8 modi per moltiplicarsi. Progetto sul tema: "Modi insoliti di moltiplicazione"

problema: comprendere i tipi di moltiplicazione

Bersaglio: familiarità con vari metodi di moltiplicazione dei numeri naturali non utilizzati nelle lezioni e loro applicazione nel calcolo delle espressioni numeriche.
Compiti:
1. Trova e analizza diversi metodi di moltiplicazione.
2. Impara a dimostrare alcuni metodi di moltiplicazione.
3. Parla di nuovi modi di moltiplicazione e insegna agli studenti come usarli.
4. Sviluppare capacità di lavoro autonomo: ricerca di informazioni, selezione ed elaborazione del materiale trovato.
5. Sperimenta “quale metodo è più veloce”
Ipotesi:Devo conoscere la tavola pitagorica?
Rilevanza: Recentemente, gli studenti si fidano dei gadget più di se stessi. Ed è per questo che si affidano solo ai calcolatori. Volevamo dimostrare che esistono diversi modi di moltiplicazione, in modo che fosse più facile per gli studenti contare e interessante da imparare.
INTRODUZIONE
Non sarai in grado di moltiplicare i numeri a più cifre, nemmeno quelli a due cifre, se non memorizzi tutti i risultati della moltiplicazione a una cifra, cioè quella che viene chiamata tabella di moltiplicazione.
In tempi diversi, popoli diversi avevano modi diversi di moltiplicare i numeri naturali.
Perché tutti i popoli ora usano un metodo di moltiplicazione “a colonna”?
Perché le persone hanno abbandonato i vecchi metodi di moltiplicazione a favore di quelli moderni?
I metodi di moltiplicazione dimenticati hanno il diritto di esistere nel nostro tempo?
Per rispondere a queste domande ho svolto il seguente lavoro:
1. Utilizzando Internet, ho trovato informazioni su alcuni metodi di moltiplicazione utilizzati in precedenza.;
2. Studiato la letteratura suggerita dall'insegnante;
3. Ho risolto un paio di esempi utilizzando tutti i metodi studiati per scoprirne i difetti;
4) Individuato tra questi quelli più efficaci;
5. Condotto un esperimento;
6. Tratto conclusioni.
1. Trova e analizza diversi metodi di moltiplicazione.
Moltiplicazione sulle dita.

Il metodo antico russo di moltiplicazione con le dita è uno dei metodi più comunemente usati, utilizzato con successo dai mercanti russi per molti secoli. Hanno imparato a moltiplicare con le dita i numeri a una cifra da 6 a 9. In questo caso, è stato sufficiente avere le competenze di base per contare con le dita in "unità", "coppie", "tre", "quattro", "cinque" e “decine”. Le dita qui servivano come dispositivo informatico ausiliario.

Per fare questo, da un lato hanno allungato tante dita quanto il primo fattore supera il numero 5, e dall'altro hanno fatto lo stesso per il secondo fattore. Le restanti dita erano piegate. Quindi il numero (totale) delle dita estese è stato preso e moltiplicato per 10, quindi i numeri sono stati moltiplicati, mostrando quante dita erano piegate, e i risultati sono stati sommati.

Ad esempio, moltiplichiamo 7 per 8. Nell'esempio considerato verranno piegate 2 e 3 dita. Se sommi il numero delle dita piegate (2+3=5) e moltiplichi il numero di quelle non piegate (2 3=6), otterrai rispettivamente il numero delle decine e delle unità del prodotto desiderato 56. In questo modo puoi calcolare il prodotto di qualsiasi numero a una cifra maggiore di 5.

Metodi di moltiplicazione dei numeri in diversi paesi

Moltiplicare per 9.

La moltiplicazione per il numero 9 - 9 1, 9 2 ... 9 10 - è più facile da dimenticare dalla memoria e più difficile da ricalcolare manualmente utilizzando il metodo dell'addizione, tuttavia, proprio per il numero 9, la moltiplicazione viene facilmente riprodotta “sulle dita ”. Allarga le dita su entrambe le mani e gira le mani con i palmi rivolti lontano da te. Assegna mentalmente i numeri da 1 a 10 alle tue dita, iniziando con il mignolo della mano sinistra e finendo con il mignolo della mano destra (questo è mostrato in figura).

Chi ha inventato la moltiplicazione sulle dita

Diciamo che vogliamo moltiplicare 9 per 6. Pieghiamo il dito con un numero uguale al numero per il quale moltiplicheremo nove. Nel nostro esempio dobbiamo piegare il dito con il numero 6. Il numero delle dita a sinistra del dito piegato ci mostra il numero delle decine nella risposta, il numero delle dita a destra mostra il numero delle unità. A sinistra abbiamo 5 dita non piegate, a destra - 4 dita. Quindi, 9·6=54. La figura seguente mostra in dettaglio l'intero principio del “calcolo”.

Moltiplicarsi in modo insolito

Altro esempio: devi calcolare 9·8=?. A proposito, diciamo che le dita non possono necessariamente fungere da “macchina calcolatrice”. Prendi, ad esempio, 10 celle in un taccuino. Cancella l'ottava casella. Ci sono 7 celle a sinistra, 2 celle a destra. Quindi 9·8=72. Tutto è molto semplice.

7 celle 2 celle.

Metodo indiano di moltiplicazione.

Il contributo più prezioso al tesoro della conoscenza matematica è stato dato in India. Gli indù hanno proposto il metodo che usiamo per scrivere i numeri utilizzando dieci segni: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

La base di questo metodo è l'idea che la stessa cifra rappresenta unità, decine, centinaia o migliaia, a seconda di dove occupa la cifra. Lo spazio occupato, in assenza di cifre, è determinato dagli zeri assegnati ai numeri.

Gli indiani erano bravissimi a contare. Hanno escogitato un modo molto semplice per moltiplicarsi. Eseguivano la moltiplicazione partendo dalla cifra più significativa e scrivevano i prodotti incompleti appena sopra il moltiplicando, poco a poco. In questo caso la cifra più significativa del prodotto completo era immediatamente visibile e, inoltre, è stata eliminata l'omissione di qualsiasi cifra. Il segno della moltiplicazione non era ancora noto, quindi lasciarono una piccola distanza tra i fattori. Ad esempio, moltiplichiamoli utilizzando il metodo 537 per 6:

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

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Moltiplicazione con il metodo “PICCOLO CASTELLO”.

