Arányos szakaszokat egy derékszögű háromszögben összekötő képletek. Arányos szakaszok derékszögű háromszögben

Hasonlósági teszt derékszögű háromszögekre

Először mutassuk be a derékszögű háromszögek hasonlósági kritériumát.

1. tétel

Hasonlósági teszt derékszögű háromszögekre: két derékszögű háromszög hasonló, ha mindegyiknek egyforma hegyesszöge van (1. ábra).

1. ábra Hasonló derékszögű háromszögek

Bizonyíték.

Adjuk meg, hogy $\angle B=\angle B_1$. Mivel a háromszögek derékszögűek, akkor $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Ezért hasonlóak a háromszögek első hasonlósági kritériuma szerint.

A tétel bizonyítást nyert.

Magasságtétel derékszögű háromszögben

2. tétel

A derékszög csúcsából húzott derékszögű háromszög magassága a háromszöget két hasonló derékszögű háromszögre osztja, amelyek mindegyike hasonló az adott háromszöghöz.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABC$ derékszögű háromszöget, amelynek derékszöge $C$. Rajzoljuk meg a $CD$ magasságot (2. ábra).

2. ábra A 2. tétel szemléltetése

Bizonyítsuk be, hogy az $ACD$ és $BCD$ háromszögek hasonlóak az $ABC$ háromszöghez, és hogy a $ACD$ és $BCD$ háromszögek hasonlóak egymáshoz.

Mivel $\angle ADC=(90)^0$, ezért a $ACD$ háromszög derékszögű. Az $ACD$ és $ABC$ háromszögeknek közös a $A$ szöge, ezért az 1. Tétel szerint a $ACD$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak.

Mivel $\angle BDC=(90)^0$, ezért a $BCD$ háromszög derékszögű. A $BCD$ és $ABC$ háromszögeknek közös a $B$ szöge, ezért az 1. Tétel szerint a $BCD$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak.

Tekintsük most az $ACD$ és $BCD$ háromszögeket

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]

Ezért az 1. Tétel szerint az $ACD$ és a $BCD$ háromszögek hasonlóak.

A tétel bizonyítást nyert.

Átlag arányos

3. tétel

A derékszög csúcsából húzott derékszögű háromszög magassága azokkal a szakaszokkal arányos átlag, amelyekre a magasság felosztja az adott háromszög befogóját.

Bizonyíték.

A 2. Tétel alapján azt kaptuk, hogy az $ACD$ és a $BCD$ háromszögek hasonlóak

A tétel bizonyítást nyert.

4. tétel

A derékszögű háromszög szára a befogó és a befogó szár közé eső szakasza és a szög csúcsából húzott magasság közötti arányos átlag.

Bizonyíték.

A tétel bizonyításához a 2. ábra jelölését használjuk.

A 2. Tétel szerint az $ACD$ és az $ABC$ háromszögek hasonlóak

A tétel bizonyítást nyert.

Az óra céljai:

1. bevezetni a két szakasz arányos középértékének (geometriai átlagának) fogalmát;
2. tekintsük a derékszögű háromszög arányos szakaszainak problémáját: a derékszög csúcsából húzott derékszögű háromszög magasságának tulajdonságát;
3. a tanulók képességeinek fejlesztése a tanult téma felhasználásában a problémamegoldás során.

Az óra típusa: lecke az új anyagok tanulásáról.

Terv:

1. Org pillanat.
2. Az ismeretek frissítése.
3. A derékszög csúcsából húzott derékszögű háromszög magassági tulajdonságának vizsgálata:
   - előkészítő szakasz;
   – bevezetés;
   – asszimiláció.
4. A két szegmenssel arányos átlag fogalmának bevezetése.
5. Két szegmens átlagarányos fogalmának elsajátítása.
6. A következmények igazolása:
   – a derékszög csúcsából húzott derékszögű háromszög magassága azoknak a szakaszoknak az átlaga, amelyekre a befogó fel van osztva ezzel a magassággal;
   – a derékszögű háromszög szára a befogó és a szár és a magasság közé zárt befogószakasz közötti arányos átlag.
7. Problémamegoldás.
8. Összegzés.
9. Házi feladat beállítása.

Az órák alatt

I. SZERVEZETI PILLANAT

- Sziasztok srácok, foglaljon helyet. Mindenki készen áll az órára?

Kezdjük a munkát.

II. A TUDÁS FRISSÍTVE

– Milyen fontos matematikai fogalmat tanultál az előző órákon? ( a háromszögek hasonlóságának fogalmával)

- Emlékezzünk, melyik két háromszöget nevezik hasonlónak? (két háromszöget hasonlónak nevezünk, ha szögeik egyenlőek, és az egyik háromszög oldalai arányosak a másik háromszög hasonló oldalaival)

– Mivel igazoljuk két háromszög hasonlóságát? (

– Fogalmazd meg ezeket a jeleket (fogalmazd meg a háromszögek hasonlóságának három jelét)

III. A DERÉKSZÖG TETEJÉRŐL VÉGZETT TÉGYSZÖGŰ HÁROMSZÖG MAGASSÁGÁNAK TULAJDONSÁGÁNAK VIZSGÁLATA

a) előkészítő szakasz

– Srácok, kérem, nézzék meg az első diát. ( Alkalmazás) Itt látható két derékszögű háromszög – és . és a magasságok és ill. .

1. feladat a) Határozza meg, hogy hasonlóak-e és hasonlóak-e.

– Mivel igazoljuk a háromszögek hasonlóságát? ( a háromszögek hasonlóságának jelei)

(az első jel, mert a feladatban semmit sem tudunk a háromszögek oldalairól)

. (Két pár: 1. ∟B= ∟B1 (egyenes), 2. ∟A= ∟A 1)

– vonja le a következtetést. a háromszögek hasonlóságának első kritériuma szerint ~)

1. b) feladat Határozza meg, hogy hasonlóak-e és hasonlóak-e.

– Milyen hasonlósági jelet használunk és miért? (az első jel, mert a feladatban semmit sem tudunk a háromszögek oldalairól)

– Hány egyenlő szögpárt kell megtalálnunk? Keresse meg ezeket a párokat (mivel a háromszögek derékszögűek, akkor elég egy pár egyenlő szög: ∟A= ∟A 1)

- Vonja le a következtetést. (a háromszögek hasonlóságának első kritériuma alapján arra a következtetésre jutunk, hogy ezek a háromszögek hasonlóak).

A beszélgetés eredményeként az 1. dia így néz ki:

b) a tétel felfedezése

2. feladat.

– Határozza meg, hogy hasonlóak-e és hasonlóak-e. A beszélgetés eredményeként olyan válaszok épülnek fel, amelyek tükröződnek a dián.

– A kép azt jelezte. Használtuk ezt a fokmérőt a feladatkérdések megválaszolásakor? ( Nem, nem használtuk)

– Srácok, vonjátok le a következtetést: milyen háromszögekre osztódik a derékszögű háromszög a derékszög csúcsából húzott magassággal? (következtetést levonni)

– Felmerül a kérdés: vajon ez a két derékszögű háromszög, amelyre a magasság felosztja a derékszögű háromszöget, hasonló lesz-e egymáshoz? Próbáljunk egyenlő szögű párokat keresni.

A beszélgetés eredményeként rekord készül:

– Most vonjuk le a teljes következtetést. KÖVETKEZTETÉS: a derékszög csúcsából húzott derékszögű háromszög magassága két részre osztja a háromszöget hasonló

- Azt. Megfogalmaztunk és igazoltunk egy tételt a derékszögű háromszög magasságának tulajdonságáról.

Állítsuk fel a tétel szerkezetét és készítsünk rajzot. Mit adunk meg a tételben és mit kell bizonyítani? A tanulók a füzetükbe írják:

– Bizonyítsuk be az új rajz tételének első pontját. Milyen hasonlósági jellemzőt fogunk használni és miért? (Az első, mert a tételben semmit sem tudunk a háromszögek oldalairól)

– Hány egyenlő szögpárt kell megtalálnunk? Keresse meg ezeket a párokat. (Ebben az esetben elég egy pár: ∟A-általános)

- Vonja le a következtetést. A háromszögek hasonlóak. Ennek eredményeként a tétel mintája látható

– Írja ki otthon a második és harmadik pontot maga.

c) a tétel elsajátítása

- Szóval, fogalmazd meg újra a tételt (A derékszög csúcsából húzott derékszögű háromszög magassága kettéosztja a háromszöget hasonló derékszögű háromszögek, amelyek mindegyike hasonló ehhez)

– Hány pár hasonló háromszög a „derékszögű háromszögben a magasságot a derékszög csúcsából húzzuk” konstrukcióban lehetővé teszi ez a tétel megtalálását? ( Három pár)

A tanulók a következő feladatot kapják:

IV. A KÉT SZEGMENS ÁTLAGOS ARÁNYOSSÁGÁNAK FOGALMÁNAK BEVEZETÉSE

– És most egy új koncepciót fogunk tanulmányozni önnel.

Figyelem!

Meghatározás. Vonalszakasz XY hívott átlagos arányos (geometriai átlag) szegmensek között ABÉs CD, Ha

(írd le egy füzetbe).

V. A KÉT SZEGMENS ÁTLAGOS ARÁNYOSSÁGÁNAK FOGALMÁNAK MEGÉRTÉSE

– Most pedig térjünk át a következő diára.

1. Feladat. Határozza meg az átlagos arányos MN és KP szakaszok hosszát, ha MN = 9 cm, KP = 16 cm!

– Mit adnak a problémában? ( Két szegmens és hosszuk: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

- Mit kell megtalálnia? ( Ezekkel a szegmensekkel arányos átlag hossza)

– Milyen képlet fejezi ki az arányos átlagot, és hogyan találjuk meg?

(Helyettesítse be az adatokat a képletbe, és keresse meg az átlagos prop hosszát.)

2. feladat. Határozzuk meg az AB szakasz hosszát, ha az AB és CD szakaszok arányos átlaga 90 cm és CD = 100 cm

– Mit adnak a problémában? (a CD szakasz hossza = 100 cm, az AB és CD szakaszok arányos átlaga 90 cm)

– Mit kell keresni a problémában? ( AB szakasz hossza)

- Hogyan oldjuk meg a problémát? (Írjuk fel az átlagos AB és CD arányos szakaszok képletét, fejezzük ki belőle az AB hosszt és helyettesítsük be a feladatban szereplő adatokat.)

VI. A KÖVETKEZTETÉSEK

- Jó volt fiúk. Most térjünk vissza a háromszögek hasonlóságához, amit a tételben bizonyítottunk. Mondja el újra a tételt! ( A derékszög csúcsából húzott derékszögű háromszög magassága két részre osztja a háromszöget hasonló derékszögű háromszögek, amelyek mindegyike hasonló az adotthoz)

– Először használjuk a háromszögek és a hasonlóságot. Mi következik ebből? ( Definíció szerint a hasonlósági oldalak arányosak a hasonló oldalakkal)

– Milyen egyenlőség adódik az arányosság alaptulajdonságának használatakor? ()

– Expressz CD-t és vonjon le következtetést (;.

Következtetés: a derékszög csúcsából húzott derékszögű háromszög magassága az átlagosan arányos azon szakaszok között, amelyekre a hipotenuzus ezzel a magassággal osztva)

– Most bizonyítsd be saját magad, hogy egy derékszögű háromszög szára a befogó és a láb és a magasság közé zárt szegmens közötti átlag arányos. ezzel a magassággal )

Egy derékszögű háromszög szára az átlag arányos...(-...az e láb és a magasság közé zárt hypotenus és a hypotenus szegmense )

– Hol alkalmazzuk a tanult állításokat? ( A problémák megoldása során)

IX. HÁZI FELADAT BEÁLLÍTÁSA

d/z: 571. sz., 572. sz. (a, d), önálló munka füzetben, elmélet.

Ma egy másik előadásra hívjuk fel a figyelmet egy csodálatos és titokzatos témáról - a geometriáról. Ebben az előadásban bemutatjuk a geometriai formák új tulajdonságát, különös tekintettel a derékszögű háromszögek arányos szakaszainak fogalmára.

Először is emlékeznünk kell arra, hogy mi a háromszög? Ez a legegyszerűbb sokszög, amely három csúcsból áll, amelyeket három szegmens köt össze. Azt a háromszöget, amelyben az egyik szög egyenlő 90 fokkal, derékszögű háromszögnek nevezzük. Ezekkel már részletesebben megismerkedhetett korábbi, figyelmébe ajánlott oktatási anyagainkban.

Tehát visszatérve mai témánkhoz, jelöljük sorrendben, hogy a 90 fokos szögből megrajzolt derékszögű háromszög magassága két egymáshoz és az eredetihez hasonló háromszögre osztja. A javasolt prezentációban minden Önt érdeklő rajz és grafikon szerepel, javasoljuk, hogy hivatkozzon rájuk a leírt magyarázat kíséretében.

A fenti tézis grafikus példája a második dián látható. A háromszögek hasonlóságának első jele alapján a háromszögek hasonlóak, mert két azonos szögük van. Ha részletesebben adjuk meg, akkor a hipotenuszra süllyesztett magasság derékszöget zár be vele, vagyis már vannak azonos szögek, és a kialakított szögek mindegyikének van egy közös szöge is, mint az eredetinek. Az eredmény két egymással egyenlő szög. Vagyis a háromszögek hasonlóak.

Jelöljük ki azt is, hogy mit jelent az „arányos közép” vagy a „geometriai közép” fogalma? Ez egy bizonyos XY szegmens az AB és CD szegmensek számára, ha egyenlő a hosszuk szorzatának négyzetgyökével.

Amiből az is következik, hogy egy derékszögű háromszög szára a befogó és ennek a lábnak a befogóra, vagyis egy másik lábra való vetülete közötti geometriai átlag.

A derékszögű háromszög másik tulajdonsága, hogy magassága 90°-os szögből húzva átlagosan arányos a lábak hipotenuszra való vetületei között. Ha átlapozza a prezentációt és a figyelmébe ajánlott egyéb anyagokat, látni fogja, hogy ennek a tézisnek a bizonyítéka nagyon egyszerű és hozzáférhető formában. Korábban már bebizonyítottuk, hogy a kapott háromszögek hasonlóak egymáshoz és az eredeti háromszöghez. Ezután ezeknek a geometriai alakzatoknak a lábainak arányát felhasználva arra a következtetésre jutunk, hogy egy derékszögű háromszög magassága egyenesen arányos azon szakaszok szorzatának négyzetgyökével, amelyek a magasság leengedése következtében keletkeztek. az eredeti háromszög derékszöge.

Az előadásban az utolsó dolog, hogy egy derékszögű háromszög szára a 90 fokkal egyenlő szögből húzott befogó és szegmensének geometriai középértéke. Ezt az esetet abból a szempontból kell figyelembe venni, hogy a jelzett háromszögek hasonlóak egymáshoz, és az egyik lábszára a másik befogója. De ezt a javasolt anyagok tanulmányozásával jobban megismerheti.

Hasonlósági teszt derékszögű háromszögekre

Először mutassuk be a derékszögű háromszögek hasonlósági kritériumát.

1. tétel

Hasonlósági teszt derékszögű háromszögekre: két derékszögű háromszög hasonló, ha mindegyiknek egyforma hegyesszöge van (1. ábra).

1. ábra Hasonló derékszögű háromszögek

Bizonyíték.

Adjuk meg, hogy $\angle B=\angle B_1$. Mivel a háromszögek derékszögűek, akkor $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Ezért hasonlóak a háromszögek első hasonlósági kritériuma szerint.

A tétel bizonyítást nyert.

Magasságtétel derékszögű háromszögben

2. tétel

A derékszög csúcsából húzott derékszögű háromszög magassága a háromszöget két hasonló derékszögű háromszögre osztja, amelyek mindegyike hasonló az adott háromszöghöz.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABC$ derékszögű háromszöget, amelynek derékszöge $C$. Rajzoljuk meg a $CD$ magasságot (2. ábra).

2. ábra A 2. tétel szemléltetése

Bizonyítsuk be, hogy az $ACD$ és $BCD$ háromszögek hasonlóak az $ABC$ háromszöghez, és hogy a $ACD$ és $BCD$ háromszögek hasonlóak egymáshoz.

Mivel $\angle ADC=(90)^0$, ezért a $ACD$ háromszög derékszögű. Az $ACD$ és $ABC$ háromszögeknek közös a $A$ szöge, ezért az 1. Tétel szerint a $ACD$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak.

Mivel $\angle BDC=(90)^0$, ezért a $BCD$ háromszög derékszögű. A $BCD$ és $ABC$ háromszögeknek közös a $B$ szöge, ezért az 1. Tétel szerint a $BCD$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak.

Tekintsük most az $ACD$ és $BCD$ háromszögeket

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]

Ezért az 1. Tétel szerint az $ACD$ és a $BCD$ háromszögek hasonlóak.

A tétel bizonyítást nyert.

Átlag arányos

3. tétel

A derékszög csúcsából húzott derékszögű háromszög magassága azokkal a szakaszokkal arányos átlag, amelyekre a magasság felosztja az adott háromszög befogóját.

Bizonyíték.

A 2. Tétel alapján azt kaptuk, hogy az $ACD$ és a $BCD$ háromszögek hasonlóak

A tétel bizonyítást nyert.

4. tétel

A derékszögű háromszög szára a befogó és a befogó szár közé eső szakasza és a szög csúcsából húzott magasság közötti arányos átlag.

Bizonyíték.

A tétel bizonyításához a 2. ábra jelölését használjuk.

A 2. Tétel szerint az $ACD$ és az $ABC$ háromszögek hasonlóak

A tétel bizonyítást nyert.

40. lecke. Arányos szakaszok derékszögű háromszögben. C. b. a. h. S. bc. N. ac. A. B. A derékszög csúcsából húzott derékszögű háromszög magassága a háromszöget 2 hasonló derékszögű háromszögre osztja, amelyek mindegyike hasonló az adott háromszöghöz. Hasonlósági teszt derékszögű háromszögekre. Két derékszögű háromszög hasonló, ha mindegyikük hegyesszöge egyenlő. Az XY szakaszt az AB és CD szakaszok arányos átlagának (geometriai átlagának) nevezzük, ha Tulajdonság 1. A derékszög csúcsából húzott derékszögű háromszög magassága a szárak hipotenuszra vetületei közötti arányos átlag. 2. tulajdonság. A derékszögű háromszög szára a befogó és ennek a lábnak a befogóra való vetülete közötti arányos átlag.

Geometria 8. osztály

„Feladatok megoldása a Pitagorasz-tétel alapján” - Az ABC háromszög egyenlő szárú. A Pitagorasz-tétel gyakorlati alkalmazása. Az ABCD egy négyszög. Egy négyzet területe. Találd meg a napot. Bizonyíték. Egyenlőszárú trapéz alapjai. Tekintsük a Pitagorasz-tételt. Egy négyszög területe. Derékszögű háromszögek. Pitagorasz tétel. A hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

„A paralelogramma területének megkeresése” - Alap. Magasság. A paralelogramma magasságának meghatározása. Derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei. Egy paralelogramma területe. Keresse meg a háromszög területét. A területek tulajdonságai. Orális gyakorlatok. Keresse meg a paralelogramma területét. A paralelogramma magasságai. Keresse meg a négyzet kerületét. Egy háromszög területe. Keresse meg a négyzet területét. Keresse meg a téglalap területét. Egy négyzet területe.

""Tér" 8. osztály" - Fekete négyzet. A szóbeli munka feladatai a tér kerületében. Egy négyzet területe. A négyzet jelei. A tér közöttünk van. A négyzet olyan téglalap, amelynek minden oldala egyenlő. Négyzet. Táska négyzet alakú alappal. Szóbeli feladatok. Hány négyzet látható a képen? A négyzet tulajdonságai. Gazdag kereskedő. Feladatok szóbeli munkához egy négyzet területén. Egy négyzet kerülete.

„Axiális szimmetria meghatározása” – ugyanazon a merőlegesen fekvő pontok. Rajzolj két egyenes vonalat. Építkezés. Rajzolja fel a pontokat. Nyom. Axiális szimmetriával nem rendelkező ábrák. Vonalszakasz. Hiányzó koordináták. Ábra. Olyan ábrák, amelyeknek kettőnél több szimmetriatengelyük van. Szimmetria. Szimmetria a költészetben. Építs háromszögeket. Szimmetriatengelyek. Szegmens felépítése. Pont felépítése. Két szimmetriatengelyű ábrák. Népek. Háromszögek. Arányosság.

„Hasonló háromszögek meghatározása” – Sokszögek. Arányos szegmensek. Hasonló háromszögek területének aránya. Két háromszöget hasonlónak nevezünk. Körülmények. Szerkesszünk háromszöget a megadott két szög és a csúcsfelező felhasználásával! Tegyük fel, hogy meg kell határoznunk az oszlop távolságát. A háromszögek hasonlóságának harmadik jele. Építsünk valami háromszöget. ABC. Az ABC és az ABC háromszög három oldala egyenlő. Egy tárgy magasságának meghatározása.

„A Pitagorasz-tétel megoldása” - Az ablakok részei. A legegyszerűbb bizonyíték. Hammurapi. Átlós. Teljes bizonyíték. Bizonyítás kivonásos módszerrel. pitagoreusok. Bizonyítás dekompozíciós módszerrel. A tétel története. Átmérő. Bizonyítás összeadás módszerével. Epstein bizonyítéka. Kántor. Háromszögek. Követői. A Pitagorasz-tétel alkalmazásai. Pitagorasz tétel. A tétel kijelentése. Perigal bizonyítéka. A tétel alkalmazása.