Temukan turunan dari akar x. Temukan turunannya: algoritma dan contoh solusi

instruksi

Sebelum mencari turunan dari akar, perhatikan fungsi lain yang ada pada contoh yang sedang diselesaikan. Jika soal memiliki banyak ekspresi radikal, gunakan aturan berikut untuk mencari turunan akar kuadrat:

(√x)" = 1 / 2√x.

Dan untuk mencari turunan akar pangkat tiga gunakan rumus:

(³√x)" = 1 / 3(³√x)²,

dimana ³√x menunjukkan akar pangkat tiga dari x.

Jika, untuk diferensiasi, terdapat variabel dalam pecahan, ubah akarnya menjadi fungsi pangkat dengan eksponen yang sesuai. Untuk akar kuadrat pangkatnya adalah ½, dan untuk akar pangkat tiga adalah ⅓:

√x = x^½,
³√х = x^⅓,

di mana ^ menunjukkan eksponensial.

Untuk mencari turunan fungsi pangkat secara umum dan x^1, x^⅓ pada khususnya, gunakan aturan berikut:

(x^n)" = n * x^(n-1).

Untuk turunan dari suatu akar, hubungan ini menyiratkan:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) dan
(x^⅓)" = ⅓x^(-⅔).

Setelah membedakan semuanya, perhatikan baik-baik contoh selanjutnya. Jika Anda memiliki ekspresi yang sangat rumit dalam jawaban Anda, Anda mungkin dapat menyederhanakannya. Kebanyakan contoh sekolah disusun sedemikian rupa sehingga hasil akhirnya berupa bilangan kecil atau ekspresi kompak.

Dalam banyak soal turunan, akar-akar (persegi dan kubus) ditemukan bersama dengan fungsi lainnya. Untuk mencari turunan akar dalam kasus ini, gunakan aturan berikut:
turunan dari suatu konstanta (bilangan konstan, C) sama dengan nol: C" = 0;
faktor konstanta dikeluarkan dari tanda turunannya: (k*f)" = k * (f)" (f adalah fungsi sembarang);
turunan dari jumlah beberapa fungsi sama dengan jumlah turunannya: (f + g)" = (f)" + (g)";
turunan hasil kali dua fungsi sama dengan... bukan, bukan hasil kali turunan, melainkan persamaan berikut: (fg)" = (f)"g + f (g)";
turunan dari hasil bagi juga tidak sama dengan hasil bagi dari turunannya, tetapi dicari berdasarkan aturan berikut: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g².

catatan

Di halaman ini Anda dapat menghitung turunan suatu fungsi secara online dan mendapatkan solusi mendetail untuk masalah tersebut. Penyelesaian turunan suatu fungsi dilakukan dengan menggunakan aturan diferensiasi yang dipelajari mahasiswa pada mata kuliah analisis matematis di institut tersebut. Untuk mencari turunan suatu fungsi, Anda perlu memasukkan fungsi pembedaan pada kolom "Fungsi" sesuai aturan entri data.

Saran yang bermanfaat

Turunan suatu fungsi adalah limit perbandingan pertambahan suatu fungsi terhadap pertambahan argumen ketika pertambahan argumen cenderung nol: Arti matematis dari definisi ini tidak terlalu mudah untuk dipahami, karena di sekolah Tentu saja aljabar konsep limit suatu fungsi tidak dipelajari sama sekali atau dipelajari dengan sangat dangkal. Namun untuk mempelajari cara mencari turunan berbagai fungsi, hal ini tidak perlu dilakukan.

Sumber:

• akar turunan dari x

1. Kasus umum rumus turunan dari akar derajat sembarang- pecahan yang pembilangnya satu, dan penyebutnya adalah bilangan yang sama dengan pangkat akar yang turunannya dihitung, dikalikan dengan akar pangkat yang sama, yang ekspresi radikalnya adalah variabel dalam pangkat akar yang turunannya dihitung, dikurangi satu
2. Turunan akar kuadrat- merupakan kasus khusus dari rumus sebelumnya. Turunan dari akar kuadrat dari x adalah pecahan yang pembilangnya satu dan penyebutnya dua kali akar kuadrat dari x
3. Turunan dari akar pangkat tiga, juga merupakan kasus khusus dari rumus umum. Turunan akar pangkat tiga adalah satu dibagi tiga akar pangkat tiga x kuadrat.

