Funzioni irrazionali. Metodo grafico per risolvere equazioni irrazionali

Questo materiale metodologico è solo di riferimento e copre un'ampia gamma di argomenti. L'articolo fornisce una panoramica dei grafici delle principali funzioni elementari e considera la questione più importante: come costruire correttamente e VELOCEMENTE un grafico. Nel corso dello studio della matematica superiore senza la conoscenza dei grafici delle funzioni elementari di base, sarà difficile, quindi è molto importante ricordare che aspetto hanno i grafici di una parabola, iperbole, seno, coseno, ecc., per ricordarne alcuni dei valori delle funzioni. Parleremo anche di alcune proprietà delle funzioni principali.

Non pretendo di completezza e completezza scientifica dei materiali, l'accento sarà posto, prima di tutto, sulla pratica - quelle cose con cui bisogna affrontare letteralmente ogni passo, in qualsiasi argomento di matematica superiore. Grafici per manichini? Puoi dirlo.

A grande richiesta dei lettori sommario cliccabile:

Inoltre, c'è un brevissimo abstract sull'argomento
– padroneggia 16 tipi di grafici studiando SEI pagine!

Seriamente, sei, anche io stesso sono rimasto sorpreso. Questo abstract contiene una grafica migliorata ed è disponibile a un costo nominale, è possibile visualizzare una versione demo. È conveniente stampare il file in modo che i grafici siano sempre a portata di mano. Grazie per aver sostenuto il progetto!

E iniziamo subito:

Come costruire correttamente gli assi delle coordinate?

In pratica, le prove vengono quasi sempre redatte dagli studenti in quaderni separati, allineati in una gabbia. Perché hai bisogno di segni a scacchi? Dopotutto, il lavoro, in linea di principio, può essere eseguito su fogli A4. E la gabbia è necessaria solo per la progettazione accurata e di alta qualità dei disegni.

Qualsiasi disegno di un grafico di funzione inizia con gli assi delle coordinate.

I disegni sono bidimensionali e tridimensionali.

Consideriamo prima il caso bidimensionale Sistema di coordinate cartesiano:

1) Disegniamo gli assi delle coordinate. L'asse viene chiamato asse x , e l'asse asse y . Cerchiamo sempre di disegnarli pulito e non storto. Anche le frecce non dovrebbero assomigliare alla barba di papa Carlo.

2) Segniamo gli assi con le lettere maiuscole "x" e "y". Non dimenticare di firmare gli assi.

3) Impostare la scala lungo gli assi: disegna zero e due uno. Quando si esegue un disegno, la scala più comoda e comune è: 1 unità = 2 celle (disegno a sinistra) - attenersi ad essa se possibile. Tuttavia, di tanto in tanto capita che il disegno non si adatti al foglio di un quaderno, quindi riduciamo la scala: 1 unità = 1 cella (disegno a destra). Raramente, ma capita che la scala del disegno debba essere ulteriormente ridotta (o aumentata).

NON scarabocchiare da una mitragliatrice ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Perché il piano delle coordinate non è un monumento a Cartesio e lo studente non è una colomba. Abbiamo messo zero e due unità lungo gli assi. Qualche volta invece di unità, è conveniente "rilevare" altri valori, ad esempio "due" sull'asse delle ascisse e "tre" sull'asse delle ordinate - e questo sistema (0, 2 e 3) imposterà anche in modo univoco la griglia delle coordinate.

È meglio stimare le dimensioni stimate del disegno PRIMA che il disegno venga disegnato.. Quindi, ad esempio, se l'attività richiede il disegno di un triangolo con vertici , , , è abbastanza chiaro che la popolare scala 1 unità = 2 celle non funzionerà. Come mai? Diamo un'occhiata al punto: qui devi misurare quindici centimetri in basso e, ovviamente, il disegno non si adatta (o si adatta a malapena) su un foglio di quaderno. Pertanto, selezioniamo immediatamente una scala più piccola 1 unità = 1 cella.

