A rendszer megbízhatóságának logikai valószínűségi módszerrel történő értékelésének eljárása. Logikai-valószínűségi módszer monoton szerkezetű rendszerek megbízhatóságának számítására

A logikai-valószínűségi módszerek lényege a logikai algebrai függvények (FAL) használata a rendszer teljesítményfeltételeinek analitikus rögzítésére, valamint a FAL-ról a valószínűségi függvényekre (WF) való átállás, amelyek objektíven fejezik ki a rendszer megbízhatóságát. Azok. a logikai-valószínűségi módszerrel lehetőség nyílik a megbízhatóság számítására szolgáló IC áramkörök leírására a matematikai logika apparátusával, majd ezt követi a valószínűségszámítás alkalmazása a megbízhatósági mutatók meghatározásában.

A rendszer csak két állapotban lehet: teljes működőképes állapotban ( nál nél= 1) és teljes meghibásodás állapotában ( nál nél= 0). Feltételezzük, hogy a rendszer működése determinisztikusan függ elemeinek működésétől, azaz. nál nél egy függvény x 1 , X 2 , … , x i , … , x n. Az elemek is csak két összeférhetetlen állapotban lehetnek: teljes egészség ( x i= 1) és teljes meghibásodás ( x i = 0).

A logikai algebra függvénye, amely az elemek állapotát a rendszer állapotával hozza összefüggésbe nál nél (x 1 , X 2 ,…,xn) hívják egészségügyi funkció rendszerek F(y)= 1.

A rendszer működőképes állapotának felmérésére két fogalmat használnak:

1) a sikeres működés legrövidebb útja (KPUF), amely elemeinek olyan együttállása, amelynek egyik összetevője sem távolítható el a rendszer működésének megsértése nélkül. Egy ilyen kötőszót a következő FAL-ként írják le:

ahol én– az adottnak megfelelő számhalmazhoz tartozik
l-mu módon.

Vagyis a rendszer KPUF-je leírja annak egyik lehetséges működőképes állapotát, amelyet a rendszer számára meghatározott funkciók végrehajtásához feltétlenül szükséges működőképes elemek minimális halmaza határoz meg.

2) a minimális rendszerhiba-keresztmetszet (MSF), amely elemei negációinak olyan együttállása, amelynek egyik összetevője sem távolítható el a rendszer üzemképtelenségi feltételeinek megsértése nélkül. Egy ilyen kötőszó a következő FAL-ként írható fel:

ahol az adott szakasznak megfelelő számkészletet jelöli.

Más szóval, a rendszer MCO-ja leírja a rendszer megzavarásának egyik lehetséges módját a meghibásodott elemek minimális halmazával.

Minden redundáns rendszernek véges számú legrövidebb útja van ( l= 1, 2,…, m) és minimális keresztmetszetek ( j = 1, 2,…, m).

Ezeket a fogalmakat felhasználva felírhatjuk a rendszer működésének feltételeit.

1) a sikeres működéshez elérhető összes legrövidebb út diszjunkciója formájában.

;

2) az összes MCO tagadásának konjunkciója formájában

;

Így egy valós rendszer működőképességi feltételeit úgy ábrázolhatjuk, mint valamilyen ekvivalens (megbízhatósági szempontból) rendszer működési feltételeit, amelynek szerkezete a sikeres működés legrövidebb útjainak párhuzamos kapcsolata, vagy egy másik ekvivalens rendszer, a struktúra. amelyből minimális szakaszok tagadásának kombinációja.

Például az IC hídszerkezetéhez a KPUF-ot használó rendszerállapot-függvény a következőképpen lesz írva:

;

ugyanannak a rendszernek az MCO-n keresztüli működőképességi függvénye a következő formában írható fel:

Kis számú elem (legfeljebb 20) esetén a megbízhatóság kiszámítására táblázatos módszer használható, amely az összeadási tételen alapul az együttes események valószínűségére.

A rendszer hibamentes működésének valószínűsége a következő képlettel számítható ki (az űrlap valószínűségi függvényével):

A logikai-valószínűségi módszereket (módszerek: vágás, táblázatos, ortogonalizáció) széles körben alkalmazzák diagnosztikai eljárások a hibafák felépítésénél és a rendszer meghibásodását okozó alapvető (kezdeti) események meghatározásakor.

Egy összetett redundanciaszerkezetű számítógépes rendszer megbízhatóságára statisztikai modellezési módszer alkalmazható.

A módszer ötlete logikai változók generálása x i adott pi valószínűséggel egy egység előfordulásának, amelyeket tetszőleges formában behelyettesítünk a szimulált rendszer logikai szerkezeti függvényébe, majd kiszámítjuk az eredményt.

Összesített x 1 , X 2 ,…, x n a független véletlenszerű eseményeket, amelyek egy teljes csoportot alkotnak, az egyes események bekövetkezési valószínűségével jellemezzük p(x i), és .

A véletlenszerű események ezen halmazának szimulálásához véletlenszám-generátort használnak, egyenletesen elosztva az intervallumon belül

Jelentése pi egyenlő a hibamentes működés valószínűségével én alrendszer. Ebben az esetben a számítási folyamat megismétlődik N 0-szor új, független véletlenszerű argumentumértékekkel x i(ez számolja a számot N(t) a logikai szerkezeti függvény egyes értékei). Hozzáállás N(t)/N A 0 az üzemidő valószínűségének statisztikai becslése

ahol N(t) - az adott időpontig hibátlanul dolgozók száma t tárgyakat, azok eredeti számával.

Véletlenszerű logikai változók generálása x i adott előfordulási valószínűséggel egy p i Az intervallumban egyenletesen elosztott valószínűségi változók alapján történik, amelyeket az összes modern számítógép matematikai szoftverében található szabványos programokkal nyernek.

1. Nevezze meg az IS megbízhatóságának értékelési módszerét, ahol a rendszer hibamentes működésének valószínűsége a következőképpen van meghatározva R n ≤R ≤R in.

2. Mely rendszerek megbízhatóságának kiszámításához az utak és szakaszok módszerét alkalmazzuk?

3. Milyen módszerrel értékelhető a híd típusú eszközök megbízhatósága?

4. Milyen módszerek ismertek a helyreállítható rendszerek megbízhatósági mutatóinak meghatározására?

5. Szerkezetileg ábrázolja a hídáramkört minimális utak és szakaszok halmazaként.

6. Határozza meg a minimális utat és a minimális szakaszt.

7. Rögzíti az egészségügyi funkciót elágazó eszközhöz?

8. Mit nevezünk egészségfüggvénynek?

9. Mi a legrövidebb út a sikeres működéshez (KPUF). Írja le a munkakörülményeket KPUF formájában.

10. Hol alkalmazzák a megbízhatóság-értékelés logikai-valószínűségi módszerét?

Irodalom: 1, 2, 3, 5, 6, 8.

Téma: Visszanyerhető rendszerek megbízhatóságának számítása (differenciálegyenletek módszere)

1. Általános módszerek a helyreállítható rendszerek megbízhatóságának számítására.

2. A lehetséges rendszerállapotok grafikonjának felépítése a helyreállított rendszerek megbízhatóságának felmérésére.

3. Differenciálegyenletrendszerek (SDE) módszere, Kolmogorov-szabály az SDE összeállítására

4. Az SDE megoldásának normalizálása és kezdeti feltételei.

Kulcsszavak

Helyreállítható rendszer, megbízhatóság mennyiségi jellemzői, állapotgráf, működőképes állapot, differenciálegyenlet-rendszer, Kolmogorov-szabály, hibamentes működés valószínűsége, helyreállítási arány, hibaarány, normalizálási feltételek, kezdeti feltételek, megbízhatósági paraméterek, nem redundáns rendszer.

A tervezett IS megbízhatóságának számításának fő feladata a működésük valószínűségi folyamatainak megfelelő matematikai modellek felépítése. Ezek a modellek lehetővé teszik a tervezett vagy üzemeltetett rendszerek megbízhatósági követelményeinek kielégítési fokának felmérését.

A matematikai modell típusa meghatározza a számítási képletek megszerzésének lehetőségét. A helyreállítható redundáns és nem redundáns rendszerek megbízhatóságának kiszámításához az integrálegyenletek módszerét, a differenciálegyenletek módszerét, a tranziens intenzitások módszerét, a megbízhatóság értékelésének módszerét a lehetséges állapotok grafikonjával stb. .