Di bawah ini adalah transformasi yang menjelaskan mengapa rumus mencari turunan akar kuadrat dan akar pangkat tiga sama persis seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Tentu saja, Anda tidak perlu mengingat rumus-rumus ini sama sekali, mengingat mengekstrak akar suatu turunan pangkat sama dengan menaikkan pecahan yang penyebutnya sama dengan pangkat yang sama. Kemudian mencari turunan dari akar direduksi menjadi penerapan rumus untuk mencari turunan pangkat dari pecahan yang bersesuaian.

Turunan dari variabel dengan akar kuadrat

Penjelasan:
(√x)" = (x 1/2)"

Operasi akar kuadrat sama persis dengan menaikkan pangkat 1/2,Artinya, untuk mencari turunan suatu akar, Anda dapat menerapkan rumus dari aturan mencari turunan suatu variabel pangkat sembarang:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

Turunan dari akar pangkat tiga (turunan dari akar ketiga)

Bayangkan akar pangkat tiga sebagai pangkat 1/3 dan cari turunannya menggunakan aturan umum diferensiasi. Rumus singkatnya dapat dilihat pada gambar di atas, dan di bawah ini adalah penjelasan mengapa demikian.

Pangkat -2/3 diperoleh dengan mengurangkan satu dari 1/3

Penurunan rumus turunan fungsi pangkat (x pangkat a). Turunan dari akar x dipertimbangkan. Rumus turunan fungsi pangkat tingkat tinggi. Contoh penghitungan derivatif.

Lihat juga: Fungsi pangkat dan akar, rumus dan grafik
Grafik Fungsi Daya

Rumus dasar

Turunan x pangkat a sama dengan kali x pangkat minus satu:
(1) .

Turunan akar ke-n dari x pangkat ke-m adalah:
(2) .

Penurunan rumus turunan fungsi pangkat

Kasus x > 0

Perhatikan fungsi pangkat dari variabel x dengan eksponen a:
(3) .
Di sini a adalah bilangan real sembarang. Mari kita pertimbangkan kasusnya terlebih dahulu.

Untuk mencari turunan fungsi (3), kita menggunakan properti fungsi pangkat dan mengubahnya ke bentuk berikut:
.

Sekarang kita mencari turunannya menggunakan:
;
.
Di Sini .

Formula (1) telah terbukti.

Penurunan rumus turunan akar derajat n dari x ke derajat m

Sekarang perhatikan suatu fungsi yang merupakan akar dari bentuk berikut:
(4) .

Untuk mencari turunannya, kita ubah akarnya menjadi fungsi pangkat:
.
Dibandingkan dengan rumus (3) kita melihatnya
.
Kemudian
.

Dengan menggunakan rumus (1) kita mencari turunannya:
(1) ;
;
(2) .

Dalam prakteknya tidak perlu menghafal rumus (2). Jauh lebih mudah untuk mengubah akar-akarnya menjadi fungsi pangkat terlebih dahulu, lalu mencari turunannya menggunakan rumus (1) (lihat contoh di akhir halaman).

Kasus x = 0

Jika , maka fungsi pangkat didefinisikan untuk nilai variabel x = 0 . Mari kita cari turunan fungsi (3) di x = 0 . Untuk melakukan ini, kami menggunakan definisi turunan:
.

Mari kita substitusikan x = 0 :
.
Dalam hal ini, yang kami maksud dengan turunan adalah limit sebelah kanan dimana .

Jadi kami menemukan:
.
Dari sini jelas bahwa untuk , .
Pada , .
Pada , .
Hasil ini juga diperoleh dari rumus (1):
(1) .
Oleh karena itu, rumus (1) juga berlaku untuk x = 0 .

