Teorema sulle radici razionali di un polinomio. Numeri razionali, definizione, esempi

Eccetera. ha carattere didattico generale ed è di grande importanza per lo studio dell'INTERO corso di matematica superiore. Oggi ripeteremo le equazioni “scolastiche”, ma non solo quelle “scolastiche”, ma quelle che si trovano ovunque in vari problemi di vyshmat. Come al solito, la storia sarà raccontata in modo applicato, cioè. Non mi concentrerò su definizioni e classificazioni, ma condividerò con voi la mia esperienza personale nel risolverlo. Le informazioni sono destinate principalmente ai principianti, ma anche i lettori più esperti troveranno molti spunti interessanti. E, naturalmente, ci sarà nuovo materiale che va oltre il liceo.

Quindi l'equazione…. Molti ricordano questa parola con un brivido. A cosa valgono le “sofisticate” equazioni con radici... ...lasciamo perdere! Perché allora incontrerai i “rappresentanti” più innocui di questa specie. Oppure noiose equazioni trigonometriche con decine di metodi risolutivi. Ad essere onesti, anche a me non piacevano molto... Niente panico! – allora ti aspettano soprattutto “denti di leone” con una soluzione ovvia in 1-2 passaggi. Sebbene la "bardana" si aggrappi sicuramente, qui devi essere obiettivo.

Stranamente, nella matematica superiore è molto più comune avere a che fare con equazioni molto primitive come lineare equazioni

Cosa significa risolvere questa equazione? Ciò significa trovare TALE valore di “x” (radice) che lo trasformi in una vera uguaglianza. Gettiamo il “tre” a destra con cambio di segno:

e rilascia i "due" sul lato destro (o, la stessa cosa: moltiplicare entrambi i lati per) :

Per verificare, sostituiamo il trofeo vinto nell'equazione originale:

Si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che il valore trovato è effettivamente la radice di questa equazione. O, come si suol dire, soddisfa questa equazione.

Tieni presente che la radice può essere scritta anche come frazione decimale:
E cerca di non attenersi a questo cattivo stile! Ho ripetuto il motivo più di una volta, in particolare alla primissima lezione algebra superiore.

A proposito, l’equazione può anche essere risolta “in arabo”:

E la cosa più interessante è che questa registrazione è completamente legale! Ma se non sei un insegnante, allora è meglio non farlo, perché qui l'originalità è punibile =)

E ora un po' di più

metodo di soluzione grafica

L'equazione ha la forma e la sua radice è Coordinata "X". punti di intersezione grafico della funzione lineare con il grafico di una funzione lineare (asse x):

Sembrerebbe che l'esempio sia così elementare che non ci sia altro da analizzare qui, ma da esso si può “spremere” un'altra sfumatura inaspettata: presentiamo la stessa equazione nella forma e costruiamo i grafici delle funzioni:

In cui, per favore non confondere i due concetti: un'equazione è un'equazione, e funzione– questa è una funzione! Funzioni solo aiuto trovare le radici dell'equazione. Di cui possono essercene due, tre, quattro o anche infiniti. L'esempio più vicino in questo senso è il noto equazione quadrata, l'algoritmo di soluzione per il quale ha ricevuto un paragrafo separato formule scolastiche “calde”.. E questa non è una coincidenza! Se riesci a risolvere un'equazione quadratica e saperlo teorema di Pitagora, quindi, si potrebbe dire, “metà della matematica superiore è già nelle tue tasche” =) Esagerato, certo, ma non così lontano dalla verità!

Pertanto, non siamo pigri e risolviamo alcune equazioni quadratiche utilizzando algoritmo standard:

, il che significa che l'equazione ha due diversi valido radice:

È facile verificare che entrambi i valori trovati soddisfano effettivamente questa equazione:

Cosa fare se improvvisamente dimentichi l'algoritmo risolutivo e non hai mezzi/aiuti a portata di mano? Questa situazione può verificarsi, ad esempio, durante una prova o un esame. Usiamo il metodo grafico! E ci sono due modi: puoi costruire punto per punto parabola , scoprendo così dove interseca l'asse (se attraversa affatto). Ma è meglio fare qualcosa di più astuto: immaginare l'equazione nella forma, disegnare grafici di funzioni più semplici - e Coordinate "X". i loro punti di intersezione sono ben visibili!


Se risulta che la retta tocca la parabola, allora l'equazione ha due radici (multiple) corrispondenti. Se risulta che la retta non interseca la parabola, allora non esistono radici vere e proprie.

Per fare questo, ovviamente, devi essere in grado di costruire grafici di funzioni elementari, ma d'altra parte, anche uno scolaro può acquisire queste abilità.

E ancora: un'equazione è un'equazione e le funzioni sono funzioni che ha solo aiutato risolvi l'equazione!

E qui, tra l'altro, sarebbe opportuno ricordare ancora una cosa: se tutti i coefficienti di un'equazione vengono moltiplicati per un numero diverso da zero, le sue radici non cambieranno.

Quindi, ad esempio, l'equazione ha le stesse radici. Come semplice “prova”, toglierò la costante tra parentesi:
e lo rimuoverò senza dolore (Dividerò entrambe le parti per “meno due”):

MA! Se consideriamo la funzione, qui non possiamo sbarazzarci della costante! È consentito solo togliere il moltiplicatore tra parentesi: .

Molte persone sottovalutano il metodo della soluzione grafica, considerandolo qualcosa di “poco dignitoso”, e alcuni addirittura dimenticano completamente questa possibilità. E questo è fondamentalmente sbagliato, poiché tracciare grafici a volte salva semplicemente la situazione!

Altro esempio: supponiamo di non ricordare le radici della più semplice equazione trigonometrica: . La formula generale è nei libri di testo scolastici, in tutti i libri di consultazione sulla matematica elementare, ma non sono a tua disposizione. Tuttavia, risolvere l’equazione è fondamentale (ovvero “due”). C'è un'uscita! – costruire grafici di funzioni:


dopodiché annotiamo con calma le coordinate “X” dei loro punti di intersezione:

Esistono infinite radici e in algebra è accettata la loro notazione condensata:
, Dove ( – insieme di numeri interi) .

E, senza “andare via”, qualche parola sul metodo grafico per risolvere le disuguaglianze con una variabile. Il principio è lo stesso. Quindi, ad esempio, la soluzione alla disuguaglianza è qualsiasi “x”, perché La sinusoide giace quasi completamente sotto la retta. La soluzione alla disuguaglianza è l'insieme degli intervalli in cui i pezzi della sinusoide giacciono strettamente al di sopra della retta (asse x):

o, in breve:

Ma ecco le numerose soluzioni alla disuguaglianza: vuoto, poiché nessun punto della sinusoide giace al di sopra della retta.

C'è qualcosa che non capisci? Studia urgentemente le lezioni su imposta E grafici di funzioni!

Riscaldiamoci:

Esercizio 1

Risolvi graficamente le seguenti equazioni trigonometriche:

Risposte alla fine della lezione

Come puoi vedere, per studiare le scienze esatte non è affatto necessario stipare formule e libri di consultazione! Inoltre, questo è un approccio fondamentalmente errato.

Come ti ho già rassicurato all'inizio della lezione, le equazioni trigonometriche complesse in un corso standard di matematica superiore devono essere risolte molto raramente. Tutta la complessità, di regola, termina con equazioni come , la cui soluzione sono due gruppi di radici originati dalle equazioni più semplici e . Non preoccuparti troppo di risolvere quest'ultimo: cerca in un libro o trovalo su Internet =)

Il metodo di soluzione grafica può essere d'aiuto anche nei casi meno banali. Consideriamo, ad esempio, la seguente equazione “disordinata”:

Le prospettive per la sua soluzione sembrano... non assomigliano affatto a niente, ma devi solo immaginare l'equazione nella forma, costruire grafici di funzioni e tutto si rivelerà incredibilmente semplice. C'è un disegno nel mezzo dell'articolo su funzioni infinitesimali (si aprirà nella scheda successiva).

Usando lo stesso metodo grafico, puoi scoprire che l'equazione ha già due radici, e una di queste è uguale a zero, e l'altra, apparentemente, irrazionale e appartiene al segmento . Questa radice può essere calcolata approssimativamente, ad esempio, metodo della tangente. A proposito, in alcuni problemi capita che non sia necessario trovare le radici, ma scoprirle esistono affatto?. E anche qui un disegno può aiutare: se i grafici non si intersecano, non ci sono radici.

