milioni... Vale la pena ricordare il potere dei numeri, non credi?

Esempio di vita reale n. 5

Ne hai un milione. All'inizio di ogni anno, per ogni milione guadagnato, ne guadagni altri due. Fantastico, vero? Ogni milione viene triplicato. Quanti soldi avrai tra un anno? Contiamo. Il primo anno: moltiplica per, poi il risultato per un altro... È già noioso, perché hai già capito tutto: tre si moltiplica per se stesso volte. Quindi alla quarta potenza è pari a un milione. Devi solo ricordare che tre alla quarta potenza è o.

Ora sai che elevando un numero a potenza ti renderai la vita molto più semplice. Diamo un'ulteriore occhiata a cosa puoi fare con i titoli di studio e cosa devi sapere al riguardo.

Termini e concetti... per non confondersi

Quindi, per prima cosa, definiamo i concetti. Cosa ne pensi, cos'è un esponente? È molto semplice: è il numero che si trova "al vertice" della potenza del numero. Non scientifico, ma chiaro e facile da ricordare...

Ebbene, allo stesso tempo, cosa tale base di laurea? Ancora più semplice: questo è il numero che si trova sotto, alla base.

Ecco un disegno per buona misura.

Beh, in termini generali, per generalizzare e ricordare meglio... Un grado con base “ ” ed esponente “ ” si legge “al grado” e si scrive così:

Potenza di un numero con esponente naturale

Probabilmente hai già indovinato: perché l'esponente è un numero naturale. Sì, ma di cosa si tratta? numero naturale? Elementare! I numeri naturali sono quei numeri che si usano per contare quando si elencano gli oggetti: uno, due, tre... Quando contiamo gli oggetti, non diciamo: “meno cinque”, “meno sei”, “meno sette”. Inoltre non diciamo: “un terzo” o “zero virgola cinque”. Questi non sono numeri naturali. Che numeri pensi che siano questi?

Numeri come “meno cinque”, “meno sei”, “meno sette” si riferiscono a numeri interi. In generale, gli interi includono tutti i numeri naturali, i numeri opposti ai numeri naturali (cioè presi con il segno meno) e i numeri. Lo zero è facile da capire: è quando non c'è nulla. Cosa significano i numeri negativi (“meno”)? Ma sono stati inventati principalmente per indicare i debiti: se hai un saldo in rubli sul tuo telefono, significa che devi rubli all'operatore.

Tutte le frazioni sono numeri razionali. Come sono nati, secondo te? Molto semplice. Diverse migliaia di anni fa, i nostri antenati scoprirono che non disponevano di numeri naturali per misurare la lunghezza, il peso, l’area, ecc. E hanno inventato numeri razionali...Interessante, vero?

Esistono anche numeri irrazionali. Quali sono questi numeri? In breve, è una frazione decimale infinita. Ad esempio, se dividi la circonferenza di un cerchio per il suo diametro, otterrai un numero irrazionale.

Riepilogo:

Definiamo il concetto di grado il cui esponente è un numero naturale (cioè intero e positivo).

1. Qualsiasi numero elevato alla prima potenza è uguale a se stesso:
2. Quadrare un numero significa moltiplicarlo per se stesso:
3. Cubare un numero significa moltiplicarlo per se stesso tre volte:

Definizione. Elevare un numero a una potenza naturale significa moltiplicare il numero per se stesso volte:
.

Proprietà dei gradi

Da dove provengono queste proprietà? Te lo mostrerò adesso.

Vediamo: di cosa si tratta E ?

A priori:

Quanti moltiplicatori ci sono in totale?

È molto semplice: abbiamo aggiunto i moltiplicatori ai fattori e il risultato sono i moltiplicatori.

Ma per definizione, questa è una potenza di un numero con un esponente, cioè: , che è ciò che doveva essere dimostrato.

Esempio: Semplifica l'espressione.

Soluzione:

Esempio: Semplifica l'espressione.

Soluzione:È importante notare che nella nostra regola Necessariamente devono essere gli stessi motivi!
Quindi uniamo le potenze con la base, ma rimane un fattore a parte:

solo per il prodotto delle potenze!

In nessun caso puoi scriverlo.

2. questo è tutto l'esima potenza di un numero

Come per la proprietà precedente, passiamo alla definizione di grado:

Si scopre che l'espressione viene moltiplicata per se stessa volte, cioè, secondo la definizione, questa è l'esima potenza del numero:

In sostanza, questo può essere chiamato “togliere l’indicatore tra parentesi”. Ma non puoi mai farlo in totale:

Ricordiamo le formule di moltiplicazione abbreviate: quante volte avremmo voluto scrivere?

Ma questo non è vero, dopo tutto.

Potenza con base negativa

Finora abbiamo discusso solo di quale dovrebbe essere l'esponente.

Ma quale dovrebbe essere la base?

Nei poteri di indicatore naturale la base potrebbe essere qualsiasi numero. In effetti, possiamo moltiplicare qualsiasi numero tra loro, siano essi positivi, negativi o pari.

Pensiamo a quali segni ("" o "") avranno potenze di numeri positivi e negativi?

Ad esempio, il numero è positivo o negativo? UN? ? Con il primo tutto è chiaro: non importa quanti numeri positivi moltiplichiamo tra loro, il risultato sarà positivo.

Ma quelli negativi sono un po’ più interessanti. Ricordiamo la semplice regola della prima media: "meno per meno dà un più". Cioè, o. Ma se moltiplichiamo per, funziona.

Determina tu stesso quale segno avranno le seguenti espressioni:

Sei riuscito?

Ecco le risposte: Nei primi quattro esempi spero che sia tutto chiaro? Guardiamo semplicemente la base e l'esponente e applichiamo la regola appropriata.

Nell'esempio 5) anche tutto non è così spaventoso come sembra: dopotutto, non importa a cosa sia uguale la base: il grado è pari, il che significa che il risultato sarà sempre positivo.

Bene, tranne quando la base è zero. La base non è uguale, vero? Ovviamente no, poiché (perché).

Esempio 6) non è più così semplice!

6 esempi per esercitarsi

Analisi della soluzione 6 esempi

Totale chiamiamo i numeri naturali, i loro opposti (cioè presi con il segno " ") e numero.

intero positivo, e non è diverso da quello naturale, quindi tutto appare esattamente come nella sezione precedente.

Ora diamo un'occhiata ai nuovi casi. Cominciamo con un indicatore pari a.

Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno:

Come sempre chiediamoci: perché è così?

Consideriamo un certo grado con una base. Prendiamo ad esempio e moltiplichiamo per:

Quindi, abbiamo moltiplicato il numero per e abbiamo ottenuto la stessa cosa: - . Per quale numero dovresti moltiplicare in modo che non cambi nulla? Esatto, avanti. Significa.

Possiamo fare lo stesso con un numero arbitrario:

Ripetiamo la regola:

Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno.

Ma ci sono eccezioni a molte regole. Ed eccolo anche lì: questo è un numero (come base).

Da un lato, deve essere uguale in qualsiasi grado: non importa quanto moltiplichi lo zero per se stesso, otterrai comunque zero, questo è chiaro. Ma d'altra parte, come ogni numero elevato a zero, deve essere uguale. Quindi quanto di questo è vero? I matematici decisero di non farsi coinvolgere e rifiutarono di elevare lo zero alla potenza zero. Cioè, ora non solo possiamo dividere per zero, ma anche elevarlo a zero.

Andiamo avanti. Oltre ai numeri naturali e ai numeri, gli interi includono anche i numeri negativi. Per capire cos'è una potenza negativa, facciamo come l'ultima volta: moltiplichiamo un numero normale per lo stesso numero che dà una potenza negativa:

Da qui è facile esprimere ciò che stai cercando:

Ora estendiamo la regola risultante in misura arbitraria:

Quindi formuliamo una regola:

Un numero con potenza negativa è il reciproco dello stesso numero con potenza positiva. Ma allo stesso tempo La base non può essere nulla:(perché non puoi dividere per).

Riassumiamo:

Compiti per una soluzione indipendente:

Bene, come al solito, esempi di soluzioni indipendenti:

Analisi dei problemi per una soluzione indipendente:

Lo so, lo so, i numeri fanno paura, ma all'Esame di Stato Unificato devi essere preparato a tutto! Risolvi questi esempi o analizza le loro soluzioni se non riesci a risolverli e imparerai ad affrontarli facilmente durante l'esame!

