Area angka yang berbeda. Berapakah luas bangun tersebut? Perlindungan informasi pribadi

Daerah geometris- karakteristik numerik dari gambar geometris yang menunjukkan ukuran gambar ini (bagian dari permukaan yang dibatasi oleh kontur tertutup dari gambar ini). Luas daerah dinyatakan dengan banyaknya satuan persegi yang terdapat di dalamnya.

Rumus luas segitiga

Rumus luas segitiga sisi dan tinggi
Luas segitiga sama dengan setengah produk panjang sisi segitiga dan panjang ketinggian yang ditarik ke sisi ini
Rumus luas segitiga yang diberi tiga sisi dan jari-jari lingkaran yang dibatasi
Rumus luas segitiga yang diberi tiga sisi dan jari-jari lingkaran bertulis
Luas segitiga sama dengan produk setengah keliling segitiga dan jari-jari lingkaran yang tertulis.

Rumus luas persegi

Rumus luas persegi jika diketahui panjang sisinya
luas persegi sama dengan kuadrat panjang sisinya.
Rumus luas persegi jika diketahui panjang diagonalnya
luas persegi sama dengan setengah kuadrat panjang diagonalnya.
S = 1 2
2

rumus luas persegi panjang

luas persegi panjang

Rumus luas jajar genjang

Rumus luas jajar genjang untuk panjang sisi dan tinggi
daerah jajar genjang
Rumus luas jajar genjang yang diberikan dua sisi dan sudut di antara mereka
daerah jajar genjang sama dengan produk dari panjang sisinya dikalikan dengan sinus sudut di antara mereka.
a b sinα

Rumus luas belah ketupat

Rumus luas belah ketupat diberikan panjang dan tinggi sisi
daerah belah ketupat sama dengan produk dari panjang sisinya dan panjang tinggi yang diturunkan ke sisi ini.
Rumus luas belah ketupat jika diketahui panjang sisi dan sudutnya
daerah belah ketupat sama dengan hasil kali kuadrat panjang sisinya dan sinus sudut antara sisi belah ketupat.
Rumus luas belah ketupat dari panjang diagonalnya
daerah belah ketupat sama dengan setengah hasil kali panjang diagonal-diagonalnya.

Rumus luas trapesium

Rumus bangau untuk trapesium
Dimana S adalah luas trapesium,
- panjang alas trapesium,
- panjang sisi trapesium,

Bagaimana cara mencari luas suatu bangun?

Mengetahui dan mampu menghitung luas berbagai bangun diperlukan tidak hanya untuk memecahkan masalah geometris sederhana. Anda tidak dapat melakukannya tanpa pengetahuan ini saat menyusun atau memeriksa perkiraan untuk perbaikan tempat, menghitung jumlah bahan habis pakai yang diperlukan. Oleh karena itu, mari kita cari tahu cara mencari luas bangun-bangun yang berbeda.

Bagian bidang yang tertutup dalam kontur tertutup disebut luas bidang ini. Luas dinyatakan dengan banyaknya satuan persegi yang dilingkupinya.

Untuk menghitung luas bentuk geometris dasar, Anda harus menggunakan rumus yang benar.

Luas segitiga

Sebutan:

Jika h, a diketahui, maka luas segitiga yang diinginkan ditentukan sebagai hasil kali panjang sisi dan tinggi segitiga yang diturunkan ke sisi ini, dibagi dua: S=(a h)/2
Jika a, b, c diketahui, maka luas yang diperlukan dihitung menggunakan rumus Heron: akar kuadrat diambil dari perkalian setengah keliling segitiga dan tiga selisih setengah keliling dan setiap sisi segitiga: S = (p (p - a) (p - b) (p - c)).
Jika a, b, diketahui, maka luas segitiga ditentukan sebagai setengah produk dari 2 sisi, dikalikan dengan nilai sinus sudut antara sisi-sisi ini: S=(a b sin )/2
Jika a, b, c, R diketahui, maka luas yang diperlukan didefinisikan sebagai hasil kali panjang semua sisi segitiga dengan empat jari-jari lingkaran yang dibatasi: S=(a b c)/4R
Jika p, r diketahui, maka luas segitiga yang diinginkan ditentukan dengan mengalikan setengah keliling dengan jari-jari lingkaran yang tertulis di dalamnya: S = p r

luas persegi

Sebutan:

Jika diketahui sisinya, maka luas bangun tersebut ditentukan sebagai kuadrat dari panjang sisinya: S=a 2
Jika d diketahui, maka luas persegi didefinisikan sebagai setengah kuadrat dari panjang diagonalnya: S=d 2 /2

luas persegi panjang

Sebutan:

S - area yang ditentukan,
a,b adalah panjang sisi persegi panjang.