A proposito, circa centimetri e celle del notebook. È vero che ci sono 15 centimetri in 30 celle di notebook? Misura su un quaderno per interesse 15 centimetri con un righello. In URSS, forse questo era vero ... È interessante notare che se si misurano questi stessi centimetri orizzontalmente e verticalmente, i risultati (nelle celle) saranno diversi! A rigor di termini, i notebook moderni non sono a scacchi, ma rettangolari. Può sembrare una sciocchezza, ma disegnare, ad esempio, un cerchio con una bussola in tali situazioni è molto scomodo. Ad essere onesti, in questi momenti inizi a pensare alla correttezza del compagno Stalin, che è stato mandato nei campi per lavori di hackeraggio nella produzione, per non parlare dell'industria automobilistica nazionale, degli aerei che cadono o delle centrali elettriche che esplodono.

A proposito di qualità, o una breve raccomandazione sulla cancelleria. Ad oggi la maggior parte dei quaderni in vendita, senza dire parolacce, sono dei completi goblin. Per il motivo che si bagnano, e non solo dalle penne gel, ma anche dalle penne a sfera! Risparmia sulla carta. Per la progettazione dei test, consiglio di utilizzare i taccuini di Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 fogli, cella) o Pyaterochka, anche se è più costoso. Si consiglia di scegliere una penna gel, anche la ricarica gel cinese più economica è molto meglio di una penna a sfera, che macchia o strappa la carta. L'unica penna a sfera "competitiva" che ho in memoria è la Erich Krause. Scrive in modo chiaro, bello e stabile - con uno stelo pieno o con uno quasi vuoto.

Inoltre: la visione di un sistema di coordinate rettangolare attraverso gli occhi della geometria analitica è trattata nell'articolo Lineare (non)dipendenza dei vettori. Base vettoriale, informazioni dettagliate sui quarti di coordinate sono disponibili nel secondo paragrafo della lezione Disuguaglianze lineari.

Caso 3D

È quasi lo stesso qui.

1) Disegniamo gli assi delle coordinate. Standard: asse applicato – diretto verso l'alto, asse – diretto a destra, asse – verso il basso a sinistra rigorosamente ad un angolo di 45 gradi.

2) Firmiamo gli assi.

3) Impostare la scala lungo gli assi. Scala lungo l'asse: due volte più piccola della scala lungo gli altri assi. Nota anche che nel disegno a destra ho usato un "serif" non standard lungo l'asse (questa possibilità è già stata menzionata sopra). Dal mio punto di vista, è più preciso, più veloce ed esteticamente più gradevole: non è necessario cercare il centro della cellula al microscopio e "scolpire" l'unità fino all'origine.

Quando si esegue di nuovo un disegno 3D, dare priorità alla scala
1 unità = 2 celle (disegno a sinistra).

A cosa servono tutte queste regole? Le regole sono lì per essere infrante. Cosa farò adesso. Il fatto è che i successivi disegni dell'articolo verranno realizzati da me in Excel e gli assi delle coordinate sembreranno errati in termini di progettazione corretta. Potrei disegnare tutti i grafici a mano, ma è davvero spaventoso disegnarli, poiché Excel è riluttante a disegnarli in modo molto più accurato.

Grafici e proprietà di base delle funzioni elementari

La funzione lineare è data dall'equazione . Il grafico della funzione lineare è diretto. Per costruire una retta basta conoscere due punti.

Esempio 1

Traccia la funzione. Troviamo due punti. È vantaggioso scegliere zero come uno dei punti.

Se poi

Prendiamo qualche altro punto, per esempio, 1.

Se poi

Quando si preparano le attività, le coordinate dei punti sono generalmente riassunte in una tabella:

E i valori stessi sono calcolati oralmente o su una bozza, calcolatrice.

Si trovano due punti, disegniamo:

Quando si redige un disegno, firmiamo sempre la grafica.

Non sarà superfluo ricordare casi speciali di una funzione lineare:

Nota come ho posizionato le didascalie, le firme non dovrebbero essere ambigue quando si studia il disegno. In questo caso, era altamente indesiderabile apporre una firma vicino al punto di intersezione delle linee, o in basso a destra tra i grafici.

1) Una funzione lineare della forma () è chiamata proporzionalità diretta. Per esempio, . Il grafico della proporzionalità diretta passa sempre per l'origine. Pertanto, la costruzione di una retta è semplificata: è sufficiente trovare un solo punto.

2) Un'equazione della forma definisce una retta parallela all'asse, in particolare l'asse stesso è dato dall'equazione. Il grafico della funzione viene costruito immediatamente, senza trovare punti. Cioè, la voce dovrebbe essere intesa come segue: "y è sempre uguale a -4, per qualsiasi valore di x".

