Trigonometrikus egyenletek megoldása. Trigonometrikus egyenletek Oldja meg a sinx 1 2 trigonometrikus egyenletet

A „Get an A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a sikeres matematika vizsga 60-65 ponttal történő letételéhez szükséges. Teljesen a Profil USE 1-13. feladatai matematikából. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem tud meglenni.

Minden szükséges elmélet. Gyors megoldások, csapdák és a vizsga titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz vizsgafeladat. Szövegfeladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Ravasz trükkök a megoldáshoz, hasznos csalólapok, térbeli képzelőerő fejlesztése. Trigonometria a semmiből - a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. A 2. vizsgarész összetett feladatainak megoldásának alapja.

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Abban az esetben, ha ez szükséges – a törvénynek, a bírósági végzésnek, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén működő állami szervek nyilvános megkeresései vagy kérései alapján – adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Egyszer tanúja voltam egy beszélgetésnek két jelentkező között:

– Mikor kell hozzá 2πn, és mikor - πn? nem emlékszem!

- És nekem is ugyanez a problémám.

Azt akartam mondani nekik: „Nem memorizálni kell, hanem megérteni!”

Ez a cikk elsősorban a középiskolásoknak szól, és remélem, segít nekik "megértésben" a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásában:

Számkör

A számegyenes fogalma mellett létezik a számkör fogalma is. Mint tudjuk, téglalap alakú koordinátarendszerben azt a kört, amelynek középpontja a (0; 0) pontban van, sugara pedig 1, egységkörnek nevezzük. Képzeljünk el egy számegyenest egy vékony fonallal, és tekerjük a kör köré: a referenciapont (0 pont), rögzítsük az egységkör „jobb” pontjához, tekerjük a pozitív féltengelyt az óramutató járásával ellentétes irányba, a negatív féltengelyt pedig a ( 1. ábra). Az ilyen egységkört számkörnek nevezzük.

Számkör tulajdonságai

• Minden valós szám egy ponton van a számkörön.
• A számkör minden pontján végtelen sok valós szám található. Mivel az egységkör hossza 2π, a kör egy pontjában lévő bármely két szám különbsége egyenlő a ±2π számok egyikével; ±4π; ±6π; …

Következzünk: Az A pont egyik számának ismeretében megtalálhatjuk az A pont összes számát.

Rajzoljuk meg az AC átmérőt (2. ábra). Mivel x_0 az A pont egyik száma, ezért az x_0±π számok; x_0±3π; x_0±5π; … és csak ezek lesznek a C pont számai. Válasszunk ezek közül egyet, mondjuk x_0+π, és írjuk fel vele a C pont összes számát: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Vegyük észre, hogy az A és C pontban lévő számok összevonhatók egy képletbe: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (ha k = 0; ±2; ±4; ... megkapjuk a az A pont, és ha k = ±1, ±3, ±5, … a C pont számai.

Következzünk: ismerve az AC átmérő valamelyik A vagy C pontján lévő számok egyikét, ezeken a pontokon megtalálhatjuk az összes számot.

• Két ellentétes szám található a kör azon pontjain, amelyek szimmetrikusak az abszcissza tengelyére.

Rajzoljunk egy AB függőleges húrt (2. ábra). Mivel az A és B pont szimmetrikus az Ox tengelyre, az -x_0 szám a B pontban található, és ezért a B pont összes számát a következő képlet adja meg: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Az A és B pontban lévő számokat egy képlettel írjuk fel: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Következtetés: ismerve az AB függőleges húr egyik A vagy B pontjában lévő számok egyikét, ezeken a pontokon megtalálhatjuk az összes számot. Tekintsük az AD vízszintes húrt, és keressük meg a D pont számait (2. ábra). Mivel BD az átmérő és az -x_0 szám a B ponthoz tartozik, akkor -x_0 + π a D pont egyik száma, ezért ennek a pontnak az összes számát az x_D=-x_0+π+2πk képlet adja meg. ,k∈Z. Az A és D pontokban lévő számok egy képlettel írhatók fel: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (k= 0; ±2; ±4; ... esetén az A pont számait kapjuk, k esetén pedig = ±1; ±3; ±5; ... - a D pont számait).

Következzünk: ismerve az AD vízszintes húr egyik A vagy D pontjában található számok egyikét, ezeken a pontokon megtalálhatjuk az összes számot.

A számkör tizenhat fő pontja

A gyakorlatban a legtöbb legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet megoldása a kör tizenhat pontjához kapcsolódik (3. ábra). Mik ezek a pontok? Piros, kék és zöld pontok osztják a kört 12 egyenlő részre. Mivel a félkör hossza π, az A1A2 ív hossza π/2, az A1B1 ívé π/6, az A1C1 ívé pedig π/3.

Most megadhatunk egy számot a pontokon:

π/3 a С1-en és

A narancssárga négyzet csúcsai az egyes negyedek íveinek felezőpontjai, így az A1D1 ív hossza π/4, így π/4 a D1 pont egyik száma. A számkör tulajdonságait felhasználva képletek segítségével felírhatjuk körünk összes megjelölt pontján az összes számot. Az ábrán ezen pontok koordinátái is láthatók (elszerzésük leírását elhagyjuk).

A fentiek elsajátítása után kellő felkészültséggel rendelkezünk speciális esetek megoldására (a szám kilenc értékére a) a legegyszerűbb egyenletek.

Egyenletek megoldása

1)sinx=1⁄(2).

- Mit követelnek tőlünk?

– Keresse meg azokat az x számokat, amelyek szinusza 1/2.

Emlékezzünk vissza a szinusz definíciójára: sinx - a számkör pontjának ordinátája, amelyen az x szám található. A körön van két pontunk, amelyek ordinátája egyenlő 1/2-vel. Ezek a B1B2 vízszintes húr végei. Ez azt jelenti, hogy a „oldja meg a sinx=1⁄2 egyenletet” követelmény egyenértékű a „minden szám megkeresése a B1 pontban és az összes szám a B2 pontban” követelménnyel.

2)sinx=-√3⁄2 .

Meg kell találnunk az összes számot a C4 és C3 pontokban.

3) sinx=1. A körön csak egy pontunk van 1 ordinátával - A2 pont, ezért csak ennek a pontnak az összes számát kell megtalálnunk.

Válasz: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)sinx=-1 .

Csak az A_4 pontnak van -1 ordinátája. Ennek a pontnak az összes száma az egyenlet lovai lesz.

Válasz: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

A körön van két 0 ordinátájú pont - A1 és A3 pont. Az egyes pontokon külön-külön is megadhatja a számokat, de mivel ezek a pontok szöges ellentétesek, jobb, ha összevonjuk őket egy képlettel: x=πk ,k∈Z .

Válasz: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Emlékezzünk vissza a koszinusz definíciójára: cosx - a numerikus kör azon pontjának abszcissza, amelyen az x szám található. A körön van két pontunk √2⁄2 abszcisszával - a D1D4 vízszintes húr végei. Ezeken a pontokon meg kell találnunk az összes számot. Egy képletbe egyesítve írjuk fel őket.

Válasz: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Meg kell találnunk a számokat a C_2 és C_3 pontokban.

Válasz: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Csak az A2 és A4 pontok abszcissza 0, ami azt jelenti, hogy ezekben a pontokban minden szám megoldása lesz az egyenletnek.
.

A rendszer egyenletének megoldásai a B_3 és B_4 pontokban lévő számok Cosx egyenlőtlenség<0 удовлетворяют только числа b_3
Válasz: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Vegye figyelembe, hogy x bármely megengedett értékénél a második tényező pozitív, ezért az egyenlet ekvivalens a rendszerrel

A rendszeregyenlet megoldásai a D_2 és D_3 pontok száma. A D_2 pont számai nem elégítik ki a sinx≤0,5 egyenlőtlenséget, a D_3 pont számai viszont igen.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

A trigonometrikus egyenletek megoldásának fő módszerei: egyenletek redukálása a legegyszerűbbekre (trigonometrikus képletek segítségével), új változók bevezetése, faktoring. Tekintsük példákkal az alkalmazásukat. Ügyeljen a trigonometrikus egyenletek megoldásának regisztrálására!

A trigonometrikus egyenletek sikeres megoldásának szükséges feltétele a trigonometrikus képletek ismerete (6. munka 13. témaköre).

Példák.

1. Egyenletek redukálása a legegyszerűbbre.

1) Oldja meg az egyenletet!

Megoldás:

Válasz:

2) Keresse meg az egyenlet gyökereit!

(sinx + cosx) 2 = 1 – a szegmenshez tartozó sinxcosx.

Megoldás:

Válasz:

2. Másodfokú egyenletekre redukáló egyenletek.

1) Oldja meg a 2 sin 2 x - cosx -1 = 0 egyenletet.

Megoldás: A sin 2 x \u003d 1 - cos 2 x képlet segítségével megkapjuk

Válasz:

2) Oldja meg a cos 2x = 1 + 4 cosx egyenletet!

Megoldás: A cos 2x = 2 cos 2 x - 1 képlet segítségével azt kapjuk

Válasz:

3) Oldja meg a tgx - 2ctgx + 1 = 0 egyenletet

Megoldás:

Válasz:

3. Homogén egyenletek

1) Oldja meg a 2sinx - 3cosx = 0 egyenletet

Megoldás: Legyen cosx = 0, majd 2sinx = 0 és sinx = 0 - ez ellentmondás azzal a ténnyel, hogy sin 2 x + cos 2 x = 1. Tehát cosx ≠ 0, és az egyenletet oszthatja cosx-szel. Kap

Válasz:

2) Oldja meg az 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x egyenletet

Megoldás:

Az 1 = sin 2 x + cos 2 x és sin 2x = 2 sinxcosx képletekkel azt kapjuk, hogy

sin2x + cos2x + 7cos2x = 6sinxcosx
sin2x - 6sinxcosx+ 8cos2x = 0

Legyen cosx = 0, akkor sin 2 x = 0 és sinx = 0 - ez ellentmondás azzal a ténnyel, hogy sin 2 x + cos 2 x = 1.
Tehát cosx ≠ 0, és az egyenletet eloszthatjuk cos 2 x-szel . Kap

tg 2x – 6 tgx + 8 = 0
Jelölje tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2=2
a) tanx = 4, x = arctg4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctg2 + 2 k, k .

Válasz: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Formaegyenletek a sinx + b cosx = vele, vele≠ 0.

1) Oldja meg az egyenletet!

Megoldás:

Válasz:

5. Faktorizációval megoldott egyenletek.

1) Oldja meg a sin2x - sinx = 0 egyenletet.

Az egyenlet gyöke f (x) = φ ( x) csak a 0 számként szolgálhat. Ellenőrizzük ezt:

cos 0 = 0 + 1 - az egyenlőség igaz.

A 0 szám az egyetlen gyöke ennek az egyenletnek.

Válasz: 0.