Studi fungsi y 4x x 2. Masalah dari koleksi Kuznetsov L

Rehebnik Kuznetsov.
III Grafik

Tugas 7. Melakukan studi lengkap tentang fungsi dan membuat grafiknya.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp Sebelum Anda mulai mengunduh opsi, coba selesaikan masalah sesuai dengan contoh yang diberikan di bawah ini untuk opsi 3. Beberapa opsi diarsipkan dalam format .rar

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 Melakukan studi lengkap tentang fungsi dan menggambar grafiknya

Keputusan.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1) Cakupan: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp atau & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp, yaitu & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.
.
Jadi: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) Tidak ada persimpangan dengan sumbu Kerbau. Memang, persamaan & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp tidak memiliki solusi.
Tidak ada persimpangan dengan sumbu Oy, karena & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) Fungsinya tidak genap atau ganjil. Tidak ada kesimetrian tentang ordinat. Tidak ada kesimetrian tentang asalnya juga. Karena
.
Kami melihat bahwa & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp dan & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) Fungsi ini berkelanjutan dalam domain
.

; .

; .
Oleh karena itu, titik & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp adalah titik putus jenis kedua (putus tak terbatas).

5) Asimtot vertikal: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Temukan asimtot miring & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp. Sini

;
.
Oleh karena itu, kami memiliki asimtot horizontal: y \u003d 0... Tidak ada asimtot miring.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) Temukan turunan pertama. Turunan pertama:
.
Dan itulah kenapa
.
Temukan titik stasioner yang turunannya nol, yaitu
.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) Temukan turunan keduanya. Turunan kedua:
.
Dan ini mudah untuk diyakinkan, sejak itu

Bagaimana cara memeriksa fungsi dan memplotnya?

Sepertinya saya mulai memahami wajah penuh perasaan dari pemimpin proletariat dunia, penulis dari kumpulan karya dalam 55 jilid…. Jalan lambat dimulai dengan informasi dasar tentang fungsi dan grafik, dan sekarang mengerjakan topik yang melelahkan diakhiri dengan hasil yang wajar - artikel tentang penelitian fungsi penuh... Tugas yang telah lama ditunggu dirumuskan sebagai berikut:

Selidiki fungsi menggunakan metode kalkulus diferensial dan, berdasarkan hasil penelitian, buat grafiknya

Atau, singkatnya: periksa fungsi dan plotnya.

Mengapa penelitian? Dalam kasus sederhana, tidak akan sulit bagi kita untuk berurusan dengan fungsi dasar, menggambar grafik yang diperoleh menggunakan transformasi geometris dasar dll. Namun, properti dan representasi grafis dari fungsi yang lebih kompleks masih jauh dari jelas, itulah sebabnya diperlukan studi menyeluruh.

Langkah-langkah utama solusi dirangkum dalam materi referensi Diagram studi fungsi, ini adalah panduan Anda untuk bagian tersebut. Dummies memerlukan penjelasan langkah demi langkah tentang topik tersebut, beberapa pembaca tidak tahu harus mulai dari mana dan bagaimana mengatur pelajaran, dan siswa tingkat lanjut mungkin hanya tertarik pada beberapa poin. Tetapi siapa pun Anda, pengunjung yang budiman, sinopsis yang diusulkan dengan petunjuk ke berbagai pelajaran dalam waktu sesingkat mungkin akan mengarahkan dan mengarahkan Anda ke arah yang diminati. Robot meneteskan air mata \u003d) Manual ditata dalam bentuk file pdf dan mengambil tempat yang selayaknya di halaman Rumus dan tabel matematika.

Saya biasa membagi studi suatu fungsi menjadi 5-6 poin:

6) Poin dan grafik tambahan sesuai hasil penelitian.

Dengan mengorbankan tindakan terakhir, saya pikir semua orang memahami segalanya - akan sangat menyinggung jika dalam hitungan detik dicoret dan tugas dikembalikan untuk direvisi. GAMBAR YANG BENAR DAN AKURAT adalah hasil utama dari keputusan! Kemungkinan besar akan “menutupi” kekeliruan analitis, sementara jadwal yang salah dan / atau ceroboh akan menyebabkan masalah bahkan dengan penelitian yang sempurna.

