Pelajaran video “Lingkaran. Konstruksi kompas dan penggaris

Lingkaran adalah garis lengkung tertutup, yang setiap titiknya terletak pada jarak yang sama dari satu titik O, yang disebut pusat.

Garis lurus yang menghubungkan setiap titik pada lingkaran dengan pusatnya disebut jari-jari R.

Garis lurus AB yang menghubungkan dua titik lingkaran dan melalui pusatnya O, disebut diameter D.

Bagian-bagian lingkaran disebut busur.

Garis lurus CD yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut akord.

Garis lurus N, yang hanya memiliki satu titik yang sama dengan lingkaran, disebut garis singgung.

Bagian lingkaran yang dibatasi oleh akord CD dan busur disebut segmen.

Bagian lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur disebut sektor.

Dua garis horizontal dan vertikal yang saling tegak lurus berpotongan di pusat lingkaran disebut sumbu lingkaran.

Sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari KOA disebut pojok tengah.

Dua radius saling tegak lurus buat sudut 90 0 dan batasi 1/4 lingkaran.

Gambarlah sebuah lingkaran dengan sumbu horizontal dan vertikal yang membaginya menjadi 4 bagian yang sama. Digambar dengan bantuan kompas atau bujur sangkar pada 45 0, dua garis yang saling tegak lurus membagi lingkaran menjadi 8 bagian yang sama.

Pembagian lingkaran menjadi 3 dan 6 sama besar (kelipatan 3 dengan tiga)

Untuk membagi lingkaran menjadi 3, 6 dan kelipatannya, kami menggambar lingkaran dengan radius tertentu dan sumbu yang sesuai. Pembagian dapat dimulai dari titik perpotongan sumbu horizontal atau vertikal dengan lingkaran. Jari-jari lingkaran yang ditentukan secara berurutan disimpan 6 kali. Kemudian titik-titik yang diperoleh pada lingkaran tersebut berturut-turut dihubungkan oleh garis lurus dan membentuk segi enam bertulisan beraturan. Menghubungkan titik melalui satu memberikan segitiga sama sisi, dan membagi lingkaran menjadi tiga bagian yang sama.

Konstruksi pentagon biasa dilakukan sebagai berikut. Kami menggambar dua sumbu lingkaran yang saling tegak lurus sama dengan diameter lingkaran. Bagilah setengah bagian kanan dari diameter horizontal menjadi dua menggunakan busur R1. Dari titik "a" yang diperoleh di tengah-tengah segmen ini dengan jari-jari R2, gambarlah busur lingkaran hingga berpotongan dengan diameter horizontal di titik "b". Dengan jari-jari R3 dari titik "1" menggambar busur lingkaran sampai berpotongan dengan lingkaran tertentu (titik 5) dan mendapatkan sisi segi lima biasa. Jarak "b-O" memberikan sisi dekagon biasa.

Membagi lingkaran menjadi bagian identik ke-N (membangun poligon beraturan dari sisi N)

Ini dilakukan sebagai berikut. Kami menggambar horizontal dan vertikal saling tegak lurus terhadap sumbu lingkaran. Dari titik teratas "1" lingkaran, tarik garis lurus pada sudut sewenang-wenang ke sumbu vertikal. Di atasnya kami meletakkan segmen yang sama dengan panjang sewenang-wenang, yang jumlahnya sama dengan jumlah bagian di mana kami membagi lingkaran yang diberikan, misalnya 9. Kami menghubungkan ujung segmen terakhir dengan titik bawah diameter vertikal . Kami menggambar garis sejajar dengan yang diperoleh dari ujung segmen yang ditangguhkan ke persimpangan dengan diameter vertikal, sehingga membagi diameter vertikal lingkaran tertentu menjadi sejumlah bagian tertentu. Dengan jari-jari sama dengan diameter lingkaran, dari titik bawah sumbu vertikal tarik busur MN sampai berpotongan dengan kelanjutan sumbu horizontal lingkaran. Dari titik M dan N kita menggambar sinar melalui titik-titik pembagian genap (atau ganjil) dari diameter vertikal sampai berpotongan dengan lingkaran. Segmen lingkaran yang diperoleh akan menjadi yang diperlukan, karena poin 1, 2, …. 9 Bagilah lingkaran menjadi 9 (N) bagian yang sama.

