Fokozathálózat és elemei. Fokozathálózat és elemei Mekkora az ív 1 meridiánjainak értéke

A Föld gömbalakja és napi forgása két fix pont létezését határozza meg a Föld felszínén - pólusok. A pólusokon egy képzeletbeli földtengely halad át, amely körül a Föld forog.

A térképeken és a földgömbökön a legnagyobb kört rajzolják - az egyenlítőt, amelynek síkja merőleges a Föld tengelyére. Az Egyenlítő a Földet északi és déli féltekére osztja. Az Egyenlítő 1°-os ívének hossza 40075,7 km: 360° = 111,3 km.

Az Egyenlítő síkjával párhuzamosan sok síkot feltételesen elrendezhet. Amikor metszik a földgömb felszínét, kis körök képződnek - párhuzamok. Egy földgömbön vagy térképen tartják őket bizonyos távolságra az egyenlítőtől, és nyugatról keletre tájolódnak. A párhuzamos körök hossza egyenletesen csökken az egyenlítőtől a pólusok felé. Emlékezzünk vissza, hogy a legnagyobb az egyenlítőn, és nulla a sarkokon.

A földgömböt a Föld egyenlítői síkjára merőleges tengelyén áthaladó képzeletbeli síkok is átszelhetik. Amikor ezek a síkok metszik a Föld felszínét, nagy körök alakulnak ki - meridiánok. A meridiánok a földgömb bármely pontján áthúzhatók. Mindegyik a pólusok pontjain metszi egymást, és északról délre tájolódnak. Az 1. meridián átlagos ívhossza 40008,5 km: 360° = 111 km. A lokális meridián iránya bármely ponton délben meghatározható a gnomon vagy más objektum árnyékának irányában. Az északi féltekén az árnyék vége az objektumtól észak felé, a déli féltekén dél felé mutatja az irányt.

A távolságok térképen vagy földgömbön való kiszámításához a következő értékek használhatók: az ív hossza a meridián 1º-a és az egyenlítő 1º-a, ami körülbelül 111 km.

Az ugyanazon a meridiánon elhelyezkedő két pont közötti kilométeres távolság meghatározásához a térképen vagy a földgömbön a pontok közötti fokok számát meg kell szorozni 111 km-rel. Az ugyanazon a párhuzamoson elhelyezkedő pontok közötti kilométeres távolság meghatározásához a fokok számát meg kell szorozni a térképen feltüntetett vagy a táblázatokból meghatározott párhuzamos 1°-os ív hosszával.

A párhuzamosok és a meridiánok íveinek hossza a Kraszovszkij-ellipszoidon

Például Kijev és Szentpétervár közötti távolság, amely körülbelül a 30°-os meridiánon található, 111 km *9,5° = 1054 km; Kijev és Harkov távolsága (kb. 50° párhuzamos) 71 km * 6° = 426 km.

Párhuzamok és meridiánok alakulnak ki diplomahálózat. A fokozathálózat legpontosabb ábrázolása a földgömbről szerezhető be. A földrajzi térképeken a párhuzamosok és a meridiánok elhelyezkedése a térképi vetülettől függ. Ennek ellenőrzéséhez összehasonlíthat különböző térképeket, például féltekék, kontinensek, Oroszország, orosz régiók térképeit stb.

A földgömb bármely pontjának helyzetét földrajzi koordináták segítségével határozzák meg: szélesség és hosszúság.

Földrajzi szélesség- távolság a meridián mentén fokban az Egyenlítőtől a Föld bármely pontjáig. Az egyenlítőt veszik a szélességi referencia - a nulla párhuzamos - origójának. A szélesség az egyenlítői 0°-tól a sarki 90°-ig terjed. Az Egyenlítőtől északra az északi szélesség (északi szélesség), az Egyenlítőtől délre - a déli szélesség (déli szélesség) számítva. A térképeken a párhuzamosságok az oldalsó keretekre, a földgömbre pedig a 0°-os és 180°-os meridiánokra vannak felírva. Például Kharkiv az Egyenlítőtől északra 50° párhuzamosan található – földrajzi szélessége az északi szélesség 50°. SH.; Kermadec-szigetek - a Csendes-óceánban, az Egyenlítőtől délre 30 ° C-on, szélességük körülbelül 30 ° D. SH.

