Általánosított koordináták és általánosított erők. Általánosított koordináták és általánosított erők Hogyan néz ki az erők munkája általánosított koordinátákban

Analitikai mechanika. A kapcsolatok osztályozása. Példák. Lehetséges mozgások.

Kapcsolat– ez a kapcsolat a rendszer pontjainak koordinátái és sebességei között, egyenlőségek vagy egyenlőtlenségek formájában.

Osztályozás:

Geometriai– csak a rendszerpontok koordinátáit korlátozza (a sebességeket nem tartalmazza)

Kinematikai– sebességek lépnek be az egyenletekbe. Ha meg tud szabadulni a sebességtől, akkor a kapcsolat integrálva van.

Holonómiai kapcsolatok– geometriai és integrálható differenciálkapcsolatok.

A kapcsolatot ún holding(kiszabott vagy korlátozások a rendszer bármely pozíciójában maradnak) és féktelen, amelyek nem rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal (az ilyen kapcsolatoktól, mint mondják, a rendszer „felszabadítható”

Lehetséges költözés

Bármilyen mentális

Elenyésző

A rendszerpontok mozgatása megengedett

Ebben a pillanatban

A rendszerre kiszabott kapcsolatok.

Valóságos mozgás– erőktől, időtől, kapcsolatoktól, kezdeti feltételektől függ.

A lehetséges mozgás csak a kapcsolatoktól függ.

Helyhez kötött csatlakozásoknál a tényleges mozgás az egyik lehetséges.

Ideális kapcsolatok. A lehetséges mozgások elve.

Ideál Olyan kapcsolatoknak nevezzük, amelyeknél az összes reakciójuk elemi munkáinak összege bármely lehetséges elmozdulásra 0.

A lehetséges mozgások elve.

Ideális stacionárius kapcsolatokkal rendelkező mechanikai rendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy az összes aktív erő elemi munkájának összege bármely lehetséges elmozdulásra 0 legyen. Ebben az esetben az elegendőség kedvéért a kezdeti sebességnek egyenlőnek kell lennie. nullára. Szükséges egyenleg => Elegendő => egyenleg.

Általános koordináták. A rendszer szabadságfokainak száma. Általánosított erők, számítási módszerek. Egyensúlyi feltételek holonikus kényszerekkel rendelkező rendszerre, általánosított erőkkel kifejezve.

Általános koordináták– egy független paraméter, amely teljesen meghatározza a rendszer helyzetét, és amelyen keresztül a rendszerben lévő pontok összes derékszögű koordinátája kifejezhető.

A szabadsági fokok számát az általánosított koordináták száma határozza meg

A egymástól független skaláris mennyiségek számát, amelyek egyértelműen meghatározzák a mechanikai rendszer térbeli helyzetét, szabadsági fokok számának nevezzük.

A mechanikai rendszer általánosított koordinátái olyan egymástól független geometriai mennyiségek, amelyek egyértelműen meghatározzák a rendszer helyzetét a térben.

Q i = δA j /δq j vagy δA j = Q i ⋅ δq j .

Általánosított erő- ez egy olyan erő, amely ugyanazt a munkát végzi el egy lehetséges elmozduláson az általános koordinátája mentén, mint a rendszerre ható összes erő, amely az alkalmazási pontok megfelelő elmozdulására vonatkozik.

Az általánosított erő meghatározásához megadjuk a lehetséges elmozdulást annak általánosított koordinátája mentén, a többi koordinátát változatlanul hagyva. Ezután megtaláljuk a rendszerre ható összes erő által végzett munkát, és elosztjuk a lehetséges elmozdulással.

A lehetséges elmozdulások elve az általánosított erők tekintetében.

Mivel egyensúlyban az elemi munka összege bármely lehetséges elmozdulásra ( bA=bq j , amelyek nem függnek egymástól, akkor ehhez igaznak kell lennie: Q 1 =0; Q2=0; Q K =0

Az általánosított erők meghatározása

Egy szabadságfokú rendszernél az általánosított koordinátának megfelelő általánosított erő q, a képlet által meghatározott mennyiségnek nevezzük

ahol D q– az általánosított koordináta kis növekménye; – a rendszer lehetséges mozgására ható erők elemi munkáinak összege.

Emlékezzünk vissza, hogy a rendszer lehetséges mozgását úgy definiáljuk, mint a rendszer mozgását egy adott időpillanatban a kapcsolatok által lehetővé tett végtelenül közeli helyzetbe (bővebben lásd az 1. mellékletet).

Ismeretes, hogy az ideális kötések reakcióereje által a rendszer bármely lehetséges elmozdulásakor végzett munka összege nulla. Ezért egy ideális kapcsolatokkal rendelkező rendszernél csak a rendszer aktív erőinek munkáját kell figyelembe venni a kifejezésben. Ha a kapcsolatok nem ideálisak, akkor a reakcióerőket, például a súrlódási erőket hagyományosan aktív erőknek tekintjük (lásd alább az 1.5. ábra diagramjára vonatkozó utasításokat). Ez magában foglalja az aktív erők elemi munkáját és az aktív erőpárok momentumainak elemi munkáját. Írjunk fel képleteket e munkák meghatározásához. Mondjuk az erő ( F kx ,F ky ,F kz) pontban alkalmazott NAK NEK, melynek sugárvektora ( x k ,y k ,z k), és az esetleges elmozdulás – (d xk, d y k , d z k). Egy erő elemi munkája egy lehetséges elmozdulásra egyenlő a skaláris szorzattal, amely analitikai formában megfelel a kifejezésnek

d A( ) = F to d r a cos(), (1.3a)

koordináta formában pedig – a kifejezés

d A( ) = F kx d x k + F ky d y k + F kz d z k. (1.3b)

Ha pár erő egy pillanattal M forgó testre alkalmazva, melynek szögkoordinátája j, lehetséges elmozdulása dj, akkor a pillanat elemi munkája M a lehetséges elmozduláson dj-t a képlet határozza meg

d A(M) = ± M d j. (1,3 V)

Itt a (+) jel annak az esetnek felel meg, amikor a pillanat Més a lehetséges mozgási dj iránya egybeesik; jel (–), ha ellentétes irányban állnak.

