Bisettrice perpendicolare in un triangolo rettangolo. Un cerchio circoscritto ad un triangolo Un triangolo inscritto in un cerchio

Dimostrazioni di teoremi sulle proprietà della circonferenza circoscritta di un triangolo

Bisettrice perpendicolare a un segmento di linea

Definizione 1. Bisettrice perpendicolare ad un segmento chiamata linea retta perpendicolare a questo segmento e passante per il suo centro (Fig. 1).

Teorema 1. Si trova ogni punto della bisettrice perpendicolare di un segmento alla stessa distanza dalle estremità questo segmento.

Prova . Consideriamo un punto arbitrario D giacente sulla bisettrice perpendicolare al segmento AB (Fig. 2) e dimostriamo che i triangoli ADC e BDC sono uguali.

In effetti, questi triangoli sono triangoli rettangoli in cui i cateti AC e BC sono uguali, e il cateto DC è comune. L'uguaglianza dei triangoli ADC e BDC implica l'uguaglianza dei segmenti AD e DB. Il Teorema 1 è dimostrato.

Teorema 2 (inverso al Teorema 1). Se un punto si trova alla stessa distanza dagli estremi di un segmento, allora si trova sulla bisettrice perpendicolare di questo segmento.

Prova . Dimostriamo il Teorema 2 per assurdo. A questo scopo, supponiamo che un punto E sia alla stessa distanza dalle estremità del segmento, ma non giaccia sulla bisettrice perpendicolare a questo segmento. Portiamo questa ipotesi ad una contraddizione. Consideriamo innanzitutto il caso in cui i punti E e A si trovano su lati opposti della bisettrice perpendicolare (Fig. 3). In questo caso, il segmento EA interseca in un punto la bisettrice perpendicolare, che indicheremo con la lettera D.

Dimostriamo che il segmento AE è più lungo del segmento EB. Veramente,

Pertanto, nel caso in cui i punti E e A si trovano su lati opposti della bisettrice perpendicolare, abbiamo una contraddizione.

Consideriamo ora il caso in cui i punti E e A si trovano sullo stesso lato della bisettrice perpendicolare (Fig. 4). Dimostriamo che il segmento EB è più lungo del segmento AE. Veramente,

La contraddizione risultante completa la dimostrazione del Teorema 2

Cerchio circoscritto ad un triangolo

Definizione 2. Un cerchio circoscritto ad un triangolo, è chiamato cerchio passante per tutti e tre i vertici del triangolo (Fig. 5). In questo caso si chiama triangolo triangolo inscritto in una circonferenza O triangolo inscritto.

Proprietà della circonferenza circoscritta di un triangolo. Teorema dei seni

Figura	Disegno	Proprietà
Bisettrici perpendicolari ai lati del triangolo		si intersecano in un punto .

Centro cerchio circoscritto ad un triangolo acuto		Centro descritto circa ad angolo acuto dentro triangolo.
Centro circonferenza circoscritta ad un triangolo rettangolo		Il centro descritto circa rettangolare mezzo dell'ipotenusa .
Centro cerchio circoscritto ad un triangolo ottuso		Centro descritto circa ad angolo ottuso bugie del cerchio del triangolo al di fuori triangolo.
		,
Piazza triangolo		S= 2R 2 peccato UN peccato B peccato C ,
Circumraggio		Per ogni triangolo vale l'uguaglianza:

Bisettrici perpendicolari ai lati di un triangolo

Tutte le bisettrici perpendicolari , disegnato ai lati di un triangolo arbitrario, si intersecano in un punto .

Cerchio circoscritto ad un triangolo

Qualsiasi triangolo può essere circondato da un cerchio . Il centro di una circonferenza circoscritta ad un triangolo è il punto in cui si intersecano tutte le bisettrici perpendicolari tracciate sui lati del triangolo.

Centro della circonferenza circoscritta di un triangolo acuto

Centro descritto circa ad angolo acuto bugie del cerchio del triangolo dentro triangolo.

Centro della circonferenza circoscritta di un triangolo rettangolo

Il centro descritto circa rettangolare il cerchio del triangolo è mezzo dell'ipotenusa .

Centro della circonferenza circoscritta di un triangolo ottuso

Centro descritto circa ad angolo ottuso bugie del cerchio del triangolo al di fuori triangolo.

Per ogni triangolo sono vere le seguenti uguaglianze (teorema del seno):

dove a, b, c sono i lati del triangolo, A, B, C sono gli angoli del triangolo, R è il raggio del cerchio circoscritto.

