Kumpulan teknologi umum dari suatu elemen produksi dapat berupa. Deskripsi produksi menggunakan seperangkat teknologi

2. Perangkat produksi dan fungsi produksi

2.1. Perangkat produksi dan propertinya

Mari kita pertimbangkan peserta terpenting dalam proses ekonomi - masing-masing produsen. Produsen mewujudkan tujuannya hanya melalui konsumen dan oleh karena itu harus menebak, memahami apa yang diinginkannya, dan memenuhi kebutuhannya. Kita asumsikan ada n barang yang berbeda, jumlah barang ke-n dilambangkan dengan x n, maka himpunan barang tertentu dilambangkan dengan X = (x 1, ..., x n). Kita hanya akan mempertimbangkan jumlah barang non-negatif, sehingga x i  0 untuk sembarang i = 1, ..., n atau X > 0. Himpunan semua himpunan barang disebut ruang barang C. Himpunan barang barang dapat diperlakukan sebagai keranjang di mana barang-barang tersebut berada dalam jumlah yang sesuai.

Misalkan perekonomian beroperasi pada ruang barang C = (X = (x 1, x 2, …, x n): x 1, …, x n  0). Ruang produk terdiri dari vektor-vektor berdimensi n non-negatif. Sekarang mari kita perhatikan sebuah vektor T berdimensi n, m komponen pertamanya adalah non-positif: x 1, …, x m  0, dan komponen terakhir (n-m) adalah non-negatif: x m +1, …, x n  0. Vektor X = (x 1,…, x m ) sebut saja vektor biaya, dan vektor Y = (x m+1 , …, x n) – vektor pelepasan. Sebut saja vektor T = (X,Y) vektor input-output, atau teknologi.

Artinya, teknologi (X,Y) adalah cara mengolah sumber daya menjadi produk jadi: dengan “mencampur” sumber daya sebesar X, kita memperoleh produk sebesar Y. Setiap produsen tertentu dicirikan oleh himpunan tertentu. teknologi, yang disebut set produksi. Himpunan berbayang yang khas ditunjukkan pada Gambar. 2.1. Pabrikan ini menggunakan satu produk untuk memproduksi produk lainnya.

Beras. 2.1. Perangkat produksi

Perangkat produksi mencerminkan luasnya kemampuan pabrikan: semakin besar, semakin luas kemampuannya. Perangkat produksi harus memenuhi ketentuan berikut:

tertutup - ini berarti jika vektor masukan-keluaran T didekati seakurat yang diinginkan oleh vektor-vektor dari τ, maka T juga termasuk dalam τ (jika semua titik dari vektor T terletak pada τ, maka Tτ lihat Gambar. 2.1 poin C dan B) ;

pada τ(-τ) = (0), yaitu jika Tτ, T ≠ 0, maka -Tτ – biaya dan output tidak dapat dipertukarkan, yaitu produksi merupakan proses yang tidak dapat diubah (himpunan – τ berada di kuadran keempat , dimana y adalah 0);

himpunannya cembung, asumsi ini menyebabkan penurunan pengembalian sumber daya yang diproses dengan peningkatan volume produksi (meningkatkan tingkat pengeluaran produk jadi). Jadi, dari Gambar. 2.1 jelas bahwa y/x  berkurang jika x  -. Secara khusus, asumsi konveksitas menyebabkan penurunan produktivitas tenaga kerja seiring dengan peningkatan output.

Seringkali konveksitas saja tidak cukup, dan kemudian diperlukan konveksitas yang ketat pada set produksi (atau sebagian darinya).

2.2. Kurva Kemungkinan Produksi

dan biaya peluang

Konsep rangkaian produksi yang sedang dipertimbangkan memiliki tingkat abstraksi yang tinggi dan, karena sifatnya yang sangat umum, tidak banyak berguna untuk teori ekonomi.

Perhatikan, misalnya, Gambar. 2.1. Mari kita mulai dengan poin B dan C. Biaya untuk teknologi ini sama, namun outputnya berbeda. Pabrikan, jika dia tidak memiliki akal sehat, tidak akan pernah memilih teknologi B, karena ada teknologi C yang lebih baik. Dalam hal ini (lihat Gambar 2.1), kita temukan untuk setiap x  0 titik tertinggi (x, y ) di set produksi. Jelasnya, pada biaya x, teknologi (x, y) adalah yang terbaik. Tidak ada teknologi (x, b) dengan fungsi produksi b. Definisi pasti dari fungsi produksi:

Y = f(x)(x, y) τ, dan jika (x, b)  τ dan b  y, maka b = x .

Dari Gambar. 2.1 jelas bahwa untuk sembarang x  0, titik y = f(x) adalah unik, yang sebenarnya memungkinkan kita membicarakan fungsi produksi. Namun situasinya sangat sederhana jika hanya satu produk yang diproduksi. Dalam kasus umum, untuk vektor biaya X kita menyatakan himpunan M x = (Y:(X,Y)τ). Tetapkan Mx – adalah himpunan semua kemungkinan keluaran dengan biaya X. Pada himpunan ini, pertimbangkan “kurva” kemungkinan produksi K x = (YM x: jika ZM x dan Z  Y, maka Z = X), yaitu K x – ini adalah banyak rilis terbaik, tidak ada yang lebih baik. Jika dua barang diproduksi, maka ini adalah kurva, tetapi jika lebih dari dua barang diproduksi, maka ini adalah permukaan, benda, atau himpunan yang berdimensi lebih besar.

Jadi, untuk setiap vektor biaya X, semua output terbaik terletak pada kurva kemungkinan produksi (permukaan). Oleh karena itu, demi alasan ekonomi, pabrikan harus memilih teknologi dari sana. Untuk kasus pelepasan dua barang y 1, y 2, gambarnya ditunjukkan pada Gambar. 2.2.

Jika kita beroperasi hanya dengan indikator fisik (ton, meter, dll.), maka untuk vektor biaya X tertentu kita hanya perlu memilih vektor keluaran Y pada kurva kemungkinan produksi, namun keluaran spesifik mana yang harus dipilih belum dapat diputuskan. Jika himpunan produksi τ itu sendiri cembung, maka M x juga cembung untuk sembarang vektor biaya X. Berikut ini, kita memerlukan konveksitas ketat dari himpunan M x. Dalam hal output dua barang, berarti garis singgung kurva kemungkinan produksi K x hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan kurva tersebut.

Beras. 2.2. Kurva kemungkinan produksi

Sekarang mari kita perhatikan pertanyaan yang disebut biaya peluang. Mari kita asumsikan keluaran tetap di titik A(y 1 , y 2), lihat Gambar. 2.2. Sekarang ada kebutuhan untuk meningkatkan output produk ke-2 sebesar y 2, tentu saja dengan menggunakan rangkaian biaya yang sama. Hal ini dapat dilakukan, seperti dapat dilihat dari Gambar. 2.2, mentransfer teknologi ke titik B, yang mana, dengan peningkatan output produk kedua sebesar y 2, maka output produk pertama perlu dikurangi sebesar y 1.

diperhitungkanbiayahasil kali pertama dengan hasil kali kedua pada titik tersebut A ditelepon
. Jika kurva kemungkinan produksi diberikan oleh persamaan implisit F(y 1 ,y 2) = 0, maka δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), dimana turunan parsial diambil di titik A. Jika diperhatikan lebih dekat pada gambar yang dimaksud, Anda akan menemukan pola yang menarik: ketika kurva kemungkinan produksi bergerak ke bawah dari kiri, biaya peluang turun dari nilai yang sangat besar ke nilai yang sangat kecil. .

2.3. Fungsi produksi dan sifat-sifatnya

Fungsi produksi adalah hubungan analitis yang menghubungkan nilai variabel biaya (faktor, sumber daya) dengan jumlah output. Secara historis, salah satu karya pertama mengenai konstruksi dan penggunaan fungsi produksi adalah analisis produksi pertanian di Amerika Serikat. Pada tahun 1909, Mitscherlich mengusulkan fungsi produksi nonlinier: pupuk - hasil. Secara independen, Spillman mengusulkan persamaan hasil eksponensial. Atas dasar itu, sejumlah fungsi produksi agroteknik lainnya dibangun.

Fungsi produksi dirancang untuk memodelkan proses produksi suatu unit ekonomi tertentu: suatu perusahaan, industri, atau seluruh perekonomian negara secara keseluruhan. Dengan bantuan fungsi produksi, masalah-masalah berikut dapat diselesaikan:

menilai pengembalian sumber daya dalam proses produksi;

memperkirakan pertumbuhan ekonomi;

mengembangkan pilihan untuk rencana pengembangan produksi;

mengoptimalkan fungsi unit bisnis dengan tunduk pada kriteria dan keterbatasan sumber daya tertentu.

Bentuk umum fungsi produksi: Y = Y(X 1, X 2, ..., X i, ..., X n), dimana Y merupakan indikator yang mencirikan hasil produksi; X – indikator faktor sumber daya produksi ke-i; n – jumlah indikator faktor.

Fungsi produksi ditentukan oleh dua kelompok asumsi: matematis dan ekonomi. Secara matematis, fungsi produksi diharapkan kontinu dan terdiferensiasi ganda. Asumsi ekonominya adalah sebagai berikut: jika tidak ada setidaknya satu sumber daya produksi, produksi tidak mungkin dilakukan, yaitu Y(0, X 2, ..., X i, ..., X n) =

Y(X 1 , 0, …, X saya , …, Xn) = …

Y(X 1, X 2, …, 0, …, Xn) = …

Y(X 1, X 2, …, X saya, …, 0) = 0.

Namun, tidak mungkin untuk menentukan satu-satunya output Y secara memuaskan untuk biaya X tertentu dengan menggunakan indikator alami: pilihan kita telah menyempit hanya pada “kurva” kemungkinan produksi K x . Oleh karena itu, hanya teori fungsi produksi produsen yang dikembangkan, yang keluarannya dapat dicirikan oleh satu nilai - baik volume keluaran, jika satu produk diproduksi, atau nilai total seluruh keluaran.

