Trova la derivata della radice di x. Trovare la derivata: algoritmo ed esempi di soluzioni

Istruzioni

Prima di trovare la derivata della radice, prestare attenzione alle altre funzioni presenti nell'esempio da risolvere. Se il problema ha molte espressioni radicali, utilizza la seguente regola per trovare la derivata della radice quadrata:

(√x)" = 1 / 2√x.

E per trovare la derivata della radice cubica, usa la formula:

(³√x)" = 1 / 3(³√x)²,

dove ³√x denota la radice cubica di x.

Se, ai fini della differenziazione, è presente una variabile in frazionario , convertire la radice in una funzione di potenza con l'esponente appropriato. Per una radice quadrata sarà una potenza di ½, e per una radice cubica sarà ⅓:

√x = x^½,
³√х = x ^ ⅓,

dove ^ denota esponenziazione.

Per trovare la derivata di una funzione potenza in generale e x^1, x^⅓ in particolare, utilizzare la seguente regola:

(x^n)" = n * x^(n-1).

Per la derivata di una radice, questa relazione implica:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) e
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

Dopo aver differenziato tutto, guarda attentamente il resto dell'esempio. Se la tua risposta contiene un'espressione molto complicata, probabilmente puoi semplificarla. La maggior parte degli esempi scolastici sono strutturati in modo tale che il risultato finale sia un piccolo numero o un'espressione compatta.

In molti problemi derivativi, le radici (quadrate e cubiche) si trovano insieme ad altre funzioni. Per trovare la derivata della radice in questo caso, utilizzare le seguenti regole:
la derivata di una costante (numero costante, C) è uguale a zero: C" = 0;
dal segno della derivata si toglie il fattore costante: (k*f)" = k * (f)" (f è una funzione arbitraria);
la derivata della somma di più funzioni è uguale alla somma delle derivate: (f + g)" = (f)" + (g)";
la derivata del prodotto di due funzioni è uguale a... no, non il prodotto delle derivate, ma la seguente espressione: (fg)" = (f)"g + f (g)";
anche la derivata del quoziente non è uguale al quoziente delle derivate, ma si trova secondo la seguente regola: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g².

Nota

In questa pagina puoi calcolare online la derivata di una funzione e ottenere una soluzione dettagliata al problema. La soluzione delle derivate di una funzione viene effettuata utilizzando le regole di derivazione che gli studenti studiano nel corso di analisi matematica dell'istituto. Per trovare la derivata di una funzione è necessario inserire la funzione di derivazione nel campo "Funzione" secondo le regole di immissione dei dati.

Consigli utili

La derivata di una funzione è il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento dell'argomento quando l'incremento dell'argomento tende a zero: Il significato matematico di questa definizione non è molto facile da comprendere, poiché in una scuola corso di algebra il concetto di limite di una funzione o non viene studiato affatto oppure viene studiato in modo molto superficiale. Ma per imparare a trovare le derivate di varie funzioni, questo non è necessario.

Fonti:

• radice derivata di x

1. Caso generale della formula per la derivata di una radice di grado arbitrario- una frazione al numeratore di cui ce n'è uno, e al denominatore un numero uguale alla potenza della radice per cui è stata calcolata la derivata, moltiplicata per la radice della stessa potenza, la cui espressione radicale è una variabile in la potenza della radice per la quale è stata calcolata la derivata ridotta di uno
2. Derivata della radice quadrata- è un caso speciale della formula precedente. Derivata della radice quadrata di xè una frazione il cui numeratore è uno e il denominatore è due volte la radice quadrata di x
3. Derivato della radice cubica, anche un caso speciale della formula generale. La derivata di una radice cubica è quella divisa per tre radici cubiche di x al quadrato.

Di seguito sono riportate le trasformazioni che spiegano perché le formule per trovare le derivate delle radici quadrate e cubiche sono esattamente le stesse mostrate nella figura.

