Ha 2 párhuzamos. Párhuzamos egyenesek, előjelek és a párhuzamos egyenesek feltételei

Két egyenes párhuzamosságának jelei

1. Tétel. Ha, amikor két egyenes metszi egymást egy szekánssal:

keresztezett szögek egyenlőek, vagy

megfelelő szögek egyenlőek, vagy

az egyoldali szögek összege 180°, akkor

vonalak párhuzamosak(1. ábra).

Bizonyíték. Az 1. eset bizonyítására szorítkozunk.

Legyenek az a és b metsző egyenesek keresztben, az AB szögek pedig egyenlők. Például ∠ 4 = ∠ 6. Bizonyítsuk be, hogy a || b.

Tegyük fel, hogy az a és b egyenesek nem párhuzamosak. Ekkor metszik egymást egy M pontban, és ezért a 4 vagy 6 szögek egyike lesz az ABM háromszög külső szöge. A határozottság érdekében legyen ∠ 4 az ABM háromszög külső szöge, és ∠ 6 a belső szöge. A háromszög külső szögére vonatkozó tételből az következik, hogy ∠ 4 nagyobb, mint ∠ 6, és ez ellentmond a feltételnek, ami azt jelenti, hogy az a és 6 egyenesek nem metszik egymást, tehát párhuzamosak.

Következmény 1. Ugyanarra az egyenesre merőleges síkban két különböző egyenes párhuzamos(2. ábra).

Megjegyzés. Azt a módot, ahogy az 1. Tétel 1. esetét az imént bizonyítottuk, az ellentmondásos vagy abszurditásra redukáló bizonyítási módszernek nevezzük. Ez a módszer azért kapta keresztnevét, mert az érvelés elején egy olyan feltételezés hangzik el, amely ellentétes (ellentétes) a bizonyítandóval. Abszurdsághoz vezetőnek nevezzük, mert a feltevés alapján okoskodva abszurd következtetésre jutunk (az abszurdig). Egy ilyen következtetés levonása arra kényszerít bennünket, hogy elutasítsuk a kezdetben megfogalmazott feltevést, és elfogadjuk azt, amelyet bizonyítani kellett.

1. feladat. Szerkesszünk egy adott M ponton átmenő, adott a egyenessel párhuzamos egyenest, amely nem megy át az M ponton.

Megoldás. Az a egyenesre merőleges M ponton keresztül p egyenest húzunk (3. ábra).

Ezután húzunk egy b egyenest az M ponton át merőlegesen a p egyenesre. A b egyenes párhuzamos az a egyenessel az 1. Tétel következménye szerint.

A vizsgált problémából egy fontos következtetés következik:
egy adott egyenesen nem fekvő ponton keresztül mindig lehetséges az adott egyenessel párhuzamos egyenest húzni.

A párhuzamos egyenesek fő tulajdonsága a következő.

Párhuzamos egyenesek axiómája. Egy adott ponton, amely nem egy adott egyenesen fekszik, csak egy egyenes halad át az adott ponttal párhuzamosan.

Tekintsük a párhuzamos egyenesek néhány tulajdonságát, amelyek ebből az axiómából következnek.

1) Ha egy egyenes két párhuzamos egyenes közül az egyiket metszi, akkor a másikat is metszi (4. ábra).

2) Ha két különböző egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak (5. ábra).

A következő tétel is igaz.

2. Tétel. Ha két párhuzamos egyenest egy keresztirányú metsz, akkor:

keresztirányú szögek egyenlőek;

a megfelelő szögek egyenlőek;

az egyoldali szögek összege 180°.

Következmény 2. Ha egy egyenes merőleges két párhuzamos egyenes közül az egyikre, akkor merőleges a másikra is(lásd 2. ábra).

Megjegyzés. A 2. tételt az 1. tétel inverzének nevezzük. Az 1. tétel következtetése a 2. tétel feltétele. Az 1. tétel feltétele pedig a 2. tétel következtetése. Nem minden tételnek van inverze, vagyis ha egy adott tétel igaz, akkor az inverz tétel hamis lehet.

Magyarázzuk meg ezt a függőleges szögekre vonatkozó tétel példáján keresztül. Ez a tétel a következőképpen fogalmazható meg: ha két szög függőleges, akkor egyenlők. A fordított tétel a következő lenne: ha két szög egyenlő, akkor függőlegesek. És ez természetesen nem igaz. Két egyenlő szögnek nem kell függőlegesnek lennie.

