Determinazione delle variazioni della quantità di moto del corpo. Cos'è l'impulso del corpo

Grandezze dinamiche di base: forza, massa, impulso del corpo, momento di forza, momento angolare.

La forza è una quantità vettoriale, che è una misura dell'azione di altri corpi o campi su un dato corpo.

La forza è caratterizzata da:

· Modulo

Direzione

Punto di applicazione

Nel sistema SI la forza si misura in newton.

Per capire cos'è la forza di un Newton, dobbiamo ricordare che una forza applicata ad un corpo ne modifica la velocità. Inoltre, ricordiamo l'inerzia dei corpi, che, come ricordiamo, è associata alla loro massa. COSÌ,

Un newton è una forza che varia la velocità di un corpo di 1 kg di 1 m/s ogni secondo.

Esempi di forze includono:

· Gravità– una forza che agisce su un corpo a seguito dell’interazione gravitazionale.

· Forza elastica- la forza con cui un corpo resiste ad un carico esterno. La sua causa è l'interazione elettromagnetica delle molecole del corpo.

· La forza di Archimede- una forza associata al fatto che un corpo sposta un certo volume di liquido o gas.

· Forza di reazione al suolo- la forza con cui il supporto agisce sul corpo che si trova su di esso.

· Forza di attrito– la forza di resistenza al movimento relativo delle superfici in contatto dei corpi.

· La tensione superficiale è una forza che si verifica all'interfaccia tra due mezzi.

· Peso corporeo- la forza con cui il corpo agisce su un supporto orizzontale o una sospensione verticale.

E altre forze.

La forza viene misurata utilizzando un dispositivo speciale. Questo dispositivo è chiamato dinamometro (Fig. 1). Il dinamometro è composto dalla molla 1, il cui allungamento ci mostra la forza, dalla freccia 2, che scorre lungo la scala 3, dall'asta limitatrice 4, che impedisce alla molla di allungarsi troppo, e dal gancio 5, al quale è sospeso il carico.

Riso. 1. Dinamometro (fonte)

Molte forze possono agire sul corpo. Per descrivere correttamente il movimento di un corpo è conveniente utilizzare il concetto di forze risultanti.

La forza risultante è una forza la cui azione sostituisce l'azione di tutte le forze applicate al corpo (Fig. 2).

Conoscendo le regole per lavorare con le quantità vettoriali, è facile intuire che la risultante di tutte le forze applicate a un corpo è la somma vettoriale di queste forze.

Riso. 2. Risultante di due forze agenti su un corpo

Inoltre, poiché consideriamo il movimento di un corpo in un sistema di coordinate, di solito è vantaggioso per noi considerare non la forza stessa, ma la sua proiezione sull'asse. La proiezione della forza sull'asse può essere negativa o positiva, perché la proiezione è una quantità scalare. Quindi, nella Figura 3 vengono mostrate le proiezioni delle forze, la proiezione della forza è negativa e la proiezione della forza è positiva.

Riso. 3. Proiezioni delle forze sull'asse

Quindi, da questa lezione abbiamo approfondito la nostra comprensione del concetto di forza. Abbiamo ricordato le unità di misura della forza e il dispositivo con cui viene misurata la forza. Inoltre, abbiamo esaminato quali forze esistono in natura. Infine, abbiamo imparato come agire quando sul corpo agiscono più forze.

Peso, una quantità fisica, una delle principali caratteristiche della materia, che ne determina le proprietà inerziali e gravitazionali. Di conseguenza, viene fatta una distinzione tra Massa inerziale e Massa gravitazionale (pesante, gravitante).

Il concetto di massa è stato introdotto nella meccanica da I. Newton. Nella meccanica newtoniana classica, la Massa è inclusa nella definizione di quantità di moto (quantità di moto) di un corpo: quantità di moto R proporzionale alla velocità del corpo v, p = mv(1). Il coefficiente di proporzionalità è un valore costante per un dato corpo M- ed è la Massa del corpo. La definizione equivalente di Massa si ottiene dall'equazione del moto della meccanica classica f = ma(2). Qui la Massa è il coefficiente di proporzionalità tra la forza che agisce sul corpo F e l'accelerazione del corpo da esso causata UN. La massa definita dalle relazioni (1) e (2) è detta massa inerziale, o massa inerziale; caratterizza le proprietà dinamiche di un corpo, è una misura dell'inerzia del corpo: a forza costante, maggiore è la massa del corpo, minore è l'accelerazione che acquisisce, cioè più lentamente cambia lo stato del suo movimento (la maggiore è la sua inerzia).

Agendo su corpi diversi con la stessa forza e misurandone le accelerazioni, possiamo determinare la relazione tra la massa di questi corpi: m1: m2: m3 ... = a1: a2: a3 ...; se si prende come unità di misura una delle Masse si può trovare la Massa dei restanti corpi.

Nella teoria della gravità di Newton, la Massa appare in una forma diversa: come fonte del campo gravitazionale. Ogni corpo crea un campo gravitazionale proporzionale alla Massa del corpo (e risente del campo gravitazionale creato da altri corpi, la cui intensità è anch'essa proporzionale alla Massa dei corpi). Questo campo provoca l’attrazione di qualsiasi altro corpo verso questo corpo con una forza determinata dalla legge di gravità di Newton:

(3)

Dove R- distanza tra i corpi, Gè la costante gravitazionale universale, a m1 E m2- Masse di corpi attrattivi. Dalla formula (3) è facile ricavare la formula per peso R massa corporea M nel campo gravitazionale della Terra: P =mg (4).

