Divisione di numeri interi con resto, regole, esempi. Divisione con resto
Segni di divisibilità dei numeri- queste sono regole che ti permettono di scoprire in tempi relativamente brevi, senza dividere, se questo numero è divisibile per un dato numero senza resto.
Alcuni segni di divisibilità abbastanza semplici, alcuni più complicati. In questa pagina troverai sia segni di divisibilità dei numeri primi, come, ad esempio, 2, 3, 5, 7, 11, sia segni di divisibilità dei numeri composti, come 6 o 12.
Spero che queste informazioni ti saranno utili.
Buon apprendimento!
Test di divisibilità per 2
Questo è uno dei segni più semplici di divisibilità. Sembra così: se la notazione di un numero naturale termina con una cifra pari, allora è pari (divisibile senza resto per 2) e se la notazione di un numero naturale termina con una cifra dispari, allora questo numero è dispari .
In altre parole, se l'ultima cifra di un numero è 2
, 4
, 6
, 8
O 0
- il numero è divisibile per 2, altrimenti non è divisibile
Ad esempio, i numeri: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
sono divisibili per 2 perché sono pari.
Numeri A: 23 5
, 137
, 2303
Non sono divisibili per 2 perché sono dispari.
Test di divisibilità per 3
Questo segno di divisibilità ha regole completamente diverse: se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 3, allora il numero è divisibile per 3; Se la somma delle cifre di un numero non è divisibile per 3, allora il numero non è divisibile per 3.
Ciò significa che per capire se un numero è divisibile per 3 basta sommare i numeri che lo compongono.
Appare così: 3987 e 141 sono divisibili per 3, perché nel primo caso 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - divisibile per 3), e nella seconda 1+4+1= 6
(6:3=2 - anche divisibile per 3).
Ma i numeri: 235 e 566 non sono divisibili per 3, perché 2+3+5= 10
e 5+6+6= 17
(e sappiamo che né 10 né 17 sono divisibili per 3 senza resto).
Test di divisibilità per 4
Questo segno di divisibilità sarà più complicato. Se le ultime 2 cifre di un numero formano un numero divisibile per 4 oppure è 00, allora il numero è divisibile per 4, altrimenti il numero dato non è divisibile per 4 senza resto.
Ad esempio: 1 00
e 3 64
sono divisibili per 4 perché nel primo caso il numero termina con 00
, e nel secondo in poi 64
, che a sua volta è divisibile per 4 senza resto (64:4=16)
Numeri 3 57
e 8 86
non sono divisibili per 4 perché nessuno dei due 57
nessuno dei due 86
non sono divisibili per 4, il che significa che non corrispondono a questo criterio di divisibilità.
Test di divisibilità per 5
E ancora, abbiamo un segno di divisibilità abbastanza semplice: se la notazione di un numero naturale termina con il numero 0 o 5, allora questo numero è divisibile senza resto per 5. Se la notazione di un numero termina con un'altra cifra, allora il numero non è divisibile per 5 senza resto.
Ciò significa che qualsiasi numero che termina con cifre 0
E 5
, ad esempio 1235 5
e 43 0
, rientrano nella regola e sono divisibili per 5.
E, ad esempio, 1549 3
e 56 4
non terminano con il numero 5 o 0, il che significa che non possono essere divisi per 5 senza resto.
Test di divisibilità per 6
Abbiamo davanti a noi il numero composto 6, che è il prodotto dei numeri 2 e 3. Pertanto anche il segno di divisibilità per 6 è composto: affinché un numero sia divisibile per 6, deve corrispondere a due segni di divisibilità allo stesso tempo: il segno di divisibilità per 2 e il segno di divisibilità per 3. Si noti che un numero composto come 4 ha un segno di divisibilità individuale, perché è il prodotto del numero 2 da solo. Ma torniamo al test della divisibilità per 6.
I numeri 138 e 474 sono pari e soddisfano i criteri di divisibilità per 3 (1+3+8=12, 12:3=4 e 4+7+4=15, 15:3=5), il che significa che sono divisibili per 6. Ma 123 e 447, sebbene siano divisibili per 3 (1+2+3=6, 6:3=2 e 4+4+7=15, 15:3=5), ma sono dispari, il che significa che non corrispondono al criterio di divisibilità per 2, e quindi non corrispondono al criterio di divisibilità per 6.
Test di divisibilità per 7
Questo test di divisibilità è più complesso: un numero è divisibile per 7 se il risultato della sottrazione di due volte l'ultima cifra dal numero di decine di questo numero è divisibile per 7 o uguale a 0.
Sembra abbastanza confuso, ma in pratica è semplice. Guarda tu stesso: il numero 95
9 è divisibile per 7 perché 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 è diviso per 7 senza resto). Inoltre, se sorgono difficoltà con il numero ottenuto durante la trasformazione (a causa delle sue dimensioni è difficile capire se è divisibile per 7 oppure no, allora questa procedura può essere ripetuta quante volte si ritiene necessario).
Per esempio, 45
5 e 4580
1 hanno le proprietà di divisibilità per 7. Nel primo caso, tutto è abbastanza semplice: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. Nel secondo caso faremo così: 4580
-2*1=4580-2=4578. È difficile per noi capire se 457
8 per 7, quindi ripetiamo il processo: 457
-2*8=457-16=441. E ancora una volta utilizzeremo il test di divisibilità, poiché abbiamo ancora un numero di tre cifre davanti a noi 44
1. Quindi, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, cioè 42 è divisibile per 7 senza resto, il che significa che 45801 è divisibile per 7.