Jika a, b diketahui, maka luas persegi panjang yang diberikan ditentukan oleh produk dari panjang kedua sisinya: S=a b
Jika panjang sisinya tidak diketahui, maka luas persegi panjang harus dibagi menjadi segitiga. Dalam hal ini, luas persegi panjang didefinisikan sebagai jumlah luas segitiga penyusunnya.

daerah jajar genjang

Sebutan:

S - area yang diinginkan,
a, b - panjang sisi,
h adalah panjang dari tinggi jajar genjang yang diberikan,
d1, d2 - panjang dua diagonal,
- sudut antara sisi,
adalah sudut antara diagonal.

Jika a, h diketahui, maka luas yang diinginkan ditentukan dengan mengalikan panjang sisi dan tinggi yang diturunkan ke sisi ini: S = a h
Jika a, b, diketahui, maka luas jajar genjang ditentukan dengan mengalikan panjang sisi jajar genjang dan nilai sinus sudut antara sisi-sisi tersebut: S=a b sin
Jika d 1 , d 2 , diketahui, maka luas jajaran genjang didefinisikan sebagai setengah hasil kali panjang diagonal-diagonal dan nilai sinus sudut antara diagonal-diagonal ini: S=(d 1 d 2 sinγ)/2

daerah belah ketupat

Sebutan:

S - area yang diinginkan,
a - panjang sisi,
h - panjang tinggi,
adalah sudut terkecil antara kedua sisi,
d1, d2 adalah panjang kedua diagonalnya.

Jika a, h diketahui, maka luas belah ketupat ditentukan dengan mengalikan panjang sisi dengan panjang tinggi yang diturunkan ke sisi ini: S = a h
Jika a, diketahui, maka luas belah ketupat ditentukan dengan mengalikan kuadrat panjang sisi dengan sinus sudut antara sisi: S=a 2 sin
Jika d 1 dan d 2 diketahui, maka area yang diinginkan ditentukan sebagai setengah produk dari panjang diagonal belah ketupat: S \u003d (d 1 d 2) / 2

luas trapesium

Sebutan:

Jika a, b, c, d diketahui, maka luas yang dibutuhkan ditentukan dengan rumus: S= (a+b) /2 *√ .
Dengan diketahui a, b, h, luas yang diinginkan ditentukan sebagai hasil kali setengah jumlah alas dan tinggi trapesium: S=(a+b)/2 h

Luas segi empat cembung

Sebutan:

Jika d 1 , d 2 , diketahui, maka luas segi empat cembung didefinisikan sebagai setengah hasil kali diagonal-diagonal segi empat dikalikan sinus sudut antara diagonal-diagonal ini: S=(d 1 d 2 dosa )/2
Dengan diketahui p, r, luas segi empat cembung didefinisikan sebagai produk setengah keliling segi empat dan jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segi empat ini: S=p r
Jika a, b, c, d, diketahui, maka luas segi empat cembung ditentukan sebagai akar kuadrat dari hasil kali selisih setengah keliling dan panjang setiap sisi dikurangi hasil kali panjang semua sisi dan kuadrat kosinus setengah jumlah dari dua sudut yang berlawanan: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+β) / 2)

Luas lingkaran

Sebutan:

Jika r diketahui, maka luas yang diinginkan ditentukan sebagai hasil kali bilangan dan kuadrat jari-jarinya: S=π r 2

Jika d diketahui, maka luas lingkaran ditentukan sebagai hasil kali bilangan kali kuadrat diameter dibagi empat: S=(π d 2)/4

Luas bangun yang kompleks

Kompleks dapat dipecah menjadi bentuk geometris sederhana. Luas bangun kompleks didefinisikan sebagai jumlah atau selisih luas komponen. Pertimbangkan, misalnya, sebuah cincin.