Ahhoz, hogy az (1.3) képlet segítségével meg lehessen határozni az általánosított erőt, szükséges a testek és pontok lehetséges mozgásait a d általánosított koordináta kis növekményével kifejezni. q, függőségek használatával (1)…(7) adj. 1.

Az általánosított erő definíciója K, amely megfelel a kiválasztott általánosított koordinátának q, ajánlatos a következő sorrendben megtenni.

· Rajzolja fel a tervezési diagramra a rendszer összes aktív erejét.

· Adjon egy kis lépést az általánosított d koordinátához q> 0; mutassa meg a számítási diagramon az összes olyan pont megfelelő lehetséges elmozdulását, ahol erőhatások lépnek fel, és minden olyan test lehetséges szögelmozdulását, amelyre az erőpárok nyomatékai vonatkoznak.

· Készítsen kifejezést a rendszer összes aktív erejének ezekre a mozgásokra gyakorolt ​​​​elemi munkájára, fejezze ki a lehetséges mozgásokat d-n keresztül q.

· Határozza meg az általánosított erőt az (1.3) képlet segítségével!

1.4. példa (lásd az 1.1. ábra feltételét).

Határozzuk meg az általánosított koordinátának megfelelő általánosított erőt s(1.4. ábra).

Aktív erők hatnak a rendszerre: P- rakomány súlya; G– dob tömege és nyomatéka M.

A durva ferde sík a terhelésre szolgál A tökéletlen kapcsolat. Csúszó súrlódási erő F tr, a terhelésre ható A ebből a kapcsolatból egyenlő F tr = f N.

Az erősség meghatározásához N egy terhelés normál nyomása egy síkra mozgás közben, a D'Alembert-elvet alkalmazzuk: ha a rendszer minden pontjára feltételes tehetetlenségi erő hat, az összefüggések aktív aktív erői és reakcióerői mellett, akkor a kapott halmaz Az erők kiegyenlítődnek, és a dinamikus egyenletek statikus egyensúlyi egyenletek formájában adhatók. Ennek az elvnek a jól ismert alkalmazási módját követve ábrázoljuk a terhelésre ható összes erőt A(1.5. ábra), – és , ahol a kábel feszítőereje.

Rizs. 1.4 ábra. 1.5

Adjuk hozzá a tehetetlenségi erőt, ahol a terhelés gyorsulása. A d'Alembert-elv egyenlete a tengelyre vetítésben yúgy néz ki, mint a N–Pcos a = 0.

Innen N = PCos a. A csúszó súrlódási erő immár a képlettel meghatározható F tr = f P cos a.

Adjuk meg az általánosított koordinátát s kis növekmény d s> 0. Ebben az esetben a terhelés (1.4. ábra) a ferde síkon felfelé mozdul el d távolságra s, és a dob a dj szöggel az óramutató járásával ellentétes irányba fog fordulni.

Az (1.3a) és (1.3c) képletekkel alkossunk kifejezést az elemi nyomatékművek összegére M, erő PÉs F tr:

Fejezzük ki dj-t ebben az egyenletben d-n keresztül s: , Akkor

az általánosított erőt az (1.3) képlet segítségével határozzuk meg.

Vegyük figyelembe a korábban megírt képletet F trés végre megkapjuk

Ha ugyanebben a példában a j szöget vesszük általánosított koordinátának, akkor az általánosított erőt Qj képlettel fejezzük ki

1.4.2. Általánosított rendszererők meghatározása
két szabadságfokkal

Ha a rendszer rendelkezik n szabadságfoka, helyzete meghatározott náltalánosított koordináták. Minden koordináta qi(i = 1,2,…,n) általánosított erejének felel meg Qi, amelyet a képlet határoz meg

ahol az aktív erők elemi munkáinak összege van én-a rendszer lehetséges mozgása, ha d q i > 0, és a fennmaradó általánosított koordináták változatlanok.

A meghatározásnál figyelembe kell venni az (1.3) képlet szerinti általánosított erők meghatározására vonatkozó utasításokat.

Egy két szabadságfokú rendszer általánosított erőit a következő sorrendben javasoljuk meghatározni.

· Mutassa be a tervezési diagramon a rendszer összes aktív erőjét.

· Határozza meg az első általánosított erőt Q 1. Ehhez adja meg a rendszernek az első lehetséges mozgást, amikor d q 1 > 0 és d q 2 =q 1 a rendszer összes testének és pontjának lehetséges mozgása; komponálni - a rendszer erőinek elemi munkájának kifejezése az első lehetséges elmozduláskor; lehetséges mozgások a d-n keresztül kifejezve q 1; megtalálja Q 1 az (1.4) képlet szerint, figyelembe véve i = 1.

· Határozza meg a második általánosított erőt! Q 2. Ehhez adjon a rendszernek egy második lehetséges mozgást, amikor d q 2 > 0 és d q 1 = 0; mutassa meg a megfelelő d-t a tervezési diagramon q 2 a rendszer összes testének és pontjának lehetséges mozgása; komponálni - a rendszer erők elemi munkájának kifejezése a második lehetséges elmozdulásra; lehetséges mozgások a d-n keresztül kifejezve q 2; megtalálja Q 2 az (1.4) képlet szerint, figyelembe véve i = 2.

1.5. példa (lásd az 1.2. ábra feltételét)

Határozzuk meg Q 1És Q 2, amely az általánosított koordinátáknak felel meg xDÉs xA(1.6. ábra, A).