3) Un'equazione della forma definisce una retta parallela all'asse, in particolare l'asse stesso è dato dall'equazione. Anche il grafico della funzione viene costruito immediatamente. La voce deve essere intesa come segue: "x è sempre, per qualsiasi valore di y, uguale a 1."

Qualcuno chiederà, beh, perché ricordi la prima media?! È così, forse è così, solo durante gli anni di pratica ho incontrato una buona dozzina di studenti che erano sconcertati dal compito di costruire un grafico come o .

Disegnare una linea retta è l'azione più comune quando si creano disegni.

La retta è discussa in dettaglio nel corso della geometria analitica e chi lo desidera può fare riferimento all'articolo Equazione di una retta su un piano.

Grafico delle funzioni quadratiche, grafico delle funzioni cubiche, grafico dei polinomi

Parabola. Grafico di una funzione quadratica () è una parabola. Consideriamo il famoso caso:

Ricordiamo alcune proprietà della funzione.

Quindi, la soluzione della nostra equazione: - è a questo punto che si trova il vertice della parabola. Perché è così può essere appreso dall'articolo teorico sulla derivata e dalla lezione sugli estremi della funzione. Nel frattempo, calcoliamo il valore corrispondente di "y":

Quindi il vertice è al punto

Ora troviamo altri punti, usando sfacciatamente la simmetria della parabola. Va notato che la funzione – non è pari, ma, tuttavia, nessuno ha cancellato la simmetria della parabola.

In che ordine trovare i punti rimanenti, penso che sarà chiaro dal tavolo finale:

Questo algoritmo di costruzione può essere in senso figurato chiamato "navetta" o principio "avanti e indietro" con Anfisa Chekhova.

Facciamo un disegno:

Dai grafici considerati, viene in mente un'altra caratteristica utile:

Per una funzione quadratica () vale quanto segue:

Se , allora i rami della parabola sono diretti verso l'alto.

Se , allora i rami della parabola sono diretti verso il basso.

Una conoscenza approfondita della curva può essere ottenuta nella lezione Iperbole e parabola.

La parabola cubica è data dalla funzione . Ecco un disegno familiare da scuola:

Elenchiamo le principali proprietà della funzione

Grafico delle funzioni

Rappresenta uno dei rami della parabola. Facciamo un disegno:

Le principali proprietà della funzione:

In questo caso, l'asse è asintoto verticale per il grafico dell'iperbole in .

Sarà un GRANDE errore se, quando si redige un disegno, per negligenza, si lascia che il grafico si intersechi con l'asintoto.

Anche i limiti unilaterali, ci dicono che è un'iperbole non limitato dall'alto e non limitato dal basso.

Esploriamo la funzione all'infinito: , cioè se iniziamo a spostarci lungo l'asse a sinistra (oa destra) verso l'infinito, allora i "giochi" saranno un passo snello infinitamente vicino avvicinano allo zero e, di conseguenza, i rami dell'iperbole infinitamente vicino avvicinarsi all'asse.

Quindi l'asse è asintoto orizzontale per il grafico della funzione, se "x" tende a più o meno infinito.

La funzione è strano, il che significa che l'iperbole è simmetrica rispetto all'origine. Questo fatto è evidente dal disegno, inoltre, può essere facilmente verificato analiticamente: .

Il grafico di una funzione della forma () rappresenta due rami di un'iperbole.

Se , l'iperbole si trova nel primo e nel terzo quadrante delle coordinate(vedi foto sopra).

Se , l'iperbole si trova nel secondo e nel quarto quadrante delle coordinate.

Non è difficile analizzare la regolarità specificata del luogo di residenza dell'iperbole dal punto di vista delle trasformazioni geometriche dei grafici.

Esempio 3

Costruisci il ramo destro dell'iperbole

Utilizziamo il metodo di costruzione puntuale, mentre è vantaggioso selezionare i valori in modo che si dividano completamente:

Facciamo un disegno:

Non sarà difficile costruire il ramo sinistro dell'iperbole, qui la stranezza della funzione aiuterà solo. In parole povere, nella tabella di costruzione puntuale, aggiungi mentalmente un meno a ogni numero, metti i punti corrispondenti e disegna il secondo ramo.