Penamaan:

S adalah luas cincin,
R, r masing-masing adalah jari-jari lingkaran luar dan lingkaran dalam,
D, d masing-masing adalah diameter lingkaran luar dan lingkaran dalam.

Untuk mencari luas cincin, kurangi luas dari luas lingkaran yang lebih besar. lingkaran yang lebih kecil. S \u003d S1-S2 \u003d R 2 -πr 2 \u003d (R 2 -r 2).

Jadi, jika R dan r diketahui, maka luas cincin ditentukan sebagai selisih kuadrat jari-jari lingkaran luar dan dalam, dikalikan dengan bilangan pi: S=π(R 2 -r 2 ).

Jika D dan d diketahui, maka luas cincin ditentukan sebagai seperempat dari selisih kuadrat diameter lingkaran luar dan dalam, dikalikan dengan bilangan pi: S = (1/4) ( D 2 -d 2) .

Area tambalan

Misalkan di dalam satu kotak (A) ada kotak lain (B) (lebih kecil), dan kita perlu menemukan rongga yang terisi antara gambar "A" dan "B". Anggap saja, "bingkai" persegi kecil. Untuk ini:

Temukan luas gambar "A" (dihitung dengan rumus untuk mencari luas persegi).
Demikian pula, kami menemukan luas gambar "B".
Kurangi dari area "A" area "B". Dan dengan demikian kita mendapatkan luas gambar yang diarsir.

Sekarang Anda tahu cara menemukan area dari berbagai bentuk.

Kelas: 5

Menurut saya, tugas guru bukan hanya mengajar, tetapi mengembangkan minat kognitif siswa. Karena itu, bila memungkinkan, saya menghubungkan topik pelajaran dengan tugas-tugas praktis.

Dalam pelajaran, siswa, di bawah bimbingan seorang guru, menyusun rencana untuk memecahkan masalah untuk menemukan area "angka kompleks" (untuk menghitung perkiraan perbaikan), mengkonsolidasikan keterampilan untuk memecahkan masalah untuk menemukan daerah; ada pengembangan perhatian, kemampuan kegiatan penelitian, kegiatan pendidikan, kemandirian.

Bekerja berpasangan menciptakan situasi komunikasi antara mereka yang memiliki pengetahuan dan mereka yang memperolehnya; dasar dari pekerjaan tersebut adalah untuk meningkatkan kualitas pelatihan dalam subjek. Mempromosikan pengembangan minat dalam proses pembelajaran dan asimilasi materi pendidikan yang lebih dalam.

Pelajaran tidak hanya mensistematisasikan pengetahuan siswa, tetapi juga berkontribusi pada pengembangan kemampuan analitis yang kreatif. Penggunaan tugas dengan konten praktis dalam pelajaran memungkinkan Anda untuk menunjukkan relevansi pengetahuan matematika dalam kehidupan sehari-hari.

Tujuan Pelajaran:

Pendidikan:

konsolidasi pengetahuan tentang rumus luas persegi panjang, segitiga siku-siku;
analisis tugas untuk menghitung area angka "kompleks" dan metode untuk implementasinya;
kinerja independen tugas untuk menguji pengetahuan, keterampilan, kemampuan.

Mengembangkan:

pengembangan metode kegiatan mental dan penelitian;
mengembangkan kemampuan untuk mendengarkan dan menjelaskan jalannya suatu keputusan.

Pendidikan:

untuk mendidik siswa dalam keterampilan pekerjaan pendidikan;
untuk menumbuhkan budaya pidato matematika lisan dan tertulis;
untuk menumbuhkan persahabatan di kelas dan kemampuan untuk bekerja dalam kelompok.

Jenis pelajaran: digabungkan.

Peralatan:

Matematika: buku teks untuk 5 sel. pendidikan umum institusi / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov dkk., M.: Mnemozina, 2010.
Kartu untuk kelompok siswa dengan angka untuk menghitung luas bangun yang kompleks.
Alat menggambar.

Rencana belajar:

Mengatur waktu.
Pembaruan pengetahuan.
a) Soal-soal teori (tes).
b. Rumusan masalah.
Mempelajari materi baru.
a) menemukan solusi untuk masalah tersebut;
b.memecahkan masalah.
Memperbaiki bahan.
a) pemecahan masalah kolektif;
Fizkultminutka.
b.pekerjaan mandiri.
Pekerjaan rumah.
Ringkasan pelajaran. Cerminan.

