Keresse meg x gyökének deriváltját! Keresse meg a derivált: algoritmus és példák a megoldásokra

Utasítás

Mielőtt megtalálná a gyökér származékát, figyeljen a megoldandó példában szereplő többi függvényre. Ha a problémának sok gyök kifejezése van, akkor használja a következő szabályt a négyzetgyök származékának megtalálásához:

(√x)" = 1 / 2√x.

A kocka gyökér származékának megtalálásához használja a következő képletet:

(³√x)" = 1/3(³√x)²,

ahol ³√x jelöli x kockagyökét.

Ha a differenciálásra szánt változó van a törtben, akkor alakítsa át a gyököt hatványfüggvénnyel a megfelelő kitevővel. Négyzetgyöknél ez ½ hatvány, kockagyöknél pedig ⅓:

√x = x^½,
³√х = x ^ ⅓,

ahol ^ hatványozást jelöl.

Egy hatványfüggvény származékának általában és különösen az x^1, x^⅓ meghatározásához használja a következő szabályt:

(x^n)" = n * x^(n-1).

Egy gyök származéka esetén ez a reláció a következőket jelenti:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) és
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

Miután mindent megkülönböztetett, figyelmesen nézze meg a példa többi részét. Ha van egy nagyon nehézkes kifejezés a válaszában, akkor valószínűleg leegyszerűsítheti. A legtöbb iskolapélda úgy van felépítve, hogy a végeredmény egy kis szám vagy egy kompakt kifejezés legyen.

Sok derivált feladatban a gyökök (négyzet és kocka) más függvényekkel együtt találhatók. Ebben az esetben a gyökér származékának megtalálásához használja a következő szabályokat:
egy állandó (állandó szám, C) deriváltja nulla: C" = 0;
az állandó tényezőt kivesszük a derivált előjelből: (k*f)" = k * (f)" (f tetszőleges függvény);
több függvény összegének deriváltja egyenlő a deriváltak összegével: (f + g)" = (f)" + (g)";
két függvény szorzatának deriváltja egyenlő... nem, nem deriváltak szorzata, hanem a következő kifejezés: (fg)" = (f)"g + f (g)";
a hányados deriváltja szintén nem egyenlő a deriváltak hányadosával, hanem a következő szabály szerint található: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g².

jegyzet

Ezen az oldalon online kiszámíthatja egy függvény deriváltját, és részletes megoldást kaphat a problémára. Egy függvény deriváltjainak megoldása azon differenciálási szabályok alapján történik, amelyeket a hallgatók az intézetben a matematikai elemzés során tanulnak. Ahhoz, hogy egy függvény származékát megtaláljuk, a „Funkció” mezőbe kell beírni a differenciáláshoz szükséges függvényt az adatbeviteli szabályok szerint.

Hasznos tanács

A függvény deriváltja a függvény növekményének az argumentum növekményéhez viszonyított arányának határa, amikor az argumentum növekménye nullára hajlik: Ennek a definíciónak a matematikai jelentése nem túl könnyen érthető, hiszen egy iskolában algebra tanfolyam a függvény határának fogalmát vagy egyáltalán nem, vagy nagyon felületesen tanulmányozzák. De ahhoz, hogy megtanuljuk, hogyan kell megtalálni a különféle függvények származékait, ez nem szükséges.

Források:

• x származtatott gyöke

1. Egy tetszőleges fokú gyök származékának formulájának általános esete- egy tört, amelynek a számlálójában egy van, a nevezőben pedig egy olyan szám, amely megegyezik annak a gyöknek a hatványával, amelyre a deriváltot számították, megszorozva ugyanazon hatvány gyökével, amelynek gyök kifejezése egy változó annak a gyöknek a hatványa, amelyre a deriváltot számítottuk, eggyel csökkentve
2. Négyzetgyök származék- az előző képlet speciális esete. x négyzetgyökének deriváltja olyan tört, amelynek a számlálója egy, a nevezője pedig az x négyzetgyökének kétszerese
3. A kockagyök származéka, szintén az általános képlet speciális esete. A kockagyök származéka az x négyzet három kockagyökének osztva.