Area di un triangolo

Per ogni triangolo vale l'uguaglianza:

S= 2R 2 peccato UN peccato B peccato C ,

dove A, B, C sono gli angoli del triangolo, S è l'area del triangolo, R è il raggio del cerchio circoscritto.

Circumraggio

Per ogni triangolo vale l'uguaglianza:

dove a, b, c sono i lati del triangolo, S è l'area del triangolo, R è il raggio del cerchio circoscritto.

Dimostrazioni di teoremi sulle proprietà della circonferenza circoscritta di un triangolo

Teorema 3. Tutte le bisettrici perpendicolari disegnate sui lati di un triangolo arbitrario si intersecano in un punto.

Prova . Consideriamo due bisettrici perpendicolari disegnate sui lati AC e AB del triangolo ABC, e indichiamo il loro punto di intersezione con la lettera O (Fig. 6).

Poiché il punto O giace sulla perpendicolare al segmento AC, allora in virtù del Teorema 1 l'uguaglianza è vera.

Bisettrice perpendicolare (perpendicolare mediana O mediatrice) - una linea retta perpendicolare a un dato segmento e passante per il suo centro.

Proprietà

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

dove il pedice indica il lato verso cui è tracciata la perpendicolare,

S

è l'area del triangolo e si presuppone anche che i lati siano legati da disuguaglianze

a\geqslant b\geqslant c.

p_a\geq p_b

p_c\geq p_b.

In altre parole, la più piccola bisettrice perpendicolare di un triangolo appartiene al segmento medio.

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Appunti

Estratto che caratterizza la bisettrice perpendicolare

Kutuzov, fermandosi a masticare, guardò sorpreso Wolzogen, come se non capisse cosa gli veniva detto. Wolzogen, notando l'eccitazione di des alten Herrn, [il vecchio signore (tedesco)] disse con un sorriso:
– Non mi ritenevo autorizzato a nascondere a Vostra Signoria ciò che ho visto... Le truppe sono nel più completo disordine...
- Hai visto? Hai visto?... – gridò Kutuzov accigliandosi, alzandosi velocemente e avanzando verso Wolzogen. “Come fai... come ti permetti!..”, urlò, facendo gesti minacciosi con mani tremanti e soffocando. - Come osa, caro signore, dirmi questo? Non sai niente. Di' al generale Barclay da parte mia che le sue informazioni non sono corrette e che il vero svolgimento della battaglia è noto a me, comandante in capo, meglio che a lui.
Wolzogen avrebbe voluto obiettare, ma Kutuzov lo interruppe.
- Il nemico viene respinto a sinistra e sconfitto sul fianco destro. Se non hai visto bene, caro signore, non permetterti di dire ciò che non sai. Per favore, andate dal generale Barclay e comunicategli il giorno dopo la mia assoluta intenzione di attaccare il nemico", disse severamente Kutuzov. Tutti tacevano e si sentiva solo il respiro affannoso del vecchio generale. “Sono stati respinti ovunque, per questo ringrazio Dio e il nostro coraggioso esercito”. Il nemico è sconfitto e domani lo cacceremo dalla sacra terra russa», disse Kutuzov facendo il segno della croce; e all'improvviso singhiozzò per le lacrime che arrivarono. Wolzogen, alzando le spalle e increspando le labbra, si allontanò silenziosamente di lato, chiedendosi uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [a questa tirannia del vecchio gentiluomo. (Tedesco) ]
"Sì, eccolo qui, il mio eroe", disse Kutuzov al generale paffuto, bello e dai capelli neri, che stava entrando nel tumulo in quel momento. È stato Raevskij, che ha trascorso l'intera giornata nel punto principale del campo di Borodino.
Raevskij riferì che le truppe erano saldamente al loro posto e che i francesi non osavano più attaccare. Dopo averlo ascoltato, Kutuzov disse in francese:
– Non pensi quindi di non leggere come siamo obbligati a andare in pensione? [Non pensi dunque, come gli altri, che dovremmo ritirarci?]

Per dare un'idea di una nuova classe di problemi: costruire figure geometriche utilizzando compasso e righello senza divisioni di scala.

Introdurre il concetto di GMT.

Definisci la bisettrice perpendicolare, insegna a costruirla e dimostra il teorema sulla bisettrice perpendicolare e la sua inversa.

Utilizzando il sistema di disegno del computer "Compass-3D", esegui costruzioni geometriche, che si consiglia di eseguire in un corso di geometria utilizzando una bussola e un righello.