Integrálegyenletek módszere. Az integrálegyenletek módszere a legáltalánosabb, amellyel bármely (helyreállítható és nem helyreállítható) rendszer megbízhatósága kiszámítható az FBG és a helyreállítási idő tetszőleges eloszlására.

Ebben az esetben a rendszer megbízhatósági mutatóinak meghatározásához integrál- és integro-differenciálegyenleteket állítanak össze és oldanak meg, amelyek az FBG eloszlás jellemzőire, visszaállított rendszerek esetén pedig az elemek helyreállítási idejére vonatkoznak.

Az integrálegyenletek összeállítása során általában egy vagy több végtelenül kis időintervallumot különítenek el, amelyekhez olyan összetett eseményeket vesznek figyelembe, amelyek több tényező együttes hatására jelentkeznek.

A megoldásokat általában numerikus módszerekkel találják meg számítógép segítségével. Az integrálegyenletek módszere a megoldási nehézségek miatt nem terjedt el.

Differenciálegyenletek módszere. A módszer a helyreállítható objektumok megbízhatóságának felmérésére szolgál, és a hibák (működési idő) és a helyreállítási idő közötti exponenciális eloszláson alapul. Ebben az esetben a hibafolyam paraméter w =λ = 1/t cp .és visszanyerési intenzitás µ = 1/ t be, ahol t cp .- átlagos üzemidő, t be az átlagos felépülési idő.

A módszer alkalmazásához szükség van egy matematikai modellre a rendszer lehetséges állapotainak halmazára S={S 1 , S 2 ,…, S n), amelyben rendszerhibák és visszaállítások során megtalálható. Időről időre a rendszer S egyik állapotból a másikba ugrik az egyes elemeinek meghibásodása és helyreállítása hatására.

Egy rendszer kopás közbeni viselkedésének időbeni elemzésekor célszerű állapotgráfot használni. Az állapotgráf egy irányított gráf, ahol körök vagy téglalapok jelentik a rendszer lehetséges állapotait. Annyi csúcsot tartalmaz, ahány különböző állapot lehetséges egy objektumnak vagy rendszernek. A grafikon élei tükrözik a lehetséges átmeneteket az egyik állapotból az összes többibe a meghibásodási és helyreállítási arány paramétereivel (a nyilak mellett az átmeneti sebességek láthatók).

Az alrendszerek hibás és működőképes állapotainak minden kombinációja a rendszer egy állapotának felel meg. A rendszerállapotok száma n= 2k, ahol k– alrendszerek (elemek) száma.

A rendszer minden lehetséges állapotában való megtalálásának valószínűsége közötti kapcsolatot a Kolmogorov-differenciálegyenlet-rendszer (elsőrendű egyenletek) fejezi ki.

A Kolmogorov-egyenletek szerkezetét a következő szabályok szerint építjük fel: minden egyenlet bal oldalára felírjuk annak a valószínűségének deriváltját, hogy az objektum a vizsgált állapotba kerül (gráfcsúcs), a jobb oldal pedig annyit tartalmaz. tagok, mivel az állapotgráf élei ehhez a csúcshoz vannak társítva. Ha az él egy adott csúcsból irányul, akkor a megfelelő tagnak mínusz, ha adott csúcsra plusz jele van. Minden tag egyenlő az adott élhez tartozó meghibásodási (helyreállítási) intenzitás paraméterének és annak a valószínűségének a szorzatával, hogy annak a gráfnak a csúcsában van, amelyből az él származik.

A Kolmogorov-egyenletrendszer annyi egyenletet tartalmaz, ahány csúcs van az objektum állapotgráfjában.

A differenciálegyenlet-rendszer kiegészül a normalizálási feltétellel:

ahol Pj(t j-th állam;

n a rendszer lehetséges állapotainak száma.

Az egyenletrendszer adott feltételek melletti megoldása megadja a kívánt valószínűségek értékét Pj(t).

A rendszer lehetséges állapotainak teljes halmaza két részre oszlik: az állapotok részhalmazára n 1 , amelyben a rendszer működik, és az állapotok egy részhalmaza n 2, amelyben a rendszer nem működik.

Rendszerkész funkció:

Nak nek G ,

ahol Pj(t) a rendszer megtalálásának valószínűsége j munkafeltétel;

n 1 azoknak az állapotoknak a száma, amelyekben a rendszer működik.

Ha ki kell számítani a rendszer rendelkezésre állási tényezőjét vagy leállási tényezőjét (rendszermegszakítások megengedettek), vegye figyelembe az állandósult állapotú működést t→∞. Ebben az esetben az összes derivált és a differenciálegyenlet-rendszer algebrai egyenletrendszerré alakul, amely könnyen megoldható.

Példa egy nem redundáns helyreállítható rendszer állapotgráfjára n- az elemek az ábrán láthatók. egy.

Rizs. 1. A visszaállított rendszer állapotainak grafikonja (az árnyékolt állapotok működésképtelen állapotokat jeleznek)

Tekintsük a lehetséges állapotokat, amelyekben a rendszer lehet. Itt a következő állapotok lehetségesek:

S 0 - minden elem működőképes;

S 1 - az első elem nem működik, a többi működik;

S 2 - a második elem nem működik, a többi működik;

S n – n A th elem nem működik, a többi működik.

Két működésképtelen elem egyidejű megjelenésének valószínűsége elhanyagolható. Szimbólumok λ 1 , λ2 ,…, λ n meghibásodási arányok vannak feltüntetve, µ 1 , µ 2 ,…, µ n a megfelelő elemek helyreállítási intenzitása;

Az állapotok grafikonja szerint (1. ábra) differenciálegyenlet-rendszert alkotnak (az állapotegyenletet). S A 0 a bonyolultság miatt kimaradt):

A normalizálási feltétellel: .

Kezdeti feltételek:

Állandósult üzemmódban (amikor t→∞) rendelkezünk:

A kapott algebrai egyenletrendszer megoldása után a normalizálási feltétel figyelembe vételével megtaláljuk a megbízhatósági mutatókat.

Egyenletrendszer megoldása során használhatjuk a Laplace-transzformációt állapotvalószínűségekre vagy numerikus módszerekre.

Ellenőrző kérdések és feladatok

1. Milyen módszerek ismertek a helyreállítható rendszerek megbízhatósági mutatóinak meghatározására?

2. Hogyan határozzák meg az IS elemek és eszközök állapotát?

3. Hogyan határozható meg a rendszer egészséges állapotának területe?

4. Miért használják széles körben a differenciálegyenletek módszerét a helyreállított rendszerek megbízhatóságának felmérésére?

5. Mi a szükséges feltétele a differenciálegyenlet-rendszerek megoldásának?

6. Hogyan állítanak össze differenciálegyenleteket az IS megbízhatósági paramétereinek meghatározására?

7. Milyen feltétellel kell kiegészíteni a differenciálegyenletrendszert (SDE) a hatékonyabb megoldás érdekében.

8. Írja le a három elemből álló rendszer működési feltételeit!

9. Hány állapotú egy négy elemből álló eszköz?

10. Milyen szabályt használunk a CDS összeállításánál?

Irodalom: 1, 2, 3, 5, 6, 8.

Téma: Markov modellek redundáns helyreállítható információs rendszerek megbízhatóságának felmérésére

1. A Markov-tulajdonság fogalma, a rendszer állapotának meghatározása.

2. A Markov-modell felépítésének módszertana és algoritmusa.

3. Számítási képletek a jármű megbízhatósági mutatóinak kiszámításához

4. Átmeneti intenzitási mátrix a redundáns helyreállítható IC-k megbízhatósági mutatóinak értékelésére.

Kulcsszavak

Markov-modell, rendszerállapot, teljesítmény, átmenet intenzitásmátrix, állapotgráf, helyreállítható rendszer, redundancia, szekvenciális áramkör, állandó tartalék, differenciálegyenlet-rendszer, Kolmogorov-szabály, megbízhatósági számítási séma, közelítő módszer, SDE konstrukciós algoritmusok, normalizálási feltételek, kezdeti feltételek , hibamentes működés valószínűsége, meghibásodási arány.

Az IS és összetevőik működése az egyik állapotból a másikba való átmenet folyamatainak összességeként ábrázolható bármilyen ok hatására.

A helyreállított IS megbízhatósága szempontjából azok állapotát minden pillanatban az jellemzi, hogy az elemek közül melyik üzemképes, melyik áll helyre.

