Kezdje a tudományban. Koordinátasík A koordináták meghatározásának módja

Ha egy síkon két egymásra merőleges numerikus tengelyt szerkesztünk: ÖKÖRés OY, akkor hívják őket koordináta tengelyek. Vízszintes tengely ÖKÖR hívott x tengely(tengely x), függőleges tengely OY - y tengely(tengely y).

Pont O, amely a tengelyek metszéspontjában áll, ún eredet. Ez mindkét tengely nullapontja. A pozitív számok az abszcissza tengelyen jobbra, az ordináta tengelyen pedig a nulla ponttól felfelé mutatnak. A negatív számokat pontok jelzik az origótól balra és lefelé (pontok O). Azt a síkot, amelyen a koordinátatengelyek fekszenek, nevezzük Koordináta sík.

A koordinátatengelyek a síkot négy részre osztják, ún szállás vagy kvadránsok. Ezeket a negyedeket a rajzon szereplő számozási sorrendben szokás római számokkal számozni.

Pontkoordináták a síkon

Ha felveszünk egy tetszőleges pontot a koordinátasíkon Aés rajzoljunk belőle merőlegeseket a koordinátatengelyekre, akkor a merőlegesek alapjai két számon fognak feküdni. A függőleges merőleges által mutatott számot nevezzük abszcissza pont A. A szám, amelyre a vízszintes merőleges mutat: pont ordináta A.

A pont abszcissza rajzán A 3, az ordináta pedig 5.

Az abszcisszát és az ordinátát a sík adott pontjának koordinátáinak nevezzük.

A pont koordinátáit zárójelben a pont megjelölésétől jobbra írjuk. Először az abszcisszát írjuk, majd az ordinátát. Szóval rekord A(3; 5) azt jelenti, hogy a pont abszcisszán A egyenlő hárommal, az ordináta pedig öt.

Egy pont koordinátái olyan számok, amelyek meghatározzák annak helyzetét a síkon.

Ha a pont az x tengelyen fekszik, akkor az ordinátája nulla (például a pont B-2 és 0 koordinátákkal). Ha a pont az y tengelyen fekszik, akkor az abszcissza nulla (például a pont C 0 és -4 koordinátákkal).

Eredet - pont O- az abszcissza és az ordináta értéke nulla: O (0; 0).

Ezt a koordinátarendszert ún négyszögletes vagy kartéziánus.

A videó lecke témája: Koordináta sík.

Az óra céljai és céljai:

Megismerkedett derékszögű koordinátarendszer a síkon
- megtanulni szabadon navigálni a koordinátasíkon
- pontokat épít a megadott koordinátái szerint
- meghatározza a koordinátasíkon jelölt pont koordinátáit
- jól érzékeli a koordinátákat füllel
- pontosan és pontosan végrehajtani a geometriai konstrukciókat
- kreatív képességek fejlesztése
- érdeklődés felkeltése a téma iránt

A " kifejezés koordináták"A latin szóból származik -" rendezett "

Egy pont helyzetének jelzésére egy síkon két merőleges X és Y egyenest veszünk.

X tengely - abszcissza
Y-tengely y tengely
O pont - origó

Azt a síkot, amelyen a koordinátarendszer adott, hívjuk Koordináta sík.

A koordinátasíkon minden M pont egy számpárnak felel meg: az abszcissza és az ordináta. Éppen ellenkezőleg, minden számpár a sík egy pontjának felel meg, amelyhez ezek a számok koordinátái.

Figyelembe vett példák:

• pont koordinátái alapján történő megszerkesztésével
• a koordinátasíkon elhelyezkedő pont koordinátáinak megtalálása

Néhány további információ:

Az ötlet, hogy egy pont helyzetét egy síkon állítsák be, már az ókorban – elsősorban csillagászok körében – született. A II században. Az ókori görög csillagász, Claudius Ptolemaiosz a szélességi és hosszúsági fokokat használta koordinátákként. A koordináták használatának leírását a „Geometria” című könyv tartalmazza 1637-ben.

A koordináták használatának leírását Rene Descartes francia matematikus "Geometria" című könyvében 1637-ben adta meg, ezért a derékszögű koordinátarendszert gyakran derékszögűnek nevezik.