Naturalmente non è necessario ricordare affatto queste formule, se si tiene conto che estrarre la radice di una potenza derivata equivale ad elevare una frazione il cui denominatore è uguale alla stessa potenza. Quindi trovare la derivata della radice si riduce all'applicazione della formula per trovare la derivata della potenza della frazione corrispondente.

Derivata di una variabile sotto radice quadrata

Spiegazione:
(√x)" = (x 1/2)"

La radice quadrata è esattamente la stessa operazione dell'elevazione alla potenza di 1/2,Ciò significa che per trovare la derivata di una radice è possibile applicare in modo arbitrario la formula della regola per trovare la derivata di una variabile:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

Derivato della radice cubica (derivato della radice terza)

Immaginiamo la radice cubica come una potenza di 1/3 e troviamo la derivata utilizzando le regole generali della differenziazione. La breve formula può essere vista nell'immagine sopra, e sotto c'è una spiegazione del perché è così.

La potenza -2/3 si ottiene sottraendo uno a 1/3

Derivazione della formula per la derivata di una funzione potenza (x elevato a a). Vengono considerate le derivate dalle radici di x. Formula per la derivata di una funzione potenza di ordine superiore. Esempi di calcolo delle derivate.

Guarda anche: Funzione potenza e radici, formule e grafico
Grafici delle funzioni di potenza

Formule di base

La derivata di x elevato a a è uguale a a moltiplicato x elevato a meno uno:
(1) .

La derivata della radice n-esima di x elevata alla potenza m-esima è:
(2) .

Derivazione della formula per la derivata di una funzione potenza

Caso x > 0

Consideriamo una funzione potenza della variabile x con esponente a:
(3) .
Qui a è un numero reale arbitrario. Consideriamo innanzitutto il caso.

Per trovare la derivata della funzione (3), utilizziamo le proprietà di una funzione potenza e la trasformiamo nella seguente forma:
.

Ora troviamo la derivata utilizzando:
;
.
Qui .

La formula (1) è stata dimostrata.

Derivazione della formula per la derivata di una radice di grado n di x nel grado di m

Consideriamo ora una funzione che sia la radice della seguente forma:
(4) .

Per trovare la derivata trasformiamo la radice in una funzione potenza:
.
Confrontando con la formula (3) lo vediamo
.
Poi
.

Usando la formula (1) troviamo la derivata:
(1) ;
;
(2) .

In pratica non è necessario memorizzare la formula (2). È molto più conveniente trasformare prima le radici in funzioni potenza e poi trovare le loro derivate utilizzando la formula (1) (vedi esempi a fine pagina).

Caso x = 0

Se , allora la funzione potenza è definita per il valore della variabile x = 0 . Troviamo la derivata della funzione (3) in x = 0 . Per fare ciò usiamo la definizione di derivata:
.

Sostituiamo x = 0 :
.
In questo caso per derivata si intende il limite destro per il quale .

Quindi abbiamo trovato:
.
Da ciò è chiaro che per , .
A , .
A , .
Questo risultato si ottiene anche dalla formula (1):
(1) .
Pertanto la formula (1) vale anche per x = 0 .

Caso X< 0

Consideriamo nuovamente la funzione (3):
(3) .
Per determinati valori della costante a è definito anche per valori negativi della variabile x. Cioè, sia a un numero razionale. Quindi può essere rappresentata come una frazione irriducibile:
,
dove m e n sono numeri interi che non hanno un divisore comune.

Se n è dispari, allora la funzione potenza è definita anche per valori negativi della variabile x. Ad esempio, quando n = 3 e m = 1 abbiamo la radice cubica di x:
.
È definito anche per valori negativi della variabile x.

Troviamo la derivata della funzione potenza (3) per e per valori razionali della costante a per la quale è definita. Per fare ciò, rappresentiamo x nella seguente forma:
.
Poi ,
.
Troviamo la derivata ponendo la costante fuori dal segno della derivata e applicando la regola per derivare una funzione complessa:

.
Qui . Ma
.
Da allora
.
Poi
.
La formula (1) vale cioè anche per:
(1) .

Derivate di ordine superiore

Ora troviamo le derivate di ordine superiore della funzione potenza
(3) .
Abbiamo già trovato la derivata del primo ordine:
.