Az alábbiakban azokat a transzformációkat mutatjuk be, amelyek megmagyarázzák, hogy a négyzet- és köbgyökök származékainak megtalálására szolgáló képletek miért pont ugyanazok, mint az ábrán.

Természetesen egyáltalán nem kell emlékezni ezekre a képletekre, ha figyelembe vesszük, hogy egy derivált hatvány gyökének kinyerése ugyanaz, mint egy olyan tört felemelése, amelynek a nevezője azonos hatványokkal. Ezután a gyök származékának megtalálása a megfelelő tört hatványának deriváltjának meghatározására szolgáló képletre redukálódik.

Négyzetgyök alatti változó származéka

Magyarázat:
(√x)" = (x 1/2)"

A négyzetgyök pontosan ugyanaz a művelet, mint az 1/2 hatványra emelés,Ez azt jelenti, hogy egy gyök származékának megtalálásához tetszőleges mértékben alkalmazhatja a változó deriváltjának keresésére vonatkozó szabály képletét:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

A kockagyök származéka (a harmadik gyökér származéka)

Képzeljük el a kockagyököt 1/3 hatványaként, és keressük meg a deriváltot a differenciálás általános szabályai szerint. A rövid képlet a fenti képen látható, az alábbiakban pedig magyarázatot adunk, hogy miért van ez így.

A -2/3 hatványt úgy kapjuk meg, hogy 1/3-ból kivonunk egyet

Hatványfüggvény derivált képletének levezetése (x az a hatványára). Az x gyökeinek származékait tekintjük. Egy magasabb rendű hatványfüggvény deriváltjának képlete. Példák a származékok kiszámítására.

Lásd még: Hatványfüggvény és gyökök, képletek és grafikon
Teljesítményfüggvény grafikonok

Alapképletek

Az x a hatványának deriváltja egyenlő azzal, hogy x x mínusz egy hatványa:
(1) .

Az x n-edik gyökének az m-edik hatványra való deriváltja:
(2) .

Hatványfüggvény deriváltjának képletének levezetése

x > 0

Tekintsük az x változó a kitevőjű hatványfüggvényét:
(3) .
Itt a egy tetszőleges valós szám. Először nézzük meg az esetet.

A (3) függvény deriváltjának megtalálásához egy hatványfüggvény tulajdonságait használjuk, és a következő alakra alakítjuk:
.

Most megtaláljuk a származékot a következő használatával:
;
.
Itt .

A Forma (1) bevált.

Az x n fokú gyökének m fokra való deriváltjának képlet levezetése

Most nézzünk meg egy függvényt, amely a következő alak gyökere:
(4) .

A derivált megkereséséhez a gyököt hatványfüggvényré alakítjuk:
.
A (3) képlettel összehasonlítva azt látjuk
.
Akkor
.

Az (1) képlet segítségével megtaláljuk a deriváltot:
(1) ;
;
(2) .

A gyakorlatban nincs szükség a (2) képlet memorizálására. Sokkal kényelmesebb először a gyököket hatványfüggvényekké alakítani, majd az (1) képlet segítségével megkeresni a származékaikat (lásd a példákat az oldal végén).

x = 0

Ha , akkor a hatványfüggvény az x = változó értékére van definiálva 0 . Keressük meg a (3) függvény deriváltját x =-nél 0 . Ehhez a derivált definícióját használjuk:
.

Helyettesítsük x = 0 :
.
Ebben az esetben deriválton azt a jobb oldali határt értjük, amelyre .

Így találtuk:
.
Ebből egyértelmű, hogy a , .
Nál nél , .
Nál nél , .
Ezt az eredményt az (1) képletből is megkapjuk:
(1) .
Ezért az (1) képlet x = esetén is érvényes 0 .

x. eset< 0

Tekintsük újra a (3) függvényt:
(3) .
Az a konstans bizonyos értékeihez az x változó negatív értékeihez is definiálva van. Nevezetesen, legyen a racionális szám. Ekkor egy irreducibilis törtként ábrázolható:
,
ahol m és n olyan egész számok, amelyeknek nincs közös osztójuk.

Ha n páratlan, akkor a hatványfüggvény az x változó negatív értékeire is definiálva van. Például, ha n = 3 és m = 1 megvan az x kockagyöke:
.
Az x változó negatív értékeire is definiálva van.