Radici razionali di polinomi a coefficienti interi.
Schema Horner

E ora ti invito a rivolgere lo sguardo al Medioevo e a sentire l'atmosfera unica dell'algebra classica. Per una migliore comprensione del materiale, ti consiglio di leggerne almeno un po' numeri complessi.

Sono i migliori. Polinomi.

L'oggetto del nostro interesse saranno i polinomi più comuni della forma con Totale coefficienti Viene chiamato un numero naturale grado del polinomio, numero – coefficiente di massimo grado (o solo il coefficiente più alto), e il coefficiente è membro gratuito.

Indicherò brevemente questo polinomio con .

Radici di un polinomio chiamare le radici dell'equazione

Adoro la logica ferrea =)

Per esempi, vai all'inizio dell'articolo:

Non ci sono problemi con la ricerca delle radici dei polinomi di 1° e 2° grado, ma man mano che si aumenta questo compito diventa sempre più difficile. Anche se d'altra parte tutto è più interessante! Ed è proprio a questo che sarà dedicata la seconda parte della lezione.

Innanzitutto, letteralmente metà dello schermo della teoria:

1) Secondo il corollario teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio di grado ha esattamente complesso radici. Alcune radici (o anche tutte) potrebbero essere particolarmente valido. Inoltre, tra le radici reali possono esserci radici identiche (multiple). (minimo due, massimo pezzi).

Se un numero complesso è la radice di un polinomio, allora coniugare il suo numero è necessariamente anche la radice di questo polinomio (le radici complesse coniugate hanno la forma ).

L'esempio più semplice è un'equazione quadratica, incontrata per la prima volta in 8 (Piace) lezione e che abbiamo finalmente "finito" nell'argomento numeri complessi. Lascia che te lo ricordi: un'equazione quadratica ha due diverse radici reali, o radici multiple, o radici complesse coniugate.

2) Da Il teorema di Bezout ne consegue che se un numero è la radice di un'equazione, allora il polinomio corrispondente può essere fatto in fattori:
, dove è un polinomio di grado .

E ancora, il nostro vecchio esempio: poiché è la radice dell'equazione, allora . Dopodiché non è difficile ottenere la famosa espansione “scuola”.

Il corollario del teorema di Bezout ha un grande valore pratico: se conosciamo la radice di un'equazione di 3° grado, allora possiamo rappresentarla nella forma e dall'equazione quadratica è facile scoprire le radici rimanenti. Se conosciamo la radice di un'equazione di 4° grado, allora è possibile espandere il membro sinistro in un prodotto, ecc.

E qui ci sono due domande:

Domanda uno. Come trovare proprio questa radice? Innanzitutto definiamo la sua natura: in molti problemi di matematica superiore è necessario trovarlo razionale, in particolare Totale radici dei polinomi, e a questo proposito ci interesseranno soprattutto.... ...sono così buoni, così soffici, che vorresti proprio trovarli! =)

La prima cosa che mi viene in mente è il metodo di selezione. Consideriamo, ad esempio, l'equazione . Il problema qui è nel termine libero - se fosse uguale a zero, allora andrebbe tutto bene - togliamo la "x" tra parentesi e le radici stesse "cadono" in superficie:

Ma il nostro termine libero è uguale a “tre”, e quindi iniziamo a sostituire nell’equazione vari numeri che pretendono di essere “radice”. Innanzitutto si suggerisce la sostituzione di singoli valori. Sostituiamo:

Ricevuto errato uguaglianza, quindi, l’unità “non si adattava”. Bene, ok, sostituiamo:

Ricevuto VERO uguaglianza! Cioè, il valore è la radice di questa equazione.

Per trovare le radici di un polinomio di 3° grado esiste un metodo analitico (le cosiddette formule di Cardano), ma ora siamo interessati a un compito leggermente diverso.

Poiché - è la radice del nostro polinomio, il polinomio può essere rappresentato nella forma e risulta Seconda domanda: come trovare un “fratello minore”?

Le più semplici considerazioni algebriche suggeriscono che per fare ciò dobbiamo dividere per . Come dividere un polinomio per un polinomio? Lo stesso metodo scolastico che divide i numeri ordinari: “colonna”! Ho discusso questo metodo in dettaglio nei primi esempi della lezione. Limiti complessi, e ora esamineremo un altro metodo, che si chiama Schema Horner.

Per prima cosa scriviamo il polinomio “più alto”. con tutti , compresi i coefficienti zero:
, dopodiché inseriamo questi coefficienti (rigorosamente in ordine) nella riga superiore della tabella:

Scriviamo la radice a sinistra:

Faccio subito una prenotazione sul fatto che lo schema di Horner funziona anche se il numero "rosso". Nonè la radice del polinomio. Tuttavia, non affrettiamo le cose.

Rimuoviamo il coefficiente principale dall'alto:

Il processo di riempimento delle celle inferiori ricorda in qualche modo il ricamo, dove “meno uno” è una sorta di “ago” che permea le fasi successive. Moltiplichiamo il numero “riportato” per (–1) e aggiungiamo il numero dalla cella superiore al prodotto:

Moltiplichiamo il valore trovato per l'“ago rosso” e aggiungiamo il seguente coefficiente dell'equazione al prodotto:

E infine, il valore risultante viene nuovamente “elaborato” con l’“ago” e il coefficiente superiore:

Lo zero nell'ultima cella ci dice in che è diviso il polinomio senza traccia (come dovrebbe essere), mentre i coefficienti di dilatazione vengono “tolti” direttamente dalla riga inferiore della tabella:

Quindi siamo passati dall'equazione a un'equazione equivalente e tutto è chiaro con le due radici rimanenti (in questo caso otteniamo radici complesse coniugate).

L'equazione, tra l'altro, può essere risolta anche graficamente: grafico "fulmine" e vedi che il grafico incrocia l'asse x () al punto . Oppure lo stesso trucco "astuto": riscriviamo l'equazione nella forma , disegniamo grafici elementari e rileviamo la coordinata "X" del loro punto di intersezione.

A proposito, il grafico di qualsiasi funzione-polinomio di 3o grado interseca l'asse almeno una volta, il che significa che l'equazione corrispondente ha almeno uno valido radice. Questo fatto è vero per qualsiasi funzione polinomiale di grado dispari.

E qui vorrei anche soffermarmi punto importante che riguarda la terminologia: polinomio E funzione polinomiale – non è la stessa cosa! Ma in pratica si parla spesso, ad esempio, del “grafico di un polinomio”, che, ovviamente, è negligenza.

Ma torniamo allo schema di Horner. Come ho detto di recente, questo schema funziona per altri numeri, ma se il numero Nonè la radice dell'equazione, nella nostra formula appare un'addizione (resto) diversa da zero:

"Eseguiamo" il valore "non riuscito" secondo lo schema di Horner. In questo caso, è conveniente utilizzare la stessa tabella: scrivere un nuovo "ago" a sinistra, spostare il coefficiente iniziale dall'alto (freccia verde sinistra), e partiamo:

Per verificare, apriamo le parentesi e presentiamo termini simili:
, OK.

È facile vedere che il resto (“sei”) è esattamente il valore del polinomio in . E infatti - com'è:
, e ancora più bello, come questo:

Dai calcoli sopra riportati è facile comprendere che lo schema di Horner consente non solo di fattorizzare il polinomio, ma anche di effettuare una selezione “civilizzata” della radice. Ti suggerisco di consolidare tu stesso l'algoritmo di calcolo con un piccolo compito:

Compito 2

Utilizzando lo schema di Horner, trova la radice intera dell'equazione e fattorizza il polinomio corrispondente

In altre parole, qui è necessario controllare in sequenza i numeri 1, –1, 2, –2, ... – finché nell'ultima colonna non viene “disegnato” il resto zero. Ciò significherà che “l’ago” di questa linea è la radice del polinomio

È conveniente disporre i calcoli in un'unica tabella. Soluzione dettagliata e risposta alla fine della lezione.

Il metodo di selezione delle radici è valido per casi relativamente semplici, ma se i coefficienti e/o il grado del polinomio sono grandi, il processo potrebbe richiedere molto tempo. O forse ci sono alcuni valori della stessa lista 1, –1, 2, –2 e non ha senso considerarli? E, inoltre, le radici potrebbero rivelarsi frazionarie, il che porterà a una battuta del tutto antiscientifica.