Perlu dicatat bahwa di sumber lain jumlah poin penelitian, urutan pelaksanaannya dan gaya desain mungkin berbeda secara signifikan dari skema yang saya usulkan, tetapi dalam banyak kasus itu sudah cukup. Versi paling sederhana dari soal hanya terdiri dari 2-3 tahap dan dirumuskan seperti ini: "selidiki fungsi menggunakan turunan dan buat grafik" atau "periksa fungsi menggunakan turunan ke-1 dan ke-2, buat grafik".

Biasanya, jika algoritme lain dianalisis secara mendetail di manual Anda, atau guru Anda secara ketat meminta Anda untuk mematuhi ceramahnya, Anda harus membuat beberapa penyesuaian pada solusinya. Tidak lebih sulit daripada mengganti garpu dengan sendok gergaji mesin.

Mari kita periksa fungsi paritas genap / ganjil:

Ini diikuti dengan berhenti berlangganan template:
jadi fungsi ini tidak genap atau ganjil.

Karena fungsinya terus menerus, tidak ada asimtot vertikal.

Juga tidak ada asimtot miring.

Catatan : ingatkan bahwa semakin tinggi urutan pertumbuhandaripada, oleh karena itu, batas akhirnya adalah " sebuah tambahan tak terbatas ".

Mari kita cari tahu bagaimana fungsi berperilaku pada tak terhingga:

Dengan kata lain, jika kita pergi ke kanan, maka grafik naik jauh tak terhingga, jika ke kiri - jauh ke bawah tak terhingga. Ya, ada juga dua batasan dalam satu entri. Jika Anda mengalami kesulitan dalam mengartikan tanda, silakan kunjungi pelajaran tentang fungsi yang sangat kecil.

Jadi fungsinya tidak dibatasi dari atas dan tidak dibatasi dari bawah... Mengingat bahwa kami tidak memiliki break point, itu menjadi jelas dan rentang fungsi: - juga bilangan real apa pun.

BANTUAN TEKNIS BERMANFAAT

Setiap tahapan tugas membawa informasi baru tentang grafik fungsi, oleh karena itu, akan lebih mudah untuk menggunakan semacam TATA LETAK selama solusi. Mari menggambar sistem koordinat Kartesius pada draf. Apa yang sudah diketahui pasti? Pertama, grafik tidak memiliki asimtot, oleh karena itu, tidak perlu menggambar garis lurus. Kedua, kita tahu bagaimana fungsi berperilaku tak terhingga. Berdasarkan analisis, kami akan menggambar perkiraan pertama:

Perhatikan bahwa karena kontinuitas berfungsi dan fakta bahwa grafik harus melintasi sumbu setidaknya sekali. Atau mungkin ada beberapa titik persimpangan?

3) Nol dari fungsi dan interval keteguhan.

Pertama, cari titik perpotongan grafik dengan sumbu ordinat. Itu mudah. Penting untuk menghitung nilai fungsi ketika:

Satu setengah di atas permukaan laut.

Untuk menemukan titik perpotongan dengan sumbu (nol fungsi), Anda perlu menyelesaikan persamaan, dan kemudian kejutan yang tidak menyenangkan menanti kita:

Pada akhirnya, anggota gratis mengintai, yang secara signifikan memperumit tugas.

Persamaan semacam itu memiliki setidaknya satu akar nyata, dan paling sering akar ini tidak rasional. Dalam dongeng terburuk, tiga babi kecil sedang menunggu kita. Persamaan ini dapat diselesaikan menggunakan apa yang disebut formula Cardanotetapi membuang-buang kertas sebanding dengan hampir seluruh penelitian. Dalam hal ini, lebih bijaksana secara lisan atau konsep untuk mencoba menemukan setidaknya satu seluruh akar. Mari kita periksa apakah angkanya bukan:
- tidak muat;
- ada!

Beruntung disini. Jika terjadi kegagalan, Anda juga dapat menguji, dan jika angka-angka ini tidak cocok, maka kemungkinan solusi yang menguntungkan untuk persamaan, saya khawatir, sangat kecil. Maka lebih baik untuk melewatkan poin penelitian sepenuhnya - mungkin sesuatu akan menjadi lebih jelas pada langkah terakhir, ketika poin tambahan akan menembus. Dan jika akar (akar) jelas "buruk", maka lebih baik diam tentang interval keteguhan tanda dan membuat gambar lebih hati-hati.

Namun, kami memiliki akar yang indah, jadi kami membagi polinomialnya tanpa sisa:

Algoritme untuk membagi polinomial dengan polinomial dirinci dalam contoh pertama pelajaran Batasan yang menantang.

Hasilnya, ruas kiri persamaan awal terurai menjadi sebuah karya:

Dan sekarang sedikit tentang gaya hidup sehat. Saya pasti mengerti itu persamaan kuadrat perlu diselesaikan setiap hari, tetapi hari ini kami akan membuat pengecualian: persamaan memiliki dua akar yang valid.

Sisihkan nilai yang ditemukan pada garis bilangan dan metode interval tentukan tanda-tanda fungsinya:


og Jadi, pada interval grafik berada
di bawah sumbu absis, dan dengan interval - di atas sumbu ini.

Temuan ini memungkinkan kami untuk merinci tata letak kami, dan perkiraan kedua grafik terlihat seperti ini:

Perhatikan bahwa fungsi harus memiliki setidaknya satu maksimum pada satu interval, dan setidaknya satu minimum pada satu interval. Tapi berapa kali, dimana dan kapan jadwal akan "berputar", kita belum tahu. Ngomong-ngomong, suatu fungsi bisa memiliki banyak sekali extrema.

4) Meningkatkan, menurunkan, dan mengekstrema fungsi.

Mari temukan poin kritisnya:

Persamaan ini memiliki dua akar nyata. Kami mengesampingkannya pada garis bilangan dan menentukan tanda-tanda turunannya:


Oleh karena itu, fungsinya meningkat dan menurun.
Pada suatu titik, fungsi mencapai maksimumnya: .
Pada suatu titik, fungsinya mencapai minimum: .

Fakta-fakta yang sudah mapan mendorong template kami ke dalam kerangka kerja yang agak kaku:

Tak perlu dikatakan, kalkulus diferensial adalah hal yang hebat. Akhirnya mari kita pahami bentuk grafik:

5) Cembung, cekung dan titik belok.

Mari kita temukan titik kritis dari turunan kedua:

Mari kita definisikan tandanya:


Grafik fungsi cembung dan cekung. Mari kita hitung ordinat dari titik belok :.

Hampir semuanya beres.

6) Tetap mencari poin tambahan yang akan membantu Anda membuat grafik lebih akurat dan melakukan swa-uji. Dalam hal ini, jumlahnya sedikit, tetapi kami tidak akan mengabaikan:

Mari jalankan gambarnya:

Titik belok ditandai dengan warna hijau, titik-titik tambahan ditandai dengan salib. Grafik fungsi kubik berbentuk simetris terhadap titik beloknya, yang selalu berada tepat di tengah-tengah antara maksimum dan minimum.

Dalam proses menyelesaikan tugas, saya membawa tiga gambar perantara hipotetis. Dalam praktiknya, cukup menggambar sistem koordinat, menandai titik-titik yang ditemukan dan setelah setiap titik penelitian secara mental mencari tahu bagaimana grafik fungsi mungkin terlihat. Tidak akan sulit bagi siswa dengan tingkat kesiapan yang baik untuk melakukan analisis seperti itu semata-mata dalam pikiran mereka tanpa melibatkan draf.

Untuk solusi independen:

Contoh 2

Jelajahi fungsi dan plot grafiknya.

Semuanya lebih cepat dan menyenangkan disini, contoh kasar penyelesaian di akhir pelajaran.

Banyak rahasia terungkap dengan mempelajari fungsi fraksional-rasional:

Contoh 3

Dengan menggunakan metode kalkulus diferensial, selidiki fungsinya dan buat grafiknya berdasarkan hasil penelitian.

Keputusan: tahap pertama penelitian tidak dibedakan oleh sesuatu yang luar biasa, dengan pengecualian lubang dalam domain definisi:

1) Fungsi didefinisikan dan berkelanjutan pada seluruh garis bilangan kecuali untuk titik, domain: .

, maka fungsi ini tidak genap atau ganjil.

Fungsinya jelas non-periodik.

Grafik fungsi mewakili dua cabang kontinu yang terletak di bidang setengah kiri dan kanan - ini mungkin kesimpulan terpenting dari poin pertama.

2) Asimtot, perilaku suatu fungsi pada tak terhingga.

a) Dengan menggunakan batas satu sisi, kami menyelidiki perilaku fungsi di dekat titik yang mencurigakan, di mana asimtot vertikalnya harus dengan jelas:

Memang, fungsi bertahan istirahat tanpa akhir pada intinya
dan garis lurus (sumbu) adalah asimtot vertikal grafis.

b) Periksa apakah ada asimtot miring:

Ya, benar asimtot miring grafis jika.