Oggi la moltiplicazione dei numeri viene studiata in prima elementare. Ma nel Medioevo pochissimi padroneggiavano l'arte della moltiplicazione. Era un raro aristocratico che poteva vantarsi di conoscere le tabelline, anche se si era laureato in un'università europea.

Nel corso dei millenni di sviluppo della matematica sono stati inventati molti modi per moltiplicare i numeri. Il matematico italiano Luca Pacioli, nel suo trattato “Summa di aritmetica, rapporti e proporzionalità” (1494), fornisce otto diversi metodi di moltiplicazione. Il primo si chiama "Piccolo Castello", e il secondo non è meno romantico chiamato "Gelosia o moltiplicazione del reticolo".

Il vantaggio del metodo di moltiplicazione “Piccolo Castello” è che le cifre iniziali vengono determinate fin dall'inizio, e questo può essere importante se è necessario stimare rapidamente un valore.

Le cifre del numero superiore, a partire dalla cifra più significativa, vengono moltiplicate a loro volta per il numero inferiore e scritte in una colonna con l'aggiunta del numero richiesto di zeri. I risultati vengono poi sommati.

Metodi di moltiplicazione dei numeri in diversi paesi

Moltiplicare i numeri usando il metodo della “gelosia”.

"Metodi di moltiplicazione Il secondo metodo ha il nome romantico di gelosia" o "moltiplicazione di reticoli".

Per prima cosa viene disegnato un rettangolo, diviso in quadrati, e le dimensioni dei lati del rettangolo corrispondono al numero di cifre decimali del moltiplicando e del moltiplicatore. Poi le celle quadrate vengono divise diagonalmente, e “...il risultato è un quadro simile a persiane a traliccio”, scrive Pacioli. “Tali persiane venivano appese alle finestre delle case veneziane, impedendo ai passanti di vedere le dame e le monache sedute alle finestre”.

Moltiplichiamo in questo modo 347 per 29. Disegniamo una tabella, scriviamo sopra il numero 347 e a destra il numero 29.

In ogni riga scriveremo il prodotto dei numeri sopra questa cella e alla sua destra, mentre scriveremo la cifra delle decine del prodotto sopra la barra e la cifra delle unità sotto di essa. Ora aggiungiamo i numeri in ciascuna striscia obliqua, eseguendo questa operazione, da destra a sinistra. Se l'importo è inferiore a 10, lo scriviamo sotto il numero inferiore della striscia. Se risulta essere maggiore di 10, scriviamo solo la cifra delle unità della somma e aggiungiamo la cifra delle decine alla somma successiva. Di conseguenza, otteniamo il prodotto desiderato 10063.

Metodo contadino di moltiplicazione.

Il modo di moltiplicazione più "nativo" e più semplice, secondo me, è il metodo utilizzato dai contadini russi. Questa tecnica non richiede affatto la conoscenza della tavola pitagorica oltre il numero 2. La sua essenza è che la moltiplicazione di due numeri qualsiasi viene ridotta a una serie di divisioni successive di un numero a metà raddoppiando contemporaneamente l'altro numero. La divisione a metà continua finché il quoziente non raggiunge 1, raddoppiando contemporaneamente l'altro numero. L'ultimo numero raddoppiato dà il risultato desiderato.

Se il numero è dispari, togline uno e dividi il resto a metà; ma all'ultimo numero della colonna di destra dovrai sommare tutti quei numeri di questa colonna che stanno di fronte ai numeri dispari della colonna di sinistra: la somma sarà il prodotto richiesto

Il prodotto di tutte le coppie di numeri corrispondenti è lo stesso, quindi

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

Nel caso in cui uno dei numeri sia dispari o entrambi i numeri siano dispari, procedere come segue:

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
Un nuovo modo di moltiplicarsi.

Recentemente è stato segnalato un nuovo interessante metodo di moltiplicazione. L'inventore del nuovo sistema di conteggio mentale, il Candidato di Filosofia Vasily Okoneshnikov, afferma che una persona è in grado di ricordare un'enorme quantità di informazioni, la cosa principale è come organizzare queste informazioni. Secondo lo scienziato stesso, il più vantaggioso a questo riguardo è il sistema a nove: tutti i dati vengono semplicemente inseriti in nove celle, posizionate come pulsanti su una calcolatrice.

È molto facile calcolare utilizzando una tabella del genere. Ad esempio, moltiplichiamo il numero 15647 per 5. Nella parte della tabella corrispondente al cinque, selezioniamo i numeri corrispondenti alle cifre del numero in ordine: uno, cinque, sei, quattro e sette. Otteniamo: 05 25 30 20 35

Lasciamo invariata la cifra di sinistra (zero nel nostro esempio) e aggiungiamo i seguenti numeri in coppia: cinque con due, cinque con tre, zero con due, zero con tre. Anche l'ultima cifra rimane invariata.

Di conseguenza, otteniamo: 078235. Il numero 78235 è il risultato della moltiplicazione.

Se, sommando due cifre, si ottiene un numero maggiore di nove, la sua prima cifra viene aggiunta alla cifra precedente del risultato e la seconda viene scritta al suo "proprio" posto.

Conclusione.

Mentre lavoravo su questo argomento, ho imparato che ci sono circa 30 modi diversi, divertenti e interessanti per moltiplicarsi. Alcuni sono ancora utilizzati in vari paesi. Ho scelto alcuni modi interessanti per me stesso. Ma non tutti i metodi sono convenienti da usare, soprattutto quando si moltiplicano numeri a più cifre.

Metodi di moltiplicazione

Lavoro di ricerca sulla matematica nella scuola primaria

Breve sintesi del lavoro di ricerca
Ogni scolaretto sa come moltiplicare i numeri a più cifre in una colonna. In questo lavoro, l'autore richiama l'attenzione sull'esistenza di metodi alternativi di moltiplicazione a disposizione degli scolari della scuola primaria, che possono trasformare i calcoli “noiosi” in un gioco divertente.
Il lavoro esamina sei metodi non convenzionali di moltiplicazione di numeri a più cifre, utilizzati in varie epoche storiche: contadino russo, reticolo, piccolo castello, cinese, giapponese, secondo la tabella di V. Okoneshnikov.
Il progetto ha lo scopo di sviluppare l'interesse cognitivo per la materia oggetto di studio e di approfondire le conoscenze nel campo della matematica.
Sommario
Introduzione 3
Capitolo 1. Metodi alternativi di moltiplicazione 4
1.1. Un po' di storia 4
1.2. Metodo di moltiplicazione contadino russo 4
1.3. Moltiplicazione con il metodo del “Piccolo Castello” 5
1.4. Moltiplicare i numeri utilizzando il metodo della “gelosia” o della “moltiplicazione a reticolo” 5
1.5. Moltiplicazione cinese 5
1.6. Metodo giapponese per moltiplicare 6
1.7. Tavolo Okonešnikov 6
1.8.Moltiplicazione per colonna. 7
Capitolo 2. Parte pratica 7
2.1. Via contadina 7
2.2. Piccolo castello 7
2.3. Moltiplicare i numeri utilizzando il metodo della “gelosia” o della “moltiplicazione a reticolo” 7
2.4. Via cinese 8
2.5. Metodo giapponese 8
2.6. Tavolo Okonešnikov 8
2.7. Interrogare 8
Conclusione 9
Appendice 10

“La matematica è una materia così seria che è bene cogliere ogni occasione per renderla un po’ divertente.”
B.Pascal
introduzione
È impossibile per una persona fare a meno dei calcoli nella vita di tutti i giorni. Pertanto, nelle lezioni di matematica, ci viene prima insegnato a eseguire operazioni con i numeri, cioè a contare. Moltiplichiamo, dividiamo, aggiungiamo e sottraiamo nei soliti modi che si studiano a scuola. Sorge la domanda: esistono altri metodi di calcolo alternativi? Volevo studiarli più in dettaglio. Alla ricerca di una risposta a queste domande, è stato condotto questo studio.
Scopo dello studio: identificare metodi di moltiplicazione non convenzionali per studiare la possibilità della loro applicazione.
In conformità con l'obiettivo, abbiamo formulato i seguenti compiti:
- Trova quanti più modi insoliti di moltiplicazione possibile.
- Impara ad usarli.
- Scegli tu stesso quelli più interessanti o più facili di quelli offerti a scuola e usali durante il conteggio.
- Verificare in pratica la moltiplicazione di numeri a più cifre.
- Condurre un sondaggio tra gli studenti di 4a elementare
Oggetto di studio: vari algoritmi non standard per moltiplicare numeri a più cifre
Oggetto di studio: azione matematica “moltiplicazione”
Ipotesi: se esistono metodi standard per moltiplicare i numeri a più cifre, forse esistono metodi alternativi.
Rilevanza: Diffusione della conoscenza sui metodi alternativi di moltiplicazione.
Significato pratico. Durante il lavoro, sono stati risolti molti esempi ed è stato creato un album, che includeva esempi con vari algoritmi per moltiplicare numeri a più cifre in diversi modi alternativi. Ciò potrebbe interessare i compagni di classe ad espandere i loro orizzonti matematici e servire come inizio di nuovi esperimenti.