Fortunatamente, ci sono due potenti teoremi che possono ridurre significativamente la ricerca di valori “candidati” per radici razionali:

Teorema 1 Consideriamo irriducibile frazione , dove . Se il numero è la radice dell'equazione, il termine libero viene diviso per e il coefficiente principale viene diviso per.

In particolare, se il coefficiente iniziale è , allora questa radice razionale è un numero intero:

E cominciamo a sfruttare il teorema proprio con questo gustoso dettaglio:

Torniamo all'equazione. Poiché il suo coefficiente iniziale è , le ipotetiche radici razionali possono essere esclusivamente intere e il termine libero deve necessariamente essere diviso in queste radici senza resto. E “tre” può essere diviso solo in 1, –1, 3 e –3. Cioè, abbiamo solo 4 “candidati root”. E, secondo Teorema 1, altri numeri razionali non possono essere radici di questa equazione IN PRINCIPIO.

Ci sono un po’ più di “concorrenti” nell’equazione: il termine libero è diviso in 1, –1, 2, – 2, 4 e –4.

Tieni presente che i numeri 1, –1 sono “regolari” nell'elenco delle possibili radici (ovvia conseguenza del teorema) e la scelta migliore per i test prioritari.

Passiamo ad esempi più significativi:

Problema 3

Soluzione: poiché il coefficiente direttivo è , allora ipotetiche radici razionali possono essere solo intere, e devono necessariamente essere divisori del termine libero. “Meno quaranta” è diviso nelle seguenti coppie di numeri:
– un totale di 16 “candidati”.

E qui appare subito un pensiero allettante: è possibile estirpare tutte le radici negative o tutte quelle positive? In alcuni casi è possibile! Formulerò due segni:

1) Se Tutto Se i coefficienti del polinomio sono non negativi o tutti non positivi, allora non può avere radici positive. Sfortunatamente, questo non è il nostro caso (ora, se ci fosse data un'equazione, allora sì, quando si sostituisce qualsiasi valore del polinomio, il valore del polinomio è strettamente positivo, il che significa che tutti i numeri positivi (e anche quelli irrazionali) non possono essere radici dell'equazione.

2) Se i coefficienti per le potenze dispari sono non negativi e per tutte le potenze pari (incluso membro gratuito) sono negativi, il polinomio non può avere radici negative. O “specchio”: i coefficienti per le potenze dispari sono non positivi, e per tutte le potenze pari sono positivi.

Questo è il nostro caso! Osservando un po' più da vicino, puoi vedere che quando si sostituisce una qualsiasi "X" negativa nell'equazione, il lato sinistro sarà strettamente negativo, il che significa che le radici negative scompaiono

Pertanto, rimangono 8 numeri per la ricerca:

Li "carichiamo" in sequenza secondo lo schema di Horner. Spero che tu abbia già imparato i calcoli mentali:

La fortuna ci aspettava durante la prova dei “due”. Quindi, è la radice dell'equazione in esame, e

Resta da studiare l'equazione . Questo è facile da fare attraverso il discriminante, ma condurrò un test indicativo utilizzando lo stesso schema. Innanzitutto notiamo che il termine libero è pari a 20, il che significa Teorema 1 i numeri 8 e 40 escono dall'elenco delle possibili radici, lasciando i valori per la ricerca (uno è stato eliminato secondo lo schema di Horner).

Scriviamo i coefficienti del trinomio nella riga superiore della nuova tabella e Iniziamo a controllare con gli stessi “due”. Perché? E poiché le radici possono essere multiple, per favore: - questa equazione ha 10 radici identiche. Ma non distraiamoci:

E qui, ovviamente, ho mentito un po', sapendo che le radici sono razionali. Dopotutto, se fossero irrazionali o complessi, mi troverei di fronte a un controllo infruttuoso di tutti i numeri rimanenti. Pertanto, in pratica, lasciatevi guidare dal discriminante.

Risposta: radici razionali: 2, 4, 5

Nel problema che abbiamo analizzato siamo stati fortunati, perché: a) i valori negativi sono caduti immediatamente e b) abbiamo trovato la radice molto rapidamente (e in teoria potremmo controllare l'intera lista).

Ma in realtà la situazione è molto peggiore. Ti invito a guardare un gioco emozionante chiamato "The Last Hero":

Problema 4

Trova le radici razionali dell'equazione

Soluzione: Di Teorema 1 i numeratori di ipotetiche radici razionali devono soddisfare la condizione (si legge “dodici si divide per el”) e i denominatori corrispondono alla condizione . Sulla base di ciò, otteniamo due elenchi:

"lista el":
e "lista ehm": (per fortuna i numeri qui sono naturali).

Ora facciamo un elenco di tutte le possibili radici. Per prima cosa dividiamo la “lista el” per . È assolutamente chiaro che si otterranno gli stessi numeri. Per comodità riportiamoli in una tabella:

Molte frazioni sono state ridotte, risultando in valori già presenti nella “lista degli eroi”. Aggiungiamo solo “neofiti”:

Allo stesso modo, dividiamo la stessa “lista” per:

e infine via

Pertanto, la squadra dei partecipanti al nostro gioco è completata:


Sfortunatamente, il polinomio in questo problema non soddisfa il criterio "positivo" o "negativo" e quindi non possiamo scartare la riga superiore o quella inferiore. Dovrai lavorare con tutti i numeri.

Come ti senti? Dai, alza la testa: c'è un altro teorema che può essere chiamato figurativamente il "teorema dell'assassino"…. ...“candidati”, ovviamente =)

Ma prima devi scorrere il diagramma di Horner per almeno uno il tutto numeri. Tradizionalmente, prendiamone uno. Nella riga superiore scriviamo i coefficienti del polinomio e tutto è come al solito:

Poiché quattro chiaramente non è zero, il valore non è la radice del polinomio in questione. Ma ci aiuterà molto.

Teorema 2 Se per alcuni generalmente valore del polinomio è diverso da zero: , quindi le sue radici razionali (se sono) soddisfare la condizione

Nel nostro caso quindi tutte le possibili radici devono soddisfare la condizione (chiamiamola Condizione n. 1). Questi quattro saranno il “killer” di tanti “candidati”. A titolo dimostrativo, esaminerò alcuni controlli:

Controlliamo il "candidato". Per fare ciò rappresentiamolo artificialmente sotto forma di frazione, dalla quale si vede chiaramente che . Calcoliamo la differenza di prova: . Quattro si divide per “meno due”: , il che significa che la possibile radice ha superato la prova.

Controlliamo il valore. Qui la differenza del test è: . Certamente, e quindi nella lista resta anche il secondo “argomento”.

Questo polinomio ha coefficienti interi. Se un intero è la radice di questo polinomio, allora è un divisore del numero 16. Pertanto, se un dato polinomio ha radici intere, queste possono essere solo i numeri ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Per verifica diretta, siamo convinti che il numero 2 è la radice di questo polinomio, cioè x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), dove Q (x) è un polinomio di il secondo grado. Di conseguenza, il polinomio viene scomposto in fattori, uno dei quali è (x – 2). Per trovare il tipo di polinomio Q (x) utilizziamo il cosiddetto schema di Horner. Il vantaggio principale di questo metodo è la compattezza della notazione e la possibilità di dividere rapidamente un polinomio in un binomio. In effetti, lo schema di Horner è un'altra forma di registrazione del metodo di raggruppamento, sebbene, a differenza di quest'ultimo, sia completamente non visivo. La risposta (fattorizzazione) qui si ottiene da sola e non vediamo il processo per ottenerla. Non ci impegneremo in una rigorosa dimostrazione dello schema di Horner, ma mostreremo solo come funziona.

Il numero della cella sopra viene “spostato” nella seconda cella della riga inferiore, cioè 1. Quindi fanno così. La radice dell'equazione (numero 2) viene moltiplicata per l'ultimo numero scritto (1) e al risultato viene sommato il numero che si trova nella riga superiore sopra la cella libera successiva, nel nostro esempio abbiamo:

Numero irrazionale- Questo numero reale, che non è razionale, cioè non può essere rappresentato come una frazione, dove sono numeri interi, . Un numero irrazionale può essere rappresentato come una frazione decimale non periodica infinita.