Ha egy pont a térképen vagy a földgömbön két kijelölt párhuzamosság között helyezkedik el, akkor földrajzi szélességét ezenkívül a párhuzamosok távolsága is meghatározza. Például Irkutszk szélességi fokának kiszámításához, amely Oroszország térképén az északi szélesség 50° és 60° között található. sh., a ponton keresztül húzzon egy egyenest, amely összeköti a két párhuzamost. Ezután feltételesen 10 egyenlő részre - fokra osztják, mivel a párhuzamosok közötti távolság 10 °. Irkutszk közelebb van az 50°-os párhuzamoshoz.

A gyakorlatban a földrajzi szélességet a Sarkcsillag magassága határozza meg egy szextáns eszközzel, az iskolában függőleges szögmérőt vagy eklimétert használnak erre a célra.

Földrajzi hosszúság- távolság a párhuzamos mentén fokban a főmeridiántól a földgömb bármely pontjáig. A zérus greenwichi meridiánt, amely London közelében halad el (ahol a Greenwichi Obszervatórium található), a hosszúsági origónak tekintik. A nulla meridiántól keletre 180 ° -ig a keleti hosszúságot (keleti hosszúság), nyugatra a nyugati (nyugati hosszúság) számítják. A térképeken a meridiánok az egyenlítőn vagy a térkép felső és alsó keretén, a földgömbön pedig az egyenlítőn vannak felírva. A meridiánok a párhuzamosokhoz hasonlóan ugyanannyi fokon haladnak át. Például Szentpétervár a 30. meridiánon található a főmeridiántól keletre, földrajzi hosszúsága a keleti 30°. d.; Mexikóváros - 100 meridián a nulla meridiántól nyugatra, hosszúsága 100 ° ny. d.

Ha a pont két meridián között helyezkedik el, akkor a hosszúságát a köztük lévő távolság határozza meg. Például Irkutszk keleti szélesség 100° és 110° között helyezkedik el. de közelebb a 100°-hoz. A mindkét meridiánt összekötő ponton egy vonalat húzunk, feltételesen elosztjuk 10 ° -kal, és a fokok számát a meridián 100 ° -ától Irkutszkig számoljuk. Ezért Irkutszk földrajzi hosszúsága körülbelül 104°.

A földrajzi hosszúságot a gyakorlatban egy adott pont és a nulladik meridián vagy más ismert meridián közötti időkülönbség határozza meg. A földrajzi koordinátákat egész fokban és percben rögzítjük, szélességi és hosszúsági fokokkal együtt. Ebben az esetben 1º \u003d 60 perc (60 "), a0,1 ° \u003d 6", 0,2 ° \u003d 12 " stb.

Irodalom.

1. Földrajz / Szerk. P.P. Vascsenko, E.I. Shipovich. - 2. kiadás, átdolgozott és kiegészítő. - K .: Vishcha iskola. Vezető kiadó, 1986. - 503 p.

A meridián és a párhuzamos ívének hossza. Trapézkeretek méretei topográfiai térképekhez

Herson-2005

Meridián ív hossza S M szélességi fokok között B1és B2 alakú elliptikus integrál megoldásából határozzuk meg:

(1.1)

amelyet – mint ismeretes – nem elemi függvényekben veszünk fel. Ennek az integrálnak a megoldására numerikus integrációt használunk. Simpson képlete szerint a következőket kapjuk:

(1.2)

(1.3)

ahol B1és B2 a meridián ív végének szélességei; M 1, M 2, Msr a meridián görbületi sugarainak értékei a szélességi körökben B1és B2és Bcp=(B1+B2)/2; a az ellipszoid fél-főtengelye, e 2 az első különcség.

Párhuzamos ívhossz S P a kör egy részének hossza, tehát közvetlenül az adott párhuzamos sugarának szorzataként kapjuk meg r = NcosB a hosszúsági különbség miatt l a kívánt ív szélső pontjai, pl.

ahol l \u003d L 2 -L 1

Az első függőleges görbületi sugarának értéke N képlettel számítjuk ki

(1.5)

Filmező trapéz egy ellipszoid felületének meridiánokkal és párhuzamosokkal határolt része. Ezért a trapéz oldalai megegyeznek a meridiánok és a párhuzamosok íveinek hosszával. Ráadásul az északi és déli keretek párhuzamos ívek egy 1és a 2, valamint keleti és nyugati - meridiánok ívei Val vel, egyenlő egymással. Trapéz átlós d. A trapéz konkrét méreteinek meghatározásához az említett íveket el kell osztani a skála nevezővel més a centiméterben megadott méretek meghatározásához szorozzuk meg 100-zal. Így a munkaképletek a következők:

(1.6)

ahol m- a felmérési skála nevezője; N 1, N 2, az első függőleges görbületi sugarai a szélességi fokokkal rendelkező pontokban B1és B2; M m- a meridián görbületi sugara egy szélességi pontban Bm=(B1+B2)/2; ΔB \u003d (B 2-B 1).

Feladat és kezdő adatok

1) Számítsa ki a meridián ív hosszát két szélességi fok között! B 1 =30°00"00.000""és B 2 \u003d 35 ° 00 "12.345" "+1" No., ahol a № a változat száma.

2) Számítsa ki a párhuzamos ív hosszát az ezen a párhuzamoson fekvő pontok között hosszúságokkal L1 = 0°00"00.000""és L 2 \u003d 0 ° 45 "00.123" "+ 1" "No., ahol a № a változat száma. A párhuzam szélessége B=52°00"00.000""

3) Számítsa ki a trapézkeret méreteit 1:100 000 léptékben az N-35-№ térképlaphoz, ahol № a tanár által megadott trapézszám!

Megoldási séma

A Föld gömbalakja és napi forgása két fix pont létezését határozza meg a Föld felszínén - pólusok. A pólusokon egy képzeletbeli földtengely halad át, amely körül a Föld forog.

A térképeken és a földgömbökön a legnagyobb kört rajzolják - az egyenlítőt, amelynek síkja merőleges a Föld tengelyére. Az Egyenlítő a Földet északi és déli féltekére osztja. Az Egyenlítő 1°-os ívének hossza 40075,7 km: 360° = 111,3 km.

Az Egyenlítő síkjával párhuzamosan sok síkot feltételesen elrendezhet. Amikor metszik a földgömb felszínét, kis körök képződnek - párhuzamok. Egy földgömbön vagy térképen tartják őket bizonyos távolságra az egyenlítőtől, és nyugatról keletre tájolódnak. A párhuzamos körök hossza egyenletesen csökken az egyenlítőtől a pólusok felé. Emlékezzünk vissza, hogy a legnagyobb az egyenlítőn, és nulla a sarkokon.

A földgömböt a Föld egyenlítői síkjára merőleges tengelyén áthaladó képzeletbeli síkok is átszelhetik. Amikor ezek a síkok metszik a Föld felszínét, nagy körök alakulnak ki - meridiánok. A meridiánok a földgömb bármely pontján áthúzhatók. Mindegyik a pólusok pontjain metszi egymást, és északról délre tájolódnak. Az 1. meridián átlagos ívhossza 40008,5 km: 360° = 111 km. A lokális meridián iránya bármely ponton délben meghatározható a gnomon vagy más objektum árnyékának irányában. Az északi féltekén az árnyék vége az objektumtól észak felé, a déli féltekén dél felé mutatja az irányt.

A távolságok térképen vagy földgömbön való kiszámításához a következő értékek használhatók: az ív hossza a meridián 1º-a és az egyenlítő 1º-a, ami körülbelül 111 km.

Az ugyanazon a meridiánon elhelyezkedő két pont közötti kilométeres távolság meghatározásához a térképen vagy a földgömbön a pontok közötti fokok számát meg kell szorozni 111 km-rel. Az ugyanazon a párhuzamoson elhelyezkedő pontok közötti kilométeres távolság meghatározásához a fokok számát meg kell szorozni a térképen feltüntetett vagy a táblázatokból meghatározott párhuzamos 1°-os ív hosszával.

A párhuzamosok és a meridiánok íveinek hossza a Kraszovszkij-ellipszoidon

Például Kijev és Szentpétervár közötti távolság, amely körülbelül a 30°-os meridiánon található, 111 km *9,5° = 1054 km; Kijev és Harkov távolsága (kb. 50° párhuzamos) 71 km * 6° = 426 km.

Párhuzamok és meridiánok alakulnak ki diplomahálózat. A fokozathálózat legpontosabb ábrázolása a földgömbről szerezhető be. A földrajzi térképeken a párhuzamosok és a meridiánok elhelyezkedése a térképi vetülettől függ. Ennek ellenőrzéséhez összehasonlíthat különböző térképeket, például féltekék, kontinensek, Oroszország, orosz régiók térképeit stb.

A földgömb bármely pontjának helyzetét földrajzi koordináták segítségével határozzák meg: szélesség és hosszúság.

Földrajzi szélesség- távolság a meridián mentén fokban az Egyenlítőtől a Föld bármely pontjáig. Az egyenlítőt veszik a szélességi referencia - a nulla párhuzamos - origójának. A szélesség az egyenlítői 0°-tól a sarki 90°-ig terjed. Az Egyenlítőtől északra az északi szélesség (északi szélesség), az Egyenlítőtől délre - a déli szélesség (déli szélesség) számítva. A térképeken a párhuzamosságok az oldalsó keretekre, a földgömbre pedig a 0°-os és 180°-os meridiánokra vannak felírva. Például Kharkiv az Egyenlítőtől északra 50° párhuzamosan található – földrajzi szélessége az északi szélesség 50°. SH.; Kermadec-szigetek - a Csendes-óceánban, az Egyenlítőtől délre 30 ° C-on, szélességük körülbelül 30 ° D. SH.

Ha egy pont a térképen vagy a földgömbön két kijelölt párhuzamosság között helyezkedik el, akkor földrajzi szélességét ezenkívül a párhuzamosok távolsága is meghatározza. Például Irkutszk szélességi fokának kiszámításához, amely Oroszország térképén az északi szélesség 50° és 60° között található. sh., a ponton keresztül húzzon egy egyenest, amely összeköti a két párhuzamost. Ezután feltételesen 10 egyenlő részre - fokra osztják, mivel a párhuzamosok közötti távolság 10 °. Irkutszk közelebb van az 50°-os párhuzamoshoz.

A gyakorlatban a földrajzi szélességet a Sarkcsillag magassága határozza meg egy szextáns eszközzel, az iskolában függőleges szögmérőt vagy eklimétert használnak erre a célra.

Földrajzi hosszúság- távolság a párhuzamos mentén fokban a főmeridiántól a földgömb bármely pontjáig. A zérus greenwichi meridiánt, amely London közelében halad el (ahol a Greenwichi Obszervatórium található), a hosszúsági origónak tekintik. A nulla meridiántól keletre 180 ° -ig a keleti hosszúságot (keleti hosszúság), nyugatra a nyugati (nyugati hosszúság) számítják. A térképeken a meridiánok az egyenlítőn vagy a térkép felső és alsó keretén, a földgömbön pedig az egyenlítőn vannak felírva. A meridiánok a párhuzamosokhoz hasonlóan ugyanannyi fokon haladnak át. Például Szentpétervár a 30. meridiánon található a főmeridiántól keletre, földrajzi hosszúsága a keleti 30°. d.; Mexikóváros - 100 meridián a nulla meridiántól nyugatra, hosszúsága 100 ° ny. d.

Ha a pont két meridián között helyezkedik el, akkor a hosszúságát a köztük lévő távolság határozza meg. Például Irkutszk keleti szélesség 100° és 110° között helyezkedik el. de közelebb a 100°-hoz. A mindkét meridiánt összekötő ponton egy vonalat húzunk, feltételesen elosztjuk 10 ° -kal, és a fokok számát a meridián 100 ° -ától Irkutszkig számoljuk. Ezért Irkutszk földrajzi hosszúsága körülbelül 104°.

A földrajzi hosszúságot a gyakorlatban egy adott pont és a nulladik meridián vagy más ismert meridián közötti időkülönbség határozza meg. A földrajzi koordinátákat egész fokban és percben rögzítjük, szélességi és hosszúsági fokokkal együtt. Ebben az esetben 1º \u003d 60 perc (60 "), a0,1 ° \u003d 6", 0,2 ° \u003d 12 " stb.

Irodalom.

1. Földrajz / Szerk. P.P. Vascsenko, E.I. Shipovich. - 2. kiadás, átdolgozott és kiegészítő. - K .: Vishcha iskola. Vezető kiadó, 1986. - 503 p.

A Föld ellipszoid meridiánja egy ellipszis, amelynek görbületi sugarát az érték határozza meg M szélesség függő. Bármely változó sugarú görbe ívhossza kiszámítható a differenciálgeometria jól ismert képletével, amely a meridiánra alkalmazva a következő kifejezéssel rendelkezik

Itt AZ 1-BENés IN 2 szélességi fokok, amelyekre a meridián hosszát meghatározzák. Az integrált elemi függvényekben nem zárt formában vesszük fel. Kiszámításához csak hozzávetőleges integrációs módszerek lehetségesek. A közelítő integráció módszerének kiválasztásakor ügyelünk arra, hogy a meridián ellipszis excentricitásának értéke kicsi, ezért itt lehetőség van egy kis hatványú sorozatban történő kiterjesztésre épülő módszer alkalmazására. érték ( e /2 cos 2 B < 7*10 -3) биномиального выражения, стоящего под знаком интеграла. Число членов разложения будет зависеть от необходимой точности вычисления длины дуги меридиана, а также от разности широт ее конечных точек.

A geodéziai gyakorlatban különféle esetek merülhetnek fel, gyakrabban kell számításokat végezni kis hosszokra (legfeljebb 60 km), de speciális célokra szükség lehet hosszú meridiánok íveinek kiszámítására: az egyenlítőtől az aktuális pontig ( 10 000 km-ig), a pólusok között (20 000 km-ig). A számítások szükséges pontossága elérheti a 0,001 m értéket, ezért először azt az általános esetet tekintjük, amikor a szélességi fokok különbsége elérheti a 180 0-t, és az ív hossza 20 000 km.

Egy binomiális kifejezés sorozattá bővítéséhez egy matematikából ismert képletet használunk.

Számítási tartási hiba m itt elegendő meghatározni a bővítés feltételeit a maradék tag felhasználásával a Lagrange alakban, amely abszolút értékben nem kisebb, mint a bővítés összes elhagyott tagjának összege, és a képlet alapján számítjuk ki.

, (4. 27)

a bővítés eldobott feltételei közül az elsőként, a mennyiség lehető legnagyobb értékén számolva x.

A mi esetünkben megvan

A kapott kifejezést a (4. 25) egyenletbe behelyettesítve kapjuk

, (4. 28)

amely lehetővé teszi a távonkénti integrációt a szükséges számú bővítési kifejezés megtartásával. Tegyük fel, hogy a meridián ív hossza elérheti a 10 000 km értéket (az egyenlítőtől a pólusig), ami megfelel a szélességi fokok különbségének DB = p / 2, míg 0,001 m pontossággal kell kiszámítani, ami 10-10 relatív értéknek felel meg. A cosB értéke semmi esetre sem haladja meg az egyet. Ha a számításokban megtartjuk a tágulás harmadik fokát, akkor a Lagrange alakban a maradék tag a következő kifejezéssel rendelkezik

Amint látható, a kívánt pontosság eléréséhez nem elegendő ennyi bővítési tag, meg kell tartani négy bővítési tagot, és a maradék tag a Lagrange alakban a következő kifejezést kapja

Ezért az integrálásnál ebben az esetben négy bontási fokot kell tartani.

A távonkénti integráció (4.28) egyszerű, ha páros hatványokat konvertál több ívre ( cos 2 nB ban ben Cos (2nB)) a jól ismert dupla argumentum koszinusz képlet segítségével

; cos2 B = (1 + cos2B)/2,

amelyeket egymás után alkalmazva kapunk

Ily módon eljárva egészen addig cos 8 B, egyszerű átalakítások és integráció után kapjuk meg

Itt a szélességi különbséget radiánban mérjük, és a következő megnevezéseket használjuk olyan együtthatókra, amelyeknek állandó értékei vannak adott paraméterekkel rendelkező ellipszoidhoz.

;

.

Hasznos megjegyezni, hogy a meridián ív hossza egy fokos szélességi különbséggel körülbelül 111 km, egy perc - 1,8 km, egy másodperc - 0,031 km.

A geodéziai gyakorlatban nagyon gyakran van szükség a kis hosszúságú meridiánív kiszámítására (a háromszögelési háromszög oldalának hosszának sorrendjében), Fehéroroszországban ez az érték nem haladja meg a 30 km-t. Ebben az esetben nem kell alkalmazni a nehézkes (4.29) képletet, hanem kaphat egy egyszerűbbet is, de ugyanolyan számítási pontosságot biztosít (0,001 m-ig).

Legyen a meridián végpontjainak szélessége B1és B2 illetőleg. 30 km-ig terjedő távolságok esetén ez a radiánban mért szélességi különbségnek felel meg, legfeljebb 0. 27. Az átlagos szélesség kiszámítása Bm képlet szerinti meridiánívek B m = (B 1 + B 2) / 2, egy sugarú kör ívének a meridián ívét vesszük

(4. 30)

hosszát pedig a körív hosszának képletével számítjuk ki

, (4. 31)

ahol a szélességi különbséget radiánban vesszük.

A párhuzamosok és meridiánok ívének hossza a Kraszovszkij ellipszoidon,
figyelembe véve a Föld poláris összenyomódásából eredő torzulásokat

A távolság meghatározásához a turistatérképen, kilométerben a pontok között, a fokok számát meg kell szorozni a párhuzamos és a meridián 1°-os ívhosszával (hosszúságban és szélességben, a földrajzi koordináta-rendszerben), a pontos számított értékeket. melyeket a táblázatokból vettek át. Körülbelül egy bizonyos hibával ki lehet számítani a számológép képletével.

Példa a földrajzi koordináták számértékeinek konvertálására tizedről fokra és percre.

Szverdlovszk város hozzávetőleges hosszúsága 60,8° (hatvan pont és nyolc tized fok) keleti hosszúság.
8/10 = X/60
X \u003d (8 * 60) / 10 \u003d 48 (az arányból megtaláljuk a jobb tört számlálóját).
Eredmény: 60,8° = 60° 48" (hatvan fok és negyvennyolc perc).

Fokozatszimbólum (°) hozzáadásához nyomja meg az Alt + 248 billentyűket (a számokkal a billentyűzet jobb numerikus billentyűzetén; laptopon - a speciális Fn gomb megnyomásával vagy a NumLk bekapcsolásával). Ez Windows és Linux operációs rendszereken, valamint Mac OS rendszeren - a Shift + Option + 8 billentyűk használatával történik

A szélességi koordináták mindig a hosszúsági koordináták előtt jelennek meg (akár számítógépre nyomtatva, akár papírra írva).

A maps.google.ru szolgáltatásban a támogatott formátumokat a szabályok határozzák meg

Példák arra, hogyan lenne helyes:

A szög teljes formája (fok, perc, másodperc törtekkel):
41° 24" 12.1674", 2° 10" 26.508"

A szögírás rövidített formái:
Fok és perc tizedesjegyekkel - 41 24,2028, 2 10,4418
Tizedes fok (DDD) - 41,40338, 2,17403

A Google térképszolgáltatás online konverterrel rendelkezik a koordináták konvertálására és a kívánt formátumra való konvertálására.

Számértékek decimális elválasztójaként internetes oldalakon és számítógépes programokban pont használata javasolt.

táblázatok

A párhuzamos ív hossza 1°, 1" és 1" hosszúságban, méterben

Egy egyszerűsített képlet a párhuzamos ívek kiszámításához (a poláris tömörítésből származó torzulások figyelembevétele nélkül):

L pár \u003d l ekvivalens * cos (szélesség).

A meridián ívének hossza 1 °-ban, 1 "és 1" szélességben, méterben

Kép. A meridiánok és párhuzamosok 1 másodperces ívei (egyszerűsített képlet).

Gyakorlati példa a táblázatok használatára. Például, ha a térképen nincs numerikus lépték és nincs léptéksáv, de vannak fokos térképrács vonalai, akkor grafikusan meghatározhatja a távolságokat, abból a tényből, hogy az ív egy foka megfelel a numerikusnak. táblázatból kapott érték. "Észak-déli" irányban (a térképen a földrajzi rács vízszintes vonalai között) - az ívek hosszának értékei az Egyenlítőtől a Föld sarkaiig változnak, jelentéktelenül és körülbelül 111-et tesznek ki. kilométerre.

Andreev N.V. Topográfia és térképészet: Fakultatív kurzus. M., Felvilágosodás, 1985

Matematika tankönyv.

Http://ru.wikipedia.org/wiki/Geographic_coordinates