Kasus x< 0

Pertimbangkan fungsi (3) lagi:
(3) .
Untuk nilai konstanta a tertentu, juga ditentukan untuk nilai negatif variabel x. Yaitu, misalkan a adalah bilangan rasional. Kemudian dapat direpresentasikan sebagai pecahan tak tersederhanakan:
,
dimana m dan n adalah bilangan bulat yang tidak mempunyai pembagi persekutuan.

Jika n ganjil, maka fungsi pangkat juga didefinisikan untuk nilai negatif variabel x. Misalnya ketika n = 3 dan m = 1 kita mempunyai akar pangkat tiga dari x:
.
Ini juga didefinisikan untuk nilai negatif dari variabel x.

Mari kita cari turunan fungsi pangkat (3) untuk dan untuk nilai rasional dari konstanta a yang didefinisikan. Untuk melakukan ini, mari kita nyatakan x dalam bentuk berikut:
.
Kemudian ,
.
Kita mencari turunannya dengan menempatkan konstanta di luar tanda turunannya dan menerapkan aturan untuk mendiferensiasikan fungsi kompleks:

.
Di Sini . Tetapi
.
Dari dulu
.
Kemudian
.
Artinya, rumus (1) juga berlaku untuk:
(1) .

Derivatif tingkat tinggi

Sekarang mari kita cari turunan orde tinggi dari fungsi pangkat
(3) .
Kami telah menemukan turunan orde pertama:
.

Dengan mengambil konstanta a di luar tanda turunannya, kita mencari turunan orde kedua:
.
Demikian pula, kami menemukan turunan dari orde ketiga dan keempat:
;

.

Dari sini jelas bahwa turunan dari orde ke-n sembarang memiliki bentuk berikut:
.

perhatikan itu jika a adalah bilangan asli, maka turunan ke-n adalah konstan:
.
Maka semua turunan selanjutnya sama dengan nol:
,
pada .

Contoh penghitungan derivatif

Contoh

Temukan turunan dari fungsi tersebut:
.

Mari kita ubah akar menjadi pangkat:
;
.
Maka fungsi aslinya berbentuk:
.

Menemukan turunan pangkat:
;
.
Turunan dari konstanta adalah nol:
.

Operasi mencari turunan disebut diferensiasi.

Sebagai hasil dari penyelesaian masalah mencari turunan dari fungsi yang paling sederhana (dan tidak terlalu sederhana) dengan mendefinisikan turunan sebagai limit rasio kenaikan terhadap kenaikan argumen, tabel turunan dan aturan diferensiasi yang ditentukan secara tepat muncul. . Orang pertama yang bekerja di bidang pencarian turunan adalah Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Oleh karena itu, saat ini, untuk mencari turunan suatu fungsi, Anda tidak perlu menghitung batas rasio kenaikan fungsi dan kenaikan argumen yang disebutkan di atas, tetapi Anda hanya perlu menggunakan tabel turunan dan aturan diferensiasi. Algoritma berikut ini cocok untuk mencari turunannya.

Untuk mencari turunannya, Anda memerlukan ekspresi di bawah tanda prima memecah fungsi sederhana menjadi komponen-komponen dan menentukan tindakan apa (produk, jumlah, hasil bagi) fungsi-fungsi ini saling terkait. Selanjutnya, kita menemukan turunan dari fungsi dasar di tabel turunan, dan rumus turunan dari hasil kali, jumlah, dan hasil bagi - dalam aturan diferensiasi. Tabel turunan dan aturan diferensiasi diberikan setelah dua contoh pertama.

Contoh 1. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dari aturan diferensiasi kita mengetahui bahwa turunan dari suatu jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan dari suatu fungsi, yaitu.

Dari tabel turunan kita mengetahui bahwa turunan dari "x" sama dengan satu, dan turunan dari sinus sama dengan kosinus. Kami mengganti nilai-nilai ini ke dalam jumlah turunan dan mencari turunan yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 2. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kita bedakan sebagai turunan suatu penjumlahan yang suku kedua mempunyai faktor konstan; dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:

Jika pertanyaan masih muncul tentang dari mana sesuatu berasal, biasanya pertanyaan tersebut akan terjawab setelah Anda memahami tabel turunan dan aturan diferensiasi yang paling sederhana. Kami sedang beralih ke mereka sekarang.

