Grafik dan properti Arcsin. Fungsi trigonometri terbalik, grafik dan rumusnya

Fungsi trigonometri terbalik(fungsi lingkaran, fungsi busur) - fungsi matematika yang merupakan kebalikan dari fungsi trigonometri.

arcsinus(dilambangkan sebagai busur x; busur x- ini sudutnya dosa sederajat dengannya X).

arcsinus (y = busursin x) - fungsi trigonometri terbalik ke dosa (x = dosa y), yang memiliki domain dan sekumpulan nilai . Dengan kata lain, mengembalikan sudut berdasarkan nilainya dosa.

Fungsi y=dosa x kontinu dan dibatasi sepanjang garis bilangannya. Fungsi y=arcsin x- sangat meningkat.

Sifat-sifat fungsi arcsin.

Plot arcsinus.

Mendapatkan fungsi arcsin.

Ada fungsi y = sinx. Di seluruh domain definisinya, ia bersifat monotonik, sehingga korespondensinya terbalik y = busursin x bukan suatu fungsi. Oleh karena itu, kami mempertimbangkan segmen yang hanya bertambah dan mengambil setiap nilai dari rentang nilai - . Karena untuk fungsi y = sinx pada interval tersebut semua nilai fungsi diperoleh hanya dengan satu nilai argumen, artinya pada interval tersebut terdapat invers fungsi y = busursin x, yang grafiknya simetris dengan grafik fungsi y = sinx pada suatu segmen yang relatif lurus kamu = x.

Soal-soal yang berkaitan dengan fungsi trigonometri terbalik sering ditawarkan pada ujian akhir sekolah dan ujian masuk di beberapa universitas. Studi rinci tentang topik ini hanya dapat dicapai di kelas pilihan atau mata kuliah pilihan. Mata kuliah yang diusulkan dirancang untuk mengembangkan kemampuan setiap siswa semaksimal mungkin dan meningkatkan persiapan matematikanya.

Kursus ini berlangsung 10 jam:

1.Fungsi arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 jam).

2.Operasi fungsi trigonometri terbalik (4 jam).

3. Operasi trigonometri terbalik pada fungsi trigonometri (2 jam).

Pelajaran 1 (2 jam) Topik: Fungsi y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Sasaran: liputan lengkap tentang masalah ini.

1.Fungsi y = arcsin x.

a) Untuk fungsi y = sin x pada ruas tersebut terdapat fungsi invers (bernilai tunggal), yang kita sepakati untuk menyebutnya arcsinus dan dilambangkan sebagai berikut: y = arcsin x. Grafik invers fungsi simetris dengan grafik fungsi utama terhadap garis bagi sudut koordinat I - III.

Sifat-sifat fungsi y = arcsin x.

1) Domain definisi: segmen [-1; 1];

2)Area perubahan: segmen;

3)Fungsi y = arcsin x ganjil: arcsin (-x) = - arcsin x;

4)Fungsi y = arcsin x meningkat secara monoton;

5) Grafik tersebut memotong sumbu Ox, Oy di titik asal.

Contoh 1. Carilah a = arcsin. Contoh tersebut dapat dirumuskan secara rinci sebagai berikut: carilah argumen a yang terletak pada rentang dari ke, yang sinusnya sama dengan.

Larutan. Ada banyak sekali argumen yang sinusnya sama dengan , misalnya: dll. Namun kami hanya tertarik pada argumen yang ada pada segmen tersebut. Ini akan menjadi argumennya. Jadi, .

Contoh 2. Temukan .Larutan. Berdebat dengan cara yang sama seperti pada Contoh 1, kita dapatkan .

b) latihan lisan. Cari: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Contoh jawaban: , Karena . Apakah ekspresi tersebut masuk akal: ; arcsin 1.5; ?

c) Susun dalam urutan menaik: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.

II. Fungsi y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (serupa).

Pelajaran 2 (2 jam) Topik: Fungsi trigonometri terbalik, grafiknya.

Tujuan: dalam pembelajaran ini perlu untuk mengembangkan keterampilan menentukan nilai fungsi trigonometri, membuat grafik invers fungsi trigonometri menggunakan D (y), E (y) dan transformasi yang diperlukan.

Pada pembelajaran kali ini, selesaikan latihan yang meliputi mencari domain definisi, domain nilai fungsi yang bertipe: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Anda harus membuat grafik fungsi: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 busursin 2x; c) y = arcsin;

d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) kamu = | arcsin | .

Contoh. Mari kita plot y = arccos

Anda dapat memasukkan latihan berikut ke dalam pekerjaan rumah Anda: buat grafik fungsi: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Grafik Fungsi Invers

Tujuan: untuk memperluas pengetahuan matematika (ini penting bagi mereka yang memasuki spesialisasi dengan persyaratan yang meningkat untuk pelatihan matematika) dengan memperkenalkan hubungan dasar fungsi trigonometri terbalik.

Bahan untuk pelajaran.

Beberapa operasi trigonometri sederhana pada fungsi trigonometri terbalik: dosa (arcsin x) = x , saya xi ? 1; cos (arсcos x) = x, saya xi? 1; tg (arctg x)= x , x aku R; ctg (arcctg x) = x , x aku R.

Latihan.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Misalkan arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; dosa (arcos x) = .

Catatan: kita ambil tanda “+” di depan akar karena a = arcsin x satisfies .

c) sin (1,5 + arcsin) Jawaban: ;

d) ctg(+arctg 3).Jawaban: ;

e) tg ( – arcctg 4) Jawaban: .

e) cos (0,5 + arccos). Menjawab: .

Menghitung:

a) dosa (2 arctan 5) .

Misalkan arctan 5 = a, maka sin 2 a = atau dosa (2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0,8) Jawaban : 0,28.

c) arctg + arctg.