Ruang biaya berdimensi m. Setiap titik dalam ruang biaya X = (x 1, ..., x m) berhubungan dengan satu output maksimum (lihat Gambar 2.1) yang diproduksi dengan menggunakan biaya-biaya ini. Hubungan ini disebut fungsi produksi. Namun, fungsi produksi biasanya dipahami secara tidak terlalu ketat dan setiap hubungan fungsional antara input dan output dianggap sebagai fungsi produksi. Berikut ini, kita asumsikan bahwa fungsi produksi mempunyai turunan yang diperlukan. Fungsi produksi f(X) diasumsikan memenuhi dua aksioma. Yang pertama menyatakan bahwa ada subset dari ruang biaya yang disebut wilayah ekonomi E, dimana peningkatan input jenis apapun tidak menyebabkan penurunan output. Jadi, jika X 1, X 2 adalah dua titik pada daerah tersebut, maka X 1  X 2 menyatakan f(X 1)  f(X 2). Dalam bentuk diferensial, hal ini dinyatakan dalam kenyataan bahwa di daerah ini semua turunan parsial pertama dari fungsi tersebut adalah non-negatif: f/x 1 ≥ 0 (untuk setiap fungsi yang meningkat, turunannya lebih besar dari nol). Turunan ini disebut produk marjinal, dan vektor f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – vektor produk marjinal (menunjukkan berapa kali output produksi akan berubah ketika biaya berubah).

Aksioma kedua menyatakan bahwa ada himpunan bagian cembung S dari domain ekonomi yang himpunan bagiannya (XS:f(X)  a) cembung untuk semua a  0. Dalam himpunan bagian S ini, matriks Hessian terdiri dari turunan kedua dari fungsi f(X) , adalah pasti negatif, oleh karena itu,  2 f/x 2 i

Mari kita memikirkan isi ekonomi dari aksioma-aksioma ini. Aksioma pertama menyatakan bahwa fungsi produksi bukanlah fungsi abstrak yang ditemukan oleh seorang ahli teori matematika. Ini, meskipun tidak di seluruh wilayah definisinya, tetapi hanya sebagian saja, mencerminkan pernyataan yang penting secara ekonomi, tidak dapat disangkal dan sekaligus sepele: VDalam perekonomian yang wajar, peningkatan biaya tidak dapat menyebabkan penurunan output. Dari aksioma kedua kami hanya akan menjelaskan arti ekonomi dari persyaratan bahwa turunan  2 f/x 2 i kurang dari nol untuk setiap jenis biaya. Properti ini disebut dalam ilmu ekonomi di belakangHukum Pengembalian yang Menurun atau Diminishing Return: seiring dengan meningkatnya biaya, mulai dari momen tertentu (saat memasuki wilayah S!), sebesarproduk marjinal mulai menurun. Contoh klasik dari undang-undang ini adalah penambahan tenaga kerja yang semakin banyak pada produksi biji-bijian di sebidang tanah tertentu. Berikut ini, diasumsikan bahwa fungsi produksi dianggap pada wilayah S di mana kedua aksioma tersebut valid.

Anda dapat membuat fungsi produksi untuk perusahaan tertentu tanpa mengetahui apa pun tentangnya. Anda hanya perlu menempatkan counter (baik seseorang atau semacam perangkat otomatis) di gerbang perusahaan, yang akan mencatat X - sumber daya yang diimpor dan Y - jumlah produk yang telah diproduksi oleh perusahaan. Jika Anda mengumpulkan informasi statis dalam jumlah yang cukup dan memperhitungkan operasi perusahaan dalam berbagai mode, maka Anda dapat memprediksi output, hanya mengetahui volume sumber daya yang diimpor, dan ini adalah pengetahuan tentang fungsi produksi.

2.4. Fungsi produksi Cobb-Douglas

Mari kita perhatikan salah satu fungsi produksi yang paling umum - fungsi Cobb-Douglas: Y = AK  L , dengan A, ,  > 0 adalah konstanta,  + 

Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.

Negatifitas turunan parsial kedua, yaitu produk marjinal menurun: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.

Mari kita beralih ke karakteristik ekonomi dan matematika utama dari fungsi produksi Cobb-Douglas. Produktivitas tenaga kerja rata-rata didefinisikan sebagai y = Y/L – perbandingan volume produk yang dihasilkan dengan jumlah tenaga kerja yang dikeluarkan; produktivitas modal rata-rata k = Y/K – rasio volume produk yang dihasilkan dengan nilai dana.

Untuk fungsi Cobb-Douglas, produktivitas tenaga kerja rata-rata y = AK  L  , dan karena kondisi , dengan meningkatnya biaya tenaga kerja, produktivitas rata-rata tenaga kerja menurun. Kesimpulan ini memberikan penjelasan yang wajar - karena nilai faktor kedua K tetap tidak berubah, ini berarti bahwa angkatan kerja yang baru tertarik tidak diberikan alat produksi tambahan, yang menyebabkan penurunan produktivitas tenaga kerja (hal ini juga berlaku di kasus paling umum - pada tingkat set produksi).

Produktivitas tenaga kerja marjinal Y/L = AβK α L β -1 > 0, yang menunjukkan bahwa untuk fungsi Cobb-Douglas, produktivitas tenaga kerja marjinal sebanding dengan produktivitas rata-rata dan lebih kecil dari produktivitas rata-rata. Produktivitas modal rata-rata dan marjinal ditentukan dengan cara yang sama. Bagi mereka, rasio yang ditunjukkan juga valid - produktivitas modal marjinal sebanding dengan produktivitas modal rata-rata dan lebih kecil darinya.

Ciri-ciri penting adalah seperti rasio modal-tenaga kerja f = K/L, menunjukkan volume dana per pegawai (per unit tenaga kerja).

Sekarang mari kita cari elastisitas tenaga kerja dalam produksi:

(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.

Jadi maksudnya jelas parameter - Ini elastisitas (rasio produktivitas tenaga kerja marjinal terhadap produktivitas tenaga kerja rata-rata) dari output tenaga kerja. Elastisitas tenaga kerja dalam produksi berarti bahwa untuk meningkatkan output sebesar 1%, perlu meningkatkan volume sumber daya tenaga kerja sebesar %. Memiliki arti serupa parameter – adalah elastisitas produksi antar dana.

Dan satu makna lagi sepertinya menarik. Misalkan  +  = 1. Mudah untuk memeriksa bahwa Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (substitusikan Y/K, Y/L yang telah dihitung sebelumnya ke dalam rumus ini). Mari kita asumsikan bahwa masyarakat hanya terdiri dari pekerja dan pengusaha. Kemudian pendapatan Y dibagi menjadi dua bagian yaitu pendapatan pekerja dan pendapatan pengusaha. Karena pada ukuran perusahaan yang optimal, nilai Y/L - produk marjinal tenaga kerja - bertepatan dengan upah (hal ini dapat dibuktikan), maka (Y/L)L mewakili pendapatan pekerja. Demikian pula nilai Y/K adalah pengembalian modal marjinal, yang makna ekonominya adalah tingkat keuntungan, oleh karena itu, (Y/K)K mewakili pendapatan pengusaha.

Fungsi Cobb-Douglas adalah fungsi produksi yang paling terkenal. Dalam praktiknya, saat membangunnya, terkadang beberapa persyaratan dihilangkan (misalnya, jumlah  +  bisa lebih besar dari 1, dll.).

Contoh 1. Misalkan fungsi produksinya adalah fungsi Cobb-Douglas. Untuk meningkatkan output sebesar a = 3%, perlu menambah aktiva tetap sebesar b = 6% atau jumlah tenaga kerja sebesar c = 9%. Saat ini, satu pekerja menghasilkan produk senilai M = 10 4 rubel per bulan . , dan jumlah karyawan adalah L = 1000. Aset tetap dinilai K = 10 8 rubel. Temukan fungsi produksi.

Larutan. Mari kita cari koefisiennya , :  = a/b = 3/6 = 1/2,  = a/c = = 3/9 = 1/3, maka Y = AK 1/2 L 1/3. Untuk mencari A, kita substitusikan nilai K, L, M ke dalam rumus ini, dengan mengingat bahwa Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = SEBUAH(10 8) 1/2 1000 1/3. Jadi A = 100. Jadi, fungsi produksinya berbentuk: Y = 100K 1/2 L 1/3.

2.5. Teori perusahaan

Pada bagian sebelumnya, ketika menganalisis dan memodelkan perilaku pabrikan, kami hanya menggunakan indikator alami dan melakukannya tanpa harga, namun pada akhirnya kami tidak dapat memecahkan masalah pabrikan, yaitu menunjukkan satu-satunya tindakan yang harus dia lakukan saat ini. kondisi. Sekarang mari kita pertimbangkan harga. Misalkan P adalah vektor harga. Jika T = (X,Y) adalah suatu teknologi, yaitu vektor input-output, X adalah biaya, Y adalah output, maka hasil kali skalar PT = PX + PY adalah keuntungan penggunaan teknologi T (biaya adalah besaran negatif) . Sekarang mari kita merumuskan formalisasi matematis dari aksioma yang menggambarkan perilaku produsen.

Masalah pabrikan: Pabrikan memilih teknologi dari rangkaian produksinya, dengan tujuan memaksimalkan keuntungan . Jadi, pabrikan memecahkan masalah berikut: PT→max, Tτ. Aksioma ini sangat menyederhanakan situasi pilihan. Jadi, jika harga positif, dan hal ini wajar, maka komponen “output” dari solusi masalah ini secara otomatis akan terletak pada kurva kemungkinan produksi. Misalkan T = (X,Y) merupakan solusi terhadap masalah pabrikan. Lalu terdapat ZK x , Z  Y, oleh karena itu, P(X, Z)  P(X, Y), yang berarti titik (X, Z) juga merupakan solusi dari permasalahan pabrikan.