Tabel turunan fungsi sederhana

1. Turunan dari suatu konstanta (angka). Bilangan apa pun (1, 2, 5, 200...) yang ada dalam ekspresi fungsi. Selalu sama dengan nol. Hal ini sangat penting untuk diingat, karena sering kali diperlukan
2. Turunan dari variabel bebas. Paling sering "X". Selalu sama dengan satu. Hal ini juga penting untuk diingat dalam jangka waktu yang lama
3. Turunan derajat. Saat memecahkan masalah, Anda perlu mengubah akar non-kuadrat menjadi pangkat.
4. Turunan suatu variabel pangkat -1
5. Turunan dari akar kuadrat
6. Turunan dari sinus
7. Turunan dari kosinus
8. Turunan dari garis singgung
9. Turunan dari kotangen
10. Turunan dari arcsinus
11. Turunan dari arccosine
12. Turunan dari arctangen
13. Turunan dari kotangen busur
14. Turunan dari logaritma natural
15. Turunan dari fungsi logaritma
16. Turunan dari eksponen
17. Turunan dari fungsi eksponensial

Aturan diferensiasi

1. Turunan dari suatu jumlah atau selisih
2. Turunan dari produk
2a. Turunan suatu ekspresi dikalikan dengan faktor konstan
3. Turunan dari hasil bagi
4. Turunan dari fungsi kompleks

Aturan 1.Jika fungsinya

terdiferensiasi pada suatu titik, maka fungsi-fungsi tersebut terdiferensiasi pada titik yang sama

Dan

itu. turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar turunan dari fungsi tersebut.

Konsekuensi. Jika dua fungsi terdiferensiasi berbeda sukunya konstan, maka turunannya sama, yaitu.

Aturan 2.Jika fungsinya

terdiferensiasi pada suatu titik, maka hasil kali mereka terdiferensiasi pada titik yang sama

Dan

itu. Turunan hasil kali dua fungsi sama dengan jumlah hasil kali masing-masing fungsi tersebut dan turunan fungsi lainnya.

Akibat wajar 1. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:

Akibat wajar 2. Turunan hasil kali beberapa fungsi terdiferensiasi sama dengan jumlah hasil kali turunan masing-masing faktor dan faktor lainnya.

Misalnya, untuk tiga pengganda:

Aturan 3.Jika fungsinya

dapat dibedakan pada suatu saat Dan , maka pada titik ini hasil bagi mereka juga terdiferensiasiu/v , dan

itu. turunan hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan, yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan pembilang dan pembilang serta turunan penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya.

Di mana mencari sesuatu di halaman lain

Saat mencari turunan suatu hasil perkalian dan hasil bagi dalam permasalahan nyata, selalu perlu menerapkan beberapa aturan diferensiasi sekaligus, sehingga contoh turunan tersebut lebih banyak terdapat di artikel."Turunan dari hasil kali dan hasil bagi fungsi".

Komentar. Anda tidak boleh mengacaukan konstanta (yaitu bilangan) sebagai suku dalam penjumlahan dan sebagai faktor konstan! Dalam kasus suatu suku, turunannya sama dengan nol, dan dalam kasus suatu faktor konstan, turunannya dikeluarkan dari tanda turunannya. Ini adalah kesalahan umum yang terjadi pada tahap awal mempelajari turunan, tetapi ketika rata-rata siswa menyelesaikan beberapa contoh satu dan dua bagian, dia tidak lagi melakukan kesalahan ini.

Dan jika, ketika membedakan suatu produk atau hasil bagi, Anda memiliki istilah kamu"ay, di mana kamu- suatu bilangan, misalnya 2 atau 5, yaitu suatu konstanta, maka turunan bilangan tersebut akan sama dengan nol dan oleh karena itu, seluruh sukunya akan sama dengan nol (kasus ini dibahas pada contoh 10).

Kesalahan umum lainnya adalah menyelesaikan turunan fungsi kompleks secara mekanis sebagai turunan fungsi sederhana. Itu sebabnya turunan dari fungsi kompleks artikel terpisah dikhususkan. Tapi pertama-tama kita akan belajar mencari turunan dari fungsi sederhana.

Sepanjang prosesnya, Anda tidak dapat melakukannya tanpa mengubah ekspresi. Untuk melakukan ini, Anda mungkin perlu membuka manual di jendela baru. Tindakan dengan kekuatan dan akar Dan Operasi dengan pecahan .

Jika Anda mencari solusi turunan pecahan yang mempunyai pangkat dan akar, yaitu seperti apa bentuknya , lalu ikuti pelajaran “Menurunkan jumlah pecahan yang mempunyai pangkat dan akar”.

Jika Anda memiliki tugas seperti , selanjutnya anda akan mengambil pelajaran “Turunan fungsi trigonometri sederhana”.

Contoh langkah demi langkah - cara mencari turunannya

Contoh 3. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kami mendefinisikan bagian-bagian dari ekspresi fungsi: seluruh ekspresi mewakili produk, dan faktor-faktornya adalah jumlah, yang salah satu sukunya mengandung faktor konstan. Kami menerapkan aturan diferensiasi perkalian: turunan perkalian dua fungsi sama dengan jumlah perkalian masing-masing fungsi tersebut dengan turunan fungsi lainnya:

Selanjutnya, kita menerapkan aturan diferensiasi jumlah: turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi tersebut. Dalam kasus kita, pada setiap penjumlahan, suku kedua mempunyai tanda minus. Dalam setiap penjumlahan kita melihat variabel bebas, yang turunannya sama dengan satu, dan sebuah konstanta (angka), yang turunannya sama dengan nol. Jadi, “X” berubah menjadi satu, dan minus 5 menjadi nol. Pada ekspresi kedua, "x" dikalikan dengan 2, jadi kita mengalikan dua dengan satuan yang sama dengan turunan dari "x". Kami memperoleh nilai turunan berikut:

Kami mengganti turunan yang ditemukan ke dalam jumlah produk dan mendapatkan turunan dari seluruh fungsi yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Dan Anda dapat memeriksa solusi masalah turunannya di.

Contoh 4. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kita diharuskan mencari turunan dari hasil bagi tersebut. Kita terapkan rumus untuk membedakan hasil bagi: turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan, yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan dari pembilang dan pembilangnya serta turunan dari penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya. Kita mendapatkan:

Kita telah menemukan turunan faktor pembilang pada contoh 2. Jangan lupa juga bahwa hasil kali, yang merupakan faktor kedua pembilang pada contoh ini, diambil dengan tanda minus:

Jika Anda mencari solusi untuk soal yang mengharuskan Anda mencari turunan suatu fungsi, yang terdapat tumpukan akar dan pangkat yang kontinu, seperti, misalnya, , lalu selamat datang di kelas "Turunan dari jumlah pecahan yang mempunyai pangkat dan akar" .

Jika Anda perlu mempelajari lebih lanjut tentang turunan sinus, cosinus, tangen, dan fungsi trigonometri lainnya, yaitu bagaimana fungsi tersebut terlihat seperti , maka pelajaran untukmu "Turunan fungsi trigonometri sederhana" .

Contoh 5. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dalam fungsi ini kita melihat hasil kali yang salah satu faktornya adalah akar kuadrat dari variabel bebas, yang turunannya telah kita pelajari di tabel turunannya. Dengan menggunakan aturan diferensiasi produk dan nilai tabel turunan akar kuadrat, kita memperoleh:

Anda dapat memeriksa solusi masalah turunan di kalkulator derivatif online .