Tidak masuk akal untuk menganalisis batasan, karena sudah jelas bahwa fungsinya dalam pelukan dengan asimtot miringnya tidak dibatasi dari atas dan tidak dibatasi dari bawah.

Poin kedua penelitian membawa banyak informasi penting tentang fungsi. Mari lakukan sketsa kasar:

Kesimpulan # 1 menyangkut interval keteguhan. Pada "minus tak terhingga" grafik fungsi secara unik terletak di bawah sumbu absis, dan pada "plus tak terhingga" - di atas sumbu ini. Selain itu, batas satu sisi memberi tahu kita bahwa fungsi di kiri dan kanan titik juga lebih besar dari nol. Perhatikan bahwa pada bidang setengah kiri, grafik harus melewati absis setidaknya satu kali. Mungkin tidak ada angka nol dari fungsi di bidang setengah kanan.

Kesimpulan # 2 adalah bahwa fungsi bertambah dan ke kiri dari titik (pergi "dari bawah ke atas"). Di sebelah kanan titik ini, fungsinya menurun (pergi "dari atas ke bawah"). Cabang kanan bagan harus memiliki setidaknya satu minimum. Di sebelah kiri, ekstrem tidak dijamin.

Kesimpulan No. 3 memberikan informasi yang dapat diandalkan tentang cekungan grafik di sekitar titik. Sejauh ini, kita tidak dapat mengatakan apa-apa tentang konveksitas / cekung pada infinitas, karena garis dapat ditekan ke asimtotnya baik di atas maupun di bawah. Secara umum, ada cara analitis untuk mengetahuinya sekarang, tetapi bentuk grafik akan "gratis" menjadi jelas di tahap selanjutnya.

Kenapa banyak kata? Untuk mengontrol poin penelitian selanjutnya dan menghindari kesalahan! Perhitungan lebih lanjut tidak boleh bertentangan dengan kesimpulan yang dibuat.

3) Titik-titik perpotongan grafik dengan sumbu koordinat, interval tanda konstanta fungsi.

Grafik fungsi tidak melewati sumbu.

Dengan menggunakan metode interval, kami mendefinisikan tanda:

, jika;
, jika .

Hasil paragraf sepenuhnya konsisten dengan Kesimpulan No. 1. Setelah setiap langkah, lihat draf, secara mental mengacu pada penelitian, dan selesaikan menggambar grafik fungsi.

Dalam contoh di bawah ini, pembilang dibagi suku demi suku dengan penyebut, yang sangat berguna untuk diferensiasi:

Sebenarnya, ini sudah dilakukan saat menemukan asimtot.

- titik penting.

Mari kita definisikan tandanya:

meningkat dan menurun

Pada suatu titik, fungsinya mencapai minimum: .

Juga tidak ada perbedaan dengan Kesimpulan 2, dan kemungkinan besar kami berada di jalur yang benar.

Ini berarti grafik fungsi cekung di seluruh domain.

Luar biasa - dan Anda tidak perlu menggambar apa pun.

Tidak ada titik belok.

Konkavitas tersebut sesuai dengan Kesimpulan No. 3, terlebih lagi, hal ini menunjukkan bahwa pada tak terhingga (baik di sana maupun di sana) grafik fungsi tersebut berada atas asimtotnya yang miring.

6) Sematkan tugas dengan poin tambahan dengan cermat. Di sinilah Anda harus bekerja cukup keras, karena kami hanya mengetahui dua poin dari studi.

Dan gambaran yang, mungkin, telah banyak disajikan sejak lama:

Dalam proses menyelesaikan tugas, Anda perlu memantau dengan cermat agar tidak ada kontradiksi di antara tahapan studi, tetapi terkadang situasinya mendesak atau bahkan sangat buntu. Di sini analis "tidak cocok" - dan hanya itu. Dalam hal ini, saya merekomendasikan metode darurat: kami menemukan sebanyak mungkin titik yang termasuk dalam grafik (seberapa banyak kesabaran yang cukup), dan menandainya pada bidang koordinat. Dalam kebanyakan kasus, analisis grafis dari nilai yang ditemukan akan memberi tahu Anda di mana kebenaran dan di mana salah. Selain itu, grafik dapat dibuat sebelumnya menggunakan beberapa program, misalnya, dalam Excel yang sama (tentu saja, ini membutuhkan keterampilan).