Ha minden lehetséges működő (nem működő) elemkészlet objektumállapotok halmazához van társítva, akkor az elemek meghibásodása és helyreállítása az objektum egyik állapotból a másikba való átmenetével jelenik meg:

Legyen például az objektum két elemből áll. Ezután a négy állapot egyikében lehet: n = 2k = 2 2 = 4.

S 1 - mindkét elem működőképes;

S 2 - csak az első elem nem működik;

S 3 - csak a második elem nem működik;

S 4 - mindkét elem nem működik.

A lehetséges objektum állapotok halmaza: S={S 1 , S 2 , S 3 , S 4 }.

A vizsgált rendszer állapotainak teljes halmaza lehet diszkrét vagy folytonos (folyamatosan kitölti a numerikus tengely egy vagy több intervallumát).

A következőkben diszkrét állapotterű rendszereket fogunk vizsgálni. Egy ilyen rendszer állapotsorát és az egyik állapotból a másikba való átmenet folyamatát láncnak nevezzük.

Attól függően, hogy a rendszer mennyi időt tölt az egyes állapotokban, megkülönböztetünk folyamatos idejű és diszkrét idejű folyamatokat. A folyamatos idejű folyamatokban a rendszer egyik állapotból a másikba való átmenete bármikor megtörténik. A második esetben a rendszer által az egyes állapotokban eltöltött időt úgy rögzítjük, hogy az átmeneti pillanatok szabályos időközönként kerüljenek az időtengelyre.

Jelenleg a Markov tulajdonságú láncokat tanulmányozzák leginkább. Az átmenet valószínűségét a szimbólumok jelölik P ij(t), és a folyamat P ij Az átmeneteket Markov-láncnak vagy Markov-láncnak nevezik.

A Markov-tulajdonság az utóhatás hiányával jár. Ez azt jelenti, hogy a rendszer viselkedése a jövőben csak az adott időpontban fennálló állapotától függ, és nem attól, hogyan jutott ebbe az állapotba.

A Markov-folyamatok lehetővé teszik a meghibásodások-helyreállítások sorozatának leírását egy állapotgráf segítségével leírt rendszerekben.

A megbízhatóság kiszámításának leggyakrabban használt módszere a folytonos idejű Markov-láncok, amelyek differenciálegyenlet-rendszeren alapulnak, amely mátrix formában a következőképpen írható fel:

,

ahol P(t)= P 0 – kezdeti feltételek;

,

és Λ az átmenet intenzitási mátrixa (az állapotvalószínűségi együttható mátrixa):

ahol λ ij– a rendszer átmenetének intenzitása az i-edik állapotból a j-edik állapotba;

Pj annak a valószínűsége, hogy a rendszer a j-edik állapotban van.

A komplex redundáns és helyreállítható rendszerek megbízhatóságának megítélésekor a Markov-lánc módszer az állapotok nagy száma miatt összetett megoldásokhoz vezet. Azonos feltételek mellett működő, azonos típusú alrendszerek esetén az aggregációs módszert alkalmazzuk az állapotok számának csökkentésére. Az azonos számú alrendszerrel rendelkező államok összevonásra kerülnek. Ekkor az egyenletek dimenziója csökken.

A redundáns helyreállítható rendszerek megbízhatóságának Markov-lánc módszerrel történő értékelésére szolgáló módszertan sorrendje a következő:

1. Elemezzük az eszköz összetételét és elkészítjük a megbízhatóság szerkezeti diagramját. A séma szerint egy gráfot készítünk, amelyben minden lehetséges állapotot figyelembe veszünk;

2. A gráf összes csúcsa a blokkdiagram elemzése eredményeként két részhalmazra oszlik: a rendszer működőképes állapotának megfelelő csúcsokra és a rendszer inoperatív állapotának megfelelő csúcsokra.

3. Az állapotgráf segítségével összeállítunk egy differenciálegyenlet-rendszert (Kolmogorov-szabályt használunk);

4. Megválasztjuk a probléma megoldásának kezdeti feltételeit;

5. Meghatározzuk annak valószínűségét, hogy a rendszer egy tetszőleges pillanatban működőképes állapotba kerül;

6. Meghatározzuk a rendszer hibamentes működésének valószínűségét;

7. Szükség esetén más mutatókat is meghatározunk.

Ellenőrző kérdések és feladatok

1. Mit jelent a Markov-lánc?

2. Adjon meg egy algoritmust az IS megbízhatóságának becslésére Markov-modellek segítségével!

3. Hogyan állítanak össze differenciálegyenleteket az IS megbízhatósági paramétereinek meghatározására?

4. Milyen megbízhatósági mutatók értékét kaphatjuk meg a Markov-módszerrel?

5. Sorolja fel a Markov-modell felépítésének főbb szakaszait egy komplex rendszer megbízhatóságára!

6. Mi a szükséges feltétele a differenciálegyenletrendszerek megoldásának?

7. Hogyan határozható meg a CS elemeinek és eszközeinek állapota?

8. Határozza meg a helyreállítható rendszerek fogalmát!

9. Mi az a Markov-lánc?

10. Milyen rendszereket értékelnek Markov megbízhatósági modellekkel?

Irodalom: 1, 2, 3, 10, 11.

Témakör: Hozzávetőleges módszerek az IS hardver megbízhatóságának kiszámításához

1. Alapfeltevések és korlátok a soros-párhuzamos szerkezetek megbízhatóságának megítélésében.

2. Hozzávetőleges módszerek a helyreállítható IC-k megbízhatóságának kiszámítására, az IC alrendszerek soros és párhuzamos beépítésével.

3. Strukturális sémák az IS megbízhatóságának számításához.

Kulcsszavak

Megbízhatóság, sorpárhuzamos felépítés, közelítő módszerek a megbízhatóság kiszámítására, a megbízhatóság számításának szerkezeti diagramja, hibaarány, helyreállítási arány, rendelkezésre állási tényező, helyreállítási idő, számítógépes rendszer.

tápegység hibafával

A hibafát használó logikai-valószínűségi módszer deduktív (az általánostól a konkrétig), és olyan esetekben használatos, amikor a különböző rendszerhibák száma viszonylag kicsi. A hibafa használata a rendszerhiba okainak leírására megkönnyíti az átmenetet a meghibásodás általános definíciójáról a meghibásodások és elemei működési módjainak meghatározott definícióira, amelyek érthetőek mind a rendszer, mind az elemek szakosodott fejlesztői számára. . A hibafáról a logikai hibafüggvényre való átállás lehetőséget ad a rendszerhiba okainak formális alapon történő elemzésére. A logikai hibafüggvény lehetővé teszi, hogy képleteket kapjon a rendszerhibák gyakoriságának és valószínűségének analitikus kiszámításához az elemhibák ismert gyakorisága és valószínűsége alapján. Az analitikus kifejezések alkalmazása a megbízhatósági mutatók számításánál alapot ad a pontosságelmélet képleteinek alkalmazására az eredmények négyzetes középhibájának értékelésére.

A komplex eseményként funkcionáló objektum meghibásodása a működési hibaesemény és az esemény összege , amely a kritikus külső hatások megjelenéséből áll. A rendszer meghibásodási feltételét az egyes rendszerek szakterületének szakemberei fogalmazzák meg a rendszer műszaki tervezése és működésének elemzése alapján különféle események esetén. nyilatkozatok.

Az állítások lehetnek véglegesek, köztesek, elsődlegesek, egyszerűek, összetettek. Az egyszerű propozíció olyan eseményre vagy állapotra vonatkozik, amely önmagában sem nem az „VAGY” logikai összege, sem pedig nem más események vagy állapotok „ÉS” logikai szorzata. Egy összetett utasítást, amely több (egyszerű vagy összetett) utasítás diszjunkciója, az "OR" operátor jelzi, amely az alacsonyabb szintű állításokat magasabb szintű állításokkal kapcsolja össze (3.15. ábra, a). Egy összetett utasítást, amely több (egyszerű vagy összetett) utasítás kötőszava, az „ÉS” operátor jelzi, amely az alacsonyabb szintű utasításokat magasabb szintű állításokkal kapcsolja össze (3.15. ábra, b).

3.15. Logikai reprezentációs elemek

Kényelmes az utasításokat úgy kódolni, hogy a kód alapján meg lehessen ítélni, hogy egyszerű vagy összetett, a végsőtől milyen szinten helyezkedik el és mit reprezentál (esemény, állapot, működési hiba, elemtípus) .

A gráfelméletben a fa olyan összefüggő gráf, amely nem tartalmaz zárt körvonalakat. A hibafa egy logikai fa (3.16. ábra), amelyben az ívek a rendszer, az alrendszerek vagy az elemek szintjén meghibásodási eseményeket reprezentálnak, a csúcsok pedig logikai műveletek, amelyek összekapcsolják a kezdeti és a keletkező hibaeseményeket.

Rizs. 3.16. Példa hibafa építésére

A hibafa felépítése a rendszer meghibásodására vonatkozó végső megállapítás megfogalmazásával kezdődik. A rendszer megbízhatóságának jellemzésére a végkifejletet olyan eseményre utaljuk, amely adott körülmények között a vizsgált időintervallumban meghibásodáshoz vezet. Ugyanez vonatkozik a készenléti jellemzőkre.

8. példa. A 3.17. ábrán látható hálózati diagramhoz készítsünk hibafát.

3.17. Hálózati diagram

Alállomások NÁL NÉLés TÓL TŐL alállomás táplálja DE. A hibafa végeseménye a teljes rendszer meghibásodása. Ezt a kudarcot az az esemény határozza meg, amely

1) vagy egy alállomás NÁL NÉL vagy alállomás TÓL TŐL teljesen elveszíti az ételt;

2) az alállomások teljes terhelését biztosító teljesítmény NÁL NÉLés TÓL TŐL egyetlen vonalon kell továbbítani.

A végesemény definíciója és a rendszer kapcsolási rajza alapján hibafát építünk (a végeseménytől lefelé) (3.18. ábra). A hibafa elemzés célja egy végesemény valószínűségének meghatározása. Mivel a végesemény a rendszer meghibásodása, az elemzés megadja a valószínűséget R(F).

Az elemzési módszer halmazok keresésén és kiszámításán alapul minimális szakaszok. keresztmetszet Olyan elemek halmazát nevezzük, amelyek teljes meghibásodása a rendszer meghibásodásához vezet. A minimális szakasz olyan elemkészlet, amelyből egyetlen elem sem távolítható el, különben megszűnik szakasz lenni.

Egy szinttel lejjebb lépve a vertex (end) eseménytől, áthaladunk az „OR” csomóponton, amely három szakasz létezését jelzi: ( P}, {K}, {R} (R,K, R– meghibásodási események). Ezen szakaszok mindegyike tovább bontható több szakaszra, de előfordulhat, hogy a szakaszok meghibásodását több esemény okozza, attól függően, hogy milyen típusú logikai csomóponttal találkozunk az útvonalon.

3.18. ábra.ábra szerinti rendszerhiba fa. 3.17:

– az alrendszerek tovább elemezhető meghibásodásai;

Például a (Q) először egy szakaszra (3, T), akkor T részekre osztva ( X, Y), ennek eredményeként egy szakasz helyett (3, T) kettő jelenik meg: (3, x}, {3,Nál nél}.

A következő lépések mindegyikében szakaszkészleteket azonosítanak:

A minimális szakaszok a megkülönböztetett szakaszok (3,4,5), (2.3), (1.3), (1.2). Az (1,2,3) szakasz nem minimális, hiszen az (1,2) is egy szakasz. Az utolsó lépésben a szakaszok halmazai kizárólag elemekből állnak.

Egyes esetekben egy objektum vagy rendszer nem képzelhető el párhuzamos-soros kapcsolatokból állónak. Ez különösen igaz a digitális elektronikus információs rendszerekre, amelyekben keresztinformációs kapcsolatokat vezetnek be a megbízhatóság növelése érdekében. ábrán. A 9.17 a rendszerszerkezet egy részét mutatja keresztkötésekkel (nyilak mutatják az információ mozgásának lehetséges irányait a rendszerben). Az ilyen struktúrák megbízhatóságának felmérésére a logikai-valószínűségi módszer bizonyul hatékonynak.

Rizs. 9.17 Üzemanyag-ellátás hídrendszere;

1-2 - szivattyúk, 3,4,5 - szelepek

Rizs. 9.18 A mérő- és számítástechnikai komplexum hídáramköre;

1,2 - tárolóeszköz; 3,4 - processzorok; 5 - egy blokk, amely digitális adatok kétirányú továbbítását biztosítja.

A módszerben a struktúra működőképes állapotának leírását javasoljuk a matematikai logika apparátusával, majd ezt követi a formális átmenet a kiértékelt rendszer vagy eszköz hibamentes működésének valószínűségére. Ebben az esetben egy logikai változón keresztül xj azt az eseményt jelöli, amelyet az adott én-adik elem működik. Formálisan a teljes rendszer vagy objektum egészséges állapotát egy egészségügyi függvénynek nevezett logikai függvény reprezentálja. Ennek a függvénynek a megtalálásához a rendszerszerkezet bemenetétől a kimenetig meg kell határozni az információ mozgásának összes útvonalát és a rendszer működőképes állapotának megfelelő munkatestet. Például a 2. ábrán. 9.17. négy ilyen út létezik: 1. út - , 2. út - , 3. út - , 4. út - .

A struktúra operálható állapotának megfelelő összes út ismeretében lehetőség van a logikai algebra szimbólumaiba diszjunktív-konjunktív formában beírni az operálhatósági függvényt (X) / Például az 1. ábrához. 9.17 a következő:

Az ismert minimalizálási módszerek segítségével az egészség logikai függvénye leegyszerűsödik, és átkerül belőle a rendszer egészségének egyenletére a közönséges algebra szimbólumaiban. Az ilyen átmenetet formálisan ismert relációk segítségével hajtják végre (bal oldali logikai jelölés, jobb oldalon algebrai jelölés):

Egy objektum meghibásodásmentes működésének valószínűségét (lásd 9.16, 9.17. ábra) általában az állapotfüggvény algebrai kifejezésébe való formális behelyettesítés határozza meg a változók helyett, az egyes változók meghibásodásmentes működésének valószínűségének értéke. én-a rendszer eleme.

Példa. Általánosságban meg kell találni az objektumok hibamentes működésének valószínűségét, amelyek szerkezetét az ábra mutatja. 9.16 és 9.17. Az eltérő elembázisok ellenére ezen objektumok szerkezetének elemei a formális logika szempontjából azonosak. Emiatt, az érthetőség kedvéért, az ábrán. 9.17 elemek U1, U2 - két egyforma, egyformán megbízható szivattyú meghibásodásmentes működés valószínűségével. Az U3, U4 elemek két egyformán megbízható processzor, amelyeknek a valószínűsége a hibamentes működés. Az U5 elem egy kapcsolószelep, amely a munkaközeg (például üzemanyag) kétirányú ellátását biztosítja a tárgy kimeneténél.

Az objektum szerkezete az ábrán. 9.17, ahol az U1, U2 elemek két egyforma, egyformán megbízható tárolóeszköz (memória), hibamentes működés valószínűségével. Az U3, U4 elemek két egyforma, egyformán megbízható processzor, amelyeknek a valószínűsége a hibamentes működés. Az U5 elem egy blokk, amely digitális adatok kétirányú átvitelét biztosítja. Az egység hibamentes működésének valószínűsége .

A (9.36), (9.37), (9.38) figyelembevételével formális átmenetet tehetünk a (9.35) jelölésről az algebrai jelölésre. Tehát, hogy megtaláljuk az objektum működőképességének logikai funkcióját, az információ (a munkatest) bemenettől a kimenet felé történő továbbításának lehetséges módjai

A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZÉS LOGIKAI-VALÓSZÍNŰSÉGI MÓDSZEREI

A megbízhatósági elemzés bármely módszere megköveteli a rendszer teljesítményfeltételeinek leírását. Az ilyen feltételek a következők alapján fogalmazhatók meg:

A rendszer működésének szerkezeti diagramja (megbízhatósági számítási séma);

A rendszer működésének szóbeli leírása;

Grafikonsémák;

A logikai algebra függvényei.

A reliabilitáselemzés logikai-valószínűségi módszere lehetővé teszi a kedvező hipotézisek meghatározásának és jelentésének formalizálását. Ennek a módszernek a lényege a következő.