Contoh 6. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dalam fungsi ini kita melihat hasil bagi yang dividennya merupakan akar kuadrat dari variabel bebas. Dengan menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi, yang kita ulangi dan terapkan pada contoh 4, dan nilai tabulasi turunan akar kuadrat, kita peroleh:

Untuk menghilangkan pecahan pada pembilangnya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan .

Fungsi bertipe kompleks tidak selalu sesuai dengan definisi fungsi kompleks. Jika terdapat fungsi berbentuk y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, maka tidak dapat dianggap kompleks, berbeda dengan y = sin 2 x.

Artikel ini akan menunjukkan konsep fungsi kompleks dan identifikasinya. Mari kita bekerja dengan rumus untuk mencari turunan dengan contoh solusi di kesimpulan. Penggunaan tabel turunan dan aturan diferensiasi secara signifikan mengurangi waktu untuk mencari turunan.

Definisi dasar

Fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya juga merupakan suatu fungsi.

Dilambangkan sebagai berikut: f (g (x)). Kita mengetahui bahwa fungsi g (x) dianggap sebagai argumen f (g (x)).

Definisi 2

Jika terdapat fungsi f dan merupakan fungsi kotangen, maka g(x) = ln x adalah fungsi logaritma natural. Kami menemukan bahwa fungsi kompleks f (g (x)) akan ditulis sebagai arctg(lnx). Atau fungsi f, yaitu fungsi yang dipangkatkan ke 4, dimana g (x) = x 2 + 2 x - 3 dianggap sebagai fungsi rasional keseluruhan, kita memperoleh f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Tentu saja g(x) dapat menjadi kompleks. Dari contoh y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 jelas bahwa nilai g mempunyai akar pangkat tiga dari pecahan tersebut. Ekspresi ini dapat dilambangkan sebagai y = f (f 1 (f 2 (x))). Dari sini diketahui bahwa f adalah fungsi sinus, dan f 1 adalah fungsi yang terletak di bawah akar kuadrat, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 adalah fungsi rasional pecahan.

Definisi 3

Derajat penumpukan ditentukan oleh sembarang bilangan asli dan ditulis sebagai y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definisi 4

Konsep komposisi fungsi mengacu pada jumlah fungsi yang disarangkan sesuai dengan kondisi permasalahan. Untuk menyelesaikannya, gunakan rumus mencari turunan fungsi kompleks yang bentuknya

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Contoh

Temukan turunan dari fungsi kompleks berbentuk y = (2 x + 1) 2.

Larutan

Kondisi tersebut menunjukkan bahwa f merupakan fungsi kuadrat, dan g(x) = 2 x + 1 dianggap sebagai fungsi linier.

Mari terapkan rumus turunan untuk fungsi kompleks dan tulis:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Turunan harus dicari dengan bentuk asli fungsi yang disederhanakan. Kita mendapatkan:

kamu = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Dari sini kita memilikinya

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Hasilnya sama saja.

Saat menyelesaikan masalah jenis ini, penting untuk memahami di mana fungsi bentuk f dan g (x) akan ditempatkan.

Contoh 2

Anda harus mencari turunan fungsi kompleks berbentuk y = sin 2 x dan y = sin x 2.

Larutan

Notasi fungsi pertama menyatakan bahwa f adalah fungsi kuadrat dan g(x) adalah fungsi sinus. Lalu kita mendapatkannya

y" = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Entri kedua menunjukkan bahwa f adalah fungsi sinus, dan g(x) = x 2 menyatakan fungsi pangkat. Oleh karena itu, kita menulis hasil kali fungsi kompleks sebagai

y" = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Rumus turunan y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) ditulis sebagai y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Contoh 3

Tentukan turunan dari fungsi y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Larutan

Contoh ini menunjukkan sulitnya menulis dan menentukan letak fungsi. Maka y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) menyatakan dimana f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) adalah fungsi sinus, fungsi menaikkan sampai 3 derajat, fungsi dengan logaritma dan basis e, fungsi tangen busur dan linier.