Ecco i numeri 11
1 e 34
5 non è divisibile per 7 perché 11
-2*1=11-2=9 (9 non è divisibile per 7) e 34
-2*5=34-10=24 (24 non è divisibile per 7 senza resto).
Test di divisibilità per 8
Il test di divisibilità per 8 suona così: se le ultime 3 cifre formano un numero divisibile per 8, oppure è 000, allora il numero dato è divisibile per 8.
Numeri 1 000
o 1 088
divisibile per 8: il primo termina con 000
, il secondo 88
:8=11 (divisibile per 8 senza resto).
Ed ecco i numeri 1 100
o 4 757
non sono divisibili per 8 perché i numeri 100
E 757
non sono divisibili per 8 senza resto.
Test di divisibilità per 9
Questo segno di divisibilità è simile al segno di divisibilità per 3: se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 9, allora il numero è divisibile per 9; Se la somma delle cifre di un numero non è divisibile per 9, allora il numero non è divisibile per 9.
Ad esempio: 3987 e 144 sono divisibili per 9, perché nel primo caso 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - divisibile per 9 senza resto), e nella seconda 1+4+4= 9
(9:9=1 - anche divisibile per 9).
Ma i numeri: 235 e 141 non sono divisibili per 9, perché 2+3+5= 10
e 1+4+1= 6
(e sappiamo che né 10 né 6 sono divisibili per 9 senza resto).
Segni di divisibilità per 10, 100, 1000 e altre unità di cifre
Ho combinato questi segni di divisibilità perché possono essere descritti allo stesso modo: un numero è diviso per un'unità di cifra se il numero di zeri alla fine del numero è maggiore o uguale al numero di zeri in una data unità di cifra .
In altre parole, ad esempio, abbiamo i seguenti numeri: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. di cui tutti divisibili per 1 0
; 46400
e 867 000
sono anche divisibili per 1 00
; e solo uno di loro è 867 000
divisibile per 1 000
.
Tutti i numeri che hanno meno zeri finali rispetto all'unità della cifra non sono divisibili per quell'unità della cifra, ad esempio 600 30
e 7 93
non divisibile 1 00
.
Test di divisibilità per 11
Per sapere se un numero è divisibile per 11, devi ottenere la differenza tra le somme delle cifre pari e dispari di questo numero. Se questa differenza è uguale a 0 oppure è divisibile per 11 senza resto, allora il numero stesso è divisibile per 11 senza resto.
Per renderlo più chiaro, suggerisco di guardare degli esempi: 2
35
4 è divisibile per 11 perché ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 è anche divisibile per 11, poiché ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Ecco 1 1
1 o 4
35
4 non è divisibile per 11, poiché nel primo caso si ottiene (1+1)- 1
=1, e nel secondo ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Test di divisibilità per 12
Il numero 12 è composto. Il suo segno di divisibilità è il rispetto dei segni di divisibilità per 3 e 4 contemporaneamente.
Ad esempio, 300 e 636 corrispondono sia ai segni di divisibilità per 4 (le ultime 2 cifre sono zeri o sono divisibili per 4) sia ai segni di divisibilità per 3 (la somma delle cifre del primo e del terzo numero sono divisibili per 3), ma infine sono divisibili per 12 senza resto.
Ma 200 o 630 non sono divisibili per 12, perché nel primo caso il numero soddisfa solo il criterio di divisibilità per 4, e nel secondo solo il criterio di divisibilità per 3, ma non entrambi i criteri contemporaneamente.
Test di divisibilità entro 13
Un segno di divisibilità per 13 è che se il numero di decine di un numero sommato alle unità di questo numero moltiplicate per 4 è multiplo di 13 o uguale a 0, allora il numero stesso è divisibile per 13.
Prendiamo ad esempio 70
2. Quindi, 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 è divisibile per 13 senza resto), il che significa 70
2 è divisibile per 13 senza resto. Un altro esempio è un numero 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. Il numero 130 è divisibile per 13 senza resto, il che significa che il numero indicato corrisponde al criterio di divisibilità per 13.
Se prendiamo i numeri 12
5 o 21
2, quindi otteniamo 12
+4*5=32 e 21
+4*2=29, rispettivamente, e né 32 né 29 sono divisibili per 13 senza resto, il che significa che i numeri indicati non sono divisibili per 13 senza resto.
Divisibilità dei numeri
Come si può vedere da quanto sopra, si può presumere che per qualsiasi numero naturale sia possibile selezionare il proprio segno di divisibilità individuale o un segno “composito” se il numero è un multiplo di più numeri diversi. Ma come dimostra la pratica, sostanzialmente più grande è il numero, più complesso è il suo segno. È possibile che il tempo impiegato per la verifica del criterio di divisibilità possa essere pari o superiore alla divisione stessa. Ecco perché di solito usiamo i segni di divisibilità più semplici.
Diamo un'occhiata a un semplice esempio:
15:5=3
In questo esempio abbiamo diviso il numero naturale 15 completamente per 3, senza resto.
A volte un numero naturale non può essere completamente diviso. Consideriamo ad esempio il problema:
C'erano 16 giocattoli nell'armadio. C'erano cinque bambini nel gruppo. Ogni bambino ha preso lo stesso numero di giocattoli. Quanti giocattoli ha ogni bambino?
Soluzione:
Dividiamo il numero 16 per 5 utilizzando una colonna e otteniamo:
Sappiamo che 16 non può essere diviso per 5. Il numero più piccolo più vicino che è divisibile per 5 è 15 con resto 1. Possiamo scrivere il numero 15 come 5⋅3. Di conseguenza (16 – dividendo, 5 – divisore, 3 – quoziente incompleto, 1 – resto). Avuto formula divisione con resto cosa si può fare controllando la soluzione.
