Óra témája: „Két kör kölcsönös elrendezése. Két kör kölcsönös elrendezése egy síkon Két kör kölcsönös elrendezése

Adjuk meg a köröket ennek a körnek az origójától a középpontig tartó vektorral és a sugarával.

Tekintsük az A és B köröket Ra és Rb sugarakkal, valamint a és b sugárvektorokkal (a középpont felé mutató vektor). Sőt, Oa és Ob a központjaik. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy Ra > Rb.

Ekkor a következő feltételek teljesülnek:

Két kör metszéspontjai

Tegyük fel, hogy A és B két pontban metszi egymást. Keressük meg ezeket a metszéspontokat.

Ehhez a vektort a-tól a P pontig, amely az A körön fekszik és az OaOb-n. Ehhez fel kell venni a b - a vektort, amely a két középpont közötti vektor lesz, normalizálni kell (cserélni egy kodirectionális egységvektorra), és meg kell szorozni Ra-val. A kapott vektort p-vel jelöljük. Ezt a konfigurációt láthatja az ábrán. 6

Rizs. 6. A,b,p vektorok és hol élnek.

Jelölje i1 és i2 vektorokat a-tól két kör I1 és I2 metszéspontjaiig. Nyilvánvalóvá válik, hogy i1-et és i2-t p-ről forgatva kapjuk. Mert ismerjük az OaI1Ob és OaI2Ob háromszögek összes oldalát (Sugár és középpontok távolsága), megkapjuk ezt a fi szöget, a p vektort az egyik irányba fordítva I1, a másikban pedig I2 lesz a vége.

A koszinusz törvénye szerint egyenlő:

Ha p-t fi-vel forgatod, akkor i1-et vagy i2-t kapsz, attól függően, hogy melyik irányba kell fordulni. Ezután az i1 vagy i2 vektort hozzá kell adni a-hoz, hogy megkapjuk a metszéspontot

Ez a módszer akkor is működik, ha az egyik kör középpontja a másikban van. De ott pontosan a p vektort kell a-ból b-be állítani, amit meg is tettünk. Ha p-t építesz egy másik kör alapján, akkor abból nem lesz semmi

Nos, végül egy tényt kell mindenhez megemlíteni: ha a körök összeérnek, akkor könnyen megbizonyosodhatunk arról, hogy P az érintkezési pont (ez igaz a belső és külső érintésre is).
Itt láthatja a vizualizációt (kattintson a futtatáshoz).

Ez a módszer működik, de az elforgatási szög helyett kiszámolhatja a koszinuszát, és ezen keresztül a szinuszát, majd felhasználhatja a vektor elforgatásakor. Ez nagymértékben leegyszerűsíti a számításokat, és megmenti a kódot a trigonometrikus függvényektől.

7G, Z osztály

Az óra témája: "Két kör egymáshoz viszonyított helyzete"
Cél: két kör kölcsönös elrendezésének lehetséges eseteinek ismerete; alkalmazza a tudást a problémák megoldására.

Célok: Oktatási: hogy segítse a tanulókat abban, hogy vizuálisan ábrázolják és megszilárdítsák két kör elhelyezkedésének lehetséges eseteit, a tanulók képesek lesznek:

Összefüggést teremteni a körök kölcsönös elrendezése, sugarai és középpontjaik távolsága között;

Elemezze a geometriai tervezést és mentálisan módosítsa azt,

Fejleszti a planimetrikus képzelőerőt.

A hallgatók képesek lesznek alkalmazni az elméleti ismereteket a problémamegoldásban.

Óra típusa: a tananyaggal kapcsolatos új ismeretek megismertetésére és megszilárdítására szolgáló óra.

Eszközök: bemutató az órán; iránytű, vonalzó, ceruza és tankönyv minden tanulónak.

Oktatóanyag: . "Geometry Grade 7", Almaty "Atamura" 2012

Az órák alatt.

Idő szervezése. Házi feladat ellenőrzése.

3. Alapvető ismeretek aktualizálása.

Ismételje meg a kör, a kör, a sugár, az átmérő, a húr, a pont és az egyenes közötti távolság definícióit.

1) 1) Milyen eseteit ismeri az egyenes és a kör helyének?

2) Melyik egyenest nevezzük érintőnek?

3) Melyik egyenest nevezzük szekánsnak?

4) A húrra merőleges átmérőről szóló tétel?

5) Hogyan halad át az érintő a kör sugarához képest?

6) Töltse ki a táblázatot (kártyákon).

A tanulók tanári irányítás mellett problémákat oldanak meg és elemeznek.

