Definizione di palla. Matematica

Una palla è un corpo costituito da tutti i punti nello spazio che si trovano a una distanza non maggiore di quella data da un dato punto. Questo punto è chiamato centro della palla e questa distanza è chiamata raggio della palla. Il confine di una palla è chiamato superficie sferica o sfera. I punti della sfera sono tutti i punti della palla che si allontanano dal centro ad una distanza pari al raggio. Qualsiasi segmento che collega il centro di una palla a un punto sulla superficie sferica è anche chiamato raggio. Il segmento che passa per il centro della palla e collega due punti sulla superficie sferica si chiama diametro. Le estremità di qualsiasi diametro sono chiamate punti diametralmente opposti della palla.

Una palla è un corpo di rivoluzione, proprio come un cono e un cilindro. Una palla si ottiene ruotando come asse un semicerchio attorno al suo diametro.

La superficie della palla può essere trovata utilizzando le formule:

dove r è il raggio della palla, d è il diametro della palla.

Il volume della palla si trova con la formula:

V = 4/3πr3,

dove r è il raggio della palla.

Teorema. Ogni sezione di una palla formata da un piano è un cerchio. Il centro di questo cerchio è la base della perpendicolare tracciata dal centro della palla sul piano di taglio.

In base a questo teorema, se una palla di centro O e raggio R viene intersecata dal piano α, la sezione trasversale risulta in un cerchio di raggio r con centro K. Il raggio della sezione della palla rispetto al piano può essere trovato dalla formula

Dalla formula è chiaro che i piani equidistanti dal centro intersecano la palla in cerchi uguali. Il raggio della sezione è tanto maggiore quanto più il piano di taglio è vicino al centro della sfera, ovvero quanto minore è la distanza OK. Il raggio maggiore è sezione di un piano passante per il centro della palla. Il raggio di questo cerchio è uguale al raggio della palla.

Il piano che passa per il centro della palla è chiamato piano centrale. La sezione di una palla lungo il piano diametrale è chiamata cerchio massimo, la sezione di una sfera è chiamata cerchio massimo e la sezione di una sfera è chiamata cerchio massimo.

Teorema. Qualsiasi piano diametrale di una palla è il suo piano di simmetria. Il centro della palla è il suo centro di simmetria.

Il piano che passa per il punto A della superficie sferica ed è perpendicolare al raggio disegnato nel punto A è chiamato piano tangente. Il punto A è detto punto tangente.

Teorema. Il piano tangente ha un solo punto in comune con la palla: il punto di contatto.

La retta che passa per il punto A della superficie sferica perpendicolarmente al raggio disegnato fino a questo punto si chiama tangente.

Teorema. Per ogni punto della superficie sferica passa un numero infinito di tangenti e tutte giacciono nel piano tangente della palla.

Un segmento sferico è la parte di una palla tagliata da essa da un piano. Il cerchio ABC è la base del segmento sferico. Il segmento perpendicolare MN tracciato dal centro N del cerchio ABC all'intersezione con la superficie sferica è l'altezza del segmento sferico. Il punto M è il vertice del segmento sferico.

La superficie di un segmento sferico può essere calcolata utilizzando la formula:

Il volume di un segmento sferico può essere trovato utilizzando la formula:

V = πh2 (R – 1/3h),

dove R è il raggio del cerchio massimo, h è l'altezza del segmento sferico.

Un settore sferico si ottiene da un segmento sferico e un cono come segue. Se un segmento sferico è più piccolo di un emisfero, allora il segmento sferico è completato da un cono, il cui vertice è al centro della palla, e la base è la base del segmento. Se il segmento è più grande dell'emisfero, il cono specificato viene rimosso da esso.

Un settore sferico è una parte di una palla delimitata da una superficie curva di un segmento sferico (nella nostra figura, questo è AMCB) e una superficie conica (nella nostra figura, questo è OABC), la cui base è la base del segmento (ABC) e il vertice è il centro della palla O.

Il volume del settore sferico si trova dalla formula:

V = 2/3 πR 2 H.

Uno strato sferico è una parte di una palla racchiusa tra due piani paralleli (piani ABC e DEF nella figura) che intersecano la superficie sferica. La superficie curva dello strato sferico è chiamata cintura (zona) sferica. I cerchi ABC e DEF sono le basi della cintura sferica. La distanza NK tra le basi della cintura sferica è la sua altezza.

sito web, quando si copia materiale in tutto o in parte, è richiesto un collegamento alla fonte originale.

Una palla e una sfera sono, prima di tutto, figure geometriche, e se la palla è un corpo geometrico, allora la sfera è la superficie della palla. Queste cifre erano interessanti molte migliaia di anni fa aC.

Successivamente, quando si scoprì che la Terra è una palla e il cielo è una sfera celeste, fu sviluppata una nuova affascinante direzione nella geometria: la geometria su una sfera o geometria sferica. Per parlare della dimensione e del volume di una palla, devi prima definirla.

Palla

Una palla di raggio R con centro nel punto O in geometria è un corpo creato da tutti i punti dello spazio che hanno una proprietà comune. Questi punti si trovano ad una distanza non superiore al raggio della palla, cioè riempiono l'intero spazio inferiore al raggio della palla in tutte le direzioni dal suo centro. Se consideriamo solo i punti equidistanti dal centro della palla, considereremo la sua superficie o il guscio della palla.

Come posso prendere la palla? Possiamo ritagliare un cerchio dalla carta e iniziare a ruotarlo attorno al proprio diametro. Cioè, il diametro del cerchio sarà l'asse di rotazione. La figura formata sarà una palla. Pertanto, la palla è anche chiamata corpo di rotazione. Perché può essere formato ruotando una figura piatta: un cerchio.

Prendiamo un aereo e con esso tagliamo la nostra palla. Proprio come tagliamo un'arancia con un coltello. Il pezzo che tagliamo dalla palla si chiama segmento sferico.

Nell'antica Grecia, sapevano non solo come lavorare con una palla e una sfera come figure geometriche, ad esempio, usarle nella costruzione, ma sapevano anche come calcolare la superficie e il volume della palla.

Una sfera è un altro nome per la superficie di una palla. Una sfera non è un corpo: è la superficie di un corpo di rivoluzione. Tuttavia, poiché sia ​​la Terra che molti corpi hanno forma sferica, ad esempio una goccia d'acqua, lo studio delle relazioni geometriche all'interno della sfera si è diffuso.

Ad esempio, se colleghiamo tra loro due punti di una sfera tramite una linea retta, allora questa linea retta si chiama corda, e se questa corda passa per il centro della sfera, che coincide con il centro della palla, allora la corda è chiamata diametro della sfera.

Se tracciamo una linea retta che tocca la sfera in un solo punto, questa linea verrà chiamata tangente. Inoltre, questa tangente alla sfera in questo punto sarà perpendicolare al raggio della sfera tracciata fino al punto di contatto.

Se estendiamo la corda ad una linea retta in una direzione o nell'altra dalla sfera, questa corda sarà chiamata secante. Oppure possiamo dirlo diversamente: la secante della sfera contiene la sua corda.

Volume della palla

La formula per calcolare il volume di una palla è:

dove R è il raggio della palla.

Se devi trovare il volume di un segmento sferico, usa la formula:

V seg =πh 2 (R-h/3), h è l'altezza del segmento sferico.

Area della superficie di una palla o di una sfera

Per calcolare l'area di una sfera o la superficie di una palla (sono la stessa cosa):

dove R è il raggio della sfera.

Archimede amava molto la palla e la sfera, chiese persino di lasciare un disegno sulla sua tomba in cui una palla era inscritta in un cilindro. Archimede credeva che il volume di una palla e la sua superficie fossero pari a due terzi del volume e della superficie del cilindro in cui è inscritta la palla.

Palla (sfera)

Superficie sferica. Palla (sfera). Sezioni della sfera: cerchi.

Teorema di Archimede. Parti della palla: segmento sferico,

strato sferico, cintura sferica, settore sferico.

Superficie sferica - Questo luogo dei punti(quelli. moltinumero di tutti i punti)nello spazio, equidistante da un punto O , che è chiamato centro della superficie sferica (Fig.90). Raggio AOi diametro AB sono determinati allo stesso modo di un cerchio.

Palla (sfera) - Questo un corpo delimitato da una superficie sferica. Potere prendi la palla ruotando il semicerchio ( o cerchio ) attorno al diametro. Tutte le sezioni piane della palla lo sono cerchi ( Fig.90 ). Il cerchio più grande si trova in una sezione che passa per il centro della palla e viene chiamato grande cerchio. Il suo raggio è uguale al raggio della palla. Due cerchi grandi qualsiasi si intersecano lungo il diametro della palla ( AB, Fig.91 ).Questo diametro è anche il diametro dei cerchi massimi che si intersecano. Attraverso due punti di una superficie sferica posti alle estremità dello stesso diametro(A e B, Fig.91 ), puoi disegnare innumerevoli cerchi grandi. Ad esempio, attraverso i poli della Terra si possono tracciare infiniti meridiani.

Il volume della sfera è una volta e mezza inferiore al volume del cilindro ad essa circoscritto. (Fig.92 ), UN la superficie della pallina è una volta e mezza inferiore alla superficie totale dello stesso cilindro ( Teorema di Archimede):

Qui S palla E V palla - rispettivamente la superficie e il volume della pallina;

S cil E V cil - la superficie totale e il volume del cilindro circoscritto.

Parti della palla. Parte di una palla (sfera) ), tagliato fuori da esso da un aereo ( ABC, Fig.93), chiamato palla(sferico ) segmento. Cerchio ABC chiamato base segmento sferico. Segmento MN perpendicolare tracciata dal centro N cerchio ABC finché non interseca una superficie sferica, viene chiamato altezza segmento sferico. Punto M chiamato superiore segmento sferico.

Parte di una sfera racchiusa tra due piani paralleli ABC e DEF intersecano una superficie sferica (Fig. 93), chiamato strato sferico; viene chiamata la superficie curva di uno strato sferico cintura a sfera(zona). Cerchi ABC e DEF – motivi cintura a sfera. Distanza N.K. tra le basi della cintura sferica - il suo altezza. La parte della palla delimitata dalla superficie curva di un segmento sferico ( AMCB, Fig.93) e superficie conica OABC , la cui base è la base del segmento ( ABC ), e il vertice è il centro della palla O , chiamato settore sferico.

Quando alle persone viene chiesto la differenza tra una sfera e una palla, molti semplicemente alzano le spalle, pensando che in realtà siano la stessa cosa (l'analogia con un cerchio e un cerchio). In effetti, conosciamo tutti bene la geometria dal curriculum scolastico e possiamo rispondere immediatamente a questa domanda? La sfera presenta alcune differenze rispetto alla palla, che non solo gli scolari devono conoscere per ottenere un buon voto per le conoscenze dimostrate, ma anche molte altre persone, ad esempio, il cui lavoro è direttamente correlato ai disegni.

Definizione

Palla– l’insieme di tutti i punti dello spazio. Tutti questi punti si trovano dal centro del corpo geometrico ad una distanza non superiore a quella data. Questa distanza stessa è chiamata raggio. Una palla, come corpo geometrico, è formata come segue: un semicerchio ruota vicino al suo diametro. Per quanto riguarda la sfera, questa è la superficie della palla (ad esempio, una palla chiusa la include, una aperta no). Il calcolo dell'area o del volume di una palla coinvolge intere formule geometriche molto complesse, nonostante l'apparente semplicità della figura geometrica stessa.

Sfera, come notato sopra, è la superficie della palla, il suo guscio. Tutti i punti dello spazio sono equidistanti dal centro della sfera. Per quanto riguarda il raggio di un corpo geometrico, si chiama qualsiasi segmento, un punto del quale è direttamente il centro della sfera e l'altro può trovarsi in qualsiasi punto della superficie. Possiamo dire che una sfera è il guscio di una palla senza alcun contenuto (esempi più specifici verranno forniti di seguito). Proprio come una palla, una sfera è un corpo di rivoluzione. A proposito, molti si chiedono anche qual è la differenza tra un cerchio e un cerchio da una sfera e una palla. Qui tutto è semplice: nel primo caso si tratta di figure su un piano, nel secondo - nello spazio.

Confronto

È già stato detto che la sfera è la superficie della palla, il che rende già possibile parlare di un segno significativo di differenza. La differenza tra i due corpi geometrici si osserva in alcuni altri aspetti:

• Tutti i punti della palla sono alla stessa distanza dal centro, mentre il corpo è limitato dalla superficie (una sfera vuota all'interno). In altre parole, la sfera è cava. Di solito, per facilità di comprensione, viene fornito un semplice esempio con un palloncino e una palla da biliardo. Entrambi questi oggetti sono chiamati palline, ma nel primo caso abbiamo a che fare con una sfera e nel secondo con una palla a tutti gli effetti con il proprio contenuto all'interno.
• Una sfera ha una propria area, ma non ha volume. Una sfera è l'opposto: il suo volume può essere calcolato, mentre non ha area. Qualcuno potrebbe dire che questo è il principale segno di differenza, ma appare solo se è necessario fare dei calcoli (formule geometriche complesse). Pertanto, la differenza principale è che la sfera è cava e la palla è un corpo con contenuto all'interno.
• Un'altra differenza sta nel raggio. Ad esempio, il raggio di una sfera non è solo la distanza dei punti dal centro. Un raggio può essere qualsiasi segmento che collega un punto su una sfera al suo centro. Tutti questi segmenti sono uguali tra loro. Come nel caso della palla, i punti che si trovano al suo interno si allontanano dal centro di meno di un raggio (proprio a causa della sfera che la delimita).

Sito delle conclusioni

1. Una sfera è cava, mentre una palla è un corpo riempito all'interno. Ad esempio, una mongolfiera è una sfera, una palla da biliardo è una palla a tutti gli effetti.
2. Una sfera ha area e nessun volume, ma una sfera fa il contrario.
3. La terza differenza è la misura del raggio di due corpi geometrici.

Definizione.