UN=
B⋅
C+
D
UN – divisibile,
B - divisore,
C – quoziente incompleto,
D - resto.
Risposta: ogni bambino prenderà 3 giocattoli e ne rimarrà uno.
Resto della divisione
Il resto deve essere sempre minore del divisore.
Se durante la divisione il resto è zero, significa che il dividendo è diviso completamente o senza resto sul divisore.
Se durante la divisione il resto è maggiore del divisore, significa che il numero trovato non è il più grande. C'è un numero maggiore che dividerà il dividendo e il resto sarà inferiore al divisore.
Domande sul tema “Divisione con resto”:
Il resto può essere maggiore del divisore?
Risposta: no.
Il resto può essere uguale al divisore?
Risposta: no.
Come trovare il dividendo utilizzando il quoziente, il divisore e il resto incompleti?
Risposta: Sostituiamo i valori del quoziente parziale, del divisore e del resto nella formula e troviamo il dividendo. Formula:
a=b⋅c+d
Esempio 1:
Eseguire la divisione con resto e verificare: a) 258:7 b) 1873:8
Soluzione:
a) Dividere per colonna: 
258 – dividendo,
7 – divisore,
36 – quoziente incompleto,
6 – resto. Il resto è minore del divisore 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Dividere per colonna: 
1873 – divisibile,
8 – divisore,
234 – quoziente incompleto,
1 – resto. Il resto è minore del divisore 1<8.
Sostituiamolo nella formula e controlliamo se abbiamo risolto correttamente l'esempio:
8⋅234+1=1872+1=1873
Esempio n.2:
Quali resti si ottengono dividendo i numeri naturali: a) 3 b)8?
Risposta:
a) Il resto è minore del divisore, quindi minore di 3. Nel nostro caso il resto può essere 0, 1 o 2.
b) Il resto è minore del divisore, quindi minore di 8. Nel nostro caso il resto può essere 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7.
Esempio n.3:
Qual è il resto più grande che si può ottenere dividendo i numeri naturali: a) 9 b) 15?
Risposta:
a) Il resto è minore del divisore, quindi minore di 9. Bisogna però indicare il resto più grande. Cioè il numero più vicino al divisore. Questo è il numero 8.
b) Il resto è minore del divisore, quindi minore di 15. Bisogna però indicare il resto più grande. Cioè il numero più vicino al divisore. Questo numero è 14.
Esempio n.4:
Trova il dividendo: a) a:6=3(rest.4) b) c:24=4(rest.11)
Soluzione:
a) Risolvi utilizzando la formula:
a=b⋅c+d
(a – dividendo, b – divisore, c – quoziente parziale, d – resto.)
a:6=3(resto.4)
(a – dividendo, 6 – divisore, 3 – quoziente parziale, 4 – resto.) Sostituiamo i numeri nella formula:
a=6⋅3+4=22
Risposta: a=22
b) Risolvere utilizzando la formula:
a=b⋅c+d
(a – dividendo, b – divisore, c – quoziente parziale, d – resto.)
s:24=4(resto.11)
(c – dividendo, 24 – divisore, 4 – quoziente parziale, 11 – resto.) Sostituiamo i numeri nella formula:
ñ=24⋅4+11=107
Risposta: c=107
Compito:
Cavo 4m. devono essere tagliati in pezzi di 13 cm. Quanti pezzi del genere ci saranno?
Soluzione:
Per prima cosa devi convertire i metri in centimetri.
4mt.=400cm.
Possiamo dividere per una colonna oppure nella nostra mente otteniamo:
400:13=30(rimanenti 10)
Controlliamo:
13⋅30+10=390+10=400
Risposta: Otterrai 30 pezzi e rimarranno 10 cm di filo.
L'articolo esamina il concetto di divisione di numeri interi con resto. Dimostriamo il teorema sulla divisibilità degli interi con resto e osserviamo le connessioni tra dividendi e divisori, quozienti incompleti e resti. Diamo un'occhiata alle regole per la divisione degli interi con il resto, esaminandole in dettaglio utilizzando degli esempi. Al termine della soluzione eseguiremo un controllo.
Nozioni generali sulla divisione degli interi con resto
La divisione di numeri interi con resto è considerata una divisione generalizzata con resto di numeri naturali. Questo viene fatto perché i numeri naturali sono una componente degli interi.
La divisione con resto di un numero arbitrario dice che l'intero a è diviso per un numero b diverso da zero. Se b = 0, non dividere con resto.
Proprio come si dividono i numeri naturali con un resto, gli interi aeb si dividono, con b diverso da zero, per c e d. In questo caso, a e b sono chiamati dividendo e divisore, e d è il resto della divisione, c è un numero intero o un quoziente incompleto.
Se assumiamo che il resto sia un numero intero non negativo, il suo valore non è maggiore del modulo del numero b. Scriviamolo così: 0 ≤ d ≤ b. Questa catena di disuguaglianze viene utilizzata quando si confrontano 3 o più numeri.
Se c è un quoziente incompleto, allora d è il resto della divisione dell'intero a per b, che può essere brevemente affermato: a: b = c (resto d).
Il resto della divisione dei numeri a per b può essere zero, quindi dicono che a è divisibile per b completamente, cioè senza resto. La divisione senza resto è considerata un caso speciale di divisione.
Se dividiamo zero per un numero, il risultato è zero. Anche il resto della divisione sarà zero. Questo può essere dedotto dalla teoria della divisione dello zero per un numero intero.
Ora vediamo il significato di dividere i numeri interi con il resto.
