Definizioni dei moduli. Qual è il modulo di un numero in matematica

Istruzioni

Se un modulo è rappresentato come una funzione continua, il valore del suo argomento può essere positivo o negativo: |x| = x, x ≥ 0; |x| = -x,x

Il modulo è zero e il modulo di qualsiasi numero positivo è . Se l'argomento è negativo, dopo aver aperto le parentesi il suo segno cambia da meno a più. Sulla base di ciò si conclude che i moduli degli opposti sono uguali: |-x| = |x| =x.

Il modulo di un numero complesso si trova dalla formula: |a| = √b² + c², e |a + b| ≤ |a| + |b|. Se l'argomento contiene un numero positivo come moltiplicatore, allora può essere tolto dal segno della parentesi, ad esempio: |4*b| = 4*|b|.

Se l'argomento è presentato come numero complesso, per comodità di calcolo è consentito l'ordine dei termini dell'espressione racchiusi tra parentesi rettangolari: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 perché (2-3) è minore di zero.

L'argomento elevato a potenza è contemporaneamente sotto il segno di una radice dello stesso ordine - si risolve utilizzando: √a² = |a| = ±a.

Se hai un'attività in cui non è specificata la condizione per espandere le parentesi del modulo, non è necessario eliminarle: questo sarà il risultato finale. E se devi aprirli, devi indicare il segno ±. Ad esempio, devi trovare il valore dell'espressione √(2 * (4-b))². La sua soluzione è questa: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Poiché il segno dell'espressione 4-b è sconosciuto, deve essere lasciato tra parentesi. Se aggiungi una condizione aggiuntiva, ad esempio |4-b| >

Il modulo di zero è uguale a zero e il modulo di qualsiasi numero positivo è uguale a se stesso. Se l'argomento è negativo, dopo aver aperto le parentesi il suo segno cambia da meno a più. Sulla base di ciò, si conclude che i moduli dei numeri opposti sono uguali: |-x| = |x| =x.

Il modulo di un numero complesso si trova dalla formula: |a| = √b² + c², e |a + b| ≤ |a| + |b|. Se l'argomento contiene un numero intero positivo come fattore, è possibile rimuoverlo dalla parentesi, ad esempio: |4*b| = 4*|b|.

Il modulo non può essere negativo, quindi qualsiasi numero negativo viene convertito in positivo: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Se l'argomento è presentato sotto forma di numero complesso, per comodità di calcolo è consentito modificare l'ordine dei termini dell'espressione racchiusi tra parentesi rettangolari: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 perché (2-3) è minore di zero.

Se hai un'attività in cui non è specificata la condizione per espandere le parentesi del modulo, non è necessario eliminarle: questo sarà il risultato finale. E se devi aprirli, devi indicare il segno ±. Ad esempio, devi trovare il valore dell'espressione √(2 * (4-b))². La sua soluzione è questa: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Poiché il segno dell'espressione 4-b è sconosciuto, deve essere lasciato tra parentesi. Se aggiungi una condizione aggiuntiva, ad esempio |4-b| > 0, il risultato sarà 2 * |4-b| = 2*(4 - b). L'elemento sconosciuto può anche essere impostato su un numero specifico, che dovrebbe essere preso in considerazione perché influenzerà il segno dell'espressione.

Modulo di numeri questo numero stesso viene chiamato se è non negativo, oppure lo stesso numero con il segno opposto se è negativo.

Ad esempio, il modulo del numero 5 è 5, e anche il modulo del numero –5 è 5.

Cioè, per modulo di un numero si intende il valore assoluto, il valore assoluto di questo numero senza tener conto del suo segno.

Indicato come segue: |5|, | X|, |UN| eccetera.

Regola:

Spiegazione:

|5| = 5
Si legge così: il modulo del numero 5 è 5.

|–5| = –(–5) = 5
Si legge così: il modulo del numero –5 è 5.

|0| = 0
Si legge così: il modulo di zero è zero.

Proprietà del modulo:

Significato geometrico del modulo.

Il modulo di un numero è la distanza da zero a quel numero.

Ad esempio, prendiamo di nuovo il numero 5. La distanza da 0 a 5 è la stessa che da 0 a –5 (Fig. 1). E quando è importante per noi conoscere solo la lunghezza del segmento, allora il segno non ha solo significato, ma anche significato. Tuttavia, questo non è del tutto vero: misuriamo la distanza solo con numeri positivi – o numeri non negativi. Sia il prezzo di divisione della nostra scala 1 cm, quindi la lunghezza del segmento da zero a 5 è 5 cm, da zero a –5 è anch'essa 5 cm.

In pratica, la distanza viene spesso misurata non solo da zero: il punto di riferimento può essere un numero qualsiasi (Fig. 2). Ma questo non cambia l'essenza. Notazione della forma |a – b| esprime la distanza tra i punti UN E B sulla linea dei numeri.

Esempio 1. Risolvi l'equazione | X – 1| = 3.

Soluzione.

Il significato dell'equazione è che la distanza tra i punti X e 1 è uguale a 3 (Fig. 2). Pertanto, dal punto 1 contiamo tre divisioni a sinistra e tre divisioni a destra - e vediamo chiaramente entrambi i valori X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Possiamo calcolarlo.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Risposta : X 1 = –2; X 2 = 4.

Esempio 2. Trova il modulo di espressione:

Soluzione.

Per prima cosa, scopriamo se l'espressione è positiva o negativa. Per fare ciò, trasformiamo l'espressione in modo che sia composta da numeri omogenei. Non cerchiamo la radice di 5: è abbastanza difficile. Facciamolo più semplice: eleviamo alla radice 3 e 10. Poi confrontiamo la grandezza dei numeri che compongono la differenza:

3 = √9. Pertanto, 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Vediamo che il primo numero è minore del secondo. Ciò significa che l'espressione è negativa, cioè la sua risposta è inferiore a zero:

3√5 – 10 < 0.

Ma secondo la regola, il modulo di un numero negativo è lo stesso numero con segno opposto. Abbiamo un'espressione negativa. Pertanto è necessario cambiarne il segno in quello opposto. L’espressione opposta per 3√5 – 10 è –(3√5 – 10). Apriamo le parentesi e otteniamo la risposta:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Risposta .

Il modulo è una di quelle cose di cui tutti sembrano aver sentito parlare, ma in realtà nessuno capisce veramente. Pertanto, oggi ci sarà una grande lezione dedicata alla risoluzione delle equazioni con i moduli.

Lo dico subito: la lezione non sarà difficile. E in generale, i moduli sono un argomento relativamente semplice. “Sì, certo, non è complicato! Mi lascia a bocca aperta!” - diranno molti studenti, ma tutte queste rotture cerebrali si verificano a causa del fatto che la maggior parte delle persone non ha la conoscenza in testa, ma una sorta di schifezza. E l'obiettivo di questa lezione è trasformare la schifezza in conoscenza. :)

Una piccola teoria

Quindi andiamo. Cominciamo dalla cosa più importante: cos'è un modulo? Lascia che ti ricordi che il modulo di un numero è semplicemente lo stesso numero, ma preso senza il segno meno. Questo è, ad esempio, $\left| -5 \destra|=5$. Oppure $\sinistra| -129,5 \right|=$129,5.

È così semplice? Sì, semplice. Qual è allora il valore assoluto di un numero positivo? Qui è ancora più semplice: il modulo di un numero positivo è uguale a questo numero stesso: $\left| 5 \destra|=5$; $\sinistra| 129,5 \right|=$129,5, ecc.

Si scopre una cosa curiosa: numeri diversi possono avere lo stesso modulo. Ad esempio: $\sinistra| -5 \destra|=\sinistra| 5 \destra|=5$; $\sinistra| -129.5 \destra|=\sinistra| 129,5\destra|=$129,5. È facile vedere che tipo di numeri sono questi, i cui moduli sono gli stessi: questi numeri sono opposti. Pertanto, notiamo da soli che i moduli di numeri opposti sono uguali:

\[\sinistra| -a \destra|=\sinistra| a\giusto|\]

Altro fatto importante: il modulo non è mai negativo. Qualunque numero prendiamo, positivo o negativo, il suo modulo risulta sempre positivo (o, in casi estremi, zero). Questo è il motivo per cui il modulo è spesso chiamato valore assoluto di un numero.

Inoltre, se combiniamo la definizione del modulo per un numero positivo e negativo, otteniamo una definizione globale del modulo per tutti i numeri. Vale a dire: il modulo di un numero è uguale al numero stesso se il numero è positivo (o zero), oppure uguale al numero opposto se il numero è negativo. Puoi scriverlo come una formula:

Esiste anche un modulo pari a zero, ma è sempre uguale a zero. Inoltre, lo zero è l'unico numero che non ha un opposto.

Pertanto, se consideriamo la funzione $y=\left| x \right|$ e provi a disegnarne il grafico, otterrai qualcosa del genere:

Grafico del modulo ed esempio di risoluzione dell'equazione

Da questa immagine è subito chiaro che $\left| -m \destra|=\sinistra| m \right|$ e il grafico del modulo non scende mai al di sotto dell'asse x. Ma non è tutto: la linea rossa segna la retta $y=a$, che, per $a$ positivo, ci dà due radici contemporaneamente: $((x)_(1))$ e $((x) _(2)) $, ma di questo ne parleremo più tardi. :)

Oltre alla definizione puramente algebrica, ne esiste una geometrica. Diciamo che ci sono due punti sulla linea numerica: $((x)_(1))$ e $((x)_(2))$. In questo caso, l'espressione $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ è semplicemente la distanza tra i punti specificati. Oppure, se preferisci, la lunghezza del segmento che collega questi punti:

Questa definizione implica anche che il modulo sia sempre non negativo. Ma basta definizioni e teoria: passiamo alle equazioni reali. :)

Formula di base

Ok, abbiamo risolto la definizione. Ma questo non ha reso le cose più facili. Come risolvere equazioni contenenti proprio questo modulo?

Calma, semplicemente calma. Cominciamo dalle cose più semplici. Considera qualcosa del genere:

\[\sinistra| x\destra|=3\]

Quindi il modulo di $x$ è 3. A cosa potrebbe essere uguale $x$? Bene, a giudicare dalla definizione, siamo abbastanza soddisfatti con $x=3$. Veramente:

\[\sinistra| 3\destra|=3\]

Ci sono altri numeri? Cap sembra suggerire che esista. Ad esempio, $x=-3$ è anche $\left| -3 \right|=3$, cioè l’uguaglianza richiesta è soddisfatta.

Quindi forse, se cerchiamo e pensiamo, troveremo più numeri? Ma diciamocelo: non ci sono più numeri. Equazione $\sinistra| x \right|=3$ ha solo due radici: $x=3$ e $x=-3$.

