Come puoi trovare l'area di un triangolo. Calcolo dell'area di un poligono dalle coordinate dei suoi vertici Determinazione dell'area di un triangolo dalle coordinate dei suoi vertici
Il metodo delle coordinate, proposto nel XVII secolo dai matematici francesi R. Descartes (1596-1650) e P. Fermat (1601-1665), è un potente apparato che permette di tradurre concetti geometrici in linguaggio algebrico. Questo metodo si basa sul concetto di sistema di coordinate. Considereremo il calcolo dell'area di un poligono dalle coordinate dei suoi vertici in un sistema di coordinate rettangolare.
Area di un triangolo
Teorema 1. Se è l'area del triangolo
allora l'uguaglianza è vera
lo chiameremo determinante dell'area di un triangolo.
Prova. Poniamo che i vertici del triangolo si trovino nel primo quadrante delle coordinate. Ci sono due casi possibili.
Caso 1. La direzione (o, o) della posizione dei vertici del triangolo coincide con la direzione del movimento dell'estremità della lancetta dell'orologio (Fig. 1.30).
Poiché la figura è un trapezio.
Allo stesso modo lo troviamo
Eseguendo trasformazioni algebriche
otteniamo che:
Nell'uguaglianza (1.9) il determinante dell'area è, quindi, c'è un segno meno davanti all'espressione, poiché.
Mostriamolo. Infatti, qui
(l'area di un rettangolo con base e altezza è maggiore della somma delle aree dei rettangoli con basi e altezze; (Fig. 1.30), da cui
Caso 2. Le direzioni indicate nel caso 1 sono opposte alla direzione di movimento dell'estremità della lancetta dell'orologio (Fig. 1.31)
poiché la figura è un trapezio, e
Dove. Infatti, qui
Il teorema è dimostrato quando i vertici del triangolo si trovano nel primo quadrante delle coordinate.
Utilizzando il concetto di modulo, le uguaglianze (1.9) e (1.10) possono essere scritte come segue:
Nota 1. Abbiamo derivato la formula (1.8) considerando la disposizione più semplice dei vertici, mostrata nelle Figure 1.30 e 1.31; tuttavia, la formula (1.8) è vera per qualsiasi disposizione di vertici.
Consideriamo il caso illustrato nella Figura 1.32.
Pertanto, eseguendo semplici trasformazioni geometriche:
otteniamo di nuovo cosa, dove
Area di n-gon
Un poligono può essere convesso o non convesso; l'ordine di numerazione dei vertici è considerato negativo se i vertici sono numerati in senso orario. Un poligono che non ha autointersezione dei lati si dirà semplice. Per semplicità lo è N-gon è vero quanto segue
Teorema 2. Se è l'area di un numero primo N-gon, dove, allora l'uguaglianza è vera
chiameremo determinante dell'area di un numero primo N-gon.
Prova. Ci sono due casi possibili.
Caso 1. N-gon: convesso. Dimostriamo la formula (1.11) utilizzando il metodo dell'induzione matematica.
Perché è già stato dimostrato (Teorema 1). Supponiamo che sia vero per N-gon; dimostriamo che rimane valido per convesso ( N+1)-gon.
Aggiungiamo un altro vertice al poligono (Fig. 1.33).
Pertanto, la formula è valida per ( N+1)-gon, e quindi sono soddisfatte le condizioni dell'induzione matematica, cioè la formula (1.11) per il caso di un convesso N-gon è stato dimostrato.
Caso 2. N-gon: non convesso.
In qualsiasi non convesso N-gon si può disegnare una diagonale giacente al suo interno, e quindi la dimostrazione del caso 2 per un non convesso N-gon è simile alla dimostrazione per un convesso N-gon.
Nota 2. Le espressioni per non sono facili da ricordare. Pertanto, per calcolarne i valori, conviene annotare in una colonna le coordinate del primo, secondo, terzo, .... N-esimo e ancora i primi vertici N-gon e moltiplicare secondo lo schema:
I segnali della colonna (1.12) devono essere disposti come indicato nello schema (1.13).
Nota 3. Quando componi la colonna (1.12) per un triangolo, puoi iniziare da qualsiasi vertice.
Nota 4. Durante la compilazione della colonna (1.12) per N-gon() è necessario seguire la sequenza di scrittura delle coordinate dei vertici N-gon (non importa da quale vertice iniziare la traversata). Pertanto, calcolo dell'area N-gon dovrebbe iniziare con la costruzione di un disegno “grezzo”.
Il triangolo è una delle forme geometriche più comuni, con cui acquisiamo familiarità fin dalle scuole elementari. Ogni studente affronta la questione su come trovare l'area di un triangolo nelle lezioni di geometria. Quindi, quali caratteristiche possono essere identificate per trovare l'area di una determinata figura? In questo articolo esamineremo le formule di base necessarie per completare tale compito e analizzeremo anche i tipi di triangoli.
Tipi di triangoli
Puoi trovare l'area di un triangolo in modi completamente diversi, perché in geometria esiste più di un tipo di figura contenente tre angoli. Questi tipi includono:
- Ottuso.
- Equilatero (corretto).
- Triangolo rettangolo.
- Isoscele.
Diamo uno sguardo più da vicino a ciascuno dei tipi di triangoli esistenti.
Questa figura geometrica è considerata la più comune quando si risolvono problemi geometrici. Quando sorge la necessità di disegnare un triangolo arbitrario, questa opzione viene in soccorso.
In un triangolo acuto, come suggerisce il nome, tutti gli angoli sono acuti e la somma dà 180°.
Anche questo tipo di triangolo è molto comune, ma è un po' meno comune di un triangolo acuto. Ad esempio, quando si risolvono i triangoli (cioè si conoscono molti dei suoi lati e angoli e si devono trovare gli elementi rimanenti), a volte è necessario determinare se l'angolo è ottuso o meno. Il coseno è un numero negativo.