Capitolo 1. Metodi alternativi di moltiplicazione

1.1. Un po' di storia
I metodi di calcolo che utilizziamo oggi non sono sempre stati così semplici e convenienti. In passato venivano utilizzate tecniche più macchinose e lente. E se uno scolaro moderno potesse tornare indietro di cinquecento anni, stupirebbe tutti con la velocità e la precisione dei suoi calcoli. Voci sul suo conto si sarebbero diffuse nelle scuole e nei monasteri circostanti, eclissando la gloria dei più abili calcolatori dell'epoca, e la gente sarebbe venuta da ogni parte per studiare con il nuovo grande maestro.
Le operazioni di moltiplicazione e divisione erano particolarmente difficili ai vecchi tempi.
Nel libro di V. Bellustin “Come le persone hanno gradualmente raggiunto la vera aritmetica”, vengono delineati 27 metodi di moltiplicazione e l'autore osserva: “è molto possibile che ci siano altri metodi nascosti nei recessi dei depositi di libri, sparsi in numerosi, principalmente scritti a mano collezioni”. E tutte queste tecniche di moltiplicazione erano in competizione tra loro e venivano apprese con grande difficoltà.
Diamo un'occhiata ai modi di moltiplicazione più interessanti e semplici.
1.2. Metodo di moltiplicazione contadino russo
In Russia, 2-3 secoli fa, tra i contadini di alcune province era diffuso un metodo che non richiedeva la conoscenza dell'intera tavola pitagorica. Dovevi solo essere in grado di moltiplicare e dividere per 2. Questo metodo era chiamato metodo contadino.
Per moltiplicare due numeri, venivano scritti uno accanto all'altro, quindi il numero di sinistra veniva diviso per 2 e il numero di destra veniva moltiplicato per 2. I risultati venivano scritti in una colonna finché a sinistra rimaneva 1. Il resto veniva scartato. Cancella quelle righe che hanno numeri pari a sinistra. Sommiamo i numeri rimanenti nella colonna di destra.
1.3. Moltiplicazione con il metodo del “Piccolo Castello”.
Il matematico italiano Luca Pacioli, nel suo trattato “Summa di aritmetica, rapporti e proporzionalità” (1494), fornisce otto diversi metodi di moltiplicazione. Il primo di essi si chiama “Piccolo Castello”.
Il vantaggio del metodo di moltiplicazione “Piccolo Castello” è che le cifre iniziali vengono determinate fin dall'inizio, e questo può essere importante se è necessario stimare rapidamente un valore.
Le cifre del numero superiore, a partire dalla cifra più significativa, vengono moltiplicate a loro volta per il numero inferiore e scritte in una colonna con l'aggiunta del numero richiesto di zeri. I risultati vengono poi sommati.
1.4. Moltiplicare i numeri utilizzando il metodo della “gelosia” o della “moltiplicazione del reticolo”.
Il secondo metodo di Luca Pacioli si chiama “gelosia” o “moltiplicazione su reticolo”.
Innanzitutto, viene disegnato un rettangolo, diviso in quadrati. Poi le celle quadrate vengono divise diagonalmente e “... il risultato è un quadro simile a persiane a traliccio”, scrive Pacioli. “Tali persiane venivano appese alle finestre delle case veneziane, impedendo ai passanti di vedere le dame e le monache sedute alle finestre”.
Moltiplicando ciascuna cifra del primo fattore per ciascuna cifra del secondo, si scrivono i prodotti nelle celle corrispondenti, ponendo le decine sopra la diagonale e le unità sotto di essa. Le cifre del prodotto si ottengono sommando le cifre in strisce oblique. I risultati delle addizioni sono scritti sotto la tabella, nonché a destra della stessa.
1.5. Metodo cinese di moltiplicazione
Ora introduciamo il metodo di moltiplicazione, di cui si discute vigorosamente su Internet, che si chiama cinese. Quando si moltiplicano i numeri, vengono calcolati i punti di intersezione delle linee, che corrispondono al numero di cifre di ciascuna cifra di entrambi i fattori.
1.6. Metodo di moltiplicazione giapponese
Il metodo di moltiplicazione giapponese è un metodo grafico che utilizza cerchi e linee. Non meno divertente e interessante del cinese. Anche in qualche modo simile a lui.
1.7. Tavolo Okonešnikov
Il candidato alla filosofia Vasily Okoneshnikov, inventore part-time di un nuovo sistema di conteggio mentale, ritiene che gli scolari saranno in grado di imparare ad aggiungere e moltiplicare verbalmente milioni, miliardi e persino sestilioni e quadrilioni. Secondo lo scienziato stesso, il più vantaggioso a questo riguardo è il sistema a nove: tutti i dati vengono semplicemente inseriti in nove celle, posizionate come pulsanti su una calcolatrice.
Secondo lo scienziato, prima di diventare un “computer” informatico è necessario memorizzare la tabella da lui creata.
La tabella è divisa in 9 parti. Si trovano secondo il principio di una mini calcolatrice: “1” nell'angolo in basso a sinistra, “9” nell'angolo in alto a destra. Ogni parte è una tavola pitagorica per i numeri da 1 a 9 (utilizzando lo stesso sistema “a pulsante”). Per moltiplicare qualsiasi numero, ad esempio per 8, troviamo un grande quadrato corrispondente al numero 8 e scriviamo da questo quadrato i numeri corrispondenti alle cifre del moltiplicatore a più cifre. Aggiungiamo i numeri risultanti separatamente: la prima cifra rimane invariata e tutto il resto viene aggiunto a coppie. Il numero risultante sarà il risultato della moltiplicazione.
Se, sommando due cifre, si ottiene un numero maggiore di nove, la sua prima cifra viene aggiunta alla cifra precedente del risultato e la seconda viene scritta al suo "proprio" posto.
La nuova tecnica è stata testata in diverse scuole e università russe. Il Ministero della Pubblica Istruzione della Federazione Russa ha consentito la pubblicazione di una nuova tavola pitagorica su quaderni a scacchi insieme alla solita tavola pitagorica - per ora, solo per conoscenza.
1.8. Moltiplicazione di colonne.
Non molte persone sanno che l'autore del nostro solito metodo di moltiplicazione di un numero a più cifre per un numero a più cifre per colonna dovrebbe essere considerato Adam Riese (Appendice 7). Questo algoritmo è considerato il più conveniente.
Capitolo 2. Parte pratica
Avendo padroneggiato i metodi di moltiplicazione elencati, sono stati risolti molti esempi ed è stato preparato un album con campioni di vari algoritmi di calcolo. (Applicazione). Diamo un'occhiata all'algoritmo di calcolo utilizzando esempi.
2.1. Modo contadino
Moltiplicare 47 per 35 (Appendice 1),
-scrivi i numeri su una riga, traccia una linea verticale tra di loro;
-il numero di sinistra verrà diviso per 2, il numero di destra verrà moltiplicato per 2 (se durante la divisione si forma un resto, il resto verrà scartato);
- la divisione termina quando appare un'unità a sinistra;
-cancellare le righe in cui a sinistra sono presenti numeri pari;
-sommiamo i numeri rimanenti a destra - questo è il risultato.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Conclusione. Il metodo è conveniente in quanto è sufficiente conoscere la tabella solo per 2. Tuttavia, quando si lavora con numeri grandi è molto complicato. Comodo per lavorare con numeri a due cifre.
2.2. Piccolo castello