Három aktív erő hat a rendszerre: P A = 2P, P B = P D = P.

Meghatározás Q 1. Adjuk meg a rendszernek az első lehetséges mozgást, amikor d xD> 0, d x A = 0 (1.6. ábra, A). Ugyanakkor a terhelés D xD, Blokk B az óramutató járásával ellentétes irányban fog forogni a dj szöggel B, hengertengely A mozdulatlan marad, hengeres A tengely körül fog forogni A szögben dj Aóramutató járásával megegyező. Állítsuk össze a jelzett mozgások munkaösszegét:

határozzuk meg

Határozzuk meg Q 2. Adjunk a rendszernek egy második lehetséges mozgást, amikor d x D = 0, d xA> 0 (1.6. ábra, b). Ebben az esetben a henger tengelye A függőlegesen lefelé fog mozogni egy távolságot d xA, henger A tengely körül fog forogni A az óramutató járásával megegyező irányba a dj szögbe A, Blokk Bés rakomány D mozdulatlan marad. Állítsuk össze a jelzett mozgások munkaösszegét:

határozzuk meg

1.6. példa (lásd az 1.3. ábra feltételét)

Határozzuk meg Q 1És Q 2, amely megfelel a j általánosított koordinátáknak, s(1.7. ábra, A). A rendszerre négy aktív erő hat: a rúd súlya P, golyós súly, rugó rugalmas erő és .

Ezt vegyük figyelembe. A rugalmas erők modulusát az (a) képlet határozza meg.

Vegye figyelembe, hogy az erő alkalmazási pontja F 2 mozdulatlan, ezért ennek az erőnek a munkája a rendszer bármely lehetséges elmozdulására nulla, az általánosított erők kifejezésében az erő F 2 nem megy be.

Meghatározás Q 1. Adjuk meg a rendszernek az első lehetséges mozgást, amikor dj > 0, d s = 0 (1.7. ábra, A). Ebben az esetben a rúd AB tengely körül fog forogni z az óramutató járásával ellentétes irányban dj szöggel, a labda lehetséges mozgásai Dés központ E a rudak a szegmensre merőlegesen vannak irányítva HIRDETÉS, a rugó hossza nem változik. Tegyük koordináta alakba [lásd. (1.3b) képlet]:

(Kérjük, vegye figyelembe, hogy ezért ennek az erőnek az első lehetséges elmozduláskor végzett munkája nulla).

Fejezzük ki az elmozdulásokat d x Eés d xD dj-n keresztül. Ehhez először írunk

Ezután a (7) képletnek megfelelően adj. 1 meg fogjuk találni

A talált értékeket behelyettesítve -be, azt kapjuk

Az (1.4) képlet segítségével, figyelembe véve, hogy meghatározzuk

Meghatározás Q 2. Adjunk a rendszernek egy második lehetséges mozgást, amikor dj = 0, d s> 0 (1.7. ábra, b). Ebben az esetben a rúd AB mozdulatlan marad, és a labda M d távolságot fog elmozdulni a rúd mentén s. Állítsuk össze a jelzett mozgások munkaösszegét:

határozzuk meg

helyettesítve az erő értékét F 1 az (a) képletből kapjuk

1.5. Egy rendszer kinetikus energiájának kifejezése
általánosított koordinátákban

Egy rendszer mozgási energiája megegyezik testei és pontjai kinetikus energiáinak összegével (2. melléklet). Ahhoz, hogy érte T Az (1.2) kifejezésnek a rendszer összes testének és pontjának sebességét kell kifejeznie általánosított sebességeken keresztül kinematikai módszerekkel. Ebben az esetben a rendszert tetszőleges helyzetben lévőnek tekintjük, minden általánosított sebességét pozitívnak tekintjük, vagyis az általánosított koordináták növelésére irányul.

1. példa 7 (lásd az 1.1. ábra állapotát)

Határozzuk meg a rendszer kinetikus energiáját (1.8. ábra), a távolságot általános koordinátának véve s,

T = T A + T B.

A (2) és (3) képlet szerint adj. 2 nálunk van: .

Ezeket az adatokat behelyettesítve Tés ezt figyelembe véve azt kapjuk

Példa 1.8(lásd az 1.2. ábra állapotát)

Határozzuk meg a rendszer kinetikus energiáját az ábrán! 1.9, általánosított koordinátának véve a mennyiségeket xDÉs xA,

T = T A + T B + T D.

A (2), (3), (4) képletek szerint adj. 2 felírjuk

Kifejezzük V A , V D , w Bés w A keresztül:

Amikor w A figyelembe veszik, hogy a pont O(1.9. ábra) – a hengerfordulatszámok pillanatnyi középpontja AÉs V k = V D(lásd a megfelelő magyarázatokat a 2. példa 2. függelékéhez).

A kapott eredményeket behelyettesítve Tés tekintettel arra

határozzuk meg

Példa 1.9(lásd az 1.3. ábra állapotát)

Határozzuk meg a rendszer kinetikus energiáját az ábrán! 1.10, j és általános koordinátákként s,

T = TAB + T D.

Az (1) és (3) képlet szerint adj. 2 van nálunk

Hadd fejezzük ki w ABÉs V D keresztül és:

hol van a labda átviteli sebessége D, modulusát a képlet határozza meg

A szakaszra merőlegesen irányítva HIRDETÉS a j szög növekedésének irányában; – a labda relatív sebessége, modulját a képlet határozza meg, növekvő koordináták felé s. Vegyük észre, hogy ezért merőleges

Ezeket az eredményeket behelyettesítve a Tés tekintettel arra

1.6. Differenciálegyenletek készítése
mechanikai rendszerek mozgása

A szükséges egyenletek elkészítéséhez be kell cserélni az (1.1) Lagrange-egyenletekbe a rendszer kinetikus energiájának korábban talált kifejezését általánosított koordinátákban és általánosított erőkben. K 1 , K 2 , … , Q n.