Prendendo la costante a fuori dal segno della derivata, troviamo la derivata del secondo ordine:
.
Allo stesso modo, troviamo le derivate del terzo e del quarto ordine:
;

.

Da questo è chiaro che derivata di ordine n-esimo arbitrario ha la seguente forma:
.

notare che se a è un numero naturale, allora la derivata n-esima è costante:
.
Allora tutte le derivate successive sono uguali a zero:
,
A .

Esempi di calcolo delle derivate

Esempio

Trova la derivata della funzione:
.

Convertiamo le radici in potenze:
;
.
Quindi la funzione originale assume la forma:
.

Trovare le derivate delle potenze:
;
.
La derivata della costante è zero:
.

L'operazione per trovare la derivata si chiama differenziazione.

Come risultato della risoluzione dei problemi di ricerca delle derivate delle funzioni più semplici (e non molto semplici) definendo la derivata come limite del rapporto tra l'incremento e l'incremento dell'argomento, è apparsa una tabella delle derivate e regole di differenziazione definite con precisione . I primi a lavorare nel campo della ricerca dei derivati ​​furono Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Pertanto, ai nostri giorni, per trovare la derivata di qualsiasi funzione, non è necessario calcolare il limite sopra menzionato del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, ma è sufficiente utilizzare la tabella di Derivati ​​e regole di differenziazione. Il seguente algoritmo è adatto per trovare la derivata.

Per trovare la derivata, hai bisogno di un'espressione sotto il segno primo scomporre le funzioni semplici in componenti e determinare quali azioni (prodotto, somma, quoziente) queste funzioni sono correlate. Successivamente, troviamo le derivate delle funzioni elementari nella tabella delle derivate e le formule per le derivate del prodotto, somma e quoziente - nelle regole di differenziazione. La tabella delle derivate e le regole di differenziazione sono fornite dopo i primi due esempi.

Esempio 1. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Dalle regole di differenziazione scopriamo che la derivata di una somma di funzioni è la somma delle derivate di funzioni, cioè

Dalla tabella delle derivate scopriamo che la derivata di "x" è uguale a uno e la derivata del seno è uguale a coseno. Sostituiamo questi valori nella somma delle derivate e troviamo la derivata richiesta dalla condizione del problema:

Esempio 2. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Differenziamo come derivata di una somma in cui il secondo termine ha un fattore costante; può essere tolto dal segno della derivata:

Se sorgono ancora domande sulla provenienza di qualcosa, di solito vengono chiarite dopo aver familiarizzato con la tabella dei derivati ​​e le regole di differenziazione più semplici. Stiamo passando a loro proprio ora.

Tavola delle derivate di funzioni semplici

1. Derivato di una costante (numero). Qualsiasi numero (1, 2, 5, 200...) presente nell'espressione della funzione. Sempre uguale a zero. Questo è molto importante da ricordare, poiché è richiesto molto spesso
2. Derivata della variabile indipendente. Molto spesso "X". Sempre uguale a uno. Anche questo è importante da ricordare a lungo
3. Derivato di grado. Quando risolvi i problemi, devi convertire le radici non quadrate in potenze.
4. Derivata di una variabile alla potenza -1
5. Derivato della radice quadrata
6. Derivato del seno
7. Derivato del coseno
8. Derivato della tangente
9. Derivato della cotangente
10. Derivato dell'arcoseno
11. Derivato dell'arcocoseno
12. Derivato dell'arcotangente
13. Derivato dell'arco cotangente
14. Derivato del logaritmo naturale
15. Derivato di una funzione logaritmica
16. Derivata dell'esponente
17. Derivato di una funzione esponenziale

Regole di differenziazione

1. Derivato di una somma o differenza
2. Derivato del prodotto
2a. Derivata di un'espressione moltiplicata per un fattore costante
3. Derivata del quoziente
4. Derivato di una funzione complessa

Regola 1.Se le funzioni

sono differenziabili in un certo punto, allora le funzioni sono differenziabili nello stesso punto

E

quelli. la derivata di una somma algebrica di funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di tali funzioni.