Qui g = G*M/r 2- accelerazione della caduta libera nel campo gravitazionale della Terra, e R » R- il raggio della Terra. La massa determinata dalle relazioni (3) e (4) è chiamata massa gravitazionale del corpo.

In linea di principio, non consegue da nessuna parte che la Massa che crea il campo gravitazionale determini anche l'inerzia dello stesso corpo. Tuttavia l’esperienza ha dimostrato che la Massa inerziale e la Massa gravitazionale sono proporzionali tra loro (e con la consueta scelta delle unità di misura, sono numericamente uguali). Questa legge fondamentale della natura è chiamata principio di equivalenza. La sua scoperta è associata al nome di G. Galileo, il quale stabilì che tutti i corpi sulla Terra cadono con la stessa accelerazione. A. Einstein pose questo principio (da lui formulato per la prima volta) alla base della teoria generale della relatività. Il principio di equivalenza è stato stabilito sperimentalmente con altissima precisione. Per la prima volta (1890-1906), un test di precisione sull'uguaglianza delle Masse inerziale e gravitazionale fu effettuato da L. Eotvos, il quale scoprì che le Masse coincidono con un errore di ~ 10 -8. Nel 1959-64, i fisici americani R. Dicke, R. Krotkov e P. Roll ridussero l'errore a 10 -11 e nel 1971 i fisici sovietici V.B. Braginsky e V.I. Panov - a 10 -12.

Il principio di equivalenza ci consente di determinare la massa corporea nel modo più naturale mediante pesatura.

Inizialmente la massa era considerata (ad esempio da Newton) come una misura della quantità di materia. Questa definizione ha un significato chiaro solo per il confronto di corpi omogenei costruiti con lo stesso materiale. Sottolinea l'additività della Massa: la Massa di un corpo è uguale alla somma della Massa delle sue parti. La massa di un corpo omogeneo è proporzionale al suo volume, quindi possiamo introdurre il concetto di densità - Massa dell'unità di volume di un corpo.

Nella fisica classica si credeva che la massa di un corpo non cambiasse durante nessun processo. Ciò corrispondeva alla legge di conservazione della massa (materia), scoperta da M.V. Lomonosov e A.L. Lavoisier. In particolare, questa legge affermava che in qualsiasi reazione chimica la somma delle Masse dei componenti iniziali è uguale alla somma delle Masse dei componenti finali.

Il concetto di massa ha acquisito un significato più profondo nella meccanica della teoria della relatività speciale di A. Einstein, che considera il movimento dei corpi (o particelle) a velocità molto elevate - paragonabili alla velocità della luce con ~ 3 10 10 cm/sec. Nella nuova meccanica – è detta meccanica relativistica – il rapporto tra quantità di moto e velocità di una particella è dato dalla relazione:

(5)

A basse velocità ( v << C) questa relazione entra nella relazione newtoniana p = mv. Quindi il valore m 0è chiamata massa a riposo e la massa di una particella in movimento Mè definito come il coefficiente di proporzionalità dipendente dalla velocità tra P E v:

(6)

Tenendo presente, in particolare, questa formula, si dice che la massa di una particella (corpo) cresce all'aumentare della sua velocità. Un tale aumento relativistico della massa di una particella all'aumentare della sua velocità deve essere preso in considerazione quando si progettano acceleratori di particelle cariche ad alta energia. Messa di riposo m 0(Massa nel sistema di riferimento associato alla particella) è la caratteristica interna più importante della particella. Tutte le particelle elementari hanno significati rigorosamente definiti m 0, inerente a un dato tipo di particella.

È da notare che nella meccanica relativistica, la definizione di Massa dall’equazione del moto (2) non equivale alla definizione di Massa come coefficiente di proporzionalità tra la quantità di moto e la velocità della particella, poiché l’accelerazione cessa di essere parallelamente alla forza che l'ha provocata e la Massa risulta dipendere dalla direzione della velocità della particella.

Secondo la teoria della relatività, Massa della particella M collegato alla sua energia E rapporto:

(7)

La massa a riposo determina l'energia interna della particella, la cosiddetta energia a riposo E0 = m0s2. Pertanto, l’energia è sempre associata alla Massa (e viceversa). Pertanto, non esiste una legge separata (come nella fisica classica) della conservazione della massa e della legge di conservazione dell'energia: sono fuse in un'unica legge di conservazione dell'energia totale (cioè inclusa l'energia a riposo delle particelle). Una divisione approssimativa nella legge di conservazione dell'energia e nella legge di conservazione della massa è possibile solo nella fisica classica, quando le velocità delle particelle sono piccole ( v << C) e i processi di trasformazione delle particelle non si verificano.

Nella meccanica relativistica la Massa non è una caratteristica additiva di un corpo. Quando due particelle si combinano per formare uno stato composto stabile, viene rilasciato un eccesso di energia (pari all'energia di legame) D E, che corrisponde alla Messa D m = D E/s 2. Pertanto, la Massa di una particella composita è inferiore alla somma delle Masse delle particelle che la compongono della quantità D E/s 2(il cosiddetto difetto di massa). Questo effetto è particolarmente pronunciato nelle reazioni nucleari. Ad esempio, la massa del deutone ( D) è inferiore alla somma delle masse dei protoni ( P) e neutrone ( N); massa difettosa D M associato all'energia Per esempio quanto gamma ( G), nato durante la formazione di un deutone: p+n -> d+g, Eg = Dmc 2. Il difetto di massa che si verifica durante la formazione di una particella composita riflette la connessione organica tra massa ed energia.