Untuk kasus dua jenis produk, masalahnya dapat diselesaikan secara grafis (Gbr. 2.3). Untuk melakukan ini, Anda perlu "memindahkan" garis lurus yang tegak lurus terhadap vektor P ke arah yang ditunjuknya; maka titik terakhir, ketika garis lurus ini masih memotong set produksi, akan menjadi solusinya (pada Gambar 2.3 ini adalah titik T). Seperti yang mudah dilihat, konveksitas ketat dari bagian produksi yang diperlukan di kuadran kedua menjamin keunikan solusi. Alasan yang sama berlaku dalam kasus umum, untuk sejumlah besar jenis input dan output. Namun, kami tidak akan mengikuti jalan ini, tetapi menggunakan peralatan fungsi produksi dan menyebut pabrikan sebagai perusahaan. Jadi, keluaran suatu perusahaan dapat dicirikan oleh satu nilai - baik volume keluaran, jika satu produk diproduksi, atau nilai total seluruh keluaran. Ruang biaya berdimensi m, vektor biaya X = (x 1, ..., x m). Biaya secara unik menentukan keluaran Y, dan hubungan ini adalah fungsi produksi Y = f(X).

Beras. 2.3. Memecahkan masalah pabrikan

Dalam situasi ini, mari kita nyatakan dengan P sebagai vektor harga biaya barang dan misalkan v adalah harga satu unit barang manufaktur. Oleh karena itu, keuntungan W, yang pada akhirnya merupakan fungsi dari X (dan harga, tetapi dianggap konstan), adalah W(X) = vf(X) – PX→max, X  0. Menyamakan turunan parsial dari fungsi W menjadi nol, kita peroleh:

v(f/x j) = p j untuk j = 1, …, m atau v(f/X) = P (2.1)

Kami berasumsi bahwa semua biaya benar-benar positif (biaya nol dapat dikecualikan dari pertimbangan). Kemudian titik yang diberikan oleh relasi (2.1) menjadi internal, yaitu titik ekstrem. Dan karena matriks Hessian dari fungsi produksi f(X) juga diasumsikan terdefinisi negatif (berdasarkan persyaratan fungsi produksi), ini adalah titik maksimumnya.

Jadi, dengan asumsi alami tentang fungsi produksi (asumsi ini terpenuhi untuk produsen yang berakal sehat dan dalam kondisi ekonomi yang wajar), relasi (2.1) memberikan solusi terhadap masalah perusahaan, yaitu menentukan volume X * sumber daya yang diproses, sehingga menghasilkan keluaran Y* = f(X*) Titik X*, atau (X*,f(X *)) disebut solusi optimal perusahaan. Mari kita memikirkan makna ekonomi dari hubungan (2.1). Sebagaimana dinyatakan, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) disebut vektor produk marjinal, atau vektor produk marjinal, dan f/x i disebut ke-i produk marjinal, atau melepaskan respons terhadap perubahan Saya -harga item. Oleh karena itu, vf/x i dx i adalah harga Saya -produk marjinal tambahan yang diperoleh dari dx saya unit Saya sumber daya. Namun, biaya dx i unit sumber daya ke-i sama dengan p i dx i , yaitu, keseimbangan telah diperoleh: dimungkinkan untuk melibatkan tambahan dx i unit sumber daya ke-i ke dalam produksi, menghabiskan p i dx i pada pembeliannya, tetapi tidak ada keuntungan, t Karena setelah memproses produk, kami akan menerima jumlah yang sama persis dengan yang kami belanjakan. Oleh karena itu, titik optimal yang diberikan oleh relasi (2.1) adalah titik keseimbangan - tidak mungkin lagi memeras lebih banyak barang-sumber daya daripada yang dihabiskan untuk pembeliannya.

Jelasnya, peningkatan output perusahaan terjadi secara bertahap: pada awalnya, biaya produk marjinal lebih kecil dari harga pembelian barang dan sumber daya yang dibutuhkan untuk produksinya. Volume produksi meningkat sampai hubungan (2.1) mulai terpenuhi: kesetaraan nilai produk marjinal dan harga pembelian barang dan sumber daya yang dibutuhkan untuk produksinya.

Mari kita asumsikan bahwa dalam permasalahan perusahaan W(X) = vf(X) – PX → max, X  0, solusi X * unik untuk v > 0 dan P > 0. Jadi, kita memperoleh fungsi vektor X * = X * ( v, P), atau fungsi x * I = x * i (v, p 1 , p m) untuk i = 1, …, m. Fungsi m ini disebut fungsi permintaan sumber daya pada harga tertentu untuk produk dan sumber daya. Intinya, fungsi-fungsi ini berarti bahwa jika harga P untuk sumber daya dan harga v untuk barang-barang yang diproduksi telah ditetapkan, produsen tertentu (ditandai dengan fungsi produksi tertentu) menentukan volume sumber daya yang diproses menggunakan fungsi x * I = x * i (v, p 1, pm) dan menanyakan volume ini di pasar. Mengetahui volume sumber daya yang diproses dan mensubstitusikannya ke dalam fungsi produksi, kita memperoleh output sebagai fungsi harga; mari kita nyatakan fungsi ini dengan q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . Itu disebut fungsi pasokan produk tergantung pada harga v untuk produk dan harga P untuk sumber daya.

A-priori, sumber daya tipe ke-i ditelepon bernilai kecil, jika dan hanya jika,x * i /v yaitu, ketika harga suatu produk meningkat, permintaan terhadap sumber daya bernilai rendah menurun. Hubungan penting dapat dibuktikan: q * /P = -X * /v atau q * /p i = -x * i /v, untuk i = 1, …, m. Akibatnya, kenaikan harga suatu produk menyebabkan peningkatan (penurunan) permintaan terhadap jenis sumber daya tertentu jika dan hanya jika peningkatan pembayaran untuk sumber daya tersebut menyebabkan penurunan (peningkatan) output optimal. Ini menunjukkan properti utama dari sumber daya bernilai rendah: peningkatan pembayaran untuk mereka menyebabkan peningkatan output! Namun, keberadaan sumber daya tersebut dapat dibuktikan secara tegas, peningkatan pembayaran yang menyebabkan penurunan output (yaitu, semua sumber daya tidak boleh bernilai rendah).

Dapat juga dibuktikan bahwa x * i /p i saling melengkapi jika x * i /p j dapat dipertukarkan jika x * i /p j > 0. Yaitu, untuk sumber daya pelengkap, kenaikan harga salah satunya menyebabkan penurunan permintaan sumber daya lainnya, dan untuk sumber daya yang dapat dipertukarkan, kenaikan harga salah satu sumber daya menyebabkan peningkatan permintaan sumber daya lainnya. Contoh sumber daya pelengkap: komputer dan komponennya, furnitur dan kayu, sampo dan kondisioner. Contoh sumber daya yang dapat dipertukarkan: gula dan pengganti gula (misalnya sorbitol), semangka dan melon, mayones dan krim asam, mentega dan margarin, dll.

Contoh 2. Untuk perusahaan dengan fungsi produksi Y = 100K 1/2 L 1/3 (dari contoh 1), tentukan ukuran optimal jika masa penyusutan aktiva tetap adalah N = 12 bulan, gaji karyawan per bulan adalah a = 1000 rubel .

Larutan. Besaran output atau volume produksi yang optimal diperoleh dari hubungan (2.1). Dalam hal ini, output diukur dalam satuan moneter, jadi v = 1. Biaya pemeliharaan bulanan satu rubel dana adalah 1/N, yaitu kita memperoleh sistem persamaan

, penyelesaian yang kita temukan jawabannya:
, L = 8 . 10 3, K = 144. 10 6.

2.6. Tugas

1. Misalkan fungsi produksi menjadi fungsi Cobb-Douglas. Untuk meningkatkan output sebesar 1%, perlu menambah aktiva tetap sebesar b = 4% atau jumlah tenaga kerja sebesar c = 3%. Saat ini, satu pekerja menghasilkan produk senilai M = 10 5 rubel per bulan . , dan jumlah pekerjanya adalah L = 10 4 . Aset tetap dinilai pada K = 10 6 rubel. Temukan fungsi produksi, produktivitas modal rata-rata, produktivitas tenaga kerja rata-rata, rasio modal-tenaga kerja.

2. Sekelompok “angkutan” sejumlah E memutuskan untuk bersatu dengan N penjual. Keuntungan dari satu hari kerja (pendapatan dikurangi pengeluaran, tetapi bukan upah) dinyatakan dengan rumus Y = 600(EN) 1/3. Gaji pekerja antar-jemput adalah 120 rubel. per hari, penjual - 80 rubel. dalam sehari. Temukan komposisi optimal dari kelompok “shuttle” dan penjual, yaitu berapa banyak “shuttle” yang harus ada dan berapa banyak penjual.

3. Seorang pengusaha memutuskan untuk mendirikan perusahaan angkutan truk kecil. Setelah membaca statistik, ia melihat bahwa perkiraan ketergantungan pendapatan harian pada jumlah mobil A dan jumlah N dinyatakan dengan rumus Y = 900A 1/2 N 1/4. Penyusutan dan pengeluaran harian lainnya untuk satu mesin adalah 400 rubel, gaji harian seorang pekerja adalah 100 rubel. Temukan jumlah pekerja dan kendaraan yang optimal.

4. Pengusaha memutuskan untuk membuka bar bir. Misalkan ketergantungan pendapatan Y (dikurangi biaya bir dan makanan ringan) pada jumlah meja M dan jumlah pelayan F dinyatakan dengan rumus Y = 200M 2/3 F 1/4. Biaya satu meja adalah 50 rubel, gaji pelayan adalah 100 rubel. Temukan ukuran bar yang optimal, yaitu jumlah pelayan dan meja.

Konsep sudah tidak asing lagi bagi setiap orang, karena ia dilahirkan dan hidup di antara sekumpulan benda yang menjadi ciri budaya material masyarakatnya. Bahkan keseluruhan teori ekonomi dimulai dengan uraian tentang himpunan mata pelajaran yang diberikan dalam karya tersebut, dengan membandingkan jumlah dan kuantitas benda serta jumlah profesi (teknologi) yang menentukan kekayaan suatu negara tertentu. Hal lainnya adalah bahwa semua teori sebelumnya menerima posisi ini secara aksiomatis, namun seiring dengan hilangnya minat terhadap konsep yang mereka pahami. arti dari kumpulan subjek-teknologi hanya sehubungan dengan yang terpisah.