Conseguenza. Se due funzioni differenziabili differiscono di un termine costante, allora le loro derivate sono uguali, cioè.

Regola 2.Se le funzioni

sono differenziabili in un certo punto, allora il loro prodotto è differenziabile nello stesso punto

E

quelli. La derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e della derivata dell'altra.

Corollario 1. Il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata:

Corollario 2. La derivata del prodotto di più funzioni differenziabili è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascun fattore e di tutti gli altri.

Ad esempio, per tre moltiplicatori:

Regola 3.Se le funzioni

differenziabile ad un certo punto E , allora a questo punto anche il loro quoziente è differenziabileu/v e

quelli. la derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione, il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato di il vecchio numeratore.

Dove cercare cose su altre pagine

Quando si trova la derivata di un prodotto e un quoziente in problemi reali, è sempre necessario applicare diverse regole di differenziazione contemporaneamente, quindi ci sono più esempi su queste derivate nell'articolo"Derivata del prodotto e quoziente di funzioni".

Commento. Non dovresti confondere una costante (cioè un numero) con il termine di una somma e con un fattore costante! Nel caso di un termine la sua derivata è uguale a zero, nel caso di un fattore costante viene tolta dal segno delle derivate. Questo è un errore tipico che si verifica nella fase iniziale dello studio delle derivate, ma poiché lo studente medio risolve diversi esempi in una o due parti, non commette più questo errore.

E se, quando si differenzia un prodotto o un quoziente, si dispone di un termine tu"v, in quale tu- un numero, ad esempio 2 o 5, cioè una costante, quindi la derivata di questo numero sarà uguale a zero e, quindi, l'intero termine sarà uguale a zero (questo caso è discusso nell'esempio 10).

Un altro errore comune è risolvere meccanicamente la derivata di una funzione complessa come derivata di una funzione semplice. Ecco perché derivata di una funzione complessaè dedicato un articolo separato. Ma prima impareremo a trovare le derivate di funzioni semplici.

Lungo il percorso, non puoi fare a meno di trasformare le espressioni. Per fare ciò, potrebbe essere necessario aprire il manuale in nuove finestre. Azioni con poteri e radici E Operazioni con le frazioni .

Se stai cercando soluzioni alle derivate di frazioni con potenze e radici, ovvero quando appare la funzione , poi segui la lezione “Derivata di somme di frazioni con potenze e radici”.

Se hai un compito come , poi seguirai la lezione “Derivate di semplici funzioni trigonometriche”.

Esempi passo passo: come trovare la derivata

Esempio 3. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Definiamo le parti dell'espressione della funzione: l'intera espressione rappresenta un prodotto, e i suoi fattori sono somme, nella seconda delle quali uno dei termini contiene un fattore costante. Applichiamo la regola della differenziazione del prodotto: la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni per la derivata dell'altra:

Successivamente, applichiamo la regola di differenziazione della somma: la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni. Nel nostro caso in ogni somma il secondo termine ha il segno meno. In ogni somma vediamo sia una variabile indipendente, la cui derivata è uguale a uno, sia una costante (numero), la cui derivata è uguale a zero. Quindi, "X" diventa uno e meno 5 diventa zero. Nella seconda espressione, "x" viene moltiplicato per 2, quindi moltiplichiamo due per la stessa unità della derivata di "x". Otteniamo i seguenti valori derivati:

Sostituiamo le derivate trovate nella somma dei prodotti e otteniamo la derivata dell'intera funzione richiesta dalla condizione del problema:

E puoi controllare la soluzione del problema della derivata su.

Esempio 4. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Dobbiamo trovare la derivata del quoziente. Applichiamo la formula per differenziare il quoziente: la derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione, il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore e il denominatore è il quadrato del precedente numeratore. Noi abbiamo:

Abbiamo già trovato la derivata dei fattori del numeratore nell'esempio 2. Non dimentichiamo inoltre che il prodotto, che nell'esempio attuale è il secondo fattore del numeratore, si prende con il segno meno:

Se cerchi soluzioni a problemi in cui devi trovare la derivata di una funzione, dove è presente una pila continua di radici e potenze, come, ad esempio, , allora benvenuto in classe "Derivata di somme di frazioni con potenze e radici" .

Se hai bisogno di saperne di più sulle derivate di seni, coseni, tangenti e altre funzioni trigonometriche, ovvero quando appare la funzione , allora una lezione per te "Derivate di semplici funzioni trigonometriche" .

Esempio 5. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. In questa funzione vediamo un prodotto, uno dei cui fattori è la radice quadrata della variabile indipendente, la cui derivata abbiamo familiarizzato nella tabella delle derivate. Utilizzando la regola per differenziare il prodotto e il valore tabulare della derivata della radice quadrata, otteniamo:

Puoi controllare la soluzione del problema della derivata su calcolatore di derivati ​​online .

Esempio 6. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. In questa funzione vediamo un quoziente il cui dividendo è la radice quadrata della variabile indipendente. Utilizzando la regola della differenziazione dei quozienti, che abbiamo ripetuto e applicato nell'esempio 4, e il valore tabulato della derivata della radice quadrata, otteniamo:

Per eliminare una frazione dal numeratore, moltiplica numeratore e denominatore per .

Le funzioni di tipo complesso non sempre soddisfano la definizione di funzione complessa. Se esiste una funzione della forma y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, allora non può essere considerata complessa, a differenza di y = sin 2 x.

In questo articolo verrà illustrato il concetto di funzione complessa e la sua identificazione. Lavoriamo con le formule per trovare la derivata con esempi di soluzioni nella conclusione. L'uso della tabella delle derivate e delle regole di differenziazione riduce significativamente il tempo per trovare la derivata.

Definizioni di base

Una funzione complessa è quella il cui argomento è anche una funzione.

Si denota in questo modo: f (g (x)). Abbiamo che la funzione g (x) è considerata un argomento f (g (x)).

Definizione 2

Se esiste una funzione f ed è una funzione cotangente, allora g(x) = ln x è la funzione logaritmo naturale. Troviamo che la funzione complessa f (g (x)) verrà scritta come arctg(lnx). Oppure una funzione f, che è una funzione elevata alla 4a potenza, dove g (x) = x 2 + 2 x - 3 è considerata un'intera funzione razionale, otteniamo che f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Ovviamente g(x) può essere complesso. Dall'esempio y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 è chiaro che il valore di g ha radice cubica della frazione. Questa espressione può essere indicata come y = f (f 1 (f 2 (x))). Da dove abbiamo che f è una funzione seno e f 1 è una funzione situata sotto la radice quadrata, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 è una funzione razionale frazionaria.

Definizione 3

Il grado di nidificazione è determinato da qualsiasi numero naturale ed è scritto come y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definizione 4

Il concetto di composizione di funzioni si riferisce al numero di funzioni annidate in base alle condizioni del problema. Per risolvere, utilizzare la formula per trovare la derivata di una funzione complessa della forma

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Esempi

Trova la derivata di una funzione complessa della forma y = (2 x + 1) 2.

Soluzione

La condizione mostra che f è una funzione quadratica e g(x) = 2 x + 1 è considerata una funzione lineare.

Applichiamo la formula della derivata per una funzione complessa e scriviamo:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

È necessario trovare la derivata con una forma originale semplificata della funzione. Noi abbiamo:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Da qui abbiamo quello

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

I risultati erano gli stessi.

Quando si risolvono problemi di questo tipo, è importante capire dove verrà posizionata la funzione della forma f e g (x).

Esempio 2

Dovresti trovare le derivate delle funzioni complesse della forma y = sin 2 x e y = sin x 2.

Soluzione

La prima notazione della funzione dice che f è la funzione di quadratura e g(x) è la funzione seno. Allora lo capiamo

y " = (sen 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sen x) " = 2 sin x cos x

La seconda voce mostra che f è una funzione seno e g(x) = x 2 denota una funzione potenza. Ne consegue che scriviamo il prodotto di una funzione complessa come

y " = (sen x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

La formula per la derivata y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) verrà scritta come y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Esempio 3

Trova la derivata della funzione y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Soluzione

Questo esempio mostra la difficoltà di scrivere e determinare la posizione delle funzioni. Allora y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) denota dove f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) è la funzione seno, la funzione di innalzamento a 3 gradi, funzione con logaritmo e base e, arcotangente e funzione lineare.

Dalla formula per definire una funzione complessa abbiamo questo

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Otteniamo ciò che dobbiamo trovare

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) come derivata del seno secondo la tabella delle derivate, quindi f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) come derivata di una funzione di potenza, allora f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) come derivata logaritmica, allora f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) come derivata dell'arcotangente, allora f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Quando trovi la derivata f 4 (x) = 2 x, rimuovi 2 dal segno della derivata usando la formula per la derivata di una funzione di potenza con esponente uguale a 1, quindi f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Combiniamo i risultati intermedi e otteniamo quello

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

L'analisi di tali funzioni ricorda le bambole che nidificano. Le regole di differenziazione non possono sempre essere applicate esplicitamente utilizzando una tabella derivata. Spesso è necessario utilizzare una formula per trovare le derivate di funzioni complesse.

Esistono alcune differenze tra aspetto complesso e funzioni complesse. Con una chiara capacità di distinguerlo, trovare i derivati ​​sarà particolarmente facile.

Esempio 4

È necessario considerare di fornire un simile esempio. Se esiste una funzione della forma y = t g 2 x + 3 t g x + 1, allora può essere considerata come una funzione complessa della forma g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Ovviamente è necessario utilizzare la formula per una derivata complessa:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Una funzione della forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 non è considerata complessa, poiché ha la somma di t g x 2, 3 t g x e ​​1. Tuttavia, t g x 2 è considerata una funzione complessa, quindi otteniamo una funzione potenza della forma g (x) = x 2 e f, che è una funzione tangente. Per fare ciò, differenziare per importo. Lo capiamo

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3cos 2x

Passiamo alla ricerca della derivata di una funzione complessa (t g x 2)":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Otteniamo che y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funzioni di tipo complesso possono essere incluse in funzioni complesse e le funzioni complesse stesse possono essere componenti di funzioni di tipo complesso.

Esempio 5

Ad esempio, considera una funzione complessa della forma y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Questa funzione può essere rappresentata come y = f (g (x)), dove il valore di f è una funzione del logaritmo in base 3 e g (x) è considerata la somma di due funzioni della forma h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 e k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Ovviamente, y = f (h (x) + k (x)).

Consideriamo la funzione h(x). Questo è il rapporto l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 rispetto a m (x) = e x 2 + 3 3

Abbiamo che l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) è la somma di due funzioni n (x) = x 2 + 7 e p ​​( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , dove p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) è una funzione complessa con coefficiente numerico 3 e p 1 è una funzione cubica, p 2 con una funzione coseno, p 3 (x) = 2 x + 1 con una funzione lineare.

Abbiamo scoperto che m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) è la somma di due funzioni q (x) = e x 2 e r (x) = 3 3, dove q (x) = q 1 (q 2 (x)) è una funzione complessa, q 1 è una funzione con esponenziale, q 2 (x) = x 2 è una funzione potenza.

Ciò dimostra che h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Passando ad un'espressione nella forma k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), è chiaro che la funzione si presenta sotto forma di un complesso s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) con un intero razionale t (x) = x 2 + 1, dove s 1 è una funzione di quadratura, e s 2 (x) = ln x è logaritmica con base e.

Ne consegue che l'espressione assumerà la forma k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Allora lo capiamo

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Sulla base delle strutture della funzione, è diventato chiaro come e quali formule utilizzare per semplificare l'espressione quando si differenzia. Per acquisire familiarità con tali problemi e per il concetto della loro soluzione, è necessario arrivare al punto di differenziare una funzione, cioè trovare la sua derivata.

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