L'insieme dei numeri irrazionali è solitamente indicato con una lettera latina maiuscola in grassetto senza ombreggiatura. Quindi: , cioè ci sono molti numeri irrazionali differenza tra gli insiemi dei numeri reali e razionali.

Sull'esistenza dei numeri irrazionali, più precisamente segmenti incommensurabili con un segmento di unità di lunghezza erano già noti agli antichi matematici: conoscevano, ad esempio, l'incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, che equivale all'irrazionalità del numero.

Proprietà

• Qualsiasi numero reale può essere scritto come frazione decimale infinita, mentre i numeri irrazionali e solo loro sono scritti come frazioni decimali infinite non periodiche.
• I numeri irrazionali definiscono i tagli di Dedekind nell'insieme dei numeri razionali che non hanno un numero più grande nella classe inferiore e non hanno un numero più piccolo nella classe superiore.
• Ogni numero trascendente reale è irrazionale.
• Ogni numero irrazionale è algebrico o trascendente.
• L'insieme dei numeri irrazionali è denso ovunque sulla linea numerica: tra due numeri qualsiasi c'è un numero irrazionale.
• L'ordine sull'insieme dei numeri irrazionali è isomorfo all'ordine sull'insieme dei numeri trascendenti reali.
• L'insieme dei numeri irrazionali non è numerabile ed è un insieme della seconda categoria.

Esempi

Irrazionali sono:

Esempi di prova di irrazionalità

Radice di 2

Supponiamo il contrario: è razionale, cioè è rappresentato sotto forma di frazione irriducibile, dove è un numero intero ed è un numero naturale. Eleviamo al quadrato la presunta uguaglianza:

Ne consegue che anche è pari e . Lascia che sia dove si trova il tutto. Poi

Pertanto, anche significa pari e . Abbiamo scoperto che e sono pari, il che contraddice l'irriducibilità della frazione . Ciò significa che l'ipotesi originale era errata ed è un numero irrazionale.

Logaritmo binario del numero 3

Supponiamo il contrario: è razionale, cioè è rappresentato come una frazione, dove e sono numeri interi. Poiché , e può essere scelto come positivo. Poi

Ma pari e dispari. Otteniamo una contraddizione.

e

Storia

Il concetto di numeri irrazionali fu implicitamente adottato dai matematici indiani nel VII secolo a.C., quando Manava (750 a.C. circa - 690 a.C. circa) capì che le radici quadrate di alcuni numeri naturali, come 2 e 61, non possono essere espresse esplicitamente .

La prima prova dell'esistenza dei numeri irrazionali è solitamente attribuita a Ippaso di Metaponto (500 aC circa), un pitagorico che trovò questa prova studiando le lunghezze dei lati del pentagramma. Al tempo dei Pitagorici si credeva che esistesse un'unica unità di lunghezza, sufficientemente piccola e indivisibile, che entrava in qualsiasi segmento un numero intero di volte. Tuttavia, Ippaso sosteneva che non esiste un'unica unità di lunghezza, poiché il presupposto della sua esistenza porta a una contraddizione. Ha dimostrato che se l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele contiene un numero intero di segmenti unitari, allora questo numero deve essere sia pari che dispari. La prova era questa:

• Il rapporto tra la lunghezza dell'ipotenusa e la lunghezza del cateto di un triangolo rettangolo isoscele può essere espresso come UN:B, Dove UN E B scelto come il più piccolo possibile.
• Secondo il teorema di Pitagora: UN² = 2 B².
• Perché UN- Anche, UN deve essere pari (poiché il quadrato di un numero dispari sarebbe dispari).
• Perché il UN:B irriducibile B deve essere strano.
• Perché UN anche, denotiamo UN = 2sì.
• Poi UN² = 4 sì² = 2 B².
• B² = 2 sì², quindi B- anche allora B Anche.
• Tuttavia, è stato dimostrato B strano. Contraddizione.

I matematici greci chiamavano questo rapporto di quantità incommensurabili alogos(indicibile), ma secondo le leggende non portarono il dovuto rispetto a Ippaso. C'è una leggenda secondo cui Ippaso fece la scoperta durante un viaggio per mare e fu gettato in mare da altri pitagorici "per aver creato un elemento dell'universo che nega la dottrina secondo cui tutte le entità nell'universo possono essere ridotte a numeri interi e ai loro rapporti". La scoperta di Ippaso pose un serio problema per la matematica pitagorica, distruggendo il presupposto di fondo secondo cui i numeri e gli oggetti geometrici erano uno e inseparabili.

Come abbiamo già notato, uno dei problemi più importanti nella teoria dei polinomi è trovare le loro radici. Per risolvere questo problema, è possibile utilizzare il metodo di selezione, ad es. prendi un numero a caso e controlla se è la radice di un dato polinomio.

In questo caso, puoi “imbatterti” rapidamente nella radice, altrimenti potresti non trovarla mai. Dopotutto, è impossibile controllare tutti i numeri, poiché ce ne sono infiniti.

Un'altra cosa sarebbe se potessimo restringere l'area di ricerca, per esempio, per sapere che le radici che stiamo cercando rientrano, ad esempio, tra i trenta numeri specificati. E per trenta numeri puoi fare un controllo. In connessione con tutto quanto detto sopra, questa affermazione sembra importante e interessante.

Se la frazione irriducibile l/m (l,m sono numeri interi) è la radice di un polinomio f (x) a coefficienti interi, allora il coefficiente principale di questo polinomio viene diviso per m, e il termine libero viene diviso per 1.

Infatti, se f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, dove an, an-1,...,a1, a0 sono interi, allora f (l/ m) =0, cioè аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

Moltiplichiamo entrambi i lati di questa uguaglianza per mn. Otteniamo anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Ciò implica:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Vediamo che l'intero anln è divisibile per m. Ma l/m è una frazione irriducibile, cioè i numeri l e m sono coprimi, e quindi, come è noto dalla teoria della divisibilità degli interi, anche i numeri ln e m sono coprimi. Quindi, anln è divisibile per m e m è coprimo con ln, il che significa che an è divisibile per m.

L'argomento provato ci consente di restringere significativamente l'area di ricerca delle radici razionali di un polinomio a coefficienti interi. Dimostriamolo con un esempio specifico. Troviamo le radici razionali del polinomio f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Secondo il teorema, le radici razionali di questo polinomio sono tra le frazioni irriducibili della forma l/m, dove l è il divisore del termine libero a0=8, e m è il divisore del coefficiente direttivo a4=6. Inoltre, se la frazione l/m è negativa, al numeratore verrà assegnato il segno “-”. Ad esempio, - (1/3) = (-1) /3. Quindi possiamo dire che l è un divisore del numero 8 e m è un divisore positivo del numero 6.

Poiché i divisori del numero 8 sono ±1, ±2, ±4, ±8, e i divisori positivi del numero 6 sono 1, 2, 3, 6, allora le radici razionali del polinomio in questione sono tra i numeri ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Ricordiamo che abbiamo scritto solo le frazioni irriducibili.

Quindi, abbiamo venti numeri: "candidati" per le radici. Non resta che controllarli ciascuno e selezionare quelli che sono realmente radici. Ma ancora una volta, dovrai fare molti controlli. Ma il seguente teorema semplifica questo lavoro.

Se la frazione irriducibile l/m è la radice di un polinomio f (x) a coefficienti interi, allora f (k) è divisibile per l-km per qualsiasi intero k, purché l-km?0.

Per dimostrare questo teorema, dividi f (x) per x-k con resto. Otteniamo f (X) = (xk) S (X) +f (K). Poiché f (x) è un polinomio a coefficienti interi, lo è anche il polinomio s (x) e f (k) è un numero intero. Sia s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Allora f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Poniamo x=l/m in questa uguaglianza. Considerando che f (l/m) =0, otteniamo

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Moltiplichiamo entrambi i membri dell'ultima uguaglianza per mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Ne consegue che l'intero mnf (k) è divisibile per l-km. Ma poiché l e m sono coprimi, allora anche mn e l-km sono coprimi, il che significa che f (k) è divisibile per l-km. Il teorema è stato dimostrato.

Torniamo ora al nostro esempio e, utilizzando il teorema dimostrato, restringeremo ulteriormente il cerchio delle ricerche delle radici razionali. Applichiamo questo teorema per k=1 e k=-1, cioè se la frazione irriducibile l/m è la radice del polinomio f (x), allora f (1) / (l-m) e f (-1) / (l+m). Troviamo facilmente che nel nostro caso f (1) = -5, e f (-1) = -15. Si noti che allo stesso tempo abbiamo escluso ±1 dalla considerazione.