Oleh karena itu, ini masih merupakan penemuan itu PTM terkait dengan, yang hanya kadang-kadang bisa bertepatan dengan perekonomian negara. Fenomena himpunan subjek-teknologi ternyata tidak sesederhana yang diperkirakan para ekonom. Dalam artikel ini tentang perangkat subjek-teknologi pembaca akan menemukan tidak hanya deskripsi set subjek-teknologi suka, tetapi juga sejarah pengakuan PTM sebagai ukuran untuk membandingkan perkembangan suatu negara.

set subjek-teknologi

Manusia sendiri adalah produk dari standar hidup yang cukup tinggi, yang dicapai oleh hominid stepa berkat kemunculan beberapa hewan yang stabil dalam kawanannya. Jika pengumpulan primata, sebagai cara memperoleh sumber daya dari wilayah kompleks alam, tidak memerlukan upaya gabungan dari beberapa individu, maka perburuan hewan berkuku besar, yang menjadi cara utama untuk menjamin keberadaan hominid selama perkembangannya. stepa, merupakan kegiatan yang terorganisir secara kompleks dengan pembagian peran di antara beberapa peserta.

Pada saat yang sama, hominid stepa berukuran kecil tidak memungkinkan mereka membunuh hewan besar tanpa alat berburu, bahkan sebagai bagian dari kelompok. Namun di stepa, batu-batu dengan bentuk yang sesuai tidak berserakan dimana-mana dan sulit menemukan tongkat yang diasah, sehingga hominid harus membawa alat berburu. Bersama dengan pakaian yang muncul bersamaan dengan berjalan tegak, yang mengakibatkan hilangnya rambut, dan hanya karena iklim stepa yang sejuk, Flocks-TRIBES memperoleh satu set tertentu, dengan kata lain - banyak- item, yang kehadirannya memberikan tingkat keberadaan bebas kelaparan kepada anggota.

Manusia muncul dengan kemewahan, yaitu benda-benda yang sebelumnya tidak dimiliki oleh hominid - baik untuk sekadar mengambil benda-benda dari Alam yang menarik minat mereka, atau memproduksinya dengan tenaga kerja, karena tidak ada kebutuhan atau kemampuan untuk terus-menerus membawanya. mereka. Barang mewah mencakup semua alat yang ditingkatkan Lagi pula, bagi manusia, sebagai salah satu spesies mamalia, seperangkat barang-barang penting untuk kehidupan sudah cukup, yang produksinya sepenuhnya dijamin oleh berbagai benda yang dimiliki hominid dalam kemasannya. Sebagai makhluk biologis, manusia, jutaan tahun yang lalu, dapat dan memang hidup di atas tingkat hominid dengan variasi objek yang sama, tetapi pada manusia ia begitu kuat sehingga manusia tidak berhenti pada tingkat hominid, sebagaimana mestinya. bagi suatu spesies hewan yang telah mencapai tingkat kemakmuran. Masyarakat tidak mempunyai kesempatan untuk memperbaiki kondisi kehidupan di lingkungan alam, sehingga mereka mulai menciptakan lingkungan buatan sendiri dari objek kerja.

Dalam suku manusia, pengaruh yang diwarisi dari hominid terus beroperasi, yang kawanannya adalah konsumen pertama dari kemewahan apa pun (bulu yang indah sebagai contoh "pesona") hanya bisa menjadi pemimpin. Ketika pemimpin memiliki banyak bulu, dia memberikannya kepada rekan - anggotanya yang berstatus tinggi. Seperti latihan pemberian hadiah di antara anggota suku yang tersisa, hal ini memunculkan keyakinan bahwa memiliki item yang digunakan oleh pemimpin akan meningkatkan status pemilik dalam hierarki. Konsumsi yang sesuai dengan status memaksa para petinggi masyarakat menuntut barang-barang termewah.

Di saat yang sama, banyak anggota berpangkat rendah yang siap berkorban banyak demi mendapatkan sesuatu dari hierarki, karena kepemilikan benda-benda ini memungkinkan mereka merasakan peningkatan status mereka di depan orang lain. Dengan demikian, hal-hal yang pertama kali muncul dalam kehidupan sehari-hari para hierarki, dalam bentuk salinan, menjadi objek konsumsi bagi anggota berstatus tinggi, dan nafsu dari anggota lain dengan naluri hierarki yang kuat menyebabkan produksi massal, yang menurunkan harga, membuat sesuatu yang dapat diakses oleh setiap anggota komunitas. Perlombaan untuk mendapatkan hal-hal bergengsi ini terus berlanjut selama ribuan tahun, menambah variasi benda, sehingga kini kita hidup dikelilingi oleh jutaan benda yang membuat hidup manusia HANYA JAUH LEBIH NYAMAN dibandingkan gaya hidup nenek moyang hominid.

Namun secara biologis, manusia tetaplah hominid yang sama dengan naluri hierarkis, yang ia wujudkan dalam bidang yang disebut -. Kumpulan subjek-teknologi Perbedaan lain antara manusia dan hewan adalah habitat buatan baru yang diciptakan manusia berkat kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi, yang merupakan kekuatan pendorongnya. Seperti kita lihat, tidak ada yang sakral dalam PEMBANGUNAN EKONOMI, yang ada hanyalah kepuasan yang merupakan salah satu naluri.

Kita dapat mengatakan bahwa itu akrab bagi setiap orang, karena ia dilahirkan dan hidup dikelilingi oleh banyak objek, tetapi gagasan tentang kumpulan teknologi objek muncul ketika mereka memutuskan. membandingkan kekayaan negara bagian yang berbeda. Dan di sini set subjek-teknologi ternyata menjadi indikator yang jelas tentang kekayaan atau tingkat pembangunan. Dalam satu kasus, perbandingan berdasarkan jangkauan dimungkinkan - mis. dengan jumlah objek yang berbeda, yang memungkinkan untuk mengkarakterisasi perkembangan masyarakat yang sama selama periode waktu tertentu (yang dijelaskan dalam topik kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi). Dalam kasus lain, kita dapat mengatakan demikian satu masyarakat lebih kaya dari masyarakat lainnya, tetapi kemudian Anda harus menambahkan karakteristik kualitas dan keunggulan teknologi dari item yang dibandingkan ke parameter bermacam-macam (ini dipelajari dalam topik -). Namun, sebagai suatu peraturan, dalam kumpulan objek masyarakat yang lebih kaya, objek-objek baru yang secara fundamental muncul, yang dalam pembuatannya menggunakan teknologi baru. Hubungan antara produk-produk baru yang lebih maju dan fundamental serta teknologi-teknologi baru cukup jelas, oleh karena itu, yang dimiliki suatu masyarakat tertentu, tidak hanya mengandaikan daftar barang-barang, tetapi juga seperangkat teknologi, memungkinkan produksi produk-produk ini dalam lingkup produksi masyarakat tertentu.

Menurut teori ekonomi lama, unit perekonomian adalah perekonomian suatu negara yang berdaulat. Populasi negaralah yang dianggap sebagai komunitas yang perangkat subjek-teknologinya ditentukan oleh kemampuan perekonomian suatu negara bagian untuk memproduksi semua barang tersebut. Dan hubungan dengan teknologi diasumsikan bersifat mekanis - secara harfiah, jika negara memiliki teknologi, maka tidak ada yang menghalangi produksi produk yang sesuai dengannya.

Namun, dengan munculnya sistem pembagian kerja global, ketidakakuratan dalam mengidentifikasi perekonomian suatu negara dengan komunitas masyarakat yang memiliki atribut seperti set subjek-teknologi. Faktanya adalah bahwa di negara-negara yang berpartisipasi dalam pembagian kerja internasional, sebagian besar komponen, suku cadang, dan suku cadang dari mana produk jadi dirakit di sini bahkan mungkin tidak boleh diproduksi di wilayah negara bagian ini dan sebaliknya, hanya sebagian saja yang diproduksi, tetapi produk akhir tidak diproduksi.

Di sini harus dikatakan demikian ketidakkonsistenan KETERSEDIAAN teknologi dan KEMUNGKINAN untuk menghasilkan beberapa produk berdasarkan teknologi tersebut - sudah ada SEBELUM pembagian kerja internasional, tetapi ilmu ekonomi lama ketidakkonsistenan Saya tidak menyadarinya, terlebih lagi - dalam pemahaman teori sebelumnya - perekonomian semua negara bagian adalah setara (perbedaannya hanya diterima dalam ukuran - yang satu bisa lebih besar atau lebih kecil dari yang lain) dan segera setelah teknologi diberikan, KEMUNGKINAN untuk menghasilkan apa pun segera muncul.

Fakta bahwa praktik menyangkal asumsi teoretis ini tidak menghalangi ilmu ekonomi lama untuk memberikan resep bagi negara-negara berkembang untuk membangun fasilitas produksi dengan kompleksitas teknologi apa pun. Contoh yang sangat umum adalah Rumania, yang menurut para ekonom, tidak memiliki hambatan untuk mencapai tingkat Amerika Serikat, setidaknya dalam bidang produksi, meskipun jelas bahwa dalam rangka menciptakan keragaman subjek-teknologi Rumania untuk menjadi sebesar Amerika Serikat memerlukan jumlah orang yang berproduksi setidaknya sama banyaknya. Namun, jika keragaman barang dan teknologi di Amerika Serikat melebihi jumlah penduduk Rumania, maka tidak jelas siapa di wilayah Rumania yang mampu memproduksi barang sebanyak itu.

ADA batasan obyektif terhadap pembangunan - dan kemungkinan besar batasan tersebut tidak hanya disebabkan oleh besarnya sistem pembagian kerja yang dapat diciptakan di negara tersebut (misalnya, India, di mana jumlah penduduknya secara teoritis memungkinkan Anda menciptakan yang terbesar di dunia. , tapi dari kemungkinan teoritis - India belum menjadi lebih kaya), dan di . Misalnya, Finlandia dalam waktu singkat berhasil menduduki posisi negara paling maju dalam produksi ponsel. Namun ponsel Nokia yang diproduksi tidak semuanya tetap berada dalam kelompok teknologi di Finlandia; mereka melengkapi kelompok subjek di banyak negara. Oleh karena itu kita harus menyimpulkan - kekuatan set subjek-teknologi Suatu produk tertentu tidak terlalu ditentukan oleh jumlah orang yang dipekerjakan dalam produksi, tetapi lebih ditentukan oleh ukuran pasar (jumlah produk bergantung padanya), dan yang paling penting, oleh adanya PERMINTAAN yang efektif secara massal. produk.