A részleges származékok megtalálásakor Táltalánosított koordináták és általánosított sebességek felhasználásával figyelembe kell venni, hogy a változók q 1 , q 2 , … , q n; egymástól függetlennek tekintendők. Ez azt jelenti, hogy a parciális derivált meghatározásakor T ezen változók egyikére a for kifejezésben szereplő összes többi változót T konstansnak kell tekinteni.

Egy művelet végrehajtása során a változóban szereplő összes változót időben meg kell különböztetni.

Hangsúlyozzuk, hogy a Lagrange-egyenletek minden általánosított koordinátára fel vannak írva qi (i = 1, 2,…n) rendszerek.

Az analitikus mechanikában az erő, mint más anyagi testek adott testre gyakorolt ​​hatását jellemző vektormennyiség fogalmával együtt használják a általánosított erő. Meghatározására általánosított hatalom Tekintsük a rendszer pontjaira ható erők virtuális munkáját.

Ha egy mechanikus rendszer holonomikus visszatartó erőkkel h vannak kapcsolatai s = 3n-ó szabadsági fokokat , akkor ennek a rendszernek a helyzete meghatározásra kerül ( i = s)

általánosított koordináták és (2.11) : A (2.13), (2.14) virtuális eltolás szerint k – pontok

(2.13)

(2.14)

Behelyettesítés (2.14): az erők virtuális munkájának képletébe

(2,24), kapjuk

Skalár mennyiség = (2.26)

hívott általánosított erő, megfelelő énáltalánosított koordináta.

Általánosított erői-nek megfelelő-Az általánosított koordináta egy adott általánosított koordináta változásának szorzójával egyenlő mennyiség a mechanikai rendszerre ható erők virtuális munkájának kifejezésében.

Virtuális munka-ból határozták meg

¾ meghatározott aktív erők korlátozásoktól függetlenül és

¾ kapcsolási reakciók (ha a csatolások nem ideálisak, akkor a probléma megoldásához a fizikai függőséget is be kell állítani T j -tól N j , ( T j ¾ ezek általában súrlódási erők vagy gördülési súrlódási ellenállási nyomatékok, amelyeket meg tudunk határozni).

Általában általánosított erő az általánosított koordináták, a rendszerpontok sebességének és az időnek a függvénye. A definícióból az következik általánosított erő A ¾ egy skaláris mennyiség, amely az adott mechanikai rendszerhez választott általánosított koordinátáktól függ. Ez azt jelenti, hogy ha megváltozik az adott rendszer helyzetét meghatározó általánosított koordináták halmaza, akkor a általánosított erők.

2.10. példa. Sugárú lemezhez rés tömeg m, amely ferde síkon csúszás nélkül gördül (2.9. ábra), általánosított koordinátának vehetjük:

¾ vagy q = s¾ a korong tömegközéppontjának elmozdulása,

¾ sem q= j ¾ a tárcsa elfordulási szöge. Ha figyelmen kívül hagyjuk a gördülési ellenállást, akkor:

¾ az első esetben általánosított erő akarat

Rizs. 2.9 Q s = mg sina, a

¾ a második esetben ¾ Q j = mg r cosa.

Az általánosított koordináta meghatározza a megfelelő mértékegységét is általánosított hatalom. A (2,25) kifejezésből

(2.27)

ebből következik, hogy a mértékegység általánosított hatalom egyenlő a munka mértékegységével osztva az általánosított koordináta egységével.

Ha általánosított koordinátaként q elfogad q = s bármely pont ¾ mozgása, majd a mértékegység általánosított hatalom Q s ¾ lesz [newton] ,

Ha, mint a q= j ¾ a test elfordulási szögét (radiánban), akkor a mértékegységet általánosított hatalom Q j 2 lesz [ newton méter].

Írjuk fel a rendszer pontjaira ható erők elemi munkáinak összegét a rendszer lehetséges elmozdulására:

Legyen a holonomikus rendszer szabadságfokokat, és ezért a térben elfoglalt helyzetét meghatározzák általánosított koordináták
.

A (225) behelyettesítése (226)-ra, és az indexek szerinti összegzés sorrendjének megváltoztatása És , kapunk

. (226")

hol van a skaláris mennyiség

hívott az általánosított koordinátához kapcsolódó általánosított erő . Két vektor skaláris szorzatának jól ismert kifejezésével a kölcsönzött erőt úgy is ábrázolhatjuk, mint

– az erő vetületei a koordinátatengelyekre;
– az erőkifejtési pont koordinátái.

Az általánosított erő mérete a (226") szerint az alábbiak szerint függ a mérettől , egybeesik a mérettel :

, (228)

azaz az általánosított erő dimenziója megegyezik az erő (energia) munkájának vagy az erő nyomatékának dimenziójával, elosztva annak az általánosított koordinátának a dimenziójával, amelyhez az általánosított erő hozzá van rendelve. Ebből következik, hogy egy általánosított erőnek lehet erő vagy erőnyomaték dimenziója.

Általánosított erő számítása

1. Az általánosított erő kiszámítható a (227) képlet segítségével, amely meghatározza, azaz.

2. Az általánosított erők az elemi munka (226") kifejezésében szereplő általánosított koordináták megfelelő variációinak együtthatóiként számíthatók ki, azaz.

3. Az általánosított erők kiszámításának legmegfelelőbb módszere (226 ""), ha a rendszer olyan lehetséges mozgást kap, hogy csak egy általánosított koordináta változik, míg a többi nem változik. Tehát, ha
, és a többi
, akkor a (179")-től van

.