Quindi, le radici razionali del nostro polinomio dovrebbero essere ricercate tra i numeri ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 /3.

Consideriamo l/m=1/2. Allora l-m=-1 e f (1) =-5 vengono divisi per questo numero. Inoltre, anche l+m=3 e f (1) =-15 sono divisibili per 3. Ciò significa che la frazione 1/2 rimane tra i “candidati” per le radici.

Sia ora lm=- (1/2) = (-1) /2. In questo caso, l-m=-3 e f (1) =-5 non è divisibile per - 3. Ciò significa che la frazione - 1/2 non può essere la radice di questo polinomio e la escludiamo da ulteriori considerazioni. Controlliamo ciascuna delle frazioni scritte sopra e troviamo che le radici richieste sono tra i numeri 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Pertanto, utilizzando una tecnica abbastanza semplice, abbiamo ristretto in modo significativo l'area di ricerca delle radici razionali del polinomio in esame. Bene, per controllare i numeri rimanenti, utilizzeremo lo schema di Horner:

Tabella 10

Abbiamo scoperto che il resto della divisione g (x) per x-2/3 è uguale a - 80/9, cioè 2/3 non è una radice del polinomio g (x), e quindi nemmeno f (x).

Successivamente, troviamo facilmente che - 2/3 è la radice del polinomio g (x) e g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Allora f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Un'ulteriore verifica può essere effettuata per il polinomio x2+2x-4, che, ovviamente, è più semplice che per g (x) o ancor più per f (x). Di conseguenza, troviamo che i numeri 2 e - 4 non sono radici.

Quindi il polinomio f(x)=6x4+13x3-24x2-8x+8 ha due radici razionali: 1/2 e - 2/3.

Ricordiamo che il metodo sopra descritto consente di trovare solo radici razionali di un polinomio a coefficienti interi. Nel frattempo, un polinomio può anche avere radici irrazionali. Quindi, ad esempio, il polinomio considerato nell'esempio ha altre due radici: - 1±v5 (queste sono le radici del polinomio x2+2x-4). E, in generale, un polinomio potrebbe non avere affatto radici razionali.

Ora diamo alcuni consigli.

Quando si testano i “candidati” per le radici del polinomio f (x) utilizzando il secondo dei teoremi dimostrati sopra, quest'ultimo viene solitamente utilizzato per i casi k=±1. In altre parole, se l/m è una radice "candidata", controlla se f (1) e f (-1) sono divisibili rispettivamente per l-m e l+m. Ma può succedere che, ad esempio, f (1) = 0, cioè 1 è una radice, e quindi f (1) è divisibile per qualsiasi numero, e il nostro controllo diventa privo di significato. In questo caso, dovresti dividere f (x) per x-1, cioè ottenere f(x) = (x-1)s(x) e verificare il polinomio s(x). Allo stesso tempo, non dobbiamo dimenticare che abbiamo già trovato una radice del polinomio f (x) - x1=1. Se, controllando i “candidati” per le radici rimanenti dopo aver utilizzato il secondo teorema sulle radici razionali, utilizzando lo schema di Horner troviamo che, ad esempio, l/m è una radice, allora si dovrebbe trovare la sua molteplicità. Se è uguale, ad esempio, a k, allora f (x) = (x-l/m) ks (x) e si possono eseguire ulteriori test per s (x), il che riduce i calcoli.

Pertanto, abbiamo imparato a trovare le radici razionali di un polinomio a coefficienti interi. Risulta che così facendo abbiamo imparato a trovare le radici irrazionali di un polinomio a coefficienti razionali. Infatti, se abbiamo, ad esempio, un polinomio f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, allora, portando i coefficienti a un denominatore comune e mettendolo tra parentesi, avremo ottieni f(x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). È chiaro che le radici del polinomio f (x) coincidono con le radici del polinomio tra parentesi e i suoi coefficienti sono numeri interi. Dimostriamo, ad esempio, che sin100 è un numero irrazionale. Usiamo la famosa formula sin3?=3sin?-4sin3?. Quindi sin300=3sin100-4sin3100. Considerando sin300=0,5 ed effettuando semplici trasformazioni otteniamo 8sin3100-6sin100+1=0. Pertanto sin100 è la radice del polinomio f(x)=8x3-6x+1. Se cerchiamo le radici razionali di questo polinomio, ci convinceremo che non ce ne sono. Ciò significa che la radice sin100 non è un numero razionale, cioè sin100 è un numero irrazionale.

Un polinomio nella variabile x è un'espressione della forma: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, dove n è un numero naturale; an, an-1, . . . , a 1, a 0 - qualsiasi numero chiamato coefficiente di questo polinomio. Espressioni anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 sono detti termini del polinomio, e 0 è il termine libero. an è il coefficiente di xn, an-1 è il coefficiente di xn-1, ecc. Un polinomio in cui tutti i coefficienti sono uguali a zero è chiamato zero. ad esempio, il polinomio 0 x2+0 x+0 è zero. Dalla notazione di un polinomio è chiaro che è composto da più membri. Da qui deriva il termine ‹‹polinomio›› (molti termini). A volte un polinomio è chiamato polinomio. Questo termine deriva dalle parole greche πολι - molti e νομχ - membro.

Un polinomio in una variabile x è denotato: . f (x), g (x), h (x), ecc. ad esempio, se il primo dei polinomi sopra indicati è indicato con f (x), allora possiamo scrivere: f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Il polinomio h(x) si dice massimo comun divisore dei polinomi f(x) e g(x) se divide f(x), g (x) e ciascuno dei loro divisori comuni. 2. Un polinomio f(x) a coefficienti del campo P di grado n si dice riducibile sul campo P se esistono polinomi h(x), g(x) О P[x] di grado minore di n tali che f(x) = h( x)g(x).

Se esiste un polinomio f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 e an≠ 0, quindi il numero n si chiama grado del polinomio f (x) (o dicono: f (x) - nesimo grado) e scrivi art. f(x)=n. In questo caso, an è chiamato coefficiente direttivo e anxn è il termine direttivo di questo polinomio. Ad esempio, se f (x) =5 x 4 -2 x+3, allora l'art. f (x) =4, coefficiente iniziale - 5, termine iniziale - 5 x4. Il grado di un polinomio è il più grande numero diverso da zero dei suoi coefficienti. I polinomi di grado zero sono numeri diversi da zero. , il polinomio zero non ha grado; il polinomio f(x) =a, dove a è un numero diverso da zero e ha grado 0; il grado di qualsiasi altro polinomio è uguale al massimo esponente della variabile x, il cui coefficiente è uguale a zero.

Uguaglianza dei polinomi. Due polinomi f (x) e g (x) sono considerati uguali se i loro coefficienti per le stesse potenze della variabile x e dei termini liberi sono uguali (i loro coefficienti corrispondenti sono uguali). f(x) =g(x). Ad esempio i polinomi f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 e g(x) =2 x 23 x+1 non sono uguali, il primo di essi ha coefficiente x3 pari a 1, e il secondo ha zero ( secondo le convenzioni accettate, possiamo scrivere: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. In questo caso: f (x) ≠g (x). I polinomi non sono uguali: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, poiché i loro coefficienti per x sono diversi.

Ma i polinomi f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 e g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 sono uguali se e solo se a = 3, a b = -2. Sia dato il polinomio f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 e qualche numero c. Numero f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 è chiamato il valore del polinomio f (x) in x=c. Pertanto, per trovare f (c), è necessario sostituire c nel polinomio al posto di x ed eseguire i calcoli necessari. Ad esempio, se f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, allora f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Un polinomio può assumere valori diversi per valori diversi della variabile x. Il numero c è chiamato radice del polinomio f (x) se f (c) =0.

Prestiamo attenzione alla differenza tra due affermazioni: “il polinomio f (x) è uguale a zero (o, che è lo stesso, il polinomio f (x) è zero)” e “il valore del polinomio f (x ) in x = c è uguale a zero." Ad esempio, il polinomio f (x) =x 2 -1 non è uguale a zero, ha coefficienti diversi da zero e il suo valore in x=1 è zero. f (x) ≠ 0 e f (1) = 0. Esiste una stretta relazione tra i concetti di uguaglianza dei polinomi e il valore di un polinomio. Se sono dati due polinomi uguali f (x) e g (x), i loro coefficienti corrispondenti sono uguali, il che significa che f (c) = g (c) per ogni numero c.