Informazioni geometriche dettagliate sulla retta considerata possono essere trovate nell'articolo Iperbole e parabola.

Grafico di una funzione esponenziale

In questo paragrafo considererò subito la funzione esponenziale, poiché nei problemi di matematica superiore nel 95% dei casi è l'esponente che si verifica.

Ti ricordo che - questo è un numero irrazionale: , questo sarà richiesto quando si costruisce un grafico, che, infatti, costruirò senza cerimonie. Probabilmente sono sufficienti tre punti:

Lasciamo perdere il grafico della funzione per ora, a riguardo più avanti.

Le principali proprietà della funzione:

Fondamentalmente, i grafici delle funzioni hanno lo stesso aspetto, ecc.

Devo dire che il secondo caso è meno comune nella pratica, ma si verifica, quindi ho ritenuto necessario includerlo in questo articolo.

Grafico di una funzione logaritmica

Consideriamo una funzione con logaritmo naturale.
Facciamo un disegno a tratteggio:

Se hai dimenticato cos'è un logaritmo, fai riferimento ai libri di testo della scuola.

Le principali proprietà della funzione:

Dominio:

Intervallo di valori: .

La funzione non è limitata dall'alto: , anche se lentamente, ma il ramo del logaritmo sale all'infinito.
Esaminiamo il comportamento della funzione vicino allo zero a destra: . Quindi l'asse è asintoto verticale per il grafico della funzione con "x" tendente a zero a destra.

Assicurati di conoscere e ricordare il valore tipico del logaritmo: .

Fondamentalmente, la trama del logaritmo alla base ha lo stesso aspetto: , , (logaritmo decimale in base 10), ecc. Allo stesso tempo, più grande è la base, più piatto sarà il grafico.

Non considereremo il caso, cosa che non ricordo quando l'ultima volta che ho costruito un grafico con una tale base. Sì, e il logaritmo sembra essere un ospite molto raro nei problemi di matematica superiore.

In conclusione del paragrafo, dirò un altro fatto: Funzione esponenziale e funzione logaritmicasono due funzioni reciprocamente inverse. Se guardi da vicino il grafico del logaritmo, puoi vedere che questo è lo stesso esponente, solo che si trova in modo leggermente diverso.

Grafici delle funzioni trigonometriche

Come inizia il tormento trigonometrico a scuola? Correttamente. Dal seno

Tracciamo la funzione

Questa linea è chiamata sinusoide.

Ti ricordo che “pi” è un numero irrazionale:, e in trigonometria abbaglia negli occhi.

Le principali proprietà della funzione:

Questa funzione è periodico con un periodo. Cosa significa? Diamo un'occhiata al taglio. A sinistra ea destra di esso, esattamente lo stesso pezzo del grafico si ripete all'infinito.

Dominio: , ovvero per ogni valore di "x" esiste un valore seno.

Intervallo di valori: . La funzione è limitato: , cioè tutti i "giochi" si trovano rigorosamente nel segmento .
Questo non succede: o, più precisamente, succede, ma queste equazioni non hanno soluzione.

"Trasformazione di grafici di funzioni" - Stretching. Simmetria. Correggere la costruzione di grafici di funzioni utilizzando trasformazioni di grafici di funzioni elementari. Tracciare funzioni complesse. Lavoro indipendente Opzione 1 Opzione 2. Trasferimento parallelo. Associa ogni grafico a una funzione. Trasformazione di grafici di funzioni. Considera esempi di trasformazioni, spiega ogni tipo di trasformazione.

"Equazione irrazionale" - Algoritmo per la risoluzione di equazioni. Storia di numeri irragionevoli. Quale passaggio per risolvere l'equazione porta alla comparsa di radici extra. "Lezione-discussione". Trova l'errore. Introduzione. "Per mezzo di equazioni, teoremi, ho risolto tutti i tipi di problemi." Durante le lezioni. In una disputa sono inaccettabili insulti, rimproveri, ostilità verso i compagni di classe.

"Grafico delle funzioni" - Se una funzione lineare è data da una formula come y \u003d kx, cioè b \u003d 0, viene chiamata proporzionalità diretta. Se una funzione lineare è data dalla formula y \u003d b, ovvero k \u003d 0, il suo grafico passa per un punto con coordinate (b; 0) parallele all'asse OX. Funzione. Una funzione lineare è una funzione che può essere definita dalla formula y = kx + b, dove x è una variabile indipendente, k e b sono alcuni numeri.