Ora complichiamo un po' il compito. Lascia che la funzione $f\left(x \right)$ si trovi sotto il segno del modulo invece della variabile $x$ e inserisci un numero arbitrario $a$ al posto della terna a destra. Otteniamo l'equazione:

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=a\]

Allora come possiamo risolvere questo problema? Lascia che te lo ricordi: $f\left(x \right)$ è una funzione arbitraria, $a$ è un numero qualsiasi. Quelli. Proprio niente! Per esempio:

\[\sinistra| 2x+1 \destra|=5\]

\[\sinistra| 10x-5 \destra|=-65\]

Prestiamo attenzione alla seconda equazione. Puoi subito dire di lui: non ha radici. Perché? Tutto è corretto: perché richiede che il modulo sia uguale a un numero negativo, cosa che non accade mai, poiché sappiamo già che il modulo è sempre un numero positivo o, in casi estremi, zero.

Ma con la prima equazione tutto è più divertente. Ci sono due opzioni: o c'è un'espressione positiva sotto il segno del modulo, e poi $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, oppure questa espressione è ancora negativa, e quindi $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Nel primo caso, la nostra equazione verrà riscritta come segue:

\[\sinistra| 2x+1 \destra|=5\Frecciadestra 2x+1=5\]

E all'improvviso si scopre che l'espressione submodulare $2x+1$ è davvero positiva - è uguale al numero 5. Cioè possiamo risolvere in sicurezza questa equazione: la radice risultante sarà una parte della risposta:

Chi è particolarmente diffidente può provare a sostituire la radice trovata nell'equazione originale e assicurarsi che sotto il modulo ci sia davvero un numero positivo.

Consideriamo ora il caso di un'espressione submodulare negativa:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Freccia destra 2x+1=-5\]

Ops! Ancora una volta, tutto è chiaro: abbiamo assunto che $2x+1 \lt 0$, e di conseguenza abbiamo ottenuto che $2x+1=-5$ - in effetti, questa espressione è inferiore a zero. Risolviamo l'equazione risultante, sapendo già per certo che la radice trovata sarà adatta a noi:

In totale, abbiamo ricevuto ancora una volta due risposte: $x=2$ e $x=3$. Sì, la quantità di calcoli si è rivelata leggermente maggiore rispetto alla semplicissima equazione $\left| x \right|=3$, ma sostanzialmente non è cambiato nulla. Quindi forse esiste una sorta di algoritmo universale?

Sì, un tale algoritmo esiste. E ora lo analizzeremo.

Eliminazione del segno del modulo

Diamo l'equazione $\left| f\left(x \right) \right|=a$, e $a\ge 0$ (altrimenti, come già sappiamo, non ci sono radici). Quindi puoi eliminare il segno del modulo utilizzando la seguente regola:

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=a\Frecciadestra f\sinistra(x \destra)=\pm a\]

Pertanto, la nostra equazione con un modulo si divide in due, ma senza modulo. Questa è tutta la tecnologia! Proviamo a risolvere un paio di equazioni. Cominciamo con questo

\[\sinistra| 5x+4 \destra|=10\Frecciadestra 5x+4=\pm 10\]

Consideriamo separatamente quando a destra c'è un dieci più e separatamente quando c'è un meno. Abbiamo:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Freccia destra 5x=-14\Freccia destra x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\fine(allinea)\]

È tutto! Abbiamo due radici: $x=1,2$ e $x=-2,8$. L'intera soluzione ha richiesto letteralmente due righe.

Ok, nessuna domanda, diamo un'occhiata a qualcosa di un po' più serio:

\[\sinistra| 7-5x\destra|=13\]

Ancora una volta apriamo il modulo con più e meno:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Freccia destra -5x=-20\Freccia destra x=4. \\\fine(allinea)\]

Ancora un paio di righe e la risposta è pronta! Come ho detto, non c'è nulla di complicato nei moduli. Devi solo ricordare alcune regole. Pertanto, andiamo avanti e iniziamo con compiti veramente più complessi.

Il caso di una variabile a destra

Consideriamo ora questa equazione:

\[\sinistra| 3x-2 \destra|=2x\]

Questa equazione è fondamentalmente diversa da tutte le precedenti. Come? E il fatto che a destra del segno uguale c'è l'espressione $2x$ - e non possiamo sapere in anticipo se sia positivo o negativo.

Cosa fare in questo caso? Innanzitutto dobbiamo capirlo una volta per tutte se il lato destro dell'equazione risulta essere negativo, l'equazione non avrà radici- sappiamo già che il modulo non può essere uguale a un numero negativo.

In secondo luogo, se la parte destra è ancora positiva (o uguale a zero), puoi agire esattamente come prima: apri semplicemente il modulo separatamente con un segno più e separatamente con un segno meno.

Pertanto, formuliamo una regola per le funzioni arbitrarie $f\left(x \right)$ e $g\left(x \right)$ :

\[\sinistra| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

In relazione alla nostra equazione otteniamo:

\[\sinistra| 3x-2 \right|=2x\Freccia destra \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Bene, in qualche modo riusciremo a soddisfare il requisito $2x\ge 0$. Alla fine, possiamo stupidamente sostituire le radici che otteniamo dalla prima equazione e verificare se la disuguaglianza vale o meno.