Operazioni sui polinomi I polinomi si possono sommare, sottrarre e moltiplicare utilizzando le consuete regole per aprire le parentesi e avvicinare termini simili. Il risultato è ancora una volta un polinomio. Queste operazioni hanno proprietà note: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).

Siano dati due polinomi f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0 e g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. È evidente che l'art. f(x)=n, e l'art. g(x)=m. Se moltiplichiamo questi due polinomi, otteniamo un polinomio della forma f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Poiché an≠ 0 e bn≠ 0, allora anbm≠ 0, che significa st. (f(x)g(x))=m+n. Da ciò segue un’importante affermazione.

Il grado del prodotto di due polinomi diversi da zero è uguale alla somma dei gradi dei fattori, art. (f(x)g(x)) = art. f(x) + st. g(x). Il termine principale (coefficiente) del prodotto di due polinomi diversi da zero è uguale al prodotto dei termini principali (coefficienti) dei fattori. Il termine libero del prodotto di due polinomi è uguale al prodotto dei termini liberi dei fattori. Le potenze dei polinomi f (x), g (x) e f (x) ±g (x) sono legate dalla seguente relazione: art. (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Si chiama la sovrapposizione dei polinomi f (x) e g (x). un polinomio indicato con f (g (x)), che si ottiene se nel polinomio f (x) sostituiamo il polinomio g (x) al posto di x. Ad esempio, se f(x)=x 2+2 x-1 e g(x) =2 x+3, allora f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) +3=2x2+4x+1. Si può vedere che f (g (x)) ≠g (f (x)), cioè la sovrapposizione dei polinomi f (x), g (x) e la sovrapposizione dei polinomi g (x), f ( x) sono diversi. Pertanto l’operazione di sovrapposizione non ha la proprietà commutativa.

, Algoritmo di divisione con resto Per ogni f(x), g(x), esistono q(x) (quoziente) e r(x) (resto) tali che f(x)=g(x)q(x)+ r(x) e il grado r(x)

Divisori di un polinomio Il divisore di un polinomio f(x) è un polinomio g(x), tale che f(x)=g(x)q(x). Il massimo comun divisore di due polinomi Il massimo comun divisore dei polinomi f(x) e g(x) è il loro divisore comune d(x) che è divisibile per uno qualsiasi degli altri loro divisori comuni.

Algoritmo euclideo (algoritmo di divisione sequenziale) per trovare il massimo comun divisore dei polinomi f(x) e g(x). Allora è il massimo comun divisore di f(x) e g(x).

Riduci la frazione Soluzione: trova il mcd di questi polinomi utilizzando l'algoritmo euclideo 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Pertanto, il polinomio (– x2 – 3 x – 2) è il mcd del numeratore e denominatore di una data frazione. Il risultato della divisione del denominatore per questo polinomio è noto.

Troviamo il risultato della divisione del numeratore. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Quindi, risposta:

Schema di Horner Dividere un polinomio f(x) con resto per un polinomio diverso da zero g(x) significa rappresentare f(x) nella forma f(x)=g(x) s(x)+r(x), dove s (x ) e r(x) sono polinomi e r(x)=0 oppure st. r(x)

I polinomi sui lati sinistro e destro di questa relazione sono uguali, il che significa che i loro coefficienti corrispondenti sono uguali. Uguagliamoli aprendo prima le parentesi e portando termini simili sul lato destro di questa uguaglianza. Otteniamo: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Ricordiamo che dobbiamo trovare il quoziente incompleto, cioè i suoi coefficienti, e il resto. Esprimiamole dalle uguaglianze ottenute: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2 , b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Abbiamo trovato delle formule che possono essere utilizzate per calcolare i coefficienti del quoziente parziale s (x) e del resto r. In questo caso i calcoli vengono presentati sotto forma della seguente tabella; si chiama schema Horner.

Tabella 1. Coefficienti f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Coefficienti s (x) resto Nella prima riga di questa tabella, scrivi tutti i coefficienti del polinomio f (x) in fila, lasciando libera la prima cella. Nella seconda riga, nella prima cella, scrivi il numero c. Le restanti celle di questa riga si riempiono calcolando uno per uno i coefficienti del quoziente incompleto s (x) e del resto r. Nella seconda cella scriviamo il coefficiente bn-1 che, come abbiamo stabilito, è uguale ad an.

I coefficienti in ciascuna cella successiva vengono calcolati secondo la seguente regola: il numero c viene moltiplicato per il numero nella cella precedente e il numero sopra la cella da riempire viene aggiunto al risultato. Per ricordare, ad esempio, la quinta cella, cioè per trovare il coefficiente in essa, è necessario moltiplicare c per il numero nella quarta cella e aggiungere il numero sopra la quinta cella al risultato. Dividiamo, ad esempio, il polinomio f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 per x-2 con resto, utilizzando lo schema di Horner. Quando compiliamo la prima riga di questo diagramma, non dobbiamo dimenticare i coefficienti zero del polinomio. Quindi, i coefficienti f (x) sono i numeri 3, 0, - 5, 3, - 1. E dovresti anche ricordare che il grado di un quoziente incompleto è uno in meno del grado del polinomio f (x).

Effettuiamo quindi la divisione secondo lo schema di Horner: Tabella 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Otteniamo il quoziente parziale s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 e il resto r=33. Notiamo che allo stesso tempo abbiamo calcolato il valore del polinomio f(2)=33. Dividiamo ora lo stesso polinomio f (x) per x+2 con resto. In questo caso c=-2. otteniamo: Tabella 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Di conseguenza, abbiamo f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21 .

Radici dei polinomi Siano c1, c2, …, cm radici diverse del polinomio f (x). Allora f (x) viene diviso per x-c1, cioè f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Mettiamo x=c2 in questa uguaglianza. Otteniamo f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) e, quindi f (c 2) =0, allora (c2 -c1) s 1 (c 2) =0. Ma с2≠с1, cioè с2 -с1≠ 0, il che significa s 1 (c 2) =0. Quindi c2 è la radice del polinomio s 1 (x). Ne consegue che s 1 (x) è divisibile per x-c2, cioè s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Sostituiamo l'espressione risultante per s 1 (x) nell'uguaglianza f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Abbiamo f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Ponendo x=c3 nell'ultima uguaglianza, tenendo conto del fatto che f (c 3) =0, c3≠c1, c3≠c2, otteniamo che c3 è la radice del polinomio s 2 (x). Ciò significa s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), e quindi f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x), ecc. Continuando questo ragionamento per il rimanendo radici c4, c5, ..., cm, otteniamo infine f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x), cioè è dimostrata l'affermazione formulata di seguito.

Se с1, с2, …, сm sono radici diverse del polinomio f (x), allora f (x) può essere rappresentato come f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x ). Da ciò segue un importante corollario. Se c1, c2, ..., cm sono radici diverse del polinomio f(x), allora f(x) viene diviso per il polinomio (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Il numero di radici diverse di un polinomio diverso da zero f (x) non è maggiore del suo grado. Infatti, se f(x) non ha radici, allora è chiaro che il teorema è vero, perché l'art. f(x) ≥ 0. Ora lascia che f(x) abbia m radici ñ1, ñ2, …, ñm, e tutte siano diverse. Allora, per quanto appena dimostrato, f (x) si divide in (x-c1) (x -c2)…(x-cm). In questo caso, l'art. f(x)≥st. ((x-c1) (x-c2)…(x-cm))= m. (x-c1)+st. (x-s2)+…+st. (x-cm)=m, ovvero art. f(x)≥m e m è il numero di radici del polinomio in questione. Ma il polinomio zero ha infinite radici, perché il suo valore per ogni x è uguale a 0. In particolare, per questo motivo non è prescritto alcun grado specifico. Dal teorema appena dimostrato consegue la seguente affermazione.

Se un polinomio f(x) non è un polinomio di grado maggiore di n e ha più di n radici, allora f(x) è un polinomio zero. Infatti, dalle condizioni di questa affermazione segue che o f (x) è un polinomio nullo, oppure art. f(x) ≤n. Se assumiamo che il polinomio f(x) non sia zero, allora l'Art. f (x) ≤ n, e allora f (x) ha al più n radici. Arriviamo ad una contraddizione. Ciò significa che f(x) è un polinomio diverso da zero. Siano f (x) e g (x) polinomi diversi da zero di grado al massimo n. Se questi polinomi assumono gli stessi valori per n+1 valori della variabile x, allora f (x) = g (x).