È noto che i numeri interi positivi sono numeri naturali, quindi quando si divide con un resto si otterrà lo stesso significato di quando si dividono i numeri naturali con un resto.
Dividere un intero negativo a per un intero positivo b ha senso. Diamo un'occhiata a un esempio. Immagina una situazione in cui abbiamo un debito di articoli per un importo di a che deve essere ripagato da b persona. Per raggiungere questo obiettivo è necessario che tutti contribuiscano equamente. Per determinare l'importo del debito per ciascuno, è necessario prestare attenzione al valore dei titoli privati. Il resto d indica che il numero di elementi dopo aver saldato i debiti è noto.
Consideriamo l'esempio delle mele. Se 2 persone devono 7 mele. Se calcoliamo che tutti devono restituire 4 mele, dopo il calcolo completo gli resterà 1 mela. Scriviamolo come un'uguaglianza: (− 7) : 2 = − 4 (da t. 1) .
Dividere qualsiasi numero a per un numero intero non ha senso, ma è possibile come opzione.
Teorema sulla divisibilità degli interi con resto
Abbiamo identificato che a è il dividendo, quindi b è il divisore, c è il quoziente parziale e d è il resto. Sono collegati tra loro. Mostreremo questa connessione utilizzando l'uguaglianza a = b · c + d. La connessione tra loro è caratterizzata dal teorema di divisibilità con resto.
Teorema
Qualsiasi numero intero può essere rappresentato solo tramite un numero intero e diverso da zero b in questo modo: a = b · q + r, dove q e r sono alcuni numeri interi. Qui abbiamo 0 ≤ r ≤ b.
Dimostriamo la possibilità dell'esistenza di a = b · q + r.
Prova
Se ci sono due numeri a e b, e a è divisibile per b senza resto, dalla definizione segue che esiste un numero q, e l'uguaglianza a = b · q sarà vera. Allora l'uguaglianza può essere considerata vera: a = b · q + r per r = 0.
Allora occorre prendere q tale che sia dato dalla disuguaglianza b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Abbiamo che il valore dell'espressione a − b · q è maggiore di zero e non maggiore del valore del numero b, ne consegue che r = a − b · q. Troviamo che il numero a può essere rappresentato nella forma a = b · q + r.
Dobbiamo ora considerare di rappresentare a = b · q + r per valori negativi di b.
Il modulo del numero risulta essere positivo, quindi otteniamo a = b · q 1 + r, dove il valore q 1 è un numero intero, r è un numero intero che soddisfa la condizione 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Prova di unicità
Supponiamo che a = b q + r, q e r siano numeri interi con la condizione 0 ≤ r vera< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q1 E r1 sono alcuni numeri dove q1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .
Quando la disuguaglianza viene sottratta dai lati sinistro e destro, otteniamo 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, che equivale a r - r 1 = b · q 1 - q. Poiché viene utilizzato il modulo, otteniamo l'uguaglianza r - r 1 = b · q 1 - q.
La condizione data dice che 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что Q E q1- intero, e q ≠ q 1, allora q 1 - q ≥ 1. Da qui abbiamo che b · q 1 - q ≥ b. Le disuguaglianze risultanti r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
Ne consegue che il numero a non può essere rappresentato in altro modo se non scrivendo a = b · q + r.
Relazione tra dividendo, divisore, quoziente parziale e resto
Utilizzando l'uguaglianza a = b · c + d, puoi trovare il dividendo sconosciuto a quando è noto il divisore b con il quoziente incompleto c e il resto d.
Esempio 1
Determina il dividendo se, dividendo, otteniamo - 21, il quoziente parziale è 5 e il resto è 12.
Soluzione
È necessario calcolare il dividendo a con divisore noto b = − 21, quoziente incompleto c = 5 e resto d = 12. Dobbiamo passare all'uguaglianza a = b · c + d, da qui otteniamo a = (− 21) · 5 + 12. Se seguiamo l'ordine delle azioni, moltiplichiamo - 21 per 5, dopodiché otteniamo (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.
Risposta: - 93 .
La relazione tra il divisore e il quoziente parziale e il resto può essere espressa utilizzando le uguaglianze: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b e d = a − b · c . Con il loro aiuto possiamo calcolare il divisore, il quoziente parziale e il resto. Ciò si riduce a trovare costantemente il resto quando si divide un numero intero di numeri interi a per b con un dividendo, un divisore e un quoziente parziale noti. Si applica la formula d = a − b · c. Consideriamo la soluzione in dettaglio.
Esempio 2
Trova il resto dividendo l'intero - 19 per l'intero 3 con un quoziente incompleto noto pari a - 7.
Soluzione
Per calcolare il resto della divisione, applichiamo una formula della forma d = a − b · c. Per condizione, tutti i dati sono disponibili: a = − 19, b = 3, c = − 7. Da qui otteniamo d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (differenza − 19 − (− 21). Questo esempio viene calcolato utilizzando la regola di sottrazione un numero intero negativo.
Risposta: 2 .
Tutti gli interi positivi sono numeri naturali. Ne consegue che la divisione viene eseguita secondo tutte le regole della divisione con il resto dei numeri naturali. La velocità della divisione con il resto dei numeri naturali è importante, poiché su di essa si basa non solo la divisione dei numeri positivi, ma anche le regole per dividere gli interi arbitrari.
Il metodo di divisione più conveniente è quello per colonne, poiché è più facile e veloce ottenere un risultato incompleto o semplicemente un quoziente con resto. Vediamo la soluzione più nel dettaglio.
Esempio 3
Dividi 14671 per 54.