L'unità di massa nel sistema di unità CGS è grammo, e dentro Sistema internazionale di unità SI- chilogrammo. La massa di atomi e molecole viene solitamente misurata in unità di massa atomica. La massa delle particelle elementari è solitamente espressa in unità di massa elettronica Me, o in unità di energia, indicando l'energia a riposo della particella corrispondente. Pertanto, la massa di un elettrone è 0,511 MeV, la massa di un protone è 1836,1 Me, o 938,2 MeV, ecc.

La natura della massa è uno dei più importanti problemi irrisolti della fisica moderna. È generalmente accettato che la massa di una particella elementare sia determinata dai campi ad essa associati (elettromagnetico, nucleare e altri). Tuttavia, una teoria quantitativa della massa non è stata ancora creata. Non esiste inoltre alcuna teoria che spieghi perché la massa delle particelle elementari formi uno spettro discreto di valori, tanto meno che ci permetta di determinare questo spettro.

In astrofisica la massa di un corpo che crea un campo gravitazionale determina il cosiddetto raggio gravitazionale del corpo R gr = 2GM/s 2. A causa dell'attrazione gravitazionale, nessuna radiazione, inclusa la luce, può fuoriuscire oltre la superficie di un corpo con un raggio R=< R гр . Le stelle di queste dimensioni saranno invisibili; Ecco perché venivano chiamati "buchi neri". Tali corpi celesti devono svolgere un ruolo importante nell'Universo.

Impulso di forza. Impulso del corpo

Il concetto di quantità di moto fu introdotto nella prima metà del XVII secolo da René Descartes e poi perfezionato da Isaac Newton. Secondo Newton, che chiamò quantità di moto la quantità di movimento, questa ne è una misura, proporzionale alla velocità di un corpo e alla sua massa. Definizione moderna: La quantità di moto di un corpo è una quantità fisica pari al prodotto della massa del corpo per la sua velocità:

Innanzitutto dalla formula sopra riportata risulta chiaro che l’impulso è una grandezza vettoriale e la sua direzione coincide con la direzione della velocità del corpo; l’unità di misura dell’impulso è:

= [kg·m/s]

Consideriamo come questa quantità fisica è correlata alle leggi del movimento. Scriviamo la seconda legge di Newton, tenendo conto che l'accelerazione è la variazione della velocità nel tempo:

Esiste una connessione tra la forza che agisce sul corpo, o più precisamente, la forza risultante, e la variazione della sua quantità di moto. L'entità del prodotto di una forza per un periodo di tempo è chiamata impulso di forza. Dalla formula precedente è chiaro che la variazione della quantità di moto del corpo è uguale all'impulso della forza.

Quali effetti possono essere descritti utilizzando questa equazione (Fig. 1)?

Riso. 1. Relazione tra impulso di forza e impulso del corpo (Fonte)

Una freccia scoccata da un arco. Più a lungo dura il contatto della corda con la freccia (∆t), maggiore è la variazione della quantità di moto della freccia (∆) e quindi maggiore è la sua velocità finale.

Due palle in collisione. Mentre le sfere sono in contatto, agiscono l’una sull’altra con forze di uguale grandezza, come ci insegna la terza legge di Newton. Ciò significa che anche le variazioni della loro quantità di moto devono essere uguali in grandezza, anche se le masse delle sfere non sono uguali.

Dopo aver analizzato le formule si possono trarre due importanti conclusioni:

1. Forze identiche che agiscono per lo stesso periodo di tempo provocano le stesse variazioni di quantità di moto in corpi diversi, indipendentemente dalla massa di questi ultimi.

2. La stessa variazione della quantità di moto di un corpo può essere ottenuta sia agendo con una piccola forza per un lungo periodo di tempo, sia agendo brevemente con una grande forza sullo stesso corpo.

Secondo la seconda legge di Newton possiamo scrivere:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

Il rapporto tra la variazione della quantità di moto di un corpo e il periodo di tempo durante il quale si è verificata questa variazione è uguale alla somma delle forze agenti sul corpo.

Dopo aver analizzato questa equazione, vediamo che la seconda legge di Newton ci consente di ampliare la classe di problemi da risolvere e includere problemi in cui la massa dei corpi cambia nel tempo.

Se proviamo a risolvere problemi con corpi di massa variabile utilizzando la consueta formulazione della seconda legge di Newton:

quindi tentare una soluzione del genere porterebbe a un errore.

Un esempio di ciò è il già citato aereo a reazione o razzo spaziale, che brucia carburante durante il movimento e i prodotti di questa combustione vengono rilasciati nello spazio circostante. Naturalmente, la massa di un aereo o di un razzo diminuisce man mano che viene consumato carburante.

MOMENTO DI POTERE- grandezza che caratterizza l'effetto rotatorio della forza; ha la dimensione del prodotto tra lunghezza e forza. Distinguere momento di potere rispetto al centro (punto) e rispetto all'asse.

SM. rispetto al centro DI chiamato quantità vettoriale M 0 uguale al prodotto vettoriale del raggio vettore R , effettuato da O fino al punto di applicazione della forza F , per forza M 0 = [RF ] o in altre notazioni M 0 = R F (riso.). Numericamente M. s. uguale al prodotto del modulo di forza per il braccio H, cioè dalla lunghezza della perpendicolare abbassata da DI sulla linea di azione della forza, ovvero il doppio dell'area

triangolo costruito al centro O e forza:

Vettore diretto M 0 perpendicolare al piano passante O E F . Lato verso cui si sta dirigendo M 0, selezionato in modo condizionale ( M 0 - vettore assiale). Con un sistema di coordinate destrorso, il vettore M 0 è diretto nella direzione da cui la rotazione effettuata dalla forza è visibile in senso antiorario.

SM. rispetto all'asse z chiamato quantità scalare M z, uguale alla proiezione sull'asse z vettore M. s. rispetto a qualsiasi centro DI, preso su questo asse; misurare M z può anche essere definita come una proiezione su un piano xy, perpendicolare all'asse z, l'area del triangolo Rubrica fuori rete o come momento di proiezione Fxy forza F all'aereo xy, preso rispetto al punto di intersezione dell'asse z con questo piano. A.,

Nelle ultime due espressioni di M. s. è considerato positivo quando la forza di rotazione Fxy visibile dal positivo l'estremità dell'asse z in senso antiorario (nel sistema di coordinate destro). SM. rispetto agli assi coordinati Oxyz può anche essere calcolato analiticamente. f-lam:

Dove Fx, Fy, Fz- proiezioni di forza F sugli assi delle coordinate, x, y, z- coordinate del punto UN applicazione della forza. Le quantità M x , M y , M z sono uguali alle proiezioni del vettore M 0 sugli assi delle coordinate.

Cambiano perché su ciascuno dei corpi agiscono le forze di interazione, ma la somma degli impulsi rimane costante. Questo è chiamato legge di conservazione della quantità di moto.

Seconda legge di Newtonè espresso dalla formula Può essere scritto in un altro modo, se ricordiamo che l'accelerazione è uguale alla velocità di variazione della velocità di un corpo. Per il moto uniformemente accelerato la formula sarà:

Se sostituiamo questa espressione nella formula, otteniamo:

Questa formula può essere riscritta come:

Il lato destro di questa uguaglianza registra la variazione del prodotto tra la massa di un corpo e la sua velocità. Il prodotto tra la massa corporea e la velocità è una grandezza fisica chiamata impulso del corpo O quantità di movimento del corpo.

Impulso del corpoè chiamato il prodotto della massa di un corpo per la sua velocità. Questa è una quantità vettoriale. La direzione del vettore quantità di moto coincide con la direzione del vettore velocità.

In altre parole, un corpo di massa M, muoversi con velocità ha slancio. L'unità SI dell'impulso è l'impulso di un corpo del peso di 1 kg che si muove alla velocità di 1 m/s (kg m/s). Quando due corpi interagiscono tra loro, se il primo agisce sul secondo corpo con una forza, allora, secondo la terza legge di Newton, il secondo agisce sul primo con una forza. Indichiamo le masse di questi due corpi con M 1 e M 2, e le loro velocità rispetto a qualsiasi sistema di riferimento attraverso e. Col tempo T come risultato dell'interazione dei corpi, le loro velocità cambieranno e diventeranno uguali e . Sostituendo questi valori nella formula, otteniamo:

Quindi,

Cambiamo i segni di entrambi i lati dell'uguaglianza nei loro opposti e scriviamoli nella forma

Sul lato sinistro dell'equazione c'è la somma degli impulsi iniziali di due corpi, sul lato destro c'è la somma degli impulsi degli stessi corpi nel tempo T. Gli importi sono uguali. Quindi, nonostante ciò. che l'impulso di ciascun corpo cambia durante l'interazione, l'impulso totale (la somma degli impulsi di entrambi i corpi) rimane invariato.

Valido anche quando interagiscono più corpi. Tuttavia, è importante che questi corpi interagiscano solo tra loro e non siano influenzati dalle forze di altri corpi non inclusi nel sistema (o che le forze esterne siano bilanciate). Viene chiamato un gruppo di corpi che non interagisce con altri corpi sistema chiuso valido solo per sistemi chiusi.

Dopo aver studiato le leggi di Newton, vediamo che con il loro aiuto è possibile risolvere i problemi fondamentali della meccanica se conosciamo tutte le forze che agiscono sul corpo. Ci sono situazioni in cui è difficile o addirittura impossibile determinare questi valori. Consideriamo diverse situazioni simili.Quando due palle da biliardo o due automobili si scontrano, riguardo alle forze in gioco possiamo affermare che questa è la loro natura; qui agiscono forze elastiche. Tuttavia, non saremo in grado di determinare con precisione né i loro moduli né le loro direzioni, soprattutto perché queste forze hanno una durata d'azione estremamente breve.Con il movimento dei razzi e degli aerei a reazione, possiamo dire poco anche sulle forze che mettono in moto questi corpi.In questi casi vengono utilizzati metodi che consentono di evitare di risolvere le equazioni del moto e di utilizzare immediatamente le conseguenze di queste equazioni. In questo caso vengono introdotte nuove quantità fisiche. Consideriamo una di queste quantità, chiamata quantità di moto del corpo

Dopo aver analizzato le formule si possono trarre due importanti conclusioni:

1. Forze identiche che agiscono per lo stesso periodo di tempo provocano le stesse variazioni di quantità di moto in corpi diversi, indipendentemente dalla massa di questi ultimi.

Secondo la seconda legge di Newton possiamo scrivere:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

Il rapporto tra la variazione della quantità di moto di un corpo e il periodo di tempo durante il quale si è verificata questa variazione è uguale alla somma delle forze agenti sul corpo.

Se proviamo a risolvere problemi con corpi di massa variabile utilizzando la consueta formulazione della seconda legge di Newton:

quindi tentare una soluzione del genere porterebbe a un errore.

Nonostante il fatto che la seconda legge di Newton nella forma "la forza risultante è uguale al prodotto della massa di un corpo e della sua accelerazione" ci consente di risolvere una classe abbastanza ampia di problemi, ci sono casi di movimento dei corpi che non possono essere completamente descritto da questa equazione. In tali casi è necessario applicare un'altra formulazione della seconda legge, collegando la variazione della quantità di moto del corpo con l'impulso della forza risultante. Inoltre, ci sono una serie di problemi in cui la soluzione delle equazioni del moto è matematicamente estremamente difficile o addirittura impossibile. In questi casi è utile utilizzare il concetto di quantità di moto.

Utilizzando la legge di conservazione della quantità di moto e la relazione tra la quantità di moto di una forza e la quantità di moto di un corpo, possiamo derivare la seconda e la terza legge di Newton.

La seconda legge di Newton deriva dalla relazione tra l'impulso di una forza e la quantità di moto di un corpo.

L'impulso di forza è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo:

Fatti gli opportuni trasferimenti, otteniamo la dipendenza della forza dall'accelerazione, poiché l'accelerazione è definita come il rapporto tra la variazione di velocità e il tempo durante il quale tale variazione si è verificata:

Sostituendo i valori nella nostra formula, otteniamo la formula per la seconda legge di Newton:

Per derivare la terza legge di Newton, abbiamo bisogno della legge di conservazione della quantità di moto.

I vettori enfatizzano la natura vettoriale della velocità, cioè il fatto che la velocità può cambiare direzione. Dopo le trasformazioni otteniamo:

Poiché il periodo di tempo in un sistema chiuso era un valore costante per entrambi i corpi, possiamo scrivere:

Abbiamo ottenuto la terza legge di Newton: due corpi interagiscono tra loro con forze uguali in grandezza e opposte in direzione. I vettori di queste forze sono diretti l'uno verso l'altro, rispettivamente, i moduli di queste forze hanno lo stesso valore.

Bibliografia

Tikhomirova S.A., Yavorsky B.M. Fisica (livello base) - M.: Mnemosyne, 2012.
Gendenshtein L.E., Dick Yu.I. Fisica 10° grado. - M.: Mnemosine, 2014.
Kikoin I.K., Kikoin A.K. Fisica - 9, Mosca, Istruzione, 1990.

Compiti a casa

Definire l'impulso di un corpo, l'impulso della forza.
Come sono legati l'impulso di un corpo all'impulso della forza?
Quali conclusioni si possono trarre dalle formule per l'impulso del corpo e l'impulso di forza?

Portale Internet Questions-physics.ru ().
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I problemi con i corpi in movimento in fisica, quando la velocità è molto inferiore a quella della luce, vengono risolti utilizzando le leggi della meccanica newtoniana o classica. Uno dei concetti importanti in esso è l'impulso. Quelli di base in fisica sono forniti in questo articolo.

Impulso o slancio?

Prima di fornire le formule per la quantità di moto di un corpo in fisica, conosciamo questo concetto. Per la prima volta la quantità chiamata impeto venne utilizzata da Galileo nella descrizione delle sue opere all'inizio del XVII secolo. Successivamente, Isaac Newton usò un altro nome per questo: motus (movimento). Poiché la figura di Newton ebbe un'influenza maggiore sullo sviluppo della fisica classica rispetto alla figura di Galileo, inizialmente era consuetudine parlare non della quantità di moto di un corpo, ma della quantità di movimento.

La quantità di movimento è intesa come il prodotto della velocità di movimento di un corpo per il coefficiente d'inerzia, cioè per la massa. La formula corrispondente è:

Qui p¯ è un vettore la cui direzione coincide con v¯, ma il modulo è m volte maggiore del modulo v¯.

Variazione del valore p¯

Il concetto di quantità di moto è attualmente utilizzato meno spesso di quello di impulso. E questo fatto è direttamente correlato alle leggi della meccanica newtoniana. Scriviamolo nella forma fornita nei libri di testo scolastici di fisica:

Sostituiamo l'accelerazione a¯ con la corrispondente espressione per la derivata della velocità, otteniamo:

Trasferendo dt dal denominatore del membro destro dell'uguaglianza al numeratore di sinistra, otteniamo:

Abbiamo ottenuto un risultato interessante: oltre al fatto che la forza agente F¯ porta all'accelerazione del corpo (vedi la prima formula di questo paragrafo), cambia anche l'entità del suo movimento. Il prodotto della forza per il tempo, che si trova sul lato sinistro, è chiamato impulso della forza. Risulta essere uguale alla variazione di p¯. Pertanto, l'ultima espressione è anche chiamata formula della quantità di moto in fisica.

Si noti che anche dp¯ lo è ma, a differenza di p¯, è diretto non come velocità v¯, ma come forza F¯.

Un esempio lampante di cambiamento nel vettore della quantità di moto (impulso) è la situazione in cui un giocatore di football colpisce la palla. Prima del colpo la palla si muoveva verso il giocatore, dopo il colpo si allontanava da lui.

Legge di conservazione della quantità di moto

Le formule in fisica che descrivono la conservazione del valore p¯ possono essere fornite in diverse versioni. Prima di scriverli, rispondiamo alla domanda su quando si conserva la quantità di moto.

Torniamo all'espressione del paragrafo precedente:

Dice che se la somma delle forze esterne che agiscono sul sistema è zero (sistema chiuso, F¯= 0), allora dp¯= 0, cioè non si verificherà alcuna variazione della quantità di moto:

Questa espressione è comune alla quantità di moto di un corpo e alla legge di conservazione della quantità di moto in fisica. Notiamo due punti importanti che dovresti conoscere per applicare con successo questa espressione nella pratica:

La quantità di moto si conserva lungo ciascuna coordinata, cioè se prima di un evento il valore di p x del sistema era 2 kg*m/s, dopo questo evento sarà lo stesso.
La quantità di moto si conserva indipendentemente dalla natura degli urti dei corpi solidi nel sistema. Esistono due casi ideali di tali collisioni: impatti assolutamente elastici e impatti assolutamente plastici. Nel primo caso si conserva anche l'energia cinetica, nel secondo parte di essa viene spesa per la deformazione plastica dei corpi, ma la quantità di moto è ancora conservata.

Interazione elastica e anelastica di due corpi

Un caso speciale di utilizzo della formula della quantità di moto in fisica e della sua conservazione è il movimento di due corpi che entrano in collisione tra loro. Consideriamo due casi fondamentalmente diversi, menzionati nel paragrafo precedente.

Se l'urto è assolutamente elastico, cioè il trasferimento della quantità di moto da un corpo all'altro avviene tramite deformazione elastica, allora la formula di conservazione p sarà scritta come segue:

m1 *v1 + m2 *v2 = m1 *u1 + m2 *u2

È importante qui ricordare che il segno della velocità deve essere sostituito tenendo conto della sua direzione lungo l'asse considerato (velocità opposte hanno segno diverso). Questa formula mostra che, dato lo stato iniziale noto del sistema (valori m 1, v 1, m 2, v 2), nello stato finale (dopo l'urto) ci sono due incognite (u 1, u 2) . Puoi trovarli se usi la corrispondente legge di conservazione dell'energia cinetica:

m1 *v1 2 + m2 *v2 2 = m1 *u1 2 + m2 *u2 2

Se l'impatto è assolutamente anelastico o plastico, dopo l'urto i due corpi iniziano a muoversi come un tutt'uno. In questo caso si ha l'espressione:

m1 *v1 + m2 *v2 = (m1 + m2)*u

Come puoi vedere, stiamo parlando di una sola incognita (u), quindi questa uguaglianza è sufficiente per determinarla.

La quantità di moto di un corpo mentre si muove su una circonferenza

Tutto ciò che è stato detto sopra sulla quantità di moto si applica ai movimenti lineari dei corpi. Cosa fare se gli oggetti ruotano attorno ad un asse? A questo scopo in fisica è stato introdotto un altro concetto, simile al momento lineare. Si chiama momento angolare. La sua formula in fisica assume la seguente forma:

Qui r¯ è un vettore uguale alla distanza dall'asse di rotazione ad una particella dotata di quantità di moto p¯, che esegue un movimento circolare attorno a questo asse. Anche la quantità L¯ è un vettore, ma è un po' più difficile da calcolare rispetto a p¯, poiché si tratta di un prodotto vettoriale.

Legge di conservazione L¯

La formula per L¯, riportata sopra, è la definizione di questa quantità. In pratica preferiscono usare un’espressione leggermente diversa. Non entriamo nei dettagli su come ottenerlo (non è difficile e ognuno può farlo da solo), ma lo diamo subito:

Qui I è il momento d'inerzia (per un punto materiale è pari a m*r 2), che descrive le proprietà inerziali di un oggetto rotante, ω¯ è la velocità angolare. Come puoi vedere, questa equazione è simile nella forma a quella del momento lineare p¯.

Se sul sistema rotante non agiscono forze esterne (in effetti, la coppia), il prodotto di I e ω¯ verrà preservato indipendentemente dai processi che si verificano all'interno del sistema. Cioè, la legge di conservazione per L¯ ha la forma:

Un esempio della sua manifestazione è la performance degli atleti di pattinaggio artistico quando eseguono giri sul ghiaccio.

Argomenti del codificatore dell'Esame di Stato Unificato: quantità di moto di un corpo, quantità di moto di un sistema di corpi, legge di conservazione della quantità di moto.

Impulso di un corpo è una quantità vettoriale pari al prodotto della massa del corpo per la sua velocità:

Non esistono unità speciali per misurare l'impulso. La dimensione della quantità di moto è semplicemente il prodotto della dimensione della massa e della dimensione della velocità:

Perché il concetto di quantità di moto è interessante? Si scopre che con il suo aiuto puoi dare alla seconda legge di Newton una forma leggermente diversa, anche estremamente utile.

Seconda legge di Newton in forma di impulso

Sia la risultante delle forze applicate ad un corpo di massa . Iniziamo con la consueta notazione della seconda legge di Newton:

Tenendo conto che l’accelerazione del corpo è uguale alla derivata del vettore velocità, la seconda legge di Newton si riscrive come segue:

Introduciamo una costante sotto il segno della derivata:

Come puoi vedere, la derivata dell'impulso si ottiene a sinistra:

. ( 1 )

La relazione (1) è una nuova forma di scrittura della seconda legge di Newton.

Seconda legge di Newton in forma di impulso. La derivata della quantità di moto di un corpo è la risultante delle forze applicate al corpo.

Possiamo dire questo: la forza risultante che agisce su un corpo è uguale alla velocità di variazione della quantità di moto del corpo.

La derivata nella formula (1) può essere sostituita dal rapporto degli incrementi finali:

. ( 2 )

In questo caso, c'è una forza media che agisce sul corpo durante l'intervallo di tempo. Quanto più piccolo è il valore, tanto più vicino è il rapporto alla derivata, e tanto più vicina è la forza media al suo valore istantaneo in un dato momento.

Nelle attività, di norma, l'intervallo di tempo è piuttosto ridotto. Ad esempio, questo potrebbe essere il momento dell'impatto della palla con il muro e quindi la forza media che agisce sulla palla dal muro durante l'impatto.

Viene chiamato il vettore sul lato sinistro della relazione (2). cambiamento di impulso durante . La variazione della quantità di moto è la differenza tra i vettori della quantità di moto finale e iniziale. Vale a dire, se la quantità di moto del corpo in un momento iniziale è la quantità di moto del corpo dopo un periodo di tempo, allora la variazione della quantità di moto è la differenza:

Sottolineiamo ancora una volta che la variazione della quantità di moto è la differenza tra i vettori (Fig. 1):

Lasciamo, ad esempio, che la palla voli perpendicolare al muro (la quantità di moto prima dell'impatto è pari a ) e rimbalzi indietro senza perdere velocità (la quantità di moto dopo l'impatto è pari a ). Nonostante il fatto che l'impulso non sia cambiato in valore assoluto (), si verifica un cambiamento nell'impulso:

Dal punto di vista geometrico, questa situazione è mostrata in Fig. 2:

Il modulo di variazione della quantità di moto, come vediamo, è pari al doppio del modulo dell'impulso iniziale della palla: .

Riscriviamo la formula (2) come segue:

, ( 3 )

oppure, descrivendo il cambiamento di slancio, come sopra:

La quantità si chiama impulso di potere. Non esiste un'unità di misura speciale per l'impulso di forza; la dimensione dell'impulso di forza è semplicemente il prodotto delle dimensioni della forza e del tempo:

(Si noti che questa risulta essere un'altra possibile unità di misura per la quantità di moto di un corpo.)

La formulazione verbale dell’uguaglianza (3) è la seguente: la variazione della quantità di moto di un corpo è uguale alla quantità di moto della forza che agisce sul corpo in un dato periodo di tempo. Questa, ovviamente, è ancora una volta la seconda legge di Newton in forma di quantità di moto.

Esempio di calcolo della forza

Come esempio di applicazione della seconda legge di Newton in forma di impulso, consideriamo il seguente problema.

Compito. Una palla di massa g, volando orizzontalmente alla velocità di m/s, colpisce una parete verticale liscia e rimbalza su di essa senza perdere velocità. L'angolo di incidenza della palla (cioè l'angolo tra la direzione del movimento della palla e la perpendicolare al muro) è pari a . Il colpo dura s. Trova la forza media,
agendo sulla palla durante l'impatto.

Soluzione. Mostriamo innanzitutto che l'angolo di riflessione è uguale all'angolo di incidenza, cioè la palla rimbalzerà sul muro con lo stesso angolo (Fig. 3).

Secondo (3) abbiamo: . Ne consegue che il vettore della quantità di moto cambia co-diretto con vettore, cioè diretto perpendicolarmente al muro nella direzione del rimbalzo della palla (Fig. 5).

Riso. 5. Al compito

Vettori e
uguali in modulo
(poiché la velocità della palla non è cambiata). Pertanto, un triangolo composto da vettori , e , è isoscele. Ciò significa che l'angolo tra i vettori e è uguale a , cioè l'angolo di riflessione è realmente uguale all'angolo di incidenza.

Notiamo ora inoltre che nel nostro triangolo isoscele c'è un angolo (questo è l'angolo di incidenza); quindi, questo triangolo è equilatero. Da qui:

E quindi la forza media desiderata che agisce sulla palla è:

Impulso di un sistema di corpi

Cominciamo con una semplice situazione di un sistema a due corpi. Vale a dire, ci siano il corpo 1 e il corpo 2 con impulsi e, rispettivamente. L'impulso del sistema di questi corpi è la somma vettoriale degli impulsi di ciascun corpo:

Risulta che per la quantità di moto di un sistema di corpi esiste una formula simile alla seconda legge di Newton nella forma (1). Deriviamo questa formula.

Chiameremo tutti gli altri oggetti con cui interagiscono i corpi 1 e 2 che stiamo considerando corpi esterni. Si chiamano le forze con cui i corpi esterni agiscono sui corpi 1 e 2 da forze esterne. Sia la forza esterna risultante che agisce sul corpo 1. Allo stesso modo, sia la forza esterna risultante che agisce sul corpo 2 (Fig. 6).

Inoltre, i corpi 1 e 2 possono interagire tra loro. Lasciamo che il corpo 2 agisca sul corpo 1 con una forza. Allora il corpo 1 agisce sul corpo 2 con una forza. Secondo la terza legge di Newton le forze sono uguali in intensità e opposte in direzione: . Forze e sono forze interne, operanti nel sistema.

Scriviamo per ciascun corpo 1 e 2 la seconda legge di Newton nella forma (1):

, ( 4 )

. ( 5 )

Aggiungiamo le uguaglianze (4) e (5):

Sul lato sinistro dell'uguaglianza risultante c'è una somma di derivate uguale alla derivata della somma dei vettori e . A destra abbiamo, in virtù della terza legge di Newton:

Ma - questo è l'impulso del sistema dei corpi 1 e 2. Denotiamo anche - questo è il risultato delle forze esterne che agiscono sul sistema. Noi abbiamo:

. ( 6 )

Così, la velocità di variazione della quantità di moto di un sistema di corpi è la risultante delle forze esterne applicate al sistema. Volevamo ottenere l’uguaglianza (6), che svolge il ruolo della seconda legge di Newton per un sistema di corpi.

La formula (6) è stata derivata per il caso di due corpi. Generalizziamo ora il nostro ragionamento al caso di un numero arbitrario di corpi nel sistema.