Continuiamo ad espandere la gamma di numeri “adatti” come esponente.

Ora consideriamo numeri razionali. Quali numeri sono detti razionali?

Risposta: tutto ciò che può essere rappresentato come una frazione, dove e sono numeri interi e.

Per capire di cosa si tratta "grado frazionario", considera la frazione:

Eleviamo a potenza entrambi i membri dell'equazione:

Ora ricordiamo la regola su "grado per grado":

Quale numero deve essere elevato a una potenza per ottenere?

Questa formulazione è la definizione della radice del esimo grado.

Te lo ricordo: la radice dell'esima potenza di un numero () è un numero che, elevato a potenza, è uguale a.

Cioè la radice della potenza è l'operazione inversa dell'elevazione a potenza: .

Si scopre che. Ovviamente questo caso particolare può essere ampliato: .

Adesso aggiungiamo il numeratore: che cos'è? La risposta è facile da ottenere utilizzando la regola potere-potenza:

Ma la base può essere un numero qualsiasi? Dopotutto, la radice non può essere estratta da tutti i numeri.

Nessuno!

Ricordiamo la regola: qualsiasi numero elevato a una potenza pari è un numero positivo. Cioè, è impossibile estrarre le radici pari dai numeri negativi!

Ciò significa che tali numeri non possono essere elevati a una potenza frazionaria con un denominatore pari, cioè l'espressione non ha senso.

E l'espressione?

Ma qui sorge un problema.

Il numero può essere rappresentato sotto forma di altre frazioni riducibili, ad esempio, o.

E si scopre che esiste, ma non esiste, ma questi sono solo due record diversi dello stesso numero.

Oppure un altro esempio: una volta e poi puoi scriverlo. Ma se scriviamo l'indicatore in modo diverso, ci troveremo di nuovo nei guai: (cioè, abbiamo ottenuto un risultato completamente diverso!).

Per evitare tali paradossi, consideriamo solo esponente di base positivo con esponente frazionario.

Quindi se:

• - numero naturale;
• - numero intero;

Esempi:

Gli esponenti razionali sono molto utili per trasformare espressioni con radici, ad esempio:

5 esempi per esercitarsi

Analisi di 5 esempi per la formazione

Bene, ora arriva la parte più difficile. Ora lo scopriremo grado con esponente irrazionale.

Tutte le regole e le proprietà dei gradi qui sono esattamente le stesse di un grado con esponente razionale, con l'eccezione

Dopotutto, per definizione, i numeri irrazionali sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione, dove e sono numeri interi (ovvero, i numeri irrazionali sono tutti numeri reali tranne quelli razionali).

Quando studiavamo le lauree con esponenti naturali, interi e razionali, ogni volta creavamo una certa “immagine”, “analogia” o descrizione in termini più familiari.

Ad esempio, un grado con esponente naturale è un numero moltiplicato per se stesso più volte;

...numero elevato alla potenza zero- questo è, per così dire, un numero moltiplicato per se stesso una volta, cioè non hanno ancora iniziato a moltiplicarlo, il che significa che il numero stesso non è ancora apparso - quindi il risultato è solo un certo "numero vuoto" , ovvero un numero;

...grado intero negativo- è come se si fosse verificato un “processo inverso”, ovvero il numero non fosse stato moltiplicato per se stesso, ma diviso.

A proposito, nella scienza viene spesso utilizzato un grado con un esponente complesso, cioè l'esponente non è nemmeno un numero reale.

Ma a scuola non pensiamo a queste difficoltà, all’istituto avrai l’opportunità di comprendere questi nuovi concetti.

DOVE SIAMO SICURI CHE ANDRAI! (se impari a risolvere questi esempi :))

Per esempio:

Decidi tu stesso:

Analisi delle soluzioni:

1. Cominciamo con la solita regola per elevare una potenza a potenza:

LIVELLO AVANZATO

Determinazione del titolo di studio

Una laurea è un'espressione della forma: , dove:

• — base di laurea;
• - esponente.

Laurea con indicatore naturale (n = 1, 2, 3,...)