Soluzione
Questa divisione deve essere fatta in una colonna:
Cioè, il quoziente parziale è uguale a 271 e il resto è 37.
Risposta: 14.671: 54 = 271. (resto 37)
La regola per dividere con resto un intero positivo per un intero negativo, esempi
Per eseguire la divisione con il resto di un numero positivo per un numero intero negativo, è necessario formulare una regola.
Definizione 1
Il quoziente incompleto della divisione dell'intero positivo a per l'intero negativo b produce un numero che è opposto al quoziente incompleto della divisione dei moduli dei numeri a per b. Allora il resto è uguale al resto di a diviso per b.
Quindi abbiamo che il quoziente incompleto della divisione di un intero positivo per un intero negativo è considerato un intero non positivo.
Otteniamo l'algoritmo:
- dividiamo il modulo del dividendo per il modulo del divisore, otteniamo un quoziente incompleto e
- resto;
- Scriviamo il numero opposto a quello che abbiamo ottenuto.
Diamo un'occhiata all'esempio dell'algoritmo per dividere un intero positivo per un intero negativo.
Esempio 4
Dividi con il resto 17 per - 5.
Soluzione
Applichiamo l'algoritmo per dividere con resto un intero positivo per un intero negativo. È necessario dividere 17 per - 5 modulo. Da qui si ottiene che il quoziente parziale è pari a 3 e il resto è pari a 2.
Otteniamo il numero richiesto dividendo 17 per - 5 = - 3 con resto uguale a 2.
Risposta: 17: (− 5) = − 3 (2 rimanenti).
Esempio 5
Devi dividere 45 per - 15.
Soluzione
È necessario dividere i numeri modulo. Dividendo il numero 45 per 15, otteniamo il quoziente di 3 senza resto. Ciò significa che il numero 45 è divisibile per 15 senza resto. La risposta è - 3, poiché la divisione è stata effettuata modulo.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Risposta: 45: (− 15) = − 3 .
La formulazione della regola per la divisione con resto è la seguente.
Definizione 2
Per ottenere un quoziente incompleto c quando si divide un intero negativo a per un b positivo, è necessario applicare l'opposto del numero indicato e sottrarre 1 da esso, quindi il resto d verrà calcolato con la formula: d = a − avanti Cristo.
Sulla base della regola, possiamo concludere che quando dividiamo otteniamo un numero intero non negativo. Per garantire l'accuratezza della soluzione, utilizzare l'algoritmo per dividere a per b con resto:
- trovare i moduli del dividendo e del divisore;
- dividere modulo;
- scrivi il contrario del numero dato e sottrai 1;
- usa la formula per il resto d = a − b · c.
Diamo un'occhiata ad un esempio di una soluzione in cui viene utilizzato questo algoritmo.
Esempio 6
Trova il quoziente parziale e il resto della divisione - 17 per 5.
Soluzione
Dividiamo i numeri dati modulo. Scopriamo che dividendo il quoziente è 3 e il resto è 2. Dato che ne abbiamo ottenuti 3, il contrario è 3. Devi sottrarre 1.
− 3 − 1 = − 4 .
Il valore desiderato è pari a - 4.
Per calcolare il resto, è necessario a = − 17, b = 5, c = − 4, quindi d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .
Ciò significa che il quoziente di divisione incompleto è il numero - 4 con resto uguale a 3.
Risposta:(− 17) : 5 = − 4 (restanti 3).
Esempio 7
Dividi l'intero negativo - 1404 per il positivo 26.
Soluzione
È necessario dividere per colonna e modulo.
Abbiamo ottenuto la divisione dei moduli dei numeri senza resto. Ciò significa che la divisione viene eseguita senza resto e il quoziente desiderato = - 54.
Risposta: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Regola di divisione con resto per interi negativi, esempi
È necessario formulare una regola per la divisione con resto di numeri interi negativi.
Definizione 3
Per ottenere un quoziente incompleto c dividendo un intero negativo a per un intero negativo b, è necessario eseguire i calcoli modulo, quindi aggiungere 1, quindi possiamo eseguire i calcoli utilizzando la formula d = a − b · c.
Ne consegue che il quoziente incompleto della divisione degli interi negativi sarà un numero positivo.
Formuliamo questa regola sotto forma di algoritmo:
- trovare i moduli del dividendo e del divisore;
- dividere il modulo del dividendo per il modulo del divisore per ottenere un quoziente incompleto
- resto;
- aggiungendo 1 al quoziente incompleto;
- calcolo del resto in base alla formula d = a − b · c.
Diamo un'occhiata a questo algoritmo utilizzando un esempio.
Esempio 8
Trova il quoziente parziale e il resto dividendo - 17 per - 5.
Soluzione
Per la correttezza della soluzione applichiamo l'algoritmo della divisione con resto. Per prima cosa dividi i numeri modulo. Da ciò si ottiene che il quoziente parziale = 3 e il resto è 2. Secondo la regola bisogna sommare il quoziente incompleto e 1. Otteniamo che 3 + 1 = 4. Da qui otteniamo che il quoziente parziale della divisione dei numeri dati è uguale a 4.
Per calcolare il resto utilizzeremo la formula. Per condizione abbiamo che a = − 17, b = − 5, c = 4, quindi, utilizzando la formula, otteniamo d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . La risposta richiesta, cioè il resto, è pari a 3 e il quoziente parziale è pari a 4.
Risposta:(− 17) : (− 5) = 4 (rimanenti 3).