Contoh 4

Dengan menggunakan metode kalkulus diferensial, selidiki fungsi dan buat grafiknya.

Ini adalah contoh untuk solusi lakukan sendiri. Di dalamnya, pengendalian diri ditingkatkan oleh paritas fungsi - grafiknya simetris terhadap sumbu, dan jika dalam penelitian Anda ada sesuatu yang bertentangan dengan fakta ini, cari kesalahan.

Fungsi genap atau ganjil hanya dapat diselidiki di, dan kemudian menggunakan simetri grafik. Solusi ini optimal, tetapi menurut saya, sangat tidak biasa. Secara pribadi, saya mempertimbangkan seluruh sumbu bilangan, tetapi saya masih menemukan poin tambahan hanya di sebelah kanan:

Contoh 5

Lakukan studi lengkap tentang fungsi dan buat grafiknya.

Keputusan: terburu-buru:

1) Fungsi ini didefinisikan dan berkelanjutan pada seluruh garis bilangan :.

Artinya fungsi ini ganjil, grafiknya simetris terhadap titik asal.

Fungsinya jelas non-periodik.

2) Asimtot, perilaku suatu fungsi pada tak terhingga.

Karena fungsinya terus menerus, tidak ada asimtot vertikal

Untuk fungsi yang mengandung eksponen, biasanya terpisah studi tentang "plus" dan "minus infinity", tetapi hidup kita menjadi lebih mudah dengan simetri grafik - apakah ada asimtot di kiri dan di kanan, atau tidak. Oleh karena itu, kedua batas tak hingga dapat diformalkan dalam satu entri. Dalam proses pemecahan, kami menggunakan aturan L'Hôpital:

Garis lurus (sumbu) adalah asimtot horizontal dari grafik di.

Perhatikan bagaimana saya dengan cerdik menghindari algoritme lengkap untuk menemukan asimtot miring: batasnya cukup legal dan menjelaskan perilaku fungsi pada tak terhingga, dan asimtot horizontal ditemukan "seolah-olah pada waktu yang sama".

Dari kontinuitas dan keberadaan asimtot horizontal, maka fungsinya dibatasi dari atas dan dibatasi dari bawah.

3) Titik perpotongan grafik dengan sumbu koordinat, interval keteguhan.

Di sini kami juga mempersingkat solusinya:
Grafik melewati asal.

Tidak ada titik persimpangan lain dengan sumbu koordinat. Selain itu, interval keteguhan tanda sudah jelas, dan sumbu dapat dihilangkan :, yang berarti bahwa tanda fungsi hanya bergantung pada "x":
, jika;
, jika.

4) Meningkatkan, menurunkan, ekstrema fungsi.


- poin kritis.

Titik-titiknya simetris tentang nol, sebagaimana mestinya.

Mari kita tentukan tanda-tanda turunannya:


Fungsi meningkat pada interval dan menurun pada interval

Pada suatu titik, fungsi mencapai maksimumnya: .

Karena properti (fungsi ganjil) minimum dapat dihilangkan:

Karena fungsinya menurun pada suatu interval, maka, jelas, grafik terletak pada "minus tak terhingga" dibawah asimtotnya. Pada interval, fungsinya juga berkurang, tetapi di sini kebalikannya benar - setelah melewati titik maksimum, garis mendekati sumbu sudah dari atas.

Juga mengikuti dari penjelasan di atas bahwa grafik fungsi adalah cembung pada "minus tak terhingga" dan cekung pada "tak terhingga".

Setelah titik penelitian ini, kisaran nilai fungsi juga ditarik:

Jika Anda memiliki kesalahpahaman tentang poin mana pun, saya sekali lagi mendorong Anda untuk menggambar sumbu koordinat di buku catatan dan, dengan pensil di tangan, menganalisis ulang setiap kesimpulan dari tugas.

5) Konveksitas, cekung, kerutan grafik.

- poin kritis.

Simetri titik-titiknya dipertahankan, dan, kemungkinan besar, kami tidak salah.

Mari kita definisikan tandanya:


Grafik fungsi cembung dan cekung .

Konveksitas / cekung pada interval ekstrim telah dikonfirmasi.

Di semua titik kritis, ada perubahan pada grafik. Temukan ordinat dari titik belok, sambil mengurangi jumlah perhitungan menggunakan keanehan fungsi:

Jika tugas tersebut membutuhkan studi lengkap tentang fungsi f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 dengan konstruksi grafiknya, maka prinsip ini akan dibahas secara rinci.

Untuk mengatasi masalah jenis ini, seseorang harus menggunakan properti dan grafik dari fungsi dasar utama. Algoritma penelitian meliputi langkah-langkah:

Menemukan ruang lingkup

Karena penelitian dilakukan pada domain definisi fungsi, maka perlu dimulai dari langkah ini.

Contoh 1

Contoh yang diberikan mengasumsikan menemukan nol penyebut untuk mengeluarkannya dari ODZ.

4 x 2-1 \u003d 0 x \u003d ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞

Hasilnya, Anda bisa mendapatkan akar, logaritma, dan sebagainya. Maka ODV dapat dicari untuk akar dengan derajat genap tipe g (x) 4 dengan pertidaksamaan g (x) ≥ 0, untuk logaritma log a g (x) dengan pertidaksamaan g (x)\u003e 0.

Investigasi batas ODZ dan menemukan asimtot vertikal

Ada asimtot vertikal pada batas-batas fungsi ketika batas satu sisi pada titik-titik tersebut tidak terbatas.

Contoh 2

Misalnya, anggap titik batas sama dengan x \u003d ± 1 2.

Maka perlu mempelajari fungsi untuk menemukan batas satu sisi. Maka kita dapatkan bahwa: lim x → - 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) - 0 \u003d + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) (+ 0) \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 0) 2 \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 ( + 0) 2 \u003d + ∞

Oleh karena itu, terlihat bahwa batas satu sisi tidak terbatas, yang berarti bahwa garis lurus x \u003d ± 1 2 merupakan asimtot vertikal grafik.

Memeriksa fungsi dan paritas genap atau ganjil

Jika kondisi y (- x) \u003d y (x) terpenuhi, fungsinya dianggap genap. Hal ini menunjukkan bahwa grafik ditempatkan secara simetris terhadap O y. Jika syarat y (- x) \u003d - y (x) terpenuhi, fungsinya dianggap ganjil. Ini berarti kesimetrian relatif terhadap asalnya. Jika setidaknya satu ketidaksamaan tidak terpenuhi, kami memperoleh fungsi umum.

Persamaan y (- x) \u003d y (x) menunjukkan bahwa fungsinya genap. Saat membangun, perlu diperhatikan bahwa akan ada kesimetrian di sekitar O y.

Untuk mengatasi pertidaksamaan tersebut, digunakan interval kenaikan dan penurunan dengan kondisi masing-masing f "(x) ≥ 0 dan f" (x) ≤ 0.

Definisi 1

Poin stasioner- ini adalah titik yang mengubah turunan menjadi nol.

Poin kritis - ini adalah titik interior dari domain, di mana turunan fungsinya adalah nol atau tidak ada.

Saat memutuskan, perlu mempertimbangkan catatan berikut:

• dengan interval kenaikan dan penurunan pertidaksamaan yang tersedia dalam bentuk f "(x)\u003e 0, titik kritis tidak dimasukkan dalam solusi;
• titik-titik di mana fungsi didefinisikan tanpa turunan hingga harus dimasukkan dalam interval kenaikan dan penurunan (misalnya, y \u003d x 3, di mana titik x \u003d 0 membuat fungsinya pasti, turunannya memiliki nilai tak hingga pada titik ini, y "\u003d 1 3 x 2 3, y "(0) \u003d 1 0 \u003d ∞, x \u003d 0 dimasukkan dalam interval peningkatan);
• untuk menghindari kontroversi, disarankan untuk menggunakan literatur matematika yang direkomendasikan oleh Kementerian Pendidikan.

Pencantuman titik kritis dalam interval kenaikan dan penurunan jika memenuhi domain fungsi.

Definisi 2

Untuk untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi, perlu ditemukan:

• turunan;
• titik kritis;
• pisahkan area definisi menggunakan titik kritis menjadi beberapa interval;
• tentukan tanda turunan pada setiap interval, di mana + adalah kenaikan, dan - adalah penurunan.

Contoh 3

Temukan turunannya pada domain f "(x) \u003d x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 ...

Keputusan

Untuk mengatasi yang Anda butuhkan:

• temukan titik-titik stasioner, contoh ini memiliki x \u003d 0;
• cari angka nol penyebutnya, contohnya mengambil nilai nol pada x \u003d ± 1 2.