Selama kelas

I. Momen organisasi.

Mari kita mulai pelajaran dengan kata-kata penyemangat ini:

Matematika, teman,
Pasti semua orang membutuhkannya.
Bekerja keras di kelas
Dan kesuksesan menanti Anda!

II. Pembaruan pengetahuan.

sebuah) Pekerjaan frontal dengan kartu isyarat (setiap siswa memiliki kartu dengan angka 1, 2, 3, 4; saat menjawab soal tes, siswa mengangkat kartu dengan nomor jawaban yang benar).

1. Satu sentimeter persegi adalah:

luas persegi dengan sisi 1 cm;
persegi dengan sisi 1 cm;
persegi dengan keliling 1 cm.

2. Luas dari gambar yang ditunjukkan pada gambar adalah:

8 dm;
8 dm2;
15 dm2.

3. Benarkah bangun yang sama memiliki keliling dan luas yang sama?

4. Luas persegi panjang ditentukan dengan rumus:

S = a2 ;
S = 2 (a + b);
S = ab.

5. Luas dari gambar yang ditunjukkan pada gambar adalah:

12cm;
8 cm;
16 cm

b) (Perumusan masalah). Sebuah tugas. Berapa banyak cat yang dibutuhkan untuk mengecat lantai yang bentuknya seperti berikut (lihat gambar), jika 200 g cat digunakan untuk setiap 1 m 2?

AKU AKU AKU. Mempelajari materi baru.

Apa yang perlu kita ketahui untuk menyelesaikan masalah terakhir? (Temukan luas lantai, yang terlihat seperti "gambar kompleks.")

Siswa merumuskan topik dan tujuan pelajaran (jika perlu, guru membantu).

Perhatikan persegi panjang ABCD. Mari kita menggambar garis di dalamnya KPMN dengan memecahkan persegi panjang ABCD menjadi dua bagian: ABNMPK dan KPMNCD.

Apa itu daerah? ABCD? (15 cm 2)

Berapakah luas bangun tersebut? ABMNPK? (7 cm 2)

Berapakah luas bangun tersebut? KPMNCD? (8 cm 2)

Analisis hasilnya. (15==7+8)

Kesimpulan? (Luas seluruh gambar sama dengan jumlah luas bagian-bagiannya.

S = S 1 + S 2

Bagaimana kita bisa menggunakan properti ini untuk menyelesaikan masalah kita? (Mari kita pecahkan gambar kompleks menjadi beberapa bagian, temukan luas bagian-bagiannya, lalu luas seluruh gambar.)

S 1 \u003d 7 2 \u003d 14 (m 2)
S 2 \u003d (7 - 4) (8 - 2 - 3) \u003d 3 3 \u003d 9 (m 2)
S 3 \u003d 7 3 \u003d 21 (m 2)
S \u003d S 1 + S 2 + S 3 \u003d 14 + 9 + 21 \u003d 44 (m 2)

Mari berdandan rencana untuk memecahkan masalah untuk menemukan area "gambar kompleks":

Kami memecah angka menjadi angka sederhana.
Menemukan luas bangun datar.

a.Tugas 1. Berapa banyak ubin yang diperlukan untuk meletakkan platform dengan ukuran berikut:

S = S 1 + S 2
S 1 \u003d (60 - 30) 20 \u003d 600 (dm 2)
S 2 \u003d 30 50 \u003d 1500 (dm 2)
S \u003d 600 + 1500 \u003d 2100 (dm 2)

Apakah ada cara lain untuk menyelesaikannya? (Kami mempertimbangkan opsi yang diusulkan.)

Jawaban: 2100 dm2.

Tugas 2. (keputusan kolektif di papan tulis dan di buku catatan.) Berapa m2 linoleum yang diperlukan untuk memperbaiki ruangan yang bentuknya sebagai berikut:

S = S 1 + S 2
S 1 \u003d 3 2 \u003d 6 (m 2)
S 2 \u003d ((5 - 3) 2): 2 \u003d 2 (m 2)
S \u003d 6 + 2 \u003d 8 (m 2)

Jawab: 8 m2.

Fizkultminutka.

Sekarang, teman-teman, bangun.
Mereka segera mengangkat tangan.
Ke samping, ke depan, ke belakang.
Belok kanan, kiri.
Kami duduk dengan tenang, kembali ke bisnis.

b) Pekerjaan mandiri (pendidikan) .

Siswa dibagi menjadi beberapa kelompok (No. 5-8 lebih kuat). Setiap kelompok adalah tim perbaikan.

Tugas untuk tim: tentukan berapa banyak cat yang diperlukan untuk mengecat lantai yang berbentuk seperti gambar di atas, jika diperlukan 200 g cat per 1 m 2.

Anda membuat gambar ini di buku catatan Anda dan, menuliskan semua data, lanjutkan ke tugas. Anda dapat mendiskusikan solusinya (tetapi hanya dalam kelompok Anda!). Jika suatu kelompok mengatasi tugas dengan cepat, maka itu akan menerima tugas tambahan (setelah verifikasi pekerjaan independen).

Tugas untuk grup:

V. Pekerjaan Rumah.

butir 18, nomor 718, nomor 749.

Tugas tambahan. Rencana-skema Taman Musim Panas (St. Petersburg). Hitung luasnya.

VI. Hasil pelajaran.

Cerminan. Lanjutkan kalimat:

Hari ini saya menemukan ...
Itu menarik…
Itu sulit…
Sekarang saya bisa…
Pelajaran yang mengajariku seumur hidup...

Pada bagian sebelumnya, dikhususkan untuk analisis makna geometris integral tertentu, kami memperoleh sejumlah rumus untuk menghitung luas trapesium lengkung:

S (G) = a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan tak-negatif y = f (x) pada ruas [ a ; b] ,

S (G) = - a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-positif y = f (x) pada segmen [ a ; b] .

Rumus ini berlaku untuk memecahkan masalah yang relatif sederhana. Bahkan, kita sering harus bekerja dengan bentuk yang lebih kompleks. Dalam hal ini, kami akan mencurahkan bagian ini untuk analisis algoritme untuk menghitung luas gambar, yang dibatasi oleh fungsi dalam bentuk eksplisit, mis. seperti y = f(x) atau x = g(y) .

Dalil

Biarkan fungsi y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) didefinisikan dan kontinu pada segmen [ a ; b ] , dan f 1 (x) f 2 (x) untuk setiap nilai x dari [ a ; b] . Kemudian rumus untuk menghitung luas gambar Dibatasi oleh garis x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) dan y \u003d f 2 (x) akan terlihat seperti S ( G) \u003d a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Rumus serupa akan berlaku untuk luas gambar yang dibatasi oleh garis y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) dan x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Bukti

Kami akan menganalisis tiga kasus yang rumusnya akan valid.

Dalam kasus pertama, dengan mempertimbangkan sifat aditif area, jumlah area gambar asli G dan trapesium lengkung G 1 sama dengan luas gambar G 2 . Ini berarti bahwa

Jadi, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Kita dapat melakukan transisi terakhir menggunakan sifat ketiga dari integral tertentu.

Dalam kasus kedua, persamaannya benar: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = a b f 2 (x) d x + - a b f 1 (x) d x = a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Ilustrasi grafis akan terlihat seperti:

Jika kedua fungsi non-positif, kita mendapatkan: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - a b f 1 (x) d x = a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrasi grafis akan terlihat seperti:

Mari kita beralih ke pertimbangan kasus umum ketika y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) memotong sumbu O x .

Kami akan menunjukkan titik-titik persimpangan sebagai x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Titik-titik ini memecah segmen [ a ; b] menjadi n bagian x i-1; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , dimana = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Akibatnya,

S (G) = i = 1 n S (G i) = i = 1 n x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Kita dapat membuat transisi terakhir menggunakan sifat kelima integral tertentu.

Mari kita ilustrasikan kasus umum pada grafik.

Rumus S (G) = a b f 2 (x) - f 1 (x) d x dapat dianggap terbukti.

Dan sekarang mari kita beralih ke analisis contoh penghitungan luas angka yang dibatasi oleh garis y \u003d f (x) dan x \u003d g (y) .