Kalimat yang menjelaskan arti suatu ungkapan atau nama disebut mendefinisikan... Kami telah bertemu dengan definisi, misalnya, dengan definisi sudut, sudut yang berdekatan, segitiga sama kaki, dll. Mari kita berikan definisi sosok geometris lain - lingkaran.

Definisi

Titik ini disebut pusat lingkaran, dan ruas yang menghubungkan pusat dengan sembarang titik lingkaran adalah radius lingkaran(gbr. 77). Dari definisi lingkaran dapat disimpulkan bahwa semua jari-jari memiliki panjang yang sama.

Beras. 77

Segmen yang menghubungkan dua titik lingkaran disebut tali busurnya. Tali busur yang melalui pusat lingkaran disebut diameter.

Pada Gambar 78, ruas-ruas AB dan EF adalah tali busur lingkaran, ruas CD adalah diameter lingkaran. Jelas, diameter lingkaran adalah dua kali jari-jarinya. Pusat lingkaran adalah titik tengah dari sembarang diameter.

Beras. 78

Setiap dua titik lingkaran membaginya menjadi dua bagian. Masing-masing bagian ini disebut busur lingkaran. Pada Gambar 79, ALB dan AMB adalah busur yang dibatasi oleh titik A dan B.

Beras. 79

Untuk menggambarkan lingkaran dalam gambar, gunakan kompas(gbr. 80).

Beras. 80

Untuk menggambar lingkaran di tanah, Anda dapat menggunakan tali (gbr. 81).

Beras. 81

Bagian bidang yang dibatasi oleh lingkaran disebut lingkaran (gbr. 82).

Beras. 82

Konstruksi kompas dan penggaris

Kami telah berurusan dengan konstruksi geometris: kami menggambar garis lurus, meletakkan segmen yang sama dengan data, menggambar sudut, segitiga, dan bentuk lainnya. Dalam melakukannya, kami menggunakan penggaris skala, kompas, busur derajat, menggambar persegi.

Ternyata banyak konstruksi dapat dilakukan hanya dengan menggunakan kompas dan penggaris tanpa pembagian skala. Oleh karena itu, dalam geometri, tugas-tugas konstruksi tersebut dibedakan secara khusus, yang diselesaikan hanya dengan menggunakan dua alat ini.

Apa yang dapat Anda lakukan dengan mereka? Jelas bahwa penggaris memungkinkan Anda untuk menggambar garis lurus yang berubah-ubah, serta membuat garis lurus yang melewati dua titik yang diberikan. Dengan menggunakan kompas, Anda dapat menggambar lingkaran dengan radius sembarang, serta lingkaran dengan pusat pada titik tertentu dan radius yang sama dengan segmen tertentu. Dengan melakukan operasi sederhana ini, kita akan dapat memecahkan banyak masalah konstruksi yang menarik:

membangun sudut yang sama dengan yang diberikan;
tarik garis lurus melalui titik ini, tegak lurus terhadap garis lurus ini;
membagi segmen ini menjadi dua dan tugas lainnya.

Mari kita mulai dengan tugas sederhana.

Tugas

Pada sinar tertentu dari awal untuk menunda segmen yang sama dengan yang diberikan.

Larutan

Mari kita gambarkan angka-angka yang diberikan dalam kondisi masalah: sinar OS dan segmen AB (Gbr. 83, a). Kemudian, dengan kompas, kami membuat lingkaran dengan jari-jari AB dengan pusat O (Gbr. 83, b). Lingkaran ini akan memotong sinar OS di beberapa titik D. Segmen OD adalah yang diperlukan.

Beras. 83

Contoh tugas bangunan

Memplot sudut yang sama dengan sudut tertentu

Tugas

Sisihkan dari sinar yang diberikan sudut yang sama dengan yang diberikan.

Larutan

Sudut dengan titik sudut A dan sinar OM ditunjukkan pada Gambar 84. Diperlukan untuk membuat sudut yang sama dengan sudut A, sehingga salah satu sisinya berimpit dengan sinar OM.