Index azt jelzi, hogy az elemi munkák összegét egy lehetséges elmozdulásra számítják, amely során csak a koordináta változik (változik) . Ha a változó koordináta az , Azt

. (227")

Egyensúlyi feltételek egy erőrendszerre általánosított erőkben

Rendszeregyensúlyi feltételek a lehetséges mozgások elvéből származnak. Azokra a rendszerekre vonatkoznak, amelyekre ez az elv érvényes: holonikus, stacionárius, ideális és nem elengedő kényszereknek kitett mechanikai rendszer egyensúlyához abban a pillanatban, amikor a rendszer minden pontjának sebessége nulla, szükséges és elegendő, hogy minden általánosított erő nullával egyenlő legyen.

. (228")

3.6.7. A dinamika általános egyenlete

Általános dinamikai egyenlet bármilyen kapcsolattal rendelkező rendszerre (kombinált d'Alembert-Lagrange elv vagy általános mechanikai egyenlet):

, (229)

Ahol – rá kifejtett aktív erő -a rendszer pontja; – a kötések reakcióereje;
– pont tehetetlenségi erő; – lehetséges mozgás.

A rendszer egyensúlya esetén, amikor a rendszer pontjainak összes tehetetlenségi ereje megszűnik, ez a lehetséges elmozdulások elvévé válik. Általában ideális csatlakozású rendszerekhez használják, amelyeknél a feltétel teljesül

Ebben az esetben a (229) a következő formák valamelyikét ölti:

,

,

. (230)

És így, az általános dinamikai egyenlet szerint egy ideális kapcsolatokkal rendelkező rendszer bármely mozgási pillanatában a rendszer összes aktív erőjének és a rendszer pontjainak tehetetlenségi erejének elemi munkáinak összege nullával egyenlő a rendszer bármely lehetséges mozgásánál. a kapcsolatok által.

A dinamika általános egyenlete más, ekvivalens formákat is adhat. A vektorok skaláris szorzatát kiterjesztve így fejezhető ki

Ahol
– koordináták -a rendszer pontja. Tekintettel arra, hogy a tehetetlenségi erők koordinátatengelyekre ható vetületeit a gyorsulások e tengelyekre történő vetületein keresztül az összefüggések fejezik ki

,

a dinamika általános egyenlete megadható a forma

Ebben a formában úgy hívják általános dinamikai egyenlet analitikus formában.

Az általános dinamikai egyenlet alkalmazásakor ki kell tudni számítani a rendszer tehetetlenségi erőinek elemi munkáját a lehetséges elmozdulásokon. Ehhez alkalmazza a közönséges erőkre kapott elemi munka megfelelő képleteit. Tekintsük ezek alkalmazását a merev test tehetetlenségi erőire bizonyos mozgási esetekben.

Előre mozgás közben. Ebben az esetben a testnek három szabadságfoka van, és az előírt kényszerek miatt csak transzlációs mozgást tud végrehajtani. A test lehetséges mozgásai, amelyek lehetővé teszik a kapcsolatokat, szintén transzlációsak.

A transzlációs mozgás során fellépő tehetetlenségi erők az eredőre redukálódnak
. A test lehetséges transzlációs mozgására gyakorolt ​​​​elemi tehetetlenségi erők összegére azt kapjuk

Ahol
– a tömegközéppont és a test bármely pontjának lehetséges mozgása, mivel a test minden pontjának transzlációs lehetséges mozgása azonos: a gyorsulások is azonosak, i.e.
.

Amikor egy merev test egy rögzített tengely körül forog. A testnek ebben az esetben egy szabadságfoka van. Rögzített tengely körül foroghat
. Lehetséges mozgás, amit egymásra épülő kapcsolatok tesznek lehetővé, a test elemi szöggel történő elforgatása is
rögzített tengely körül.

A tehetetlenségi erők egy pontra csökkentek a forgástengelyen a fővektorra redukálódnak és a lényeg
. A tehetetlenségi erők fővektorát egy fix pontra alkalmazzuk, és a lehetséges elmozdulásra vonatkozó elemi munkája nulla. A tehetetlenségi erők fő nyomatéka esetén a nullától eltérő elemi munka csak a forgástengelyre való vetítésével történik
. Így a vizsgált lehetséges elmozdulásra gyakorolt ​​tehetetlenségi erők összegére van lehetőségünk

,

ha a szög
jelentse a szöggyorsulás ívnyila irányába .

Lapos mozgásban. Ebben az esetben a merev testre nehezedő kényszerek csak lehetséges síkmozgást tesznek lehetővé. Általános esetben a pólussal együtt lehetséges transzlációs mozgásból, amelyhez a tömegközéppontot választjuk, és egy elemi szögön keresztüli elforgatásból áll.
a tengely körül
, amely áthalad a tömegközépponton és merőleges arra a síkra, amellyel párhuzamosan a test síkmozgást végezhet.

Mivel a merev test síkbeli mozgásában fellépő tehetetlenségi erők a fővektorra redukálhatók és a lényeg
(ha a tömegközéppontot választjuk redukciós középpontnak), akkor a tehetetlenségi erők elemi munkájának összege egy síkban lehetséges elmozdulásra a tehetetlenségi erővektor elemi munkájára redukálódik
a tömegközéppont lehetséges mozgásáról és az erők fő tehetetlenségi nyomatékának elemi munkájáról egy tengely körüli elemi forgó mozgásra
, áthalad a tömegközépponton. Ebben az esetben a nullától eltérő elemi munka csak a tehetetlenségi erők főnyomatékának a tengelyre való vetítésével végezhető
, azaz
. Így a vizsgált esetben mi

ha az elforgatás elemi szöggel történik
ívben ívelő nyílban közvetlenül arra .

Természetesen ennek az általánosított erőnek a kiszámításakor a potenciális energiát az általánosított koordináták függvényében kell meghatározni.

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Megjegyzések.

Első. Az általánosított reakcióerők kiszámításakor az ideális kapcsolatokat nem vesszük figyelembe.

Második. Az általánosított erő mérete az általánosított koordináta méretétől függ. Tehát ha a méret [ q] – méter, majd a méret

[Q] = Nm/m = Newton, ha [ q] – radián, akkor [Q] = Nm; Ha [ q] = m 2, akkor [Q] = H/m stb.

4. példa Egy gyűrű csúszik végig egy függőleges síkban lengő rúdon. M súly R(10. ábra). Súlytalannak tekintjük a rudat. Határozzuk meg az általánosított erőket.

10. ábra

Megoldás. A rendszernek két szabadságfoka van. Két általánosított koordinátát rendelünk hozzá sÉs .

Határozzuk meg a koordinátának megfelelő általánosított erőt s. Ennek a koordinátának adunk egy növekményt, változatlanul hagyva a koordinátát, és kiszámítva az egyetlen aktív erő munkáját R, megkapjuk az általánosított erőt

Ezután növeljük a koordinátát, feltételezve s= konst. Amikor a rudat egy szögben elforgatjuk, az erő alkalmazási pontja R, gyűrű M, ide fog költözni. Az általánosított erő az lesz

Mivel a rendszer konzervatív, általánosított erők is megtalálhatók a potenciális energia felhasználásával. Kapunk És . Sokkal egyszerűbbnek bizonyul.

Lagrange egyensúlyi egyenletek

Definíció szerint (7) általánosított erők , k = 1,2,3,…,s, Ahol s– szabadsági fokok száma.

Ha a rendszer egyensúlyban van, akkor a lehetséges elmozdulások elve szerint (1) . Itt vannak az összefüggések által megengedett mozgások, a lehetséges mozgások. Ezért, amikor egy anyagrendszer egyensúlyban van, minden általánosított erő nullával egyenlő:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, s). (10)

Ezek az egyenletek egyensúlyi egyenletek általánosított koordinátákban vagy Lagrange egyensúlyi egyenletek , engedjen meg még egy módszert a statikai problémák megoldására.

Ha a rendszer konzervatív, akkor . Ez azt jelenti, hogy egyensúlyi helyzetben van. Vagyis egy ilyen anyagi rendszer egyensúlyi helyzetében a potenciális energiája vagy maximális vagy minimális, azaz. a П(q) függvénynek szélsőértéke van.

Ez nyilvánvaló a legegyszerűbb példa elemzéséből (11. ábra). A labda potenciális energiája a pozícióban M 1-nek van minimuma, pozícióban M 2 – maximum. Észrevehető, hogy pozícióban M 1 az egyensúly stabil lesz; terhes M 2 – instabil.

11. ábra

Az egyensúly akkor tekinthető stabilnak, ha a test ebben a helyzetben alacsony sebességet kap, vagy kis távolságra elmozdul, és ezek az eltérések a jövőben nem növekednek.

Bebizonyítható (Lagrange-Dirichlet-tétel), hogy ha egy konzervatív rendszer egyensúlyi helyzetében a potenciális energiája minimális, akkor ez az egyensúlyi helyzet stabil.

Egy konzervatív, egy szabadságfokú rendszernél a minimális potenciális energia feltételét, tehát az egyensúlyi helyzet stabilitását a második derivált, az egyensúlyi helyzetbeli értéke határozza meg,

5. példa Kernel OA súly R tengely körül függőleges síkban foroghat RÓL RŐL(12. ábra). Keressük és tanulmányozzuk az egyensúlyi helyzetek stabilitását.

12. ábra

Megoldás. A rúdnak egy szabadságfoka van. Általános koordináta – szög.

Az alsó, nulla pozícióhoz viszonyítva a potenciális energia P = Ph vagy

Az egyensúlyi helyzetben lennie kell . Ezért van két egyensúlyi helyzetünk, amelyek megfelelnek a szögeknek és (pozíciók OA 1 és OA 2). Vizsgáljuk meg stabilitásukat. A második derivált megtalálása. Természetesen , . Az egyensúlyi helyzet stabil. Nál nél , . A második egyensúlyi helyzet instabil. Az eredmények nyilvánvalóak.

Általánosított tehetetlenségi erők.

Ugyanazt a módszert (8), amellyel az általánosított erőket számítottuk Q k, aktív, meghatározott, erőknek megfelelő, általánosított erőket is meghatározunk S k, amely megfelel a rendszer pontjainak tehetetlenségi erőinek:

És azóta Hogy

Néhány matematikai transzformáció.

Magától értetődően,

Mivel a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), akkor

Ez azt jelenti, hogy a sebesség parciális deriváltja

Ezenkívül az utolsó tagban (14) módosíthatja a megkülönböztetés sorrendjét:

Ha a (15)-et és a (16)-ot behelyettesítjük (14)-be, majd a (14)-et (13)-ba, azt kapjuk

Az utolsó összeget elosztva kettővel, és szem előtt tartva, hogy a származékok összege egyenlő az összeg deriváltjával, azt kapjuk,

ahol a rendszer kinetikus energiája, és az általánosított sebesség.

Lagrange-egyenletek.

Definíció szerint (7) és (12) általánosított erők

De a (3) általános dinamikai egyenlet alapján az egyenlőség jobb oldala nullával egyenlő. És mivel minden ( k = 1,2,3,…,s) nullától eltérőek, akkor . Az általánosított tehetetlenségi erő értékét (17) behelyettesítve megkapjuk az egyenletet

Ezek az egyenletek általánosított koordinátákban mozgási differenciálegyenleteknek, a második típusú Lagrange-egyenleteknek nevezzük. vagy egyszerűen – Lagrange-egyenletek.

Ezen egyenletek száma megegyezik az anyagi rendszer szabadságfokainak számával.

Ha a rendszer konzervatív és potenciális térerők hatására mozog, amikor az általánosított erők , akkor a Lagrange-egyenletek a következő formában állíthatók össze:

Ahol L = T– P-t hívják Lagrange funkció (feltételezzük, hogy a P potenciális energia nem függ az általánosított sebességektől).

Az anyagi rendszerek mozgásának tanulmányozásakor gyakran kiderül, hogy néhány általánosított koordináta q j nem szerepelnek kifejezetten a Lagrange függvényben (vagy in Tés P). Az ilyen koordinátákat ún ciklikus. Az ezeknek a koordinátáknak megfelelő Lagrange-egyenleteket egyszerűbben kapjuk meg.

Az ilyen egyenletek első integrálja azonnal megtalálható. Ciklikus integrálnak hívják:

A Lagrange-egyenletek további tanulmányozása és átalakítása az elméleti mechanika egy speciális szakaszának tárgyát képezi - „Analitikai mechanika”.

A Lagrange-egyenletek számos előnnyel rendelkeznek a rendszerek mozgásának tanulmányozásának más módszereihez képest. Főbb előnyei: az egyenletalkotás módja minden feladatban azonos, az ideális összefüggések reakcióit nem veszik figyelembe a feladatok megoldásánál.

És még egy dolog - ezekkel az egyenletekkel nemcsak mechanikai, hanem más fizikai rendszerek (elektromos, elektromágneses, optikai stb.) is tanulmányozhatók.

6. példa. Folytassuk a gyűrű mozgásának tanulmányozását M lengőrúdon (4. példa).

Általánosított koordináták vannak hozzárendelve – és s (13. ábra). Az általánosított erők meghatározása: és .

13. ábra

Megoldás. A gyűrű mozgási energiája Ahol a és .

Összeállítunk két Lagrange-egyenletet

akkor az egyenletek így néznek ki:

Két nemlineáris másodrendű differenciálegyenletet kaptunk, amelyek megoldása speciális módszereket igényel.

7. példa. Készítsük el a sugár mozgásának differenciálegyenletét AB, amely csúszás nélkül gördül hengeres felületen (14. ábra). Nyaláb hossza AB = l, súly - R.

Egyensúlyi helyzetben a nyaláb vízszintes volt és a súlypont VAL VEL a henger felső pontján helyezkedett el. A sugárnak egy szabadságfoka van. Helyét egy általánosított koordináta – egy szög – határozza meg (76. ábra).

14. ábra

Megoldás. A rendszer konzervatív. Ezért a Lagrange-egyenletet a vízszintes helyzethez viszonyított P=mgh potenciális energia felhasználásával állítjuk össze. Az érintkezési pontban van egy pillanatnyi sebességközéppont és (a körív hosszával megegyező szöggel).

Ezért (lásd 76. ábra) és.

Kinetikus energia (a nyaláb síkkal párhuzamos mozgáson megy keresztül)

Megtaláljuk a szükséges deriváltokat az és egyenlethez

Készítsünk egy egyenletet

vagy végül

Önellenőrző kérdések

Hogyan nevezzük egy korlátozott mechanikai rendszer lehetséges mozgását?

Hogyan függenek össze a rendszer lehetséges és tényleges mozgásai?

Milyen kapcsolatoknak nevezzük: a) álló; b) ideális?

Fogalmazd meg a lehetséges mozgások elvét! Írd le a képlet kifejezését!

Alkalmazható-e a virtuális mozgások elve nem ideális kapcsolatokkal rendelkező rendszerekre?

Melyek egy mechanikai rendszer általánosított koordinátái?

Mennyi egy mechanikai rendszer szabadságfokainak száma?

Milyen esetben függenek a rendszer pontjainak derékszögű koordinátái nemcsak az általánosított koordinátáktól, hanem az időtől is?

Hogyan nevezzük egy mechanikus rendszer lehetséges mozgásait?

Függnek-e a lehetséges mozgások a rendszerre ható erőktől?

A mechanikai rendszerek mely kapcsolatait nevezzük ideálisnak?

Miért nem ideális a súrlódással létrehozott kötés?

Hogyan fogalmazódik meg a lehetséges mozgások elve?

Milyen típusai lehetnek a munkaegyenletnek?

Miért egyszerűsíti le a lehetséges elmozdulások elve az egyensúlyi feltételek levezetését a nagyszámú testből álló kényszerrendszerekre ható erőkre?

Hogyan készítenek munkaegyenleteket több szabadságfokú mechanikai rendszerre ható erőkre?

Mi a kapcsolat a hajtóerő és az ellenálló erő között egyszerű gépeknél?

Hogyan fogalmazódik meg a mechanika aranyszabálya?

Hogyan határozzák meg az összefüggések reakcióit a lehetséges mozgások elve alapján?

Milyen kapcsolatokat nevezünk holonomikusnak?

Mennyi egy mechanikai rendszer szabadságfokainak száma?

Melyek a rendszer általánosított koordinátái?

Hány általánosított koordinátája van egy nem szabad mechanikai rendszernek?

Hány szabadságfoka van egy autó kormányának?

Mi az általánosított erő?

Írjon fel egy képletet, amely a rendszerre ható összes erő teljes elemi munkáját fejezi ki általánosított koordinátákkal!

Hogyan határozható meg az általánosított erő dimenziója?

Hogyan számítják ki az általánosított erőket konzervatív rendszerekben?

Írja fel az ideális összefüggésekkel rendelkező rendszer dinamikájának általános egyenletét kifejező képleteket! Mi ennek az egyenletnek a fizikai jelentése?

Mekkora a rendszerre ható aktív erők általánosított ereje?

Mi az általánosított tehetetlenségi erő?

Fogalmazzuk meg d'Alembert elvét általánosított erőkben.

Mi a dinamika általános egyenlete?