Mempertimbangkan salah satu contoh, kita akan mulai dengan konstruksi grafik. Gambar akan memungkinkan kita untuk merepresentasikan bentuk kompleks sebagai kombinasi dari bentuk yang lebih sederhana. Jika sulit bagi Anda untuk membuat grafik dan bentuk di atasnya, Anda dapat mempelajari bagian fungsi dasar dasar, transformasi geometrik grafik fungsi, serta membuat plot selama mempelajari suatu fungsi.

Contoh 1

Penting untuk menentukan luas gambar, yang dibatasi oleh parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 dan garis lurus y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Larutan

Mari kita plot garis pada grafik dalam sistem koordinat Cartesian.

Pada interval [ 1 ; 4] grafik parabola y = - x 2 + 6 x - 5 terletak di atas garis lurus y = - 1 3 x - 1 2 . Berkenaan dengan hal tersebut, untuk mendapatkan jawabannya, kita menggunakan rumus yang diperoleh sebelumnya, serta cara menghitung integral tertentu dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz:

S (G) = 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Jawaban: S (G) = 13

Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.

Contoh 2

Perlu untuk menghitung luas gambar, yang dibatasi oleh garis y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Larutan

Dalam hal ini, kita hanya memiliki satu garis lurus yang sejajar dengan sumbu x. Ini adalah x = 7 . Ini mengharuskan kita untuk menemukan sendiri batas integrasi kedua.

Mari kita buat grafik dan letakkan di atasnya garis-garis yang diberikan dalam kondisi masalah.

Setelah grafik di depan mata kita, kita dapat dengan mudah menentukan bahwa batas bawah integrasi akan menjadi absis dari titik persimpangan grafik dengan garis lurus y \u003d x dan semi-parabola y \u003d x + 2. Untuk menemukan absis, kami menggunakan persamaan:

y = x + 2 O DZ: x - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 O D G

Ternyata absis titik potong tersebut adalah x = 2.

Kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa dalam contoh umum dalam gambar, garis y = x + 2 , y = x berpotongan di titik (2 ; 2) , jadi perhitungan terperinci seperti itu mungkin tampak berlebihan. Kami telah memberikan solusi terperinci di sini hanya karena dalam kasus yang lebih kompleks solusinya mungkin tidak begitu jelas. Ini berarti bahwa lebih baik untuk selalu menghitung koordinat perpotongan garis secara analitis.

Pada interval [ 2 ; 7 ] grafik fungsi y = x terletak di atas grafik fungsi y = x + 2 . Terapkan rumus untuk menghitung luas:

S (G) = 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Jawaban: S (G) = 59 6

Contoh 3

Penting untuk menghitung luas gambar, yang dibatasi oleh grafik fungsi y \u003d 1 x dan y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Larutan

Mari kita menggambar garis pada grafik.

Mari kita tentukan batas-batas integrasi. Untuk melakukan ini, kami menentukan koordinat titik perpotongan garis dengan menyamakan ekspresi 1 x dan - x 2 + 4 x - 2 . Asalkan x tidak sama dengan nol, persamaan 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 menjadi setara dengan persamaan derajat ketiga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 dengan koefisien bilangan bulat . Anda dapat menyegarkan memori algoritme untuk menyelesaikan persamaan tersebut dengan merujuk ke bagian “Solusi persamaan kubik”.

Akar persamaan ini adalah x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Membagi ekspresi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dengan binomial x - 1, kita mendapatkan: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Kita dapat menemukan akar yang tersisa dari persamaan x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 - 0. 3

Kami telah menemukan interval x 1; 3 + 13 2 , di mana G diapit di atas garis biru dan di bawah garis merah. Ini membantu kita menentukan luas bentuk:

S (G) = 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Jawaban: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Contoh 4

Penting untuk menghitung luas gambar, yang dibatasi oleh kurva y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 dan sumbu x.

Larutan

Mari kita letakkan semua garis pada grafik. Grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dapat kita peroleh dari grafik y = log 2 x jika kita menempatkannya secara simetris terhadap sumbu x dan memindahkannya satu satuan. Persamaan sumbu x y \u003d 0.

Mari kita menunjukkan titik-titik persimpangan garis.

Seperti dapat dilihat dari gambar, grafik fungsi y \u003d x 3 dan y \u003d 0 berpotongan di titik (0; 0) . Ini karena x \u003d 0 adalah satu-satunya akar nyata dari persamaan x 3 \u003d 0.

x = 2 adalah satu - satunya akar persamaan - log 2 x + 1 = 0 , sehingga grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dan y = 0 berpotongan di titik (2 ; 0).

x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan x 3 = - log 2 x + 1 . Dalam hal ini, grafik fungsi y \u003d x 3 dan y \u003d - log 2 x + 1 berpotongan di titik (1; 1) . Pernyataan terakhir mungkin tidak jelas, tetapi persamaan x 3 \u003d - log 2 x + 1 tidak dapat memiliki lebih dari satu root, karena fungsi y \u003d x 3 sangat meningkat, dan fungsi y \u003d - log 2 x + 1 sangat menurun.

Langkah selanjutnya melibatkan beberapa opsi.

Opsi nomor 1

Kita dapat menyatakan gambar G sebagai jumlah dari dua trapesium lengkung yang terletak di atas sumbu absis, yang pertama terletak di bawah garis tengah pada segmen x 0; 1 , dan yang kedua berada di bawah garis merah pada ruas x 1 ; 2. Artinya luas akan sama dengan S (G) = 0 1 x 3 d x + 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opsi nomor 2

Angka G dapat direpresentasikan sebagai selisih dua angka, yang pertama terletak di atas sumbu x dan di bawah garis biru pada ruas x 0; 2 , dan yang kedua berada di antara garis merah dan biru pada ruas x 1 ; 2. Ini memungkinkan kita untuk menemukan area seperti ini:

S (G) = 0 2 x 3 d x - 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Dalam hal ini, untuk mencari luasnya, Anda harus menggunakan rumus berbentuk S (G) \u003d c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktanya, garis yang mengikat bentuk dapat direpresentasikan sebagai fungsi dari argumen y.

Mari selesaikan persamaan y = x 3 dan - log 2 x + 1 terhadap x:

y = x 3 x = y 3 y = - log 2 x + 1 log 2 x = 1 - y x = 2 1 - y

Kami mendapatkan area yang dibutuhkan:

S (G) = 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Jawaban: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Contoh 5

Penting untuk menghitung luas gambar, yang dibatasi oleh garis y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Larutan

Gambarlah garis pada grafik dengan garis merah, yang diberikan oleh fungsi y = x . Gambar garis y = - 1 2 x + 4 dengan warna biru, dan tandai garis y = 2 3 x - 3 dengan warna hitam.

Perhatikan titik potongnya.

Tentukan titik potong grafik fungsi y = x dan y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x 0 x = - 1 2 x + 4 2 x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i adalah solusi persamaan x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 x 2 = 4 adalah solusi persamaan (4 ; 2) titik potong i y = x dan y = - 1 2 x + 4

Tentukan titik potong grafik fungsi y = x dan y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x 0 x = 2 3 x - 3 2 x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Periksa: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 x 1 \u003d 9 adalah solusi dari persamaan (9; 3) titik dan perpotongan y = x dan y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 x 2 = 9 4 bukan solusi persamaan

Tentukan titik potong garis y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 - 3 x + 24 = 4 x - 18 7 x = 42 x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 (6 1) titik potong y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3

Metode nomor 1

Kami mewakili area gambar yang diinginkan sebagai jumlah area angka individu.

Maka luas gambar tersebut adalah:

S (G) = 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metode nomor 2

Luas bangun semula dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua bangun lainnya.

Kemudian kami memecahkan persamaan garis untuk x, dan hanya setelah itu kami menerapkan rumus untuk menghitung luas gambar.

y = x x = y 2 garis merah y = 2 3 x - 3 x = 3 2 y + 9 2 garis hitam y = - 1 2 x + 4 x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i

Jadi luasnya adalah:

S (G) = 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 1 2 7 2 y - 7 2 d y + 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Seperti yang Anda lihat, nilainya cocok.