Seperti yang Anda lihat sekarang - konsep himpunan subjek-teknologi tidak sesederhana kelihatannya. Pertama, kita sekarang memahami hal itu set subjek-teknologi agak terkait dengan suatu sistem pembagian kerja, dan bukan dengan negara (dalam arti tertentu, meskipun secara historis set subjek-teknologi kita peroleh dari kumpulan tujuan, yang merupakan yang pertama). Sistem ini bisa saja bagian dalam atau luar supersistem dalam kaitannya dengan populasi. Kedua, bayangkan set subjek-teknologi kita bisa, jika benda tersebut memiliki jangkauan yang dapat dihitung - jika tidak, jumlah objek yang berbeda di dalamnya terbatas, yang berarti pada saat tertentu dapat dihitung jumlah orang yang terbatas di dalam komunitas. Jika yang kami maksud dengan memiliki komunitas PMT, suatu sistem pembagian kerja, maka kita harus berbicara tentang KETERTUTUSANnya, karena benda-benda dari himpunan tersebut diproduksi dan dikonsumsi dalam sistem ini.

Milikmu ilmiah artinya kumpulan subjek-teknologi menerima dengan pembukaan objek baru dalam perekonomian, yang disebut , yang mewakili tertutup, di mana barang-barang yang diproduksi juga dikonsumsi di dalamnya. Contoh kompleks reproduksi ada di sini, tetapi yang berikut ini - seperti, dan khususnya - dapat memiliki kombinasi beberapa.

Istilah himpunan subjek-teknologi sudah digunakan dalam karya pertamanya, ketika ia menjadi tertarik pada interaksi negara maju dan berkembang. Saat itulah saya mulai menggunakan istilah kumpulan subjek-teknologi, sebagai ciri tertentu dari sistem pembagian kerja yang berkembang di berbagai negara. Maka tidak begitu jelas entitas apa yang terhubung dengannya PMT, Itu sebabnya istilah kumpulan subjek-teknologi digunakan untuk mengkarakterisasi negara bagian saat membandingkannya. Di sini saya mengikuti pendiri ekonomi politik, yang dalam karyanya membandingkan kesejahteraan suatu negara sebagai perbandingan jumlah dan volume produk yang dihasilkan oleh tenaga kerja warga negara.

Kelayakan penggunaan konsep PMT ke negara - tetap, tetapi pembaca harus ingat - set subjek-teknologi mencirikan tertutup suatu sistem pembagian kerja, yang dalam beberapa model mungkin berarti perekonomian satu negara merdeka.

Pertanyaan lain yang terkait langsung dengan ramalan masa kini - Bisakah variasi subjek-teknologi berkurang? Jawabannya tentu bisa, meski banyak orang beranggapan bahwa ilmu pengetahuan dan teknologi maju hanya bisa meningkat kekuatan set subjek-teknologi, jika dilihat sebagai atribut negara. Jelas bahwa beberapa benda secara alami menghilang dari kehidupan sehari-hari masyarakat, yang lain telah diperbaiki sedemikian rupa sehingga tidak lagi menyerupai prototipe sejarahnya. Proses alami ini dikaitkan dengan munculnya teknologi baru, tetapi seperti yang ditunjukkan oleh sejarah Kekaisaran Romawi - set subjek-teknologi bisa mengecil seiring dengan terlupakannya segala pencapaian teknologi, jika sistem pembagian kerja yang menggantikannya tidak mampu menjamin reproduksi PTM secara keseluruhan.

Pada awal era kita, krisis demografi dimulai di Eropa, sehingga suku-suku tidak dapat bersatu, dan keinginan untuk menghilangkan kelebihan populasi menyebabkan perampasan tanah. Negara-negara mulai berkembang di pinggiran Kekaisaran Romawi, dan ternyata Roma Kuno (seperti Yunani Kuno) adalah cabang dari kekaisaran timur di benua Eropa. Masyarakat Pribumi Eropa sedang memasuki masa alami pembentukan negara, yang di Eropa, karena jumlah awal penduduk yang mengembangkannya, telah bergeser berabad-abad kemudian dibandingkan di TIMUR. Kekaisaran Romawi tidak memiliki kesempatan untuk menolak keinginan suku-suku tersebut untuk berekspansi, dan hilangnya wilayah menghancurkan sistem pembagian kerja yang sudah mapan, yang keruntuhannya menyebabkan hilangnya permintaan akan produk-produk sehari-hari Romawi. Runtuhnya kumpulan subjek begitu besar sehingga banyak ahli teknologi Romawi benar-benar dilupakan dan baru ditemukan kembali setelah satu milenium, dan standar hidup yang ada di kota-kota Roma Kuno kembali dicapai di Eropa hanya pada abad ke-19, misalnya. , air mengalir di lantai atas gedung bertingkat.

Saya menguraikan nuansa utama konsep tersebut set subjek-teknologi, tapi harus memimpin definisi himpunan subjek-teknologi dari Glosarium resmi Neoekonomi:

KONSEP GANDA SUBJEK-TEKNOLOGI (PTM)

Ini GANDA SUBJEK-TEKNOLOGI terdiri dari benda-benda (produk, bagian, jenis bahan baku) yang benar-benar ada dalam suatu sistem pembagian kerja tertentu, yaitu diproduksi oleh seseorang dan karenanya dikonsumsi – dijual di pasar atau didistribusikan. Adapun bagian-bagiannya tidak boleh berupa barang, melainkan bagian dari barang.

Bagian lain dari himpunan ini adalah seperangkat teknologi, yaitu metode memproduksi barang yang dijual di pasar - dari dan/atau dengan - menggunakan barang-barang yang termasuk dalam himpunan ini. Artinya, pengetahuan tentang urutan tindakan yang benar dengan elemen material dari himpunan.

Dalam setiap periode waktu yang kita miliki set subjek-teknologi(PTM) berbeda kekuatannya. Ketika pembagian kerja semakin mendalam PTM sedang berkembang.

Pentingnya konsep ini ditentukan oleh fakta bahwa PTM menentukan kemungkinan kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi. saat Malang PTM penemuan-penemuan baru, meskipun dapat diimplementasikan dalam bentuk prototipe, pada umumnya tidak mempunyai peluang untuk diproduksi secara seri jika memerlukan produk atau teknologi tertentu yang tidak tersedia di pasaran. PTM. Ternyata harganya terlalu mahal.

Materi terkait

Hanya di depanmu saja kutipan dari Bab No. 8 buku The Age of Growth, di mana memberi deskripsi set subjek-teknologi:

Mari kita perkenalkan konsep himpunan subjek-teknologi. Himpunan ini terdiri dari benda-benda (produk, suku cadang, jenis bahan baku) yang benar-benar ada, yaitu diproduksi oleh seseorang dan karenanya dijual di pasar. Adapun bagian-bagiannya tidak boleh berupa barang, melainkan bagian dari barang. Bagian kedua dari himpunan ini terdiri dari teknologi, yaitu metode memproduksi barang yang dijual di pasar dari dan dengan bantuan barang-barang yang termasuk dalam himpunan ini. Itu adalah pengetahuan tentang urutan tindakan yang benar dengan elemen material dari himpunan.

Dalam setiap periode waktu kita memiliki kekuatan yang berbeda set subjek-teknologi (PTM). Ngomong-ngomong, itu tidak hanya bisa berkembang. Beberapa barang tidak lagi diproduksi, beberapa teknologi hilang. Mungkin gambar dan deskripsinya tetap ada, tetapi kenyataannya, jika diperlukan secara tiba-tiba, restorasi elemennya PTM mungkin merupakan proyek yang kompleks, pada dasarnya merupakan penemuan baru. Mereka mengatakan bahwa ketika di zaman kita mereka mencoba mereproduksi mesin uap Newcomen, diperlukan upaya yang sangat besar untuk membuatnya berfungsi. Namun pada abad ke-18, ratusan mesin ini bekerja dengan cukup sukses.

Namun, secara umum, PTM Untuk saat ini sedang berkembang. Mari kita soroti dua kasus ekstrem mengenai bagaimana perluasan ini dapat terjadi. Yang pertama adalah inovasi murni, yaitu produk yang benar-benar baru yang dibuat menggunakan teknologi yang sebelumnya tidak diketahui dari bahan mentah yang benar-benar baru. Entahlah, saya curiga kasus ini tidak pernah terjadi dalam kenyataan, tapi anggap saja ini bisa terjadi.

Kasus ekstrim kedua adalah ketika elemen-elemen baru dari suatu himpunan dibentuk sebagai kombinasi dari elemen-elemen yang sudah ada PTM. Kasus seperti ini tidak jarang terjadi. Schumpeter melihat inovasi sebagai kombinasi baru dari apa yang sudah ada. Mari kita ambil komputer pribadi yang sama. Dalam arti tertentu, hal-hal tersebut tidak dapat dikatakan “diciptakan”. Semua komponennya sudah ada, dan digabungkan secara sederhana dengan cara tertentu.

Jika kita dapat membicarakan penemuan apa pun di sini, hipotesis awal: "mereka akan membeli barang ini" sepenuhnya dapat dibenarkan. Meskipun jika dipikir-pikir, hal itu sama sekali tidak jelas, dan kehebatan penemuan ini justru terletak pada hal ini.

Seperti yang kami pahami, sebagian besar item baru PTM mewakili kasus campuran: lebih dekat ke kasus pertama atau kedua. Jadi, menurut saya, tren historisnya adalah bahwa pangsa penemuan yang mendekati jenis pertama semakin berkurang, dan penemuan yang mendekati jenis kedua semakin meningkat.

Secara umum, berdasarkan cerita saya tentang perangkat seri ini A dan perangkat B Sudah jelas mengapa hal ini terjadi. Untuk lebih jelasnya, lihat Bab 8 buku ini dengan mengklik tombol:

Serangkaian formalisasi semua vektor keluaran bersih yang layak secara teknologi.

Definisi

Biarkan perekonomian memilikinya $N$ Bagus Dalam proses produksinya $N$ manfaat dibelanjakan. Mari kita nyatakan vektor manfaat (biaya) ini $X$(dimensi vektor $N$). Lainnya $m=N-n$ barang yang dikeluarkan dalam proses produksi (dimensi vektornya adalah $M$). Mari kita nyatakan vektor manfaat ini $kamu$. Kemudian vektornya $z=(-x,y)$(dimensi - $N$) disebut vektor masalah bersih. Totalitas dari semua vektor keluaran bersih yang layak secara teknologi adalah perangkat teknologi. Faktanya, ini adalah bagian dari ruang $R^N$.

Bagi pembaca yang kesulitan dengan konsep vektor, ada banyak:

vektor - daftar barang, setiap barang dijelaskan berdasarkan kuantitasnya, sekumpulan angka;

semua barang yang dikonsumsi dalam produksi dicatat pada awal vektor keluaran bersih z dengan tanda minus (-x), barang yang diproduksi dengan tanda tambah (y);

semua kombinasi yang mungkin untuk produksi membentuk seperangkat teknologi (kombinasi produksi).

Properti

• Non-kekosongan: perangkat teknologi tidak kosong. Ketidakkosongan berarti kemungkinan produksi yang mendasar.
• Penerimaan atas ketidakaktifan: vektor nol milik himpunan teknologi. Properti formal ini berarti bahwa output nol pada input nol dapat diterima.
• Ketertutupan: himpunan teknologi mempunyai batasannya sendiri dan limit dari setiap rangkaian vektor keluaran bersih yang layak secara teknologi juga termasuk dalam himpunan teknologi tersebut.
• Kebebasan untuk membelanjakan uang: jika vektor yang diberikan $z$ milik himpunan teknologi, maka vektor apa pun menjadi miliknya $z"\backslash leqslant\; z$. Artinya secara formal volume output yang sama dapat diproduksi dengan biaya lebih tinggi.
• Tidak adanya "tumpah ruah": dari vektor non-negatif keluaran bersih, hanya vektor nol yang termasuk dalam himpunan teknologi. Artinya, diperlukan biaya yang tidak nol untuk menghasilkan kuantitas output yang positif.
• Tidak dapat diubah: untuk vektor apa pun yang valid $z$, vektor berlawanan $-z$ bukan milik perangkat teknologi. Artinya, tidak mungkin menghasilkan sumber daya dari produk manufaktur dalam jumlah yang sama dengan yang digunakan untuk menghasilkan produk tersebut.
• Aditivitas: Jumlah dua vektor valid juga merupakan vektor valid. Artinya, kombinasi teknologi diperbolehkan.
• Properti yang terkait dengan pengembalian skala produksi:
  • Skala hasil yang tidak meningkat: untuk siapa pun $\backslash lambda\; \backslash dalam\; (0;1)$ $\backslash lambda\; z$
  • Skala hasil yang tidak berkurang: untuk siapa pun $\backslash lambda\; >1$ jika z termasuk dalam himpunan teknologi, maka $\backslash lambda\; z$ juga termasuk dalam rangkaian teknologi.
  • Skala pengembalian yang konstan: pemenuhan dua sifat sebelumnya secara simultan, yaitu untuk sembarang sifat positif $\backslash lambda$ Jika $z$ milik perangkat teknologi, kalau begitu $\backslash lambda\; z$ juga termasuk dalam rangkaian teknologi. Properti pengembalian konstan berarti bahwa perangkat teknologi berbentuk kerucut.

8. Cembung: untuk dua vektor yang valid $z\_1,\; z\_2$ Vektor apa pun juga valid $\backslash alpha\; z\_1\; +(1-\backslash alpha)z\_2$, Di mana . Properti konveksitas berarti kemampuan untuk “mencampur” teknologi. Secara khusus, hal ini terpenuhi jika rangkaian teknologi memiliki sifat aditif dan skala hasil yang tidak meningkat. Apalagi dalam hal ini himpunan teknologinya adalah kerucut cembung.

Teknologi yang efisien menetapkan batasan

Teknologi yang dapat diterima $z$ ditelepon efektif, jika tidak ada teknologi lain yang dapat diterima selain itu $z"\backslash geqslant\; z$. Banyak teknologi efektif terbentuk perbatasan yang efisien perangkat teknologi.

Jika kondisi kebebasan berbelanja dan ketertutupan perangkat teknologi terpenuhi, maka tidak mungkin meningkatkan produksi suatu barang secara terus-menerus tanpa mengurangi output barang lainnya. Dalam hal ini, untuk teknologi apa pun yang dapat diterima $z$ ada teknologi yang efektif $z"\; \backslash geqslant\; z$. Dalam hal ini, alih-alih keseluruhan rangkaian teknologi, hanya batas efektifnya yang dapat digunakan. Biasanya, batas efisien dapat diberikan oleh beberapa fungsi produksi.

Fungsi produksi

Mari kita pertimbangkan teknologi produk tunggal $(-x,y)$, Di mana $kamu$- vektor dimensi $m=1$, A $X$- vektor biaya dimensi $N$. Pertimbangkan setnya $X$, yang mencakup semua kemungkinan vektor biaya $X$, sehingga untuk semua orang $X$ ada $kamu$, sehingga vektor keluaran bersih $(-x,y)$ termasuk dalam rangkaian teknologi.

Fungsi numerik $f(x)$ pada $X$ ditelepon fungsi produksi, jika untuk setiap vektor biaya tertentu $X$ arti $f(x)$ mendefinisikan nilai maksimum dari output yang diizinkan $kamu$(sehingga vektor keluaran bersih (-x,y) termasuk dalam rangkaian teknologi).

Setiap titik batas efektif himpunan teknologi dapat direpresentasikan dalam bentuk $(-x,f(x))$, dan berlaku sebaliknya jika $f(x)$ adalah fungsi meningkat (dalam hal ini $kamu=f(x)$- persamaan batas efektif). Jika suatu himpunan teknologi mempunyai sifat kebebasan berbelanja dan dapat digambarkan dengan fungsi produksi, maka himpunan teknologi tersebut ditentukan berdasarkan pertidaksamaan. $y\backslash leqslant\; f(x)$.

Agar suatu himpunan teknologi dapat dispesifikasikan menggunakan fungsi produksi, cukuplah untuk sembarang teknologi $X$ sekelompok $F(x)$ keluaran yang diperbolehkan pada biaya tertentu $X$, terbatas dan tertutup. Secara khusus, kondisi ini terpenuhi jika rangkaian teknologi memiliki sifat penutupan, skala hasil yang tidak meningkat, dan tidak adanya tumpah ruah.

Jika himpunan teknologi berbentuk cembung, maka fungsi produksinya cekung dan kontinu di bagian dalam himpunan $X$. Jika kondisi kebebasan berbelanja terpenuhi, maka $f(x)$ adalah fungsi yang tidak menurun (dalam hal ini, kecekungan fungsi juga menyiratkan konveksitas himpunan teknologi). Akhirnya, jika kondisi tidak adanya tumpah ruah dan diterimanya ketidakaktifan terpenuhi secara bersamaan, maka $f(0)=0$.

Jika fungsi produksi terdiferensiasi, maka dimungkinkan untuk mendefinisikan fungsi lokal elastisitas skala dengan cara yang setara berikut:

$e(x)=\backslash frac\; (d\; f(\backslash lambda\; x))(d\; \backslash lambda)\; \backslash cdot\; \backslash frac\; (\backslash lambda)(f(x))|\_(\backslash lambda=1)=\backslash frac\; (f"(x\; )x)(f(x))$

Di mana $f"(x)$ adalah vektor gradien dari fungsi produksi.

Setelah menentukan elastisitas skala, dapat ditunjukkan bahwa jika suatu perangkat teknologi mempunyai sifat skala hasil konstan, maka $e(x)=1$, jika terdapat skala hasil yang semakin berkurang, maka $e(x)\backslash leqslant\; 1$, jika meningkatkan keuntungan, maka $e(x)\backslash geqslant\; 1$.

Tantangan pabrikan

Jika vektor harga diberikan $P$, lalu produknya $hal$ mewakili keuntungan produsen. Tugas pabrikan adalah menemukan vektor tersebut $z$, sehingga untuk vektor harga tertentu keuntungannya maksimal. Kami menunjukkan himpunan harga barang di mana masalah ini memiliki solusinya $P$. Dapat ditunjukkan bahwa untuk rangkaian teknologi yang tidak kosong dan tertutup dengan skala hasil yang tidak meningkat, masalah produsen mempunyai solusi pada rangkaian harga. $P$, memberikan keuntungan negatif pada apa yang disebut terdesak arah (ini adalah vektor $z$ perangkat teknologi, yang untuk non-negatif apa pun $\backslash lambda$ vektor $\backslash lambda\; z$ juga termasuk dalam rangkaian teknologi). Khususnya, jika himpunan arah resesif bertepatan dengan $R^N\_-$, maka ada solusi untuk setiap harga positif.

Fungsi keuntungan $\backslash pi(p)$ didefinisikan sebagai $pz(p)$, Di mana $z(p)$- memecahkan masalah pabrikan pada harga tertentu (inilah yang disebut fungsi penawaran, mungkin multi-nilai). Fungsi keuntungannya homogen positif (derajat pertama), yaitu $\backslash pi(\backslash lambda\; p)=\backslash lambda\; \backslash pi(p)$ dan terus menerus di dalam $P$. Jika himpunan teknologi sangat cembung, maka fungsi keuntungan juga dapat terdiferensiasi secara kontinyu. Jika himpunan teknologi tertutup, maka fungsi keuntungannya cembung pada sembarang subset cembung dari harga yang dapat diterima $P$.