Beras. 84

Mari kita menggambar lingkaran dengan jari-jari sembarang yang berpusat di titik sudut A dari sudut yang diberikan. Lingkaran ini memotong sisi sudut di titik B dan C (Gbr. 85, a). Kemudian kita menggambar lingkaran dengan jari-jari yang sama yang berpusat pada sinar OM yang diberikan. Ia melintasi sinar di titik D (Gbr. 85, b). Setelah itu kita akan membuat lingkaran dengan pusat D, yang jari-jarinya sama dengan BC. Lingkaran dengan pusat O dan D berpotongan di dua titik. Kami menunjukkan salah satu titik ini dengan huruf E. Mari kita buktikan bahwa sudut MOE adalah yang diinginkan.

Beras. 85

Perhatikan segitiga ABC dan ODE. Ruas AB dan AC adalah jari-jari lingkaran dengan pusat A, dan ruas OD dan OE adalah jari-jari lingkaran dengan pusat O (lihat Gambar 85, b). Karena, secara konstruksi, lingkaran-lingkaran ini memiliki jari-jari yang sama, maka AB = OD, AC = OE. Juga dengan konstruksi = DE.

Oleh karena itu, ABC = ODE pada tiga sisi. Oleh karena itu, DOE = BAC, yaitu sudut yang dibangun MOE sama dengan sudut A yang diberikan.

Konstruksi yang sama dapat dilakukan di tanah, jika Anda menggunakan tali alih-alih kompas.

Memplot garis bagi suatu sudut

Tugas

Buatlah garis bagi dari sudut yang diberikan.

Larutan

Sudut BAC ini ditunjukkan pada Gambar 86. Gambarlah lingkaran dengan jari-jari sembarang yang berpusat di titik A. Ini akan memotong sisi-sisi sudut di titik B dan C.

Beras. 86

Kemudian kita menggambar dua lingkaran dengan jari-jari yang sama BC dengan pusat di titik B dan C (hanya bagian dari lingkaran yang ditunjukkan pada gambar). Mereka akan berpotongan di dua titik, yang setidaknya satu terletak di sudut. Mari kita tunjukkan dengan huruf E. Mari kita buktikan bahwa sinar AE adalah garis bagi sudut BAC yang diberikan.

Perhatikan segitiga ACE dan ABE. Mereka sama di tiga sisi. Memang, AE adalah sisi umum; AC dan AB sama dengan jari-jari lingkaran yang sama; CE = BE menurut konstruksi.

Dari persamaan segitiga ACE dan ABE diperoleh bahwa CAE = BAE, yaitu sinar AE adalah garis bagi sudut tertentu BAC.

Komentar

Apakah mungkin untuk membagi sudut tertentu menjadi dua sudut yang sama menggunakan kompas dan penggaris? Jelas bahwa itu mungkin - untuk ini Anda perlu menggambar garis-bagi dari sudut ini.

Sudut ini juga dapat dibagi menjadi empat sudut yang sama besar. Untuk melakukan ini, Anda harus membaginya menjadi dua, dan kemudian membaginya menjadi dua lagi.

Apakah mungkin untuk membagi sudut ini menjadi tiga sudut yang sama dengan bantuan kompas dan penggaris? Tugas ini, dijuluki masalah segitiga sudut, telah menarik perhatian matematikawan selama berabad-abad. Hanya pada abad ke-19 terbukti bahwa konstruksi seperti itu tidak mungkin untuk sudut yang sewenang-wenang.

Menggambar garis tegak lurus

Tugas

Sebuah garis lurus dan sebuah titik di atasnya diberikan. Buatlah garis yang melalui suatu titik tertentu dan tegak lurus terhadap garis tersebut.

Larutan

Garis a dan titik tertentu M milik garis ini ditunjukkan pada Gambar 87.

Beras. 87

Pada sinar garis lurus a, keluar dari titik M, kami menunda segmen MA dan MB yang sama. Kemudian kita akan membuat dua lingkaran dengan pusat A dan B berjari-jari AB. Mereka berpotongan di dua titik: P dan Q.

Mari kita tarik garis lurus melalui titik M dan salah satu titik ini, misalnya garis lurus MP (lihat Gambar 87), dan buktikan bahwa garis ini adalah garis yang diperlukan, yaitu tegak lurus terhadap garis yang diberikan sebuah.

Memang, karena median PM dari segitiga sama kaki PAB juga tinggi, PM a.

Gambarlah titik tengah ruas garis

Tugas

Bangun titik tengah segmen ini.