Jawaban: S (G) = 11 3

Hasil

Untuk menemukan luas bangun yang dibatasi oleh garis-garis yang diberikan, kita perlu menggambar garis pada bidang, menemukan titik potongnya, dan menerapkan rumus untuk mencari luas. Di bagian ini, kami telah meninjau opsi paling umum untuk tugas.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Ada banyak sekali bangun datar dengan berbagai bentuk, baik beraturan maupun tidak beraturan. Sebuah properti umum dari semua angka adalah bahwa salah satu dari mereka memiliki luas. Luas gambar adalah dimensi bagian bidang yang ditempati oleh angka-angka ini, dinyatakan dalam satuan tertentu. Nilai ini selalu dinyatakan sebagai bilangan positif. Satuan pengukuran adalah luas persegi yang sisinya sama dengan satuan panjang (misalnya, satu meter atau satu sentimeter). Nilai perkiraan luas gambar apa pun dapat dihitung dengan mengalikan jumlah kotak satuan yang dibagi dengan luas satu kotak.

Definisi lain dari konsep ini adalah sebagai berikut:

1. Luas bangun sederhana adalah besaran skalar positif yang memenuhi syarat:

Angka yang sama memiliki luas yang sama;

Jika suatu bangun dibagi menjadi beberapa bagian (gambar sederhana), maka luasnya adalah jumlah luas dari bangun-bangun tersebut;

Persegi dengan satuan ukuran sisi berfungsi sebagai satuan luas.

2. Luas bangun datar (poligon) adalah besaran positif dengan sifat-sifat berikut:

Poligon yang sama memiliki area yang sama;

Jika poligon terdiri dari beberapa poligon lain, luasnya sama dengan jumlah luas poligon tersebut. Aturan ini berlaku untuk poligon yang tidak tumpang tindih.

Sebagai aksioma, pernyataan diterima bahwa luas bangun-bangun (poligon) adalah nilai-nilai positif.

Definisi luas lingkaran diberikan secara terpisah sebagai nilai yang cenderung dimiliki oleh luas lingkaran tertentu yang tertulis dalam lingkaran - meskipun faktanya jumlah sisinya cenderung tak terhingga.

Area angka berbentuk tidak beraturan (angka arbitrer) tidak memiliki definisi, hanya metode untuk menghitungnya yang ditentukan.

Perhitungan area yang sudah ada di zaman kuno merupakan tugas praktis yang penting dalam menentukan ukuran plot tanah. Aturan untuk menghitung luas selama beberapa ratus tahun dirumuskan oleh ilmuwan Yunani dan dituangkan dalam Elemen Euclid sebagai teorema. Menariknya, aturan untuk menentukan luas bangun sederhana di dalamnya sama seperti saat ini. Daerah dengan kontur lengkung dihitung menggunakan transisi batas.

Menghitung luas persegi panjang sederhana, bujur sangkar), yang akrab bagi semua orang di sekolah, cukup sederhana. Bahkan tidak perlu menghafal rumus-rumus yang berisi sebutan huruf untuk bidang-bidang gambar. Ingat saja beberapa aturan sederhana:

2. Luas persegi panjang dihitung dengan mengalikan panjangnya dengan lebarnya. Dalam hal ini, panjang dan lebar perlu dinyatakan dalam satuan pengukuran yang sama.

3. Kami menghitung luas bangun datar dengan membaginya menjadi beberapa yang sederhana dan menambahkan luas yang dihasilkan.

4. Diagonal suatu persegi panjang membaginya menjadi dua segitiga yang luasnya sama dan sama dengan setengah luasnya.

5. Luas segitiga dihitung sebagai setengah hasil kali tinggi dan alasnya.

6. Luas lingkaran sama dengan hasil kali kuadrat jari-jari dan bilangan terkenal "π".

7. Luas jajaran genjang dihitung sebagai produk dari sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut yang terletak di antara mereka.

8. Luas belah ketupat adalah hasil perkalian diagonal-diagonalnya dengan sinus sudut dalam.

9. Luas trapesium ditemukan dengan mengalikan tingginya dengan panjang garis tengah, yang sama dengan rata-rata aritmatika alasnya. Pilihan lain untuk menentukan luas trapesium adalah dengan mengalikan diagonal-diagonalnya dan sinus sudut yang terletak di antara mereka.

Untuk kejelasan, anak-anak di sekolah dasar sering diberi tugas: menemukan luas gambar yang digambar di atas kertas menggunakan palet atau selembar kertas transparan, dibagi menjadi sel. Selembar kertas seperti itu ditumpangkan pada gambar yang diukur, jumlah sel penuh (unit area) yang sesuai dengan konturnya dihitung, kemudian jumlah sel yang tidak lengkap, yang dibagi dua.