Elevare un numero alla potenza naturale n significa moltiplicare il numero per se stesso volte:

Grado con esponente intero (0, ±1, ±2,...)

Se l'esponente è intero positivo numero:

Costruzione al grado zero:

L'espressione è indefinita, perché da un lato qualsiasi grado è questo e dall'altro qualsiasi numero fino al decimo grado è questo.

Se l'esponente è intero negativo numero:

(perché non puoi dividere per).

Ancora una volta sugli zeri: l'espressione non è definita nel caso. Se poi.

Esempi:

Potenza con esponente razionale

• - numero naturale;
• - numero intero;

Esempi:

Proprietà dei gradi

Per facilitare la risoluzione dei problemi, proviamo a capire: da dove provengono queste proprietà? Dimostriamoli.

Vediamo: cos'è e?

A priori:

Quindi, sul lato destro di questa espressione otteniamo il seguente prodotto:

Ma per definizione è una potenza di un numero con esponente, cioè:

Q.E.D.

Esempio : Semplifica l'espressione.

Soluzione : .

Esempio : Semplifica l'espressione.

Soluzione : È importante notare che nella nostra regola Necessariamente devono esserci gli stessi motivi. Quindi uniamo le potenze con la base, ma rimane un fattore a parte:

Un'altra nota importante: questa regola - solo per prodotto di potenze!

In nessun caso puoi scriverlo.

Come per la proprietà precedente, passiamo alla definizione di grado:

Raggruppiamo questo lavoro in questo modo:

Si scopre che l'espressione viene moltiplicata per se stessa volte, cioè, secondo la definizione, questa è l'esima potenza del numero:

In sostanza, questo può essere chiamato “togliere l’indicatore tra parentesi”. Ma non puoi mai farlo in totale: !

Ricordiamo le formule di moltiplicazione abbreviate: quante volte avremmo voluto scrivere? Ma questo non è vero, dopo tutto.

Potenza con base negativa.

Finora abbiamo solo discusso di come dovrebbe essere indice gradi. Ma quale dovrebbe essere la base? Nei poteri di naturale indicatore la base potrebbe essere qualsiasi numero .

In effetti, possiamo moltiplicare qualsiasi numero tra loro, siano essi positivi, negativi o pari. Pensiamo a quali segni ("" o "") avranno potenze di numeri positivi e negativi?

Ad esempio, il numero è positivo o negativo? UN? ?

Con il primo tutto è chiaro: non importa quanti numeri positivi moltiplichiamo tra loro, il risultato sarà positivo.

Ma quelli negativi sono un po’ più interessanti. Ricordiamo la semplice regola della prima media: "meno per meno dà un più". Cioè, o. Ma se moltiplichiamo per (), otteniamo - .

E così all'infinito: ad ogni moltiplicazione successiva il segno cambierà. Si possono formulare le seguenti semplici regole:

1. Anche grado, - numero positivo.
2. Numero negativo elevato a strano grado, - numero negativo.
3. Un numero positivo in qualsiasi grado è un numero positivo.
4. Zero a qualsiasi potenza è uguale a zero.

Determina tu stesso quale segno avranno le seguenti espressioni:

Sei riuscito? Ecco le risposte:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nei primi quattro esempi, spero che sia tutto chiaro? Guardiamo semplicemente la base e l'esponente e applichiamo la regola appropriata.

Nell'esempio 5) anche tutto non è così spaventoso come sembra: dopotutto, non importa a cosa sia uguale la base: il grado è pari, il che significa che il risultato sarà sempre positivo. Bene, tranne quando la base è zero. La base non è uguale, vero? Ovviamente no, poiché (perché).

Esempio 6) non è più così semplice. Qui devi scoprire quale è meno: o? Se lo ricordiamo, diventa chiaro che ciò significa che la base è inferiore a zero. Applichiamo cioè la regola 2: il risultato sarà negativo.

E ancora usiamo la definizione di grado:

Tutto è come al solito: scriviamo la definizione dei gradi e li dividiamo l'uno per l'altro, li dividiamo in coppie e otteniamo:

Prima di esaminare l'ultima regola, risolviamo alcuni esempi.