Quindi risolviamo l'equazione stessa:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Freccia destra 3x=0\Freccia destra x=0. \\\fine(allinea)\]

Ebbene, quale di queste due radici soddisfa il requisito $2x\ge 0$? Si, entrambi! Pertanto, la risposta sarà costituita da due numeri: $x=(4)/(3)\;$ e $x=0$. Questa è la soluzione. :)

Sospetto che alcuni studenti stiano già iniziando ad annoiarsi? Bene, diamo un'occhiata a un'equazione ancora più complessa:

\[\sinistra| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Anche se sembra malvagio, in realtà è sempre la stessa equazione della forma “modulo uguale funzione”:

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=g\sinistra(x \destra)\]

E si risolve esattamente nello stesso modo:

\[\sinistra| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Ci occuperemo della disuguaglianza più tardi: in qualche modo è troppo malvagia (in effetti, è semplice, ma non la risolveremo). Per ora è meglio occuparsi delle equazioni risultanti. Consideriamo il primo caso: questo è quando il modulo viene espanso con un segno più:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Bene, è un gioco da ragazzi che devi raccogliere tutto da sinistra, portare quelli simili e vedere cosa succede. E questo è ciò che accade:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\fine(allinea)\]

Togliamo il fattore comune $((x)^(2))$ tra parentesi e otteniamo un'equazione molto semplice:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(allineare) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Qui abbiamo sfruttato un'importante proprietà del prodotto, per la quale abbiamo scomposto il polinomio originale: il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero.

Affrontiamo ora esattamente nello stesso modo la seconda equazione, che si ottiene espandendo il modulo con il segno meno:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\sinistra(-3x+2 \destra)=0. \\\fine(allinea)\]

Di nuovo la stessa cosa: il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero. Abbiamo:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Bene, abbiamo tre radici: $x=0$, $x=1,5$ e $x=(2)/(3)\;$. Bene, quale di questi set entrerà nella risposta finale? Per fare ciò, ricordiamo che abbiamo un vincolo aggiuntivo sotto forma di disuguaglianza:

Come tenere conto di questo requisito? Sostituiamo semplicemente le radici trovate e controlliamo se la disuguaglianza vale per questi $x$ oppure no. Abbiamo:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Freccia destra x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\fine(allinea)\]

Pertanto la radice $x=1,5$ non è adatta a noi. E in risposta ci saranno solo due radici:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Come puoi vedere, anche in questo caso non c'era nulla di complicato: le equazioni con moduli vengono sempre risolte utilizzando un algoritmo. Devi solo avere una buona conoscenza dei polinomi e delle disuguaglianze. Passiamo quindi a compiti più complessi: non ci sarà già uno, ma due moduli.

Equazioni con due moduli

Fino ad ora abbiamo studiato solo le equazioni più semplici: c'era un modulo e qualcos'altro. Abbiamo inviato questo “qualcos'altro” in un'altra parte della disuguaglianza, lontano dal modulo, in modo che alla fine tutto si riducesse a un'equazione della forma $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ o anche più semplice $\left| f\sinistra(x \destra) \destra|=a$.

Ma l'asilo è finito: è ora di considerare qualcosa di più serio. Cominciamo con equazioni come questa:

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=\sinistra| g\sinistra(x \destra) \destra|\]

Questa è un'equazione della forma "modulo uguale modulo". Un punto di fondamentale importanza è l'assenza di altri termini e fattori: solo un modulo a sinistra, un altro modulo a destra - e niente di più.

Qualcuno ora penserà che tali equazioni siano più difficili da risolvere di quelle che abbiamo studiato finora. E invece no: queste equazioni sono ancora più facili da risolvere. Ecco la formula:

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=\sinistra| g\sinistra(x \destra) \destra|\Freccia destra f\sinistra(x \destra)=\pm g\sinistra(x \destra)\]

Tutto! Identifichiamo semplicemente le espressioni submodulari ponendo un segno più o meno davanti a una di esse. E poi risolviamo le due equazioni risultanti e le radici sono pronte! Nessuna restrizione aggiuntiva, nessuna disuguaglianza, ecc. Tutto è molto semplice.

Proviamo a risolvere questo problema:

\[\sinistra| 2x+3 \destra|=\sinistra| 2x-7 \destra|\]

Watson elementare! Espansione dei moduli:

\[\sinistra| 2x+3 \destra|=\sinistra| 2x-7 \right|\Freccia destra 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Consideriamo ogni caso separatamente:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\sinistra(2x-7 \destra)\Freccia destra 2x+3=-2x+7. \\\fine(allinea)\]

La prima equazione non ha radici. Perché quando $ 3 = -7 $? A quali valori di $x$? “Che diavolo sono $x$? Sei fatto? Non ci sono affatto $x$", dici. E avrai ragione. Abbiamo ottenuto un'uguaglianza che non dipende dalla variabile $x$, e allo stesso tempo l'uguaglianza stessa non è corretta. Ecco perché non ci sono radici. :)

Con la seconda equazione tutto è un po’ più interessante, ma anche molto, molto semplice:

Come puoi vedere, tutto è stato risolto letteralmente in un paio di righe: non ci aspettavamo nient'altro da un'equazione lineare. :)

Di conseguenza, la risposta finale è: $x=1$.