Come tracciare una funzione lineare? - Il valore di y, dove x=3. Consolidamento del materiale ricoperto. Tema metodico. Costruisci un grafico di una funzione lineare y \u003d -3x + 6. - Definire le proprietà di questa funzione. Verifica: lo studente è alla lavagna. Funzioni di apprendimento. Scritto con verifica. nell'ambito del programma scolastico.

"Grafico della funzione Y X" - Esempio 1. Costruiamo un grafico della funzione y=(x - 2)2, basato sul grafico della funzione y=x2 (clic del mouse). Clicca per vedere i grafici. Esempio 2. Costruiamo un grafico della funzione y = x2 + 1, basato sul grafico della funzione y=x2 (clic del mouse). Modello di parabola y = x2. Il grafico della funzione y=(x - m)2 è una parabola con un vertice nel punto (m; 0).

"Equazioni e disuguaglianze irrazionali" - Metodi risolutivi. 3. Introduzione di variabili ausiliarie. 1. Esponenziale. Equazioni irrazionali Metodi risolutivi. Equazioni e disuguaglianze irrazionali. 2. Moltiplicazione per l'espressione aggiunta. 4. Selezione del quadrato pieno sotto il segno del radicale. 6. Metodo grafico. Disuguaglianze irrazionali.

Conoscenza funzioni elementari di base, loro proprietà e grafici non meno importante della conoscenza della tabellina. Sono come una base, tutto si basa su di loro, tutto è costruito da loro e tutto dipende da loro.

In questo articolo elenchiamo tutte le principali funzioni elementari, diamo i loro grafici e li diamo senza derivazioni e dimostrazioni. proprietà delle funzioni elementari di base secondo lo schema:

• comportamento della funzione ai confini del dominio di definizione, asintoti verticali (se necessario, vedere l'articolo classificazione dei breakpoint di una funzione);
• pari e dispari;
• intervalli di convessità (convessità verso l'alto) e concavità (convessità verso il basso), punti di flesso (se necessario, vedere la funzione articolo convessità, direzione di convessità, punti di flesso, convessità e condizioni di flesso);
• asintoti obliqui e orizzontali;
• punti singolari di funzioni;
• proprietà speciali di alcune funzioni (ad esempio, il periodo positivo più piccolo per le funzioni trigonometriche).

Se sei interessato a o, puoi andare a queste sezioni della teoria.

Funzioni elementari di base sono: funzione costante (costante), radice dell'ennesimo grado, funzione potenza, funzione esponenziale, funzione logaritmica, funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse.

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Funzione permanente.

Una funzione costante è data dall'insieme di tutti i numeri reali dalla formula , dove C è un numero reale. La funzione costante assegna ad ogni valore reale della variabile indipendente x lo stesso valore della variabile dipendente y - il valore С. Una funzione costante è anche chiamata costante.

Il grafico di una funzione costante è una retta parallela all'asse x e passante per un punto di coordinate (0,C). Ad esempio, mostriamo i grafici delle funzioni costanti y=5 , y=-2 e , che nella figura seguente corrispondono rispettivamente alle linee nera, rossa e blu.

Proprietà di una funzione costante.

• Dominio di definizione: l'intero insieme dei numeri reali.
• La funzione costante è pari.
• Intervallo di valori: insieme composto da un unico numero C .
• Una funzione costante è non crescente e non decrescente (ecco perché è costante).
• Non ha senso parlare della convessità e della concavità della costante.
• Non c'è nessun asintoto.
• La funzione passa per il punto (0,C) del piano delle coordinate.

La radice dell'ennesimo grado.

Si consideri la funzione elementare di base, data dalla formula , dove n è un numero naturale maggiore di uno.

La radice dell'ennesimo grado, n è un numero pari.

Iniziamo con l'ennesima funzione radice per valori pari dell'esponente radice n.

Ad esempio, diamo un'immagine con immagini di grafici di funzioni e , corrispondono a linee nere, rosse e blu.

I grafici delle funzioni della radice di un grado pari hanno una forma simile per altri valori dell'indicatore.

Proprietà della radice dell'ennesimo grado per n pari.

La radice dell'ennesimo grado, n è un numero dispari.