(Appendice 2). Conclusione. Il metodo è molto simile alla nostra moderna “colonna”. Inoltre, i numeri delle cifre più alte vengono immediatamente determinati. Questo può essere importante se è necessario stimare rapidamente un valore.
2.3. Moltiplicare i numeri utilizzando il metodo della “gelosia” o della “moltiplicazione del reticolo”.
Moltiplichiamo, ad esempio, i numeri 6827 e 345 (Appendice 3):
1. Disegna una griglia quadrata e scrivi uno dei fattori sopra le colonne e il secondo lungo l'altezza.
2. Moltiplicare il numero di ciascuna riga in sequenza per i numeri di ciascuna colonna. Moltiplichiamo successivamente 3 per 6, per 8, per 2 e per 7, ecc.
4. Aggiungi i numeri seguendo le strisce diagonali. Se la somma di una diagonale contiene decine, aggiungile alla diagonale successiva.
Dai risultati della somma dei numeri lungo le diagonali si forma il numero 2355315, che è il prodotto dei numeri 6827 e 345, cioè 6827 ∙ 345 = 2355315.
Conclusione. Il metodo della “moltiplicazione del reticolo” non è peggiore di quello generalmente accettato. È ancora più semplice, poiché i numeri vengono inseriti nelle celle della tabella direttamente dalla tabella di moltiplicazione senza l'addizione simultanea presente nel metodo standard.
2.4. Modo cinese
Supponiamo di dover moltiplicare 12 per 321 (Appendice 4). Su un foglio di carta disegniamo una ad una le linee, il cui numero è determinato da questo esempio.
Disegniamo il primo numero – 12. Per fare questo, dall'alto verso il basso, da sinistra a destra, disegniamo:
un bastoncino verde (1)
e due arancioni (2).
Disegna il secondo numero – 321, dal basso verso l'alto, da sinistra a destra:
tre bastoncini blu (3);
due rossi (2);
un lilla (1).
Ora, utilizzando una semplice matita, separiamo i punti di intersezione e iniziamo a contarli. Ci muoviamo da destra a sinistra (in senso orario): 2, 5, 8, 3.
Leggiamo il risultato da sinistra a destra - 3852
Conclusione. Un modo interessante, ma disegnare 9 linee rette moltiplicando per 9 è in qualche modo lungo e poco interessante, e quindi contare i punti di intersezione. Senza abilità, è difficile comprendere la divisione dei numeri in cifre. In generale, non puoi fare a meno di una tavola pitagorica!
2.5. Modo giapponese
Moltiplichiamo 12 per 34 (Appendice 5). Poiché il secondo fattore è un numero a due cifre e la prima cifra del primo fattore è 1, costruiamo due cerchi singoli nella riga superiore e due cerchi binari nella riga inferiore, poiché la seconda cifra del primo fattore è 2 .
Poiché la prima cifra del secondo fattore è 3 e la seconda è 4, dividiamo i cerchi della prima colonna in tre parti e i cerchi della seconda colonna in quattro parti.
La risposta è il numero delle parti in cui sono stati divisi i cerchi, cioè 12 x 34 = 408.
Conclusione. Il metodo è molto simile alla grafica cinese. Solo le linee rette sono sostituite da cerchi. È più semplice determinare le cifre di un numero, ma disegnare cerchi è meno conveniente.
2.6. Tavolo Okonešnikov
Devi moltiplicare 15647 x 5. Ricordiamo immediatamente il grande "pulsante" 5 (è al centro) e troviamo mentalmente i piccoli pulsanti 1, 5, 6, 4, 7 su di esso (si trovano anche come su una calcolatrice) . Corrispondono ai numeri 05, 25, 30, 20, 35. Aggiungiamo i numeri risultanti: la prima cifra è 0 (rimane invariata), 5 viene sommato mentalmente a 2, otteniamo 7 - questa è la seconda cifra del risultato , 5 viene sommato a 3, otteniamo la terza cifra - 8 , 0+2=2, 0+3=3 e l'ultima cifra del prodotto rimane - 5. Il risultato è 78.235.
Conclusione. Il metodo è molto comodo, ma bisogna impararlo a memoria o avere sempre un tavolo a portata di mano.
2.7. Sondaggio sugli studenti
È stato condotto un sondaggio tra gli alunni della quarta elementare. Hanno preso parte 26 persone (Allegato 8). Dal sondaggio è emerso che tutti gli intervistati erano in grado di moltiplicarsi in modo tradizionale. Ma la maggior parte dei ragazzi non conosce i metodi di moltiplicazione non tradizionali. E c'è gente che vuole conoscerli.
Dopo il sondaggio iniziale, si è tenuta una lezione extracurriculare “Moltiplicazione con passione”, durante la quale i bambini hanno conosciuto algoritmi di moltiplicazione alternativi. Successivamente è stato condotto un sondaggio per identificare i metodi che ci sono piaciuti di più. Il leader indiscusso era il metodo più moderno di Vasily Okoneshnikov. (Appendice 9)
Conclusione
Avendo imparato a contare utilizzando tutti i metodi presentati, credo che il metodo di moltiplicazione più conveniente sia il metodo del “Piccolo Castello” - dopo tutto, è così simile al nostro attuale!
Di tutti i metodi di conteggio insoliti che ho trovato, il metodo “giapponese” mi è sembrato più interessante. Il metodo più semplice mi sembrava essere il “raddoppio e divisione”, utilizzato dai contadini russi. Lo uso quando moltiplico numeri non troppo grandi. È molto comodo da usare quando si moltiplicano numeri a due cifre.
Pertanto, ho raggiunto l'obiettivo della mia ricerca: ho studiato e imparato a utilizzare metodi non convenzionali per moltiplicare numeri a più cifre. La mia ipotesi è stata confermata: ho imparato sei metodi alternativi e ho scoperto che questi non sono tutti algoritmi possibili.
I metodi di moltiplicazione non tradizionali che ho studiato sono molto interessanti e hanno il diritto di esistere. E in alcuni casi sono anche più facili da usare. Credo che si possa parlare dell'esistenza di questi metodi a scuola, a casa e sorprendere i propri amici e conoscenti.
Finora abbiamo studiato e analizzato solo metodi di moltiplicazione già conosciuti. Ma chissà, forse in futuro noi stessi potremo scoprire nuovi modi di moltiplicazione. Inoltre, non voglio fermarmi qui e continuare a studiare metodi di moltiplicazione non convenzionali.
Elenco delle fonti di informazione
1. Riferimenti
1.1. Harutyunyan E., Levitas G. Matematica divertente. - M.: AST - STAMPA, 1999. - 368 p.
1.2. Bellustina V. Come gli uomini gradualmente giunsero all'aritmetica reale. -LKI, 2012.-208 pag.
1.3. Depman I. Storie sulla matematica. – Leningrado: Educazione, 1954. – 140 p.
1.4. Likum A. Tutto su tutto. T. 2. - M.: Società filologica “Slovo”, 1993. - 512 p.
1.5. Olehnik S.N., Nesterenko Yu.V., Potapov M.K.. Vecchi problemi divertenti. – M.: Scienza. Redazione principale della letteratura fisica e matematica, 1985. – 160 p.
1.6. Perelman Ya.I. Aritmetica interessante. - M.: Rusanova, 1994 – 205 p.
1.7. Perelman Ya.I. Conteggio veloce. Trenta semplici tecniche di conteggio mentale. L.: Lenizdat, 1941 - 12 p.
1.8. Savin A.P. Miniature matematiche. Matematica divertente per bambini. - M.: Letteratura per ragazzi, 1998 - 175 p.
1.9. Enciclopedia per bambini. Matematica. – M.: Avanta +, 2003. – 688 p.
1.10. Esploro il mondo: Enciclopedia per bambini: Matematica / comp. Savin A.P., Stanzo V.V., Kotova A.Yu. - M.: AST Publishing House LLC, 2000. - 480 p.
2. Altre fonti di informazione
Risorse Internet:
2.1. Korneev A.A. Il fenomeno della moltiplicazione russa. Storia. [Risorsa elettronica]