A szavak " abszcissza», « ordináta», « koordináták» először a XVII. végén kezdték használni.

A koordinátasík jobb megértéséhez képzeljük el, hogy adott nekünk: földrajzi földgömb, sakktábla, színházjegy.

Egy pont helyzetének meghatározásához a földfelszínen ismernie kell a hosszúsági és szélességi fokot.
Egy figura sakktáblán elfoglalt helyzetének meghatározásához két koordinátát kell ismerni, például: e3.
A nézőtér üléseit két koordináta határozza meg: a sor és az ülés.

Kiegészítő feladat.

A videóóra áttanulmányozása után az anyag konszolidálásához azt javaslom, hogy egy tollat ​​és egy papírlapot vegyen egy dobozba, rajzoljon egy koordinátasíkot, és a megadott koordinátáknak megfelelően alakítson ki alakzatokat:

Gomba
1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0).
2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14),
(0; 14), (- 2; 13,3), (- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10).
3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).
kisegér 1) (3; - 4), (3; - 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),
(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; - 1), (- 1; 0), (- 1; - 4), (- 2; - 4),
(- 2; - 6), (- 3; - 6), (- 3; - 7), (- 1; - 7), (- 1; - 5), (1; - 5), (1; - 6), (3; - 6), (3; - 7),
(4; - 7), (4; - 5), (2; - 5), (3; - 4).
2) Farok: (3; - 3), (5; - 3), (5; 3).
3) Szem: (- 1; 5).
Hattyú
1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; - 3), (4; 0), (11; - 2), (9; - 2), (11; - 3),
(9; - 3), (5; - 7), (- 4; - 3).
2) Csőr: (- 4; 8), (- 2; 7), (- 4; 6).
3) Szárny: (1; - 3), (4; - 2), (7; - 3), (4; - 5), (1; - 3).
4) Szem: (0; 7).
Teve
1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4),
(9; 3), (9; 1), (8; - 1), (8; 1), (7; 1), (7; - 7), (6; - 7), (6; - 2), (4; - 1), (- 5; - 1), (- 5; - 7),
(- 6; - 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).
2) Szem: (- 6; 7).
Elefánt
1) (2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5),
(0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3).
2) (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; - 8), (1; - 5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9),
(- 3; - 3), (- 7; - 3), (- 7; - 7), (- 8; - 7), (- 8; - 8), (- 11; - 8), (- 10; - 4), (- 11; - 1),
(- 14; - 3), (- 12; - 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).
3) Szemek: (2; 4), (6; 4).
Ló
1) (14; - 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5),
(- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; - 3), (- 5; - 1), (- 7; - 2),
(- 5; - 10), (- 2; - 11), (- 2; - 8,5), (- 4; - 8), (- 4; - 4), (0; - 7,5), (3; - 5).
2) Szem: (- 2; 7).

A pontok „regisztráltak” - „lakók”, minden pontnak megvan a saját „házszáma” - a koordinátája. Ha a pontot síkban veszik, akkor a „regisztrációhoz” nemcsak a „házszámot”, hanem a „lakásszámot” is meg kell adni. Emlékezzen vissza, hogyan történik ez.

Rajzoljunk két egymásra merőleges koordináta egyenest, és tekintsük mindkét egyenes kiindulópontjának metszéspontjukat, az O pontot, így a síkon egy téglalap alakú koordináta-rendszert állítunk be (20. ábra), amely átalakítja a szokásosat. repülőgép koordinálni. Az O pontot a koordináták origójának, a koordináta egyeneseket (x tengely és y tengely) koordinátatengelyeknek, a koordinátatengelyek által alkotott derékszögeket pedig koordinátaszögeknek nevezzük. A koordináta téglalap alakú sarkait a 20. ábra szerint számozzuk.

És most térjünk át a 21. ábrára, amely egy derékszögű koordinátarendszert mutat, és az M pontot jelölte. Rajzoljunk rajta egy egyenest az y tengellyel párhuzamosan. Az egyenes egy ponton metszi az x tengelyt, ennek a pontnak van egy koordinátája - az x tengelyen. A 21. ábrán látható pont esetében ez a koordináta -1,5, ezt az M pont abszcisszájának nevezzük. Ezután az M ponton keresztül az x tengellyel párhuzamos egyenest húzunk. Az egyenes egy ponton metszi az y tengelyt, ennek a pontnak van egy koordinátája - az y tengelyen.

A 21. ábrán látható M pont esetében ez a koordináta 2, az M pont ordinátájának nevezzük. Röviden így írva: M (-1,5; 2). Az abszcissza az első helyen van írva, az ordináta a második helyen. Szükség esetén más jelölési formát is használnak: x = -1,5; y = 2.

Megjegyzés 1 . A gyakorlatban az M pont koordinátáinak megtalálásához általában a koordinátatengelyekkel párhuzamos és az M ponton áthaladó egyenesek helyett ezeknek az egyeneseknek a szakaszait építik fel az M ponttól a koordinátatengelyekig (22. ábra).

2. megjegyzés. Az előző részben különböző jelöléseket vezettünk be a numerikus intervallumokhoz. Konkrétan a (3, 5) jelölés azt jelenti, hogy a koordinátaegyenesen egy olyan intervallumot veszünk figyelembe, amelynek vége a 3. és 5. pont. Ebben a részben egy számpárt tekintünk egy pont koordinátájának; például (3; 5) egy ponton Koordináta sík a 3. abszcisszával és az 5. ordinátával. Hogyan helyes a szimbolikus jelölésből meghatározni, hogy mi a tét: az intervallumról vagy a pont koordinátáiról? Legtöbbször ez egyértelműen kiderül a szövegből. Mi van, ha nem világos? Egy részletre figyeljünk: az intervallum megjelölésénél vesszőt, a koordinátajelölésnél pontosvesszőt használtunk. Ez persze nem túl jelentős, de mégis a különbség; alkalmazni fogjuk.

A bevezetett kifejezések és jelölések ismeretében a vízszintes koordinátavonalat abszcisszának vagy x-tengelynek, a függőleges koordinátavonalat y-tengelynek vagy y-tengelynek nevezzük. Az x, y jelöléseket általában egy téglalap alakú koordinátarendszer síkon történő megadásakor használják (lásd 20. ábra), és gyakran mondják ezt: az xOy koordinátarendszer adott. Vannak azonban más elnevezések is: például a 23. ábrán a tOs koordinátarendszer szerepel.
Algoritmus az M pont koordinátáinak megtalálására a хОу derékszögű koordinátarendszerben

Pontosan így jártunk el, megtalálva az M pont koordinátáit a 21. ábrán. Ha az M 1 (x; y) pont az első koordinátaszöghez tartozik, akkor x\u003e 0, y\u003e 0; ha az M 2 (x; y) pont a második koordinátaszöghez tartozik, akkor x< 0, у >0; ha az M 3 (x; y) pont a harmadik koordinátaszöghez tartozik, akkor x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >OU< 0 (рис. 24).

De mi történik, ha az a pont, amelynek koordinátáit meg kell találni, az egyik koordinátatengelyen fekszik? Legyen az A pont az x tengelyen, a B pont pedig az y tengelyen (25. ábra). Nincs értelme az y tengellyel párhuzamos egyenes vonalat húzni az A ponton keresztül, és megtalálni ennek az egyenesnek az x tengellyel való metszéspontját, mivel ilyen metszéspont már létezik - ez az A pont, a koordinátája ( abszcissza) 3. Ugyanígy nem kell áthúzni a ponton és az x tengellyel párhuzamos egyenest - ez az egyenes maga az x tengely, amely az y tengelyt az O pontban a koordinátával metszi. ordináta) 0. Ennek eredményeként az A pontra A-t kapunk (3; 0). Hasonlóképpen a B ponthoz B(0; - 1,5) kapjuk. Az O ponthoz pedig O(0; 0).

Általában az x tengely bármely pontjának vannak koordinátái (x; 0), és az y tengely bármely pontjának koordinátái (0; y)

Tehát megbeszéltük, hogyan találjuk meg egy pont koordinátáit a koordinátasíkban. De hogyan lehet megoldani az inverz problémát, azaz hogyan lehet a koordináták megadása után megszerkeszteni a megfelelő pontot? Egy algoritmus kidolgozásához két segéd, de egyben fontos érvet hajtunk végre.

Első vita. Legyen I az xOy koordinátarendszerben, párhuzamosan az y tengellyel, és az x tengelyt egy 4 koordinátájú pontban metszi (abszcissza)

(26. ábra). Az ezen az egyenesen fekvő bármely pontnak 4-es abszcissza van. Tehát az M 1, M 2, M 3 pontokhoz M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2) van. Más szavakkal, az egyenes bármely M pontjának abszcisszája kielégíti az x \u003d 4 feltételt. Azt mondják, hogy x \u003d 4 - az egyenlet az l egyenes vagy az I egyenes kielégíti az x = 4 egyenletet.

A 27. ábrán olyan vonalak láthatók, amelyek kielégítik az x = - 4 (I 1. sor), x = - 1 egyenleteket
(I 2 egyenes) x = 3,5 (I 3 egyenes). És melyik egyenes teljesíti az x = 0 egyenletet? Kitalálta? y tengely

Második megbeszélés. Legyen az xOy koordinátarendszerben az x tengellyel párhuzamos és az y tengelyt 3 koordinátájú (ordináta) pontban metsző I egyenes (28. ábra). Az ezen az egyenesen fekvő bármely pont ordinátája 3. Tehát az M 1, M 2, M 3 pontokhoz a következők tartoznak: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3) ) . Más szóval, az I egyenes bármely M pontjának ordinátája teljesíti az y \u003d 3 feltételt. Azt mondják, hogy y \u003d 3 az I egyenes egyenlete, vagy az I egyenes teljesíti az y \u003d 3 egyenletet.

A 29. ábra azokat a sorokat mutatja, amelyek kielégítik az y \u003d - 4 (l 1. sor), y \u003d - 1 (I 2. sor), y \u003d 3.5 (I 3. sor) - A melyik egyenes teljesíti az y \u003d 01 egyenletet Találd ki? x tengely.

Vegyük észre, hogy a matematikusok a beszéd rövidségére törekedve azt mondják, hogy „egy egyenes x = 4”, és nem „egy egyenes, amely kielégíti az x = 4 egyenletet”. Hasonlóképpen azt mondják, hogy "y sor = 3", nem pedig "sor, amely kielégíti az y = 3-at". Pontosan ugyanezt fogjuk tenni. Térjünk vissza a 21. ábrához. Felhívjuk figyelmét, hogy az ott látható M pont (- 1,5; 2) az x \u003d -1,5 és az y \u003d 2 egyenes metszéspontja. , akkor a pont felépítésének algoritmusa egyértelmű lesz a megadott koordinátái szerint.

Algoritmus egy M (a; b) pont megalkotására téglalap alakú koordinátarendszerben хОу

PÉLDA Az xOy koordinátarendszerben szerkesztsünk pontokat: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).

Megoldás. Az A pont az x = 1 és y = 3 egyenesek metszéspontja (lásd 30. ábra).

A B pont az x = - 2 és y = 1 egyenesek metszéspontja (30. ábra). A C pont az x tengelyhez, a D pont az y tengelyhez tartozik (lásd 30. ábra).

A szakasz végén megjegyezzük, hogy a síkon először kezdték aktívan használni az algebrai téglalap alakú koordináta-rendszert. modellek geometrikus francia filozófus, René Descartes (1596-1650). Ezért néha azt mondják, hogy "derékszögű koordinátarendszer", "derékszögű koordináták".

A témakörök teljes listája osztályonként, naptárterv az iskolai matematika tanterv szerint online, felvételeket matematikából 7. osztályos letöltés

A. V. Pogorelov, Geometria 7-11. osztályosoknak, Tankönyv oktatási intézmények számára

1. § Koordinátarendszer: meghatározás és szerkesztési mód

Ebben a leckében megismerkedünk a "koordinátarendszer", "koordinátasík", "koordinátatengelyek" fogalmaival, megtanuljuk, hogyan építsünk pontokat a síkon koordináták szerint.

Vegyük az x koordináta egyenest az O kezdőponttal, a pozitív iránysal és az egységszakasszal.

Az x koordináta egyenes O kezdőpontján át húzunk egy másik, x-re merőleges y koordináta egyenest, a pozitív irányt felfelé állítjuk, az egységszegmens ugyanaz. Így felépítettünk egy koordinátarendszert.

Adjunk egy definíciót:

Két egymásra merőleges koordinátaegyenes, amelyek a pontban metszik egymást, amelyek mindegyikének origója, koordinátarendszert alkotnak.

§ 2 Koordinátatengely és koordinátasík

A koordinátarendszert alkotó egyeneseket koordinátatengelyeknek nevezzük, amelyek mindegyikének saját neve van: az x koordináta egyenes az abszcissza tengely, az y koordináta egyenes az ordináta tengely.

Azt a síkot, amelyen a koordinátarendszert választjuk, koordinátasíknak nevezzük.

A leírt koordinátarendszert téglalapnak nevezzük. Gyakran Descartes-féle koordinátarendszernek nevezik René Descartes francia filozófus és matematikus tiszteletére.

A koordinátasík minden pontjának két koordinátája van, amelyeket úgy határozhatunk meg, hogy a merőlegeseket a koordinátatengelyre ejtjük a pontból. A síkon egy pont koordinátái egy számpár, amelyek közül az első szám az abszcissza, a második szám az ordináta. Az abszcissza az x tengelyre merőlegest, az ordináta az y tengelyre merőlegest mutatja.

A koordinátasíkon kijelöljük az A pontot, abból merőlegeseket rajzolunk a koordinátarendszer tengelyeire.

Az abszcissza tengelyre merőleges (x tengely) mentén meghatározzuk az A pont abszcisszáját, ez egyenlő 4-gyel, az A pont ordinátája - az ordináta tengelyre merőleges (y tengely) mentén 3. pont 4 és 3. A (4; 3). Így a koordinátasík bármely pontjához megtalálhatók a koordináták.

3. § Egy pont felépítése egy síkon

És hogyan lehet egy pontot felépíteni egy síkon adott koordinátákkal, pl. helyzetét egy síkban lévő pont koordinátái alapján határozza meg? Ebben az esetben a lépéseket fordított sorrendben hajtjuk végre. A koordinátatengelyeken megtaláljuk az adott koordinátáknak megfelelő pontokat, amelyeken keresztül az x és y tengelyre merőleges egyeneseket húzunk. A merőlegesek metszéspontja lesz a kívánt, azaz. pont adott koordinátákkal.

Végezzük el a feladatot: építsünk fel egy M (2; -3) pontot a koordinátasíkon.

Ehhez az x tengelyen találunk egy 2-es koordinátájú pontot, ezen a ponton keresztül az x tengelyre merőleges egyenest húzunk. Az y tengelyen találunk egy -3 koordinátájú pontot, azon keresztül húzunk egy, az y tengelyre merőleges egyenest. A merőleges egyenesek metszéspontja az adott M pont lesz.

Most nézzünk meg néhány speciális esetet.

A koordinátasíkon jelöljük az A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) pontokat.

Ezen pontok abszcisszán 0. Az ábra azt mutatja, hogy minden pont az y tengelyen van.

Ezért azok a pontok, amelyeknek abszcisszán egyenlők nullával, az y tengelyen helyezkednek el.

Cseréljük fel ezeknek a pontoknak a koordinátáit.

Szerezzen A (2; 0), B (-3; 0) C (4; 0). Ebben az esetben minden ordináta 0 és a pontok az x tengelyen vannak.

Ez azt jelenti, hogy a nullával egyenlő ordináták az abszcissza tengelyén helyezkednek el.

Nézzünk még két esetet.

A koordinátasíkon jelölje be az M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4) pontokat.

Könnyen belátható, hogy a pontok összes abszcisszája azonos. Ha ezek a pontok össze vannak kötve, akkor az ordinátatengellyel párhuzamos és az abszcissza tengelyre merőleges egyenest kapunk.

A következtetés önmagát sugallja: az azonos abszcisszával rendelkező pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, amely párhuzamos az ordinátatengellyel és merőleges az abszcissza tengelyére.

Ha az M, N, P pontok koordinátáit helyenként megváltoztatjuk, akkor M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3) értéket kapunk. A pontok ordinátái azonosak lesznek. Ebben az esetben, ha ezeket a pontokat összekötjük, akkor az abszcissza tengellyel párhuzamos és az ordináta tengelyére merőleges egyenest kapunk.

Így az azonos ordinátával rendelkező pontok ugyanazon az egyenesen vannak, amelyek párhuzamosak az abszcissza tengellyel és merőlegesek az ordináta tengelyére.

Ebben a leckében megismerkedett a "koordinátarendszer", "koordinátasík", "koordinátatengelyek - az abszcissza tengely és az y tengely" fogalmaival. Megtanultuk, hogyan kell megtalálni egy pont koordinátáit egy koordinátasíkon, és megtanultuk, hogyan építsünk pontokat egy síkon a koordinátái alapján.

A felhasznált irodalom listája:

1. Matematika. 6. évfolyam: a tankönyv óravázlatai I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // szerző-összeállító L.A. Topilin. – Mnemosyne, 2009.
2. Matematika. 6. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények tanulói számára. I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
3. Matematika. 6. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények számára / G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov és mások / szerkesztette: G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Orosz Tudományos Akadémia, Orosz Oktatási Akadémia. - M.: "Felvilágosodás", 2010
4. Matematikai kézikönyv - http://lyudmilanik.com.ua
5. Kézikönyv középiskolás diákok számára http://shkolo.ru

A koordinátasík megértése

Minden objektumnak (például egy háznak, egy helynek a nézőtéren, egy pontnak a térképen) saját rendezett címe (koordinátái) van, amely numerikus vagy alfabetikus megjelöléssel rendelkezik.

A matematikusok olyan modellt fejlesztettek ki, amely lehetővé teszi egy objektum helyzetének meghatározását, és az ún Koordináta sík.

Egy koordinátasík felépítéséhez $2$-os merőleges vonalakat kell rajzolnia, amelyek végén a "jobbra" és a "felfelé" nyilak jelzik. Az egyenesekre osztásokat alkalmazunk, és a vonalak metszéspontja mindkét skála nullapontja.

1. definíció

A vízszintes vonalat ún x tengelyés x-szel jelöljük, és a függőleges vonalat hívjuk y tengelyés y-val van jelölve.

Két merőleges tengely x és y osztással négyszögletes, vagy kartéziánus, koordináta-rendszer Rene Descartes francia filozófus és matematikus javasolta.

Koordináta sík

Pont koordinátái

A koordinátasíkon egy pontot két koordináta határoz meg.

A $A$ pont koordinátáinak meghatározásához a koordinátasíkon keresztül egyenes vonalakat kell húzni rajta, amelyek párhuzamosak lesznek a koordinátatengelyekkel (az ábrán pontozott vonallal vannak jelölve). Az egyenesnek az x tengellyel való metszéspontja adja az $A$ $x$ koordinátáját, az y tengellyel való metszéspont pedig az $A$ y koordinátáját. Egy pont koordinátáinak felírásakor először a $x$ koordinátát írjuk be, majd az $y$ koordinátát.

Az ábra $A$ pontjának $(3; 2)$, a $B (–1; 4)$ pontjának koordinátái vannak.

Egy pont koordinátasíkon való ábrázolásához fordított sorrendben járjon el.

Pont felépítése megadott koordinátákkal

1. példa

Szerkessze meg a $A(2;5)$ és $B(3; –1).$ pontokat a koordinátasíkon

Megoldás.

$A$ építési pont:

• helyezzük a $2$ számot a $x$ tengelyre, és rajzoljunk egy merőleges vonalat;
• az y tengelyen ábrázoljuk a $5$ számot és húzunk egy egyenest a $y$ tengelyre merőlegesen. A merőleges egyenesek metszéspontjában megkapjuk a $A$ pontot a $(2; 5)$ koordinátákkal.

$B$ építési pont:

• ábrázoljuk a $3$ számot az $x$ tengelyen, és rajzoljunk egy egyenest az x tengelyre merőlegesen;
• ábrázolja a $(–1)$ számot az $y$ tengelyen, és rajzoljon egy egyenest, amely merőleges a $y$ tengelyre. A merőleges egyenesek metszéspontjában a $B$ pontot kapjuk $(3; –1)$ koordinátákkal.

2. példa

Szerkesszünk pontokat a koordinátasíkon megadott $C (3; 0)$ és $D(0; 2)$ koordinátákkal.

Megoldás.

$C$ pont építése:

• tegye a $3$ számot a $x$ tengelyre;
• az $y$ koordináta egyenlő nullával, tehát a $C$ pont a $x$ tengelyen fog feküdni.

$D$ pont építése:

• tegye a $2$ számot az $y$ tengelyre;
• a $x$ koordináta egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy a $D$ pont az $y$ tengelyen lesz.

Megjegyzés 1

Ezért a $x=0$ koordinátánál a pont az $y$ tengelyen, a $y=0$ koordinátánál pedig a $x$ tengelyen lesz.

3. példa

Határozzuk meg az A, B, C, D pontok koordinátáit.$

Megoldás.

Határozzuk meg a $A$ pont koordinátáit. Ehhez a $2$ ponton keresztül egyenes vonalakat húzunk, amelyek párhuzamosak lesznek a koordinátatengelyekkel. Az egyenesnek az abszcissza tengellyel való metszéspontja adja az $x$ koordinátát, az egyenes metszéspontja az y tengellyel az $y$ koordinátát. Így azt kapjuk, hogy a $A (1; 3).$ pont

Határozzuk meg a $B$ pont koordinátáit. Ehhez a $2$ ponton keresztül egyenes vonalakat húzunk, amelyek párhuzamosak lesznek a koordinátatengelyekkel. Az egyenesnek az abszcissza tengellyel való metszéspontja adja az $x$ koordinátát, az egyenes metszéspontja az y tengellyel az $y$ koordinátát. Azt kapjuk, hogy a $B (–2; 4).$ pont

Határozzuk meg a $C$ pont koordinátáit. Mert az $y$ tengelyen helyezkedik el, akkor ennek a pontnak a $x$ koordinátája egyenlő nullával. Az y koordináta $–2 $. Így a pont $C (0; –2)$.

Határozzuk meg a $D$ pont koordinátáit. Mert az $x$ tengelyen van, akkor az $y$ koordináta egyenlő nullával. Ennek a pontnak a $x$ koordinátája $–5$. Így a $D (5; 0).$ pont

4. példa

Szerkessze meg a $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0) pontokat.

Megoldás.

$E$ pont építése:

• tegye a $(–3)$ számot az $x$ tengelyre, és rajzoljon egy merőleges vonalat;
• helyezze a $(–2)$ számot az $y$ tengelyre, és rajzoljon egy egyenest a $y$ tengelyre merőlegesen;
• merőleges egyenesek metszéspontjában megkapjuk a $E (–3; –2).$ pontot

$F$ építési pont:

• $y=0$ koordináta, tehát a pont a $x$ tengelyen fekszik;
• ábrázoljuk az $5$ számot a $x$ tengelyen, és megkapjuk a $F(5; 0).$ pontot

A $G$ pont építése:

• helyezze a $3$ számot az $x$ tengelyre, és rajzoljon egy egyenest a $x$ tengelyre merőlegesen;
• helyezzük a $4$ számot az $y$-tengelyre, és rajzoljunk egy egyenest a $y$-tengelyre merőlegesen;
• merőleges egyenesek metszéspontjában megkapjuk a $G(3; 4).$ pontot

$H$ pont építése:

• $x=0$ koordináta, tehát a pont az $y$ tengelyen fekszik;
• ábrázoljuk a $(–4)$ számot az $y$ tengelyen, és megkapjuk a $H(0; –4).$ pontot

A $O$ pont felépítése:

• a pont mindkét koordinátája nulla, ami azt jelenti, hogy a pont az $y$ tengelyen és a $x$ tengelyen is fekszik, tehát mindkét tengely metszéspontja (a koordináták origója).