Una sfera può essere descritta come una figura tridimensionale che si forma ruotando un cerchio attorno al proprio diametro di 180° o un semicerchio attorno al proprio diametro di 360°.

Definizione.

Una palla può essere descritta come una figura tridimensionale che si forma ruotando un cerchio attorno al suo diametro di 180° o un semicerchio attorno al suo diametro di 360°.

Definizione. Raggio della sfera (palla)(R) è la distanza dal centro della sfera (palla) O in qualsiasi punto della sfera (superficie della palla).

Definizione. Diametro della sfera (palla).(D) è un segmento che collega due punti di una sfera (la superficie di una palla) e passante per il suo centro.

Formula. Volume della sfera:

Formula. Area superficiale di una sfera raggio o diametro passante:

S = 4π R2 = π D 2

Equazione della sfera

1. Equazione di una sfera con raggio R e centro nell'origine del sistema di coordinate cartesiane:

x2 + y2 + z2 = R2

2. Equazione di una sfera con raggio R e centro in un punto di coordinate (x 0, y 0, z 0) nel sistema di coordinate cartesiane:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definizione. Punti diametralmente opposti sono due punti qualsiasi sulla superficie di una palla (sfera) collegati da un diametro.

Proprietà fondamentali di una sfera e di una palla

1. Tutti i punti della sfera sono ugualmente distanti dal centro.

2. Qualsiasi sezione di una sfera lungo un piano è un cerchio.

3. Qualsiasi sezione di una palla lungo un piano è un cerchio.

4. La sfera ha il volume più grande tra tutte le figure spaziali con la stessa superficie.

5. Attraverso due punti qualsiasi diametralmente opposti puoi tracciare molti cerchi massimi per una sfera o cerchi per una palla.

6. Attraverso due punti qualsiasi, ad eccezione dei punti diametralmente opposti, puoi disegnare solo un cerchio grande per una sfera o un cerchio grande per una palla.

7. Due cerchi massimi qualsiasi di una palla si intersecano lungo una linea retta passante per il centro della palla, e i cerchi si intersecano in due punti diametralmente opposti.

8. Se la distanza tra i centri di due palle qualsiasi è inferiore alla somma dei loro raggi e maggiore del modulo della differenza dei loro raggi, allora tali palle intersecare e nel piano di intersezione si forma un cerchio.

Secante, corda, piano secante di una sfera e loro proprietà

Definizione. Sfera secanteè una retta che interseca la sfera in due punti. Vengono chiamati i punti di intersezione punti perforanti superfici o punti di entrata e di uscita sulla superficie.

Definizione. Accordo di una sfera (palla)- questo è un segmento che collega due punti su una sfera (la superficie di una palla).

Definizione. Piano di taglioè il piano che interseca la sfera.

Definizione. Piano diametrale- questo è un piano secante che passa per il centro di una sfera o di una palla, la sezione si forma di conseguenza grande cerchio E grande cerchio. Il cerchio massimo e il cerchio massimo hanno un centro che coincide con il centro della sfera (palla).

Qualsiasi corda passante per il centro di una sfera (palla) è un diametro.

Una corda è un segmento di una linea secante.

La distanza d dal centro della sfera alla secante è sempre inferiore al raggio della sfera:

D< R

La distanza m tra il piano di taglio e il centro della sfera è sempre inferiore al raggio R:

M< R

La posizione della sezione del piano di taglio sulla sfera sarà sempre piccolo cerchio, e sulla palla la sezione sarà piccolo cerchio. Il cerchietto e il cerchietto hanno i propri centri che non coincidono con il centro della sfera (palla). Il raggio r di tale cerchio può essere trovato utilizzando la formula:

r = √R2 - m2,

Dove R è il raggio della sfera (sfera), m è la distanza dal centro della sfera al piano di taglio.

Definizione. Emisfero (emisfero)- questa è la metà di una sfera (palla), che si forma quando viene tagliata da un piano diametrale.

Tangente, piano tangente ad una sfera e loro proprietà

Definizione. Tangente ad una sferaè una retta che tocca la sfera in un solo punto.

Definizione. Piano tangente ad una sferaè un piano che tocca la sfera in un solo punto.

La linea tangente (piano) è sempre perpendicolare al raggio della sfera tracciata fino al punto di contatto

La distanza dal centro della sfera alla linea tangente (piano) è uguale al raggio della sfera.

Definizione. Segmento sferico- questa è la parte della palla che viene tagliata via da un piano di taglio. Base del segmento chiamato il cerchio che si è formato nel sito della sezione. Altezza del segmento h è la lunghezza della perpendicolare tracciata dal centro della base del segmento alla superficie del segmento.

Formula. Area della superficie esterna di un segmento sferico con altezza h attraverso il raggio della sfera R:

S = 2πRh