1. példa Két párhuzamos vonalat egy harmadik keresztez. Ismeretes, hogy két belső egyoldali szög közötti különbség 30°. Keresse meg ezeket a szögeket.

Megoldás. A 6. ábra teljesítse a feltételt.

FEJEZET III.
PÁRHUZAMOS KÖZVETLEN

38. § A SZÖGEK FÜGGÉSE,
KÉT PÁRHUZAMOS VONAL ÉS EGY MÁSODLAG KÉPZETT.

Tudjuk, hogy két egyenes párhuzamos, ha egy harmadik egyenest metszve a megfelelő szögek egyenlőek, vagy a keresztben elhelyezkedő belső vagy külső szögek egyenlőek, vagy a belső, vagy a külső egyoldalú szögek összege egyenlő 2 d. Bizonyítsuk be, hogy a fordított tételek is igazak, nevezetesen:

Ha két párhuzamos egyenest egy harmadik keresztez, akkor:

1) a megfelelő szögek egyenlőek;
2) a belső keresztirányú szögek egyenlőek;
3) a külső keresztirányú szögek egyenlőek;
4) a belső egyoldali szögek összege egyenlő 2 d ;
5) a külső egyoldalú szögek összege egyenlő 2 d .

Bizonyítsuk be például, hogy ha két párhuzamos egyenest egy harmadik egyenes metszi, akkor a megfelelő szögek egyenlőek.

Legyenek párhuzamosak az AB és CD egyenesek, a metszőjük pedig MN (202. ábra) Bizonyítsuk be, hogy a megfelelő 1 és 2 szögek egyenlőek egymással.

Tegyük fel, hogy / 1 és / 2 nem egyenlő. Ekkor az O pontban konstruálhatunk / NOB, megfelelő és egyenlő / 2 (203. rajz).

De ha / MOQ = / 2, akkor az OK egyenes párhuzamos lesz a CD-vel (§ 35).

Megállapítottuk, hogy két AB és OK egyenest húztunk az O ponton, párhuzamosan a CD egyenessel. De ez nem lehet (37. §).

Ellentmondáshoz jutottunk, mert ezt feltételeztük / 1 és / 2 nem egyenlő. Ezért feltételezésünk helytelen és / 1 egyenlőnek kell lennie / 2, azaz a megfelelő szögek egyenlőek.

Határozzuk meg a fennmaradó szögek közötti kapcsolatokat. Legyenek párhuzamosak az AB és CD egyenesek, a metszőjük pedig MN (204. ábra).

Most bebizonyítottuk, hogy ebben az esetben a megfelelő szögek egyenlőek. Tegyük fel, hogy bármelyik kettő 119°-os. Számítsuk ki a másik hat szög mindegyikének méretét. A szomszédos és a függőleges szögek tulajdonságai alapján azt találjuk, hogy a nyolc szög közül négy 119°-os, a többi 61°-os lesz.

Kiderült, hogy a belső és külső keresztirányú szögek páronként egyenlőek, és a belső vagy külső egyoldalú szögek összege 180° (vagy 2 d).

Ugyanez történik bármely más azonos szögérték esetén is.

Következmény 1. Ha az AB és CD egyenesek párhuzamosak ugyanazzal a harmadik MN egyenessel, akkor az első két egyenes párhuzamos egymással (205. rajz).

Valójában a szekáns EF megrajzolásával (206. ábra) a következőket kapjuk:
A) / 1 = / 3, mivel AB || MN; b) / 2 = / 3, mivel CO || MN.

Eszközök, / 1 = / 2, és ezek az AB és CD egyeneseknek és az EF szekánsnak megfelelő szögek, ezért az AB és CD egyenesek párhuzamosak.

Következmény 2. Ha egy egyenes merőleges két párhuzamos egyenes közül az egyikre, akkor merőleges a másikra is (207. rajz).

Valóban, ha EF _|_ AB, akkor / 1 = d; ha AB || akkor CD / 1 = / 2.

Ennélfogva, / 2 = d azaz EF _|_ CD .

1) Ha két egyenes metszéspontja egy keresztirányú, és a fekvőszögek egyenlőek, akkor az egyenesek párhuzamosak.

2) Ha két egyenes metszéspontja egy keresztirányú, és a megfelelő szögek egyenlőek, akkor az egyenesek párhuzamosak.

3) Ha két egyenes metszéspontja egy keresztirányban, az egyoldali szögek összege 180°, akkor az egyenesek párhuzamosak.

3. Egy nem adott egyenesen fekvő ponton csak egy, az adott egyenessel párhuzamos egyenes halad át.

4 Ha egy egyenes két párhuzamos egyenes közül az egyiket metszi, akkor a másikat is metszi.

5. Ha két egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak.

Párhuzamos egyenesek tulajdonságai

1) Ha két párhuzamos egyenest egy keresztirányú metsz, akkor a metszésszögek egyenlőek.

2) Ha két párhuzamos egyenest egy keresztirányú metsz, akkor a megfelelő szögek egyenlőek.

3) Ha két párhuzamos egyenest egy keresztirányú metsz, akkor az egyoldali szögek összege 180°.

7. Ha egy egyenes merőleges két párhuzamos egyenes közül az egyikre, akkor merőleges a másikra is.

8. Két egyenletrendszer megoldása kettővel Az ilyen számpárt ismeretlennek nevezzük x És nál nél , amely ebbe a rendszerbe behelyettesítve minden egyenletét helyes numerikus egyenlőséggé alakítja.

9. Oldja meg az egyenletrendszert!- azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldást, vagy megállapítjuk, hogy nincsenek.

1. Egyenletrendszer megoldási módszerei:

a) helyettesítés

b) összeadás;

c) grafikus.

10. Egy háromszög szögeinek összege 180°.

11.Külső sarok A háromszög szöge ennek a háromszögnek valamely szögével szomszédos.

Egy háromszög külső szöge egyenlő a háromszög két olyan szögének összegével, amelyek nem szomszédosak vele.

12. Bármely háromszögben vagy minden szög hegyesszögű, vagy két szög hegyesszög, a harmadik pedig tompa vagy egyenes.

13Ha egy háromszög mindhárom szöge hegyesszögű, akkor a háromszöget nevezzük hegyesszögű.

14.Ha egy háromszög egyik szöge tompaszögű, akkor a háromszöget hívjuk tompaszögű.

15. Ha egy háromszög egyik szöge derékszögű, akkor a háromszöget nevezzük négyszögletes.

16. Egy derékszögű háromszögnek a derékszöggel ellentétes oldalát ún átfogó, a másik két oldal pedig az lábak.

17. Háromszögben: 1) a nagyobb szög a nagyobb oldallal szemben fekszik; 2) hátul, a nagyobb oldal a nagyobb szöggel szemben helyezkedik el.

18. Egy derékszögű háromszögben a hipotenusz hosszabb, mint a láb.

19. Ha egy háromszög két szöge egyenlő, akkor a háromszög egyenlő szárú (egyenlőszárú háromszög előjele).

20. A háromszög mindkét oldala kisebb, mint a másik két oldal összege.

21 Egy derékszögű háromszög két hegyesszögének összege 90°.

22. Egy derékszögű háromszög 30°-os szöggel szemben fekvő szára egyenlő a befogó felével.

Derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei: 1) két oldalon; 2) a hipotenusz és a hegyesszög mentén; 3) a hypotenusa és a láb mentén; 4) a láb és a hegyesszög mentén

Egy pontból egy egyenesre húzott merőleges hosszát e pont és az egyenes távolságának nevezzük.

Ebben a cikkben a párhuzamos egyenesekről fogunk beszélni, definíciókat adunk, és felvázoljuk a párhuzamosság előjeleit és feltételeit. Az elméleti anyag áttekinthetősége érdekében a tipikus példákra illusztrációkat és megoldásokat használunk.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definíció

Párhuzamos egyenesek egy síkon– két egyenes egy síkon, amelynek nincs közös pontja.

2. definíció

Párhuzamos vonalak háromdimenziós térben– két egyenes a háromdimenziós térben, amelyek ugyanabban a síkban fekszenek, és nincs közös pontjuk.

Meg kell jegyezni, hogy a térben párhuzamos egyenesek meghatározásához rendkívül fontos az „ugyanabban a síkban fekvő” tisztázás: a háromdimenziós térben két olyan egyenes, amelyeknek nincs közös pontja és nem fekszenek ugyanabban a síkban, nem párhuzamosak. , hanem metsző.

A párhuzamos vonalak jelzésére általános a ∥ szimbólum használata. Vagyis ha az adott a és b egyenesek párhuzamosak, akkor ezt a feltételt röviden a következőképpen kell felírni: a ‖ b. Az egyenesek párhuzamosságát szóban a következőképpen jelöljük: az a és b egyenesek párhuzamosak, vagy az a egyenes párhuzamos a b egyenessel, vagy a b egyenes párhuzamos az a egyenessel.

Fogalmazzunk meg egy állítást, amely fontos szerepet játszik a vizsgált témában.

Alapigazság

Egy adott egyeneshez nem tartozó ponton áthalad az egyetlen, az adott egyenessel párhuzamos egyenes. Ez az állítás a planimetria ismert axiómái alapján nem igazolható.

Abban az esetben, ha térről beszélünk, a tétel igaz:

1. tétel

A tér bármely pontján keresztül, amely nem tartozik egy adott egyeneshez, egyetlen, az adott egyenessel párhuzamos egyenes lesz.

Ez a tétel a fenti axióma (geometria program 10 - 11. évfolyamra) alapján könnyen bebizonyítható.

A párhuzamossági kritérium elégséges feltétel, amelynek teljesítése garantálja az egyenesek párhuzamosságát. Más szóval, ennek a feltételnek a teljesülése elegendő a párhuzamosság tényének megerősítéséhez.

Különösen az egyenesek síkbeli és térbeli párhuzamosságának vannak szükséges és elégséges feltételei. Magyarázzuk el: a szükséges azt a feltételt jelenti, amelynek teljesülése párhuzamos egyeneseknél szükséges; ha nem teljesül, a vonalak nem párhuzamosak.

Összefoglalva, az egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele az a feltétel, amelynek betartása szükséges és elegendő ahhoz, hogy az egyenesek párhuzamosak legyenek egymással. Ez egyrészt a párhuzamosság jele, másrészt a párhuzamos vonalakban rejlő tulajdonság.

Mielőtt megadnánk egy szükséges és elégséges feltétel pontos megfogalmazását, idézzünk fel néhány további fogalmat.

3. definíció

Szekant vonal– két adott nem egybeeső egyenest metsző egyenes.

Két egyenest metszve egy keresztirányú nyolc kidolgozatlan szöget alkot. A szükséges és elégséges feltétel megfogalmazásához olyan típusú szögeket fogunk használni, mint a keresztezett, a megfelelő és az egyoldalú. Mutassuk meg őket az illusztráción:

2. tétel

Ha egy síkban két egyenest keresztirányú metsz, akkor az adott egyenesek párhuzamosságához szükséges és elegendő, hogy a metszőszögek egyenlőek legyenek, vagy a megfelelő szögek egyenlőek legyenek, vagy az egyoldalú szögek összege egyenlő legyen 180 fok.

Szemléltessük grafikusan az egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételét egy síkon:

Ezeknek a feltételeknek a bizonyítása a 7-9. évfolyam geometria programjában található.

Általában ezek a feltételek a háromdimenziós térre is vonatkoznak, feltéve, hogy két egyenes és egy szekáns ugyanahhoz a síkhoz tartozik.

Mutassunk még néhány tételt, amelyeket gyakran használnak az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására.

3. tétel

Egy síkon két, egy harmadikkal párhuzamos egyenes párhuzamos egymással. Ezt a tulajdonságot a fentebb jelzett párhuzamossági axióma alapján bizonyítjuk.

4. tétel

A háromdimenziós térben két, egy harmadikkal párhuzamos egyenes párhuzamos egymással.

A jel bizonyítását a 10. évfolyamos geometria tananyag tanulja.

Nézzünk egy illusztrációt ezekre a tételekre:

Jelöljünk még egy tételpárt, amely az egyenesek párhuzamosságát bizonyítja.

5. tétel

Egy síkon két, a harmadikra ​​merőleges egyenes párhuzamos egymással.

Fogalmazzunk meg hasonlót a háromdimenziós térre.

6. tétel

A háromdimenziós térben két, a harmadikra ​​merőleges egyenes párhuzamos egymással.

Illusztráljuk:

A fenti tételek, előjelek és feltételek mindegyike lehetővé teszi az egyenesek párhuzamosságának kényelmes bizonyítását a geometriai módszerekkel. Azaz az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására be lehet mutatni, hogy a megfelelő szögek egyenlőek, vagy azt, hogy két adott egyenes merőleges a harmadikra ​​stb. De vegye figyelembe, hogy gyakran kényelmesebb a koordináta-módszer használata az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására síkon vagy háromdimenziós térben.

Egyenesek párhuzamossága téglalap alakú koordinátarendszerben

Egy adott téglalap alakú koordinátarendszerben az egyenest a lehetséges típusok egyik síkján lévő egyenes egyenlete határozza meg. Hasonlóképpen, egy téglalap alakú koordinátarendszerben háromdimenziós térben meghatározott egyenes megfelel néhány térbeli egyenes egyenletének.

Írjuk fel az egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételeit egy téglalap alakú koordinátarendszerben az adott egyeneseket leíró egyenlet típusától függően.

Kezdjük a síkon lévő egyenesek párhuzamosságának feltételével. Egy egyenes irányvektorának és egy síkon lévő egyenes normálvektorának definícióin alapul.

7. tétel

Ahhoz, hogy két nem egybeeső egyenes párhuzamos legyen egy síkon, szükséges és elegendő, hogy az adott egyenesek irányvektorai kollineárisak, vagy az adott egyenesek normálvektorai egybefüggőek legyenek, vagy az egyik egyenes irányvektora merőleges legyen a másik egyenes normálvektora.

Nyilvánvalóvá válik, hogy az egyenesek párhuzamosságának feltétele egy síkon a vektorok kollinearitásán vagy két vektor merőlegességének feltételén alapul. Vagyis ha a → = (a x, a y) és b → = (b x, b y) az a és b egyenesek irányvektorai;

és n b → = (n b x , n b y) az a és b egyenesek normálvektorai, akkor a fenti szükséges és elégséges feltételt a következőképpen írjuk fel: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y vagy n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y vagy a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , ahol t valami valós szám. A vezetők vagy egyenes vektorok koordinátáit az egyenesek adott egyenletei határozzák meg. Nézzük a főbb példákat.

1. Az a egyenest egy téglalap alakú koordinátarendszerben az egyenes általános egyenlete határozza meg: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 egyenes. Ekkor az adott egyenesek normálvektorainak koordinátái (A 1, B 1) és (A 2, B 2) lesznek. A párhuzamossági feltételt a következőképpen írjuk fel:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Az a egyenest az y = k 1 x + b 1 alakú meredekségű egyenes egyenlete írja le. Egyenes b - y = k 2 x + b 2. Ekkor az adott egyenesek normálvektorainak (k 1, - 1) és (k 2, - 1) koordinátái lesznek, és a párhuzamossági feltételt a következőképpen írjuk fel:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Így, ha egy téglalap alakú koordinátarendszerben egy síkon párhuzamos egyeneseket szögegyütthatós egyenletekkel adunk meg, akkor az adott egyenesek szögegyütthatói egyenlők lesznek. És az ellenkező állítás igaz: ha egy téglalap alakú koordinátarendszerben egy síkon nem egybeeső egyeneseket egy azonos szögegyütthatójú egyenes egyenletei határoznak meg, akkor ezek az adott egyenesek párhuzamosak.

1. A téglalap alakú koordináta-rendszerben az a és b egyeneseket egy síkon lévő egyenes kanonikus egyenletei határozzák meg: x - x 1 a x = y - y 1 a y és x - x 2 b x = y - y 2 b y vagy paraméteres egyenletek egy egyenes egy síkon: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y és x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Ekkor az adott egyenesek irányvektorai: a x, a y és b x, b y lesznek, és a párhuzamossági feltételt a következőképpen írjuk fel:

a x = t b x a y = t b y

Nézzünk példákat.

1. példa

Két sor van megadva: 2 x - 3 y + 1 = 0 és x 1 2 + y 5 = 1. Meg kell határozni, hogy párhuzamosak-e.

Megoldás

Írjuk fel az egyenes egyenletét szakaszokra általános egyenlet formájában:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Látjuk, hogy n a → = (2, - 3) a 2 x - 3 y + 1 = 0 egyenes normálvektora, és n b → = 2, 1 5 az x 1 2 + y 5 egyenes normálvektora. = 1.

A kapott vektorok nem kollineárisak, mert nincs olyan tat értéke, amelyre az egyenlőség igaz lenne:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Így nem teljesül az egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele egy síkon, ami azt jelenti, hogy az adott egyenesek nem párhuzamosak.

Válasz: a megadott egyenesek nem párhuzamosak.

2. példa

Az y = 2 x + 1 és x 1 = y - 4 2 egyenesek adottak. Párhuzamosak?

Megoldás

Alakítsuk át az x 1 = y - 4 2 egyenes kanonikus egyenletét a meredekségű egyenes egyenletévé:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Látjuk, hogy az y = 2 x + 1 és az y = 2 x + 4 egyenesek egyenletei nem azonosak (ha másként lenne, az egyenesek egybeesnének), és az egyenesek szögegyütthatói egyenlőek, ami azt jelenti, adott egyenesek párhuzamosak.

Próbáljuk meg másképp megoldani a problémát. Először nézzük meg, hogy a megadott sorok egybeesnek-e. Az y = 2 x + 1 egyenes bármely pontját használjuk, például (0, 1), ennek a pontnak a koordinátái nem felelnek meg az x 1 = y - 4 2 egyenes egyenletének, ami azt jelenti, hogy az egyenesek igen nem esik egybe.

A következő lépés annak meghatározása, hogy az adott egyenesek párhuzamosságának feltétele teljesül-e.

Az y = 2 x + 1 egyenes normálvektora az n a → = (2 , - 1) vektor, a második adott egyenes irányvektora pedig b → = (1 , 2) . Ezen vektorok skaláris szorzata egyenlő nullával:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Tehát a vektorok merőlegesek: ez bizonyítja számunkra az eredeti egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételének teljesülését. Azok. a megadott egyenesek párhuzamosak.

Válasz: ezek a vonalak párhuzamosak.

A háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására a következő szükséges és elégséges feltételt alkalmazzuk.

8. tétel

Ahhoz, hogy a háromdimenziós térben két nem egybeeső egyenes párhuzamos legyen, szükséges és elegendő, hogy ezen egyenesek irányvektorai kollineárisak legyenek.

Azok. a háromdimenziós térben lévő egyenesek egyenletei alapján az adott egyenesek irányvektorainak koordinátáinak meghatározásával, valamint kollinearitásuk feltételének ellenőrzésével a választ a kérdésre: párhuzamosak vagy sem. Más szóval, ha a → = (a x, a y, a z) és b → = (b x, b y, b z) az a és b egyenesek irányvektorai, akkor ahhoz, hogy párhuzamosak legyenek, a létezés egy ilyen t valós szám szükséges ahhoz, hogy az egyenlőség teljesüljön:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

3. példa

Az x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 és x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ egyenesek adottak. Bizonyítani kell ezen egyenesek párhuzamosságát.

Megoldás

A feladat feltételeit egy térbeli egyenes kanonikus egyenletei, egy másik térbeli egyenes parametrikus egyenletei adják meg. Útmutató vektorok a → és b → a megadott egyenesek koordinátái: (1, 0, - 3) és (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, akkor a → = 1 2 · b → .

Ebből következően az egyenesek térbeli párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele teljesül.

Válasz: az adott egyenesek párhuzamossága bizonyított.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

megfelelő szögek: 1 és 5, 4 és 8, 2 és 6, 3 és 7;

belső keresztirányú szögek: 3 és 5, 4 és 6;

külső keresztirányú szögek: 1 és 7, 2 és 8;

belső egyoldalú sarkok: 3 és 6, 4 és 5;

külső egyoldalú sarkok: 1 és 8, 2 és 7.

Tehát ∠ 2 = ∠ 4 és ∠ 8 = ∠ 6, de a bebizonyítottak szerint ∠ 4 = ∠ 6.

Ezért ∠ 2 = ∠ 8.

3. Megfelelő szögek 2 és 6 ugyanaz, mivel ∠ 2 = ∠ 4 és ∠ 4 = ∠ 6. Győződjön meg arról is, hogy a többi megfelelő szög egyenlő.

4. Összeg belső egyoldalú sarkok 3 és 6 2d lesz, mert az összeg szomszédos sarkok 3 és 4 egyenlő 2d = 180 0-val, és ∠ 4 helyettesíthető azonos ∠ 6-tal. Győződjön meg arról is, hogy szögek összege 4 és 5 egyenlő 2d-vel.

5. Összeg külső egyoldalú sarkok 2d lesz, mert ezek a szögek rendre egyenlőek belső egyoldalú sarkok mint a sarkok függőleges.

A fenti bizonyított indoklásból azt kapjuk fordított tételek.

Amikor két egyenes és egy tetszőleges harmadik egyenes metszéspontjában azt kapjuk, hogy:

1. A belső keresztirányú szögek azonosak;

vagy 2. A külső keresztirányú szögek azonosak;

vagy 3. A megfelelő szögek egyenlőek;

vagy 4. A belső egyoldali szögek összege 2d = 180 0;

vagy 5. A külső egyoldalúak összege 2d = 180 0 ,

akkor az első két egyenes párhuzamos.