Calcola le espressioni:

Soluzioni :

Torniamo all'esempio:

E ancora la formula:

Quindi ora l'ultima regola:

Come lo dimostreremo? Naturalmente, come al solito: espandiamo il concetto di laurea e semplifichiamolo:

Bene, ora apriamo le parentesi. Quante lettere ci sono in totale? volte per moltiplicatori: cosa ti ricorda questo? Questa non è altro che la definizione di un'operazione moltiplicazione: Lì c'erano solo moltiplicatori. Cioè, questa, per definizione, è una potenza di un numero con un esponente:

Esempio:

Laurea con esponente irrazionale

Oltre alle informazioni sui gradi per il livello medio, analizzeremo il grado con un esponente irrazionale. Tutte le regole e le proprietà dei gradi qui sono esattamente le stesse di un grado con esponente razionale, con l'eccezione che, dopo tutto, per definizione, i numeri irrazionali sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione, dove e sono numeri interi (cioè , i numeri irrazionali sono tutti numeri reali tranne i numeri razionali).

Quando studiavamo le lauree con esponenti naturali, interi e razionali, ogni volta creavamo una certa “immagine”, “analogia” o descrizione in termini più familiari. Ad esempio, un grado con esponente naturale è un numero moltiplicato per se stesso più volte; un numero elevato a zero è, per così dire, un numero moltiplicato per se stesso una volta, cioè non hanno ancora cominciato a moltiplicarlo, il che significa che il numero stesso non è ancora apparso - quindi il risultato è solo un certo numero “numero vuoto”, ovvero un numero; un grado con un esponente intero negativo: è come se si fosse verificato un "processo inverso", cioè il numero non è stato moltiplicato per se stesso, ma diviso.

È estremamente difficile immaginare un grado con un esponente irrazionale (così come è difficile immaginare uno spazio quadridimensionale). Si tratta piuttosto di un oggetto puramente matematico che i matematici hanno creato per estendere il concetto di grado all'intero spazio dei numeri.

A proposito, nella scienza viene spesso utilizzato un grado con un esponente complesso, cioè l'esponente non è nemmeno un numero reale. Ma a scuola non pensiamo a queste difficoltà, all’istituto avrai l’opportunità di comprendere questi nuovi concetti.

Allora cosa facciamo se vediamo un esponente irrazionale? Stiamo facendo del nostro meglio per sbarazzarcene! :)

Per esempio:

Decidi tu stesso:

Risposte:

RIASSUNTO DELLA SEZIONE E FORMULE BASE

Grado chiamata espressione nella forma: , dove:

Grado con esponente intero

un grado il cui esponente è un numero naturale (cioè intero e positivo).

Potenza con esponente razionale

grado, il cui esponente è un numero negativo e frazionario.

Laurea con esponente irrazionale

un grado il cui esponente è una frazione decimale o radice infinita.

Proprietà dei gradi

Caratteristiche dei gradi.

• Numero negativo elevato a Anche grado, - numero positivo.
• Numero negativo elevato a strano grado, - numero negativo.
• Un numero positivo in qualsiasi grado è un numero positivo.
• Zero è uguale a qualsiasi potenza.
• Qualsiasi numero elevato a zero è uguale.

ORA HAI LA PAROLA...

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E buona fortuna per i tuoi esami!

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Il problema è che questo potrebbe non bastare...

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Le persone che hanno ricevuto una buona istruzione guadagnano molto di più di quelle che non l’hanno ricevuta. Questa è statistica.

Ma questa non è la cosa principale.

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La tabella delle potenze contiene i valori dei numeri naturali positivi da 1 a 10.

La voce 3 5 recita “tre alla quinta potenza”. In questa notazione, il numero 3 è chiamato base della potenza, il numero 5 è l'esponente e l'espressione 3 5 è chiamata potenza.

Per scaricare la tabella dei gradi cliccare sull'immagine in miniatura.

Calcolatore di laurea

Ti invitiamo a provare il nostro calcolatore di poteri, che ti aiuterà ad elevare qualsiasi numero a potenza online.

Usare la calcolatrice è molto semplice: inserisci il numero che vuoi elevare a potenza, poi il numero - la potenza e clicca sul pulsante "Calcola".

È interessante notare che il nostro calcolatore di laurea online può aumentare sia i poteri positivi che quelli negativi. E per estrarre le radici c'è un altro calcolatore sul sito.

Come elevare un numero a potenza.

Diamo un'occhiata al processo di esponenziazione con un esempio. Supponiamo di dover elevare il numero 5 alla terza potenza. Nel linguaggio della matematica, 5 è la base e 3 è l'esponente (o semplicemente la potenza). E questo può essere scritto brevemente come segue:

Esponenziazione

E per trovare il valore, dovremo moltiplicare il numero 5 per se stesso 3 volte, cioè

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

Di conseguenza, se vogliamo trovare il valore del numero 7 alla 5a potenza, dobbiamo moltiplicare il numero 7 per se stesso 5 volte, cioè 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Un'altra cosa è quando devi aumentare il numero ad una potenza negativa.

Come elevare a potenza negativa.

Quando si eleva a una potenza negativa, è necessario utilizzare una semplice regola:

come elevare a potenza negativa

Tutto è molto semplice: quando vengono elevati a una potenza negativa, dobbiamo dividere uno per la base fino alla potenza senza segno meno, cioè alla potenza positiva. Quindi, per trovare il valore

Tabella delle potenze dei numeri naturali da 1 a 25 in algebra

Quando risolvi vari esercizi matematici, spesso devi elevare un numero a una potenza, principalmente da 1 a 10. E per trovare velocemente questi valori, abbiamo creato una tabella delle potenze in algebra, che pubblicherò in questa pagina.

Per prima cosa, diamo un'occhiata ai numeri da 1 a 6. I risultati qui non sono molto grandi; puoi controllarli tutti con una normale calcolatrice.

• 1 e 2 elevati a 1 su 10

Tabella dei gradi

La tabella dei poteri è uno strumento indispensabile quando è necessario elevare un numero naturale entro il 10 a una potenza maggiore di due. Basta aprire la tabella e trovare il numero di fronte alla base della laurea desiderata e nella colonna con la laurea richiesta: questa sarà la risposta all'esempio. Oltre alla comoda tabella, a fondo pagina ci sono esempi di elevazione dei numeri naturali a potenze fino a 10. Selezionando la colonna richiesta con le potenze del numero desiderato, puoi trovare facilmente e semplicemente la soluzione, poiché tutte le potenze sono disposte in ordine crescente.

Sfumatura importante! Nelle tabelle non è riportato l'elevamento a potenza zero, poiché qualsiasi numero elevato a potenza zero è uguale a uno: a 0 =1

Tabelline, quadrati e potenze

È ora di fare un po' di conti. Ricordi ancora quanto vale se si moltiplicano due per due?

Se qualcuno se ne è dimenticato, saranno quattro. Sembra che tutti ricordino e conoscano la tabella di moltiplicazione, tuttavia, ho scoperto un numero enorme di richieste a Yandex come "tabella di moltiplicazione" o anche "scarica tabella di moltiplicazione"(!). È per questa categoria di utenti, così come per quelli più avanzati che sono già interessati ai quadrati e alle potenze, che pubblico tutte queste tabelle. Puoi anche scaricarlo per la tua salute! COSÌ:

10 al 2° grado + 11 al 2° grado + 12 al 2° grado + 13 al 2° grado + 14 al 2° grado/365

Altre domande dalla categoria

Aiutami a decidere, per favore)

Leggi anche

soluzioni: 3x(alla 2a potenza)-48= 3(X alla 2a potenza)(x alla 2a potenza)-16)=(X-4)(X+4)

5) tre virgola cinque. 6) nove virgola duecentosette millesimi. 2) scrivere il numero sotto forma di frazione ordinaria: 1)0.3. 2)0,516. 3)0,88. 4)0,01. 5)0,402. 5)0,038. 6)0,609. 7)0.91.8)0.5.9)0.171.10)0.815.11)0.27.12)0.081.13)0.803

Quanto fa 2 alla meno 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 potenze?

Quanto fa 2 alla meno 1 potenza?

Quanto fa 2 alla meno 2 potenza?

Quanto fa 2 alla meno 3 potenza?

Quanto fa 2 alla meno 4a potenza?

Quanto fa 2 elevato a meno 5?