Dispense (Appendice n. 1)

I problemi che coinvolgono la costruzione con compasso e un righello senza divisioni vengono spesso risolti secondo un determinato schema:

IO. Analisi: Disegnare schematicamente la figura desiderata e stabilire collegamenti tra i dati dell'attività e gli elementi richiesti.

II. Costruzione: Secondo il piano previsto, la costruzione viene eseguita con compasso e righello.

III. Prova: Dimostrare che la figura costruita soddisfa le condizioni del problema.

IV. Studio: Condurre uno studio per vedere se il problema ha una soluzione per ogni dato dato e, in caso affermativo, quante soluzioni ci sono (non condotto in tutti i problemi).

Ecco alcuni esempi di compiti di costruzione elementari che prenderemo in considerazione:

1. Metti da parte un segmento uguale a quello dato (studiato in precedenza).

2. Costruzione della bisettrice perpendicolare ad un segmento:

costruire il centro di un dato segmento;
costruire una retta passante per un dato punto e perpendicolare ad una data retta (il punto può giacere o meno su una data retta).

3. Costruzione della bisettrice dell'angolo.

4. Costruire un angolo uguale a quello dato.

La bisettrice perpendicolare di un segmento di linea.

Definizione: una bisettrice perpendicolare a un segmento è una linea che passa per il centro del segmento ed è perpendicolare ad esso.

Compito: "Costruisci la bisettrice perpendicolare al segmento." Presentazione

O - medio AB

Descrizione della costruzione ( diapositiva numero 4):

Fascio a; A – inizio della trave

Circonferenza (A; r =m)

Cerchio a = B; AB = m

Cerchio 1 (A; r 1 > m/2)

Cerchio 2 (B; dr 1)

Cerchio 1 Cerchio 2 =

MN; MN AB = 0, (MN = L)

dove MN AB, O – la metà di AB

III. Prova(diapositiva n. 5, 6)

1. Considera AMN e BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2, quindi AM = BN, AN = BM MN – lato comune

(Figura 3)

Pertanto, AMN = BNM (su 3 lati),

Quindi

1= 2 (per definizione di uguale)

3= 4 (per definizione di uguale)

2. MAN e NBM sono isosceli (per definizione) ->

1 = 4 e 3 = 2 (per proprietà isoscele)

3. Dai punti 1 e 2 -> 1 = 3 quindi MO è la bisettrice dell'isoscele AMB

4. Abbiamo così dimostrato che MN è la bisettrice perpendicolare al segmento AB

IV. Studio

Questo problema ha una soluzione unica, perché ogni segmento ha un solo punto medio, e per un punto dato si può condurre un'unica retta perpendicolare a quella data.

Definizione: un insieme geometrico di punti (GMT) è un insieme di punti che hanno una determinata proprietà. (Appendice n. 2)

GMT che conosci:

L'asse perpendicolare di un segmento è l'insieme dei punti equidistanti dagli estremi del segmento.
Bisettrice di un angolo: insieme di punti equidistanti dai lati dell'angolo

Allora dimostriamo il teorema:

Teorema: "Ogni punto della bisettrice perpendicolare di un segmento è equidistante dagli estremi di questo segmento."

(Figura 4)

Dato: AB; MO – bisettrice perpendicolare

Dimostrare: AM = VM

Prova:

1. MO – bisettrice perpendicolare (per condizione) -> O – punto medio del segmento AB, MOAB

2. Considera AMO e VMO - rettangolari

MO – gamba generale

AO = VO (O – il centro di AB) -> AMO = VMO (su 2 gambe) -> AM = VM (per definizione di triangoli uguali, come lati corrispondenti)

Q.E.D

Compiti a casa: “Dimostrare il teorema inverso di questo”

Teorema: "Ogni punto equidistante dagli estremi di un segmento giace sulla bisettrice perpendicolare a questo segmento."

(Figura 5)

Dato: AB; MA=VM

Dimostrare: Il punto M giace sulla bisettrice perpendicolare

Prova:

Quello. MO è la bisettrice perpendicolare contenente tutti i punti equidistanti dagli estremi del segmento.

Proprietà delle bisettrici perpendicolari ai lati di un triangolo

Si intersecano in un punto e questo punto è il centro del cerchio circoscritto al triangolo, che studieremo in terza media.