B, il valore di uno degli angoli supera i 90°, quindi i restanti due angoli possono assumere valori piccoli (ad esempio 15° o anche 3°).
Per trovare l'area di un triangolo di questo tipo, è necessario conoscere alcune sfumature, di cui parleremo più avanti.
Triangoli regolari e isosceli
Un poligono regolare è una figura che comprende n angoli e i cui lati e angoli sono tutti uguali. Ecco cos'è un triangolo regolare. Poiché la somma di tutti gli angoli di un triangolo è 180°, ciascuno dei tre angoli è 60°.
Un triangolo regolare, per le sue proprietà, è detto anche figura equilatera.
Vale anche la pena notare che in un triangolo regolare è possibile inscrivere solo un cerchio e attorno ad esso è possibile descrivere solo un cerchio e i loro centri si trovano nello stesso punto.
Oltre al tipo equilatero si può distinguere anche un triangolo isoscele, che ne è leggermente diverso. In un triangolo del genere, due lati e due angoli sono uguali tra loro, e il terzo lato (a cui sono adiacenti gli angoli uguali) è la base.
La figura mostra un triangolo isoscele DEF i cui angoli D e F sono uguali e DF è la base.
Triangolo rettangolo
Un triangolo rettangolo si chiama così perché uno dei suoi angoli è retto, cioè uguale a 90°. La somma degli altri due angoli dà come risultato 90°.
Il lato maggiore di un tale triangolo, opposto all'angolo di 90°, è l'ipotenusa, mentre i restanti due lati sono i cateti. Per questo tipo di triangolo vale il teorema di Pitagora:
La somma dei quadrati delle lunghezze dei cateti è uguale al quadrato della lunghezza dell'ipotenusa.
La figura mostra un triangolo rettangolo BAC con ipotenusa AC e cateti AB e BC.
Per trovare l'area di un triangolo con un angolo retto, devi conoscere i valori numerici dei suoi cateti.
Passiamo alle formule per trovare l'area di una determinata figura.
Formule di base per trovare l'area
In geometria esistono due formule adatte per trovare l'area della maggior parte dei triangoli, ovvero dei triangoli acuti, ottusi, regolari e isosceli. Diamo un'occhiata a ciascuno di essi.
Per lato e altezza
Questa formula è universale per trovare l'area della figura che stiamo considerando. Per fare ciò è sufficiente conoscere la lunghezza del lato e la lunghezza dell'altezza ad esso attratta. La formula stessa (metà del prodotto della base e dell'altezza) è la seguente:
dove A è il lato di un dato triangolo e H è l'altezza del triangolo.
Ad esempio, per trovare l'area di un triangolo acutangolo ACB, è necessario moltiplicare il suo lato AB per l'altezza CD e dividere il valore risultante per due.
Tuttavia, non è sempre facile trovare l’area di un triangolo in questo modo. Ad esempio, per utilizzare questa formula per un triangolo ottuso, è necessario estendere uno dei suoi lati e solo successivamente tracciargli un'altezza.
In pratica, questa formula viene utilizzata più spesso di altre.
Su entrambi i lati e ad angolo
Questa formula, come la precedente, è adatta alla maggior parte dei triangoli e nel suo significato è una conseguenza della formula per trovare l'area del lato e dell'altezza del triangolo. Cioè la formula in questione può essere facilmente ricavata da quella precedente. La sua formulazione è questa:
S = ½*sinO*A*B,
dove A e B sono i lati del triangolo e O è l'angolo formato dai lati A e B.
Ricordiamo che il seno di un angolo può essere visualizzato in una tabella speciale che prende il nome dall'eccezionale matematico sovietico V. M. Bradis.
Passiamo ora ad altre formule adatte solo a tipi eccezionali di triangoli.
Area di un triangolo rettangolo
Oltre alla formula universale, che prevede la necessità di trovare l'altezza in un triangolo, l'area di un triangolo contenente un angolo retto può essere trovata dai suoi cateti.
Pertanto, l'area di un triangolo contenente un angolo retto è la metà del prodotto delle sue gambe, ovvero:
dove aeb sono i cateti di un triangolo rettangolo.
Triangolo regolare
Questo tipo di figura geometrica si differenzia in quanto la sua area può essere trovata con il valore indicato di uno solo dei suoi lati (poiché tutti i lati di un triangolo regolare sono uguali). Quindi, di fronte al compito di "trovare l'area di un triangolo quando i lati sono uguali", è necessario utilizzare la seguente formula:
S = LA 2 *√3 / 4,
dove A è il lato del triangolo equilatero.
La formula di Erone
L'ultima opzione per trovare l'area di un triangolo è la formula di Heron. Per utilizzarlo è necessario conoscere la lunghezza dei tre lati della figura. La formula di Heron è simile alla seguente:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
dove a, b e c sono i lati di un dato triangolo.
A volte si pone il problema: “l’area di un triangolo regolare consiste nel trovare la lunghezza del suo lato”. In questo caso dobbiamo utilizzare la formula che già conosciamo per trovare l'area di un triangolo regolare e ricavare da essa il valore del lato (o del suo quadrato):
A2 = 4S / √3.
Compiti d'esame
Ci sono molte formule nei problemi GIA in matematica. Inoltre, molto spesso è necessario trovare l'area del triangolo su carta a scacchi.
In questo caso, è più conveniente disegnare l'altezza su uno dei lati della figura, determinarne la lunghezza dalle celle e utilizzare la formula universale per trovare l'area:
Quindi, dopo aver studiato le formule presentate nell'articolo, non avrai problemi a trovare l'area di un triangolo di qualsiasi tipo.