Misal a = arctg, b = arctg,

maka tg(a + b) = .

d) dosa (arcsin + arcsin).

e) Buktikan bahwa untuk semua x I [-1; 1] benar arcsin x + arccos x = .

Bukti:

busursin x = – busurcos x

sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)

x = cos (arcos x)

Untuk mengatasinya sendiri: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Untuk solusi rumahan: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) busursin + busursin ; 3) ctg ( – arccos 0.6); 4) cos (2 busur 5) ; 5) dosa (1,5 – arcsin 0,8); 6) busur 0,5 – busur 3.

Sasaran: Dalam pelajaran ini, mendemonstrasikan penggunaan rasio dalam mentransformasikan ekspresi yang lebih kompleks.

Bahan untuk pelajaran.

SECARA LISAN:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

c) dosa (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

SECARA TERTULIS:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Kerja mandiri akan membantu mengetahui tingkat penguasaan materi.

Untuk pekerjaan rumah, Anda dapat menyarankan:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) dosa 2 (arctg 2 – arcctg()); 3) dosa (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) dosa(2 arctg); 5) tg ( (arcsin ))

Tujuan: membentuk pemahaman siswa tentang operasi trigonometri terbalik pada fungsi trigonometri, dengan fokus pada peningkatan pemahaman terhadap teori yang dipelajari.

Ketika mempelajari topik ini, diasumsikan bahwa jumlah materi teori yang harus dihafal terbatas.

Materi pelajaran:

Anda dapat mulai mempelajari materi baru dengan mempelajari fungsi y = arcsin (sin x) dan membuat grafiknya.

3. Setiap x I R diasosiasikan dengan y I, yaitu.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Fungsinya ganjil: sin(-x) = - sin x; arcsin(dosa(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Grafik y = arcsin (sin x) pada:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

B)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

dosa y = dosa ( – x) = dosa x , 0<= - x <= .

Jadi,

Setelah membangun y = arcsin (sin x) pada , kita lanjutkan secara simetris terhadap titik asal pada [- ; 0], mengingat keanehan fungsi ini. Dengan menggunakan periodisitas, kita melanjutkan sepanjang garis bilangan keseluruhan.

Kemudian tuliskan beberapa hubungan: arcsin (sin a) = a jika<= a <= ; arccos (cos A ) = a jika 0<= a <= ; arctg (tg a) = a jika< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Dan kerjakan latihan berikut:a) arccos(sin 2).Jawaban: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Jawaban: - 0,1; c) arctg (tg 2) Jawaban : 2 - ;

d) arcctg(tg 0.6).Jawaban: 0.9; e) arccos (cos ( - 2)) Jawab : 2 - ; e) arcsin (dosa ( - 0,6)). Jawaban: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Jawaban: 2 - ; h) arcctg (tg 0.6). Jawaban: - 0,6; - arctanx; e) arccos + arccos

Definisi dan notasi

Arcsine terkadang dilambangkan sebagai berikut:
.

Grafik fungsi arcsinus

Grafik fungsi y = busur x

Grafik busur sinus diperoleh dari grafik sinus jika sumbu absis dan sumbu ordinat dipertukarkan. Untuk menghilangkan ambiguitas, rentang nilai dibatasi pada interval di mana fungsinya bersifat monotonik. Definisi ini disebut nilai pokok arcsinus.

Arccosine, arccos

Definisi dan notasi

Arccosine terkadang dilambangkan sebagai berikut:
.

Grafik fungsi arc cosinus

Grafik fungsi y = arccos x

Grafik arc cosinus diperoleh dari grafik cosinus jika sumbu absis dan sumbu ordinat dipertukarkan. Untuk menghilangkan ambiguitas, rentang nilai dibatasi pada interval di mana fungsinya bersifat monotonik. Definisi ini disebut nilai pokok arc cosinus.

Keseimbangan

Fungsi arcsinus ganjil:
busursin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(dosa(-arcsin x)) = - arcsin x

Fungsi arc cosinus tidak genap atau ganjil:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Properti - ekstrem, meningkat, menurun

Fungsi arcsinus dan arccosine kontinu dalam domain definisinya (lihat bukti kontinuitas). Sifat utama arcsinus dan arccosine disajikan dalam tabel.

Tabel arcsinus dan arccosines

Tabel ini menyajikan nilai arcsinus dan arccosines, dalam derajat dan radian, untuk nilai argumen tertentu.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Rumus

Rumus jumlah dan selisih

di atau

di dan

di dan

di atau

di dan

di dan

pada

pada

pada

pada

Ekspresi melalui logaritma, bilangan kompleks

Ekspresi melalui fungsi hiperbolik

Derivatif

;
.
Lihat Derivasi turunan arcsinus dan arccosine > > >

Derivatif tingkat tinggi:
,
di mana adalah polinomial derajat. Itu ditentukan oleh rumus:
;
;
.

Lihat Derivasi turunan orde tinggi arcsinus dan arccosine >> >

Integral

Kita melakukan substitusi x = dosa t. Kami berintegrasi per bagian, dengan mempertimbangkan bahwa -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, biaya t ≥ 0:
.

Mari kita nyatakan arc cosinus melalui arc sinus:
.

Ekspansi seri

Kapan |x|< 1 dekomposisi berikut terjadi:
;
.

Fungsi terbalik

Kebalikan dari arcsinus dan arccosine masing-masing adalah sinus dan cosinus.

Rumus berikut ini berlaku di seluruh domain definisi:
dosa(arcsin x) = x
cos(arcos x) = x .

Rumus berikut hanya berlaku pada himpunan nilai arcsinus dan arccosine:
busursin(dosa x) = x pada
arccos(cos x) = x pada .

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.