Per dimostrarlo consideriamo il polinomio h (x) =f (x) - g (x). È chiaro che o h (x) = 0 oppure st. h (x) ≤ n, cioè h (x) non è un polinomio di grado maggiore di n. Sia ora il numero c tale che f (c) = g (c). Allora h (c) = f (c) - g (c) = 0, cioè c è la radice del polinomio h (x). Pertanto il polinomio h (x) ha n+1 radici, e quando, come appena dimostrato, h (x) =0, cioè f (x) =g (x). Se f (x) e g (x) assumono gli stessi valori per tutti i valori della variabile x, allora questi polinomi sono uguali

Radici multiple di un polinomio Se un numero c è radice di un polinomio f (x), è noto che questo polinomio è divisibile per x-c. Può accadere che f (x) sia divisibile anche per qualche potenza del polinomio x-c, cioè per (x-c) k, k>1. In questo caso c è detta radice multipla. Formuliamo la definizione più chiaramente. Un numero c è chiamato radice della molteplicità k (k-fold root) di un polinomio f (x) se il polinomio è divisibile per (x - c) k, k>1 (k è un numero naturale), ma non divisibile per (x - c) k+ 1. Se k=1, allora c è detta radice semplice, mentre se k>1 è detta radice multipla del polinomio f (x).

Se il polinomio f(x) è rappresentato come f(x)=(x-c)mg(x), m è un numero naturale, allora è divisibile per (x-c) m+1 se e solo se g(x) è divisibile su x-s. Infatti, se g(x) è divisibile per x-c, cioè g(x)=(x-c)s(x), allora f(x)=(x-c) m+1 s(x), e questo significa f(x ) è divisibile per (x-c) m+1. Viceversa, se f(x) è divisibile per (x-c) m+1, allora f(x)=(x-c) m+1 s(x). Allora (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) e dopo la riduzione di (x-c)m otteniamo g(x)=(x-c)s(x). Ne consegue che g(x) è divisibile per x-c.

Scopriamo, ad esempio, se il numero 2 è la radice del polinomio f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24 e, in tal caso, troviamo la sua molteplicità. Per rispondere alla prima domanda, controlliamo utilizzando il circuito di Horner se f (x) è divisibile per x-2. abbiamo: Tabella 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Come puoi vedere, il resto della divisione f(x) per x-2 è uguale a 0, cioè è diviso per x-2. Ciò significa che 2 è la radice di questo polinomio. Inoltre, abbiamo che f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Scopriamo ora se f(x) è su (x-2) 2. Questo dipende, come abbiamo appena dimostrato, dalla divisibilità del polinomio g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x -12 per x-2.

Usiamo ancora lo schema di Horner: Tabella 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Abbiamo scoperto che g(x) è divisibile per x-2 e g(x)=(x-2)( x3 -x2 -5x+6). Allora f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Quindi f(x) è divisibile per (x-2)2, ora dobbiamo scoprire se f(x) è divisibile per (x-2)3. Per fare ciò, controlliamo se h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 è divisibile per x-2: Tabella 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Troviamo che h(x ) è divisibile per x-2, il che significa che f(x) è diviso per (x-2) 3 e f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Successivamente, controlliamo in modo simile se f(x) è divisibile per (x-2)4, cioè se s(x)=x 2+x-3 è divisibile per x-2: Tabella 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Troviamo che il resto della divisione s(x) per x-2 è uguale a 3, cioè s(x) non è divisibile per x-2. Ciò significa che f(x) non è divisibile per (x-2)4. Pertanto, f(x) è divisibile per (x-2)3 ma non divisibile per (x-2)4. Pertanto il numero 2 è radice della molteplicità 3 del polinomio f(x).

In genere, il controllo della molteplicità della radice viene eseguito in una tabella. Per questo esempio, la tabella si presenta così: Tabella 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 In altre parole, secondo lo schema della divisione di Horner del polinomio f (x) per x-2, nella seconda riga otteniamo i coefficienti del polinomio g (x). Consideriamo quindi questa seconda riga come la prima riga del nuovo sistema Horner e dividiamo g (x) per x-2, ecc. Continuiamo i calcoli finché non otteniamo un resto diverso da zero. In questo caso la molteplicità della radice è pari al numero di residui zero ottenuti. La riga contenente l'ultimo resto diverso da zero contiene anche i coefficienti del quoziente della divisione f (x) per (x-2) 3.

Ora, utilizzando lo schema appena proposto per verificare la molteplicità della radice, risolveremo il seguente problema. Per cosa a e b il polinomio f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 ha il numero - 2 come radice di multiplo 2? Poiché la molteplicità della radice - 2 dovrebbe essere uguale a 2, quindi, dividendo per x+2 secondo lo schema proposto, dovremmo ottenere due volte il resto di 0 e la terza volta un resto diverso da zero. Abbiamo: Tabella 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Pertanto, il numero - 2 è una radice della molteplicità 2 del polinomio originale se e solo se

Radici razionali di un polinomio Se la frazione irriducibile l/m (l, m sono numeri interi) è la radice di un polinomio f (x) a coefficienti interi, allora il coefficiente iniziale di questo polinomio è diviso per m, e il termine libero è diviso per 1. Infatti, se f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, dove an, an-1, . . . , a 1, a 0 sono numeri interi, allora f(l/m) =0, cioè аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Moltiplichiamo entrambi i lati di questa uguaglianza per mn. Otteniamo anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Ciò implica anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Vediamo che l'intero anln è divisibile per m. Ma l/m è una frazione irriducibile, cioè i numeri l e m sono coprimi, e quindi, come è noto dalla teoria della divisibilità degli interi, anche i numeri ln e m sono coprimi. Quindi, anln è divisibile per m e m è coprimo con ln, il che significa che an è divisibile per m. Troviamo le radici razionali del polinomio f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8. Secondo il teorema, le radici razionali di questo polinomio sono tra le frazioni irriducibili della forma l/m, dove l è il divisore del termine libero a 0=8, e m è il divisore del coefficiente direttivo a 4=6 . Inoltre, se la frazione l/m è negativa, al numeratore verrà assegnato il segno “-”. Ad esempio, - (1/3) = (-1) /3. Quindi possiamo dire che l è un divisore del numero 8 e m è un divisore positivo del numero 6.

Poiché i divisori del numero 8 sono ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, e i divisori positivi del numero 6 sono 1, 2, 3, 6, allora le radici razionali del polinomio in questione sono tra i numeri ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Ricordiamo che abbiamo scritto solo le frazioni irriducibili. Quindi, abbiamo venti numeri: "candidati" per le radici. Non resta che controllarli ciascuno e selezionare quelli che sono realmente radici. il seguente teorema semplifica questo lavoro. Se la frazione irriducibile l/m è la radice di un polinomio f (x) a coefficienti interi, allora f (k) è divisibile per l-km per qualsiasi intero k, a condizione che l-km≠ 0.

Per dimostrare questo teorema, dividi f(x) per x-k con resto. Otteniamo f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Poiché f(x) è un polinomio a coefficienti interi, lo è anche il polinomio s(x) e f(k) è un numero intero. Sia s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Allora f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b1x+b0). Mettiamo 1 x=l/m in questa uguaglianza. Considerando che f(l/m)=0, si ottiene f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Moltiplichiamo entrambi i membri dell'ultima uguaglianza per mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Ne consegue che l'intero mnf (k) è divisibile per l-km. Ma poiché l e m sono coprimi, allora anche mn e l-km sono coprimi, il che significa che f(k) è divisibile per l-km. Il teorema è stato dimostrato.

Ritorniamo al nostro esempio e, utilizzando il teorema dimostrato, restringeremo ulteriormente il cerchio delle ricerche delle radici razionali. Applichiamo questo teorema per k=1 e k=-1, cioè se la frazione irriducibile l/m è la radice del polinomio f(x), allora f(1)/(l-m), e f(-1) /(l+m). Troviamo facilmente che nel nostro caso f(1)=-5, e f(-1)= -15. Si noti che allo stesso tempo abbiamo escluso dalla considerazione ± 1. Quindi, le radici razionali del nostro polinomio dovrebbero essere cercate tra i numeri ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Consideriamo l/m=1/2. Allora l-m=-1 e f (1) =-5 vengono divisi per questo numero. Inoltre, anche l+m=3 e f (1) =-15 sono divisibili per 3. Ciò significa che la frazione 1/2 rimane tra i “candidati” per le radici.