Verifica del risultato della divisione di numeri interi con resto
Dopo aver diviso i numeri con il resto, devi eseguire un controllo. Questo controllo prevede 2 fasi. Innanzitutto, viene verificata la non negatività del resto d, la condizione 0 ≤ d è soddisfatta< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Diamo un'occhiata agli esempi.
Esempio 9
La divisione è fatta - 521 per - 12. Il quoziente è 44, il resto è 7. Eseguire il controllo.
Soluzione
Poiché il resto è un numero positivo, il suo valore è inferiore al modulo del divisore. Il divisore è - 12, il che significa che il suo modulo è 12. Puoi passare al punto di controllo successivo.
Per condizione, abbiamo che a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. Da qui calcoliamo b · c + d, dove b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Ne consegue che l'uguaglianza è vera. Verifica superata.
Esempio 10
Eseguire il controllo della divisione (− 17): 5 = − 3 (rimanente − 2). L’uguaglianza è vera?
Soluzione
Il punto della prima fase è che è necessario verificare la divisione degli interi con un resto. Da ciò è chiaro che l'azione è stata eseguita in modo errato, poiché è stato dato un resto pari a -2. Il resto non è un numero negativo.
Abbiamo che la seconda condizione è soddisfatta, ma non è sufficiente per questo caso.
Risposta: NO.
Esempio 11
Il numero - 19 è stato diviso per - 3. Il quoziente parziale è 7 e il resto è 1. Controlla se questo calcolo è stato eseguito correttamente.
Soluzione
Dato un resto pari a 1. E' positivo. Il valore è inferiore al modulo divisore, il che significa che la prima fase è in fase di completamento. Passiamo alla seconda fase.
Calcoliamo il valore dell'espressione b · c + d. Per condizione abbiamo che b = − 3, c = 7, d = 1, il che significa che, sostituendo i valori numerici, otteniamo b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Ne consegue che a = b · c + d l'uguaglianza non vale, poiché la condizione dà a = - 19.
Da ciò consegue che la divisione è stata effettuata con errore.
Risposta: NO.
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In questo articolo vedremo divisione di numeri interi con resto. Cominciamo con il principio generale della divisione degli interi con resto, formuliamo e dimostriamo il teorema sulla divisibilità degli interi con resto e tracciamo le connessioni tra dividendo, divisore, quoziente incompleto e resto. Successivamente, delineeremo le regole in base alle quali gli interi vengono divisi con un resto e considereremo l'applicazione di queste regole durante la risoluzione degli esempi. Successivamente impareremo come verificare il risultato della divisione di numeri interi con resto.
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Conoscenza generale della divisione tra numeri interi con resto
Considereremo la divisione di numeri interi con resto come una generalizzazione della divisione con resto di numeri naturali. Ciò è dovuto al fatto che i numeri naturali sono una componente degli interi.
Cominciamo con i termini e le designazioni utilizzate nella descrizione.
Per analogia con la divisione dei numeri naturali con resto, assumeremo che il risultato della divisione con resto di due numeri interi a e b (b non è uguale a zero) sia due numeri interi c e d. Si chiamano i numeri a e b divisibile E divisore di conseguenza, il numero d – il promemoria dalla divisione di a per b, e viene chiamato l'intero c privato incompleto(o semplicemente privato, se il resto è zero).
Accettiamo di assumere che il resto sia un numero intero non negativo e che il suo valore non superi b, cioè (abbiamo incontrato catene di disuguaglianze simili quando abbiamo parlato del confronto di tre o più numeri interi).
Se il numero c è un quoziente incompleto e il numero d è il resto della divisione dell'intero a per l'intero b, scriveremo brevemente questo fatto come un'uguaglianza della forma a:b=c (d rimanente).
Si noti che quando si divide un intero a per un intero b, il resto può essere zero. In questo caso si dice che a è divisibile per b senza traccia(O completamente). Pertanto, la divisione di numeri interi senza resto è un caso speciale di divisione di numeri interi con resto.
Vale anche la pena dire che quando si divide zero per un numero intero, si tratta sempre di una divisione senza resto, poiché in questo caso il quoziente sarà uguale a zero (vedere la sezione teorica sulla divisione di zero per un numero intero) e il resto sarà anch'esso uguale a zero.
Abbiamo deciso la terminologia e la notazione, ora capiamo il significato di dividere i numeri interi con il resto.
Anche la divisione di un intero negativo a per un intero positivo b può avere un significato. Per fare ciò, considera un numero intero negativo come debito. Immaginiamo questa situazione. Il debito che costituisce le voci deve essere ripagato da b persone versando un contributo paritario. Il valore assoluto del quoziente incompleto c in questo caso determinerà l'importo del debito di ciascuna di queste persone, e il resto d mostrerà quanti elementi rimarranno dopo il pagamento del debito. Facciamo un esempio. Diciamo che 2 persone devono 7 mele. Se assumiamo che ognuno di loro sia debitore di 4 mele, dopo aver pagato il debito gli rimarrà 1 mela. Questa situazione corrisponde all'uguaglianza (−7):2=−4 (restante 1).
Non attribuiremo alcun significato alla divisione con resto di un numero intero arbitrario a per un numero intero negativo, ma ci riserveremo il diritto di esistere.
Teorema sulla divisibilità degli interi con resto
Quando abbiamo parlato di dividere i numeri naturali con un resto, abbiamo scoperto che il dividendo a, il divisore b, il quoziente parziale c e il resto d sono legati dall'uguaglianza a=b·c+d. Gli interi a, b, c e d hanno la stessa relazione. Questa connessione è confermata come segue teorema di divisibilità con resto.
Teorema.
Qualsiasi intero a può essere rappresentato in modo univoco tramite un numero intero e diverso da zero b nella forma a=b·q+r, dove q e r sono alcuni numeri interi, e .
Prova.
Innanzitutto dimostriamo la possibilità di rappresentare a=b·q+r.
Se gli interi aeb sono tali che a è divisibile per b, allora per definizione esiste un intero q tale che a=b·q. In questo caso vale l'uguaglianza a=b·q+r in r=0.
Supponiamo ora che b sia un numero intero positivo. Scegliamo un intero q in modo che il prodotto b·q non superi il numero a, e il prodotto b·(q+1) sia già maggiore di a. Cioè, prendiamo q tale che le disuguaglianze b q Resta da dimostrare la possibilità di rappresentare a=b·q+r per b negativo. Poiché il modulo del numero b in questo caso è un numero positivo, allora esiste una rappresentazione in cui q 1 è un numero intero e r è un numero intero che soddisfa le condizioni. Quindi, prendendo q=−q 1, otteniamo la rappresentazione di cui abbiamo bisogno a=b·q+r per b negativo. Passiamo alla dimostrazione dell'unicità. Supponiamo che oltre alla rappresentazione a=b·q+r, q e r siano numeri interi e , esista un'altra rappresentazione a=b·q 1 +r 1, dove q 1 e r 1 sono alcuni numeri interi, e q 1 ≠ qe. Dopo aver sottratto i lati sinistro e destro della seconda uguaglianza rispettivamente dai lati sinistro e destro della prima uguaglianza, otteniamo 0=b·(q−q 1)+r−r 1, che è equivalente all'uguaglianza r− r 1 =b·(q 1 −q) . Quindi un'uguaglianza della forma Dalle condizioni possiamo concludere che. Poiché q e q 1 sono numeri interi e q≠q 1, concludiamo che L'uguaglianza a=b·c+d permette di trovare il dividendo incognito a se sono noti il divisore b, il quoziente parziale ce il resto d. Diamo un'occhiata a un esempio. Esempio. Qual è il valore del dividendo se, diviso per l'intero −21, il risultato è un quoziente incompleto di 5 e un resto di 12? Soluzione. Dobbiamo calcolare il dividendo a conoscendo il divisore b=−21, il quoziente parziale c=5 e il resto d=12. Passando all'uguaglianza a=b·c+d, otteniamo a=(−21)·5+12. Osservando, moltiplichiamo prima gli interi −21 e 5 secondo la regola per moltiplicare interi con segni diversi, dopodiché eseguiamo l'addizione di interi con segni diversi: (−21)·5+12=−105+12=−93 . Risposta: −93
.
Le connessioni tra dividendo, divisore, quoziente parziale e resto sono espresse anche da uguaglianze della forma b=(a−d):c, c=(a−d):b e d=a−b·c. Queste uguaglianze consentono di calcolare rispettivamente il divisore, il quoziente parziale e il resto. Spesso dovremo trovare il resto dividendo un intero a per un intero b quando si conoscono dividendo, divisore e quoziente parziale, utilizzando la formula d=a−b·c. Per evitare ulteriori domande, diamo un’occhiata a un esempio di calcolo del resto. Esempio. Trova il resto dividendo l'intero −19 per l'intero 3 se sai che il quoziente parziale è uguale a −7. Soluzione. Per calcolare il resto della divisione, utilizziamo una formula della forma d=a−b·c. Dalla condizione abbiamo tutti i dati necessari a=−19, b=3, c=−7. Otteniamo d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (abbiamo calcolato la differenza −19−(−21) utilizzando la regola di sottraendo un intero negativo). Risposta: Come abbiamo notato più di una volta, gli interi positivi sono numeri naturali. Pertanto, la divisione con resto di numeri interi positivi viene eseguita secondo tutte le regole della divisione con resto di numeri naturali. È molto importante poter eseguire facilmente la divisione con il resto dei numeri naturali, poiché è questo che è alla base della divisione non solo di numeri interi positivi, ma anche della base di tutte le regole per la divisione con il resto di numeri interi arbitrari. Dal nostro punto di vista la soluzione più conveniente è eseguire la divisione per colonne; questo metodo permette di ottenere sia un quoziente incompleto (o semplicemente un quoziente) che un resto. Consideriamo un esempio di divisione con resto di numeri interi positivi. Esempio. Dividi con il resto 14.671 per 54. Soluzione. Dividiamo questi numeri interi positivi con una colonna: Il quoziente parziale risultò pari a 271 e il resto pari a 37. Risposta: 14 671:54=271 (resto. 37) . Formuliamo una regola che ci permetta di eseguire la divisione con il resto di un intero positivo per un intero negativo. Il quoziente parziale della divisione di un intero positivo a per un intero negativo b è l'opposto del quoziente parziale della divisione a per il modulo di b, e il resto della divisione a per b è uguale al resto della divisione per. Da questa regola segue che il quoziente parziale della divisione di un intero positivo per un intero negativo è un intero non positivo. Trasformiamo la regola indicata in un algoritmo per dividere con resto un intero positivo per un intero negativo: Diamo un esempio dell'utilizzo dell'algoritmo per dividere un numero intero positivo per un numero intero negativo. Esempio. Dividere con il resto dell'intero positivo 17 per l'intero negativo −5. Soluzione. Usiamo l'algoritmo per dividere con resto un intero positivo per un intero negativo. Dividendo Il numero opposto di 3 è −3. Pertanto, il quoziente parziale richiesto per dividere 17 per −5 è −3 e il resto è 2. Risposta: 17 :(−5)=−3 (2 rimanenti). Esempio. Dividere 45 per −15. Soluzione. I moduli del dividendo e del divisore sono rispettivamente 45 e 15. Il numero 45 è divisibile per 15 senza resto e il quoziente è 3. Pertanto, l'intero positivo 45 viene diviso per l'intero negativo −15 senza resto, e il quoziente è uguale al numero opposto a 3, cioè −3. Infatti, secondo la regola per dividere gli interi con segni diversi, abbiamo . Risposta: 45:(−15)=−3
.
Diamo la formulazione della regola per dividere con resto un intero negativo per un intero positivo. Per ottenere un quoziente incompleto c dividendo un intero negativo a per un intero positivo b, è necessario prendere il numero opposto al quoziente incompleto risultante dalla divisione dei moduli dei numeri originali e sottrarre uno da esso, dopodiché viene calcolato il resto d utilizzando la formula d=a−b·c. Da questa regola di divisione con resto ne consegue che il quoziente parziale della divisione di un intero negativo per un intero positivo è un intero negativo. Dalla regola enunciata segue un algoritmo per dividere con resto un intero negativo a per un intero positivo b: Analizziamo la soluzione dell'esempio, in cui utilizziamo l'algoritmo della divisione scritta con resto. Esempio. Trova il quoziente parziale e il resto quando dividi l'intero negativo −17 per l'intero positivo 5. Soluzione. Il modulo del dividendo −17 è uguale a 17 e il modulo del divisore 5 è uguale a 5. Dividendo 17 per 5 otteniamo il quoziente parziale 3 e il resto 2. L'opposto di 3 è −3. Sottrai uno da −3: −3−1=−4. Quindi, il quoziente parziale richiesto è uguale a −4. Non resta che calcolare il resto. Nel nostro esempio a=−17 , b=5 , c=−4 , quindi d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Pertanto, il quoziente parziale della divisione dell'intero negativo −17 per l'intero positivo 5 è −4 e il resto è 3. Risposta: (−17):5=−4 (rimanenti 3) . Esempio. Dividere l'intero negativo −1.404 per l'intero positivo 26. Soluzione. Il modulo del dividendo è 1404, il modulo del divisore è 26. Dividi 1.404 per 26 utilizzando una colonna: Poiché il modulo del dividendo è diviso per il modulo del divisore senza resto, gli interi originali vengono divisi senza resto e il quoziente desiderato è uguale al numero opposto a 54, cioè −54. Risposta: (−1 404):26=−54
.
Formuliamo la regola per la divisione con resto di numeri interi negativi. Per ottenere un quoziente incompleto c dividendo un intero negativo a per un intero negativo b, è necessario calcolare il quoziente incompleto dividendo i moduli dei numeri originali e aggiungervi uno, dopodiché il resto d viene calcolato utilizzando la formula d =a−bc·c. Da questa regola segue che il quoziente parziale della divisione degli interi negativi è un intero positivo. Riscriviamo la regola dichiarata sotto forma di un algoritmo per dividere numeri interi negativi: Consideriamo l'uso dell'algoritmo per dividere numeri interi negativi durante la risoluzione di un esempio. Esempio. Trova il quoziente parziale e il resto quando dividi un intero negativo −17 per un intero negativo −5. Soluzione. Usiamo l'algoritmo di divisione appropriato con resto. Il modulo del dividendo è 17, il modulo del divisore è 5. Divisione 17 su 5 dà il quoziente parziale 3 e il resto 2. Al quoziente incompleto 3 aggiungiamo uno: 3+1=4. Pertanto, il quoziente parziale richiesto per dividere −17 per −5 è uguale a 4. Non resta che calcolare il resto. In questo esempio a=−17 , b=−5 , c=4 , quindi d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 . Quindi, il quoziente parziale della divisione di un intero negativo −17 per un intero negativo −5 è 4 e il resto è 3. Risposta: (−17):(−5)=4 (rimanenti 3) . Dopo aver diviso i numeri interi con il resto, è utile verificare il risultato. La verifica viene effettuata in due fasi. Nella prima fase si verifica se il resto d è un numero non negativo e si controlla anche se la condizione è soddisfatta. Se tutte le condizioni della prima fase di verifica sono soddisfatte, è possibile procedere alla seconda fase di verifica, altrimenti si può sostenere che è stato commesso un errore da qualche parte durante la divisione con il resto. Nella seconda fase viene verificata la validità dell'uguaglianza a=b·c+d. Se questa uguaglianza è vera, la divisione con resto è stata eseguita correttamente, altrimenti è stato commesso un errore da qualche parte. Diamo un'occhiata alle soluzioni agli esempi in cui viene controllato il risultato della divisione di numeri interi con resto. Esempio. Dividendo il numero −521 per −12, il quoziente parziale era 44 e il resto era 7, controlla il risultato. Soluzione. −2 per b=−3, c=7, d=1. Abbiamo b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Pertanto, l'uguaglianza a=b·c+d non è corretta (nel nostro esempio a=−19). Pertanto la divisione con resto è stata eseguita in modo errato.
, e a causa delle proprietà del modulo dei numeri, l'uguaglianza 
.
. Dalle disuguaglianze ottenute e ne consegue che una uguaglianza della forma impossibile secondo la nostra ipotesi. Pertanto non esiste altra rappresentazione del numero a diversa da a=b·q+r.Rapporti tra dividendo, divisore, quoziente parziale e resto
Divisione con resto di interi positivi, esempi
La regola per dividere con resto un intero positivo per un intero negativo, esempi
Divisione con resto di un intero negativo per un intero positivo, esempi
Regola di divisione con resto per interi negativi, esempi
Verifica del risultato della divisione di numeri interi con resto