pubblicato 20.04.2012
Dedicato a Elena Petrovna Karinskaya ,
al mio insegnante di matematica e all'insegnante di classe
Almaty, ROFMSH, 1984–1987
“La scienza raggiunge la perfezione solo quando riesce a usare la matematica”. Karl Heinrich Marx
queste parole erano scritte sopra la lavagna nella nostra classe di matematica ;-)
Lezioni di informatica(materiali didattici e laboratori)

Cos'è la moltiplicazione?
Questa è l'azione dell'addizione.
Ma non troppo piacevole
Perché molte volte...
Tim Sobakin

Proviamo a eseguire questa azione
divertente ed emozionante ;-)

METODI DI MOLTIPLICAZIONE SENZA TABELLE DI MOLTIPLICAZIONE (ginnastica per la mente)

Offro ai lettori delle pagine verdi due metodi di moltiplicazione che non utilizzano una tavola pitagorica ;-) Spero che agli insegnanti di informatica piacerà questo materiale, che potranno utilizzare durante le lezioni extrascolastiche.

Questo metodo era comune tra i contadini russi ed è stato da loro ereditato fin dai tempi antichi. La sua essenza è che la moltiplicazione di due numeri qualsiasi si riduce a una serie di divisioni successive di un numero a metà raddoppiando contemporaneamente l'altro numero, In questo caso non è necessaria una tavola pitagorica :-)

Si continua a dividere a metà finché il quoziente non risulta essere 1, raddoppiando contemporaneamente l'altro numero. L'ultimo numero raddoppiato dà il risultato desiderato(immagine 1). Non è difficile capire su cosa si basa questo metodo: il prodotto non cambia se si dimezza un fattore e si raddoppia l'altro. È chiaro quindi che a seguito della ripetuta ripetizione di questa operazione si ottiene il prodotto desiderato.

Tuttavia, cosa dovresti fare se necessario dimezzare un numero dispari? In questo caso togliamo uno dal numero dispari e dividiamo il resto a metà, mentre all'ultimo numero della colonna di destra dovremo aggiungere tutti quei numeri di questa colonna che stanno di fronte ai numeri dispari della colonna di sinistra: i la somma sarà il prodotto richiesto (Figure: 2, 3).
In altre parole, cancelliamo tutte le righe con i numeri pari a sinistra; lasciare e poi sommare numeri non cancellati colonna di destra.

Per la Figura 2: 192 + 48 + 12 = 252
La correttezza della ricezione risulterà evidente se si tiene conto che:
5× 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48
21× 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12
È chiaro che i numeri 48 , 12 , perso dividendo a metà un numero dispari, va sommato al risultato dell'ultima moltiplicazione per ottenere il prodotto.
Il metodo di moltiplicazione russo è elegante e stravagante allo stesso tempo ;-)

§ Problema logico su Zmeya Gorynych e famosi eroi russi SU pagina verde "Quale degli eroi ha sconfitto il Serpente Gorynych?"
risolvere problemi logici utilizzando l'algebra logica
Per chi ama imparare! Per coloro che sono felici ginnastica per la mente ;-)
§ Risolvere problemi logici utilizzando un metodo tabellare

Continuiamo la conversazione :-)

Cinese??? Metodo di disegno della moltiplicazione

Mio figlio mi ha fatto conoscere questo metodo di moltiplicazione, mettendo a mia disposizione diversi pezzi di carta da un quaderno con soluzioni già pronte sotto forma di disegni intricati. Il processo di decifrazione dell'algoritmo iniziò a bollire un modo di moltiplicare per disegnare :-) Per fare chiarezza ho deciso di ricorrere all'aiuto delle matite colorate, e... il ghiaccio si è rotto signori della giuria :-)
Porto alla vostra attenzione tre esempi in immagini a colori (nell'angolo in alto a destra controlla la posta).

Esempio 1: 12 × 321 = 3852
Disegnamo primo numero dall'alto al basso, da sinistra a destra: un bastoncino verde ( 1 ); due bastoncini d'arancia ( 2 ). 12 ha disegnato :-)
Disegnamo secondo numero dal basso in alto, da sinistra a destra: tre bastoncini blu ( 3 ); due rossi ( 2 ); uno lilla ( 1 ). 321 ha disegnato :-)

Ora, usando una matita semplice, percorreremo il disegno, divideremo i punti di intersezione dei numeri sui bastoncini in parti e inizieremo a contare i punti. Muoversi da destra a sinistra (in senso orario): 2 , 5 , 8 , 3 . Numero del risultato“raccoglieremo” da sinistra a destra (in senso antiorario) e... voilà, abbiamo ottenuto 3852 :-)

Esempio n.2: 24 × 34 = 816
Ci sono delle sfumature in questo esempio ;-) Quando si contano i punti nella prima parte, si è scoperto 16 . Ne inviamo uno e lo aggiungiamo ai punti della seconda parte ( 20 + 1 )…

Esempio n.3: 215 × 741 = 159315
Non ci sono commenti:-)

All'inizio mi è sembrato un po' pretenzioso, ma allo stesso tempo intrigante e sorprendentemente armonioso. Nel quinto esempio, mi sono sorpreso a pensare che la moltiplicazione sta decollando :-) e funziona in modalità pilota automatico: disegna, conta i punti, Non ricordiamo la tavola pitagorica, è come se non la conoscessimo affatto :-)))

Ad essere onesti, durante il controllo metodo di moltiplicazione del disegno e passando alla moltiplicazione di colonna, e più di una o due volte, con mia vergogna, ho notato alcuni rallentamenti, indicanti che la mia tabella di moltiplicazione era arrugginita in alcuni punti: - (e non dovresti dimenticarlo. Quando lavori con cose più "serie" numeri metodo di moltiplicazione del disegnoè diventato troppo ingombrante e moltiplicazione per colonnaè stata una gioia.