Keressük meg a hatványfüggvény (3) deriváltját az a konstans racionális értékeire, amelyekre definiáltuk. Ehhez ábrázoljuk x-et a következő formában:
.
Akkor ,
.
A deriváltot úgy találjuk meg, hogy az állandót a derivált előjelén kívülre helyezzük, és alkalmazzuk a komplex függvény differenciálására vonatkozó szabályt:

.
Itt . De
.
Azóta
.
Akkor
.
Vagyis az (1) képlet a következőkre is érvényes:
(1) .

Magasabb rendű származékok

Most keressük a hatványfüggvény magasabb rendű deriváltjait
(3) .
Már megtaláltuk az elsőrendű származékot:
.

Ha az a konstanst a derivált előjelén kívülre vesszük, a másodrendű deriváltot találjuk:
.
Hasonlóképpen találjuk a harmadik és negyedik rend származékait:
;

.

Ebből egyértelmű, hogy tetszőleges n-edrendű származéka a következő formája van:
.

vegye észre, az ha a természetes szám, akkor az n-edik derivált állandó:
.
Ekkor az összes következő derivált nulla:
,
nál nél .

Példák a származékok kiszámítására

Példa

Keresse meg a függvény deriváltját:
.

Konvertáljuk a gyökereket hatványokká:
;
.
Ekkor az eredeti függvény a következő alakot veszi fel:
.

Hatványok származékainak keresése:
;
.
Az állandó deriváltja nulla:
.

A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.

A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények deriváltjainak megtalálásának problémáinak megoldása eredményeként a derivált az inkrementum és az argumentum növekmény arányának határaként definiálva, megjelent a derivált táblázat és a pontosan meghatározott differenciálási szabályok. . A származékok keresésének területén elsőként Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) dolgozott.

Ezért napjainkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem kell kiszámítani a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának fent említett határát, hanem csak a táblázatot kell használni. származékai és a differenciálás szabályai. A derivált megtalálására a következő algoritmus alkalmas.

A származék megtalálásához, szükséged van egy kifejezésre a prímjel alá egyszerű függvényeket komponensekre bontaniés meghatározza, hogy milyen lépéseket (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók összefüggenek. Ezután az elemi függvények deriváltjait a derivált táblázatban, a szorzat, az összeg és a hányados származékainak képleteit pedig a differenciálás szabályaiban találjuk. A derivált táblázatot és a differenciálási szabályokat az első két példa után adjuk meg.

1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy egy függvényösszeg deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz.

A derivált táblázatból megtudjuk, hogy "x" deriváltja egyenlő eggyel, a szinusz deriváltja pedig koszinusszal. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a deriváltak összegébe, és megkeressük a probléma feltételéhez szükséges deriváltot:

2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Egy olyan összeg deriváltjaként differenciálunk, amelyben a második tag állandó tényezője van, ez kivehető a derivált előjeléből:

Ha továbbra is kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy valami honnan származik, azokat rendszerint tisztázzuk, miután megismerkedtünk a származékok táblázatával és a differenciálás legegyszerűbb szabályaival. Jelenleg rájuk megyünk.

Egyszerű függvények deriváltjainak táblázata

1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200...), amely a függvénykifejezésben szerepel. Mindig egyenlő nullával. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran van rá szükség
2. A független változó származéka. Leggyakrabban "X". Mindig egyenlő eggyel. Ezt is fontos sokáig emlékezni
3. Végzettség származéka. A feladatok megoldása során a nem négyzetgyököket hatványokká kell konvertálnia.
4. Változó deriváltja a -1 hatványra
5. A négyzetgyök származéka
6. A szinusz származéka
7. A koszinusz származéka
8. Az érintő származéka
9. A kotangens származéka
10. Az arcszinus származéka
11. Arccosine származéka
12. Arktangens származéka
13. Az ívkotangens származéka
14. A természetes logaritmus deriváltja
15. Logaritmikus függvény deriváltja
16. A kitevő származéka
17. Exponenciális függvény deriváltja

A megkülönböztetés szabályai

1. Összeg vagy különbözet ​​származéka
2. A termék származéka
2a. Egy kifejezés származéka szorozva egy állandó tényezővel
3. A hányados származéka
4. Komplex függvény deriváltja

1. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatók, akkor a függvények ugyanazon a ponton differenciálhatók

és

azok. függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő e függvények deriváltjainak algebrai összegével.

Következmény. Ha két differenciálható függvény konstans taggal különbözik, akkor deriváltjaik egyenlőek, azaz

2. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatóak, akkor a termékük ugyanazon a ponton differenciálható

és

azok. Két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatának és a másik függvény szorzatának összegével.

Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből:

Következmény 2. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes tényezők és az összes többi derivált szorzatának összegével.

Például három szorzóhoz:

3. szabály.Ha a funkciók

egy bizonyos ponton megkülönböztethető És , akkor ezen a ponton a hányadosuk is differenciálhatóu/v , és

azok. két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező deriváltja szorzatának különbsége, a nevezője pedig a nevező négyzete. az egykori számláló.

Hol lehet keresni a dolgokat más oldalakon

Egy szorzat származékának és hányadosának valós problémákban való megtalálásakor mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, ezért a cikkben több példa is található ezekre a származékokra."A szorzat származéka és a függvények hányadosa".

Megjegyzés. Nem szabad összekeverni a konstanst (vagyis egy számot) összegben szereplő tagként és állandó tényezőként! Egy tag esetén a deriváltja egyenlő nullával, állandó tényező esetén pedig kikerül a származékok előjeléből. Ez egy tipikus hiba, amely a származékok tanulmányozásának kezdeti szakaszában fordul elő, de mivel az átlaghallgató több egy- és kétrészes példát old meg, ezt a hibát már nem követi el.

És ha egy termék vagy hányados megkülönböztetésekor van egy kifejezés u"v, amiben u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz egy állandó, akkor ennek a számnak a deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla lesz (ezt az esetet a 10. példa tárgyalja).

Egy másik gyakori hiba, hogy egy összetett függvény deriváltját mechanikusan egy egyszerű függvény deriváltjaként oldják meg. Ezért komplex függvény deriváltja külön cikket szentelünk. De először megtanuljuk megtalálni az egyszerű függvények deriváltjait.

Útközben nem nélkülözheti a kifejezések átalakítását. Ehhez előfordulhat, hogy új ablakban kell megnyitnia a kézikönyvet. Erőkkel és gyökerekkel rendelkező cselekvésekÉs Műveletek törtekkel .

Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek származékaira, vagyis amikor a függvény így néz ki , majd kövesse a „Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka” című leckét.

Ha olyan feladatod van, mint pl , akkor felveszi az „Egyszerű trigonometrikus függvények származékai” leckét.

Példák lépésről lépésre - hogyan lehet megtalálni a származékot

3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meghatározzuk a függvénykifejezés részeit: a teljes kifejezés egy szorzatot reprezentál, faktorai pedig összegek, amelyek közül a másodikban az egyik tag konstans tényezőt tartalmaz. Alkalmazzuk a szorzatdifferenciálási szabályt: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatainak összegével a másik függvény deriváltjával:

Ezután alkalmazzuk az összeg differenciálásának szabályát: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tagnak mínusz előjele van. Minden összegben látunk egy független változót, amelynek deriváltja eggyel, és egy állandót (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az „X” egy lesz, a mínusz 5 pedig nullává. A második kifejezésben az "x"-t megszorozzuk 2-vel, így kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" deriváltja. A következő derivált értékeket kapjuk:

A talált deriváltokat behelyettesítjük a szorzatok összegébe, és megkapjuk a probléma feltétele által megkövetelt teljes függvény deriváltját:

És ellenőrizheti a derivált probléma megoldását.

4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados differenciálására a képletet alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja és a számláló szorzata és a számláló származéka közötti különbség. nevező, a nevező pedig az előbbi számláló négyzete. Kapunk:

A 2. példában már megtaláltuk a számlálóban szereplő tényezők deriváltját. Ne felejtsük el azt sem, hogy a szorzatot, amely az aktuális példában a számláló második tényezője, mínuszjellel vesszük:

Ha olyan problémákra keres megoldást, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol a gyökök és hatványok folytonos halmaza van, mint pl. , akkor üdv az órán "Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka" .

Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és más trigonometrikus függvények deriváltjairól, vagyis amikor a függvény így néz ki , akkor egy lecke neked "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .

5. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy szorzatot látunk, melynek egyik tényezője a független változó négyzetgyöke, amelynek deriváltját a derivált táblázatban ismerkedtünk meg. A szorzat megkülönböztetésének szabályát és a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét alkalmazva kapjuk:

A derivált probléma megoldását a címen ellenőrizheti online származékos kalkulátor .

6. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy olyan hányadost látunk, amelynek osztaléka a független változó négyzetgyöke. A 4. példában megismételt és alkalmazott hányadosok differenciálási szabályát, valamint a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét felhasználva kapjuk:

A számlálóban lévő tört eltávolításához szorozza meg a számlálót és a nevezőt -val.

Az összetett típusú függvények nem mindig felelnek meg az összetett függvény definíciójának. Ha van egy y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 alakú függvény, akkor az y = sin 2 x-től eltérően nem tekinthető komplexnek.

Ez a cikk bemutatja a komplex függvény fogalmát és azonosítását. Dolgozzunk képletekkel a derivált megtalálásához, a következtetésben megoldási példákkal. A derivált táblázat és a differenciálási szabályok használata jelentősen csökkenti a derivált megtalálásának idejét.

Alapvető definíciók

Komplex függvény az, amelynek argumentuma egyben függvény is.

Ezt így jelöljük: f (g (x)). Megvan, hogy a g (x) függvényt f (g (x) argumentumnak tekintjük).

2. definíció

Ha van f függvény, és az egy kotangens függvény, akkor g(x) = ln x a természetes logaritmusfüggvény. Azt találjuk, hogy az f (g (x)) komplex függvény arctg(lnx) lesz. Vagy egy f függvény, amely egy 4. hatványra emelt függvény, ahol g (x) = x 2 + 2 x - 3 teljes racionális függvénynek tekinthető, megkapjuk, hogy f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Nyilvánvaló, hogy g(x) lehet összetett is. Az y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 példából jól látható, hogy g értékéhez tartozik a tört kockagyöke. Ezt a kifejezést úgy jelölhetjük, hogy y = f (f 1 (f 2 (x))). Abból, hogy f szinuszfüggvény, f 1 pedig a négyzetgyök alatti függvény, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 egy tört racionális függvény.

3. definíció

A beágyazás mértékét bármely természetes szám határozza meg, és a következőképpen írjuk fel: y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

4. definíció

A függvényösszetétel fogalma a beágyazott függvények számát jelenti a probléma feltételeinek megfelelően. A megoldáshoz használja a képletet az alak komplex függvényének deriváltjának megtalálásához

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Példák

Határozzuk meg egy y = (2 x + 1) 2 alakú komplex függvény deriváltját!

Megoldás

A feltétel azt mutatja, hogy f négyzetes függvény, és g(x) = 2 x + 1 lineáris függvénynek tekinthető.

Alkalmazzuk a derivált képletet egy komplex függvényre, és írjuk fel:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Meg kell találni a származékot a függvény egyszerűsített eredeti alakjával. Kapunk:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Innentől ez megvan

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Az eredmények ugyanazok voltak.

Az ilyen típusú feladatok megoldása során fontos megérteni, hogy az f és g (x) alakú függvény hol helyezkedik el.

2. példa

Meg kell találni az y = sin 2 x és y = sin x 2 alakú komplex függvények deriváltjait.

Megoldás

Az első függvényjelölés azt mondja, hogy f a négyzetes függvény, és g(x) a szinuszfüggvény. Akkor azt kapjuk

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

A második bejegyzés azt mutatja, hogy f szinuszfüggvény, és g(x) = x 2 hatványfüggvényt jelöl. Ebből következik, hogy egy komplex függvény szorzatát így írjuk

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Az y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) derivált képlete a következőképpen lesz felírva: y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.. . . ( f n (x))))) · f 1" (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (... (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

3. példa

Határozzuk meg az y = sin függvény deriváltját (ln 3 a r c t g (2 x)).

Megoldás

Ez a példa bemutatja a függvények írásának és helyének meghatározásának nehézségeit. Ekkor y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) jelöli ahol f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) a szinuszfüggvény, az emelkedés függvénye 3 fokig, függvény logaritmussal és e bázissal, arctangens és lineáris függvény.

A komplex függvény definiáló képletéből azt kapjuk

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Megkapjuk, amit meg kell találnunk

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) a szinusz deriváltjaként a deriválttáblázat szerint, majd f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 () x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) mint egy hatványfüggvény deriváltja, akkor f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) logaritmikus deriváltként, majd f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) az arctangens deriváltjaként, akkor f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Amikor megtalálja az f 4 (x) = 2 x deriváltot, vegye ki a 2-t a derivált előjeléből az 1-gyel egyenlő kitevőjű hatványfüggvény deriváltjának képletével, majd f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Összevonjuk a köztes eredményeket, és azt kapjuk

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Az ilyen funkciók elemzése a fészkelő babákra emlékeztet. A differenciálási szabályok nem mindig alkalmazhatók kifejezetten származékos tábla használatával. Gyakran egy képletet kell használnia az összetett függvények származékainak megtalálásához.

Van néhány különbség az összetett megjelenés és az összetett funkciók között. Ennek egyértelmű megkülönböztetésének képességével különösen könnyű lesz származékokat találni.

4. példa

Érdemes megfontolni egy ilyen példát. Ha létezik y = t g 2 x + 3 t g x + 1 alakú függvény, akkor az g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 alakú komplex függvénynek tekinthető. . Nyilvánvaló, hogy egy összetett származékhoz a képletet kell használni:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Az y = t g x 2 + 3 t g x + 1 alakú függvény nem tekinthető komplexnek, mivel t g x 2, 3 t g x és 1 összege van. A t g x 2-t azonban komplex függvénynek tekintjük, ekkor kapunk egy g (x) = x 2 és f alakú hatványfüggvényt, amely érintőfüggvény. Ehhez különböztesse meg az összeget. Ezt értjük

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2x

Térjünk át egy komplex függvény deriváltjának megkeresésére (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Azt kapjuk, hogy y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Az összetett típusú függvények beépíthetők az összetett függvényekbe, és maguk az összetett függvények is lehetnek összetett típusú függvények összetevői.

5. példa

Például vegyünk egy y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) alakú komplex függvényt.

Ez a függvény a következőképpen ábrázolható: y = f (g (x)), ahol f értéke a 3-as alapú logaritmus függvénye, g (x) pedig két h (x) = alakú függvény összegének tekinthető. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 és k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Nyilvánvaló, hogy y = f (h (x) + k (x)).

Tekintsük a h(x) függvényt. Ez az arány l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 - m (x) = e x 2 + 3 3

Megvan, hogy l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) két függvény összege: n (x) = x 2 + 7 és p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , ahol p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) egy komplex függvény 3-as numerikus együtthatóval, p 1 pedig egy kockafüggvény, p 2 koszinuszfüggvénnyel, p 3 (x) = 2 x + 1 lineáris függvénnyel.

Azt találtuk, hogy m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) két q (x) = e x 2 és r (x) = 3 3 függvény összege, ahol q (x) = q 1 (q 2 (x)) egy komplex függvény, q 1 egy exponenciális függvény, q 2 (x) = x 2 egy hatványfüggvény.

Ez azt mutatja, hogy h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Ha egy k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) alakú kifejezésre lépünk, akkor egyértelmű, hogy a függvény egy s () komplex formájában jelenik meg x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) racionális egész számmal t (x) = x 2 + 1, ahol s 1 négyzetes függvény, és s 2 (x) = ln x logaritmikus alap e.

Ebből következik, hogy a kifejezés a következő formában lesz: k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Akkor azt kapjuk

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 () x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

A függvény szerkezetei alapján világossá vált, hogyan és milyen képleteket kell használni a kifejezés egyszerűsítéséhez a megkülönböztetés során. Az ilyen problémák megismeréséhez és megoldási koncepciójához el kell fordulni egy függvény megkülönböztetéséhez, vagyis a származékának megtalálásához.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt