Perché viviamo nello spazio tridimensionale. Spazio tridimensionale: vettori, coordinate Dove viene utilizzato lo spazio tridimensionale

Lancia il progetto Domanda allo scienziato, in cui gli esperti risponderanno a domande interessanti, ingenue o pratiche. In questo numero, il candidato alle scienze fisiche e matematiche Ilya Shchurov parla delle 4D e se è possibile entrare nella quarta dimensione.

Che cos'è lo spazio quadridimensionale ("4D")?

Ilya Shchurov

Candidato di Scienze Fisiche e Matematiche, Professore Associato del Dipartimento di Matematica Superiore, Scuola Superiore di Economia dell'Università Nazionale delle Ricerche

Iniziamo con l'oggetto geometrico più semplice: un punto. Il punto è a dimensione zero. Non ha lunghezza, larghezza, altezza.

Ora spostiamo il punto lungo una retta di una certa distanza. Diciamo che il nostro punto è la punta di una matita; quando l'abbiamo spostato, ha tracciato una linea. Un segmento ha una lunghezza e non più dimensioni: è unidimensionale. Il segmento "vive" su una linea retta; la linea è uno spazio unidimensionale.

Ora prendiamo un segmento e proviamo a spostarlo, come prima di un punto. (Puoi immaginare che il nostro segmento sia la base di un pennello largo e molto sottile.) Se andiamo oltre la linea e ci muoviamo in direzione perpendicolare, otteniamo un rettangolo. Un rettangolo ha due dimensioni: larghezza e altezza. Il rettangolo giace su un piano. Il piano è uno spazio bidimensionale (2D), su di esso puoi inserire un sistema di coordinate bidimensionale: ogni punto corrisponderà a una coppia di numeri. (Ad esempio, un sistema di coordinate cartesiane su una lavagna o latitudine e longitudine su una mappa geografica.)

Se sposti un rettangolo in una direzione perpendicolare al piano in cui giace, ottieni un "mattone" (parallelepipedo rettangolare) - un oggetto tridimensionale che ha una lunghezza, una larghezza e un'altezza; si trova nello spazio tridimensionale - in quello in cui viviamo. Pertanto, abbiamo una buona idea di come appaiono gli oggetti tridimensionali. Ma se vivessimo in uno spazio bidimensionale - su un piano - dovremmo allargare la nostra immaginazione per immaginare come possiamo spostare il rettangolo in modo che esca dal piano in cui viviamo.

È anche abbastanza difficile per noi immaginare uno spazio quadridimensionale, sebbene sia molto facile da descrivere matematicamente. Lo spazio tridimensionale è uno spazio in cui la posizione di un punto è data da tre numeri (ad esempio, la posizione di un aeromobile è data da longitudine, latitudine e altitudine). Nello spazio quadridimensionale, un punto corrisponde a quattro numeri-coordinate. Un "mattone quadridimensionale" si ottiene spostando un normale mattone lungo una direzione che non si trova nel nostro spazio tridimensionale; ha quattro dimensioni.

Ogni giorno, infatti, incontriamo lo spazio quadridimensionale: ad esempio, quando si fissa una data, indichiamo non solo il luogo di incontro (può essere impostato con una tripla di numeri), ma anche l'ora (può essere impostato con un numero singolo, ad esempio il numero di secondi trascorsi da una certa data). Se guardi un vero mattone, non ha solo lunghezza, larghezza e altezza, ma anche una lunghezza nel tempo, dal momento della creazione al momento della distruzione.

Il fisico dirà che viviamo non solo nello spazio, ma nello spazio-tempo; il matematico aggiungerà che è quadridimensionale. Quindi la quarta dimensione è più vicina di quanto sembri.

Compiti:

Fornisci qualche altro esempio dell'implementazione dello spazio quadridimensionale nella vita reale.

Definisci cos'è lo spazio a cinque dimensioni (5D). Come dovrebbe essere un film in 5D?

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Già dal corso scolastico di algebra e geometria, conosciamo il concetto di spazio tridimensionale. Se guardi, il termine stesso "spazio tridimensionale" è definito come un sistema di coordinate con tre dimensioni (lo sanno tutti). In effetti, qualsiasi oggetto volumetrico può essere descritto utilizzando lunghezza, larghezza e altezza in senso classico. Tuttavia, come si suol dire, scaviamo un po' più a fondo.

Cos'è lo spazio 3D

Come è già apparso chiaro, la comprensione dello spazio tridimensionale e degli oggetti che possono esistere al suo interno è determinata da tre concetti di base. È vero, nel caso di un punto, questi sono esattamente tre valori, e nel caso di linee rette, curve, linee spezzate o oggetti volumetrici, potrebbero esserci più coordinate corrispondenti.

In questo caso, tutto dipende dal tipo di oggetto e dal sistema di coordinate utilizzato. Oggi, il sistema (classico) più comune è considerato il sistema cartesiano, a volte chiamato anche rettangolare. Lei e alcune altre varietà verranno discusse poco dopo.

Tra l'altro, qui è necessario distinguere tra concetti astratti (se così si può dire, informi) come punti, linee o piani e figure che hanno dimensioni finite o addirittura volume. Ognuna di queste definizioni ha le sue equazioni che descrivono la loro possibile posizione nello spazio tridimensionale. Ma ora non si tratta di questo.

Il concetto di punto nello spazio tridimensionale

Per prima cosa, definiamo cos'è un punto nello spazio tridimensionale. In generale, può essere chiamata una certa unità di base che definisce qualsiasi figura piana o tridimensionale, linea retta, segmento, vettore, piano, ecc.

Il punto stesso è caratterizzato da tre coordinate principali. Per loro, in un sistema rettangolare, vengono utilizzate guide speciali, dette assi X, Y e Z, con i primi due assi utilizzati per esprimere la posizione orizzontale dell'oggetto, e il terzo si riferisce all'impostazione verticale delle coordinate. Naturalmente, per comodità di esprimere la posizione di un oggetto rispetto alle coordinate zero, nel sistema vengono presi valori positivi e negativi. Tuttavia, altri sistemi possono essere trovati oggi.

Varietà di sistemi di coordinate

Come già accennato, il sistema di coordinate rettangolare creato da Descartes è oggi il principale. Tuttavia, in alcuni metodi per specificare la posizione di un oggetto nello spazio tridimensionale, vengono utilizzate anche altre varietà.

I più famosi sono i sistemi cilindrici e sferici. La differenza da quella classica è che quando si impostano gli stessi tre valori che determinano la posizione di un punto nello spazio tridimensionale, uno dei valori è angolare. In altre parole, tali sistemi utilizzano un cerchio corrispondente a un angolo di 360 gradi. Da qui l'assegnazione specifica di coordinate, inclusi elementi come raggio, angolo e generatrice. Le coordinate in uno spazio (sistema) tridimensionale di questo tipo obbediscono a leggi alquanto diverse. Il loro compito in questo caso è controllato dalla regola della mano destra: se allinei il pollice e l'indice rispettivamente con gli assi X e Y, le dita rimanenti in posizione piegata punteranno nella direzione dell'asse Z.

Il concetto di linea retta nello spazio tridimensionale

Ora qualche parola su cos'è una linea retta nello spazio tridimensionale. Basato sul concetto di base di una retta, questa è una specie di linea infinita tracciata attraverso un punto o due, senza contare l'insieme di punti situati in una sequenza che non cambia il passaggio diretto della linea attraverso di essi.

Se guardi una linea retta disegnata attraverso due punti nello spazio tridimensionale, dovrai prendere in considerazione tre coordinate di entrambi i punti. Lo stesso vale per segmenti e vettori. Questi ultimi determinano la base dello spazio tridimensionale e la sua dimensione.

Definizione dei vettori e basi dello spazio tridimensionale

Nota che questi possono essere solo tre vettori, ma puoi definire tutte le terzine di vettori che desideri. La dimensione dello spazio è determinata dal numero di vettori linearmente indipendenti (tre nel nostro caso). E uno spazio in cui c'è un numero finito di tali vettori è chiamato a dimensione finita.

Vettori dipendenti e indipendenti

Per quanto riguarda la definizione di vettori dipendenti e indipendenti, è consuetudine considerare vettori che sono proiezioni linearmente indipendenti (ad esempio vettori dell'asse X proiettati sull'asse Y).

Come è già chiaro, ogni quarto vettore è dipendente (la teoria degli spazi lineari). Ma tre vettori indipendenti nello spazio tridimensionale non devono necessariamente giacere sullo stesso piano. Inoltre, se i vettori indipendenti sono definiti nello spazio tridimensionale, non possono essere, per così dire, una continuazione dell'altro. Come è già chiaro, nel caso che stiamo considerando con tre dimensioni, secondo la teoria generale, è possibile costruire esclusivamente solo triple di vettori linearmente indipendenti in un certo sistema di coordinate (non importa quale tipo).

Piano nello spazio 3D

Se consideriamo il concetto di piano, senza entrare in definizioni matematiche, per una più semplice comprensione di questo termine, un tale oggetto può essere considerato esclusivamente come bidimensionale. In altre parole, è un insieme infinito di punti per i quali una delle coordinate è costante (costante).

Ad esempio, un piano può essere chiamato un numero qualsiasi di punti con coordinate X e Y diverse, ma con le stesse coordinate Z. In ogni caso, una delle coordinate tridimensionali rimane invariata. Tuttavia, questo è, per così dire, il caso generale. In alcune situazioni, lo spazio tridimensionale può essere intersecato da un piano lungo tutti gli assi.

Ci sono più di tre dimensioni

La domanda su quante dimensioni possono esistere è piuttosto interessante. Si ritiene che non viviamo in uno spazio tridimensionale da un punto di vista classico, ma in uno quadridimensionale. Oltre alla lunghezza, larghezza e altezza note a tutti, un tale spazio include anche la durata dell'oggetto e il tempo e lo spazio sono strettamente interconnessi. Ciò è stato dimostrato da Einstein nella sua teoria della relatività, sebbene ciò si applichi più alla fisica che all'algebra e alla geometria.

È anche interessante che oggi gli scienziati abbiano già dimostrato l'esistenza di almeno dodici dimensioni. Certo, non tutti saranno in grado di capire cosa sono, poiché si tratta piuttosto di una certa area astratta che è al di fuori della percezione umana del mondo. Tuttavia, il fatto rimane. E non per niente molti antropologi e storici sostengono che i nostri antenati potrebbero avere alcuni specifici organi di senso sviluppati come un terzo occhio, che aiutavano a percepire la realtà multidimensionale e non esclusivamente lo spazio tridimensionale.

A proposito, oggi ci sono molte opinioni sul fatto che la percezione extrasensoriale è anche una delle manifestazioni della percezione di un mondo multidimensionale, e si possono trovare molte prove per questo.

Si noti che inoltre non è sempre possibile descrivere spazi multidimensionali che differiscono dal nostro mondo quadridimensionale con equazioni e teoremi di base moderni. Sì, e la scienza in questo campo si riferisce più al campo delle teorie e delle ipotesi che a ciò che può essere chiaramente sentito o, per così dire, toccato o visto con i propri occhi. Tuttavia, l'evidenza indiretta dell'esistenza di mondi multidimensionali, in cui possono esistere quattro o più dimensioni, è oggi fuori dubbio.

Conclusione

In generale, abbiamo rivisto molto brevemente i concetti di base relativi allo spazio tridimensionale e le definizioni di base. Naturalmente, ci sono molti casi speciali associati a diversi sistemi di coordinate. Inoltre, abbiamo cercato di non addentrarci troppo nella giungla matematica per spiegare i termini di base solo in modo che la domanda ad essi relativa fosse comprensibile a qualsiasi studente (per così dire, la spiegazione è "sulle dita").

Tuttavia, sembra che anche da interpretazioni così semplici si possa trarre una conclusione sull'aspetto matematico di tutte le componenti incluse nel corso di base di algebra e geometria della scuola.

In cui chiediamo ai nostri scienziati di rispondere a domande piuttosto semplici, a prima vista, ma controverse dei lettori. Per te abbiamo selezionato le risposte più interessanti degli esperti di PostNauka.

Tutti conoscono l'abbreviazione 3D, che significa "tridimensionale" (la lettera D - dalla parola dimensione - misura). Ad esempio, quando scegli un film contrassegnato in 3D in un cinema, sappiamo per certo che dovrai indossare occhiali speciali per vederlo, ma l'immagine non sarà piatta, ma tridimensionale. Cos'è il 4D? Lo “spazio quadridimensionale” esiste nella realtà? È possibile entrare nella "quarta dimensione"?

Per rispondere a queste domande, iniziamo con l'oggetto geometrico più semplice: un punto. Il punto è nullo. Non ha lunghezza, larghezza, altezza.

// Semplice a 8 celle

Ora prendiamo un segmento e proviamo a spostarlo come prima di un punto. Potete immaginare che il nostro segmento sia la base di un pennello largo e molto sottile. Se andiamo oltre la linea e ci muoviamo in direzione perpendicolare, otteniamo un rettangolo. Un rettangolo ha due dimensioni: larghezza e altezza. Il rettangolo giace su un piano. Il piano è uno spazio bidimensionale (2D), su di esso puoi inserire un sistema di coordinate bidimensionale: ogni punto corrisponderà a una coppia di numeri. (Ad esempio, un sistema di coordinate cartesiane su una lavagna o latitudine e longitudine su una mappa geografica.)

Se sposti un rettangolo in una direzione perpendicolare al piano in cui giace, ottieni un "mattone" (parallelepipedo rettangolare) - un oggetto tridimensionale che ha una lunghezza, una larghezza e un'altezza; si trova in uno spazio tridimensionale, nello stesso in cui viviamo. Pertanto, abbiamo una buona idea di come appaiono gli oggetti tridimensionali. Ma se vivessimo in uno spazio bidimensionale - su un piano - dovremmo allargare la nostra immaginazione per immaginare come possiamo spostare il rettangolo in modo che esca dal piano in cui viviamo.

Quotidianamente, infatti, incontriamo lo spazio quadridimensionale: ad esempio, quando fissiamo una data, indichiamo non solo il luogo di incontro (può essere impostato con una tripla di numeri), ma anche l'ora (può essere impostato con un unico numero, ad esempio il numero di secondi trascorsi da una certa data). Se guardi un vero mattone, non ha solo lunghezza, larghezza e altezza, ma anche una lunghezza nel tempo, dal momento della creazione al momento della distruzione.

Il fisico dirà che viviamo non solo nello spazio, ma nello spazio-tempo; il matematico aggiungerà che è quadridimensionale. Quindi la quarta dimensione è più vicina di quanto sembri.

Spazio tridimensionale - ha tre dimensioni omogenee: altezza, larghezza e lunghezza. Questo è un modello geometrico del nostro mondo materiale.

Per comprendere la natura dello spazio fisico, bisogna prima rispondere alla domanda sull'origine della sua dimensione. Pertanto, il valore della dimensione, come si vede, è la caratteristica più significativa dello spazio fisico.

Dimensione dello spazio

La dimensione è la proprietà quantificabile più generale dello spazio-tempo. Attualmente, una teoria fisica che pretende di essere una descrizione spazio-temporale della realtà assume il valore della dimensione come postulato iniziale. Il concetto del numero delle dimensioni, o dimensione dello spazio, è uno dei concetti fondamentali della matematica e della fisica.

La fisica moderna si è avvicinata a rispondere alla domanda metafisica che è stata posta nelle opere del fisico e filosofo austriaco Ernst Mach: “Perché lo spazio è tridimensionale?”. Si ritiene che il fatto della tridimensionalità dello spazio sia associato alle proprietà fondamentali del mondo materiale.

Lo sviluppo di un processo da un punto genera spazio, cioè il luogo in cui dovrebbe avvenire l'attuazione del programma di sviluppo. "Lo spazio generato" è per noi la forma dell'Universo, o la forma della materia nell'Universo.

Quindi si credeva nell'antichità ...

Anche Tolomeo scrisse sul tema della dimensione dello spazio, dove sosteneva che in natura non possono esserci più di tre dimensioni spaziali. Nel suo libro Sul cielo, un altro pensatore greco, Aristotele, scrisse che solo la presenza delle tre dimensioni assicura la perfezione e la completezza del mondo. Una dimensione, ragionava Aristotele, forma una linea. Se aggiungiamo un'altra dimensione alla linea, otteniamo una superficie. L'aggiunta di una superficie con un'altra dimensione forma un corpo tridimensionale.

Si scopre che "non è più possibile andare oltre i limiti di un corpo volumetrico verso qualcos'altro, poiché qualsiasi cambiamento si verifica a causa di una sorta di carenza, e qui non ce n'è. Il modo dato del pensiero di Aristotele soffre di una debolezza significativa: non è chiaro per quale motivo esattamente un corpo tridimensionale tridimensionale possieda completezza e perfezione. Un tempo, Galileo giustamente ridicolizzava l'opinione che "il numero "3" sia un numero perfetto e che sia dotato della capacità di comunicare la perfezione a tutto ciò che ha una trinità".