Officina

Materiale e dotazioni tecniche:

Distribuzione: 29.574 KB

Sistema operativo: Windows 9x/2000/XP

Sito web: http://www.ascon.ru

Trasferiamo ora la costruzione nell’ambiente grafico del computer (diapositiva n. 7)

Le conoscenze e le competenze precedentemente acquisite devono essere applicate a un compito specifico. Vedrai che la costruzione non ti richiederà più tempo della costruzione su un quaderno. Tra l'altro è interessante vedere come l'ambiente informatico esegue i comandi umani per costruire figure piane. Ecco l'Appendice n. 3, che descrive in dettaglio le fasi di costruzione. Caricare il programma e aprire un nuovo disegno ( diapositiva numero 8, 9).

Disegna gli oggetti geometrici specificati nella formulazione del problema: raggio UN a partire da un punto UN e il segmento è uguale M– lunghezza arbitraria ( diapositiva numero 10).

Immettere la designazione del raggio, del segmento, dell'inizio del raggio nel disegno utilizzando la scheda "Utensili" testo.

Costruisci una circonferenza di raggio uguale al segmento M centrato nel vertice in un dato punto UN (diapositiva numero 11).

M con centro nel vertice dato il punto A ( diapositiva n. 12, 13).

Costruisci un cerchio con raggio pari ad un segmento maggiore di 1/2 M Per fare ciò, seleziona la voce “ nel menu contestuale RMB Tra 2 punti" (diapositiva n. 14, 15, 16).

Attraverso i punti di intersezione dei cerchi M e N traccia una linea retta ( diapositiva n. 17,18).

Libri usati:

Ugrinovich N.D. “Informatica. Corso Base” 7° elementare. - M.: BINOM – 2008 – 175 pag.
Ugrinovich N.D. “Workshop sull’informatica e la tecnologia dell’informazione”. Esercitazione. – M.: BINOM, 2004-2006. -
Ugrinovich N.D. “Insegnamento del corso “Informatica e ICT” nelle scuole primarie e superiori 8-11 M .: Laboratorio della conoscenza BINOM, 2008. - 180 p.
Ugrinovich N.D. Laboratorio informatico su CD-ROM. – M.: BINOM, 2004-2006.
Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. “Compass - 3D v 5.11-8.0 Workshop per principianti” - M.: SOLON - STAMPA, 2006 - 272 p.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al. “Geometria 7-9. Libro di testo per le scuole secondarie” – M: Educazione 2006 – 384 p.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al. “Studio della geometria 7-9 gradi. Raccomandazioni metodologiche per il libro di testo” - M: Education 1997 - 255 p.
Afanasyeva T.L., Tapilina L.A. "Programmi di lezione basati sul libro di testo di terza media di Atanasyan L.S." - Volgograd “Insegnante” 2010, 166 p.

Appendice n. 1

Piano per risolvere problemi di costruzione con compasso e righello.

Analisi.
Costruzione.
Prova.
Studio.

Spiegazione

Quando si esegue un'analisi, viene disegnata schematicamente la figura desiderata e viene stabilita una connessione tra i dati dell'attività e gli elementi richiesti.
Secondo il piano previsto, la costruzione viene eseguita utilizzando bussole e righello.
Dimostrano che la figura costruita soddisfa le condizioni del problema.
Conducono uno studio: il problema ha una soluzione per ogni dato dato e, se sì, quante soluzioni?

Esempi di problemi costruttivi elementari

Metti da parte un segmento uguale a quello dato.
Costruisci la bisettrice perpendicolare al segmento.
Costruisci il punto medio del segmento.
Costruisci una linea passante per un punto dato, perpendicolare ad una linea data (il punto può giacere o meno su una linea data).
Costruisci la bisettrice dell'angolo.
Costruisci un angolo uguale a quello dato.

Appendice n. 2

Il luogo geometrico dei punti (GLP) è un insieme di punti che hanno una certa proprietà.

Esempi di GMT:

L'asse perpendicolare di un segmento è l'insieme dei punti equidistanti dagli estremi del segmento.
Un cerchio è un insieme di punti equidistanti da un dato punto: il centro del cerchio.
La bisettrice di un angolo è l'insieme dei punti equidistanti dai lati dell'angolo.

Ogni punto della bisettrice perpendicolare di un segmento è equidistante dagli estremi di quel segmento.

Nella lezione precedente abbiamo visto le proprietà della bisettrice di un angolo, sia racchiuso in un triangolo che libero. Un triangolo comprende tre angoli e per ciascuno di essi vengono conservate le proprietà considerate della bisettrice.

Teorema:

Le bisettrici AA 1, BB 1, СС 1 del triangolo si intersecano in un punto O (Fig. 1).