Dari rumus untuk mendefinisikan fungsi kompleks kita mendapatkan rumus tersebut

y" = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Kami mendapatkan apa yang perlu kami temukan

1. f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) sebagai turunan sinus sesuai tabel turunan, maka f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) sebagai turunan fungsi pangkat, maka f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) sebagai turunan logaritma, maka f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3" (f 4 (x)) sebagai turunan dari garis singgung busur, maka f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Saat mencari turunan f 4 (x) = 2 x, hilangkan 2 dari tanda turunannya menggunakan rumus turunan fungsi pangkat yang eksponennya sama dengan 1, maka f 4" (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Kami menggabungkan hasil antara dan mendapatkannya

y" = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3" (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analisis fungsi tersebut mengingatkan kita pada boneka bersarang. Aturan diferensiasi tidak selalu dapat diterapkan secara eksplisit menggunakan tabel turunan. Seringkali Anda perlu menggunakan rumus untuk mencari turunan fungsi kompleks.

Ada beberapa perbedaan antara tampilan kompleks dan fungsi kompleks. Dengan kemampuan yang jelas untuk membedakannya, menemukan turunannya akan menjadi sangat mudah.

Contoh 4

Penting untuk mempertimbangkan untuk memberikan contoh seperti itu. Jika terdapat fungsi berbentuk y = t g 2 x + 3 t g x + 1, maka dapat dianggap sebagai fungsi kompleks yang berbentuk g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Jelasnya, perlu menggunakan rumus turunan kompleks:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Suatu fungsi berbentuk y = t g x 2 + 3 t g x + 1 tidak dianggap kompleks, karena mempunyai jumlah t g x 2, 3 t g x dan 1. Namun jika t g x 2 dianggap sebagai fungsi kompleks, maka diperoleh fungsi pangkat berbentuk g (x) = x 2 dan f yang merupakan fungsi tangen. Untuk melakukan ini, bedakan berdasarkan jumlah. Kami mengerti

y" = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 karena 2 x

Mari kita lanjutkan mencari turunan dari fungsi kompleks (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Kita peroleh bahwa y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Fungsi bertipe kompleks dapat dimasukkan ke dalam fungsi kompleks, dan fungsi kompleks itu sendiri dapat menjadi komponen fungsi bertipe kompleks.

Contoh 5

Misalnya, perhatikan fungsi kompleks berbentuk y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Fungsi ini dapat direpresentasikan sebagai y = f (g (x)), dimana nilai f adalah fungsi dari logaritma basis 3, dan g (x) dianggap sebagai jumlah dari dua fungsi berbentuk h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 dan k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Jelasnya, y = f (h (x) + k (x)).

Perhatikan fungsi h(x). Ini perbandingan l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 dengan m (x) = e x 2 + 3 3

Diketahui l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) adalah jumlah dua fungsi n (x) = x 2 + 7 dan p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , dimana p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) adalah fungsi kompleks dengan koefisien numerik 3, dan p 1 adalah fungsi kubus, p 2 dengan fungsi kosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 dengan fungsi linier.

Diketahui bahwa m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) adalah jumlah dua fungsi q (x) = e x 2 dan r (x) = 3 3, di mana q (x) = q 1 (q 2 (x)) adalah fungsi kompleks, q 1 adalah fungsi eksponensial, q 2 (x) = x 2 adalah fungsi pangkat.

Hal ini menunjukkan bahwa h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Jika berpindah ke ekspresi bentuk k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), jelas bahwa fungsi tersebut direpresentasikan dalam bentuk kompleks s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) dengan bilangan bulat rasional t (x) = x 2 + 1, dimana s 1 adalah fungsi kuadrat, dan s 2 (x) = ln x adalah logaritma dengan dasar e.

Oleh karena itu, ekspresi tersebut akan berbentuk k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Lalu kita mendapatkannya

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Berdasarkan struktur fungsinya, menjadi jelas bagaimana dan rumus apa yang perlu digunakan untuk menyederhanakan ekspresi ketika membedakannya. Untuk memahami permasalahan-permasalahan tersebut dan untuk memahami konsep penyelesaiannya, kita perlu beralih ke diferensiasi suatu fungsi, yaitu mencari turunannya.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter