Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése online. Trigonometrikus kifejezések identitástranszformációi

NÁL NÉL azonos átalakulások trigonometrikus kifejezések a következő algebrai trükkök használhatók: azonos tagok összeadása és kivonása; a közös tényezőt zárójelből kivenni; szorzás és osztás azonos értékkel; rövidített szorzóképletek alkalmazása; teljes négyzet kiválasztása; négyzetes trinom tényezőre vonása; új változók bevezetése az átalakítások egyszerűsítésére.

Törteket tartalmazó trigonometrikus kifejezések konvertálásakor használhatja az arány, a törtek redukciója vagy a törtek redukciója tulajdonságait közös nevezőre. Ezenkívül használhatja a tört egész részének kiválasztását, megszorozva a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal az értékkel, és lehetőség szerint figyelembe veheti a számláló vagy nevező egységességét is. Ha szükséges, egy törtet több egyszerűbb tört összegeként vagy különbségeként is ábrázolhat.

Ezenkívül a trigonometrikus kifejezések konvertálásához szükséges összes módszer alkalmazásakor folyamatosan figyelembe kell venni a konvertált kifejezések megengedett értékeinek tartományát.

Nézzünk néhány példát.

1. példa

Számítsa ki az A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x - 7π) /2) +
+ sin (3π/2 - x) sin (2x -5π/2)) 2

Megoldás.

A redukciós képletekből következik:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Ahonnan az argumentumok összeadási képletei és az alapvető trigonometrikus azonosság alapján azt kapjuk, hogy

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Válasz: 1.

2. példa

Alakítsa át az M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ kifejezést szorzattá.

Megoldás.

Az argumentumok összeadási képleteiből és a trigonometrikus függvények összegének szorzattá alakító képleteiből a megfelelő csoportosítás után megkaptuk

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Válasz: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

3. példa.

Mutassuk meg, hogy az A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) kifejezés minden x-re felveszi az R egyből és ugyanaz az érték. Keresse meg ezt az értéket.

Megoldás.

A probléma megoldására két módszert mutatunk be. Az első módszert alkalmazva a teljes négyzet elkülönítésével és a megfelelő trigonometrikus alapképletek használatával kapjuk

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2 (cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

A feladat második megoldásaként tekintsük A-t az R-ből származó x függvényének, és számítsuk ki a deriváltját. Az átalakítások után megkapjuk

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

Sin 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Ezért egy intervallumon differenciálható függvény állandóságának kritériuma alapján arra a következtetésre jutunk, hogy

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Válasz: A = 3/4 x € R esetén.

A trigonometrikus azonosságok bizonyításának fő módszerei a következők:

a) az identitás bal oldalának redukálása a jobb oldalra megfelelő transzformációkkal;
b) az identitás jobb oldalának balra csökkentése;
ban ben) az identitás jobb és bal oldali részének azonos formára való redukálása;
G) a bizonyítandó azonosság bal és jobb oldali része közötti különbség nullára csökkentése.

4. példa

Ellenőrizze, hogy cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Megoldás.

Ennek az azonosságnak a jobb oldalát a megfelelő trigonometrikus képletek szerint átalakítva megkaptuk

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Az identitás jobb oldala bal oldalra redukálódik.

5. példa

Bizonyítsuk be, hogy sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2, ha α, β, γ valamelyik háromszög belső szögei.

Megoldás.

Figyelembe véve, hogy α, β, γ valamely háromszög belső szögei, azt kapjuk, hogy

α + β + γ = π és ebből γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

Az eredeti egyenlőség bebizonyosodott.

6. példa

Bizonyítsuk be, hogy ahhoz, hogy a háromszög egyik α, β, γ szöge 60° legyen, szükséges és elegendő, hogy sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Megoldás.

A probléma feltétele mind a szükségesség, mind az elégséges bizonyítást feltételezi.

Először bebizonyítjuk szükség.

Meg lehet mutatni, hogy

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Tehát figyelembe véve, hogy cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, azt kapjuk, hogy ha az α, β vagy γ szögek egyike egyenlő 60°-kal, akkor

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 és ezért sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Most bizonyítsuk be megfelelőségét a megadott feltételt.

Ha sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, akkor cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, és ezért

vagy cos (3α/2) = 0, vagy cos (3β/2) = 0, vagy cos (3γ/2) = 0.

Következésképpen,

vagy 3α/2 = π/2 + πk, azaz. α = π/3 + 2πk/3,

vagy 3β/2 = π/2 + πk, azaz. β = π/3 + 2πk/3,

vagy 3γ/2 = π/2 + πk,

azok. γ = π/3 + 2πk/3, ahol k ϵ Z.

Abból, hogy α, β, γ egy háromszög szögei, megvan

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Ezért ha α = π/3 + 2πk/3 vagy β = π/3 + 2πk/3 ill.

γ = π/3 + 2πk/3 az összes kϵZ-ből csak k = 0 illik.

Ebből következik, hogy vagy α = π/3 = 60°, vagy β = π/3 = 60°, vagy γ = π/3 = 60°.

Az állítás bebizonyosodott.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell egyszerűsíteni a trigonometrikus kifejezéseket?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Szakaszok: Matematika

Osztály: 11

1. lecke

Téma: 11. évfolyam (vizsgára való felkészítés)

Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése.

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása. (2 óra)

Célok:

• A tanulók trigonometriai képletek használatával, a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásával kapcsolatos ismereteinek, készségeinek rendszerezése, általánosítása, bővítése.

Felszerelés a leckéhez:

Az óra felépítése:

1. Orgmoment
2. Tesztelés laptopokon. Az eredmények megvitatása.
3. Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése
4. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása
5. Önálló munkavégzés.
6. A lecke összefoglalása. A házi feladat magyarázata.

1. Szervezési pillanat. (2 perc.)

A tanár köszönti a hallgatóságot, bemondja az óra témáját, felidézi, hogy korábban a trigonometriai képletek megismétlése volt a feladat, és felállítja a tanulókat a tesztelésre.

2. Tesztelés. (15 perc + 3 perc beszélgetés)

A cél a trigonometrikus képletek ismeretének és alkalmazási képességének tesztelése. Minden diáknak van egy laptopja az asztalán, amelyben van egy teszt lehetőség.

Számos lehetőség lehet, ezek közül mondok egy példát:

I lehetőség.

A kifejezések egyszerűsítése:

a) alapvető trigonometrikus azonosságok

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) összeadási képletek

3. sin5x - sin3x;

c) egy szorzat összeggé alakítása

6. 2sin8y cos3y;

d) kettősszög képletek

7.2sin5x cos5x;

e) félszög képletek

f) hármasszög képletek

g) univerzális helyettesítés

h) fokozatcsökkentés

16. cos 2 (3x/7);

A tanulók egy laptopon az egyes képletek előtt látják válaszaikat.

A munkát a számítógép azonnal ellenőrzi. Az eredmények egy nagy képernyőn jelennek meg, hogy mindenki láthassa.

Valamint a munka végeztével a helyes válaszok megjelennek a tanulók laptopján. Minden tanuló látja, hol követték el a hibát, és milyen képleteket kell megismételnie.

3. Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése. (25 perc)

A cél a trigonometria alapképleteinek megismétlése, kidolgozása, alkalmazásának megszilárdítása. B7 feladatok megoldása a vizsgáról.

Ebben a szakaszban tanácsos az osztályt erős (önálló munkavégzés utólagos ellenőrzéssel) és gyenge tanulók csoportjaira osztani, akik a tanárral dolgoznak.

Feladat erős tanulóknak (előre elkészítve, nyomtatott alapon). A fő hangsúly a redukción és a dupla szög képleteken van az USE 2011 szerint.

A kifejezések egyszerűsítése (erős tanulók számára):

Ezzel párhuzamosan a tanár gyenge tanulókkal dolgozik, a képernyőn megbeszélve, megoldva feladatokat a tanulók diktálásával.

Kiszámítja:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Egyszerűsítés:

Volt a sor, hogy megvitassák az erős csoport munkájának eredményeit.

A képernyőn megjelennek a válaszok, valamint egy videokamera segítségével 5 különböző tanuló munkája jelenik meg (mindegyiknek egy-egy feladat).

A gyenge csoport látja a feltételt és a megoldási módot. Van vita és elemzés. A technikai eszközök használatával ez gyorsan megtörténik.

4. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása. (30 perc.)

A cél a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásának megismétlése, rendszerezése, általánosítása, azok gyökereinek rögzítése. A B3 feladat megoldása.

Bármely trigonometrikus egyenlet, akárhogyan is oldjuk meg, a legegyszerűbbhez vezet.

A feladat elvégzése során a tanulók ügyeljenek az egyes esetek egyenletek gyökeinek és általános alakzatának felírására, valamint a gyökök kiválasztására az utolsó egyenletben.

Egyenletek megoldása:

Írd le a válasz legkisebb pozitív gyökerét!

5. Önálló munka (10 perc)

A cél az elsajátított készségek tesztelése, a problémák, hibák azonosítása és azok kiküszöbölésének módjai.

A hallgató választása szerint változatos munkát kínálnak.

"3" opció

1) Keresse meg a kifejezés értékét!

2) Egyszerűsítse az 1 - sin 2 3α - cos 2 3α kifejezést

3) Oldja meg az egyenletet!

"4" opció

1) Keresse meg a kifejezés értékét!

2) Oldja meg az egyenletet! Írd le válaszod legkisebb pozitív gyökerét.

"5" opció

1) Keresse meg a tgα-t, ha

2) Keresse meg az egyenlet gyökerét! Írd le válaszod legkisebb pozitív gyökerét.

6. Az óra összefoglalója (5 perc)

A tanár összefoglalja, hogy az órán trigonometrikus képleteket ismételtek és konszolidáltak, a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldását.

A házi feladat kiosztása (előre nyomtatott alapon elkészítve), helyszíni ellenőrzéssel a következő órán.

Egyenletek megoldása:

9)

10) Válaszát a legkisebb pozitív gyökérként adja meg.

2. lecke

Téma: 11. évfolyam (vizsgára való felkészítés)

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei. Gyökér kiválasztása. (2 óra)

Célok:

• A különböző típusú trigonometrikus egyenletek megoldásával kapcsolatos ismeretek általánosítása és rendszerezése.
• Elősegíteni a tanulók matematikai gondolkodásának, megfigyelési, összehasonlítási, általánosítási, osztályozási képességének fejlődését.
• Ösztönözze a tanulókat a nehézségek leküzdésére a mentális tevékenység folyamatában, az önkontrollra, tevékenységeik önvizsgálatára.

Felszerelés a leckéhez: KRMu, laptop minden diáknak.

Az óra felépítése:

1. Orgmoment
2. Vita d / s és samot. az utolsó óra munkája
3. Trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek ismétlése.
4. Trigonometrikus egyenletek megoldása
5. Gyökök kiválasztása trigonometrikus egyenletekben.
6. Önálló munkavégzés.
7. A lecke összefoglalása. Házi feladat.

1. Szervezési pillanat (2 perc)

A tanár köszönti a hallgatóságot, bemondja az óra témáját és a munkatervet.

2. a) Házi feladat elemzése (5 perc)

A cél a teljesítmény ellenőrzése. A képernyõn egy videokamera segítségével készült alkotás jelenik meg, a többit szelektíven összegyűjtjük, hogy a tanár ellenõrizze.

b) Önálló munka elemzése (3 perc)

A cél a hibák kijavítása, megoldások megjelölése azok leküzdésére.

A képernyőn a válaszok és a megoldások, a hallgatók előre kiadták a munkáikat. Az elemzés gyorsan halad.

3. Trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek ismétlése (5 perc)

A cél a trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek felidézése.

Kérdezd meg a tanulókat, hogy milyen módszereket ismernek a trigonometrikus egyenletek megoldására. Hangsúlyozzuk, hogy vannak úgynevezett alapvető (gyakran használt) módszerek:

• változó helyettesítés,
• faktorizáció,
• homogén egyenletek,

és vannak alkalmazott módszerek:

• az összeget szorzattá és a szorzatot összeggé alakító képletek szerint,
• a redukciós képletekkel,
• univerzális trigonometrikus helyettesítés
• segédszög bevezetése,
• szorzás valamilyen trigonometrikus függvénnyel.

Emlékeztetni kell arra is, hogy egy egyenlet többféleképpen is megoldható.

4. Trigonometrikus egyenletek megoldása (30 perc)

A cél a témával kapcsolatos ismeretek és készségek általánosítása, megszilárdítása, felkészítés a C1 megoldására az USE-ból.

Célszerűnek tartom az egyes módszerekre vonatkozó egyenleteket a tanulókkal közösen megoldani.

A diák diktálja a megoldást, a tanár felírja a tabletre, a teljes folyamat megjelenik a képernyőn. Ez lehetővé teszi, hogy gyorsan és hatékonyan helyreállítsa a korábban lefedett anyagot a memóriájában.

Egyenletek megoldása:

1) változó változás 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizáció 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogén egyenletek sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) az összeg átszámítása cos5x + cos7x = cos(π + 6x) szorzatra

5) a szorzat átszámítása 2sinx sin2x + cos3x = 0 összegre

6) a sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5 mértékének csökkentése

7) univerzális trigonometrikus helyettesítés sinx + 5cosx + 5 = 0.

Ennek az egyenletnek a megoldása során figyelembe kell venni, hogy ennek a módszernek a használata a definíciós tartomány szűküléséhez vezet, mivel a szinusz és koszinusz helyére tg(x/2) lép. Ezért a válasz kiírása előtt ellenőrizni kell, hogy a π + 2πn, n Z halmazból származó számok lovai-e ennek az egyenletnek.

8) √3sinx + cosx - √2 = 0 segédszög bevezetése

9) szorzás valamilyen trigonometrikus függvénnyel cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Trigonometrikus egyenletek gyökeinek kiválasztása (20 perc)

Mivel az egyetemekre való belépéskor kiélezett verseny körülményei között nem elegendő egy első vizsgarész megoldása, a legtöbb hallgatónak a második rész (C1, C2, C3) feladataira kell figyelnie.

Ezért az óra ezen szakaszának célja a korábban tanult anyag felidézése, felkészülés a 2011-es USE C1-es feladat megoldására.

Vannak trigonometrikus egyenletek, amelyekben a válasz kiírásakor ki kell választani a gyököket. Ennek oka néhány megszorítás, például: a tört nevezője nem egyenlő nullával, a páros fok gyöke alatti kifejezés nem negatív, a logaritmus előjele alatti kifejezés pozitív stb.

Az ilyen egyenletek fokozott összetettségű egyenleteknek tekinthetők, és az USE verzióban a második részben, nevezetesen a C1-ben találhatók.

Oldja meg az egyenletet:

A tört nulla, ha akkor az egységkör segítségével kiválasztjuk a gyökereket (lásd az 1. ábrát)

1. kép

azt kapjuk, hogy x = π + 2πn, n Z

Válasz: π + 2πn, n Z

A képernyőn a gyökerek kiválasztása színes képen egy körön jelenik meg.

A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla, és az ív ugyanakkor nem veszíti el értelmét. Akkor

Az egységkör segítségével válassza ki a gyökereket (lásd 2. ábra)

A "Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése" című videólecke célja, hogy fejlessze a tanulók képességeit a trigonometrikus problémák megoldásában az alapvető trigonometrikus identitások használatával. A videóóra során a trigonometrikus identitások típusait, példákat veszünk a felhasználásukkal kapcsolatos problémák megoldására. A szemléltetőeszközök segítségével a tanár könnyebben éri el az óra céljait. Az anyag szemléletes bemutatása hozzájárul a fontos pontok memorizálásához. Az animációs effektusok és a hangszínjátszás lehetővé teszi a tanár teljes helyettesítését az anyag magyarázatának szakaszában. Így a matematika órákon ezt a szemléltetőeszközt használva a tanár növelheti a tanítás hatékonyságát.

A videóóra elején ismertetjük a témáját. Ezután felidézzük a korábban vizsgált trigonometrikus azonosságokat. A képernyőn a sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t egyenlőségek jelennek meg, ahol t≠π/2+πk kϵZ-re, ctg t=cos t/sin t, igaz t≠πk-re, ahol kϵZ, tan t · ctg t=1, t≠πk/2-nél, ahol kϵZ, az úgynevezett alapvető trigonometrikus azonosságok. Meg kell jegyezni, hogy ezeket az azonosságokat gyakran használják olyan problémák megoldására, ahol az egyenlőség bizonyítására vagy a kifejezés egyszerűsítésére van szükség.

Ezen túlmenően ezeknek az identitásoknak a problémák megoldásában való alkalmazására vonatkozó példákat is megvizsgálunk. Először is javasolt a kifejezések egyszerűsítésével kapcsolatos problémák megoldásának megfontolása. Az 1. példában le kell egyszerűsíteni a cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t kifejezést. A példa megoldásához először a cos 2 t közös tényezőt zárójelbe tesszük. Egy ilyen zárójelben lévő transzformáció eredményeként az 1-cos 2 t kifejezést kapjuk, amelynek értéke a trigonometria alapazonosságából egyenlő sin 2 t-val. A kifejezés transzformációja után nyilvánvaló, hogy a zárójelekből kivehető még egy sin 2 t gyakori tényező, amely után a kifejezés sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t) alakot ölti. Ugyanebből az alapazonosságból levezetjük a zárójelben lévő kifejezés 1-gyel egyenlő értékét. Az egyszerűsítés eredményeként kapjuk, hogy cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

A 2. példában a költség/(1- sint)+ költség/(1+ szint) kifejezést is egyszerűsíteni kell. Mivel a kifejezés költsége mindkét tört számlálójában szerepel, közös tényezőként zárójelbe adható. Ezután a zárójelben lévő törteket (1- sint)(1+ sint) szorzással közös nevezőre redukáljuk. A hasonló tagok redukciója után 2 marad a számlálóban, és 1 - sin 2 t a nevezőben. A képernyő jobb oldalán az alapvető trigonometrikus azonosság sin 2 t+cos 2 t=1 kerül előhívásra. Használatával megtaláljuk a cos 2 t tört nevezőjét. A tört csökkentése után a költség / (1- sint) + költség / (1 + sint) \u003d 2 / költség kifejezés egyszerűsített formáját kapjuk.

Ezt követően példákat tekintünk az azonosságok bizonyítására, amelyekben a trigonometria alapvető identitásairól megszerzett ismereteket alkalmazzuk. A 3. példában az azonosságot (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t kell igazolni. A képernyő jobb oldalán három azonosság jelenik meg, amelyekre a bizonyításhoz szükség lesz – tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t és tg t=sin t/cos t korlátozásokkal. Az azonosság igazolására először a zárójeleket nyitjuk meg, majd egy szorzatot képezünk, amely tükrözi a fő trigonometrikus azonosság tg t·ctg t=1 kifejezését. Ekkor a kotangens definíciójából származó azonosság szerint ctg 2 t átalakul. A transzformációk eredményeként az 1-cos 2 t kifejezést kapjuk. Az alapazonosság segítségével megtaláljuk a kifejezés értékét. Így bebizonyosodott, hogy (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

A 4. példában meg kell találnia a tg 2 t+ctg 2 t kifejezés értékét, ha tg t+ctg t=6. A kifejezés kiértékeléséhez először a (tg t+ctg t) 2 =6 2 egyenlet jobb és bal oldalát négyzetre emeljük. A rövidített szorzási képlet a képernyő jobb oldalán jelenik meg. A kifejezés bal oldalán lévő zárójelek kinyitása után a tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t összeg jön létre, melynek transzformációjára a tg t ctg t=1 trigonometrikus azonosságok valamelyike ​​alkalmazható, amelynek formáját a képernyő jobb oldalán idézzük fel. A transzformáció után a tg 2 t+ctg 2 t=34 egyenlőséget kapjuk. Az egyenlőség bal oldala egybeesik a feladat feltételével, így a válasz 34. A feladat megoldva.

A "Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése" című videólecke hagyományos iskolai matematika órán való használatra ajánlott. Az anyag hasznos lesz a távoktatást végző tanárok számára is. A trigonometrikus feladatok megoldásában való készség kialakítása érdekében.

SZÖVEGÉRTELMEZÉS:

"Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése".

Egyenlőség

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (te szinusz négyzet plusz te koszinusz négyzet egyenlő eggyel)

2) tgt =, t ≠ + πk, kϵZ esetén (te tangense egyenlő te szinuszának te koszinuszához viszonyított arányával, ha te nem egyenlő pivel kettővel plusz pi ka, ka zet-hez tartozik)

3) ctgt = , t ≠ πk-nél, kϵZ (te kotangense egyenlő te koszinuszának és te szinuszának arányával, ha te nem egyenlő ka csúcsával, amely z-hez tartozik).

4)tgt ∙ ctgt = 1 t ≠ esetén, kϵZ

alapvető trigonometrikus azonosságnak nevezzük.

Gyakran használják a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésére és bizonyítására.

Tekintsen példákat ezeknek a képleteknek a használatára a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésekor.

PÉLDA 1. Egyszerűsítse a kifejezést: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (a te koszinusz négyzetének te mínusz koszinusza a te negyedik fokának plusz a te negyedik fokának szinuszának kifejezése).

Megoldás. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(kivesszük a te koszinusz négyzet közös tényezőt, zárójelben megkapjuk az egység és a te koszinusz négyzetének különbségét, ami az első azonosságnál egyenlő a te szinusz négyzetével. A negyedik szinusz összegét kapjuk a te koszinusznégyzet és a te szinusznégyzet szorzatának te foka A zárójeleken kívül kivesszük a te szinusz négyzet közös tényezőt, zárójelben megkapjuk a koszinusz és a szinusz négyzeteinek összegét, amely az alaptrigonometria szerint azonosság, egyenlő 1-gyel. Ennek eredményeként megkapjuk a te) szinusz négyzetét.

PÉLDA 2. Egyszerűsítse a kifejezést: + .

(kifejezésként a te első koszinusz számlálójában szereplő két tört összege a nevezőben egy mínusz te, a második te koszinusz számlálójában a második plusz te szinusz).

(A koszinusz te közös tényezőt kivesszük a zárójelekből, és a zárójelben egy közös nevezőre hozzuk, ami egy mínusz te szorzata egy plusz szinusz te.

A számlálóban azt kapjuk, hogy egy plusz szinusz te plusz egy mínusz te, hasonlókat adunk meg, a számláló a hasonlók hozása után kettővel egyenlő.

A nevezőben alkalmazhatjuk a rövidített szorzási képletet (négyzetek különbsége), és megkaphatjuk a szinusz te egysége és négyzete közötti különbséget, amely a trigonometrikus alapazonosság szerint

egyenlő a te koszinusz négyzetével. A te koszinuszos redukálás után megkapjuk a végső választ: kettő osztva koszinusz te-vel).

Tekintsünk példákat e képletek használatára a trigonometrikus kifejezések bizonyítása során.

3. PÉLDA Igazolja az azonosságot (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (a te érintője és a te szinusza négyzete, valamint a kotangens négyzete közötti különbség szorzata te egyenlő te szinuszának négyzetével).

Bizonyíték.

Alakítsuk át az egyenlőség bal oldalát:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - 2 t = sin 2 t

(Nyissuk ki a zárójeleket, az előzőleg kapott összefüggésből ismert, hogy te tangensének négyzeteinek szorzata te kotangensével egyenlő eggyel. Emlékezzünk vissza, hogy te kotangense egyenlő a koszinusz arányával. te a te szinuszához, ami azt jelenti, hogy a kotangens négyzete a te koszinuszának négyzetének és te szinuszának négyzetének az aránya.

A te szinuszos négyzetével való redukció után megkapjuk az egység és a te négyzetének koszinusza közötti különbséget, amely egyenlő te négyzetének szinuszával. Q.E.D.

4. PÉLDA Keresse meg a tg 2 t + ctg 2 t kifejezés értékét, ha tgt + ctgt = 6!

(a te érintőjének és a te kotangensének négyzetének összege, ha az érintő és a kotangens összege hat).

Megoldás. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Nézzük négyzetre az eredeti egyenlőség mindkét részét:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (te érintője és te kotangensének összegének négyzete hatnégyzet). Emlékezzünk vissza a rövidített szorzási képletre: Két mennyiség összegének négyzete egyenlő az első négyzete plusz az első és a második szorzatának kétszerese plusz a második négyzete. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Azt kapjuk, hogy tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Mivel te érintőjének és te kotangensének szorzata eggyel egyenlő, akkor tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (te érintője és te és kettő kotangensének négyzetének összege Harminchat),