Mit nevezünk a rendszer valamely általánosított koordinátájának megfelelő általánosított erőnek, és milyen dimenziója van?

Melyek az ideális kötések általános reakciói?

Vezesse le a dinamika általános egyenletét általánosított erőkben!

Milyen formájúak a mechanikai rendszerre ható erők egyensúlyi feltételei, amelyeket az általánosított erők általános dinamikai egyenletéből kapunk?

Milyen képletek fejeznek ki általánosított erőket a derékszögű koordináták rögzített tengelyeire vetített erők révén?

Hogyan határozzák meg az általánosított erőket a konzervatív és a nem konzervatív erők esetében?

Milyen kapcsolatokat nevezünk geometrikusnak?

Adja meg a lehetséges eltolások elvének vektoros ábrázolását!

Nevezze meg az ideális stacionárius geometriai kapcsolatokkal rendelkező mechanikai rendszer egyensúlyának szükséges és elégséges feltételét!

Milyen tulajdonságokkal rendelkezik egy konzervatív rendszer erőfüggvénye egyensúlyi állapotban?

Írjon fel egy második típusú Lagrange-féle differenciálegyenlet-rendszert!

Hány második típusú Lagrange-egyenlet szerkeszthető meg egy kötött mechanikai rendszerre?

Függ-e egy mechanikai rendszer Lagrange-egyenleteinek száma a rendszerben lévő testek számától?

Mekkora egy rendszer kinetikai potenciálja?

Mely mechanikai rendszerekre létezik a Lagrange-függvény?

Milyen argumentumokkal függ össze egy mechanikai rendszerhez tartozó pont sebességvektora s szabadsági fokok?

Mi a parciális deriváltja a rendszer egy pontjának sebességvektorának valamilyen általánosított sebességhez képest?

Mely argumentumok függvénye egy rendszer kinetikus energiája holonikus, nem stacionárius megszorításoknak?

Milyen formájúak a második típusú Lagrange-egyenletek? Mennyi ezeknek az egyenleteknek a száma az egyes mechanikai rendszerekre?

Milyen formát öltenek a második típusú Lagrange-egyenletek abban az esetben, ha a rendszerre konzervatív és nem konzervatív erők egyszerre hatnak?

Mi a Lagrange-függvény vagy kinetikai potenciál?

Milyen formájúak a második típusú Lagrange-egyenletek egy konzervatív rendszerre?

Attól függően, hogy milyen változókkal kell kifejezni egy mechanikai rendszer kinetikus energiáját a Lagrange-egyenletek összeállításakor?

Hogyan határozható meg egy mechanikai rendszer potenciális energiája rugalmas erők hatására?

Önállóan megoldandó problémák

1. feladat. A lehetséges elmozdulások elvét felhasználva határozza meg az összetett szerkezetek kapcsolódási reakcióit! A szerkezeti diagramok az ábrán láthatók. 15. ábra, a megoldáshoz szükséges adatokat pedig a táblázat tartalmazza. 1. A képeken minden méret méterben értendő.

Asztal 1

1. lehetőség 2. lehetőség

3. lehetőség 4. lehetőség

5. lehetőség 6. lehetőség

7. lehetőség 8. lehetőség

16. ábra 17. ábra

Megoldás. Könnyen ellenőrizhető, hogy ebben a feladatban a Lagrange-elv alkalmazásának minden feltétele teljesül (a rendszer egyensúlyban van, a kapcsolatok stacionáriusak, holonomikusak, korlátozóak és ideálisak).

Szabaduljunk meg a reakciónak megfelelő kapcsolattól x A (17. ábra). Ehhez az A pontban ki kell cserélni a rögzített csuklópántot, például rúdtartóra, ilyenkor a rendszer egy szabadságfokot kap. Mint már említettük, a rendszer lehetséges mozgását a rá háruló kényszerek határozzák meg, és nem függ az alkalmazott erőktől. Ezért a lehetséges elmozdulások meghatározása kinematikai probléma. Mivel ebben a példában a keret csak a kép síkjában tud mozogni, lehetséges mozgása is síkbeli. Síkmozgásban a test mozgása a pillanatnyi sebességközéppont körüli forgásnak tekinthető. Ha a sebességek pillanatnyi középpontja a végtelenben van, akkor ez a pillanatnyi transzlációs mozgás esetének felel meg, amikor a test minden pontjának elmozdulása azonos.

A pillanatnyi sebességközéppont megtalálásához ismernünk kell a test bármely két pontjának sebességi irányát. Ezért egy kompozit szerkezet lehetséges elmozdulásának meghatározását annak az elemnek a lehetséges elmozdulásának megkeresésével kell kezdeni, amelyre ilyen sebességek ismertek. Ebben az esetben a kerettel kell kezdeni CDB, mivel pontja BAN BEN mozdulatlan, ezért ennek a keretnek a lehetséges mozgása a B csuklón átmenő tengely körüli szögben történő elforgatása. Most, ismerve a pont lehetséges mozgását VAL VEL(egyszerre tartozik a rendszer mindkét keretéhez) és a pont lehetséges mozgása A(Az A pont lehetséges mozgása a tengely mentén történő mozgása x), keresse meg a keret C 1 pillanatnyi sebességközéppontját AES. Így lehetséges a keret mozgása AES a C 1 pont körüli elforgatása szöggel. A és a szögek közötti kapcsolatot a C pont mozgása határozza meg (lásd 17. ábra)

Az EC 1 C és a BCD háromszögek hasonlóságából kapunk

Ennek eredményeként megkapjuk a függőségeket:

A lehetséges mozgások elve szerint

Számoljuk ki egymás után az itt szereplő lehetséges munkákat:

Q=2q – az elosztott terhelés eredője, melynek alkalmazási pontja az ábrán látható. 79; az általa végzett lehetséges munka egyenlő.