Ciò che determina la dimensione dello spazio

Lo spazio è infinito in tutte le direzioni. Tuttavia, allo stesso tempo, può essere misurato solo in tre direzioni indipendenti l'una dall'altra: in lunghezza, larghezza e altezza; chiamiamo queste direzioni dimensioni dello spazio e diciamo che il nostro spazio ha tre dimensioni, che è tridimensionale. In questo caso, “in questo caso, chiamiamo direzione indipendente una retta che giace ad angolo retto rispetto a un'altra. Tali linee, ad es. giacenti simultaneamente ad angolo retto tra loro e non paralleli tra loro, la nostra geometria ne conosce solo tre. Cioè, la dimensione del nostro spazio è determinata dal numero di linee possibili in esso, che si trovano ad angolo retto l'una rispetto all'altra. Non può esserci un'altra linea su una linea: questo è uno spazio unidimensionale. Sono possibili due perpendicolari sulla superficie: questo è uno spazio bidimensionale. Nello "spazio" tre perpendicolari sono lo spazio tridimensionale.

Perché lo spazio è tridimensionale?

Rara in condizioni terrene, l'esperienza della materializzazione delle persone ha spesso un impatto fisico sui testimoni oculari ...

Ma, nelle idee sullo spazio e sul tempo, c'è ancora molta oscurità, che dà origine a discussioni in corso di scienziati. Perché il nostro spazio ha tre dimensioni? Possono esistere mondi multidimensionali? È possibile che gli oggetti materiali esistano al di fuori dello spazio e del tempo?

L'affermazione che lo spazio fisico ha tre dimensioni è tanto oggettiva quanto l'affermazione, per esempio, che ci sono tre stati fisici della materia: solido, liquido e gassoso; descrive un fatto fondamentale del mondo oggettivo. I. Kant ha sottolineato che il motivo della tridimensionalità del nostro spazio è ancora sconosciuto. P. Ehrenfest e J. Whitrow hanno mostrato che se il numero di dimensioni spaziali fosse superiore a tre, l'esistenza di sistemi planetari sarebbe impossibile: solo nel mondo tridimensionale possono esserci orbite stabili di pianeti nei sistemi planetari. Cioè, l'ordine tridimensionale della materia è l'unico ordine stabile.

Ma la tridimensionalità dello spazio non può essere asserita come una sorta di assoluta necessità. È un fatto fisico come un altro e, di conseguenza, è soggetto allo stesso tipo di spiegazione.

La questione del perché il nostro spazio sia tridimensionale può essere risolta sia dal punto di vista della teleologia, basata sull'affermazione non scientifica che "il mondo tridimensionale è il più perfetto di tutti i mondi possibili", sia da posizioni materialistiche scientifiche, basate su leggi fisiche fondamentali.

Opinione dei contemporanei

La fisica moderna dice che la caratteristica della tridimensionalità è che essa, e solo essa, permette di formulare leggi causali continue per la realtà fisica. Ma “i concetti moderni non riflettono il vero stato dell'immagine fisica del mondo. Nel nostro tempo, gli scienziati considerano lo spazio come una sorta di struttura, composta da molti livelli, che sono anche indefiniti. E quindi, non è un caso che la scienza moderna non possa rispondere alla domanda perché il nostro spazio, in cui viviamo e che osserviamo, è tridimensionale.

Teoria degli spazi connessi

Nei mondi paralleli, gli eventi accadono a modo loro, possono...

“I tentativi di cercare una risposta a questa domanda, rimanendo solo entro i limiti della matematica, sono destinati al fallimento. La risposta potrebbe risiedere in una nuova area sottosviluppata della fisica". Proviamo a trovare una risposta a questa domanda sulla base delle disposizioni della fisica considerata degli spazi limitati.

Secondo la teoria degli spazi connessi, lo sviluppo di un oggetto procede in tre fasi, ciascuna delle quali si sviluppa lungo la direzione scelta, cioè lungo il suo asse di sviluppo.

Nella prima fase, lo sviluppo dell'oggetto segue la direzione selezionata iniziale, ad es. ha un asse di sviluppo. Nella seconda fase, il sistema formato nella prima fase viene ruotato di 90°, cioè c'è un cambiamento nella direzione dell'asse spaziale e lo sviluppo del sistema inizia a seguire la seconda direzione selezionata, perpendicolare a quella originale. Nella terza fase, lo sviluppo del sistema ruota nuovamente di 90° e inizia a svilupparsi lungo la terza direzione prescelta, perpendicolare alle prime due. Di conseguenza, si formano tre sfere dello spazio annidate, ciascuna delle quali corrisponde a uno degli assi di sviluppo. Inoltre, tutti e tre questi spazi sono collegati in un'unica formazione stabile da un processo fisico.

E poiché questo processo è implementato a tutti i livelli di scala del nostro mondo, tutti i sistemi, comprese le coordinate stesse, sono costruiti secondo il principio triadico (tre coordinate). Ne consegue che come risultato del passaggio attraverso le tre fasi dello sviluppo del processo, si forma naturalmente uno spazio tridimensionale, formato come risultato del processo fisico di sviluppo da tre assi coordinati di tre direzioni di sviluppo reciprocamente perpendicolari!

Queste entità intelligenti sorsero proprio all'alba dell'esistenza dell'Universo...

Non c'è da stupirsi che Pitagora, che, a quanto pare, potrebbe avere questa conoscenza, possiede l'espressione: "Tutte le cose consistono in tre". Lo stesso dice N.K. Roerich: “Il simbolo della Trinità è di grande antichità e si trova in tutto il mondo, quindi non può essere limitato a nessuna setta, organizzazione, religione o tradizione, nonché interessi personali o di gruppo, perché rappresenta l'evoluzione della coscienza in tutte le sue fasi ... Il segno della trinità si è rivelato sparso in tutto il mondo ... Se metti insieme tutte le impronte dello stesso segno, allora forse risulterà essere il più comune e antico tra simboli umani. Nessuno può affermare che questo segno appartenga a una sola credenza o sia basato su un folclore.

Non per niente anche nell'antichità il nostro mondo si presentava come una divinità trina (tre fuse in una): qualcosa di unico, intero e indivisibile, nel suo significato sacro di gran lunga superiore ai valori originari.

Abbiamo tracciato la specializzazione spaziale (distribuzione lungo le direzioni coordinate dello spazio) all'interno di un singolo sistema, ma possiamo vedere esattamente la stessa distribuzione in qualsiasi società da un atomo alle galassie. Queste tre varietà di spazio non sono altro che i tre stati coordinati dello spazio geometrico.

Quante dimensioni ha lo spazio del mondo in cui viviamo?

Qual è la domanda! Naturalmente, una persona comune dirà tre e avrà ragione. Ma c'è ancora una razza speciale di persone che hanno una proprietà acquisita per dubitare delle cose ovvie. Queste persone sono chiamate "scienziati" perché viene loro insegnato in modo specifico a farlo. Per loro la nostra domanda non è così semplice: la misura dello spazio è una cosa sfuggente, non si possono contare semplicemente puntando il dito: uno, due, tre. È impossibile misurare il loro numero con qualsiasi strumento come un righello o un amperometro: lo spazio ha 2,97 misure più o meno 0,04. Dobbiamo pensare a questa domanda più a fondo e cercare modi indiretti. Tali ricerche si sono rivelate fruttuose: la fisica moderna ritiene che il numero delle dimensioni del mondo reale sia strettamente correlato alle proprietà più profonde della materia. Ma il percorso verso queste idee è iniziato con una revisione della nostra esperienza quotidiana.

Di solito si dice che il mondo, come ogni corpo, ha tre dimensioni, che corrispondono a tre diverse direzioni, diciamo "altezza", "larghezza" e "profondità". Sembra chiaro che la "profondità" raffigurata sul piano del disegno è ridotta a "altezza" e "larghezza", è in un certo senso una combinazione di loro. È anche chiaro che in uno spazio tridimensionale reale tutte le direzioni concepibili si riducono a tre preselezionate. Ma cosa significa “ridotto”, “sono una combinazione”? Dove saranno queste "larghezza" e "profondità" se non ci troviamo in una stanza rettangolare, ma in assenza di gravità da qualche parte tra Venere e Marte? Infine, chi può garantire che "l'altezza", diciamo, a Mosca e New York sia la stessa "misura"?

Il problema è che conosciamo già la risposta al problema che stiamo cercando di risolvere, e questo è tutt'altro che sempre utile. Ora, se potessi trovarti in un mondo il cui numero di dimensioni non è noto in anticipo, e cercarle una alla volta O, almeno, rinunciare alla conoscenza disponibile della realtà per guardare le sue proprietà iniziali in modo modo completamente nuovo.

Strumento del matematico di ciottoli

Nel 1915, il matematico francese Henri Lebesgue capì come determinare il numero di dimensioni dello spazio senza utilizzare i concetti di altezza, larghezza e profondità. Per capire la sua idea basta guardare da vicino il selciato. Su di esso puoi facilmente trovare punti in cui le pietre convergono in tre e quattro. Puoi pavimentare la strada con piastrelle quadrate, che si uniranno tra loro in due o quattro; se prendi le stesse tessere triangolari, saranno adiacenti a due o sei. Ma non un solo padrone può lastricare la strada in modo che i ciottoli ovunque si uniscano l'un l'altro solo a due a due. Questo è così ovvio che è ridicolo suggerire il contrario.

I matematici differiscono dalle persone normali proprio in quanto notano la possibilità di tali assurde ipotesi e sono in grado di trarne conclusioni. Nel nostro caso, Lebesgue ragionava così: la superficie della pavimentazione è, ovviamente, bidimensionale. Allo stesso tempo, ha inevitabilmente punti in cui convergono almeno tre massi. Proviamo a generalizzare questa osservazione: diciamo che la dimensione di qualche area è uguale a N, se durante la sua piastrellatura non è possibile evitare il contatto di N + 1 o più "ciottoli". Ora qualsiasi muratore confermerà la tridimensionalità dello spazio: dopotutto, quando si stende un muro spesso in più strati, ci saranno sicuramente punti in cui almeno quattro mattoni si toccheranno!

Tuttavia, a prima vista sembra che si possa trovare, come dicono i matematici, un "controesempio" alla definizione di dimensione di Lebesgue. Questo è un pavimento in assi in cui le assi del pavimento toccano esattamente due a due. Perché non piastrellare? Pertanto, Lebesgue ha anche chiesto che i "ciottoli" utilizzati nella definizione di dimensione fossero piccoli. Questa è un'idea importante e ci torneremo alla fine da un'angolazione inaspettata. E ora è chiaro che la condizione di un "ciottolato" di piccole dimensioni salva la definizione di Lebesgue: diciamo, i pavimenti in parquet corti, in contrasto con le assi lunghe, in alcuni punti entreranno necessariamente in contatto a tre. Ciò significa che le tre dimensioni dello spazio non sono solo la capacità di scegliere arbitrariamente tre direzioni "diverse" in esso. La tre dimensioni è un vero limite delle nostre possibilità, che è facile percepire dopo aver giocato un po' con i cubi oi mattoncini.

La dimensione dello spazio attraverso gli occhi di Stirlitz

Un'altra limitazione associata alla tridimensionalità dello spazio è ben avvertita da un prigioniero rinchiuso in una cella di prigione (ad esempio Stirlitz nel seminterrato di Muller). Che aspetto ha questa fotocamera dal suo punto di vista? Pareti di cemento grezzo, una porta d'acciaio ben chiusa - in una parola, una superficie bidimensionale senza crepe e buchi, che racchiude lo spazio chiuso in cui si trova su tutti i lati. Non c'è davvero nessun posto dove andare da un simile guscio. È possibile rinchiudere una persona all'interno di un circuito unidimensionale? Immagina come Muller disegna un cerchio attorno a Stirlitz con il gesso sul pavimento e torna a casa: questo non sembra nemmeno uno scherzo.