Kami mengekspos poin pada sumbu numerik untuk menentukan turunan pada setiap interval. Untuk melakukan ini, cukup mengambil titik mana pun dari interval dan melakukan perhitungan. Jika hasilnya positif, kita plot + pada grafik, yang artinya fungsi bertambah, dan - artinya penurunannya.

Misal f "(- 1) \u003d - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, artinya interval pertama di sebelah kiri bertanda +. Perhatikan garis bilangan tersebut.

Menjawab:

• fungsi meningkat pada interval - ∞; - 1 2 dan (- 1 2; 0];
• ada penurunan dalam interval [0; 1 2) dan 1 2; + ∞.

Pada diagram, menggunakan + dan - menggambarkan sisi positif dan negatif dari fungsi tersebut, dan panah menunjukkan penurunan dan peningkatan.

Titik ekstremum dari suatu fungsi adalah titik di mana fungsi tersebut didefinisikan dan melalui tanda turunannya berubah.

Contoh 4

Jika kita perhatikan sebuah contoh, di mana x \u003d 0, maka nilai fungsi di dalamnya sama dengan f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Jika tanda turunan berubah dari + ke - dan melewati titik x \u003d 0, maka titik dengan koordinat (0; 0) dianggap titik maksimum. Ketika tanda berubah dari - menjadi +, kita mendapatkan poin minimum.

Cembung dan cekung ditentukan dengan menyelesaikan pertidaksamaan bentuk f "" (x) ≥ 0 dan f "" (x) ≤ 0. Lebih jarang, nama yang digunakan adalah konveksitas ke bawah, bukan cekung, dan konveksitas ke atas, bukan konveksitas.

Definisi 3

Untuk menentukan interval cekung dan cembung itu perlu:

• temukan turunan keduanya;
• temukan angka nol dari fungsi turunan kedua;
• bagi area definisi dengan poin yang muncul menjadi beberapa interval;
• tentukan tanda celahnya.

Contoh 5

Temukan turunan kedua dari domain tersebut.

Keputusan

f "" (x) \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "\u003d \u003d (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 \u003d 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Kami menemukan angka nol dari pembilang dan penyebut, di mana dalam contoh kami, kami mendapatkan bahwa angka nol dari penyebut x \u003d ± 1 2

Sekarang Anda perlu memplot titik pada sumbu numerik dan menentukan tanda turunan kedua dari setiap interval. Kami mengerti

Menjawab:

• fungsinya cembung dari interval - 1 2; 12;
• fungsinya cekung dari interval - ∞; - 1 2 dan 1 2; + ∞.

Definisi 4

Titik belok Adalah titik berbentuk x 0; f (x 0). Ketika ia bersinggungan dengan grafik suatu fungsi, maka ketika melewati x 0, fungsi tersebut mengubah tandanya menjadi sebaliknya.

Dengan kata lain, ini adalah titik yang dilalui turunan keduanya dan tanda perubahan, dan pada titik-titik itu sendiri sama dengan nol atau tidak ada. Semua poin dianggap sebagai domain dari fungsi tersebut.

Pada contoh terlihat tidak ada titik belok, karena turunan keduanya berubah tanda saat melewati titik x \u003d ± 1 2. Mereka, pada gilirannya, tidak termasuk dalam cakupan definisi.

Menemukan asimtot horizontal dan miring

Saat menentukan fungsi pada tak terhingga, Anda perlu mencari asimtot horizontal dan miring.

Definisi 5

Asimtot miringdigambarkan menggunakan garis lurus yang ditentukan oleh persamaan y \u003d k x + b, di mana k \u003d lim x → ∞ f (x) x dan b \u003d lim x → ∞ f (x) - k x.

Untuk k \u003d 0 dan b tidak sama dengan tak terhingga, kita temukan bahwa asimtot miring menjadi horisontal.

Dengan kata lain, asimtot adalah garis di mana grafik fungsi mendekati tak terhingga. Ini membantu memplot fungsi dengan cepat.

Jika tidak ada asimtot, tetapi fungsi tersebut didefinisikan pada kedua infinitas, maka perlu untuk menghitung batas fungsi pada infinitas ini untuk memahami bagaimana grafik fungsi akan berperilaku.

Contoh 6

Misalnya, pertimbangkan itu

k \u003d lim x → ∞ f (x) x \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x \u003d 0 b \u003d lim x → ∞ (f (x) - kx) \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 \u003d 1 4 ⇒ y \u003d 1 4

adalah asimtot horizontal. Setelah memeriksa fungsinya, Anda bisa mulai membangunnya.