Larutan

Biarkan AB menjadi segmen tertentu. Mari kita buat dua lingkaran dengan pusat A dan B berjari-jari AB. Mereka berpotongan di titik P dan Q. Tarik garis PQ. Titik O dari perpotongan garis ini dengan ruas AB adalah titik tengah yang diinginkan dari ruas AB.

Memang, segitiga APQ dan BPQ adalah sama di tiga sisi, jadi 1 = 2 (Gbr. 89).

Beras. 89

Akibatnya, segmen PO adalah garis bagi segitiga sama kaki APB, dan karenanya median, yaitu titik O adalah titik tengah segmen AB.

tugas

143. Manakah dari segmen yang ditunjukkan pada Gambar 90 yang: a) tali busur lingkaran; b) diameter lingkaran; c.jari-jari lingkaran?

Beras. 90

144. Segmen AB dan CD - diameter lingkaran. Buktikan bahwa: a) akord BD dan AC sama; b) akord AD dan BC sama; c) BAD = BCD.

145. Segmen MK - diameter lingkaran dengan pusat O, dan MP dan PK - akord lingkaran ini sama. Temukan POM.

146. Ruas AB dan CD - diameter lingkaran dengan pusat O. Tentukan keliling segitiga AOD, jika diketahui CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Titik A dan B ditandai pada lingkaran dengan pusat O sehingga sudut AOB adalah garis lurus. Segmen BC - diameter lingkaran. Buktikan bahwa tali busur AB dan AC sama.

148. Dua titik A dan B diberikan pada garis lurus.Pada perpanjangan sinar B A, sisihkan ruas BC sehingga BC = 2AB.

149. Diberikan sebuah garis lurus a, sebuah titik B yang tidak terletak di atasnya, dan sebuah ruas PQ. Buatlah sebuah titik M pada garis a sehingga BM = PQ. Apakah suatu masalah selalu memiliki solusi?

150. Diberikan sebuah lingkaran, titik A, tidak terletak di atasnya, dan segmen PQ. Buatlah titik M pada lingkaran sehingga AM = PQ. Apakah suatu masalah selalu memiliki solusi?

151. Diberikan sudut lancip BAC dan sinar XY. Bangun sudut YXZ sehingga YXZ = 2∠BAC.

152. Sebuah sudut tumpul AOB diberikan. Bangun balok OX sehingga sudut XOA dan XOB adalah sudut tumpul yang sama.

153. Anda diberi garis lurus a dan titik M yang tidak terletak di atasnya. Buatlah garis yang melalui titik M dan tegak lurus garis a.

Larutan

Buatlah sebuah lingkaran yang berpusat di suatu titik tertentu M, yang memotong garis a yang diberikan di dua titik, yang dilambangkan dengan huruf A dan B (Gbr. 91). Kemudian kita buat dua lingkaran dengan pusat A dan B yang melalui titik M. Lingkaran-lingkaran ini berpotongan di titik M dan di satu titik lagi, yang dilambangkan dengan huruf N. Kita tarik garis MN dan buktikan bahwa garis ini yang diperlukan, yaitu tegak lurus a.

Beras. 91

Memang, segitiga AMN dan BMN sama pada tiga sisi, jadi 1 = 2. Oleh karena itu ruas MC (C adalah titik perpotongan garis a dan MN) adalah garis bagi segitiga sama kaki AMB, dan karenanya tingginya. Jadi, MN AB, yaitu, MN a.

154. Diketahui segitiga ABC. Bangun: a) garis-bagi AK; b) median VM; c) tinggi segitiga CH. 155. Dengan menggunakan kompas dan penggaris, buatlah sudut yang sama dengan: a) 45 °; b) 22°30".

Jawaban untuk masalah

152. Indikasi. Pertama, buat garis bagi sudut AOB.

1 Lingkar. Konsep dasar

Dalam matematika, ada kalimat yang menjelaskan arti dari nama atau ungkapan tertentu. Kalimat seperti itu disebut definisi.

Mari kita definisikan konsep lingkaran. Lingkaran adalah bangun datar yang terdiri dari semua titik bidang yang terletak pada jarak tertentu dari titik tertentu.

Titik ini, sebut saja titik O, disebut pusat lingkaran.

Ruas yang menghubungkan pusat dengan sembarang titik lingkaran disebut jari-jari lingkaran. Anda dapat menggambar banyak segmen seperti itu, misalnya, OA, OV, OS. Mereka semua akan memiliki panjang yang sama.