Sia ora lm=-(1/2)=(-1)/2. In questo caso l-m=-3 ef (1) =-5 non è divisibile per - 3. Ciò significa che la frazione -1/2 non può essere la radice di questo polinomio e la escludiamo da ulteriori considerazioni. Controlliamo ciascuna delle frazioni scritte sopra e troviamo che le radici richieste sono tra i numeri 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Pertanto, utilizzando una tecnica abbastanza semplice, abbiamo ristretto in modo significativo l'area di ricerca per razionali radici del polinomio in questione. Bene, per controllare i numeri rimanenti, utilizzeremo lo schema di Horner: Tabella 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Vediamo che 1/2 è la radice del polinomio f(x) e f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3x3+8x2 -8x-8). È chiaro che tutte le altre radici del polinomio f (x) coincidono con le radici del polinomio g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, il che significa che un'ulteriore verifica dei “candidati” per radici può essere effettuata per questo polinomio. Troviamo: Tabella 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Abbiamo scoperto che il resto della divisione g(x) per x-2/3 è uguale a - 80/9, cioè 2/3 non è una radice del polinomio g(x), e quindi nemmeno f(x). Successivamente troviamo che - 2/3 è la radice del polinomio g(x) eg (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4).

Allora f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). Un'ulteriore verifica può essere effettuata per il polinomio x 2+2 x-4, che, ovviamente, è più semplice che per g (x) o, a maggior ragione, per f (x). Di conseguenza, troviamo che i numeri 2 e - 4 non sono radici. Quindi il polinomio f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 ha due radici razionali: 1/2 e - 2/3. Questo metodo consente di trovare solo le radici razionali di un polinomio a coefficienti interi. Nel frattempo, un polinomio può anche avere radici irrazionali. Quindi, ad esempio, il polinomio considerato nell'esempio ha altre due radici: - 1±√ 5 (queste sono le radici del polinomio x2+2 x-4). un polinomio potrebbe non avere affatto radici razionali.

Quando si testano le radici “candidate” del polinomio f(x) utilizzando il secondo dei teoremi dimostrati sopra, quest’ultimo viene solitamente utilizzato per i casi k = ± 1. In altre parole, se l/m è una radice “candidata”, allora controlla se f( 1) e f (-1) rispettivamente per l-m e l+m. Ma può succedere che, ad esempio, f(1) =0, cioè 1 è una radice, e quindi f(1) è divisibile per qualsiasi numero, e il nostro controllo diventa privo di significato. In questo caso, dovresti dividere f(x) per x-1, cioè ottenere f(x)=(x-1)s(x), e verificare il polinomio s(x). Allo stesso tempo, non dobbiamo dimenticare che abbiamo già trovato una radice del polinomio f(x)-x 1=1. Se controlliamo i “candidati” per le radici rimanenti dopo aver utilizzato il secondo teorema sulle radici razionali, utilizzando lo schema di Horner, troviamo che, ad esempio, l/m è una radice, allora si dovrebbe trovare la sua molteplicità. Se è uguale, ad esempio, a k, allora f(x)=(x-l/m) ks (x) e ulteriori test possono essere eseguiti su s(x), il che riduce il calcolo.

Soluzione. Sostituita la variabile y=2 x, passiamo ad un polinomio con coefficiente pari a uno al massimo grado. Per fare ciò, moltiplica prima l'espressione per 4. Se la funzione risultante ha radici intere, allora sono tra i divisori del termine libero. Scriviamoli: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60

Calcoliamo in sequenza i valori della funzione g(y) in questi punti fino a raggiungere lo zero. Cioè, y=-5 è una radice e quindi è la radice della funzione originale. Dividiamo il polinomio per un binomio utilizzando una colonna (angolo)

Non è consigliabile continuare a controllare i rimanenti divisori, poiché è più semplice fattorizzare il trinomio quadratico risultante.

Utilizzo delle formule di moltiplicazione abbreviate e del binomio di Newton per fattorizzare un polinomio A volte l'aspetto di un polinomio suggerisce un modo per fattorizzarlo. Ad esempio, dopo semplici trasformazioni, i coefficienti sono allineati in una linea a partire dal triangolo di Pascal per i coefficienti del binomio di Newton. Esempio. Fattorizzare il polinomio.

Soluzione. Trasformiamo l'espressione nella forma: La sequenza dei coefficienti della somma tra parentesi indica chiaramente che questo è Pertanto, Ora applichiamo la formula della differenza dei quadrati: L'espressione nella seconda parentesi non ha radici reali, e per il polinomio dalla prima parentesi applichiamo ancora una volta la formula della differenza dei quadrati

Formule vieta che esprimono i coefficienti di un polinomio attraverso le sue radici. Queste formule sono convenienti da utilizzare per verificare la correttezza della ricerca delle radici di un polinomio, nonché per comporre un polinomio in base alle sue radici date. Formulazione Se sono le radici di un polinomio, allora i coefficienti sono espressi sotto forma di polinomi simmetrici delle radici, vale a dire

In altre parole, ak è uguale alla somma di tutti i possibili prodotti di k radici. Se il coefficiente principale è un polinomio, per applicare la formula Vieta è necessario prima dividere tutti i coefficienti per 0. In questo caso, le formule Vieta danno un'espressione per il rapporto tra tutti i coefficienti e quello principale. Dall'ultima formula di Vieta segue che se le radici di un polinomio sono intere, allora sono divisori del suo termine libero, anch'esso intero. La dimostrazione si effettua considerando l'uguaglianza ottenuta espandendo il polinomio per radici, tenendo conto che a 0 = 1 Uguagliando i coefficienti alle stesse potenze di x, si ottengono le formule di Vieta.

Risolvi l'equazione x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Soluzione. Indichiamo y = x 3, quindi l'equazione originale assume la forma y 2 – 5 y + 4 = 0, risolvendo la quale otteniamo Y 1 = 1; Y 2 = 4. Pertanto, l'equazione originale equivale a un insieme di equazioni: x 3 = 1 oppure x 3 = 4, ovvero X 1 = 1 oppure X 2 = Risposta: 1;

Teorema di Bezout Definizione 1. Un elemento è chiamato radice di un polinomio se f(c)=0. Il teorema di Bezout. Il resto della divisione del polinomio Pn(x) per il binomio (x-a) è uguale al valore di questo polinomio in x = a. Prova. In virtù dell'algoritmo di divisione, f(x)=(xc)q(x)+r(x), dove o r(x)=0, oppure, e quindi. Quindi f(x)=(x-c)q(x)+r, quindi f(c)=(c-c)q(c)+r=r, e quindi f(x)=(xc)q(x) +f (C).

Corollario 1: Il resto della divisione del polinomio Pn (x) per il binomio ax+b è uguale al valore di questo polinomio in x = -b/a, cioè R=Pn (-b/a). Corollario 2: Se il numero a è la radice del polinomio P (x), allora questo polinomio è divisibile per (x-a) senza resto. Corollario 3: Se il polinomio P(x) ha radici distinte a 1 , a 2 , ... , an, allora viene diviso per il prodotto (x-a 1) ... (x-an) senza resto. Corollario 4: Un polinomio di grado n ha al massimo n radici diverse. Corollario 5: Per ogni polinomio P(x) e numero a, la differenza (P(x)-P(a)) è divisibile per il binomio (x-a) senza resto. Corollario 6: Un numero a è radice di un polinomio P(x) di grado almeno primo se e solo se P(x) è divisibile per (x-a) senza resto.

Scomposizione di una frazione razionale in frazioni semplici Mostriamo che qualsiasi frazione razionale propria può essere scomposta in una somma di frazioni semplici. Sia data una frazione razionale propria (1).

Teorema 1. Sia x=a la radice del denominatore di brevità k, cioè dove f(a)≠ 0, allora questa frazione propria può essere rappresentata come la somma di altre due frazioni proprie come segue: (2) , dove A è una costante diversa da zero e F 1(x) è un polinomio il cui grado è inferiore al grado del denominatore