Menghitung nilai fungsi di titik tengah

Untuk membuat penggambaran yang paling akurat, disarankan untuk menemukan beberapa nilai fungsi di titik tengah.

Contoh 7

Dari contoh yang telah kita pertimbangkan, kita perlu mencari nilai fungsi pada titik x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Karena fungsinya genap, kita mendapatkan bahwa nilainya sama dengan nilai pada titik-titik ini, yaitu, kita mendapatkan x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Mari tulis dan pecahkan:

F (- 2) \u003d f (2) \u003d 2 2 4 2 2 - 1 \u003d 4 15 ≈ 0,27 f (- 1) - f (1) \u003d 1 2 4 1 2 - 1 \u003d 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 \u003d f 3 4 \u003d 3 4 2 4 3 4 2 - 1 \u003d 9 20 \u003d 0,45 f - 1 4 \u003d f 1 4 \u003d 1 4 2 4 1 4 2 - 1 \u003d - 1 12 ≈ - 0,08

Untuk menentukan maksimal dan minimal suatu fungsi, titik belok, titik tengah, perlu untuk memplot asimtot. Untuk penunjukan yang nyaman, interval kenaikan, penurunan, konveksitas, cekung diperbaiki. Perhatikan gambar di bawah ini.

Anda perlu menggambar garis grafik melalui titik-titik yang ditandai, yang akan memungkinkan Anda untuk lebih dekat ke asimtot, mengikuti panah.

Ini menyimpulkan eksplorasi penuh fungsi. Ada beberapa kasus konstruksi beberapa fungsi dasar yang diterapkan transformasi geometris.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, pilih dan tekan Ctrl + Enter

Untuk beberapa waktu sekarang di TheBat (untuk beberapa alasan) database sertifikat bawaan untuk SSL berhenti berfungsi dengan benar.

Saat memeriksa posting, kesalahan muncul:

Sertifikat CA tidak diketahui
Server tidak menyajikan sertifikat akar dalam sesi dan sertifikat akar yang sesuai tidak ditemukan di buku alamat.
Hubungan ini tidak boleh dirahasiakan. Sama sama
hubungi administrator server Anda.

Dan ada pilihan jawaban - YA / TIDAK. Dan setiap kali Anda melepas surat Anda.

Keputusan

Dalam hal ini, Anda perlu mengganti standar implementasi S / MIME dan TLS dengan Microsoft CryptoAPI di TheBat!

Karena saya perlu menggabungkan semua file menjadi satu, pertama-tama saya mengonversi semua file doc menjadi satu file pdf (menggunakan program Acrobat), dan kemudian mengubahnya menjadi fb2 melalui konverter online. Anda juga dapat mengonversi file secara terpisah. Format benar-benar dapat berupa (sumber) dan dokumen, dan jpg, dan bahkan arsip zip!

Nama situs sesuai dengan esensi :) Photoshop Online.

Perbarui Mei 2015

Saya menemukan situs hebat lainnya! Bahkan lebih nyaman dan fungsional untuk membuat kolase yang sepenuhnya berubah-ubah! Situs ini adalah http://www.fotor.com/en/collage/. Gunakan untuk kesehatan Anda. Dan saya akan menggunakannya sendiri.

Menghadapi hidup saya dengan perbaikan kompor listrik. Saya telah melakukan banyak hal, belajar banyak, tetapi entah mengapa saya tidak banyak berhubungan dengan ubin. Itu perlu untuk mengganti kontak pada kontrol dan pembakar. Muncul pertanyaan - bagaimana cara menentukan diameter pembakar pada kompor listrik?

Jawabannya sederhana. Anda tidak perlu mengukur apa pun, Anda dapat dengan tenang menentukan ukuran yang Anda butuhkan.

Pembakar terkeciladalah 145 milimeter (14,5 sentimeter)

Piring panas sedang adalah 180 milimeter (18 sentimeter).

Dan akhirnya, paling banyak pembakar besar adalah 225 milimeter (22,5 sentimeter).

Cukup menentukan ukuran dengan mata dan memahami diameter apa yang Anda butuhkan pembakar. Ketika saya tidak mengetahuinya, saya melonjak dengan dimensi ini, saya tidak tahu bagaimana mengukur, tepi mana yang harus dinavigasi, dll. Sekarang saya bijaksana :) Saya harap saya juga membantu Anda!

Dalam hidup saya, saya menghadapi tugas seperti itu. Saya pikir saya bukan satu-satunya.