Così come? Difficile? Ovviamente no. Proviamo qualcos'altro:

\[\sinistra| x-1 \destra|=\sinistra| ((x)^(2))-3x+2 \destra|\]

Ancora una volta abbiamo un'equazione della forma $\left| f\sinistra(x \destra) \destra|=\sinistra| g\sinistra(x \destra) \destra|$. Pertanto lo riscriviamo immediatamente, rivelando il segno del modulo:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \sinistra(x-1 \destra)\]

Forse qualcuno ora chiederà: “Ehi, che sciocchezza? Perché "più-meno" appare nell'espressione della mano destra e non in quella sinistra?" Calmati, ora ti spiego tutto. In effetti, in senso buono avremmo dovuto riscrivere la nostra equazione come segue:

Quindi devi aprire le parentesi, spostare tutti i termini su un lato del segno uguale (poiché l'equazione, ovviamente, sarà quadrata in entrambi i casi), e quindi trovare le radici. Ma devi ammetterlo: quando "più-meno" appare prima di tre termini (specialmente quando uno di questi termini è un'espressione quadratica), sembra in qualche modo più complicato della situazione in cui "più-meno" appare prima di solo due termini.

Ma nulla ci impedisce di riscrivere l’equazione originale come segue:

\[\sinistra| x-1 \destra|=\sinistra| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \destra|=\sinistra| x-1 \destra|\]

Quello che è successo? Niente di speciale: hanno semplicemente scambiato i lati sinistro e destro. Una piccola cosa che alla fine ci renderà la vita un po' più semplice. :)

In generale, risolviamo questa equazione, considerando le opzioni con più e meno:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\fine(allinea)\]

La prima equazione ha radici $x=3$ e $x=1$. Il secondo è generalmente un quadrato esatto:

\[((x)^(2))-2x+1=((\sinistra(x-1 \destra))^(2))\]

Pertanto ha una sola radice: $x=1$. Ma abbiamo già ottenuto questa radice in precedenza. Pertanto, solo due numeri confluiranno nella risposta finale:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Missione completata! Puoi prendere una torta dallo scaffale e mangiarla. Ce ne sono 2, il tuo è quello di mezzo. :)

Nota importante. La presenza di radici identiche per diverse varianti di espansione del modulo fa sì che i polinomi originari siano fattorizzati, e tra questi fattori ce ne sarà sicuramente uno comune. Veramente:

\[\begin(align)& \left| x-1 \destra|=\sinistra| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \sinistra| x-1 \destra|=\sinistra| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\fine(allinea)\]

Una delle proprietà del modulo: $\left| a\cdot b \destra|=\sinistra| a \right|\cdot \left| b \right|$ (cioè il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei moduli), quindi l'equazione originale può essere riscritta come segue:

\[\sinistra| x-1 \destra|=\sinistra| x-1 \destra|\cdot \sinistra| x-2 \destra|\]

Come puoi vedere, abbiamo davvero un fattore comune. Ora, se raccogli tutti i moduli su un lato, puoi togliere questo fattore dalla parentesi:

\[\begin(align)& \left| x-1 \destra|=\sinistra| x-1 \destra|\cdot \sinistra| x-2 \destra|; \\& \sinistra| x-1 \destra|-\sinistra| x-1 \destra|\cdot \sinistra| x-2 \destra|=0; \\& \sinistra| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\fine(allinea)\]

Bene, ora ricordiamo che il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \destra|=0, \\& \sinistra| x-2 \destra|=1. \\\end(allineare) \right.\]

Pertanto, l'equazione originale con due moduli è stata ridotta alle due equazioni più semplici di cui abbiamo parlato all'inizio della lezione. Tali equazioni possono essere risolte letteralmente in un paio di righe. :)

Questa osservazione può sembrare inutilmente complessa e inapplicabile nella pratica. Tuttavia, in realtà, potresti incontrare problemi molto più complessi di quelli che vediamo oggi. In essi, i moduli possono essere combinati con polinomi, radici aritmetiche, logaritmi, ecc. E in tali situazioni, la possibilità di abbassare il grado complessivo dell'equazione togliendo qualcosa tra parentesi può essere molto, molto utile. :)

Ora vorrei considerare un'altra equazione, che a prima vista può sembrare folle. Molti studenti rimangono bloccati, anche quelli che pensano di avere una buona comprensione dei moduli.

Tuttavia, questa equazione è ancora più semplice da risolvere rispetto a quella che abbiamo visto in precedenza. E se capisci perché, otterrai un altro trucco per risolvere rapidamente le equazioni con i moduli.

Quindi l'equazione è:

\[\sinistra| x-((x)^(3)) \destra|+\sinistra| ((x)^(2))+x-2 \destra|=0\]

No, non è un errore di battitura: è un vantaggio tra i moduli. E dobbiamo trovare a quanto $x$ la somma di due moduli è uguale a zero. :)

Qual è il problema comunque? Ma il problema è che ogni modulo è un numero positivo o, in casi estremi, zero. Cosa succede se aggiungi due numeri positivi? Ovviamente di nuovo un numero positivo:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

L'ultima riga potrebbe darti un'idea: l'unica volta in cui la somma dei moduli è zero è se ogni modulo è zero:

\[\sinistra| x-((x)^(3)) \destra|+\sinistra| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]

E quando il modulo è uguale a zero? Solo in un caso, quando l'espressione submodulare è uguale a zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(allineare) \right.\]

Quindi, abbiamo tre punti in cui il primo modulo viene azzerato: 0, 1 e −1; così come due punti in cui il secondo modulo viene azzerato: −2 e 1. Tuttavia, abbiamo bisogno che entrambi i moduli vengano azzerati contemporaneamente, quindi tra i numeri trovati dobbiamo scegliere quelli inclusi in entrambi i set. Ovviamente esiste un solo numero di questo tipo: $x=1$ - questa sarà la risposta finale.

Metodo di scissione

Bene, abbiamo già trattato un sacco di problemi e imparato molte tecniche. Pensi che sia tutto? Ma no! Ora esamineremo la tecnica finale e allo stesso tempo la più importante. Parleremo della suddivisione delle equazioni con modulo. Di cosa parleremo? Torniamo un po' indietro e guardiamo qualche semplice equazione. Ad esempio questo:

\[\sinistra| 3x-5 \destra|=5-3x\]

In linea di principio sappiamo già come risolvere una simile equazione, perché è una costruzione standard della forma $\left| f\sinistra(x \destra) \destra|=g\sinistra(x \destra)$. Ma proviamo a guardare questa equazione da una prospettiva leggermente diversa. Più precisamente, considera l'espressione sotto il segno del modulo. Permettimi di ricordarti che il modulo di qualsiasi numero può essere uguale al numero stesso, oppure può essere opposto a questo numero:

\[\sinistra| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

In realtà, questa ambiguità è l'intero problema: poiché il numero sotto il modulo cambia (dipende dalla variabile), non ci è chiaro se sia positivo o negativo.

Ma cosa succede se inizialmente richiedi che questo numero sia positivo? Ad esempio, richiediamo che $3x-5 \gt 0$ - in questo caso abbiamo la garanzia di ottenere un numero positivo sotto il segno del modulo e possiamo eliminare completamente proprio questo modulo:

Pertanto, la nostra equazione si trasformerà in un'equazione lineare, che può essere facilmente risolta:

È vero, tutti questi pensieri hanno senso solo alla condizione $ 3x-5 \gt 0$: noi stessi abbiamo introdotto questo requisito per rivelare inequivocabilmente il modulo. Pertanto, sostituiamo $x=\frac(5)(3)$ trovato in questa condizione e controlliamo:

Risulta che per il valore specificato di $x$ il nostro requisito non è soddisfatto, perché l'espressione risulta essere uguale a zero e abbiamo bisogno che sia strettamente maggiore di zero. Triste. :(

Ma va bene! Dopotutto, esiste un'altra opzione: $3x-5 \lt 0$. Inoltre: esiste anche il caso $3x-5=0$ - anche questo deve essere considerato, altrimenti la soluzione sarà incompleta. Consideriamo quindi il caso $3x-5 \lt 0$:

Ovviamente il modulo si aprirà con il segno meno. Ma poi si presenta una situazione strana: sia a sinistra che a destra nell'equazione originale spunterà la stessa espressione:

Mi chiedo a quanto $x$ l'espressione $5-3x$ sarà uguale all'espressione $5-3x$? Persino Capitan Ovvietà si strozzerebbe con la saliva per tali equazioni, ma noi lo sappiamo: questa equazione è un'identità, cioè è vero per qualsiasi valore della variabile!

Ciò significa che qualsiasi $x$ andrà bene per noi. Abbiamo però una limitazione:

In altre parole, la risposta non sarà un singolo numero, ma un intero intervallo:

Infine, resta ancora un caso da considerare: $3x-5=0$. Qui tutto è semplice: sotto il modulo ci sarà zero, e anche il modulo zero è uguale a zero (questo segue direttamente dalla definizione):

Ma poi l'equazione originale $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ verrà riscritto come segue:

Abbiamo già ottenuto questa radice sopra quando abbiamo considerato il caso $3x-5 \gt 0$. Inoltre, questa radice è una soluzione all'equazione $3x-5=0$ - questa è la restrizione che noi stessi abbiamo introdotto per resettare il modulo. :)

Pertanto, oltre all'intervallo, ci accontenteremo anche del numero che si trova alla fine di questo intervallo:

Risposta finale totale: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Non è molto comune vedere una schifezza del genere nella risposta a un'equazione abbastanza semplice (essenzialmente lineare) con modulo , Beh, abituati: la difficoltà del modulo è che le risposte in tali equazioni possono rivelarsi completamente imprevedibili.

Qualcos'altro è molto più importante: abbiamo appena analizzato un algoritmo universale per risolvere un'equazione con un modulo! E questo algoritmo consiste nei seguenti passaggi:

1. Uguagliare ogni modulo nell'equazione a zero. Otteniamo diverse equazioni;
2. Risolvi tutte queste equazioni e segna le radici sulla linea numerica. Di conseguenza, la linea retta verrà divisa in più intervalli, in ciascuno dei quali tutti i moduli si riveleranno in modo univoco;
3. Risolvi l'equazione originale per ciascun intervallo e combina le tue risposte.

È tutto! Rimane solo una domanda: cosa fare con le radici ottenute nel passaggio 1? Diciamo che abbiamo due radici: $x=1$ e $x=5$. Divideranno la linea numerica in 3 pezzi:

Quindi quali sono gli intervalli? È chiaro che ce ne sono tre:

1. Quello più a sinistra: $x \lt 1$ — l'unità stessa non è inclusa nell'intervallo;
2. Centrale: $1\le x \lt 5$ - qui uno è incluso nell'intervallo, ma cinque non è incluso;
3. Più a destra: $x\ge 5$ - cinque è incluso solo qui!

