Funzione lineare e suoi. Funzione lineare

Una funzione lineare è una funzione della forma y=kx+b, dove x è la variabile indipendente, k e b sono numeri qualsiasi.
Il grafico di una funzione lineare è una linea retta.

1. Per tracciare un grafico di funzione, abbiamo bisogno delle coordinate di due punti appartenenti al grafico della funzione. Per trovarli, devi prendere due valori x, sostituirli nell'equazione della funzione e usarli per calcolare i valori y corrispondenti.

Ad esempio, per tracciare la funzione y= x+2, conviene prendere x=0 e x=3, quindi le ordinate di questi punti saranno uguali a y=2 e y=3. Otteniamo i punti A(0;2) e B(3;3). Colleghiamoli e otteniamo un grafico della funzione y= x+2:

2. Nella formula y=kx+b, il numero k è chiamato coefficiente di proporzionalità:
se k>0, allora la funzione y=kx+b aumenta
se k
Il coefficiente b mostra lo spostamento del grafico della funzione lungo l'asse OY:
se b>0, allora il grafico della funzione y=kx+b si ottiene dal grafico della funzione y=kx spostando b unità verso l'alto lungo l'asse OY
se b
La figura seguente mostra i grafici delle funzioni y=2x+3; y=½x+3; y=x+3

Si noti che in tutte queste funzioni il coefficiente k Sopra lo zero, e le funzioni sono crescente. Inoltre, maggiore è il valore di k, maggiore è l'angolo di inclinazione della retta rispetto alla direzione positiva dell'asse OX.

In tutte le funzioni b=3 - e vediamo che tutti i grafici intersecano l'asse OY nel punto (0;3)

Consideriamo ora i grafici delle funzioni y=-2x+3; y=-½x+3; y=-x+3

Questa volta in tutte le funzioni il coefficiente k meno di zero e funzioni stanno diminuendo. Coefficiente b=3, ed i grafici, come nel caso precedente, intersecano l'asse OY nel punto (0;3)

Consideriamo i grafici delle funzioni y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Ora in tutte le equazioni di funzioni i coefficienti k sono uguali a 2. E abbiamo tre rette parallele.

Ma i coefficienti b sono diversi e questi grafici intersecano l’asse OY in punti diversi:
Il grafico della funzione y=2x+3 (b=3) interseca l'asse OY nel punto (0;3)
Il grafico della funzione y=2x (b=0) interseca l'asse OY nel punto (0;0) - l'origine.
Il grafico della funzione y=2x-3 (b=-3) interseca l'asse OY nel punto (0;-3)

Quindi, se conosciamo i segni dei coefficienti k e b, possiamo immediatamente immaginare come appare il grafico della funzione y=kx+b.
Se k0

Se k>0 e b>0, allora il grafico della funzione y=kx+b sarà simile a:

Se k>0 e b, allora il grafico della funzione y=kx+b sarà simile a:

Se k, allora il grafico della funzione y=kx+b sarà simile a:

Se k=0, allora la funzione y=kx+b si trasforma nella funzione y=b e il suo grafico appare così:

Le ordinate di tutti i punti sul grafico della funzione y=b sono uguali a b If b=0, allora il grafico della funzione y=kx (proporzionalità diretta) passa per l'origine:

3. Notiamo separatamente il grafico dell'equazione x=a. Il grafico di questa equazione è una linea retta parallela all'asse OY, i cui punti hanno tutti un'ascissa x=a.

Ad esempio, il grafico dell'equazione x=3 si presenta così:
Attenzione! L'equazione x=a non è una funzione, quindi un valore dell'argomento corrisponde a diversi valori della funzione, il che non corrisponde alla definizione di funzione.

4. Condizione per il parallelismo di due rette:

Il grafico della funzione y=k 1 x+b 1 è parallelo al grafico della funzione y=k 2 x+b 2 se k 1 =k 2

5. La condizione affinché due rette siano perpendicolari:

Il grafico della funzione y=k 1 x+b 1 è perpendicolare al grafico della funzione y=k 2 x+b 2 se k 1 *k 2 =-1 oppure k 1 =-1/k 2

6. Punti di intersezione del grafico della funzione y=kx+b con gli assi coordinati.

Con asse OY. L'ascissa di qualsiasi punto appartenente all'asse OY è uguale a zero. Pertanto, per trovare il punto di intersezione con l'asse OY, è necessario sostituire nell'equazione della funzione lo zero al posto di x. Otteniamo y=b. Cioè, il punto di intersezione con l'asse OY ha coordinate (0; b).

Con asse OX: L'ordinata di qualsiasi punto appartenente all'asse OX è zero. Pertanto, per trovare il punto di intersezione con l'asse OX, è necessario sostituire nell'equazione della funzione lo zero al posto di y. Otteniamo 0=kx+b. Quindi x=-b/k. Cioè il punto di intersezione con l'asse OX ha coordinate (-b/k;0):

Mantenere la tua privacy è importante per noi. Per questo motivo, abbiamo sviluppato un'Informativa sulla privacy che descrive come utilizziamo e archiviamo le tue informazioni. Si prega di rivedere le nostre pratiche sulla privacy e di farci sapere se avete domande.

Raccolta e utilizzo delle informazioni personali

Le informazioni personali si riferiscono ai dati che possono essere utilizzati per identificare o contattare una persona specifica.

Ti potrebbe essere chiesto di fornire le tue informazioni personali in qualsiasi momento quando ci contatti.

Di seguito sono riportati alcuni esempi dei tipi di informazioni personali che potremmo raccogliere e di come potremmo utilizzare tali informazioni.

Quali informazioni personali raccogliamo:

• Quando invii una richiesta sul sito, potremmo raccogliere varie informazioni, tra cui nome, numero di telefono, indirizzo email, ecc.

Come utilizziamo le tue informazioni personali:

• Le informazioni personali che raccogliamo ci consentono di contattarti con offerte uniche, promozioni e altri eventi ed eventi imminenti.
• Di tanto in tanto, potremmo utilizzare le tue informazioni personali per inviare avvisi e comunicazioni importanti.
• Potremmo anche utilizzare le informazioni personali per scopi interni, come condurre audit, analisi dei dati e varie ricerche al fine di migliorare i servizi che forniamo e fornirti consigli sui nostri servizi.
• Se partecipi a un'estrazione a premi, a un concorso o a una promozione simile, potremmo utilizzare le informazioni fornite per amministrare tali programmi.

Divulgazione di informazioni a terzi

Non divulghiamo le informazioni ricevute da te a terzi.

Eccezioni:

• Se necessario - in conformità alla legge, alla procedura giudiziaria, in procedimenti legali e/o sulla base di richieste pubbliche o richieste da parte delle autorità governative nel territorio della Federazione Russa - di divulgare i tuoi dati personali. Potremmo anche divulgare informazioni su di te se stabiliamo che tale divulgazione è necessaria o appropriata per scopi di sicurezza, applicazione della legge o altri scopi di importanza pubblica.
• In caso di riorganizzazione, fusione o vendita, potremmo trasferire le informazioni personali che raccogliamo alla terza parte successore applicabile.

Protezione delle informazioni personali

Prendiamo precauzioni, comprese quelle amministrative, tecniche e fisiche, per proteggere le tue informazioni personali da perdita, furto e uso improprio, nonché da accesso non autorizzato, divulgazione, alterazione e distruzione.

Rispettare la tua privacy a livello aziendale

Per garantire che le tue informazioni personali siano sicure, comunichiamo gli standard di privacy e sicurezza ai nostri dipendenti e applichiamo rigorosamente le pratiche sulla privacy.

Funzione lineare chiamata funzione della forma y = kx + b, definito sull'insieme di tutti i numeri reali. Qui K– pendenza (numero reale), B – termine libero (numero reale), X- variabile indipendente.

Nel caso speciale, se k = 0, otteniamo una funzione costante y = b, il cui grafico è una retta parallela all'asse del Bue passante per il punto di coordinate (0; b).

Se b = 0, quindi otteniamo la funzione y = kx, che è proporzionalità diretta.

B – lunghezza del segmento, che è tagliato da una linea retta lungo l'asse Oy, contando dall'origine.

Significato geometrico del coefficiente K – angolo di inclinazione dritto alla direzione positiva dell'asse del Bue, considerato in senso antiorario.

Proprietà di una funzione lineare:

1) Il dominio di definizione di una funzione lineare è l'intero asse reale;

2) Se k ≠ 0, allora l'intervallo di valori della funzione lineare è l'intero asse reale. Se k = 0, quindi l'intervallo di valori della funzione lineare è costituito dal numero B;

3) L'uniformità e la stranezza di una funzione lineare dipendono dai valori dei coefficienti K E B.

UN) b ≠ 0, k = 0, quindi, y = b – pari;

B) b = 0, k ≠ 0, quindi y = kx – dispari;

C) b ≠ 0, k ≠ 0, quindi y = kx + b – funzione di forma generale;

D) b = 0, k = 0, quindi y = 0 – funzioni sia pari che dispari.

4) Una funzione lineare non ha la proprietà della periodicità;

5) Punti di intersezione con assi coordinati:

Bue: y = kx + b = 0, x = -b/k, quindi (-b/k; 0)– punto di intersezione con l'asse delle ascisse.

Ehi: y = 0k + b = b, quindi (0; b)– punto di intersezione con l'asse delle ordinate.

Nota: se b = 0 E k = 0, quindi la funzione y = 0 va a zero per qualsiasi valore della variabile X. Se b ≠ 0 E k = 0, quindi la funzione y = b non si annulla per nessun valore della variabile X.

6) Gli intervalli di costanza di segno dipendono dal coefficiente k.

UN) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– positivo quando X da (-b/k; +∞),

y = kx + b– negativo quando X da (-∞; -b/k).

B) K< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– positivo quando X da (-∞; -b/k),

y = kx + b– negativo quando X da (-b/k; +∞).

C) k = 0, b > 0; y = kx + b positivo su tutto l’intervallo di definizione,

k = 0, b< 0; y = kx + b negativo in tutto il campo di definizione.

7) Gli intervalli di monotonicità di una funzione lineare dipendono dal coefficiente K.

k > 0, quindi y = kx + b aumenta in tutto il dominio di definizione,

K< 0 , quindi y = kx + b diminuisce nell’intero dominio di definizione.

8) Il grafico di una funzione lineare è una retta. Per costruire una retta è sufficiente conoscere due punti. La posizione della retta sul piano delle coordinate dipende dai valori dei coefficienti K E B. Di seguito una tabella che lo illustra chiaramente.

Definizione di funzione lineare

Introduciamo la definizione di funzione lineare

Definizione

Una funzione della forma $y=kx+b$, dove $k$ è diverso da zero, è chiamata funzione lineare.

Il grafico di una funzione lineare è una linea retta. Il numero $k$ è chiamato pendenza della retta.

Quando $b=0$ la funzione lineare è detta funzione di proporzionalità diretta $y=kx$.

Considera la Figura 1.

Riso. 1. Significato geometrico della pendenza di una retta

Consideriamo il triangolo ABC. Vediamo che $ВС=kx_0+b$. Troviamo il punto di intersezione della retta $y=kx+b$ con l'asse $Ox$:

\ \

Quindi $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Troviamo il rapporto tra questi lati:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

D'altra parte, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Pertanto, possiamo trarre la seguente conclusione:

Conclusione

Significato geometrico del coefficiente $k$. Il coefficiente angolare della retta $k$ è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione di questa retta rispetto all'asse $Ox$.

Studio della funzione lineare $f\left(x\right)=kx+b$ e del suo grafico

Innanzitutto, considera la funzione $f\left(x\right)=kx+b$, dove $k > 0$.

1. $f"\sinistra(x\destra)=(\sinistra(kx+b\destra))"=k>0$. Di conseguenza, questa funzione aumenta nell'intero dominio di definizione. Non ci sono punti estremi.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafico (Fig. 2).

Riso. 2. Grafici della funzione $y=kx+b$, per $k > 0$.

Consideriamo ora la funzione $f\left(x\right)=kx$, dove $k

1. Il dominio della definizione sono tutti i numeri.
2. L'intervallo di valori è composto da tutti i numeri.
3. $f\sinistra(-x\destra)=-kx+b$. La funzione non è né pari né dispari.
4. Per $x=0,f\sinistra(0\destra)=b$. Quando $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Punti di intersezione con assi coordinati: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ e $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\sinistra(x\destra)=(\sinistra(kx\destra))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Pertanto, la funzione non ha punti di flesso.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafico (Fig. 3).

Il concetto di funzione numerica. Metodi per specificare una funzione. Proprietà delle funzioni.

Una funzione numerica è una funzione che agisce da uno spazio numerico (set) a un altro spazio numerico (set).

Tre modi principali per definire una funzione: analitico, tabellare e grafico.

1. Analitico.

Il metodo per specificare una funzione utilizzando una formula è chiamato analitico. Questo metodo è quello principale nel tappetino. analisi, ma nella pratica non è conveniente.

2. Metodo tabulare per specificare una funzione.

Una funzione può essere specificata utilizzando una tabella contenente i valori degli argomenti e i valori delle funzioni corrispondenti.

3. Metodo grafico per specificare una funzione.

Una funzione y=f(x) si dice graficamente se viene costruito il suo grafico. Questo metodo di specificazione di una funzione consente di determinare i valori della funzione solo approssimativamente, poiché la costruzione di un grafico e la ricerca dei valori della funzione su di esso sono associati a errori.

Proprietà di una funzione che deve essere presa in considerazione quando si costruisce il suo grafico:

1) Il dominio di definizione della funzione.

Dominio della funzione, cioè quei valori che può assumere l'argomento x della funzione F=y(x).

2) Intervalli di funzioni crescenti e decrescenti.

La funzione si chiama crescente sull'intervallo in esame, se a un valore maggiore dell'argomento corrisponde un valore maggiore della funzione y(x). Ciò significa che se dall'intervallo considerato si prendono due argomenti arbitrari x 1 e x 2 e x 1 > x 2, allora y(x 1) > y(x 2).