La funzione radice dell'ennesimo grado con esponente dispari della radice n è definita sull'intero insieme dei numeri reali. Ad esempio, presentiamo grafici di funzioni e , le curve nere, rosse e blu corrispondono ad esse.

Per altri valori dispari dell'esponente radice, i grafici della funzione avranno un aspetto simile.

Proprietà della radice dell'ennesimo grado per n dispari.

Funzione di alimentazione.

La funzione di potenza è data da una formula della forma .

Considera il tipo di grafici di una funzione di potenza e le proprietà di una funzione di potenza a seconda del valore dell'esponente.

Iniziamo con una funzione di potenza con esponente intero a . In questo caso, la forma dei grafici delle funzioni di potenza e le proprietà delle funzioni dipendono dall'esponente pari o dispari, nonché dal suo segno. Pertanto, consideriamo prima le funzioni di potenza per valori positivi dispari dell'esponente a , quindi per quelli pari positivi, quindi per esponenti negativi dispari e, infine, per pari negativi a .

Le proprietà delle funzioni di potenza con esponenti frazionari e irrazionali (così come il tipo di grafici di tali funzioni di potenza) dipendono dal valore dell'esponente a. Li considereremo, in primo luogo, quando a va da zero a uno, in secondo luogo, quando a è maggiore di uno, in terzo luogo, quando a va da meno uno a zero, e in quarto luogo, quando a è minore di meno uno.

In conclusione di questa sottosezione, per completezza, descriviamo una funzione di potenza con esponente zero.

Funzione di potenza con esponente positivo dispari.

Si consideri una funzione di potenza con esponente positivo dispari, cioè con a=1,3,5,… .

La figura seguente mostra i grafici delle funzioni di alimentazione - linea nera, - linea blu, - linea rossa, - linea verde. Per a=1 abbiamo funzione lineare y=x.

Proprietà di una funzione di potenza con esponente positivo dispari.

Funzione di potenza con esponente anche positivo.

Si consideri una funzione di potenza con esponente pari positivo, cioè per a=2,4,6,… .

Ad esempio, prendiamo i grafici delle funzioni di potenza - linea nera, - linea blu, - linea rossa. Per a=2 abbiamo una funzione quadratica il cui grafico è parabola quadratica.

Proprietà di una funzione di potenza con esponente anche positivo.

Funzione di potenza con esponente negativo dispari.

Guarda i grafici della funzione esponenziale per valori negativi dispari dell'esponente, cioè per un \u003d -1, -3, -5, ....

La figura mostra grafici di funzioni esponenziali come esempi - linea nera, - linea blu, - linea rossa, - linea verde. Per a=-1 abbiamo proporzionalità inversa, il cui grafico è iperbole.

Proprietà di una funzione di potenza con esponente negativo dispari.

Funzione di potenza con esponente anche negativo.

Passiamo alla funzione di potenza in a=-2,-4,-6,….

La figura mostra i grafici delle funzioni di potenza - linea nera, - linea blu, - linea rossa.

Proprietà di una funzione di potenza con esponente anche negativo.

Una funzione di potenza con un esponente razionale o irrazionale il cui valore è maggiore di zero e minore di uno.

Nota! Se a è una frazione positiva con denominatore dispari, alcuni autori considerano l'intervallo come il dominio della funzione di potenza. Allo stesso tempo, si stabilisce che l'esponente a è una frazione irriducibile. Ora gli autori di molti libri di testo sull'algebra e gli inizi dell'analisi NON DEFINISCONO le funzioni di potenza con un esponente sotto forma di frazione con denominatore dispari per valori negativi dell'argomento. Aderiremo proprio a tale visione, ovvero considereremo i domini delle funzioni di potenza con esponenti positivi frazionari come l'insieme . Incoraggiamo gli studenti a ottenere il punto di vista del tuo insegnante su questo punto sottile per evitare disaccordi.

Si consideri una funzione di potenza con esponente razionale o irrazionale a , e .

Presentiamo grafici delle funzioni di potenza per a=11/12 (linea nera), a=5/7 (linea rossa), (linea blu), a=2/5 (linea verde).

Una funzione di potenza con un esponente razionale o irrazionale non intero maggiore di uno.

Si consideri una funzione di potenza con esponente razionale o irrazionale non intero a , e .