Fungsi kalimat (tampilan) $z(p)$ homogen positif berderajat nol. Jika himpunan teknologi benar-benar cembung, maka fungsi suplai bernilai tunggal di P dan kontinu di bagian dalam $P$. Jika suatu fungsi suplai terdiferensiasi dua kali, maka matriks Jacobian dari fungsi tersebut adalah simetris dan pasti non-negatif.

Jika himpunan teknologi diwakili oleh fungsi produksi, maka keuntungan didefinisikan sebagai $pf(x)-wx$, Di mana $w$- vektor harga faktor produksi, $P$ dalam hal ini, harga produk yang diproduksi. Kemudian untuk solusi internal apa pun (yaitu milik interior $X$) masalah produsen adil: kesetaraan produk marjinal setiap faktor terhadap harga relatifnya, yaitu dalam bentuk vektor $f"(x)=w/p$.

Jika fungsi keuntungan diberikan $\backslash pi(p)$, yang merupakan fungsi (derajat pertama) yang dapat terdiferensiasi dua kali secara kontinyu, cembung, dan homogen positif, maka himpunan teknologi dapat direkonstruksi sebagai himpunan yang memuat vektor harga non-negatif $P$ vektor rilis bersih $z$, memuaskan ketimpangan $pz\backslash leqslant\backslash pi(p)$. Dapat juga ditunjukkan bahwa jika fungsi penawaran homogen positif berderajat nol dan matriks turunan pertamanya kontinu, simetris, dan pasti non-negatif, maka fungsi laba yang bersangkutan memenuhi persyaratan di atas (kebalikannya juga benar).

Lihat juga

Tulis ulasan tentang artikel "Perangkat Teknologi"

literatur

Kutipan yang mencirikan perangkat Teknologi

Tiba-tiba Pangeran Hippolyte berdiri dan, menghentikan semua orang dengan isyarat tangan dan meminta mereka duduk, berbicara:
- Ah! aujourd"hui on m"a raconte une anecdote moscovite, charmante: il faut que je vous en regale. Maafkan saya, saya tahu, kesalahan itu adalah raconte en russe. Autrement on ne sentira pas le sel de l'histoire. [Hari ini saya diberitahu lelucon Moskow yang menawan; Anda perlu mengajari mereka. Maaf, Viscount, saya akan menceritakannya dalam bahasa Rusia, jika tidak, inti leluconnya akan hilang.]
Dan Pangeran Hippolyte mulai berbicara bahasa Rusia dengan aksen yang digunakan orang Prancis ketika mereka telah berada di Rusia selama setahun. Semua orang terdiam: Pangeran Hippolyte begitu bersemangat dan mendesak meminta perhatian pada ceritanya.
– Ada seorang wanita di Moskow, une dame. Dan dia sangat pelit. Dia perlu memiliki dua valet de pied [bujang] untuk gerbongnya. Dan sangat tinggi. Itu sesuai dengan keinginannya. Dan dia mempunyai une femme de chambre [pelayan], yang masih sangat tinggi. Dia berkata…
Di sini Pangeran Hippolyte mulai berpikir, tampaknya mengalami kesulitan berpikir jernih.
“Dia berkata... ya, dia berkata: “gadis (a la femme de chambre), kenakan livree [livery] dan ikut denganku, di belakang kereta, faire des visites.” [melakukan kunjungan.]
Di sini Pangeran Hippolyte mendengus dan tertawa jauh lebih awal dari para pendengarnya, yang memberikan kesan yang tidak baik bagi narator. Namun, banyak orang, termasuk wanita tua dan Anna Pavlovna, tersenyum.
- Dia pergi. Tiba-tiba ada angin kencang. Gadis itu kehilangan topinya dan rambut panjangnya disisir...
Di sini dia tidak bisa lagi bertahan dan tiba-tiba mulai tertawa dan melalui tawa ini dia berkata:
- Dan seluruh dunia tahu...
Itulah akhir dari lelucon itu. Meskipun tidak jelas mengapa dia menceritakannya dan mengapa hal itu harus diceritakan dalam bahasa Rusia, Anna Pavlovna dan yang lainnya menghargai kesopanan sosial Pangeran Hippolyte, yang dengan senang hati mengakhiri lelucon Monsieur Pierre yang tidak menyenangkan dan tidak sopan. Percakapan setelah anekdot tersebut terpecah menjadi pembicaraan kecil dan tidak penting tentang masa depan dan masa lalu, penampilan, tentang kapan dan di mana mereka akan bertemu.

Mari kita pertimbangkan perekonomian dengan l barang. Bagi perusahaan tertentu, wajar jika mempertimbangkan sebagian dari barang-barang tersebut sebagai faktor produksi dan sebagian lagi sebagai produk keluaran. Perlu dicatat bahwa pembagian ini agak sewenang-wenang, karena perusahaan memiliki kebebasan yang cukup dalam memilih jenis produk yang dihasilkan dan struktur biaya. Saat mendeskripsikan teknologi, kita akan membedakan antara output dan biaya, dengan menyatakan biaya sebagai output dengan tanda minus. Untuk kemudahan penyajian teknologi, produk yang tidak dikonsumsi atau diproduksi oleh perusahaan akan diklasifikasikan sebagai outputnya, dan volume produksi produk tersebut akan dianggap sama dengan 0. Pada prinsipnya, situasi di mana suatu produk diproduksi oleh suatu perusahaan juga dikonsumsi olehnya dalam proses produksi tidak dapat dikesampingkan. Dalam hal ini, kami hanya akan mempertimbangkan keluaran bersih dari produk tersebut, yaitu keluarannya dikurangi biaya.

Misalkan jumlah faktor produksi sama dengan n, dan jumlah jenis output sama dengan m, sehingga l = m + n. Mari kita nyatakan vektor biaya (dalam nilai absolut) dengan r Rn + , dan volume output dengan y Rm + . Kita sebut saja vektornya (−r, yo ) vektor masalah bersih. Himpunan semua vektor keluaran bersih y = (−r, yo ) yang layak secara teknologi adalah perangkat teknologi Y. Jadi, dalam kasus yang dipertimbangkan, setiap himpunan teknologi adalah himpunan bagian dari Rn − × Rm +.

Gambaran produksi ini bersifat umum. Pada saat yang sama, dimungkinkan untuk tidak mematuhi pembagian barang yang ketat menjadi produk dan faktor produksi: barang yang sama dapat dibelanjakan dengan satu teknologi, dan diproduksi dengan teknologi lain. Dalam hal ini Y Rl.

Mari kita jelaskan sifat-sifat perangkat teknologi, yang biasanya dijelaskan dalam kelas teknologi tertentu.

1. Ketidakkosongan

Himpunan teknologi Y tidak kosong.

Properti ini berarti kemungkinan mendasar untuk melakukan kegiatan produksi.

2. Ketertutupan

Perangkat teknologi Y ditutup.

Properti ini agak teknis; ini berarti bahwa himpunan teknologi memuat batasannya, dan limit dari setiap barisan vektor keluaran bersih yang layak secara teknologi juga merupakan vektor keluaran bersih yang layak secara teknologi.

3. Kebebasan membelanjakan:

jika y Y dan y0 6 y, maka y0 Y.

Sifat ini dapat diartikan sebagai kemampuan untuk menghasilkan jumlah output yang sama, namun dengan biaya yang lebih tinggi, atau output yang lebih sedikit dengan biaya yang sama.

4. Tidak ada “tumpah ruah” (“tidak ada makan siang gratis”)

jika y Y dan y > 0, maka y = 0.

Sifat ini berarti bahwa untuk menghasilkan suatu produk dalam jumlah positif diperlukan biaya dalam volume yang tidak nol.

Beras. 4.1. Keanekaragaman teknologi dengan skala hasil yang semakin meningkat.

5. Skala hasil yang tidak meningkat:

jika y Y dan y0 = λy, dimana 0< λ < 1, тогда y0 Y.

Properti ini kadang-kadang disebut (tidak sepenuhnya akurat) skala hasil yang semakin berkurang. Dalam kasus dua barang, dimana yang satu dikeluarkan dan yang lainnya diproduksi, hasil yang semakin berkurang berarti produktivitas rata-rata (semaksimal mungkin) dari input tersebut tidak meningkat. Jika dalam satu jam Anda dapat memecahkan, paling banter, 5 masalah serupa dalam ekonomi mikro, maka dalam dua jam, dalam kondisi keuntungan yang semakin berkurang, Anda tidak dapat menyelesaikan lebih dari 10 masalah tersebut.

50. Skala hasil yang tidak menurun:

jika y Y dan y0 = λy, dimana λ > 1, maka y0 Y.

Dalam kasus dua barang, dimana yang satu dikeluarkan dan yang lainnya diproduksi, peningkatan keuntungan berarti bahwa produktivitas rata-rata (semaksimal mungkin) dari input tersebut tidak menurun.

500. Skala hasil konstan adalah situasi ketika rangkaian teknologi memenuhi kondisi 5 dan 50 secara bersamaan, yaitu.

jika y Y dan y0 = λy0 , maka y0 Y λ > 0.

Secara geometris, skala hasil konstan berarti Y berbentuk kerucut (mungkin tidak mengandung 0).

Dalam kasus dua barang, yang satu merupakan masukan dan yang lainnya diproduksi, keluaran konstan berarti produktivitas rata-rata masukan tidak berubah seiring dengan perubahan keluaran.

Beras. 4.2. Teknologi cembung diatur dengan skala hasil yang semakin berkurang

Properti konveksitas berarti kemampuan untuk “mencampur” teknologi dalam proporsi berapa pun.

7. Ireversibilitas

jika y Y dan y 6= 0, maka (−y) / Y.

Katakanlah Anda dapat menghasilkan 5 bantalan dari satu kilogram baja. Irreversibilitas berarti tidak mungkin menghasilkan satu kilogram baja dari 5 bantalan.

8. Aditivitas.

jika y Y dan y0 Y , maka y + y0 Y.

Sifat aditif berarti kemampuan untuk menggabungkan teknologi.

9. Penerimaan atas ketidakaktifan:

Teorema 44:

1) Dari skala hasil yang tidak meningkat dan aditif dari rangkaian teknologi, konveksitasnya mengikuti.