Tabellina(schizzo del retro del quaderno)

PS: Gloria e lode alla nativa colonna sovietica!
In termini di costruzione, il metodo è senza pretese e compatto, molto veloce, Allena la tua memoria - ti impedisce di dimenticare la tavola pitagorica :-) E quindi, consiglio vivamente a te e a te stesso, se possibile, di dimenticare le calcolatrici su telefoni e computer ;-) e di dedicarti periodicamente alla moltiplicazione. Altrimenti la trama del film “Le macchine nascenti” non si svolgerà sullo schermo del cinema, ma nella nostra cucina o nel prato vicino a casa nostra...
Tre volte sopra la spalla sinistra..., tocca ferro... :-))) ...e soprattutto Non dimenticare la ginnastica mentale!

Per i curiosi: Moltiplicazione indicato da [×] o [·]
Il segno [×] è stato introdotto da un matematico inglese William Oughtred nel 1631.
Il segno [ · ] è stato introdotto da uno scienziato tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz nel 1698.
Nella designazione della lettera questi segni vengono omessi e invece UN × B O UN · B scrivere ab.

Al salvadanaio del webmaster: Alcuni simboli matematici in HTML

°	° o °	grado
±	± o ±	più o meno
¼	¼ o ¼	frazione - un quarto
½	½ o ½	frazione - metà
¾	¾ o ¾	frazione - tre quarti
×	× o ×	segno di moltiplicazione
÷	÷ o ÷	segno di divisione
ƒ	ƒ o ƒ	segno di funzione
′	' O '	colpo singolo: minuti e piedi
″	" O "	doppio primo: secondi e pollici
≈	≈ o ≈	segno di uguale approssimativo
≠	≠ o ≠	segno non uguale
≡	≡ o ≡	identicamente
>	> o >	Di più
<	< или	meno
≥	≥ o ≥	più o uguale
≤	≤ o ≤	inferiore o uguale
∑	∑ o ∑	segno di sommatoria
√	√ o √	radice quadrata (radicale)
∞	∞ o ∞	infinito
Ø	Ø o Ø	diametro
∠	∠ o ∠	angolo
⊥	⊥ o ⊥	perpendicolare

Istituto scolastico municipale "Scuola secondaria Kurovskaya n. 6"

ABSTRACT DI MATEMATICA SULL'ARGOMENTO:

« MODI INUSUALI DI MOLTIPLICAZIONE».

Compilato da uno studente del grado 6 “b”

Krestnikov Vasilij.

Supervisore:

Smirnova Tatyana Vladimirovna.

introduzione…………………………………………………………………………2

Parte principale. Modi insoliti di moltiplicazione………………3

2.1. Un po’ di storia…………………..3

2.2. Moltiplicazione sulle dita................................................................4

2.3. Moltiplicazione per 9……………………………5

2.4. Metodo indiano di moltiplicazione…………….6

2.5. Moltiplicazione con il metodo del “Piccolo Castello”……………7

2.6. Moltiplicazione con il metodo della “Gelosia”…………………8

2.7. Metodo di moltiplicazione contadino………………..9

2.8 Nuovo modo………………………………..10

Conclusione………………………………11

Riferimenti…………………….1 2

IO. introduzione.

È impossibile per una persona fare a meno dei calcoli nella vita di tutti i giorni. Pertanto, nelle lezioni di matematica, ci viene prima insegnato a eseguire operazioni sui numeri, cioè a contare. Moltiplichiamo, dividiamo, aggiungiamo e sottraiamo nei soliti modi che si studiano a scuola.

Un giorno mi sono imbattuto per caso in un libro di S. N. Olekhnik, Yu. V. Nesterenko e M. K. Potapov, "Old Entertaining Problems". Sfogliando questo libro, la mia attenzione è stata attratta da una pagina intitolata “Moltiplicazione sulle dita”. Si è scoperto che è possibile moltiplicare non solo come suggerito nei libri di testo di matematica. Mi chiedevo se esistessero altri metodi di calcolo. Dopotutto, la capacità di eseguire rapidamente calcoli è francamente sorprendente.

L'uso costante della moderna tecnologia informatica porta al fatto che gli studenti hanno difficoltà a effettuare calcoli senza avere a disposizione tabelle o una macchina calcolatrice. La conoscenza delle tecniche di calcolo semplificate consente non solo di eseguire rapidamente semplici calcoli mentali, ma anche di controllare, valutare, trovare e correggere errori risultanti da calcoli meccanizzati. Inoltre, padroneggiare le capacità computazionali sviluppa la memoria, aumenta il livello di cultura matematica del pensiero e aiuta a padroneggiare appieno le materie del ciclo fisico e matematico.

Obiettivo del lavoro:

Mostra insolitometodi di moltiplicazione.

Compiti:

Trovane il maggior numero possibilemetodi di calcolo insoliti.

Impara ad usarli.

Scegli tu stesso quelli più interessanti o più facili di quelli chevengono offertia scuola e usali quando conti.

II. Parte principale. Modi insoliti di moltiplicazione.

2.1. Un po' di storia

I metodi di calcolo che utilizziamo oggi non sono sempre stati così semplici e convenienti. In passato venivano utilizzate tecniche più macchinose e lente. E se uno scolaretto del 21° secolo potesse viaggiare indietro di cinque secoli, stupirebbe i nostri antenati con la velocità e la precisione dei suoi calcoli. Voci sul suo conto si sarebbero diffuse nelle scuole e nei monasteri circostanti, eclissando la gloria dei più abili calcolatori dell'epoca, e la gente sarebbe venuta da ogni parte per studiare con il nuovo grande maestro.