La funzione si chiama decrescente sull'intervallo in esame, se ad un valore maggiore dell'argomento corrisponde un valore minore della funzione y(x). Ciò significa che se dall'intervallo considerato si prendono due argomenti arbitrari x 1 e x 2 e x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Zeri di funzione.

I punti in cui la funzione F = y (x) interseca l'asse delle ascisse (si ottengono risolvendo l'equazione y(x) = 0) sono chiamati zeri della funzione.

4) Funzioni pari e dispari.

La funzione si chiama pari, if per tutti i valori degli argomenti dall'ambito

y(-x) = y(x).

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'ordinata.

La funzione si chiama dispari, se per tutti i valori dell'argomento dal dominio di definizione

y(-x) = -y(x).

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'origine.

Molte funzioni non sono né pari né dispari.

5) Periodicità della funzione.

La funzione si chiama periodica, se esiste un numero P tale che per tutti i valori dell'argomento dal dominio di definizione

y(x + P) = y(x).

Funzione lineare, sue proprietà e grafico.

Una funzione lineare è una funzione della forma y = kx + b, definito sull'insieme di tutti i numeri reali.

K– pendenza (numero reale)

B– termine fittizio (numero reale)

X- variabile indipendente.

· Nel caso particolare, se k = 0, otteniamo una funzione costante y = b, il cui grafico è una retta parallela all'asse Ox passante per il punto di coordinate (0; b).

· Se b = 0, allora otteniamo la funzione y = kx, che è proporzionalità diretta.

o Il significato geometrico del coefficiente b è la lunghezza del segmento che la retta taglia lungo l'asse Oy, contando dall'origine.

o Il significato geometrico del coefficiente k è l'angolo di inclinazione della retta rispetto alla direzione positiva dell'asse del Bue, calcolato in senso antiorario.

Proprietà di una funzione lineare:

1) Il dominio di definizione di una funzione lineare è l'intero asse reale;

2) Se k ≠ 0, allora l'intervallo di valori della funzione lineare è l'intero asse reale.

Se k = 0, l'intervallo di valori della funzione lineare è costituito dal numero b;

3) L'uniformità e la disparità di una funzione lineare dipendono dai valori dei coefficienti k e b.

a) b ≠ 0, k = 0, quindi y = b – pari;

b) b = 0, k ≠ 0, quindi y = kx – dispari;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, quindi y = kx + b è una funzione di forma generale;

d) b = 0, k = 0, quindi y = 0 è sia una funzione pari che dispari.

4) Una funzione lineare non ha la proprietà della periodicità;

5) Punti di intersezione con gli assi coordinati:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, quindi (-b/k; 0) è il punto di intersezione con l'asse x.

Oy: y = 0k + b = b, quindi (0; b) è il punto di intersezione con l'ordinata.

Commento. Se b = 0 e k = 0, allora la funzione y = 0 svanisce per qualsiasi valore della variabile x. Se b ≠ 0 e k = 0, allora la funzione y = b non si annulla per nessun valore della variabile x.

6) Gli intervalli di segno costante dipendono dal coefficiente k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – positivo in x da (-b/k; +∞),

y = kx + b – negativo per x da (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – positivo in x da (-∞; -b/k),

y = kx + b – negativo per x di (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b è positivo in tutto il dominio della definizione,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Gli intervalli di monotonicità di una funzione lineare dipendono dal coefficiente k.

k > 0, quindi y = kx + b aumenta in tutto il dominio di definizione,

K< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funzione y = ax 2 + bx + c, sue proprietà e grafico.

La funzione y = ax 2 + bx + c (a, b, c sono costanti, a ≠ 0) si chiama quadratico Nel caso più semplice, y = ax 2 (b = c = 0) il grafico è una linea curva passante per l'origine. La curva che serve da grafico della funzione y = ax 2 è una parabola. Ogni parabola ha un asse di simmetria chiamato l'asse della parabola. Si chiama il punto O dell'intersezione di una parabola con il suo asse il vertice della parabola.

Il grafico può essere costruito secondo il seguente schema: 1) Trovare le coordinate del vertice della parabola x 0 = -b/2a; y0 = y(x0). 2) Costruiamo molti altri punti che appartengono alla parabola; durante la costruzione possiamo utilizzare le simmetrie della parabola rispetto alla retta x = -b/2a. 3) Unisci i punti indicati con una linea morbida. Esempio. Rappresentare graficamente la funzione b = x 2 + 2x - 3. Soluzioni. Il grafico della funzione è una parabola, i cui rami sono diretti verso l'alto. L'ascissa del vertice della parabola x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, le sue ordinate y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Quindi il vertice della parabola è il punto (-1; -4). Compiliamo una tabella di valori per diversi punti che si trovano a destra dell'asse di simmetria della parabola - linea retta x = -1. Proprietà della funzione.