Da queste considerazioni si estrae un altro modo per determinare il numero di dimensioni del nostro spazio. Formuliamola così: è possibile racchiudere un'area di spazio N-dimensionale da tutti i lati solo con una "superficie" (N-1)-dimensionale. Nello spazio bidimensionale la "superficie" sarà un contorno unidimensionale, nello spazio unidimensionale saranno due punti a dimensione zero. Questa definizione fu inventata nel 1913 dal matematico olandese Brouwer, ma divenne nota solo otto anni dopo, quando fu riscoperta indipendentemente dal nostro Pavel Uryson e dall'austriaco Karl Menger.

Qui le nostre strade con Lebesgue, Brouwer e i loro colleghi divergono. Avevano bisogno di una nuova definizione di dimensione per costruire una teoria matematica astratta degli spazi di qualsiasi dimensione fino all'infinito. Questa è una costruzione puramente matematica, un gioco della mente umana, che è abbastanza forte persino da riconoscere oggetti così strani come lo spazio infinito. I matematici non cercano di scoprire se ci sono davvero cose con una struttura del genere: questa non è la loro professione. Al contrario, il nostro interesse per il numero delle dimensioni del mondo in cui viviamo è fisico: vogliamo sapere quante sono davvero e come sentirne il numero “sulla nostra pelle”. Abbiamo bisogno di fenomeni, non di idee pure.

È caratteristico che tutti gli esempi forniti sono stati presi in prestito più o meno dall'architettura. È questa area dell'attività umana che è più strettamente connessa con lo spazio, come ci appare nella vita ordinaria. Per avanzare ulteriormente nella ricerca delle dimensioni del mondo fisico, sarà necessaria un'uscita ad altri livelli di realtà. Sono disponibili per l'uomo grazie alla tecnologia moderna, e quindi alla fisica.

Qual è la velocità della luce qui?

Torniamo brevemente a Stirlitz, che è stato lasciato nella cella. Per uscire dal guscio che lo separava in modo affidabile dal resto del mondo tridimensionale, ha sfruttato la quarta dimensione, che non teme le barriere bidimensionali. Cioè, ci pensò per un po' e si trovò un alibi adatto. In altre parole, la nuova dimensione misteriosa utilizzata da Stirlitz è il tempo.

È difficile dire chi abbia notato per primo l'analogia tra il tempo e le dimensioni dello spazio. Lo sapevano già due secoli fa. Joseph Lagrange, uno dei creatori della meccanica classica, la scienza dei moti dei corpi, l'ha confrontata con la geometria del mondo quadridimensionale: il suo confronto suona come una citazione da un libro moderno sulla Relatività Generale.

Il filo di pensiero di Lagrange, tuttavia, è facile da capire. Ai suoi tempi erano già noti i grafici della dipendenza delle variabili dal tempo, come i cardiogrammi attuali oi grafici dell'andamento mensile della temperatura. Tali grafici sono tracciati su un piano bidimensionale: lungo l'asse delle ordinate viene tracciato il percorso percorso dalla variabile e lungo l'asse delle ascisse il tempo trascorso. Allo stesso tempo, il tempo diventa davvero solo “un'altra” dimensione geometrica. Allo stesso modo, puoi aggiungerlo allo spazio tridimensionale del nostro mondo.

Ma il tempo è davvero come le dimensioni spaziali? Sul piano con il grafico disegnato, ci sono due direzioni "significative" selezionate. E le direzioni che non coincidono con nessuno degli assi non hanno senso, non raffigurano nulla. Sul solito piano geometrico bidimensionale, tutte le direzioni sono uguali, non ci sono assi distinti.

Il tempo può veramente essere considerato la quarta coordinata solo se non è distinto dalle altre direzioni nello "spazio-tempo" quadridimensionale. È necessario trovare un modo per "ruotare" lo spazio-tempo in modo che le dimensioni del tempo e dello spazio si "mescolino" e possano, in un certo senso, passare l'una nell'altra.

Questo metodo è stato trovato da Albert Einstein, che ha creato la teoria della relatività, e Hermann Minkowski, che gli ha dato una forma matematica rigorosa. Hanno approfittato del fatto che in natura esiste una velocità universale, la velocità della luce.

Prendiamo due punti nello spazio, ciascuno al proprio momento, o due "eventi" nel gergo della teoria della relatività. Se moltiplichiamo l'intervallo di tempo tra loro, misurato in secondi, per la velocità della luce, otteniamo una certa distanza in metri. Assumiamo che questo segmento immaginario sia “perpendicolare” alla distanza spaziale tra gli eventi, e che insieme formino le “gambe” di qualche triangolo rettangolo, la cui “ipotenusa” è un segmento spazio-temporale che collega il selezionato eventi. Minkowski ha suggerito: per trovare il quadrato della lunghezza dell'"ipotenusa" di questo triangolo, non aggiungeremo il quadrato della lunghezza della gamba "spaziale" al quadrato della lunghezza del "temporale", ma lo sottrarremo. Certo, questo può portare a un risultato negativo: allora considerano che l'"ipotenusa" abbia una lunghezza immaginaria! Ma qual è il punto?

Quando un piano viene ruotato, la lunghezza di qualsiasi segmento disegnato su di esso viene preservata. Minkowski si rese conto che è necessario considerare tali "rotazioni" dello spazio-tempo, che conservano la "lunghezza" dei segmenti tra gli eventi da lui proposti. Questo è il modo in cui puoi ottenere che la velocità della luce nella teoria costruita sia universale. Se due eventi sono collegati da un segnale luminoso, la "distanza di Minkowski" tra di loro è zero: la distanza spaziale coincide con l'intervallo di tempo moltiplicato per la velocità della luce. La "rotazione" proposta da Minkowski mantiene zero questa "distanza", per quanto spazio e tempo si mescolino durante la "rotazione".

Questo non è l'unico motivo per cui la "distanza" di Minkowski ha un vero significato fisico, nonostante la definizione, che è estremamente strana per una persona impreparata. La "distanza" di Minkowski fornisce un modo per costruire la "geometria" dello spazio-tempo in modo tale da rendere uguali gli intervalli spaziali e temporali tra gli eventi. Forse questa è l'idea principale della teoria della relatività.

Quindi, il tempo e lo spazio del nostro mondo sono così strettamente collegati tra loro che è difficile capire dove finisce l'uno e dove inizia l'altro. Insieme formano qualcosa come un palcoscenico su cui viene suonata la commedia "The History of the Universe". Attori particelle di materia, atomi e molecole, da cui vengono assemblate galassie, nebulose, stelle, pianeti e su alcuni pianeti anche organismi viventi intelligenti (il lettore dovrebbe essere a conoscenza di almeno uno di questi pianeti).

Sulla base delle scoperte dei suoi predecessori, Einstein creò una nuova immagine fisica del mondo, in cui lo spazio e il tempo si rivelarono inseparabili l'uno dall'altro e la realtà divenne veramente quadridimensionale. E in questa realtà quadridimensionale si “dissolse” una delle due “interazioni fondamentali” note alla scienza allora: la legge di gravitazione universale si ridusse alla struttura geometrica del mondo quadridimensionale. Ma Einstein non poteva fare nulla con un'altra fondamentale interazione elettromagnetica.

Lo spazio-tempo assume nuove dimensioni

La teoria della relatività generale è così bella e convincente che subito dopo che è diventata nota, altri scienziati hanno cercato di seguire ulteriormente lo stesso percorso. Einstein ha ridotto la gravità alla geometria? Quindi, spetta ai suoi seguaci geometrizzare le forze elettromagnetiche!

Poiché Einstein esauriva le possibilità della metrica spaziale quadridimensionale, i suoi seguaci iniziarono a cercare di espandere in qualche modo l'insieme di oggetti geometrici da cui si poteva costruire una tale teoria. È del tutto naturale che volessero aumentare il numero di dimensioni.

Ma mentre i teorici erano impegnati nella geometrizzazione delle forze elettromagnetiche, sono state scoperte altre due interazioni fondamentali: le cosiddette forti e deboli. Adesso era necessario combinare già quattro interazioni. Allo stesso tempo, sono sorte molte difficoltà inaspettate, per superare le quali sono state inventate nuove idee, portando gli scienziati sempre più lontano dalla fisica visiva del secolo scorso. Hanno cominciato a considerare modelli di mondi che hanno decine e persino centinaia di dimensioni, e lo spazio infinito-dimensionale è tornato utile. Per raccontare queste ricerche bisognerebbe scrivere un intero libro. Un'altra domanda è importante per noi: dove si trovano tutte queste nuove dimensioni? Possiamo sentirli nello stesso modo in cui sentiamo il tempo e lo spazio tridimensionale?

Immaginate ad esempio un tubo lungo e sottilissimo, una manichetta antincendio vuota all'interno, ridotta mille volte. È una superficie bidimensionale, ma le sue due dimensioni sono disuguali. Uno di questi, la lunghezza, è facile notare che si tratta di una misurazione "macroscopica". Il perimetro, invece, la dimensione “trasversale”, è visibile solo al microscopio. I moderni modelli multidimensionali del mondo sono simili a questo tubo, sebbene non abbiano una, ma quattro dimensioni macroscopiche: tre spaziali e una temporale. Le restanti misurazioni in questi modelli non possono essere viste nemmeno al microscopio elettronico. Per rilevarne le manifestazioni, i fisici utilizzano acceleratori, "microscopi" molto costosi ma rozzi per il mondo subatomico.

Mentre alcuni scienziati hanno perfezionato questo quadro impressionante, superando brillantemente un ostacolo dopo l'altro, altri hanno posto una domanda difficile:

La dimensione può essere frazionaria?

Perché no? Per fare ciò, è necessario "semplicemente" trovare una nuova proprietà di dimensione che possa collegarla a numeri non interi e oggetti geometrici che hanno questa proprietà e hanno una dimensione frazionaria. Se vogliamo trovare, ad esempio, una figura geometrica che abbia una dimensione e mezza, allora abbiamo due modi. Puoi provare a sottrarre mezza quota da una superficie 2D o aggiungere una mezza quota a una linea 1D. Per fare ciò, eserciteremo prima l'aggiunta o la sottrazione di un'intera dimensione.

C'è un trucco per bambini così famoso. Il mago prende un foglio di carta triangolare, fa un'incisione su di esso con le forbici, piega a metà il foglio lungo la linea di incisione, fa un'altra incisione, piega di nuovo, taglia un'ultima volta e ap! nelle sue mani c'è una ghirlanda di otto triangoli, ciascuno dei quali è completamente simile all'originale, ma otto volte più piccolo di esso nell'area (e la radice quadrata di otto volte in dimensione). Forse questo trucco fu mostrato nel 1890 al matematico italiano Giuseppe Peano (o forse a lui stesso piaceva mostrarlo), in ogni caso, fu allora che se ne accorse. Prendiamo carta perfetta, forbici perfette e ripetiamo la sequenza di taglio e piegatura un numero infinito di volte. Quindi le dimensioni dei singoli triangoli ottenuti in ogni fase di questo processo tenderanno a zero e i triangoli stessi si ridurranno in punti. Pertanto, otterremo una linea unidimensionale da un triangolo bidimensionale, senza perdere un solo pezzo di carta! Se non allunghi questa linea in una ghirlanda, ma la lasci "stropicciata", come abbiamo fatto durante il taglio, riempirà l'intero triangolo. Inoltre, non importa con quale microscopio potente consideriamo questo triangolo, ingrandendo i suoi frammenti un numero qualsiasi di volte, l'immagine risultante sembrerà esattamente la stessa di non ingrandita: scientificamente parlando, la curva di Peano ha la stessa struttura a tutte le scale di ingrandimento, oppure è " invariante scalato".

Quindi, essendosi piegata innumerevoli volte, la curva unidimensionale potrebbe, per così dire, acquisire una dimensione di due. Ciò significa che c'è speranza che una curva meno "stropicciata" abbia una "dimensione", diciamo, una e mezza. Ma come trovare un modo per misurare le dimensioni frazionarie?

Nella definizione di dimensione "ciottolato", come ricorda il lettore, era necessario utilizzare "ciottoli" sufficientemente piccoli, altrimenti il risultato poteva risultare errato. Ma saranno necessari molti piccoli "ciottoli": più piccoli saranno le loro dimensioni. Si scopre che per determinare la dimensione non è necessario studiare come i "ciottoli" si uniscono tra loro, ma è sufficiente scoprire come il loro numero aumenta al diminuire delle dimensioni.

Prendi un segmento di retta lungo 1 decimetro e due curve di Peano, riempiendo insieme un quadrato di misura decimetro per decimetro. Li ricopriremo con piccoli "ciottoli" quadrati con una lunghezza laterale di 1 centimetro, 1 millimetro, 0,1 millimetro e così via fino a un micron. Se esprimiamo la dimensione del "ciottolo" in decimetri, allora per il segmento è richiesto il numero di "ciottoli" uguale alla loro dimensione alla potenza di meno uno e per le curve di Peano alla dimensione alla potenza di meno due . Inoltre, il segmento ha sicuramente una dimensione e la curva di Peano, come abbiamo visto, ne ha due. Questa non è solo una coincidenza. L'esponente nel rapporto che lega il numero dei "ciottoli" con la loro dimensione è infatti uguale (con segno meno) alla dimensione della figura da essi ricoperta. È particolarmente importante che l'esponente possa essere un numero frazionario. Ad esempio, per una curva intermedia nella sua "sgualcitura" tra una retta ordinaria e che talvolta riempie densamente il quadrato delle curve di Peano, il valore dell'esponente sarà maggiore di 1 e minore di 2. Questo apre la strada che dobbiamo determinare frazionario dimensioni.

È stato così che, ad esempio, è stata determinata la dimensione della costa della Norvegia, un paese che ha una costa molto frastagliata (o “sgualcita” come preferisci). Naturalmente, la pavimentazione della costa norvegese con ciottoli non è avvenuta a terra, ma su una mappa di un atlante geografico. Il risultato (non assolutamente preciso per l'impossibilità pratica di raggiungere “ciottoli” infinitamente piccoli) è stato di 1,52 più o meno un centesimo. È chiaro che la dimensione non può essere inferiore a una, poiché si parla ancora di una linea "unidimensionale", e superiore a due, poiché la costa della Norvegia è "disegnata" sulla superficie bidimensionale del globo .

L'uomo come misura di tutte le cose

Le dimensioni frazionarie vanno bene, il lettore potrebbe dire qui, ma cosa hanno a che fare con la questione del numero di dimensioni del mondo in cui viviamo? Può succedere che la dimensione del mondo sia frazionaria e non esattamente uguale a tre?

Gli esempi della curva di Peano e della costa della Norvegia mostrano che una dimensione frazionaria si ottiene se la linea curva è fortemente “stropicciata”, incastonata in pieghe infinitamente piccole. Il processo di determinazione della dimensione frazionaria prevede anche l'uso di "ciottoli" infinitamente decrescenti con cui ricopriamo la curva in studio. Pertanto, la dimensione frazionaria, scientificamente parlando, può manifestarsi solo “su scale sufficientemente piccole”, cioè l'esponente nel rapporto che lega il numero dei “ciottoli” con la loro dimensione non può che raggiungere il suo valore frazionario nel limite. Al contrario, un enorme masso può ricoprire un frattale un oggetto di dimensione frazionaria di dimensioni finite è indistinguibile da un punto.

Per noi il mondo in cui viviamo è prima di tutto la scala su cui è a nostra disposizione nella realtà quotidiana. Nonostante le straordinarie conquiste della tecnologia, le sue dimensioni caratteristiche sono ancora determinate dall'acutezza della nostra visione e dalla portata delle nostre passeggiate, i periodi caratteristici della nostra velocità di reazione e la profondità della nostra memoria, le quantità caratteristiche di energia da la forza di quelle interazioni in cui il nostro corpo entra con le cose circostanti. Non abbiamo superato di molto gli antichi, e vale la pena lottare per questo? I disastri naturali e tecnologici ampliano in qualche modo la scala della "nostra" realtà, ma non la rendono cosmica. Il micromondo è tanto più inaccessibile nella nostra vita quotidiana. Il mondo che si apre davanti a noi è tridimensionale, “liscio” e “piatto”, è perfettamente descritto dalla geometria degli antichi greci; le conquiste della scienza, in ultima analisi, dovrebbero servire non tanto ad espandersi quanto a proteggerne i confini.

Qual è allora la risposta alle persone che aspettano la scoperta delle dimensioni nascoste del nostro mondo? Ahimè, l'unica dimensione a nostra disposizione, che il mondo ha oltre le tre spaziali, è il tempo. È poco o molto, vecchio o nuovo, meraviglioso o ordinario? Il tempo è semplicemente il quarto grado di libertà e può essere usato in molti modi diversi. Ricordiamo ancora una volta lo stesso Stirlitz, tra l'altro, fisico di formazione: ogni momento ha una sua ragione

Andrej Sobolevskij