Ruas yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut tali busur. MN adalah tali busur lingkaran.

Tali busur yang melalui pusat lingkaran disebut diameter. AB adalah diameter lingkaran. Diameter terdiri dari dua jari-jari, yang berarti panjang diameter adalah dua kali jari-jari. Pusat lingkaran adalah titik tengah dari sembarang diameter.

Setiap dua titik lingkaran membaginya menjadi dua bagian. Bagian-bagian ini disebut busur lingkaran.

NВ dan adalah busur lingkaran.

Bagian bidang yang dibatasi oleh lingkaran disebut lingkaran.

Untuk menggambarkan lingkaran dalam gambar, gunakan kompas. Lingkaran juga bisa digambar di tanah. Untuk melakukan ini, cukup gunakan tali. Pasang salah satu ujung tali ke pasak yang ditancapkan ke tanah, dan gambar lingkaran dengan ujung lainnya.

2 Konstruksi dengan kompas dan penggaris

Dalam geometri, banyak konstruksi dapat dilakukan hanya dengan menggunakan kompas dan penggaris tanpa pembagian skala.

Hanya dengan menggunakan penggaris, Anda dapat menggambar garis lurus sewenang-wenang, serta garis lurus sewenang-wenang yang melewati titik tertentu, atau garis lurus yang melewati dua titik tertentu.

Kompas memungkinkan Anda menggambar lingkaran dengan radius sembarang, juga lingkaran dengan pusat pada titik tertentu dan radius yang sama dengan segmen tertentu.

Secara terpisah, masing-masing alat ini memungkinkan untuk membuat konstruksi paling sederhana, tetapi dengan bantuan dua alat ini Anda sudah dapat melakukan operasi yang lebih kompleks, misalnya,

memecahkan masalah konstruksi seperti:

Bangun sudut yang sama dengan yang diberikan,

Bangun segitiga dengan sisi-sisi yang diberikan,

Bagilah segmen menjadi dua,

Melalui titik ini, buat garis lurus yang tegak lurus dengan garis lurus ini, dll.

Mari kita pertimbangkan masalahnya.

Tugas: Pada sinar tertentu dari awalnya, letakkan segmen yang sama dengan yang diberikan.

Beam OS dan segmen AB diberikan. Hal ini diperlukan untuk membangun segmen OD sama dengan segmen AB.

Dengan menggunakan kompas, buat lingkaran dengan jari-jari sama dengan panjang segmen AB, berpusat di titik O. Lingkaran ini akan memotong sinar OS ini di beberapa titik D. Segmen OD adalah segmen yang diperlukan.

Daftar literatur yang digunakan:

1. Geometri. Kelas 7-9: buku teks. untuk pendidikan umum. organisasi / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev dan lainnya - M.: Pendidikan, 2013 .-- 383 hal.: sakit.
2. Gavrilova N.F. Pengembangan materi pelajaran geometri kelas 7. - M .: "VAKO", 2004. - 288 detik. - (Untuk membantu guru sekolah).
3. O. Belitskaya Geometri. kelas 7. Bagian 1. Tes. - Saratov: Lyceum, 2014 .-- 64 hal.

Saat membuat atau memproses bagian kayu, dalam beberapa kasus diperlukan untuk menentukan di mana pusat geometrisnya. Jika bagian itu berbentuk persegi atau persegi panjang, maka ini tidak sulit untuk dilakukan. Cukup menghubungkan sudut yang berlawanan dengan diagonal, yang akan berpotongan tepat di tengah gambar kita.
Untuk produk yang berbentuk lingkaran, solusi ini tidak akan berfungsi, karena tidak memiliki sudut, dan karenanya tidak memiliki diagonal. Dalam hal ini, Anda memerlukan beberapa pendekatan lain berdasarkan prinsip yang berbeda.

Dan mereka ada, dan dalam banyak variasi. Beberapa di antaranya cukup kompleks dan memerlukan beberapa alat, yang lain mudah diterapkan dan tidak memerlukan seperangkat alat lengkap untuk mengimplementasikannya.
Sekarang kita akan melihat salah satu cara termudah untuk menemukan pusat lingkaran hanya dengan menggunakan penggaris dan pensil biasa.

Urutan mencari pusat lingkaran: