Definisi modul. Apa modulus bilangan dalam matematika

instruksi

Jika sebuah modul direpresentasikan sebagai fungsi kontinu, maka nilai argumennya bisa positif atau negatif: |x| = x, x ≥ 0; |x| = -x,x

Modulusnya adalah nol, dan modulus bilangan positif apa pun adalah . Jika argumennya negatif, maka setelah tanda kurung dibuka, tandanya berubah dari minus menjadi plus. Berdasarkan hal tersebut, dapat disimpulkan bahwa modul-modul yang berlawanan adalah sama: |-x| = |x| = x.

Modulus bilangan kompleks dicari dengan rumus: |a| = √b ² + c ², dan |a + b| ≤ |a| + |b|. Apabila suatu argumen mengandung bilangan positif sebagai pengali, maka dapat dikeluarkan dari tanda kurung, contoh: |4*b| = 4*|b|.

Jika argumen disajikan sebagai bilangan kompleks, maka untuk memudahkan perhitungan, urutan suku-suku ekspresi yang diapit tanda kurung siku diperbolehkan: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 karena (2-3) lebih kecil dari nol.

Argumen yang dipangkatkan secara bersamaan berada di bawah tanda akar yang berorde sama - diselesaikan dengan menggunakan: √a² = |a| = ±a.

Jika Anda memiliki tugas di mana kondisi untuk memperluas tanda kurung modul tidak ditentukan, maka Anda tidak perlu membuangnya - ini akan menjadi hasil akhirnya. Dan jika Anda perlu membukanya, Anda harus menunjukkan tanda ±. Misalnya, Anda perlu mencari nilai ekspresi √(2 * (4-b))². Solusinya terlihat seperti ini: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Karena tanda ekspresi 4-b tidak diketahui, maka harus dibiarkan dalam tanda kurung. Jika Anda menambahkan kondisi tambahan, misalnya |4-b| >

Modulus nol sama dengan nol, dan modulus bilangan positif apa pun sama dengan bilangan itu sendiri. Jika argumennya negatif, maka setelah tanda kurung dibuka, tandanya berubah dari minus menjadi plus. Berdasarkan hal tersebut, dapat disimpulkan bahwa modul-modul bilangan yang berlawanan adalah sama: |-x| = |x| = x.

Modulus bilangan kompleks dicari dengan rumus: |a| = √b ² + c ², dan |a + b| ≤ |a| + |b|. Jika suatu argumen mengandung bilangan bulat positif sebagai faktornya, maka argumen tersebut dapat dikeluarkan dari tanda kurung, contoh: |4*b| = 4*|b|.

Modulusnya tidak boleh negatif, jadi bilangan negatif apa pun diubah menjadi positif: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Jika argumen disajikan dalam bentuk bilangan kompleks, maka untuk kemudahan perhitungan diperbolehkan mengubah urutan suku-suku ekspresi yang diapit tanda kurung siku: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 karena (2-3) lebih kecil dari nol.

Modulus angka bilangan ini sendiri disebut bilangan non-negatif, atau bilangan yang sama dengan tanda kebalikannya jika bilangan negatif.

Misalnya modulus bilangan 5 adalah 5, dan modulus bilangan –5 juga 5.

Artinya, modulus suatu bilangan dipahami sebagai nilai mutlak, nilai mutlak suatu bilangan tanpa memperhitungkan tandanya.

Dilambangkan sebagai berikut: |5|, | X|, |A| dll.

Aturan:

Penjelasan:

|5| = 5
Bunyinya seperti ini: modulus bilangan 5 adalah 5.

|–5| = –(–5) = 5
Bunyinya seperti ini: modulus bilangan –5 adalah 5.

|0| = 0
Bunyinya seperti ini: modulus nol adalah nol.

Properti modul:

1) Modulus suatu bilangan adalah bilangan non-negatif:

|A| ≥ 0

2) Modul bilangan yang berlawanan adalah sama:

|A| = |–A|

3) Kuadrat modulus suatu bilangan sama dengan kuadrat bilangan ini:

|A| 2 = sebuah 2

4) Modulus hasil kali bilangan sama dengan hasil kali modulus bilangan-bilangan berikut:

|A · B| = |A| · | B|

6) Modulus suatu bilangan hasil bagi sama dengan perbandingan modulus bilangan-bilangan berikut:

|A : B| = |A| : |B|

7) Modulus jumlah bilangan kurang dari atau sama dengan jumlah modulusnya:

|A + B| ≤ |A| + |B|

8) Modulus selisih bilangan kurang dari atau sama dengan jumlah modulusnya:

|A – B| ≤ |A| + |B|

9) Modulus jumlah/selisih bilangan lebih besar atau sama dengan modulus selisih modulusnya:

|A ± B| ≥ ||A| – |B||

10) Pengganda positif konstan dapat dikeluarkan dari tanda modulus:

|M · A| = M · | A|, M >0

11) Pangkat suatu bilangan dapat diturunkan dari tanda modulusnya:

|A k | = | A| k jika k ada

12) Jika | A| = |B|, lalu A = ± B

Arti geometris dari modul.

Modulus suatu bilangan adalah jarak dari nol ke bilangan tersebut.

Misalnya kita ambil lagi angka 5. Jarak dari 0 ke 5 sama dengan jarak dari 0 ke –5 (Gbr. 1). Dan bila yang penting bagi kita hanya mengetahui panjang ruasnya saja, maka tanda tidak hanya mempunyai arti, tetapi juga makna. Namun, ini tidak sepenuhnya benar: kita mengukur jarak hanya dengan bilangan positif - atau bilangan non-negatif. Misalkan harga pembagian skala kita adalah 1 cm, maka panjang ruas dari nol sampai 5 adalah 5 cm, dari nol sampai –5 juga 5 cm.

Dalam praktiknya, jarak sering kali diukur tidak hanya dari nol - titik acuannya bisa berupa angka berapa pun (Gbr. 2). Namun hal ini tidak mengubah esensinya. Notasi bentuk |a – b| menyatakan jarak antar titik A Dan B pada garis bilangan.

Contoh 1. Selesaikan persamaan | X – 1| = 3.

Solusi.

Arti dari persamaan tersebut adalah jarak antar titik X dan 1 sama dengan 3 (Gbr. 2). Oleh karena itu, dari titik 1 kami menghitung tiga pembagian ke kiri dan tiga pembagian ke kanan - dan kami melihat dengan jelas kedua nilai tersebut X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Kita bisa menghitungnya.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Menjawab : X 1 = –2; X 2 = 4.

Contoh 2. Temukan modul ekspresi:

Solusi.

Pertama, mari kita cari tahu apakah ekspresi tersebut positif atau negatif. Untuk melakukan ini, kita ubah ekspresi tersebut sehingga terdiri dari bilangan-bilangan homogen. Jangan mencari akar dari 5 - ini cukup sulit. Mari kita lakukan dengan lebih sederhana: mari kita naikkan 3 dan 10 ke akarnya, lalu bandingkan besaran bilangan-bilangan yang membentuk selisihnya:

3 = √9. Jadi, 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Kita melihat bahwa bilangan pertama lebih kecil dari bilangan kedua. Artinya ekspresi tersebut negatif, yaitu jawabannya kurang dari nol:

3√5 – 10 < 0.

Namun menurut aturan, modulus suatu bilangan negatif adalah bilangan yang sama dan berlawanan tanda. Kami memiliki ekspresi negatif. Oleh karena itu, tandanya perlu diubah menjadi sebaliknya. Ekspresi kebalikan dari 3√5 – 10 adalah –(3√5 – 10). Mari kita buka tanda kurung di dalamnya dan dapatkan jawabannya:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Menjawab .

Modul adalah salah satu hal yang sepertinya pernah didengar semua orang, namun kenyataannya tidak ada yang benar-benar memahaminya. Oleh karena itu, hari ini akan ada pelajaran besar yang didedikasikan untuk menyelesaikan persamaan dengan modul.

Saya akan segera mengatakan: pelajarannya tidak akan sulit. Dan secara umum, modul adalah topik yang relatif sederhana. “Ya tentu saja tidak ribet! Itu mengejutkanku!” - banyak siswa akan berkata, tetapi semua kerusakan otak ini terjadi karena fakta bahwa kebanyakan orang tidak memiliki pengetahuan di kepala mereka, tetapi semacam omong kosong. Dan tujuan dari pelajaran ini adalah mengubah omong kosong menjadi pengetahuan. :)

Sedikit teori

Jadi ayo pergi. Mari kita mulai dengan hal yang paling penting: apa itu modul? Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa modulus suatu bilangan hanyalah bilangan yang sama, tetapi diambil tanpa tanda minus. Misalnya, $\kiri| -5 \kanan|=5$. Atau $\kiri| -129,5 \kanan|=$129,5.

Apakah sesederhana itu? Ya, sederhana. Lalu berapakah nilai mutlak suatu bilangan positif? Lebih sederhana lagi di sini: modulus bilangan positif sama dengan bilangan itu sendiri: $\left| 5 \kanan|=5$; $\kiri| 129,5 \kanan|=$129,5, dst.

\[\kiri| -a \kanan|=\kiri| a\kanan|\]

Fakta penting lainnya: modulus tidak pernah negatif. Berapapun bilangan yang kita ambil - baik positif atau negatif - modulusnya selalu positif (atau, dalam kasus ekstrim, nol). Inilah sebabnya mengapa modulus sering disebut sebagai nilai absolut suatu bilangan.

Selain itu, jika kita menggabungkan definisi modulus untuk bilangan positif dan negatif, kita memperoleh definisi global modulus untuk semua bilangan. Yaitu: modulus suatu bilangan sama dengan bilangan itu sendiri jika bilangan tersebut positif (atau nol), atau sama dengan bilangan lawannya jika bilangan tersebut negatif. Anda dapat menulis ini sebagai rumus:

Ada juga modulus nol, tapi selalu sama dengan nol. Selain itu, nol merupakan satu-satunya bilangan yang tidak mempunyai lawan.

Jadi, jika kita mempertimbangkan fungsi $y=\left| x \right|$ dan coba gambar grafiknya, Anda akan mendapatkan hasil seperti ini:

Grafik modulus dan contoh penyelesaian persamaan

Dari gambar ini jelas terlihat bahwa $\left| -m \kanan|=\kiri| m \right|$, dan grafik modulus tidak pernah berada di bawah sumbu x. Tapi bukan itu saja: garis merah menandai garis lurus $y=a$, yang, untuk $a$ positif, memberi kita dua akar sekaligus: $((x)_(1))$ dan $((x) _(2)) $, tapi kita akan membicarakannya nanti. :)

Selain definisi aljabar murni, ada definisi geometris. Katakanlah ada dua titik pada garis bilangan: $((x)_(1))$ dan $((x)_(2))$. Dalam hal ini, ekspresi $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ hanyalah jarak antara titik-titik yang ditentukan. Atau, jika Anda mau, panjang segmen yang menghubungkan titik-titik berikut:

Modulus adalah jarak antar titik pada garis bilangan

Definisi ini juga menyiratkan bahwa modulusnya selalu non-negatif. Tapi cukup definisi dan teorinya - mari beralih ke persamaan nyata. :)

Rumus dasar

Oke, kita sudah memilah definisinya. Namun hal itu tidak membuat segalanya menjadi lebih mudah. Bagaimana menyelesaikan persamaan yang mengandung modul ini?

Tenang, tenang saja. Mari kita mulai dengan hal yang paling sederhana. Pertimbangkan sesuatu seperti ini:

\[\kiri| x\kanan|=3\]

Jadi modulus $x$ adalah 3. Berapakah nilai $x$? Ya, dilihat dari definisinya, kami cukup senang dengan $x=3$. Benar-benar:

\[\kiri| 3\kanan|=3\]

Apakah ada nomor lain? Cap sepertinya mengisyaratkan bahwa ada. Misalnya, $x=-3$ juga $\kiri| -3 \kanan|=3$, mis. kesetaraan yang dibutuhkan terpenuhi.

Jadi mungkinkah jika kita mencari dan berpikir, kita akan menemukan lebih banyak angka? Tapi jujur saja: tidak ada lagi angka. Persamaan $\kiri| x \right|=3$ hanya memiliki dua akar: $x=3$ dan $x=-3$.

Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit. Biarkan fungsi $f\left(x \right)$ berada di bawah tanda modulus dan bukan di variabel $x$, dan tempatkan bilangan sembarang $a$ di tempat tripel di sebelah kanan. Kami mendapatkan persamaan:

\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=a\]

Jadi bagaimana kita bisa mengatasi ini? Izinkan saya mengingatkan Anda: $f\left(x \right)$ adalah fungsi arbitrer, $a$ adalah bilangan apa pun. Itu. Apa-apa! Misalnya:

\[\kiri| 2x+1 \kanan|=5\]

\[\kiri| 10x-5 \kanan|=-65\]

Mari kita perhatikan persamaan kedua. Anda dapat langsung mengatakan tentang dia: dia tidak memiliki akar. Mengapa? Semuanya benar: karena modulusnya harus sama dengan bilangan negatif, yang tidak pernah terjadi, karena kita telah mengetahui bahwa modulus selalu berupa bilangan positif atau, dalam kasus ekstrim, nol.

Namun dengan persamaan pertama segalanya menjadi lebih menyenangkan. Ada dua opsi: ada ekspresi positif di bawah tanda modulus, lalu $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, atau ekspresi ini masih negatif, lalu $\left| 2x+1 \kanan|=-\kiri(2x+1 \kanan)=-2x-1$. Dalam kasus pertama, persamaan kita akan ditulis ulang sebagai berikut:

\[\kiri| 2x+1 \kanan|=5\Panah Kanan 2x+1=5\]

Dan tiba-tiba ternyata ekspresi submodular $2x+1$ benar-benar positif - sama dengan angka 5. Yaitu kita dapat menyelesaikan persamaan ini dengan aman - akar yang dihasilkan akan menjadi bagian dari jawabannya:

Mereka yang sangat tidak percaya dapat mencoba mengganti akar yang ditemukan ke dalam persamaan asli dan memastikan bahwa memang ada bilangan positif di bawah modulus.

Sekarang mari kita lihat kasus ekspresi submodular negatif:

\[\kiri\( \mulai(sejajarkan)& \kiri| 2x+1 \kanan|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(sejajarkan) \kanan.\Panah Kanan -2x-1=5 \Panah Kanan 2x+1=-5\]

Ups! Sekali lagi, semuanya jelas: kita berasumsi bahwa $2x+1 \lt 0$, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan $2x+1=-5$ - memang, ekspresi ini kurang dari nol. Kami menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, sambil mengetahui dengan pasti bahwa akar yang ditemukan cocok untuk kami:

Secara total, kami kembali menerima dua jawaban: $x=2$ dan $x=3$. Ya, jumlah perhitungannya ternyata sedikit lebih besar dibandingkan persamaan yang sangat sederhana $\left| x \right|=3$, tetapi tidak ada perubahan mendasar. Jadi mungkin ada semacam algoritma universal?

Ya, algoritma seperti itu ada. Dan sekarang kita akan menganalisisnya.

Menghilangkan tanda modulus

Mari kita diberikan persamaan $\kiri| f\left(x \right) \right|=a$, dan $a\ge 0$ (jika tidak, seperti yang telah kita ketahui, tidak ada akar). Kemudian Anda dapat menghilangkan tanda modulus menggunakan aturan berikut:

\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=a\Panah Kanan f\kiri(x \kanan)=\pm a\]

Jadi, persamaan kita dengan modulus terbagi menjadi dua, tetapi tanpa modulus. Hanya itu saja teknologinya! Mari kita coba menyelesaikan beberapa persamaan. Mari kita mulai dengan ini

\[\kiri| 5x+4 \kanan|=10\Panah Kanan 5x+4=\pm 10\]

Mari kita pertimbangkan secara terpisah jika ada sepuluh plus di sebelah kanan, dan secara terpisah jika ada minus. Kita punya:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Panah Kanan 5x=6\Panah Kanan x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Panah Kanan 5x=-14\Panah Kanan x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(sejajarkan)\]

Itu saja! Kami mendapat dua akar: $x=1.2$ dan $x=-2.8$. Seluruh solusi mengambil dua baris.

Oke, tidak ada pertanyaan, mari kita lihat sesuatu yang lebih serius:

\[\kiri| 7-5x\kanan|=13\]

Sekali lagi kita buka modul dengan plus dan minus:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Panah Kanan -5x=6\Panah Kanan x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Panah Kanan -5x=-20\Panah Kanan x=4. \\\end(sejajarkan)\]

Beberapa baris lagi - dan jawabannya sudah siap! Seperti yang saya katakan, tidak ada yang rumit tentang modul. Anda hanya perlu mengingat beberapa aturan. Oleh karena itu, kami melanjutkan dan memulai dengan tugas yang lebih kompleks.

Kasus variabel sisi kanan

Sekarang perhatikan persamaan ini:

\[\kiri| 3x-2 \kanan|=2x\]

Persamaan ini pada dasarnya berbeda dari persamaan sebelumnya. Bagaimana? Dan fakta bahwa di sebelah kanan tanda sama dengan terdapat ekspresi $2x$ - dan kita tidak dapat mengetahui sebelumnya apakah itu positif atau negatif.

Apa yang harus dilakukan dalam kasus ini? Pertama, kita harus memahami hal itu untuk selamanya jika ruas kanan persamaan ternyata negatif, maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar- kita sudah tahu bahwa modulus tidak bisa sama dengan bilangan negatif.

Dan kedua, jika ruas kanannya masih positif (atau sama dengan nol), maka Anda dapat bertindak dengan cara yang persis sama seperti sebelumnya: cukup buka modul secara terpisah dengan tanda plus dan secara terpisah dengan tanda minus.

Jadi, kami merumuskan aturan untuk fungsi arbitrer $f\left(x \right)$ dan $g\left(x \right)$ :

\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=g\kiri(x \kanan)\Panah Kanan \kiri\( \begin(sejajarkan)& f\kiri(x \kanan)=\pm g\kiri(x \kanan ), \\& g\kiri(x \kanan)\ge 0. \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Sehubungan dengan persamaan kita, kita mendapatkan:

\[\kiri| 3x-2 \kanan|=2x\Panah Kanan \kiri\( \begin(sejajarkan)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Ya, entah bagaimana kita akan mengatasi persyaratan $2x\ge 0$. Pada akhirnya, kita bisa dengan bodohnya mengganti akar-akar yang kita peroleh dari persamaan pertama dan memeriksa apakah pertidaksamaannya berlaku atau tidak.

Jadi mari kita selesaikan persamaannya sendiri:

\[\begin(sejajarkan)& 3x-2=2\Panah Kanan 3x=4\Panah Kanan x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Panah Kanan 3x=0\Panah Kanan x=0. \\\end(sejajarkan)\]

Nah, manakah dari dua akar berikut yang memenuhi persyaratan $2x\ge 0$? Ya keduanya! Oleh karena itu, jawabannya adalah dua angka: $x=(4)/(3)\;$ dan $x=0$. Itu solusinya. :)

Saya curiga beberapa siswa sudah mulai bosan? Baiklah, mari kita lihat persamaan yang lebih rumit lagi:

\[\kiri| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \kanan|=x-((x)^(3))\]

Meski terlihat jahat, nyatanya persamaannya masih sama berupa “modulus sama dengan fungsi”:

\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=g\kiri(x \kanan)\]

Dan itu diselesaikan dengan cara yang persis sama:

\[\kiri| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \kanan|=x-((x)^(3))\Panah Kanan \kiri\( \begin(sejajarkan)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \kiri(x-((x)^(3)) \kanan), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Kami akan menangani ketidaksetaraan nanti - ini terlalu jahat (sebenarnya, ini sederhana, tetapi kami tidak akan menyelesaikannya). Untuk saat ini, lebih baik menangani persamaan yang dihasilkan. Mari kita pertimbangkan kasus pertama - ini adalah saat modul diperluas dengan tanda plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Ya, tidak perlu khawatir jika Anda perlu mengumpulkan semuanya dari kiri, membawa yang serupa, dan melihat apa yang terjadi. Dan inilah yang terjadi:

\[\begin(sejajarkan)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(sejajarkan)\]

Kita keluarkan faktor persekutuan $((x)^(2))$ dari tanda kurung dan dapatkan persamaan yang sangat sederhana:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \kanan)=0\Panah Kanan \kiri[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Di sini kita memanfaatkan properti penting dari hasil kali, yang karenanya kita memfaktorkan polinomial aslinya: hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol.

Sekarang mari kita bahas persamaan kedua dengan cara yang persis sama, yang diperoleh dengan memperluas modul dengan tanda minus:

\[\begin(sejajarkan)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\kiri(x-((x)^(3)) \kanan); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\kiri(-3x+2 \kanan)=0. \\\end(sejajarkan)\]

Sekali lagi hal yang sama: hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Kita punya:

\[\kiri[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Ya, kita mendapat tiga akar: $x=0$, $x=1.5$ dan $x=(2)/(3)\;$. Nah, di antara kumpulan ini, manakah yang akan menjadi jawaban akhir? Untuk melakukan hal ini, ingatlah bahwa kita memiliki batasan tambahan berupa ketidaksetaraan:

Bagaimana cara mempertimbangkan persyaratan ini? Mari kita substitusikan akar-akar yang ditemukan dan periksa apakah pertidaksamaan berlaku untuk $x$ ini atau tidak. Kita punya:

\[\begin(align)& x=0\Panah Kanan x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Panah Kanan x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Panah Kanan x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(sejajarkan)\]

Jadi, akar $x=1.5$ tidak cocok untuk kita. Dan sebagai tanggapannya hanya akan ada dua akar:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Seperti yang Anda lihat, bahkan dalam kasus ini tidak ada yang rumit - persamaan dengan modul selalu diselesaikan menggunakan algoritma. Anda hanya perlu memiliki pemahaman yang baik tentang polinomial dan pertidaksamaan. Oleh karena itu, kami beralih ke tugas yang lebih kompleks - tidak hanya satu, tetapi dua modul.

Persamaan dengan dua modul

Sampai saat ini, kami hanya mempelajari persamaan paling sederhana - ada satu modul dan ada yang lain. Kita mengirim “sesuatu yang lain” ini ke bagian pertidaksamaan yang lain, jauh dari modul, sehingga pada akhirnya semuanya akan direduksi menjadi persamaan berbentuk $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ atau bahkan lebih sederhana $\left| f\kiri(x \kanan) \kanan|=a$.

Tapi taman kanak-kanak sudah berakhir - saatnya mempertimbangkan sesuatu yang lebih serius. Mari kita mulai dengan persamaan seperti ini:

\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=\kiri| g\kiri(x \kanan) \kanan|\]

Ini adalah persamaan dalam bentuk “modulus sama dengan modulus”. Poin penting yang mendasar adalah tidak adanya syarat dan faktor lain: hanya satu modul di sebelah kiri, satu modul lagi di sebelah kanan - dan tidak lebih.

Seseorang sekarang akan berpikir bahwa persamaan seperti itu lebih sulit diselesaikan daripada apa yang telah kita pelajari sejauh ini. Tapi tidak: persamaan ini lebih mudah diselesaikan. Berikut rumusnya:

\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=\kiri| g\kiri(x \kanan) \kanan|\Panah Kanan f\kiri(x \kanan)=\pm g\kiri(x \kanan)\]

Semua! Kita cukup menyamakan ekspresi submodular dengan memberi tanda plus atau minus di depan salah satunya. Dan kemudian kita menyelesaikan dua persamaan yang dihasilkan - dan akar-akarnya sudah siap! Tidak ada batasan tambahan, tidak ada kesenjangan, dll. Semuanya sangat sederhana.

Mari kita coba selesaikan masalah ini:

\[\kiri| 2x+3 \kanan|=\kiri| 2x-7 \kanan|\]

SD Watson! Memperluas modul:

\[\kiri| 2x+3 \kanan|=\kiri| 2x-7 \kanan|\Panah Kanan 2x+3=\pm \kiri(2x-7 \kanan)\]

Mari pertimbangkan setiap kasus secara terpisah:

\[\begin(sejajarkan)& 2x+3=2x-7\Panah Kanan 3=-7\Panah Kanan \emptyset ; \\& 2x+3=-\kiri(2x-7 \kanan)\Panah Kanan 2x+3=-2x+7. \\\end(sejajarkan)\]

Persamaan pertama tidak mempunyai akar. Karena kapan $3=-7$? Berapa nilai $x$? “Apa itu $x$? Apakah kamu teler? Tidak ada $x$ sama sekali di sana,” kata Anda. Dan Anda akan benar. Kami telah memperoleh persamaan yang tidak bergantung pada variabel $x$, dan pada saat yang sama persamaan itu sendiri salah. Itu sebabnya tidak ada akar. :)

Dengan persamaan kedua, segalanya menjadi sedikit lebih menarik, tetapi juga sangat, sangat sederhana:

Seperti yang Anda lihat, semuanya diselesaikan hanya dalam beberapa baris - kami tidak mengharapkan apa pun dari persamaan linier. :)

Hasilnya, jawaban akhirnya adalah: $x=1$.

Jadi bagaimana? Sulit? Tentu saja tidak. Mari kita coba yang lain:

\[\kiri| x-1 \kanan|=\kiri| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|\]

Sekali lagi kita mempunyai persamaan dalam bentuk $\left| f\kiri(x \kanan) \kanan|=\kiri| g\kiri(x \kanan) \kanan|$. Oleh karena itu, kami segera menulis ulang, memperlihatkan tanda modulus:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \kiri(x-1 \kanan)\]

Mungkin sekarang seseorang akan bertanya: “Hei, omong kosong apa? Mengapa “plus-minus” muncul di ekspresi sebelah kanan dan bukan di sebelah kiri?” Tenang, saya akan menjelaskan semuanya sekarang. Memang benar, dengan cara yang baik kita seharusnya menulis ulang persamaan kita sebagai berikut:

Kemudian Anda perlu membuka tanda kurung, memindahkan semua suku ke salah satu sisi tanda sama dengan (karena persamaannya, tentu saja, akan berbentuk persegi dalam kedua kasus), dan kemudian temukan akar-akarnya. Namun harus Anda akui: ketika “plus-minus” muncul sebelum tiga suku (terutama jika salah satu suku tersebut merupakan ekspresi kuadrat), hal ini terlihat lebih rumit daripada situasi ketika “plus-minus” muncul sebelum hanya dua suku.

Namun tidak ada yang menghalangi kita untuk menulis ulang persamaan aslinya sebagai berikut:

Apa yang telah terjadi? Tidak ada yang istimewa: mereka hanya menukar sisi kiri dan kanan. Hal kecil yang pada akhirnya akan membuat hidup kita sedikit lebih mudah. :)

Secara umum, kita menyelesaikan persamaan ini dengan mempertimbangkan opsi dengan plus dan minus:

\[\begin(sejajarkan)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Panah Kanan ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\kiri(x-1 \kanan)\Panah Kanan ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(sejajarkan)\]

Persamaan pertama memiliki akar $x=3$ dan $x=1$. Yang kedua umumnya berbentuk persegi:

\[((x)^(2))-2x+1=((\kiri(x-1 \kanan))^(2))\]

Oleh karena itu, ia hanya memiliki satu akar: $x=1$. Tapi kita sudah mendapatkan root ini sebelumnya. Jadi, hanya dua angka yang akan masuk ke dalam jawaban akhir:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Misi terselesaikan! Anda bisa mengambil pai dari rak dan memakannya. Ada 2, punyamu yang tengah. :)

Catatan penting. Kehadiran akar-akar yang identik untuk varian perluasan modul yang berbeda berarti bahwa polinomial asli difaktorkan, dan di antara faktor-faktor ini pasti akan ada faktor yang sama. Benar-benar:

\[\mulai(sejajarkan)& \kiri| x-1 \kanan|=\kiri| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|; \\& \kiri| x-1 \kanan|=\kiri| \kiri(x-1 \kanan)\kiri(x-2 \kanan) \kanan|. \\\end(sejajarkan)\]

Salah satu properti modul: $\left| a\cdot b \kanan|=\kiri| a \kanan|\cdot \kiri| b \right|$ (yaitu modulus hasil kali sama dengan hasil kali moduli), sehingga persamaan aslinya dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\kiri| x-1 \kanan|=\kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri| x-2 \kanan|\]

Seperti yang Anda lihat, kami benar-benar memiliki faktor yang sama. Sekarang, jika Anda mengumpulkan semua modul di satu sisi, Anda dapat menghilangkan faktor ini:

\[\mulai(sejajarkan)& \kiri| x-1 \kanan|=\kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri| x-2 \kanan|; \\& \kiri| x-1 \kanan|-\kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri| x-2 \kanan|=0; \\& \kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri(1-\kiri| x-2 \kanan| \kanan)=0. \\\end(sejajarkan)\]

Nah, sekarang ingatlah bahwa hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol:

\[\kiri[ \mulai(sejajarkan)& \kiri| x-1 \kanan|=0, \\& \kiri| x-2 \kanan|=1. \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Jadi, persamaan awal dengan dua modul telah direduksi menjadi dua persamaan paling sederhana yang kita bicarakan di awal pelajaran. Persamaan seperti itu dapat diselesaikan secara harfiah dalam beberapa baris. :)

Pernyataan ini mungkin tampak terlalu rumit dan tidak dapat diterapkan dalam praktik. Namun, pada kenyataannya, Anda mungkin menghadapi masalah yang jauh lebih kompleks daripada masalah yang kita bahas saat ini. Di dalamnya, modul dapat digabungkan dengan polinomial, akar aritmatika, logaritma, dll. Dan dalam situasi seperti ini, kemampuan untuk menurunkan derajat persamaan secara keseluruhan dengan mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung bisa sangat, sangat berguna. :)

Sekarang saya ingin melihat persamaan lain, yang pada pandangan pertama mungkin tampak gila. Banyak siswa yang terjebak dalam hal ini, bahkan mereka yang berpikir bahwa mereka memiliki pemahaman yang baik tentang modul.

Namun, persamaan ini bahkan lebih mudah untuk diselesaikan daripada persamaan yang kita lihat sebelumnya. Dan jika Anda memahami alasannya, Anda akan mendapatkan trik lain untuk menyelesaikan persamaan dengan moduli dengan cepat.

Jadi persamaannya adalah:

\[\kiri| x-((x)^(3)) \kanan|+\kiri| ((x)^(2))+x-2 \kanan|=0\]

Tidak, ini bukan salah ketik: ini merupakan nilai tambah antar modul. Dan kita perlu mencari berapa $x$ jumlah dua modul sama dengan nol. :)

Apa masalahnya? Namun masalahnya adalah setiap modul adalah bilangan positif, atau, dalam kasus ekstrim, nol. Apa yang terjadi jika Anda menjumlahkan dua bilangan positif? Jelas sekali angka positif lagi:

\[\begin(sejajarkan)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(sejajarkan)\]

Baris terakhir mungkin memberi Anda gambaran: satu-satunya saat jumlah modul bernilai nol adalah jika setiap modul bernilai nol:

Dan kapan modulnya sama dengan nol? Hanya dalam satu kasus - ketika ekspresi submodular sama dengan nol:

\[((x)^(2))+x-2=0\Panah Kanan \kiri(x+2 \kanan)\kiri(x-1 \kanan)=0\Panah Kanan \kiri[ \begin(sejajarkan)& x=-2 \\& x=1 \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Jadi, kita mempunyai tiga titik di mana modul pertama direset ke nol: 0, 1 dan −1; serta dua titik di mana modul kedua direset ke nol: −2 dan 1. Namun, kita memerlukan kedua modul untuk direset ke nol secara bersamaan, jadi di antara angka-angka yang ditemukan kita harus memilih yang termasuk dalam kedua set. Jelas, hanya ada satu angka seperti itu: $x=1$ - ini akan menjadi jawaban akhir.

Metode pembelahan

Ya, kita sudah membahas banyak masalah dan mempelajari banyak teknik. Apakah menurut Anda hanya itu? Tapi tidak! Sekarang kita akan melihat teknik terakhir - dan sekaligus yang paling penting. Kita akan berbicara tentang pemisahan persamaan dengan modulus. Apa yang akan kita bicarakan? Mari kita kembali sedikit dan melihat beberapa persamaan sederhana. Misalnya ini:

\[\kiri| 3x-5 \kanan|=5-3x\]

Pada prinsipnya, kita sudah mengetahui cara menyelesaikan persamaan tersebut, karena persamaan tersebut merupakan konstruksi standar dalam bentuk $\left| f\kiri(x \kanan) \kanan|=g\kiri(x \kanan)$. Namun mari kita coba melihat persamaan ini dari sudut yang sedikit berbeda. Lebih tepatnya, perhatikan ekspresi di bawah tanda modulus. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa modulus suatu bilangan bisa sama dengan bilangan itu sendiri, atau bisa juga berlawanan dengan bilangan ini:

\[\kiri| a \kanan|=\kiri\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Sebenarnya, ambiguitas ini adalah keseluruhan masalahnya: karena bilangan di bawah modulus berubah (tergantung variabelnya), tidak jelas bagi kita apakah bilangan itu positif atau negatif.

Namun bagaimana jika pada awalnya Anda mengharuskan angka ini positif? Misalnya, kita memerlukan $3x-5 \gt 0$ - dalam hal ini kita dijamin mendapatkan bilangan positif di bawah tanda modulus, dan kita dapat sepenuhnya menghilangkan modulus ini:

Dengan demikian, persamaan kita akan berubah menjadi persamaan linier, yang dapat diselesaikan dengan mudah:

Benar, semua pemikiran ini masuk akal hanya dalam kondisi $3x-5 \gt 0$ - kami sendiri yang memperkenalkan persyaratan ini untuk mengungkapkan modul secara jelas. Oleh karena itu, mari kita gantikan $x=\frac(5)(3)$ yang ditemukan ke dalam kondisi ini dan periksa:

Ternyata untuk nilai $x$ yang ditentukan kebutuhan kita tidak terpenuhi, karena ekspresi tersebut ternyata sama dengan nol, dan kita membutuhkannya agar lebih besar dari nol. Sedih. :(

Tapi tidak apa-apa! Lagi pula, ada opsi lain $3x-5 \lt 0$. Selain itu: ada juga kasus $3x-5=0$ - ini juga perlu dipertimbangkan, jika tidak, solusinya tidak akan lengkap. Jadi, pertimbangkan kasus $3x-5 \lt 0$:

Tentunya modul akan terbuka dengan tanda minus. Namun kemudian muncul situasi yang aneh: ekspresi yang sama akan muncul di kiri dan kanan persamaan asli:

Saya ingin tahu berapakah $x$ ekspresi $5-3x$ dengan ekspresi $5-3x$? Bahkan Captain Obviousness akan tersedak air liurnya karena persamaan seperti itu, tapi kita tahu: persamaan ini adalah sebuah identitas, yaitu. itu berlaku untuk nilai variabel apa pun!

Ini berarti $x$ apa pun akan cocok untuk kita. Namun, kami memiliki batasan:

Dengan kata lain, jawabannya bukan berupa satu angka saja, melainkan seluruh interval:

Terakhir, ada satu kasus lagi yang perlu dipertimbangkan: $3x-5=0$. Semuanya sederhana di sini: di bawah modulus akan ada nol, dan modulus nol juga sama dengan nol (ini mengikuti langsung dari definisi):

Tapi kemudian persamaan aslinya $\left| 3x-5 \kanan|=5-3x$ akan ditulis ulang sebagai berikut:

Kita sudah mendapatkan root ini di atas ketika kita mempertimbangkan kasus $3x-5 \gt 0$. Selain itu, root ini adalah solusi persamaan $3x-5=0$ - ini adalah batasan yang kami sendiri perkenalkan untuk mereset modul. :)

Jadi, selain interval, kita juga akan puas dengan bilangan yang terletak di akhir interval ini:

Menggabungkan akar-akar dalam persamaan modulo

Total jawaban akhir: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Tidak umum melihat omong kosong seperti itu dalam jawaban persamaan yang cukup sederhana (pada dasarnya linier) dengan modulus , Benarkah? Baiklah, biasakanlah: kesulitan modul ini adalah bahwa jawaban dalam persamaan seperti itu bisa jadi tidak dapat diprediksi sama sekali.

Ada hal lain yang jauh lebih penting: kita baru saja menganalisis algoritma universal untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus! Dan algoritma ini terdiri dari langkah-langkah berikut:

Samakan setiap modulus dalam persamaan dengan nol. Kami mendapatkan beberapa persamaan;
Selesaikan semua persamaan ini dan tandai akar-akarnya pada garis bilangan. Akibatnya, garis lurus akan terbagi menjadi beberapa interval, yang pada masing-masing interval semua modul terungkap secara unik;
Selesaikan persamaan asli untuk setiap interval dan gabungkan jawaban Anda.

Itu saja! Hanya ada satu pertanyaan tersisa: apa yang harus dilakukan dengan akar yang diperoleh pada langkah 1? Katakanlah kita memiliki dua akar: $x=1$ dan $x=5$. Mereka akan membagi garis bilangan menjadi 3 bagian:

Memisahkan garis bilangan menjadi interval menggunakan titik

Jadi berapa intervalnya? Jelas ada tiga di antaranya:

Yang paling kiri: $x \lt 1$ — unit itu sendiri tidak termasuk dalam interval;
Pusat: $1\le x \lt 5$ - di sini satu disertakan dalam interval, namun lima tidak disertakan;
Paling kanan: $x\ge 5$ - lima hanya disertakan di sini!

Saya rasa Anda sudah memahami polanya. Setiap interval mencakup ujung kiri dan tidak termasuk ujung kanan.

Pada pandangan pertama, entri seperti itu mungkin tampak tidak nyaman, tidak logis, dan umumnya agak gila. Tapi percayalah: setelah sedikit latihan, Anda akan menemukan bahwa pendekatan ini adalah yang paling dapat diandalkan dan tidak mengganggu pembukaan modul secara jelas. Lebih baik menggunakan skema seperti itu daripada berpikir setiap saat: berikan ujung kiri/kanan pada interval saat ini atau “lemparkan” ke interval berikutnya.

Ini mengakhiri pelajaran. Unduh soal untuk diselesaikan sendiri, praktikkan, bandingkan dengan jawabannya - dan sampai jumpa di pelajaran berikutnya, yang akan dikhususkan untuk pertidaksamaan dengan moduli. :)

Pertama kita mendefinisikan tanda ekspresi di bawah tanda modul, dan kemudian kita memperluas modul:

jika nilai ekspresi lebih besar dari nol, maka kita cukup menghapusnya dari bawah tanda modulus,
jika ekspresinya kurang dari nol, maka kita menghapusnya dari bawah tanda modulus, mengubah tandanya, seperti yang kita lakukan sebelumnya pada contoh.

Baiklah, haruskah kita mencobanya? Mari kita evaluasi:

(Lupa, Ulangi.)

Jika iya, apa tandanya? Tentu saja!

Dan, oleh karena itu, kami memperluas tanda modul dengan mengubah tanda ekspresi:

Mengerti? Kemudian cobalah sendiri:

Jawaban:

Properti lain apa yang dimiliki modul?

Jika kita perlu mengalikan bilangan yang berada di dalam tanda modulus, kita dapat dengan mudah mengalikan modulus bilangan tersebut!!!

Dalam istilah matematika, Modulus hasil kali bilangan-bilangan sama dengan hasil kali modulus bilangan-bilangan tersebut.

Misalnya:

Bagaimana jika kita perlu membagi dua bilangan (ekspresi) di bawah tanda modulus?

Ya, sama halnya dengan perkalian! Mari kita bagi menjadi dua bilangan terpisah (ekspresi) di bawah tanda modulus:

asalkan (karena Anda tidak dapat membagi dengan nol).

Perlu diingat satu lagi properti modul:

Modulus jumlah bilangan selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah modulus bilangan berikut:

Mengapa demikian? Semuanya sangat sederhana!

Seperti yang kita ingat, modulusnya selalu positif. Namun di bawah tanda modulus bisa ada bilangan apa saja: positif dan negatif. Anggaplah angka dan keduanya positif. Maka ekspresi kiri akan sama dengan ekspresi kanan.

Mari kita lihat sebuah contoh:

Jika di bawah tanda modulus satu bilangan negatif dan bilangan lainnya positif, ekspresi kiri akan selalu lebih kecil dari ekspresi kanan:

Semuanya tampak jelas dengan properti ini, mari kita lihat beberapa properti modul yang berguna.

Bagaimana jika kita memiliki ungkapan ini:

Apa yang bisa kita lakukan dengan ungkapan ini? Nilai x tidak kita ketahui, tetapi kita sudah mengetahui apa maksudnya.

Angkanya lebih besar dari nol, artinya Anda cukup menulis:

Jadi kita sampai pada properti lain, yang secara umum dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Apa persamaan ekspresi ini:

Jadi, kita perlu mendefinisikan tanda di bawah modulus. Apakah perlu mendefinisikan tanda di sini?

Tentu saja tidak, jika Anda ingat bahwa bilangan apa pun yang dikuadratkan selalu lebih besar dari nol! Jika Anda tidak ingat, lihat topiknya. Jadi apa yang terjadi? Inilah yang:

Hebat, bukan? Cukup nyaman. Dan sekarang contoh spesifik yang perlu diperkuat:

Nah, mengapa ada keraguan? Ayo bertindak dengan berani!

Apakah kamu sudah mengetahui semuanya? Kemudian lanjutkan dan berlatih dengan contoh!

1. Temukan nilai ekspresi jika.

2. Bilangan manakah yang modulusnya sama?

3. Temukan arti dari ungkapan:

Jika belum semuanya jelas dan ada kesulitan dalam penyelesaiannya, mari kita cari tahu:

Solusi 1:

Jadi, mari kita substitusikan nilai dan ke dalam ekspresi

Solusi 2:

Seperti yang kita ingat, bilangan-bilangan yang berlawanan memiliki modulus yang sama. Artinya nilai modulusnya sama dengan dua bilangan: dan.

Solusi 3:

A)
B)
V)
G)

Apakah kamu menangkap semuanya? Maka inilah waktunya untuk beralih ke sesuatu yang lebih kompleks!

Mari kita coba menyederhanakan ekspresinya

Larutan:

Jadi, kita ingat bahwa nilai modulusnya tidak boleh kurang dari nol. Jika tanda modulusnya bernilai positif, maka kita cukup membuang tandanya: modulus suatu bilangan akan sama dengan bilangan ini.

Namun jika ada bilangan negatif di bawah tanda modulus, maka nilai modulusnya sama dengan bilangan kebalikannya (yaitu bilangan yang diambil dengan tanda “-”).

Untuk mencari modulus ekspresi apa pun, pertama-tama Anda perlu mencari tahu apakah ekspresi tersebut bernilai positif atau negatif.

Ternyata nilai ekspresi pertama di bawah modul.

Oleh karena itu, ekspresi di bawah tanda modulus adalah negatif. Ekspresi kedua di bawah tanda modulus selalu positif, karena kita menjumlahkan dua bilangan positif.

Jadi, nilai ekspresi pertama di bawah tanda modulus adalah negatif, ekspresi kedua positif:

Artinya ketika memperluas tanda modulus dari ekspresi pertama, kita harus mengambil ekspresi ini dengan tanda “-”. Seperti ini:

Dalam kasus kedua, kita membuang saja tanda modulus:

Mari kita sederhanakan ungkapan ini secara keseluruhan:

Modul bilangan dan sifat-sifatnya (definisi dan pembuktian yang ketat)

Definisi:

Modulus (nilai absolut) suatu bilangan adalah bilangan itu sendiri, jika, dan bilangan tersebut, jika:

Misalnya:

Contoh:

Sederhanakan ekspresi tersebut.

Larutan:

Properti dasar modul

Untuk semua:

Contoh:

Buktikan sifat no.5.

Bukti:

Mari kita berasumsi bahwa ada hal seperti itu

Mari kita kuadratkan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan (hal ini dapat dilakukan, karena kedua ruas pertidaksamaan selalu non-negatif):

dan ini bertentangan dengan definisi modul.

Akibatnya, orang-orang seperti itu tidak ada, yang berarti kesenjangan terjadi pada semua orang

Contoh solusi independen:

1) Buktikan sifat no.6.

2) Sederhanakan ekspresi tersebut.

Jawaban:

1) Mari kita gunakan properti No. 3: , dan sejak itu

Untuk menyederhanakan, Anda perlu memperluas modul. Dan untuk memperluas modul, Anda perlu mencari tahu apakah ekspresi di bawah modul itu positif atau negatif?

A. Mari kita bandingkan angkanya dan dan:

B. Sekarang mari kita bandingkan:

Kami menjumlahkan nilai modul:

Nilai absolut suatu bilangan. Secara singkat tentang hal utama.

Modulus (nilai absolut) suatu bilangan adalah bilangan itu sendiri, jika, dan bilangan tersebut, jika:

Properti modul:

Modulus suatu bilangan adalah bilangan non-negatif: ;
Modul bilangan yang berlawanan adalah sama: ;
Modulus hasil kali dua (atau lebih) bilangan sama dengan hasil kali modulusnya: ;
Modulus hasil bagi dua bilangan sama dengan hasil bagi modulusnya: ;
Modulus jumlah bilangan selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah modulus bilangan berikut: ;
Pengganda positif yang konstan dapat dikeluarkan dari tanda modulus: di;

Modul bilangan merupakan konsep baru dalam matematika. Mari kita lihat lebih dekat apa itu modul bilangan dan bagaimana cara menggunakannya?

Mari kita lihat sebuah contoh:

Kami meninggalkan rumah untuk pergi ke toko. Kita berjalan sejauh 300 m, secara matematis ungkapan ini dapat dituliskan +300, arti angka 300 dari tanda “+” tidak akan berubah. Jarak atau modulus suatu bilangan dalam matematika adalah sama dan dapat ditulis seperti ini: |300|=300. Tanda modulus suatu bilangan ditunjukkan dengan dua garis vertikal.

Lalu kami berjalan 200m ke arah yang berlawanan. Secara matematis, kita dapat menulis jalur kembali sebagai -200. Namun kami tidak mengatakan “kami melaju minus dua ratus meter”, meskipun kami kembali, karena jarak sebagai kuantitas tetap positif. Untuk tujuan ini, konsep modul diperkenalkan dalam matematika. Jarak atau modulus bilangan -200 dapat dituliskan seperti ini: |-200|=200.

Properti modul.

Definisi:
Modulus suatu bilangan atau nilai absolut suatu bilangan adalah jarak dari titik awal ke titik tujuan.

Modulus suatu bilangan bulat yang tidak sama dengan nol selalu merupakan bilangan positif.

Modulnya ditulis seperti ini:

1. Modulus suatu bilangan positif sama dengan bilangan itu sendiri.
| sebuah|=A

2. Modulus suatu bilangan negatif sama dengan bilangan lawannya.
|- sebuah|=A

3. Modul nol sama dengan nol.
|0|=0

4. Modul bilangan yang berlawanan adalah sama besar.
| sebuah|=|-sebuah|=A

Pertanyaan-pertanyaan Terkait:
Berapakah modulus suatu bilangan?
Jawaban: Modulus adalah jarak dari titik awal ke titik tujuan.

Jika Anda memberi tanda “+” di depan bilangan bulat, apa yang terjadi?
Jawaban: angka tersebut tidak akan berubah maknanya, misalnya 4=+4.

Jika suatu bilangan bulat diberi tanda “-” di depannya, apa yang terjadi?
Jawab : Angkanya akan berubah menjadi misalnya 4 dan -4.

Bilangan manakah yang modulusnya sama?
Jawaban: bilangan positif dan nol mempunyai modulus yang sama. Misalnya, 15=|15|.

Bilangan manakah yang mempunyai modulus bilangan kebalikannya?
Jawaban: untuk bilangan negatif modulusnya akan sama dengan bilangan kebalikannya. Misalnya, |-6|=6.

Contoh 1:
Tentukan modulus bilangan: a) 0 b) 5 c) -7?

Larutan:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Contoh #2:
Apakah ada dua bilangan berbeda yang modulusnya sama?

Larutan:
|10|=10
|-10|=10

Modulus bilangan-bilangan yang berlawanan adalah sama.

Contoh #3:
Dua bilangan berlawanan manakah yang mempunyai modulus 9?

Larutan:
|9|=9
|-9|=9

Jawaban: 9 dan -9.

Contoh #4:
Ikuti langkah-langkah berikut: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Larutan:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Contoh #5:
Tentukan: a) modulus bilangan 2 b) modulus bilangan 6 c) modulus bilangan 8 d) modulus bilangan 1 e) modulus bilangan 0.
Larutan:

a) modulus bilangan 2 dilambangkan dengan |2| atau |+2| Sama.
|2|=2

b) modulus bilangan 6 dinotasikan sebagai |6| atau |+6| Sama.
|6|=6

c) modulus bilangan 8 dilambangkan dengan |8| atau |+8| Sama.
|8|=8

d) modulus bilangan 1 dinotasikan sebagai |1| atau |+1| Sama.
|1|=1

e) modulus bilangan 0 dinotasikan sebagai |0|, |+0| atau |-0| Sama.
|0|=0