Riso. 1. Illustrazione del teorema

Prova:

Consideriamo innanzitutto due bisettrici BB 1 e CC 1. Si intersecano, esiste il punto di intersezione O. Per dimostrarlo, supponiamo il contrario: lasciamo che le bisettrici date non si intersechino, nel qual caso saranno parallele. Allora la retta BC è secante e la somma degli angoli lo è , ciò contraddice il fatto che nell'intero triangolo la somma degli angoli è .

Quindi esiste il punto O dell'intersezione di due bisettrici. Consideriamo le sue proprietà:

Il punto O giace sulla bisettrice dell'angolo, cioè è equidistante dai lati BA e BC. Se OK è perpendicolare a BC, OL è perpendicolare a BA, allora le lunghezze di queste perpendicolari sono uguali - . Inoltre, il punto O giace sulla bisettrice dell'angolo ed è equidistante dai suoi lati CB e CA, le perpendicolari OM e OK sono uguali.

Abbiamo ottenuto le seguenti uguaglianze:

, cioè tutte e tre le perpendicolari cadute dal punto O ai lati del triangolo sono uguali tra loro.

A noi interessa l'uguaglianza delle perpendicolari OL e OM. Questa uguaglianza dice che il punto O è equidistante dai lati dell'angolo, ne consegue che giace sulla sua bisettrice AA 1.

Pertanto, abbiamo dimostrato che tutte e tre le bisettrici di un triangolo si intersecano in un punto.

Inoltre, un triangolo è composto da tre segmenti, il che significa che dovremmo considerare le proprietà di un singolo segmento.

È dato il segmento AB. Qualsiasi segmento ha un punto medio e attraverso di esso è possibile tracciare una perpendicolare: denotiamolo come p. Quindi, p è la bisettrice perpendicolare.

Riso. 2. Illustrazione del teorema

Ogni punto che giace sulla bisettrice perpendicolare è equidistante dagli estremi del segmento.

Dimostralo (Fig. 2).

Prova:

Considera i triangoli e . Sono rettangolari e uguali, perché hanno un cateto comune OM, e i cateti AO e OB sono uguali per condizione, quindi abbiamo due triangoli rettangoli, uguali in due cateti. Ne consegue che anche le ipotenuse dei triangoli sono uguali, cioè quanto bisognava dimostrare.

È vero il teorema inverso.

Ogni punto equidistante dagli estremi di un segmento giace sulla bisettrice perpendicolare a questo segmento.

Dato un segmento AB, la sua bisettrice perpendicolare p e un punto M equidistante dagli estremi del segmento. Dimostrare che il punto M giace sulla bisettrice perpendicolare del segmento (Fig. 3).

Riso. 3. Illustrazione del teorema

Prova:

Considera un triangolo. È isoscele, come da condizione. Consideriamo la mediana di un triangolo: il punto O è il centro della base AB, OM è la mediana. Secondo la proprietà di un triangolo isoscele, la mediana portata alla sua base è sia un'altitudine che una bisettrice. Ne consegue che . Ma anche la retta p è perpendicolare ad AB. Sappiamo che nel punto O è possibile tracciare un'unica perpendicolare al segmento AB, il che significa che le rette OM e p coincidono, ne consegue che il punto M appartiene alla retta p, che è ciò che dovevamo dimostrare.

I teoremi diretto e inverso possono essere generalizzati.

Un punto giace sulla bisettrice perpendicolare di un segmento se e solo se è equidistante dagli estremi di questo segmento.

Ripetiamo quindi che in un triangolo ci sono tre segmenti e per ciascuno di essi vale la proprietà dell'asse perpendicolare.

Teorema:

Le bisettrici perpendicolari di un triangolo si intersecano in un punto.

È dato un triangolo. Perpendicolari ai suoi lati: P 1 al lato BC, P 2 al lato AC, P 3 al lato AB.

Dimostra che le perpendicolari P 1, P 2 e P 3 si intersecano nel punto O (Fig. 4).

Riso. 4. Illustrazione del teorema

Prova:

Consideriamo due bisettrici perpendicolari P 2 e P 3, si intersecano, esiste il punto di intersezione O. Dimostriamo questo fatto per assurdo: lasciamo che le perpendicolari P 2 e P 3 siano parallele. Quindi l'angolo viene invertito, il che contraddice il fatto che la somma dei tre angoli di un triangolo è . Quindi, esiste un punto O dell'intersezione di due delle tre bisettrici perpendicolari. Proprietà del punto O: giace sulla perpendicolare al lato AB, cioè è equidistante dagli estremi del segmento AB: . Si trova anche sulla bisettrice perpendicolare al lato AC, il che significa . Abbiamo ottenuto le seguenti uguaglianze.