Presentiamo i grafici delle funzioni di potenza dati dalle formule (rispettivamente linee nere, rosse, blu e verdi).

Per altri valori dell'esponente a , i grafici della funzione avranno un aspetto simile.

Proprietà della funzione di potenza per .

Una funzione di potenza con un esponente reale maggiore di meno uno e minore di zero.

Nota! Se a è una frazione negativa con denominatore dispari, alcuni autori considerano l'intervallo . Allo stesso tempo, si stabilisce che l'esponente a è una frazione irriducibile. Ora gli autori di molti libri di testo sull'algebra e gli inizi dell'analisi NON DEFINISCONO le funzioni di potenza con un esponente sotto forma di frazione con denominatore dispari per valori negativi dell'argomento. Aderiremo proprio a tale punto di vista, ovvero considereremo i domini delle funzioni di potenza con esponenti negativi frazionari come l'insieme, rispettivamente. Incoraggiamo gli studenti a ottenere il punto di vista del tuo insegnante su questo punto sottile per evitare disaccordi.

Passiamo alla funzione di potenza, dove .

Per avere una buona idea del tipo di grafici di funzioni di potenza per , diamo esempi di grafici di funzioni (curve nere, rosse, blu e verdi, rispettivamente).

Proprietà di una funzione di potenza con esponente a , .

Una funzione di potenza con un esponente reale non intero inferiore a meno uno.

Diamo esempi di grafici di funzioni di potenza per , sono rappresentati rispettivamente con linee nere, rosse, blu e verdi.

Proprietà di una funzione di potenza con esponente negativo non intero minore di meno uno.

Quando a=0 e abbiamo una funzione - questa è una retta da cui il punto (0; 1) è escluso (l'espressione 0 0 è stata concordata per non attribuire alcuna importanza).

Funzione esponenziale.

Una delle funzioni elementari di base è la funzione esponenziale.

Grafico della funzione esponenziale, dove e assume una forma diversa a seconda del valore della base a. Scopriamolo.

Innanzitutto, considera il caso in cui la base della funzione esponenziale assume un valore da zero a uno, ovvero .

Ad esempio, presentiamo i grafici della funzione esponenziale per a = 1/2 - la linea blu, a = 5/6 - la linea rossa. I grafici della funzione esponenziale hanno un aspetto simile per altri valori della base dell'intervallo.

Proprietà di una funzione esponenziale con base minore di uno.

Passiamo al caso in cui la base della funzione esponenziale è maggiore di uno, cioè .

A titolo illustrativo, presentiamo grafici di funzioni esponenziali - la linea blu e - la linea rossa. Per altri valori della base, maggiori di uno, i grafici della funzione esponenziale avranno un aspetto simile.

Proprietà di una funzione esponenziale con base maggiore di uno.

Funzione logaritmica.

La successiva funzione elementare di base è la funzione logaritmica , dove , . La funzione logaritmica è definita solo per valori positivi dell'argomento, cioè per .

Il grafico della funzione logaritmica assume una forma diversa a seconda del valore della base a.

In questo articolo, riassumiamo brevemente le informazioni relative a un concetto matematico così importante come funzione. Parleremo di ciò che è funzione numerica e cosa bisogno di conoscere ed essere in grado di esplorare.

Che cosa funzione numerica? Supponiamo di avere due insiemi numerici: X e Y, e che vi sia una certa dipendenza tra questi insiemi. Cioè, ogni elemento x dell'insieme X, secondo una certa regola, viene assegnato singolo elemento y dall'insieme Y.

Importante, quello Ogni elemento x dell'insieme X corrisponde a uno e un solo elemento y dell'insieme Y.

La regola con cui assegniamo a ciascun elemento dell'insieme X un elemento unico dell'insieme Y è chiamata funzione numerica.

Viene chiamato l'insieme X l'ambito della funzione.

Viene chiamato l'insieme Y insieme di valori di valori di funzione.

Si chiama uguaglianza equazione della funzione. In questa equazione - variabile indipendente o argomento di funzione. - variabile dipendente.

Se prendiamo tutte le coppie e le mettiamo in corrispondenza dei punti corrispondenti del piano delle coordinate, otteniamo grafico della funzione. Un grafico di funzione è una rappresentazione grafica della relazione tra gli insiemi X e Y.

Proprietà della funzione possiamo determinare guardando il grafico della funzione e viceversa esaminando possiamo tracciarlo.

Proprietà di base delle funzioni.

1. L'ambito della funzione.

Dominio della funzione D(y)è l'insieme di tutti i valori validi dell'argomento x (variabile indipendente x) per cui ha senso l'espressione sul lato destro della funzione equazione. In altre parole, sono espressioni.

Per secondo il grafico di una funzione, trova il suo dominio di definizione, n davvero, muovermi con da sinistra a destra lungo l'asse x, annotare tutti gli intervalli di x valori su cui esiste il grafico della funzione.

2. Insieme dei valori delle funzioni.

L'insieme dei valori della funzione E(y)è l'insieme di tutti i valori che la variabile dipendente y può assumere.

Per secondo il grafico della funzione per trovare il suo insieme di valori è necessario, spostandosi dal basso verso l'alto lungo l'asse OY, annotare tutti gli intervalli di y valori su cui esiste il grafico della funzione.

3. Funzione zeri.

Zeri di funzione - questi sono i valori dell'argomento x per cui il valore della funzione (y) è zero.

Per trovare gli zeri della funzione, devi risolvere l'equazione. Le radici di questa equazione saranno gli zeri della funzione.

Per trovare gli zeri di una funzione dal suo grafico, devi trovare i punti di intersezione del grafico con l'asse OX. Le ascisse dei punti di intersezione e saranno gli zeri della funzione.

4. Intervalli di segno costante di una funzione.

Gli intervalli di costanza della funzione sono quegli intervalli di valori di argomento su cui la funzione mantiene il suo segno, ovvero o .

Trovare , dobbiamo risolvere le disuguaglianze e .

Trovare intervalli di costanza di una funzione secondo il suo programma

5. Intervalli di monotonia di una funzione.

Gli intervalli di monotonia di una funzione sono quegli intervalli dei valori dell'argomento x in corrispondenza dei quali la funzione aumenta o diminuisce.

Si dice che una funzione aumenta sull'intervallo I se per due valori qualsiasi dell'argomento , che appartengono all'intervallo I in modo tale che la relazione sia soddisfatta: .

In altre parole, la funzione aumenta sull'intervallo I se il valore maggiore dell'argomento di questo intervallo corrisponde al valore maggiore della funzione.

Per determinare gli intervalli di incremento della funzione dal grafico della funzione, è necessario, spostandosi da sinistra a destra lungo la linea del grafico della funzione, selezionare gli intervalli dei valori dell'argomento x, su cui il grafico sale.

Si dice che una funzione decresce sull'intervallo I se per due valori qualsiasi dell'argomento , che appartengono all'intervallo I tale che vale la seguente relazione: .

In altre parole, la funzione diminuisce sull'intervallo I se il valore maggiore dell'argomento di questo intervallo corrisponde al valore minore della funzione.

Per determinare gli intervalli di funzione decrescente dal grafico della funzione, è necessario, spostandosi da sinistra a destra lungo la linea del grafico della funzione, selezionare gli intervalli dei valori dell'argomento x, su cui il grafico scende.

6. Punti di massimo e minimo della funzione.

Un punto si dice punto massimo di una funzione se esiste un tale intorno I del punto che per ogni punto x di tale intorno vale la seguente relazione:

.

Graficamente, questo significa che il punto con l'ascissa x_0 giace sopra altri punti dell'intorno I del grafico della funzione y=f(x).

Un punto si dice punto di minimo della funzione se esiste un tale intorno I del punto che per ogni punto x di tale intorno vale la seguente relazione:

Graficamente, questo significa che il punto con l'ascissa si trova al di sotto di altri punti dell'intorno I del grafico della funzione.

Di solito troviamo i punti massimo e minimo di una funzione esaminando la funzione usando la derivata.

7. Funzioni pari (dispari).

Una funzione viene chiamata anche se sono soddisfatte due condizioni:

In altre parole, il dominio di definizione di una funzione pari è simmetrico rispetto all'origine.

b) Per ogni valore dell'argomento x, che appartiene al dominio della funzione, vale la seguente relazione: .

Una funzione si dice dispari se sono soddisfatte due condizioni:

a) Per qualsiasi valore dell'argomento , che appartiene all'ambito della funzione, appartiene anche all'ambito della funzione.