Le operazioni di moltiplicazione e divisione erano particolarmente difficili ai vecchi tempi. Quindi non esisteva un metodo sviluppato dalla pratica per ciascuna azione. Al contrario, c'erano quasi una dozzina di metodi diversi di moltiplicazione e divisione in uso contemporaneamente: tecniche una più complicata dell'altra, che una persona di media abilità non era in grado di ricordare. Ogni insegnante di conteggio si atteneva alla sua tecnica preferita, ogni “maestro di divisione” (c'erano specialisti del genere) elogiava il proprio modo di eseguire questa azione.

Nel libro di V. Bellustin “Come le persone hanno gradualmente raggiunto la vera aritmetica”, vengono delineati 27 metodi di moltiplicazione e l'autore osserva: “è molto possibile che ci siano altri metodi nascosti nei recessi dei depositi di libri, sparsi in numerosi, principalmente scritti a mano collezioni”.

E tutti questi metodi di moltiplicazione: "scacchi o organo", "piegatura", "croce", "reticolo", "dorso in avanti", "diamante" e altri gareggiavano tra loro e venivano appresi con grande difficoltà.

Diamo un'occhiata ai modi di moltiplicazione più interessanti e semplici.

2.2. Moltiplicazione sulle dita.

2.3. Moltiplicare per 9.

Moltiplicazione per il numero 9– 9·1, 9·2 ... 9·10 – è più facile da dimenticare e più difficile da ricalcolare manualmente utilizzando il metodo dell'addizione, tuttavia, proprio per il numero 9, la moltiplicazione è facilmente riproducibile “sulle dita”. Allarga le dita su entrambe le mani e gira le mani con i palmi rivolti lontano da te. Assegna mentalmente i numeri da 1 a 10 alle tue dita, iniziando con il mignolo della mano sinistra e finendo con il mignolo della mano destra (questo è mostrato in figura).

Diciamo che vogliamo moltiplicare 9 per 6. Pieghiamo il dito con un numero uguale al numero per il quale moltiplicheremo nove. Nel nostro esempio dobbiamo piegare il dito con il numero 6. Il numero delle dita a sinistra del dito piegato ci mostra il numero delle decine nella risposta, il numero delle dita a destra mostra il numero delle unità. A sinistra abbiamo 5 dita non piegate, a destra abbiamo 4 dita. Quindi, 9·6=54. La figura seguente mostra in dettaglio l'intero principio del “calcolo”.

7 celle 2 celle.

2.4. Metodo indiano di moltiplicazione.

Il contributo più prezioso al tesoro della conoscenza matematica è stato dato in India. Gli indù hanno proposto il metodo che usiamo per scrivere i numeri utilizzando dieci segni: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5 . Modo di moltiplicazione"PICCOLO CASTELLO".

2.6. Moltiplicazione dei numeriutilizzando il metodo della "gelosia".

Il secondo metodo ha il nome romantico di “gelosia”, o “moltiplicazione del reticolo”.

Per prima cosa viene disegnato un rettangolo, diviso in quadrati, e le dimensioni dei lati del rettangolo corrispondono al numero di cifre decimali del moltiplicando e del moltiplicatore. Quindi le celle quadrate vengono divise diagonalmente e "... il risultato è un quadro simile a persiane a traliccio", scrive Pacioli. “Tali persiane venivano appese alle finestre delle case veneziane, impedendo ai passanti di vedere le dame e le monache sedute alle finestre”.

Moltiplichiamo in questo modo 347 per 29. Disegniamo una tabella, scriviamo sopra il numero 347 e a destra il numero 29.

2.7. Ametodo di moltiplicazione contadino.

Il prodotto di tutte le coppie di numeri corrispondenti è lo stesso, quindi

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

Nel caso in cui uno dei numeri sia dispari o entrambi i numeri siano dispari, procedere come segue:

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8 . Un nuovo modo di moltiplicarsi.

Interessante un nuovo metodo di moltiplicazione che è stato recentemente segnalato. L'inventore del nuovo sistema di conteggio mentale, il Candidato di Filosofia Vasily Okoneshnikov, afferma che una persona è in grado di ricordare un'enorme quantità di informazioni, la cosa principale è come organizzare queste informazioni. Secondo lo scienziato stesso, il più vantaggioso a questo riguardo è il sistema a nove: tutti i dati vengono semplicemente inseriti in nove celle, posizionate come pulsanti su una calcolatrice.

Di conseguenza, otteniamo: 078235. Il numero 78235 è il risultato della moltiplicazione.

Se, sommando due cifre, si ottiene un numero maggiore di nove, la sua prima cifra viene aggiunta alla cifra precedente del risultato e la seconda viene scritta al suo "proprio" posto.

III. Conclusione.

Di tutti i metodi di conteggio insoliti che ho trovato, il metodo della “moltiplicazione o gelosia del reticolo” mi è sembrato più interessante. L'ho mostrato ai miei compagni di classe ed è piaciuto molto anche a loro.

Il metodo più semplice mi sembrava essere il “raddoppio e divisione”, utilizzato dai contadini russi. Lo uso quando moltiplico numeri non troppo grandi (è molto comodo usarlo quando moltiplico numeri a due cifre).

Mi interessava il nuovo metodo di moltiplicazione, perché mi permette di “lanciare” nella mia mente numeri enormi.

Penso che il nostro metodo di moltiplicazione per colonna non sia perfetto e possiamo trovare metodi ancora più veloci e affidabili.

Letteratura.

Depman I. "Storie sulla matematica". – Leningrado: Educazione, 1954. – 140 p.

Korneev A.A. Il fenomeno della moltiplicazione russa. Storia. http://numbernautics.ru/

Olehnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. “Vecchi problemi divertenti”. – M.: Scienza. Redazione principale della letteratura fisica e matematica, 1985. – 160 p.

Perelman Ya.I. Conteggio veloce. Trenta semplici tecniche di conteggio mentale. L., 1941 - 12 p.

Perelman Ya.I. Aritmetica interessante. M. Rusanova, 1994–205 p.

Enciclopedia “Esploro il mondo. Matematica". – M.: Astrel Ermak, 2004.

Enciclopedia per bambini. "Matematica". – M.: Avanta +, 2003. – 688 pag.