Az egyes elemek állapotát nulla és egy kódolja:

A logikai algebra függvényeiben az elemek állapotait a következő formában ábrázoljuk:

x én- az elem jó állapota, megfelel az 1-es kódnak;

Az elem meghibásodási állapota a 0 kódnak megfelelően.

A logikai algebra függvényeit felhasználva elemeinek működőképességén (állapotán) keresztül írjuk le a rendszer működőképességének feltételét. Az eredményül kapott rendszerállapot-függvény bináris argumentumok bináris függvénye.

A kapott FAL-t úgy alakítjuk át, hogy a rendszer helyes működésére vonatkozó kedvező hipotéziseknek megfelelő kifejezéseket tartalmazza.

FAL-ban bináris változók helyett x iés a valószínűségeket rendre hibamentes működésre cseréljük p iés a meghibásodás valószínűsége q i . A konjunkció és diszjunkció jeleit felváltja az algebrai szorzás és összeadás.

Az eredményül kapott kifejezés a rendszer hibamentes működésének valószínűsége Pc(t).

Tekintsük a logikai-valószínűségi módszert példákkal.

5.10. PÉLDA. A rendszer blokkvázlata az elemek fő (soros) kapcsolása (5.14. ábra).

A blokkdiagramon x i , i = 1, 2,..., P- állapot én-a rendszer eleme, kódja 0, ha az elem hibás állapotban van, és 1, ha szervizelhető. Ebben az esetben a rendszer akkor működik, ha minden eleme működőképes. Ekkor a FAL logikai változók konjunkciója, azaz. y \u003d x 1, x 2, ... .., x p, amely a rendszer tökéletes diszjunktív normális formája.

A logikai változók helyett behelyettesítve az elemek jó állapotának valószínűségét, és az együttállást algebrai szorzással helyettesítve a következőt kapjuk:

5.11. PÉLDA. A rendszer blokkvázlata egy duplikált rendszer nem egyenértékű, állandóan bekapcsolt alrendszerekkel (5.15. ábra).

ábrán. 5.15 x 1és x 2- rendszerelemek állapotai. Készítsünk egy igazságtáblázatot két bináris változóból (5.2. táblázat).

A táblázatban 0 az elem meghibásodási állapota, 1 az elem jó állapota. Ebben az esetben a rendszer akkor üzemképes, ha mindkét elem (1,1), vagy az egyik ((0,1) vagy (1,0)) működik. Ekkor a rendszer működőképes állapotát a következő logikai algebrai függvény írja le:

Ez a függvény egy tökéletes diszjunktív normálforma. A diszjunkciós és konjunkciós műveleteket a szorzás és összeadás algebrai műveleteivel, a logikai változókat pedig az elemek állapotának megfelelő valószínűségeivel helyettesítve megkapjuk a rendszer hibamentes működésének valószínűségét:

5.12. PÉLDA. A rendszer blokkdiagramja az ábrán látható formában van. 5.16.

Készítsünk igazságtáblázatot (53. táblázat).

Ebben a példában a rendszer akkor működik, ha minden eleme működőképes, vagy ha az elem működőképes x iés a duplikált pár egyik eleme (x 2, x 3). Az igazságtáblázat alapján az SDNF így fog kinézni:

A bináris változók helyett a megfelelő valószínűségeket, a kötőszók és diszjunkciók helyett az algebrai szorzást és összeadást behelyettesítve megkapjuk a rendszer hibamentes működésének valószínűségét:

A logikai algebra függvénye minimális formában ábrázolható a következő transzformációk segítségével:

Az abszorpciós és ragasztási műveletek algebrában nem alkalmazhatók. Ebben a tekintetben lehetetlen minimalizálni a kapott FAL-t, majd a logikai változók helyett a valószínűségek értékeit helyettesíteni. Az elemek állapotának valószínűségét be kell cserélni az SDNF-be, és az algebra szabályai szerint egyszerűsíteni.

A leírt módszer hátránya, hogy igazságtáblázatot kell összeállítani, amihez minden működőképes rendszerállapot számbavétele szükséges.

5.3.2. A legrövidebb utak és minimális szakaszok módszere

Ezt a módszert korábban már tárgyaltuk. szakaszban 5.2.3. Mondjuk ki a logikai algebra szemszögéből.

A működőképességi függvény a rendszer járási működésének legrövidebb útjai és a meghibásodás minimális szakaszai segítségével írható le.

A legrövidebb út a működőképes elemek minimális konjunkciója: működőképes rendszert alkotó elemek állomásai.

A minimális szakasz a rendszer működésképtelen állapotát alkotó elemek működésképtelen állapotainak minimális konjunkciója.

5.13. PÉLDA. Meg kell alkotni a rendszer működőképességi függvényt, melynek blokkvázlata a 2. ábrán látható. 5.17 a legrövidebb utak és minimális szakaszok módszerével.

Megoldás. Ebben az esetben a legrövidebb utak, amelyek működőképes rendszert alkotnak: x 1 x 2, x 3 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Ekkor az egészségfüggvény a következő logikai algebrai függvényként írható fel:

Ennek a FAL-nak megfelelően a rendszer blokkvázlata az 1. ábrán. ábra blokkdiagramjával ábrázolható az 5.17. 5.18.

A működésképtelen rendszert alkotó minimális szakaszok a következők: x 1 x 3, x 2 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Ekkor az inoperability függvény a következő logikai algebrai függvényként írható fel:

Ennek a FAL-nak megfelelően a rendszer blokkvázlata az ábrán látható formában kerül bemutatásra. 5.19.

Nem szabad megfeledkezni arról, hogy az ábra blokkvázlatai. 5.18 és ábra. Az 5.19 nem megbízhatósági számítási sémák, és a működő és nem működő állapotok FAL kifejezései nem a hibamentes működés és a meghibásodás valószínűségének meghatározására szolgáló kifejezések:

A FAL fő előnyei, hogy lehetővé teszik formálisan, igazságtáblázat összeállítása nélkül a PDNF és CKNF (tökéletes konjunktív normálforma) megszerzését, amelyek lehetővé teszik a hibamentes működés valószínűségének (meghibásodási valószínűségének) meghatározását. a rendszer úgy, hogy a logikai változók helyett a FAL-ban helyettesíti a hibamentes munka valószínűségének megfelelő értékeit, a konjunkció és diszjunkció műveleteit a szorzás és összeadás algebrai műveleteivel helyettesítve.

Az SDNF megszerzéséhez a FAL minden diszjunktív tagját meg kell szorozni hol x i- a hiányzó argumentumot, és bontsa ki a zárójeleket. A válasz SDNF. Tekintsük ezt a módszert egy példával.

5.14. PÉLDA. Meg kell határozni a rendszer hibamentes működésének valószínűségét, melynek blokkvázlata a 2. ábrán látható. 5.17. Az elemek hibamentes működésének valószínűsége egyenlő 1. o, 2. o, 3. o, 4. o, r 5 .

Megoldás. Használjuk a legrövidebb út módszerét. A legrövidebb út módszerrel kapott logikai algebrai függvény alakja:

Megkapjuk a rendszer SDNF-jét. Ehhez megszorozzuk a diszjunktív tagokat a hiányzókkal:

A zárójeleket kibontva és a logikai algebra szabályai szerinti transzformációkat végrehajtva SDNF-t kapunk:

Helyettesítés SDNF-ben x 1, x 2, x 3 , x 4, x 5üzemidő valószínűsége 1. o, 2. o, 3. o, 4. o, 5. oés az arányok felhasználásával q i = 1–p i, a következő kifejezést kapjuk a rendszer hibamentes működésének valószínűségére.

A fenti példából látható, hogy a legrövidebb utak módszere megszabadított minket a kedvező hipotézisek meghatározása alól. Ugyanez az eredmény érhető el a minimális szakaszok módszerével.

5.3.3. Szeletelési algoritmus

A vágási algoritmus lehetővé teszi egy FAL előállítását, amelybe a logikai változók helyett az elemek hibamentes működésének valószínűségét (meghibásodási valószínűségét) a rendszer hibamentes működésének valószínűségét találhatjuk meg. Erre a célra nem szükséges CDNF beszerzése.

A szeletelő algoritmus a következő logikai algebrai tételen alapul: a logikai algebra függvény y(x b x 2,...,x n) a következő formában lehet bemutatni:

Mutassuk meg ennek a tételnek az alkalmazhatóságát három példán:

A logika algebra második eloszlási törvényét alkalmazva a következőt kapjuk:

5.15. PÉLDA. Határozza meg a rendszer hibamentes működésének valószínűségét, melynek blokkdiagramja az 1. ábrán látható! 5.16 a szeletelő algoritmus használatával.

Megoldás. A legrövidebb út módszerével a következő FAL-t kapjuk:

Alkalmazzuk a vágási algoritmust:

Ha logikai változók helyett most behelyettesítjük a valószínűségeket, és lecseréljük a konjunkció és diszjunkció műveleteit algebrai szorzásra és összeadásra, a következőt kapjuk:

5.16. PÉLDA. Határozza meg a rendszer hibamentes működésének valószínűségét, melynek blokkdiagramja az 1. ábrán látható! 5.17. Használja a vágási algoritmust.

Megoldás. A minimális szakaszok módszerével kapott logikai algebrai függvény alakja a következő:

tekintetében valósítjuk meg a vágási algoritmust x 5:

A kapott kifejezést a logikai algebra szabályaival egyszerűsítjük. Az első zárójelben lévő kifejezést a zárójeles szabály segítségével egyszerűsítjük:

Ekkor a FAL így fog kinézni:

Ez a kifejezés megfelel az ábra blokkdiagramjának. 5.20.

Az így kapott séma egyben megbízhatósági számítási séma is, ha a logikai változókat a hibamentes működés valószínűségére cseréljük. p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, a változó pedig a meghibásodás valószínűsége q 5.ábrából. 5.20 látható, hogy a rendszer blokkvázlata soros-párhuzamos áramkörre redukálódik. A hibamentes működés valószínűségét a következő képlettel számítjuk ki:

A képletet nem kell magyarázni, közvetlenül a blokkdiagram szerint írják.

5.3.4. Ortogonalizációs algoritmus

Az ortogonalizációs algoritmus a vágóalgoritmushoz hasonlóan lehetővé teszi, hogy formális eljárások a logikai algebra függvényét képezzék, logikai változók helyett valószínűségeket, diszjunkciók és konjunkciók helyett algebrai összeadást és szorzást helyettesítve ezzel a hiba valószínűségét. a rendszer szabad működése. Az algoritmus a logikai algebra függvényeinek ortogonális diszjunktív normálformává (ODNF) való transzformációján alapul, amely sokkal rövidebb, mint az SDNF. A módszertan ismertetése előtt számos definíciót megfogalmazunk és példákat adunk.

Két kötőszavak hívott ortogonális, ha a szorzatuk azonos nulla. Diszjunktív normál forma hívott ortogonális, ha minden tagja páronként ortogonális. Az SDNF ortogonális, de az összes ortogonális függvény közül a leghosszabb.

Az ortogonális DNF a következő képletekkel nyerhető:

Ezeket a képleteket könnyű bizonyítani a logikai algebra második eloszlási törvényével és De Morgan tételével. Az ortogonális diszjunktív normálalak megszerzésének algoritmusa a következő függvénytranszformációs eljárás y(x 1, x 2,..., x n) ODNF-ben:

Funkció y(x 1, x 2,..., x n) DNF-re konvertálva a legrövidebb utak vagy minimális szakaszok módszerével;

Az ortogonális diszjunktív-normál alakot az (5.10) és (5.11) képletekkel találjuk meg;

A függvényt az ODNF ortogonális tagjainak nullával való egyenlővé tételével minimalizáljuk;

A logikai változókat a rendszer elemeinek hibamentes működésének valószínűségei (hibavalószínűségei) helyettesítik;

A végső megoldást az előző lépésben kapott kifejezés egyszerűsítése után kapjuk meg.

Tekintsük a technikát egy példával.

5.17. PÉLDA. Határozza meg a rendszer hibamentes működésének valószínűségét, melynek blokkdiagramja az 1. ábrán látható! 5.17. Alkalmazza az ortogonalizációs módszert.

Megoldás. Ebben az esetben a rendszer működését a következő logikai algebrai függvény írja le (minimális szakaszok módszere):

Jelöli K 1= x 1 x 2, K 2= x 3 x 4, K 3= x 1 x 5 x 4, K 4 \u003d x 3 x 5 x 2. Ezután az ODNF a következő formában lesz írva:

Értékek , i= 1,2,3, az (5.10) képlet alapján a következő lesz:

Ezeket a kifejezéseket (5.12) behelyettesítve kapjuk:

Ebben a kifejezésben a logikai változókat a megfelelő valószínűségekre cserélve és az összeadás és szorzás algebrai műveleteit végrehajtva megkapjuk a rendszer hibamentes működésének valószínűségét:

A válasz ugyanaz, mint az 5.14. példában.

A példa azt mutatja, hogy az ortogonalizációs algoritmus produktívabb, mint a korábban tárgyalt módszerek. Részletesebben a megbízhatósági elemzés logikai-valószínűségi módszereit ismertetjük. A logikai-valószínűségi módszernek, mint minden másnak, megvannak a maga előnyei és hátrányai. Érdemeiről korábban is volt szó. Mutassuk meg a hiányosságait.

A logikai-valószínűségi módszerben a kiindulási adatok a rendszer szerkezeti diagramjának elemeinek hibamentes működésének valószínűségei. Ezek az adatok azonban sok esetben nem szerezhetők be. És nem azért, mert az elemek megbízhatósága ismeretlen, hanem azért, mert az elem működési ideje egy valószínűségi változó. Ez történik cserével történő redundancia, meghibásodási utóhatás megléte, elemek működésének nem egyidejűsége, eltérő szolgáltatási fegyelem melletti helyreállítás megléte és sok más esetben.

Adjunk példákat, amelyek illusztrálják ezeket a hiányosságokat. A rendszer blokkdiagramja az ábrán látható formában van. 5.21, ahol a következő megnevezéseket fogadják el: x i- 0 és 1 értékű logikai változók, amelyek megfelelnek az elem meghibásodásának és megfelelő működésének, x i = 1, 2, 3.

Ebben az esetben a ds 3 logikai változó 0 a főelem meghibásodásának τ időpontjáig, és 1 az idő alatt. (t-τ), ahol t- az az idő, amely alatt a rendszer hibamentes működésének valószínűségét meghatározzák. Idő τ véletlenszerű érték, tehát az érték р(τ) ismeretlen. Ebben az esetben lehetetlen FAL-t, és még inkább SDNF-t fordítani. Az általunk vizsgált logikai-valószínűségi módszerek egyike sem teszi lehetővé, hogy meghatározzuk a rendszer hibamentes működésének valószínűségét.

Íme egy másik tipikus példa. Az elektromos rendszer egy feszültségszabályozóból áll R n és két párhuzamos generátor G 1 és G 2 . A rendszer blokkvázlata az ábrán látható. 5.22.

Ha az egyik generátor meghibásodik, a fennmaradó javítható generátor egy közös terhelést hajt végre. Meghibásodási aránya növekszik. Ha az egyik generátor meghibásodásának τ pillanata előtt a meghibásodás intenzitása egyenlő volt λ , majd az elutasítás után λ1 > λ2. Azóta τ akkor véletlenszerű Р(τ) ismeretlen. Itt, mint a helyettesítéssel történő redundancia esetében, a logikai-valószínűségi módszerek tehetetlenek. Így a logikai-valószínűségi módszerek e hiányosságai csökkentik gyakorlati alkalmazásukat komplex rendszerek megbízhatóságának számításakor.

5.4. A megbízhatóságelemzés topológiai módszerei

Olyan topológiai módszereket nevezünk, amelyek lehetővé teszik a megbízhatósági mutatók meghatározását akár az állapotgráf, akár a rendszer szerkezeti diagramja alapján, egyenletek összeállítása vagy megoldása nélkül. Számos munkát szentelnek a topológiai módszereknek, amelyek leírják azok gyakorlati megvalósításának különféle módjait. Ez a szakasz felvázolja a megbízhatósági mutatók állapotgrafikonból történő meghatározásának módszereit.

A topológiai módszerek lehetővé teszik a következő megbízhatósági mutatók kiszámítását:

- P(t)- a meghibásodásmentes működés valószínűsége az idő alatt t;

- T1, - meghibásodásmentes működés átlagos ideje;

- K g (t)- készenléti funkció (annak valószínűsége, hogy a rendszer tetszőleges időpontban üzemképes t);

- K g= - készültségi tényező;

T- a helyreállított rendszer meghibásodásai közötti idő.

A topológiai módszerek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

Számítási algoritmusok egyszerűsége;

A megbízhatóság mennyiségi jellemzőinek meghatározására szolgáló eljárások nagy áttekinthetősége;

közelítő becslések lehetősége;

Nincs korlátozás a blokkdiagram típusára vonatkozóan (rendszerek, helyreállítható és nem helyreállítható, nem redundáns és redundáns bármilyen típusú redundanciával és bármilyen többszörösséggel).

Ez a fejezet a topológiai módszerek korlátait tárgyalja:

Egy komplex rendszer elemeinek meghibásodási és helyreállítási aránya állandó értékek”;

A megbízhatóság időmutatóit, például a hibamentes működés valószínűségét és a rendelkezésre állási függvényt a Laplace-transzformációk határozzák meg;

Nehézségek, esetenként leküzdhetetlenek a többszörösen összefüggő állapotgráf által leírt összetett rendszerek megbízhatóságának elemzésében.

A topológiai módszerek gondolata a következő.

Az állapotgráf a rendszer működésének leírásának egyik módja. Meghatározza a differenciálegyenletek típusát és számát. Az elemek megbízhatóságát és visszanyerhetőségét jellemző átmenetek intenzitása meghatározza a differenciálegyenletek együtthatóit. A kezdeti feltételeket a gráf csomópontjainak kódolásával választjuk ki.

Az állapotgrafikon minden információt tartalmaz a rendszer megbízhatóságáról. És ez az oka annak a feltételezésnek, hogy a megbízhatósági mutatók közvetlenül számíthatók az állapotgrafikonból.

5.4.1. A rendszerállapotok valószínűségeinek meghatározása

A helyreállítható rendszer állapotának megtalálásának valószínűsége én egy meghatározott időpontban t a Laplace transzformációban a következő formában írható:

ahol ∆(ek)- a Laplace-transzformációkban felírt differenciálegyenlet-rendszer fő meghatározója; Δi(ek) a rendszer privát meghatározója.

Az (5.13) kifejezésből látható, hogy pi(k) akkor lesz meghatározva, ha a fokok megtalálhatók az állapotgráfból típusú a számláló és a nevező polinomjai, valamint az együtthatók Bij (j = 0,1,2,..., m) és A i(én = 0,1, 2,..., n-1).

Először nézzük meg a meghatározás módját pi(k) csak olyan rendszerek állapotgráfja, amelyek állapotgráfjában nincsenek állapotok közötti átmenetek. Ide tartozik az összes nem redundáns rendszer, a redundáns rendszer, általános redundanciával egész és tört multiplicitással, a bármilyen szerkezetű redundáns rendszer a meghibásodott eszközök karbantartásával a javításra való beérkezésük fordított sorrendjében. A rendszerek ebbe az osztályába tartozik néhány redundáns rendszer is, amelyek ugyanolyan megbízható eszközökkel rendelkeznek, amelyek karbantartása eltérő.

A rendszer működését differenciálegyenletek írják le, amelyek száma megegyezik a gráf csomópontjainak számával. Ez azt jelenti, hogy a rendszer fő meghatározója ∆(ek)általában polinom lesz n fokozat, hol n az állapotgráf csomópontjainak száma. Könnyen kimutatható, hogy a nevezőpolinom nem tartalmaz metszéspontot. Valóban, azóta akkor a függvény nevezője pi(k) tartalmaznia kell s tényezőként, egyébként a végső valószínűség Pi (∞) egyenlő lesz a nullával. Ez alól kivételt képez, ha a javítások száma korlátozott.

A számlálópolinom foka∆ i kifejezésből találtam:

m i \u003d n - 1 - l i,

ahol n- az állapotgráf csomópontjainak száma; l i- a rendszer kezdeti állapotából az állapotba való átmenetek száma, amelyet működésének kezdeti feltételei határoznak meg én a legrövidebb úton.

Ha a rendszer kezdeti állapota az az állapot, amikor minden eszköz működőképes, akkor l i- állami szintű szám én, azaz l i egyenlő az állapotban lévő meghibásodott rendszereszközök minimális számával én. Így a valószínűségszámláló polinom foka P i (s) a rendszer bent maradása én-a állapot az állam számától függ énés a kezdeti feltételektől. Az átmenetek száma óta l i talán 0,1,2,..., n-1, akkor a polinom fokaΔi(ek) (5.14) alapján is felveheti az értékeket m i = 0,1,2,..., n-1.

9. előadás

Téma: Megbízhatósági felmérés utak és szakaszok módszerével. Logikai-valószínűségi módszerek komplex rendszerek elemzésére

Terv

1. A minimális utak és szakaszok módszere elágazó szerkezetű rendszerek megbízhatósági mutatóinak kiszámításához.

2. Az IS megbízhatóság elemzésének és értékelésének logikai-valószínűségi módszereinek alapdefiníciói és fogalmai.

3. A sikeres működés legrövidebb útja és a meghibásodások minimális szakasza módszerének lényege.

4. A hídszerkezet egészségi és tönkremeneteli függvényének kiszámítása.

5. Ezen módszerek alkalmazási területei. Statisztikai modellezés az IS megbízhatóságának felmérésére.

Kulcsszavak

Megbízhatósági mutatók, IS elágazó szerkezete, minimális út, szakasz, logikai-valószínűségi módszer, hídkapcsolás, állapotfüggvény, sikeres működés legrövidebb útja, minimális hibaszakasz, hibamentes működés valószínűsége, logikai algebrai függvény, megbízhatósági számítás szerkezeti diagramja .

Vannak struktúrák és módok az IS megszervezésére, amikor redundancia történik, de ez nem ábrázolható az elemek vagy alrendszerek soros és párhuzamos beépítésének sémájával. Az ilyen szerkezetek megbízhatóságának elemzéséhez a minimális utak és szakaszok módszerét használják, amely közelítő módszerekre utal, és lehetővé teszi a megbízhatóság határbecslésének meghatározását felülről és alulról.

Az útvonal egy összetett struktúrában olyan elemek sorozata, amelyek biztosítják a rendszer működését (működőképességét).

A szakasz olyan elemek halmaza, amelyek meghibásodása rendszerhibához vezet.

A sorosan kapcsolt párhuzamos áramkörök hibamentes működésének valószínűsége adja meg egy ilyen felépítésű rendszer FBG felső becslését. Az útelemek párhuzamosan kapcsolt soros áramkörei hibamentes működésének valószínűsége alacsonyabb becslést ad egy ilyen felépítésű rendszer FBG-jére. A megbízhatósági mutató tényleges értéke a felső és az alsó határ között van.

Tekintsünk egy hídáramkört egy öt elemből álló rendszer elemeinek összekapcsolására (1. ábra).

Rizs. 1. Hídáramkör elemek összekötéséhez (alrendszer)

Itt az elemek halmaza minimális útvonalat képez, ha bármely elem kizárása a halmazból az elérési út meghiúsulását okozza. Ebből következik, hogy egy út határain belül az elemek főkapcsolatban vannak, maguk az utak pedig párhuzamosan kapcsolódnak. Minimális áthidaló útvonalak halmaza bemutatott ábrán. 2. Útvonalak az 1. elemből, 3; 2, 4; 1, 5, 4; 2, 5, 3.

Rizs. 2. Minimális útvonalak halmaza.

Az összes áramköri elemnél ismertek az FBG-k R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5. ábra és a hozzájuk tartozó "nyitott" típusú meghibásodási valószínűségekK 1 óra K 5 , meg kell határozni a pontok közötti lánc jelenlétének valószínűségét aés ban ben. Mivel ugyanaz az elem két párhuzamos útvonalon szerepel, a számítás eredménye egy felső megbízhatósági becslés.

R in = 1- K 13 ∙ K 24 ∙ K 154 ∙ K 253 = 1- (1-R 1 R 3)(1-R 2 R 4)(1-R 1 R 5 R 4)(1-R 2 R 5 R 3)

A minimális keresztmetszetek meghatározásakor megtörténik a minimális számú elem kiválasztása, amelynek működő állapotból üzemképtelen állapotba való átmenete rendszerhibát okoz.

A szakaszelemek helyes kiválasztásával bármely elem működő állapotba való visszaállítása visszaállítja a rendszer működőképes állapotát.

Mivel az egyes szakaszok meghibásodása rendszerhibát okoz, az elsők sorba vannak kötve. Az egyes szakaszok határain az elemek párhuzamosan kapcsolódnak, hiszen a rendszer működéséhez elegendő, ha bármelyik szakaszelem működőképes állapotban van.

A hídáramkör minimális keresztmetszeteinek diagramja az 1. ábrán látható. 3. Mivel ugyanaz az elem két szakaszban szerepel, a kapott becslés alacsonyabb becslés.

Pn = P 12 ∙ P 34 ∙ P 154 ∙ P 253 = (1- q 1 q 2 )∙ (1- q 3 q 4 )∙ (1- q 1 q 5 q 4 )∙ (1- q 2 q 5 q 3 )

Rizs. 3. Minimális szakaszok halmaza

A rendszer üzemidejének valószínűsége R s majd a kettős egyenlőtlenséggel becsüljük meg

R n ≤R ≤R in

Ez a módszer tehát lehetővé teszi egy tetszőleges felépítésű rendszer ábrázolását párhuzamos és soros áramkörök formájában. (A minimális utak és szakaszok összeállításakor bármely rendszert párhuzamos-soros vagy soros-párhuzamos elemek kapcsolódású szerkezetté alakítunk). A módszer egyszerű, de megköveteli az összes útvonal és szakasz pontos meghatározását. Széles körben alkalmazták az APCS alrendszerek megbízhatóságának számításakor, különösen a védelmi és logikai vezérlőrendszerek vonatkozásában. A reaktorteljesítmény-szabályozó rendszerekben használják, amelyek lehetőséget biztosítanak az egyik hibás vezérlőáramkörről a másikra, amely készenléti állapotban van.

Logikai és valószínűségi módszerek a rendszerek megbízhatóságának elemzésére

A logikai-valószínűségi módszerek lényege a logikai algebrai függvények (FAL) használata a rendszer teljesítményfeltételeinek analitikus rögzítésére, valamint a FAL-ról a valószínűségi függvényekre (WF) való átállás, amelyek objektíven fejezik ki a rendszer megbízhatóságát. Azok. a logikai-valószínűségi módszerrel lehetőség nyílik a megbízhatóság számítására szolgáló IC áramkörök leírására a matematikai logika apparátusával, majd ezt követi a valószínűségszámítás alkalmazása a megbízhatósági mutatók meghatározásában.

A rendszer csak két állapotban lehet: teljes működőképes állapotban ( nál nél= 1) és teljes meghibásodás állapotában ( nál nél= 0). Feltételezzük, hogy a rendszer működése determinisztikusan függ elemeinek működésétől, azaz. nál nél egy függvény x 1 , X 2 , … , x i, … , x n. Az elemeket lehet is csak két inkompatibilis állapotban legyen: teljes működőképesség (x i = 1) és teljes meghibásodás (x i = 0).

A logikai algebra függvénye, amely az elemek állapotát a rendszer állapotával hozza összefüggésbe nál nél (x 1 , X 2 ,…, x n) hívják egészségügyi funkció rendszerekF(y) = 1.

A rendszer működőképes állapotának felmérésére két fogalmat használnak:

1) a sikeres működés legrövidebb útja (KPUF), amely elemeinek olyan együttállása, amelynek egyik komponense sem távolítható el a rendszer működésének megsértése nélkül. Egy ilyen kötőszót a következő FAL-ként írják le:

ahol én- több számhoz tartozik ennek megfelelő
l-mu módon.

Vagyis a rendszer KPUF-je leírja annak egyik lehetséges működőképes állapotát, amelyet a rendszer számára meghatározott funkciók végrehajtásához feltétlenül szükséges működőképes elemek minimális halmaza határoz meg.

2) a minimális rendszerhiba keresztmetszet (MSF), amely elemei negációinak olyan együttállása, amelynek egyik összetevője sem távolítható el a rendszer üzemképtelenségi feltételeinek megsértése nélkül. Egy ilyen kötőszó a következő FAL-ként írható fel:

ahol az adott szakasznak megfelelő számkészletet jelenti.

Más szóval, a rendszer MCO-ja leírja a rendszer megzavarásának egyik lehetséges módját a meghibásodott elemek minimális halmazával.

Minden redundáns rendszernek véges számú legrövidebb útja van (l= 1, 2,…, m ) és minimális keresztmetszetek (j= 1, 2,…, m).

Ezeket a fogalmakat felhasználva felírhatjuk a rendszer működésének feltételeit.

1) a sikeres működéshez elérhető összes legrövidebb út szétválasztása formájában.

;

2) az összes MCO tagadásának konjunkciója formájában

;

Így egy valós rendszer működőképességi feltételeit úgy ábrázolhatjuk, mint valamilyen ekvivalens (megbízhatósági szempontból) rendszer működési feltételeit, amelynek szerkezete a sikeres működés legrövidebb útjainak párhuzamos kapcsolata, vagy egy másik ekvivalens rendszer, a struktúra. amelyből minimális szakaszok tagadásának kombinációja.

Például az IC hídszerkezetéhez a KPUF-ot használó rendszerállapot-függvény a következőképpen lesz írva:

;

ugyanannak a rendszernek az MCO-n keresztüli működőképességi függvénye a következő formában írható fel:

Kis számú elem (legfeljebb 20) esetén a megbízhatóság kiszámítására táblázatos módszer használható, amely az összeadási tételen alapul az együttes események valószínűségére.

A rendszer hibamentes működésének valószínűsége a következő képlettel számítható ki (az űrlap valószínűségi függvényével):

A logikai-valószínűségi módszereket (módszerek: vágás, táblázatos, ortogonalizáció) széles körben alkalmazzák diagnosztikai eljárások a hibafák felépítésénél és a rendszer meghibásodását okozó alapvető (kezdeti) események meghatározásakor.

Egy összetett redundanciaszerkezetű számítógépes rendszer megbízhatóságára statisztikai modellezési módszer alkalmazható.

A módszer ötlete logikai változók generálásax i c adott valószínűséggel pi egy egység előfordulása, amelyeket tetszőleges formában behelyettesítünk a szimulált rendszer logikai szerkezeti függvényébe, majd kiszámítjuk az eredményt.

Összesített x 1 , X 2 ,…, X na független véletlenszerű eseményeket, amelyek egy teljes csoportot alkotnak, az egyes események bekövetkezési valószínűségével jellemezzükp(x i), és .

A véletlenszerű események ezen halmazának szimulálásához véletlenszám-generátort használnak, egyenletesen elosztva az intervallumon belül

Jelentése pi egyenlő a hibamentes működés valószínűségévelénalrendszer. Ebben az esetben a számítási folyamat megismétlődikN 0 alkalommal új, független véletlenszerű argumentumértékekkelx i(ez számolja a számotN(t) a logikai szerkezeti függvény egyes értékei). HozzáállásN(t)/ N 0 az üzemidő valószínűségének statisztikai becslése

ahol N(t) - az adott időpontig hibátlanul dolgozók számattárgyakat, azok eredeti számával.

Véletlenszerű logikai változók generálásax iadott előfordulási valószínűséggel egy R énAz intervallumban egyenletesen elosztott valószínűségi változók alapján történik, amelyeket az összes modern számítógép matematikai szoftverében található szabványos programokkal nyernek.

Ellenőrző kérdések és feladatok

1. Mi az a módszer az IS megbízhatóságának felmérésére, ahol a rendszer hibamentes működésének valószínűségét a következőképpen határozzuk meg? R n ≤R ≤R in.

2. Mely rendszerek megbízhatóságának kiszámításához az utak és szakaszok módszerét használjuk?

3. Milyen módszerrel értékelhető a híd típusú eszközök megbízhatósága?

4. Milyen módszerek ismertek a helyreállítható rendszerek megbízhatósági mutatóinak meghatározására?

5. Szerkezetileg ábrázolja a hídáramkört minimális utak és szakaszok halmazaként.

6. Határozza meg a minimális utat és a minimális szakaszt.

7. Egészségfüggvényt írni egy elágazó készülékhez?

8. Mi az a teljesítményfüggvény?

9. Mi a legrövidebb út a sikeres működéshez (KPUF). Írja le a munkakörülményeket KPUF formájában.

10. Hol alkalmazzák a megbízhatóság-értékelés logikai-valószínűségi módszerét?

Irodalom: 1, 2, 3, 5, 6, 8.