1) Az a egyenes egy O középpontú kör érintője. Az A pont egy a egyenesen van megadva. Az érintő és az OA szakasz közötti szög 300. Határozza meg az OA szakasz hosszát, ha a sugara 2,5 m.

2) Határozza meg az egyenes és a kör egymáshoz viszonyított helyzetét, ha:

1. R=16 cm, d=12 cm 2. R=5 cm, d=4,2 cm 3. R=7,2 cm, d=3,7 cm 4. R=8 cm, d=1,2 cm 5. R=5 cm, d=50 mm

a) az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja;

b) az egyenes érinti a kört;

c) egy egyenes metszi a kört.

d a kör középpontja és az egyenes távolsága, R a kör sugara.

3) Mit mondhatunk az egyenes és a kör egymáshoz viszonyított helyzetéről, ha a kör átmérője 10,3 cm, a kör középpontja és az egyenes távolsága pedig 4,15 cm; 2 dm; 103 mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Adott egy O középpontú kör A ponttal. Hol van az A pont, ha a kör sugara 7 cm, és az OA szakasz hossza: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 mm.

4. A tanulókkal közösen találja ki az óra témáját, fogalmazza meg az óra céljait.

5. Új anyag bevezetése.

Gyakorlati munka csoportokban.

Építs 3 kört. Minden körhöz építsünk még egy kört úgy, hogy 1) 2 kör ne metszi egymást, 2) 2 kör érintkezzen, 3) két kör metszi egymást. Határozza meg az egyes körök sugarát és a körök középpontjai közötti távolságot, hasonlítsa össze az eredményeket. Mi lehet a következtetés?
2) Foglalja össze és írja le füzetbe két kör kölcsönös elrendezésének eseteit!

Két kör kölcsönös elrendezése egy síkon.

A köröknek nincs közös pontja (nem metszik egymást). (R1 és R2 a kör sugarai)

Ha R1 + R2< d,

d - A körök középpontjai közötti távolság.

c) A köröknek két közös pontja van. (metszéspont).

Ha R1 + R2 > d,

Kérdés. Lehet két körnek három közös pontja?

6. A tanult anyag konszolidálása.

Keressen hibát az adatokban vagy a nyilatkozatban, és véleményének indokolásával javítsa ki:
a) Két kör érintkezik. Sugárjuk R = 8 cm és r = 2 cm, a középpontok távolsága d = 6.
B) Két körnek van legalább két közös pontja.
C) R = 4, r = 3, d = 5. A köröknek nincs közös pontja.
D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. A kisebb kör a nagyobb belsejében található.
E) Két kör nem helyezhető el úgy, hogy az egyik a másik belsejében legyen.

7. Az óra eredményei. Mit tanultál az órán? Milyen szabályt állapítottak meg?

Hogyan lehet két kört elhelyezni? Mikor van a köröknek egy közös pontja? Mit nevezünk két kör közös pontjának? Milyen érintéseket ismer? Mikor metszik egymást a körök? Milyen köröket nevezünk koncentrikusnak?

Az óra témája: " Két kör kölcsönös elrendezése egy síkon.

Cél :

nevelési - új ismeretek elsajátítása két kör egymáshoz viszonyított helyzetéről, felkészülés a tesztre

Nevelési - a számítási készségek fejlesztése, a logikai és strukturális gondolkodás fejlesztése; a racionális megoldások megtalálásához és a végső eredmények eléréséhez szükséges készségek kialakítása; a kognitív tevékenység és a kreatív gondolkodás fejlesztése.

Nevelési – a tanulók felelősségének, következetességének kialakítása; kognitív és esztétikai tulajdonságok fejlesztése; a tanulók információs kultúrájának kialakítása.

Javító - fejleszti a térbeli gondolkodást, a memóriát, a kézmotorikát.

Az óra típusa:új oktatási anyagok tanulmányozása, konszolidációja.

Az óra típusa: vegyes lecke.

Oktatási módszer: verbális, vizuális, gyakorlati.

Tanulmányi forma: kollektív.

Az oktatás eszközei: tábla

AZ ÓRÁK ALATT:

1. Szervezési szakasz

- üdvözlet;

- a tanórára való felkészültség ellenőrzése;

2. Az alapismeretek frissítése.
Milyen témákkal foglalkoztunk az előző leckéken?

A köregyenlet általános képe?

Végezze el szóban:

Blitz Poll

3. Új anyag bevezetése.

Mit gondol, és milyen számot fogunk ma figyelembe venni .... Mi van, ha kettő van?

Hogyan lehet őket megtalálni???

A gyerekek a kezükkel (szomszédjaikkal) megmutatják, hogyan lehet a köröket elhelyezni ( testnevelés)

Nos, mit gondolsz, mit kellene ma mérlegelnünk?Ma a két kör egymáshoz viszonyított helyzetét vegyük figyelembe. És megtudja, mekkora a távolság a központok között a helytől függően.

Az óra témája:« Két kör kölcsönös elrendezése. Problémamegoldás.»

1. Koncentrikus körök

2. Nem metsző körök

3.Külső érintés

4. Metsző körök

5. Belső érintés

Következzünk tehát

4. A készségek és képességek kialakítása

Keressen hibát az adatokban vagy a nyilatkozatban, és véleményének indokolásával javítsa ki:

a) Két kör érintkezik. Sugárjuk R = 8 cm és r = 2 cm, a középpontok távolsága d = 6.
B) Két körnek van legalább két közös pontja.

C) R = 4, r = 3, d = 5. A köröknek nincs közös pontja.

D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. A kisebb kör a nagyobb belsejében található.

E) Két kör nem helyezhető el úgy, hogy az egyik a másik belsejében legyen.

5. A készségek és képességek megszilárdítása.

A körök kívülről érintkeznek. A kisebb kör sugara 3 cm, a nagyobbé 5 cm Mekkora a távolság a középpontok között?

Megoldás: 3+5=8(cm)

A körök belülről érintkeznek. A kisebb kör sugara 3 cm A nagyobb kör sugara 5 cm Mekkora a körök középpontjai közötti távolság?

Megoldás: 5-3=2(cm)

A körök belülről érintkeznek. A körök középpontjai közötti távolság 2,5 cm Mekkora a körök sugara?

válasz: (5,5 cm és 3 cm), (6,5 cm és 4 cm) stb.

A MEGÉRTÉS ELLENŐRZÉSE

1) Hogyan helyezhető el két kör?

2) Mikor van a köröknek egy közös pontja?

3) Hogyan nevezzük két kör közös pontját?

4) Milyen érintéseket ismer?

5) Mikor metszik egymást a körök?

6) Milyen köröket nevezünk koncentrikusnak?

További feladatok a témában: Vektorok. Koordináta módszer'(ha van idő)

1)E(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Találd meg:

a) az EF,GH vektorok koordinátái

b) az FG vektor hossza

c) az O pont koordinátái - EF közepe

W pont koordinátái - GH felezőpont

d) FG átmérőjű köregyenlet

e) az FH egyenes egyenlete

6. Házi feladat

& 96 #1000. Az egyenletek közül melyik köregyenlet. Keresse meg a középpontot és a sugarat

7. A lecke összegzése(3 perc)

(minőségi értékelést adni az osztály és az egyes tanulók munkájáról).

8. Reflexió szakasza(2 perc.)

(rajzok segítségével indítsa el a tanulók reflexióját érzelmi állapotukra, tevékenységeikre, a tanárral és az osztálytársakkal való interakcióra)

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma

Önkormányzati költségvetési oktatási intézmény

Novoszibirszk város "4. számú gimnázium"

Szekció: matematika

KUTATÓMUNKA

ebben a témában:

KÉT ÉRINTŐKÖR TULAJDONSÁGAI

10. osztályos tanulók:

Khaziakhmetov Radik Ildarovics

Zubarev Jevgenyij Vladimirovics

Felügyelő:

L.L. Barinova

Matematika tanár

A legmagasabb minősítési kategória

1. § Bevezetés………..……………………….………………………………………………………3

§ 1.1 Két kör kölcsönös elrendezése……………………………………………………3

2. § Tulajdonságok és igazolásaik…………………………………………………………………………

2.1. § 1. ingatlan…………………………………………………………..………………………….…4

§ 2.2 2. ingatlan……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

2.3. § 3. ingatlan…………………………………………………………..…………………………………6

2.4. § 4. ingatlan…………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………….

2.5. § 5. ingatlan………………………………………………………………………………………8

2.6. § 6. ingatlan…………………………………………………………………………………………………9

3. § Feladatok……………………………………………………..……………………………………..…11

Hivatkozások…………………………………………………………………….………….13

§ egy. Bevezetés

Sok két érintőkört érintő probléma tömörebben és egyszerűbben megoldható néhány később bemutatandó tulajdonság ismeretében.

Két kör kölcsönös elrendezése

Kezdésként a két kör lehetséges kölcsönös elrendezését tárgyaljuk. 4 különböző eset lehet.

1. A körök nem metszhetik egymást.

2. Kereszt.

3. Érintsen meg egy pontot kívülről.

4. Érintse meg az egyik pontot belül.

2. §. Tulajdonságok és bizonyításaik

Folytassuk közvetlenül a tulajdonságok bizonyításával.

2.1. § Tulajdon 1

A körök érintőinek metszéspontjai közötti szakaszok egyenlőek egymással, és egyenlők e körök két geometriai középsugarával.

Bizonyíték 1. O 1 A 1 és O 2 V 1 - az érintkezési pontokhoz húzott sugarak.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (az (1) bekezdés szerint)

1. ▲O 1 O 2 D - téglalap alakú, mert O 2 D ┴ O 2 V 1
2. O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r

1. A Pitagorasz-tétel szerint А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2-(R-r) 2 =R2 +2Rr+r2-R2 +2Rr-r2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (hasonlóan bizonyítva)

1) Rajzolja meg a sugarakat a körök érintőinek metszéspontjaihoz!

2) Ezek a sugarak merőlegesek lesznek az érintőkre és párhuzamosak egymással.

3) Dobd le a merőlegest a kisebb kör középpontjából a nagyobb kör sugarába.

4) A kapott derékszögű háromszög befogója egyenlő a körök sugarainak összegével. A láb egyenlő a különbségükkel.

5) A Pitagorasz-tétellel megkapjuk a kívánt összefüggést.

2.2. § Ingatlan 2

Egy olyan egyenes metszéspontja, amely metszi a körök érintési pontját, és egyikben sem található, érintőkkel felosztja a külső érintők érintési pontjai által határolt szakaszait részekre, amelyek mindegyike egyenlő a e körök sugarának geometriai átlaga.

Bizonyíték 1.KISASSZONY= MA 1 (az érintők szegmenseiként)

2.MS = MV 1 (az érintők szegmenseiként)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr, A 2 N \u003d NB 2 \u003d √Rr (az (1) és (2) bekezdés szerint )

A bizonyításban használt állítások Az egyik pontból valamilyen körbe húzott érintők szakaszai egyenlőek. Ezt a tulajdonságot mindkét körre használjuk.

2.3. § Ingatlan 3

A belső érintő külső érintők közé zárt szakaszának hossza megegyezik az érintkezési pontok közötti külső érintő szakaszának hosszával, és egyenlő e körök két geometriai középsugarával.

Bizonyíték Ez a következtetés az előző tulajdonságból következik.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

2.4. § Ingatlan 4

Az érintőkörök középpontjaiból és az érintési pontokhoz húzott sugarak közötti érintőszakasz felezőpontja által alkotott háromszög téglalap alakú. Lábainak aránya megegyezik e körök sugarainak gyökeinek hányadosával.

Bizonyíték 1.MO 1 az A 1 MC szög felezője, MO 2 a B 1 MC szög felezője, mert Egy szögbe beírt kör középpontja az adott szög felezőjén fekszik.

2. Az 1. bekezdés szerint РО 1 МS + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 - egyenes. MS - az O 1 MO 2 háromszög magassága, mert az MN érintő merőleges az érintkezési pontokra húzott sugarakra → az О 1 МС és MO 2 С háromszögek hasonlóak.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R (hasonlóság alapján)

A bizonyításban használt állítások 1) Egy szögbe beírt kör középpontja az adott szög felezőjén fekszik. A háromszög lábai a szögfelezők.

2) Az így képzett szögek egyenlőségét felhasználva azt kapjuk, hogy a keresett szög derékszög. Arra a következtetésre jutunk, hogy ez a háromszög valóban derékszögű háromszög.

3) Igazoljuk azoknak a háromszögeknek a hasonlóságát, amelyekbe a magasság (mivel az érintő merőleges az érintkezési pontokon húzott sugarakra) osztja a derékszögű háromszöget, és hasonlóság alapján megkapjuk a kívánt arányt.

2.5. § Ingatlan 5

Az a háromszög, amelyet a körök egymással való érintkezési pontja és a körök érintővel való metszéspontja alkot, derékszögű háromszög. Lábainak aránya megegyezik e körök sugarainak gyökeinek hányadosával.

Bizonyíték

1. ▲А 1 МС és ▲СМВ 1 egyenlőszárúak → РМА 1 С = РМСА 1 = α, РМВ 1 С = РМСВ 1 = β.

1. 2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 МS + РСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. De RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - közvetlen → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p/2 - β = α

1. ▲A 1 MS és ▲CO 2 B 1 hasonlóak → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

A bizonyításban használt állítások 1) Megfestjük a háromszögek szögeinek összegét, felhasználva azt a tényt, hogy egyenlő szárúak. Az egyenlő szárú háromszögeket az érintőszakaszok egyenlőségére vonatkozó tulajdonság segítségével bizonyítjuk.

2) A szögek összegét így felfestve azt kapjuk, hogy a vizsgált háromszögben van derékszög, tehát téglalap alakú. Az állítás első része bebizonyosodott.

3) A háromszögek hasonlósága alapján (az igazoláskor a hasonlóság jelét használjuk két szögben) megtaláljuk egy derékszögű háromszög szárainak arányát.

2.6. § Ingatlan 6

A körök érintővel való metszéspontjai által alkotott négyszög egy trapéz, amelybe a kör beírható.

Bizonyíték 1.▲A 1 RA 2 és ▲ B 1 RV 2 egyenlő szárú, mert A 1 P \u003d RA 2 és B 1 P \u003d PB 2 mint érintőszegmensek → ▲A 1 RA 2 és ▲B 1 PB 2 hasonlóak.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, mert az A 1 B 1 metszéspont metszéspontjában képzett megfelelő szögek egyenlőek.

1. MN - középvonal a 2. tulajdonság szerint → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 \u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \u003d 4 √ Rr \u003d A 1 A 2 + B 1 B 2 → trapéz A 2 A 1 B 1 B 2 összege alap egyenlő az oldalak összegével, és ez szükséges és elégséges feltétele a beírt kör létezésének.

A bizonyításban használt állítások 1) Használjuk ismét az érintőszegmensek tulajdonságát. Segítségével bebizonyítjuk az érintők és az érintőpontok metszéspontja által alkotott egyenlő szárú háromszögeket.

2) Ebből következik ezeknek a háromszögeknek a hasonlósága és alapjaik párhuzamossága. Ennek alapján arra a következtetésre jutunk, hogy ez a négyszög trapéz.

3) A korábban bizonyított (2) tulajdonság szerint megtaláljuk a trapéz középvonalát. Ez egyenlő két kör sugarának geometriai középértékével. A kapott trapézben az alapok összege egyenlő az oldalak összegével, és ez szükséges és elégséges feltétele a beírt kör létezésének.

3. § Feladatok

Gondoljuk át egy gyakorlati példán keresztül, hogyan egyszerűsíthető a probléma megoldása a fenti tulajdonságok felhasználásával.

1. feladat

Az ABC háromszögben AC oldal = 15 cm A háromszögbe kör van írva. A második kör érinti az elsőt, valamint az AB és BC oldalakat. Az F pontot az AB oldalon, az M pontot a BC oldalon választjuk úgy, hogy az FM szakasz a körök közös érintője legyen. Határozzuk meg a BFM háromszög és az AFMC négyszög területének arányát, ha FM 4 cm, és az M pont kétszer olyan messze van az egyik kör középpontjától, mint a másik kör középpontjától.

Adott: FM közös érintő AC=15cm FM=4cm O 2 M=2O 1 M

Keresse meg az S BFM /S AFMC-t

Megoldás:

1) FM=2√Rr,O1M/O2M=√r/R

2) 2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1, R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P és ▲BO 2 Q hasonlóak → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4) FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC \u003d R * R ABC \u003d 4 * (61/3) \u003d 244/3 → S BFM / S AFMC \u003d (16/3): (244/3) \u003d 4/61

2. feladat

Az ABC egyenlő szárú háromszögbe két olyan érintőkör van beírva, amelyeknek közös D pontja és egy FK közös érintője megy át ezen a ponton. Határozza meg e körök középpontjai közötti távolságot, ha az AC háromszög alapja 9 cm, és a háromszög oldalsó oldalának a körök érintkezési pontjai közé eső szakasza 4 cm.

Adott: Az ABC egyenlő szárú háromszög; FK a beírt körök közös érintője. AC = 9 cm; ÉK = 4 cm

Megoldás:

Legyen az AB és CD egyenesek metszéspontja az O pontban. Ekkor OA = OD, OB = OC, tehát CD = AB = 2√Rr

Az O 1 és O 2 pontok az AOD szög felezőjén fekszenek. Egy egyenlő szárú háromszög AOD felezőpontja a magassága, tehát AD ┴ O 1 O 2 és BC ┴ O 1 O 2, tehát

AD ║ BC és ABCD egyenlő szárú trapéz.

Az MN szakasz a középvonala, tehát AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Ezért ebbe a trapézbe kör írható.

Legyen AP a trapéz magassága, a АРВ és О 1 FO 2 derékszögű háromszögek hasonlóak, ezért АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

Innentől azt találjuk

Bibliográfia

• Melléklet a "Szeptember elseje" újság "Matematika" 2003. 43. sz.
• USE 2010. Matematika. C4. feladat. Gordin R.K.