2) Skala hasil yang tidak meningkat disebabkan oleh konveksitas rangkaian teknologi dan diperbolehkannya tidak adanya aktivitas. (Kebalikannya tidak selalu benar: dengan imbal hasil yang tidak meningkat, teknologinya mungkin non-cembung, lihat Gambar. 4.3 .)

3) Perangkat teknologi memiliki sifat aditif dan non-meningkat

kembali ke skala jika dan hanya jika itu adalah kerucut cembung.

Beras. 4.3. Seperangkat teknologi non-cembung dengan skala hasil yang tidak meningkat.

Tidak semua teknologi yang memenuhi syarat sama pentingnya dari sudut pandang ekonomi. Di antara yang diperbolehkan, yang khusus menonjol teknologi yang efisien. Suatu teknologi yang dapat diterima y biasanya disebut efektif jika tidak ada teknologi lain yang dapat diterima (selain itu) y0 sehingga y0 > y. Jelasnya, definisi efisiensi ini secara implisit menyiratkan bahwa semua barang dalam beberapa hal diinginkan. Teknologi yang efektif merupakan perbatasan yang efisien perangkat teknologi. Dalam kondisi tertentu, dimungkinkan untuk menggunakan batas efektif dalam analisis alih-alih seluruh rangkaian teknologi. Dalam hal ini, penting bahwa untuk setiap teknologi yang diperbolehkan y terdapat teknologi yang efektif y0 sehingga y0 > y. Agar kondisi ini dapat dipenuhi, perangkat teknologi harus ditutup, dan dalam perangkat teknologi tersebut tidak mungkin meningkatkan output suatu barang tanpa batas waktu tanpa mengurangi output barang lainnya. Hal ini dapat ditunjukkan jika teknologi

Beras. 4.4. Teknologi yang efisien menetapkan batasan

suatu himpunan memiliki sifat kebebasan mengeluarkan biaya, maka batas efektif secara unik mendefinisikan himpunan teknologi yang bersangkutan.

Kursus pengantar dan perantara, ketika menggambarkan perilaku seorang produsen, didasarkan pada representasi rangkaian produksinya melalui fungsi produksi. Pertanyaan yang relevan adalah dalam kondisi apa representasi seperti itu dimungkinkan di set produksi. Meskipun fungsi produksi dapat diberikan definisi yang lebih luas, selanjutnya kita hanya akan membahas tentang teknologi “produk tunggal”, yaitu m = 1.

Misalkan R adalah proyeksi himpunan teknologi Y ke dalam ruang vektor biaya, yaitu.

R = ( r Rn | yo R: (−r, yo ) Y ) .

Definisi 37:

Fungsi f(·) : R 7→R disebut fungsi produksi, mewakili teknologi Y, jika untuk setiap r R nilai f(r) adalah nilai dari soal berikut:

kamu → maks

(−r, yo) Y.

Perhatikan bahwa setiap titik pada batas efektif himpunan teknologi mempunyai bentuk (−r, f(r)). Kebalikannya berlaku jika f(r) merupakan fungsi meningkat. Dalam hal ini, yo = f(r) adalah persamaan batas efektif.

Teorema berikut memberikan kondisi di mana suatu himpunan teknologi dapat direpresentasikan??? fungsi produksi.

Teorema 45:

Misalkan untuk himpunan teknologi Y R × (−R) untuk sembarang r R himpunan tersebut

F (r) = ( yo | (−r, yo ) Y )

tertutup dan dibatasi dari atas. Maka Y dapat direpresentasikan dengan fungsi produksi.

Catatan: Pemenuhan kondisi pernyataan ini dapat dijamin, misalnya jika himpunan Y tertutup dan mempunyai sifat skala hasil yang tidak meningkat dan tidak adanya tumpah ruah.

Teorema 46:

Biarkan himpunan Y ditutup dan memiliki sifat skala hasil yang tidak meningkat dan tidak adanya tumpah ruah. Lalu untuk sembarang r R himpunannya

F (r) = ( yo | (−r, yo ) Y )

tertutup dan dibatasi dari atas.

Bukti: Ketertutupan himpunan F (r) mengikuti langsung ketertutupan Y. Mari kita tunjukkan bahwa F (r) dibatasi dari atas. Biarlah ini tidak terjadi dan untuk beberapa r R ada

terdapat barisan yang meningkat tak terhingga (yn) sedemikian rupa sehingga yn F (r). Kemudian, karena skala hasil yang tidak meningkat (−r/yn , 1) kamu . Oleh karena itu (karena penutupan), (0, 1) Y , yang bertentangan dengan tidak adanya tumpah ruah.

Perhatikan juga bahwa jika himpunan teknologi Y memenuhi hipotesis pengeluaran bebas, dan terdapat fungsi produksi f(·) yang mewakilinya, maka himpunan Y dijelaskan dengan hubungan berikut:

Y = ( (−r, yo ) | yo 6 f(r), r R ) .

Sekarang mari kita membangun beberapa hubungan antara sifat-sifat himpunan teknologi dan fungsi produksi yang mewakilinya.

Teorema 47:

Misalkan himpunan teknologi Y sedemikian sehingga untuk semua r R fungsi produksi f(·) terdefinisi. Maka yang berikut ini benar.

1) Jika himpunan Y cembung, maka fungsi f(·) cekung.

2) Jika himpunan Y memenuhi hipotesis belanja bebas, maka berlaku juga kebalikannya, yaitu jika fungsi f(·) cekung, maka himpunan Y cembung.

3) Jika Y cembung, maka f(·) kontinu di bagian dalam himpunan R.

4) Jika himpunan Y mempunyai sifat kebebasan berbelanja, maka fungsi f(·) tidak berkurang.

5) Jika Y mempunyai sifat tidak mempunyai tumpah ruah, maka f(0) 6 0.

6) Jika himpunan Y mempunyai sifat ketidakaktifan yang diperbolehkan, maka f(0) > 0.

Bukti: (1) Misalkan r0 , r00 R. Maka (−r0 , f(r0 )) Y dan (−r00 , f(r00 )) Y , dan

(−αr0 − (1 − α)r00 , αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 )) Y α ,

karena himpunan Y cembung. Kemudian, menurut definisi fungsi produksi

αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 ) 6 f(αr0 + (1 − α)r00 ),

yang berarti f(·) cekung.

(2) Karena himpunan Y mempunyai sifat belanja bebas, maka himpunan Y (sampai tanda vektor biaya) berimpit dengan subgrafnya. Dan subgraf suatu fungsi cekung adalah himpunan cembung.

(3) Fakta yang harus dibuktikan mengikuti fakta bahwa fungsi cekung kontinu secara internal.

ukuran domain definisinya.

(4) Misalkan r 00 > r0 (r0 , r00 R). Karena (−r0 , f(r0 )) Y , maka berdasarkan sifat kebebasan berbelanja (−r00 , f(r0 )) Y . Oleh karena itu, berdasarkan definisi fungsi produksi, f(r00) > f(r0), yaitu f(·) tidak berkurang.

(5) Pertidaksamaan f(0) > 0 bertentangan dengan asumsi tidak adanya tumpah ruah. Jadi f(0) 6 0.

(6) Dengan asumsi diterimanya ketidakaktifan (0, 0) Y . Jadi, menurut definisi

Dengan asumsi adanya fungsi produksi, sifat-sifat suatu teknologi dapat dijelaskan secara langsung dalam fungsi tersebut. Mari kita tunjukkan hal ini dengan menggunakan contoh yang disebut elastisitas skala.

Biarkan fungsi produksi dapat terdiferensiasi. Di titik r, di mana f(r) > 0, kita definisikan

elastisitas lokal skala e(r) sebagai:

Jika pada suatu titik e(r) sama dengan 1, maka dianggap demikian pada titik tersebut skala hasil yang konstan, jika lebih dari 1 maka meningkatkan keuntungan, lebih sedikit - skala hasil yang semakin berkurang. Definisi di atas dapat ditulis ulang sebagai berikut:

P ∂f(r) e(r) = i ∂r i r i .

Teorema 48:

Biarkan himpunan teknologi Y dijelaskan oleh fungsi produksi f(·) dan

V pada titik r kita mempunyai e(r) > 0. Maka pernyataan berikut ini benar:

1) Jika himpunan teknologi Y mempunyai sifat skala hasil yang semakin berkurang, maka e(r) 6 1.

2) Jika rangkaian teknologi Y memiliki sifat skala hasil yang meningkat, maka e(r) > 1.

3) Jika Y mempunyai sifat skala hasil konstan, maka e(r) = 1.

Bukti: (1) Perhatikan barisan (λn ) (0< λn < 1), такую что λn → 1. Тогда (−λn r, λn f(r)) Y , откуда следует, что f(λn r) >λn f(r). Mari kita tulis ulang pertidaksamaan ini menjadi:

Perangkat teknologi Y dapat ditentukan dalam bentuk fungsi produksi implisit G(·). Berdasarkan definisinya, suatu fungsi g(·) disebut fungsi produksi implisit jika teknologi y termasuk dalam himpunan teknologi Y jika dan hanya jika g(y) >

Perhatikan bahwa fungsi seperti itu selalu dapat ditemukan. Misalnya, fungsi yang cocok adalah g(y) = 1 untuk y Y dan g(y) = −1 untuk y / Y . Namun perlu diperhatikan bahwa fungsi ini tidak dapat terdiferensiasi. Secara umum, tidak setiap rangkaian teknologi dapat dideskripsikan dengan satu fungsi produksi implisit yang dapat dibedakan, dan rangkaian teknologi tersebut bukanlah sesuatu yang luar biasa. Secara khusus, rangkaian teknologi yang dipertimbangkan dalam kursus awal mikroekonomi sering kali sedemikian rupa sehingga uraiannya memerlukan dua (atau lebih) ketidaksetaraan dengan fungsi yang dapat dibedakan, karena pembatasan tambahan pada faktor-faktor produksi yang tidak negatif harus diperhitungkan. Untuk memperhitungkan pembatasan tersebut, kita dapat menggunakan vektor implisit