Impulso del sistema di corpi corpi è la somma vettoriale delle quantità di moto di tutti i corpi inclusi nel sistema. Se un sistema è costituito da corpi, la quantità di moto di questo sistema è uguale a:

Quindi tutto viene eseguito esattamente nello stesso modo di cui sopra (solo che tecnicamente sembra un po' più complicato). Se per ogni corpo scriviamo uguaglianze simili a (4) e (5), e poi aggiungiamo tutte queste uguaglianze, allora sul lato sinistro otteniamo nuovamente la derivata della quantità di moto del sistema, e sul lato destro rimane solo la somma delle forze esterne (le forze interne, sommate a coppie, daranno zero a causa della terza legge di Newton). Pertanto, l’uguaglianza (6) rimarrà valida nel caso generale.

Legge di conservazione della quantità di moto

Il sistema dei corpi si chiama Chiuso, se le azioni dei corpi esterni sui corpi di un dato sistema sono trascurabili o si compensano a vicenda. Pertanto, nel caso di un sistema chiuso di corpi, è essenziale solo l'interazione di questi corpi tra loro, ma non con altri corpi.

La risultante delle forze esterne applicate ad un sistema chiuso è pari a zero: . In questo caso, dalla (6) otteniamo:

Ma se la derivata di un vettore va a zero (il tasso di variazione del vettore è zero), allora il vettore stesso non cambia nel tempo:

Legge di conservazione della quantità di moto. La quantità di moto di un sistema chiuso di corpi rimane costante nel tempo per qualsiasi interazione di corpi all'interno di questo sistema.

I problemi più semplici sulla legge di conservazione della quantità di moto vengono risolti secondo lo schema standard, che ora mostreremo.

Compito. Un corpo di massa g si muove con velocità m/s su una superficie orizzontale liscia. Un corpo di massa g si muove verso di esso con una velocità pari a m/s. Si verifica un impatto assolutamente anelastico (i corpi si attaccano insieme). Trovare la velocità dei corpi dopo l'impatto.

Soluzione. La situazione è mostrata in Fig. 7. Dirigiamo l'asse nella direzione del movimento del primo corpo.

Riso. 7. Al compito

Poiché la superficie è liscia, non c'è attrito. Poiché la superficie è orizzontale e lungo di essa avviene il movimento, la forza di gravità e la reazione del supporto si equilibrano:

Pertanto, la somma vettoriale delle forze applicate al sistema di questi corpi è pari a zero. Ciò significa che il sistema dei corpi è chiuso. Pertanto la legge di conservazione della quantità di moto è soddisfatta:

. ( 7 )

L'impulso del sistema prima dell'urto è la somma degli impulsi dei corpi:

Dopo l'urto anelastico si ottiene un corpo di massa che si muove con la velocità desiderata:

Dalla legge di conservazione della quantità di moto (7) abbiamo:

Da qui troviamo la velocità del corpo formatosi dopo l'impatto:

Passiamo alle proiezioni sull'asse:

Per condizione abbiamo: m/s, m/s, quindi

Il segno meno indica che i corpi attaccati si muovono nella direzione opposta all'asse. Velocità richiesta: m/s.

Legge di conservazione della proiezione della quantità di moto

La seguente situazione si verifica spesso nei problemi. Il sistema di corpi non è chiuso (la somma vettoriale delle forze esterne che agiscono sul sistema non è uguale a zero), ma esiste un tale asse, la somma delle proiezioni delle forze esterne sull'asse è zero in qualunque momento. Allora possiamo dire che lungo questo asse il nostro sistema di corpi si comporta come chiuso, e la proiezione della quantità di moto del sistema sull’asse viene preservata.

Mostriamolo in modo più rigoroso. Proiettiamo l'uguaglianza (6) sull'asse:

Se la proiezione delle forze esterne risultanti svanisce, allora

Pertanto la proiezione è una costante:

Legge di conservazione della proiezione della quantità di moto. Se la proiezione sull’asse della somma delle forze esterne agenti sul sistema è pari a zero, allora la proiezione della quantità di moto del sistema non cambia nel tempo.

Diamo un'occhiata ad un esempio di un problema specifico per vedere come funziona la legge di conservazione della proiezione della quantità di moto.

Compito. Un ragazzo di massa, in piedi sui pattini su ghiaccio liscio, lancia una pietra di massa inclinata rispetto all'orizzontale. Trova la velocità con cui il ragazzo rotola indietro dopo il lancio.

Soluzione. La situazione è mostrata schematicamente in Fig. 8 . Il ragazzo è raffigurato come schietto.

Riso. 8. Al compito

La quantità di moto del sistema “ragazzo + pietra” non si conserva. Ciò si può vedere dal fatto che dopo il lancio appare una componente verticale della quantità di moto del sistema (cioè la componente verticale della quantità di moto della pietra), che non c’era prima del lancio.

Pertanto, il sistema formato dal ragazzo e dalla pietra non è chiuso. Perché? Il fatto è che la somma vettoriale delle forze esterne non è uguale a zero durante il lancio. Il valore è maggiore della somma e, a causa di questo eccesso, appare la componente verticale della quantità di moto del sistema.

Tuttavia, le forze esterne agiscono solo verticalmente (non c'è attrito). Pertanto viene preservata la proiezione dell'impulso sull'asse orizzontale. Prima del lancio, questa proiezione era pari a zero. Dirigendo l'asse nella direzione del lancio (in modo che il ragazzo andasse nella direzione del semiasse negativo), otteniamo.