Penso che tu abbia già capito lo schema. Ogni intervallo include l'estremità sinistra e non include quella destra.

A prima vista, una voce del genere può sembrare scomoda, illogica e generalmente una sorta di pazzia. Ma credimi: dopo un po 'di pratica scoprirai che questo approccio è il più affidabile e non interferisce con l'apertura inequivocabile dei moduli. È meglio usare uno schema del genere piuttosto che pensare ogni volta: dare l'estremità sinistra/destra all'intervallo corrente o “gettarlo” in quello successivo.

Questo conclude la lezione. Scarica i problemi da risolvere da solo, esercitati, confronta con le risposte - e ci vediamo alla prossima lezione, che sarà dedicata alle disuguaglianze con i moduli. :)

Per prima cosa definiamo il segno dell'espressione sotto il segno del modulo, quindi espandiamo il modulo:

• se il valore dell'espressione è maggiore di zero, lo rimuoviamo semplicemente da sotto il segno del modulo,
• se l'espressione è minore di zero, la rimuoviamo da sotto il segno del modulo, cambiando il segno, come abbiamo fatto prima negli esempi.

Bene, ci proviamo? Valutiamo:

(Dimenticato, ripeti.)

Se sì, che segno ha? Beh, certo, !

E quindi espandiamo il segno del modulo cambiando il segno dell'espressione:

Fatto? Allora provalo tu stesso:

Risposte:

Quali altre proprietà ha il modulo?

Se dobbiamo moltiplicare i numeri all'interno del segno del modulo, possiamo facilmente moltiplicare i moduli di questi numeri!!!

In termini matematici, Il modulo del prodotto dei numeri è uguale al prodotto dei moduli di questi numeri.

Per esempio:

Cosa succede se dobbiamo dividere due numeri (espressioni) sotto il segno del modulo?

Sì, lo stesso della moltiplicazione! Suddividiamolo in due numeri separati (espressioni) sotto il segno del modulo:

a condizione che (poiché non è possibile dividere per zero).

Vale la pena ricordare un'altra proprietà del modulo:

Il modulo della somma dei numeri è sempre inferiore o uguale alla somma dei moduli di questi numeri:

Perché? Tutto è molto semplice!

Come ricordiamo, il modulo è sempre positivo. Ma sotto il segno del modulo può esserci qualsiasi numero: sia positivo che negativo. Supponiamo che i numeri e siano entrambi positivi. Quindi l'espressione di sinistra sarà uguale all'espressione di destra.

Diamo un'occhiata ad un esempio:

Se sotto il segno del modulo un numero è negativo e l'altro è positivo, l'espressione di sinistra sarà sempre minore di quella di destra:

Tutto sembra chiaro con questa proprietà, diamo un'occhiata ad un altro paio di proprietà utili del modulo.

E se avessimo questa espressione:

Cosa possiamo fare con questa espressione? Il valore di x ci è sconosciuto, ma sappiamo già cosa significa.

Il numero è maggiore di zero, il che significa che puoi semplicemente scrivere:

Arriviamo quindi ad un’altra proprietà, che in generale può essere rappresentata come segue:

A cosa equivale questa espressione:

Dobbiamo quindi definire il segno sotto il modulo. È necessario definire un segno qui?

Ovviamente no, se ricordi che qualsiasi numero al quadrato è sempre maggiore di zero! Se non ricordi, consulta l'argomento. Quindi cosa succede? Ecco cosa:

Fantastico, vero? Abbastanza conveniente. E ora un esempio specifico per rafforzare:

Ebbene, perché questi dubbi? Agiamo con coraggio!

Hai capito tutto? Quindi vai avanti ed esercitati con gli esempi!

1. Trova il valore dell'espressione se.

2. Quali numeri hanno lo stesso modulo?

3. Trova il significato delle espressioni:

Se non è ancora tutto chiaro e ci sono difficoltà nelle soluzioni, allora scopriamolo:

Soluzione 1:

Quindi, sostituiamo i valori e nell'espressione

Soluzione 2:

Come ricordiamo, i numeri opposti sono uguali in modulo. Ciò significa che il valore del modulo è uguale a due numeri: e.

Soluzione 3:

UN)
B)
V)
G)

Hai preso tutto? Allora è il momento di passare a qualcosa di più complesso!

Proviamo a semplificare l'espressione

Soluzione:

Ricordiamo quindi che il valore del modulo non può essere inferiore a zero. Se il segno del modulo ha un numero positivo, allora possiamo semplicemente scartare il segno: il modulo del numero sarà uguale a questo numero.

Ma se c'è un numero negativo sotto il segno del modulo, allora il valore del modulo è uguale al numero opposto (cioè il numero preso con il segno “-”).

Per trovare il modulo di qualsiasi espressione, devi prima scoprire se assume un valore positivo o negativo.

Risulta che il valore della prima espressione sotto il modulo.

Pertanto, l'espressione sotto il segno del modulo è negativa. La seconda espressione sotto il segno del modulo è sempre positiva, poiché stiamo sommando due numeri positivi.

Quindi, il valore della prima espressione sotto il segno del modulo è negativo, la seconda è positiva:

Ciò significa che quando si espande il segno del modulo della prima espressione, dobbiamo prendere questa espressione con il segno "-". Come questo:

Nel secondo caso scartiamo semplicemente il segno del modulo:

Semplifichiamo questa espressione nella sua interezza:

Modulo del numero e sue proprietà (definizioni rigorose e dimostrazioni)

Definizione:

Il modulo (valore assoluto) di un numero è il numero stesso, se, e il numero, se:

Per esempio:

Esempio:

Semplifica l'espressione.

Soluzione:

Proprietà di base del modulo

Per tutti:

Esempio:

Dimostrare la proprietà n. 5.

Prova:

Supponiamo che esistano tali

Quadratiamo i lati sinistro e destro della disuguaglianza (questo può essere fatto, poiché entrambi i lati della disuguaglianza sono sempre non negativi):

e questo contraddice la definizione di modulo.

Di conseguenza, queste persone non esistono, il che significa che la disuguaglianza vale per tutti

Esempi di soluzioni indipendenti:

1) Dimostrare la proprietà n. 6.

2) Semplifica l'espressione.

Risposte:

1) Usiamo la proprietà n. 3: , e since, allora

Per semplificare è necessario espandere i moduli. E per espandere i moduli, devi scoprire se le espressioni sotto il modulo sono positive o negative?

UN. Confrontiamo i numeri e e:

B. Ora confrontiamo:

Sommiamo i valori dei moduli:

Il valore assoluto di un numero. Brevemente sulla cosa principale.

Il modulo (valore assoluto) di un numero è il numero stesso, se, e il numero, se:

Proprietà del modulo:

1. Il modulo di un numero è un numero non negativo: ;
2. I moduli dei numeri opposti sono uguali: ;
3. Il modulo del prodotto di due (o più) numeri è uguale al prodotto dei loro moduli: ;
4. Il modulo del quoziente di due numeri è uguale al quoziente dei loro moduli: ;
5. Il modulo della somma dei numeri è sempre inferiore o uguale alla somma dei moduli di questi numeri: ;
6. Un moltiplicatore positivo costante può essere estratto dal segno del modulo: at;

Il modulo del numero è un nuovo concetto in matematica. Diamo uno sguardo più da vicino a cos'è un modulo numerico e come lavorarci?

Diamo un'occhiata ad un esempio:

Uscimmo di casa per andare al negozio. Abbiamo camminato per 300 m, matematicamente questa espressione può essere scritta come +300, il significato del numero 300 dal segno “+” non cambierà. La distanza o modulo di un numero in matematica è la stessa cosa e si può scrivere così: |300|=300. Il segno del modulo di un numero è indicato da due linee verticali.

E poi abbiamo camminato per 200 metri nella direzione opposta. Matematicamente, possiamo scrivere il percorso di ritorno come -200. Ma non diciamo “siamo andati a meno duecento metri”, anche se siamo tornati, perché la distanza come quantità rimane positiva. A questo scopo in matematica è stato introdotto il concetto di modulo. Puoi scrivere la distanza o il modulo del numero -200 in questo modo: |-200|=200.

Proprietà del modulo.

Definizione:
Modulo di un numero o valore assoluto di un numeroè la distanza dal punto di partenza al punto di destinazione.

Il modulo di un intero diverso da zero è sempre un numero positivo.

Il modulo è scritto così:

1. Il modulo di un numero positivo è uguale al numero stesso.
| a|=UN

2. Il modulo di un numero negativo è uguale al numero opposto.
|- a|=UN

3. Il modulo di zero è uguale a zero.
|0|=0

4. I moduli dei numeri opposti sono uguali.
| a|=|-a|=UN

Domande correlate:
Qual è il modulo di un numero?
Risposta: Il modulo è la distanza dal punto di partenza al punto di destinazione.

Se metti un segno "+" davanti a un numero intero, cosa succede?
Risposta: il numero non cambierà significato, ad esempio 4=+4.

Se metti un segno "-" davanti a un numero intero, cosa succede?
Risposta: il numero cambierà, ad esempio, in 4 e -4.

Quali numeri hanno lo stesso modulo?
Risposta: i numeri positivi e lo zero avranno lo stesso modulo. Ad esempio, 15=|15|.

Quali numeri hanno il modulo del numero opposto?
Risposta: per i numeri negativi il modulo sarà uguale al numero opposto. Ad esempio, |-6|=6.

Esempio 1:
Trova il modulo dei numeri: a) 0 b) 5 c) -7?

Soluzione:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Esempio n.2:
Esistono due numeri diversi i cui moduli sono uguali?

Soluzione:
|10|=10
|-10|=10

I moduli dei numeri opposti sono uguali.

Esempio n.3:
Quali due numeri opposti hanno modulo 9?

Soluzione:
|9|=9
|-9|=9

Risposta: 9 e -9.

Esempio n.4:
Seguire questi passaggi: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Soluzione:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Esempio n.5:
Trova: a) il modulo del numero 2 b) il modulo del numero 6 c) il modulo del numero 8 d) il modulo del numero 1 e) il modulo del numero 0.
Soluzione:

a) il modulo del numero 2 si indica con |2| o |+2| È lo stesso.
|2|=2

b) il modulo del numero 6 si indica con |6| o |+6| È lo stesso.
|6|=6

c) il modulo del numero 8 si indica con |8| o |+8| È lo stesso.
|8|=8

d) il modulo del numero 1 si indica con |1| o |+1| È lo stesso.
|1|=1

e) il modulo del numero 0 si indica con |0|, |+0| o |-0| È lo stesso.
|0|=0