Quanto fa 2 alla meno 6a potenza?

Quanto fa 2 alla meno 7a potenza?

Quanto fa 2 elevato a meno 8?

Quanto fa 2 alla meno 9a potenza?

Quanto fa 2 elevato a meno 10?

La potenza negativa di n ^(-a) può essere espressa nella seguente forma 1/n^a.

2 elevato alla potenza -1 = 1/2, se rappresentato come frazione decimale, allora 0,5.

2 elevato alla potenza - 2 = 1/4 o 0,25.

2 elevato alla potenza -3= 1/8 o 0,125.

2 elevato alla potenza -4 = 1/16 o 0,0625.

2 elevato a -5 = 1/32 o 0,03125.

2 elevato alla potenza - 6 = 1/64 o 0,015625.

2 elevato alla potenza - 7 = 1/128 o 0.

2 elevato a -8 = 1/256 o 0.

2 elevato a -9 = 1/512 o 0.

2 elevato alla potenza - 10 = 1/1024 o 0.

Calcoli simili per altri numeri possono essere trovati qui: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

La potenza negativa di un numero è, a prima vista, un argomento difficile in algebra.

In effetti, tutto è molto semplice: eseguiamo calcoli matematici con il numero “2” utilizzando una formula algebrica (vedi sopra), dove invece di “a” sostituiamo il numero “2”, e invece di “n” sostituiamo la potenza del numero. La calcolatrice aiuterà a ridurre significativamente il tempo necessario per i calcoli.

Sfortunatamente, l'editor di testo del sito non consente l'uso di simboli matematici per frazioni e potenze negative. Limitiamoci alle informazioni alfanumeriche maiuscole.

Questi sono i semplici passaggi numerici con cui abbiamo ottenuto.

Una potenza negativa di un numero significa che questo numero viene moltiplicato per se stesso tante volte quanto è scritto nella potenza e quindi viene diviso uno per il numero risultante. Per due:

• (-1) il grado è 1/2=0,5;
• (-2) grado è 1/(2 2)=0,25;
• (-3) grado è 1/(2 2 2)=0,125;
• (-4) grado è 1/(2 2 2 2)=0,0625;
• (-5) grado è 1/(2 2 2 2 2)=0,03125;
• (-6) grado è 1/(2 2 2 2 2 2)=0,015625;
• (-7) grado è 1/(2 2 2 2 2 2 2)=0,078125;
• (-8) grado è 1/(2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-9) grado è 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-10) la potenza è 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,.

In sostanza, dividiamo semplicemente ciascun valore precedente per 2.

shkolnyie-zadachi.pp.ua

1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99

2) 99²: 81=(9*11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121

Il secondo grado significa che la cifra ottenuta durante i calcoli viene moltiplicata per se stessa.

lingua russa: 15 frasi sul tema della primavera

Inizio primavera, tarda primavera, fogliame primaverile, sole primaverile, giorno primaverile, primavera è arrivata, uccelli primaverili, primavera fredda, erba primaverile, brezza primaverile, pioggia primaverile, vestiti primaverili, stivali primaverili, la primavera è rossa, viaggio primaverile.

Domanda: 5*4 alla seconda potenza -(33 alla seconda potenza: 11) alla 2a potenza: 81 DARE LA RISPOSTA CON L'AZIONE

5*4 alla seconda potenza -(33 alla seconda potenza: 11) alla 2a potenza: 81 DIRE LA RISPOSTA PER AZIONE

Risposte:

5*4²-(33²: 11)²: 81= -41 1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99 2) 99²: 81=(9* 11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121 3) 5*4²=5*16=80 4)= -41

5*4 (2) = 400 1) 5*4= 20 2) 20*20=:11(2)= 9 1) 33:11= 3 2) 3*3= 9 La seconda potenza significa che il numero che si è rivelato moltiplicato per se stesso durante i calcoli.

10 alla potenza -2 è quanto.

1. 10 alla potenza -2 è uguale a 1/10 alla potenza 2, fai 10 al quadrato e ottieni 1/100, che è uguale a 0,01.

10^-2 = 1/10 * 1/10 = 1/(10*10) = 1/100 = 0.01

=) Buio dici? ..eh (da “Il bianco sole del deserto”)